Minden szögnek, méretétől függően, saját neve van:
| Szög típusa | Méret fokban | Példa |
|---|---|---|
| Fűszeres | Kevesebb, mint 90° | |
| Egyenes | Egyenlő 90°-kal. A rajzon a derékszöget általában a szög egyik oldaláról a másikra húzott szimbólum jelöli. |
 |
| Tompa | 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb |  |
| Kiterjesztett | 180°-nak felel meg Az egyenes szög egyenlő két derékszög összegével, a derékszög pedig az egyenes szög fele. |
 |
| Konvex | 180°-nál nagyobb, de 360°-nál kisebb |  |
| Teljes | Egyenlő 360°-kal |  |
A két szöget ún szomszédos, ha az egyik oldaluk közös, és a másik két oldal egyenest alkot:
Szögek MOPÉs PON szomszédos, hiszen a gerenda OP- a közös oldal, és a másik két oldal - OMÉs TOVÁBB egyenes vonalat alkotni.
A szomszédos szögek közös oldalát ún ferde egyenesre, amelyen a másik két oldal fekszik, csak abban az esetben, ha a szomszédos szögek nem egyenlőek egymással. Ha a szomszédos szögek egyenlőek, akkor közös oldaluk lesz merőleges.
A szomszédos szögek összege 180°.
A két szöget ún függőleges, ha az egyik szög oldalai egyenesekké egészítik ki a másik szög oldalait:
Az 1. és 3. szög, valamint a 2. és 4. szög függőleges.
A függőleges szögek egyenlőek.
Bizonyítsuk be, hogy a függőleges szögek egyenlőek:
∠1 és ∠2 összege egyenes szög. És ∠3 és ∠2 összege egyenes szög. Tehát ez a két összeg egyenlő:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
Ebben az egyenlőségben a bal és a jobb oldalon azonos kifejezés található - ∠2. Az egyenlőség nem sérül, ha ezt a bal és jobb oldali kifejezést kihagyjuk. Akkor megkapjuk.
Hogyan találhatunk szomszédos szöget?
A matematika a legrégebbi egzakt tudomány, amelyet kötelezően tanulnak az iskolákban, főiskolákon, intézetekben és egyetemeken. Az alapvető ismereteket azonban mindig az iskolában rakják le. Előfordul, hogy a gyerek meglehetősen összetett feladatokat kap, de a szülők nem tudnak segíteni, mert egyszerűen elfelejtettek néhány dolgot a matematikából. Például, hogyan lehet szomszédos szöget találni a főszög mérete alapján stb. A probléma egyszerű, de nehézségeket okozhat a megoldásban, mert nem tudjuk, hogy mely szögeket nevezzük szomszédosnak, és hogyan találjuk meg őket.
Nézzük meg közelebbről a szomszédos szögek definícióját és tulajdonságait, valamint azt, hogyan számítsuk ki őket a feladatban szereplő adatokból.
A szomszédos szögek meghatározása és tulajdonságai
Két, egy pontból kiinduló sugár alakot alkot, amelyet „síkszögnek” neveznek. Ebben az esetben ezt a pontot a szög csúcsának nevezzük, és a sugarak az oldalai. Ha az egyik sugarat a kiindulási ponton túl egy egyenesben folytatjuk, akkor egy másik szög alakul ki, amelyet szomszédosnak nevezünk. Ebben az esetben minden szögnek két szomszédos szöge van, mivel a szög oldalai egyenértékűek. Vagyis mindig van egy szomszédos 180 fokos szög.
A szomszédos szögek fő tulajdonságai közé tartozik
- A szomszédos szögeknek közös csúcsuk és egyik oldaluk van;
- A szomszédos szögek összege mindig 180 fokkal vagy Pi-vel egyenlő, ha a számítás radiánban történik;
- A szomszédos szögek szinuszai mindig egyenlőek;
- A szomszédos szögek koszinuszai és érintői egyenlőek, de ellentétes előjelűek.
Hogyan találjuk meg a szomszédos szögeket
A szomszédos szögek nagyságának meghatározásához általában három problémaváltozatot adnak meg
- A főszög értéke adott;
- A fő és a szomszédos szög aránya adott;
- A függőleges szög értéke adott.
A probléma minden változatának megvan a maga megoldása. Nézzük meg őket.
A főszög értéke adott
Ha a probléma a főszög értékét adja meg, akkor a szomszédos szög megtalálása nagyon egyszerű. Ehhez csak vonja le a fő szög értékét 180 fokból, és megkapja a szomszédos szög értékét. Ez a megoldás egy szomszédos szög tulajdonságán alapul - a szomszédos szögek összege mindig 180 fokkal egyenlő.
Ha a főszög értéke radiánban van megadva, és a probléma a szomszédos szög radiánban való megtalálását igényli, akkor a Pi számból ki kell vonni a főszög értékét, mivel a teljes kihajtott szög értéke 180 fok egyenlő a Pi számmal.
A fő és a szomszédos szög aránya adott
A probléma a főszög foka és radiánja helyett a fő és a szomszédos szögek arányát adja meg. Ebben az esetben a megoldás arányegyenletnek fog kinézni:
- A főszög arányát „Y” változóval jelöljük.
- A szomszédos szöghez tartozó részesedést „X” változóként jelöljük.
- Az egyes arányokra eső fokok számát például „a”-val jelöljük.
- Az általános képlet így fog kinézni - a*X+a*Y=180 vagy a*(X+Y)=180.
- Az „a” egyenlet közös tényezőjét az a=180/(X+Y) képlettel találjuk meg.
- Ezután az „a” közös tényező kapott értékét megszorozzuk a meghatározandó szög törtrészével.
Így megtalálhatjuk a szomszédos szög értékét fokban. Ha azonban meg kell találnia egy értéket radiánban, akkor egyszerűen át kell konvertálnia a fokokat radiánra. Ehhez meg kell szorozni a fokban megadott szöget Pi-vel, és mindent el kell osztani 180 fokkal. A kapott érték radiánban lesz megadva.
A függőleges szög értéke adott
Ha a feladat nem a főszög értékét adja meg, hanem a függőleges szög értéke adott, akkor a szomszédos szöget ugyanazzal a képlettel lehet kiszámítani, mint az első bekezdésben, ahol a főszög értéke van megadva.
Függőleges szögnek nevezzük azt a szöget, amely ugyanabból a pontból ered, mint a fő, de pontosan az ellenkező irányba irányul. Ez tükörképet eredményez. Ez azt jelenti, hogy a függőleges szög nagysága megegyezik a fő szöggel. Viszont a függőleges szög szomszédos szöge megegyezik a fő szög szomszédos szögével. Ennek köszönhetően a főszög szomszédos szöge kiszámítható. Ehhez egyszerűen vonja ki a függőleges értéket 180 fokból, és kapja meg a főszög szomszédos szögének értékét fokban.
Ha az értéket radiánban adjuk meg, akkor a Pi számból ki kell vonni a függőleges szög értékét, mivel a teljes 180 fokos kihajtatlan szög értéke egyenlő a Pi számmal.
Hasznos cikkeinket is elolvashatja és.
1. kérdés. Milyen szögeket nevezünk szomszédosnak?
Válasz. Két szöget szomszédosnak nevezünk, ha az egyik oldaluk közös, és e szögek másik oldala egymást kiegészítő félegyenesek.
A 31. ábrán az (a 1 b) és (a 2 b) szögek szomszédosak. Közös a b oldaluk, az a 1 és a 2 oldalak pedig további félegyenesek.
2. kérdés. Bizonyítsuk be, hogy a szomszédos szögek összege 180°.
Válasz. Tétel 2.1. A szomszédos szögek összege 180°.
Bizonyíték. Legyen a szög (a 1 b) és szög (a 2 b) szomszédos szögek (lásd 31. ábra). A b sugár egy egyenes szög a 1 és a 2 oldalai között halad át. Ezért az (a 1 b) és (a 2 b) szögek összege egyenlő a kihajtott szöggel, azaz 180°. Q.E.D.
3. kérdés Bizonyítsuk be, hogy ha két szög egyenlő, akkor a szomszédos szögeik is egyenlőek.
Válasz.
A tételből 2.1
Ebből következik, hogy ha két szög egyenlő, akkor a szomszédos szögeik egyenlőek.
Tegyük fel, hogy az (a 1 b) és (c 1 d) szögek egyenlőek. Be kell bizonyítanunk, hogy az (a 2 b) és (c 2 d) szögek is egyenlőek.
A szomszédos szögek összege 180°. Ebből az következik, hogy a 1 b + a 2 b = 180° és c 1 d + c 2 d = 180°. Ezért a 2 b = 180° - a 1 b és c 2 d = 180° - c 1 d. Mivel az (a 1 b) és (c 1 d) szögek egyenlőek, azt kapjuk, hogy a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Az egyenlőségjel tranzitivitásának tulajdonságából az következik, hogy a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
4. kérdés. Melyik szöget nevezzük derékszögnek (akut, tompaszög)?
Válasz. A 90°-os szöget derékszögnek nevezzük.
A 90°-nál kisebb szöget hegyesszögnek nevezzük.
A 90°-nál nagyobb és 180°-nál kisebb szöget tompaszögnek nevezzük.
5. kérdés. Bizonyítsuk be, hogy a derékszöggel szomszédos szög derékszög.
Válasz. A szomszédos szögek összegére vonatkozó tételből az következik, hogy a derékszöggel szomszédos szög derékszög: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
6. kérdés. Milyen szögeket nevezünk függőlegesnek?
Válasz. Két szöget függőlegesnek nevezünk, ha az egyik szög oldalai a másik oldalának egymást kiegészítő félegyenesei.
7. kérdés. Bizonyítsuk be, hogy a függőleges szögek egyenlőek.
Válasz. Tétel 2.2. A függőleges szögek egyenlőek.
Bizonyíték. Legyenek (a 1 b 1) és (a 2 b 2) a megadott függőleges szögek (34. ábra). A szög (a 1 b 2) szomszédos a szöggel (a 1 b 1) és a szöggel (a 2 b 2). Innen a szomszédos szögek összegére vonatkozó tételt felhasználva arra a következtetésre jutunk, hogy az (a 1 b 1) és (a 2 b 2) szögek mindegyike kiegészíti az (a 1 b 2) szöget 180°-ra, azaz. (a 1 b 1) és (a 2 b 2) szögek egyenlőek. Q.E.D.
8. kérdés. Bizonyítsuk be, hogy ha két egyenes metszi egymást, az egyik szög derékszögű, akkor a másik három szög is derékszögű.
Válasz. Tegyük fel, hogy az AB és CD egyenesek az O pontban metszik egymást. Tegyük fel, hogy az AOD szög 90°. Mivel a szomszédos szögek összege 180°, azt kapjuk, hogy AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. A COB szög függőleges az AOD szöghöz képest, tehát egyenlők. Azaz COB szög = 90°. A COA szög függőleges és BOD szög, tehát egyenlők. Vagyis BOD szög = 90°. Így minden szög egyenlő 90°-kal, azaz mindegyik derékszög. Q.E.D.
9. kérdés. Mely vonalakat nevezzük merőlegesnek? Milyen jelet használnak a vonalak merőlegességének jelzésére?
Válasz. Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha derékszögben metszik egymást.
A vonalak merőlegességét a \(\perp\) jel jelzi. Az \(a\perp b\) bejegyzés így szól: „Az a egyenes merőleges a b vonalra.”
10. kérdés. Bizonyítsuk be, hogy az egyenes bármely pontján keresztül húzhatunk rá merőleges egyenest, és csak egyet.
Válasz. Tétel 2.3. Minden vonalon keresztül rajzolhat egy rá merőleges vonalat, és csak egyet.
Bizonyíték. Legyen a egy adott egyenes, A pedig egy adott pont rajta. Jelöljük a 1-gyel az a egyenes egyik félegyenesét A kezdőponttal (38. ábra). Vonjunk ki egy 90°-os szöget (a 1 b 1) az a 1 félegyenesből. Ekkor a b 1 sugarat tartalmazó egyenes merőleges lesz az a egyenesre.
Tegyük fel, hogy van egy másik egyenes, amely szintén átmegy az A ponton és merőleges az a egyenesre. Jelöljük c 1-gyel ennek az egyenesnek a b 1 sugárral egy félsíkban fekvő félegyenesét.
Az (a 1 b 1) és (a 1 c 1) szögek, amelyek mindegyike 90°, az a 1 félegyenesből egy félsíkban vannak elhelyezve. De a félegyenesből egy adott félsíkba csak egy 90°-os szög helyezhető be. Ezért nem lehet másik egyenes átmenni az A ponton és merőleges az a egyenesre. A tétel bebizonyosodott.
11. kérdés. Mi merőleges egy egyenesre?
Válasz. Egy adott egyenesre merőleges egy adott egyenesre merőleges egyenes szakasza, amelynek egyik vége a metszéspontjában van. A szegmens ezen végét ún alapján merőleges.
12. kérdés. Magyarázza el, miből áll az ellentmondásos bizonyítás!
Válasz. A 2.3. Tételben használt bizonyítási módszert ellentmondásos bizonyításnak nevezzük. Ez a bizonyítási módszer abból áll, hogy először a tételben foglaltakkal ellentétes feltevést teszünk. Majd okoskodva, axiómákra és bizonyított tételekre támaszkodva olyan következtetésre jutunk, amely vagy a tétel feltételeinek, vagy valamelyik axiómának, vagy egy korábban bevált tételnek ellentmond. Ennek alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a feltevésünk helytelen volt, ezért a tétel állítása igaz.
13. kérdés. Mi egy szög felezője?
Válasz. A szögfelező olyan sugár, amely a szög csúcsából indul ki, áthalad az oldalai között, és a szöget felére osztja.
Adja meg a helyes állítások számát!
1) Bármely három egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van.
2) Ha egy szög 120°, akkor a szomszédos szög 120°.
3) Ha egy pont és egy egyenes távolsága nagyobb, mint 3, akkor egy adott pontból egy egyenesre húzott bármely ferde vonal hossza nagyobb, mint 3.
Ha több állítás van, írja le a számukat növekvő sorrendben.
Megoldás.
Mindegyik állítást ellenőrizzük.
1) "Bármely három egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van" - jobb. Ha az egyeneseknek két vagy több közös pontja van, akkor ezek egybeesnek. (Lásd: com-men-ta-rii to za-da-che.)
2) "Ha egy szög 120°, akkor a szomszédos 120°" - rossz. A szomszédos szögek összege 180°.
3) "Ha egy pont és egy egyenes távolsága nagyobb, mint 3, akkor egy adott pontból egy egyenesre húzott bármely ferde vonal hossza nagyobb, mint 3 - jobb. Mert a távolság a legrövidebb a vágástól az egyenesig, és minden ferde hosszabb.
Válasz: 13.
Válasz: 13
· Feladat prototípus ·
Vendég 19.02.2015 12:42
Az Atanasyan L.S és munkatársai „Geometry 7--9”, „Enlightenment”, 2014, 1. fejezet 1. bekezdése a következőket tartalmazza.
1) A planimetria axiómája: bármely két ponton keresztül lehet egyenest húzni, és ráadásul csak egyet.
2) Az iskolai kurzusban elfogadott álláspont: amikor azt mondjuk, hogy „két pont”, „három pont”, „két vonal” stb., akkor feltételezzük, hogy ezek a pontok és vonalak különböznek egymástól.
A következtetés, amit a tanulónak meg kell tanulnia, az az, hogy két egyenesnek vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja.
Ezért az 1. kérdésre adott válasznak „igaznak” kell lennie. Ha mindhárom sor egybeesik, akkor ez egy sor, nem három.
Petr Murzin
Helyes lenne a "bármelyik három" feltételbe írni különféle az egyeneseknek legfeljebb egy közös pontja van", de ez nem igaz.
Vendég 10.04.2015 16:38
Kedves szerkesztő!
Egyetértek a Vendég 2015.02.19-én kelt észrevételével a probléma 1. pontjában foglalt nyilatkozat érdemére vonatkozóan: az említett „Geometria 7-9” tankönyvben (1. bekezdés 1. pont, 1. megjegyzés) ez áll: „ a továbbiakban, ha azt mondjuk, hogy „két pont”, „három pont”, „két vonal” stb., azt feltételezzük, hogy ezek a pontok és vonalak különböznek egymástól.
Figyelembe véve a fentieket, az oldalon a probléma megoldása során (1. pont részben) megfogalmazott érvelés hibás, mivel a „háromsoros” probléma megfogalmazása arra utal, hogy ez a három vonal különbözik (azaz nem egyezhet!) . Három egyenes (különböző, ami az alapértelmezett!): vagy van egy közös pontja (amely mindhárom egyeneshez tartozik) - abban az esetben, ha három egyenes metszi egymást egy pontban; vagy nincs közös pontjuk.
Ezt a következtetést erősíti meg az említett tankönyv 1. bekezdésének 1. bekezdésének következtetése: „két egyenesnek vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja”. Ellentmondásos bizonyítás: tegyük fel, hogy három egyenesnek több közös pontja van; ezért ezen egyenesek közül kettőnek legalább egynél több közös pontja van (mivel ennek a két egyenesnek a közös pontjai azok lesznek, amelyek mindhárom egyenesre közösek); de ez ellentmond a tankönyvi következtetésnek, miszerint két sornak vagy csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja.
Üdvözlettel, vendég.
Támogatás
