집 건축 자재 산술 진행 정의. 예제를 이용한 산술 진행

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산술 진행 정의. 예제를 이용한 산술 진행

산술 진행. 상세한 이론예시 포함 (2019)

번호 순서

자, 앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:
숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자가 있습니다). 우리가 숫자를 아무리 많이 써도 어느 것이 첫 번째이고 어느 것이 두 번째인지 항상 말할 수 있으며 마지막까지 계속해서 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서
예를 들어, 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 시퀀스의 한 번호에만 적용됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(번째 숫자와 마찬가지로)는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 수열의 번째 항이라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

우리가 가지고 있다고 가정 해 봅시다 번호 순서, 인접한 숫자 사이의 차이는 동일하고 같습니다.
예를 들어:

등.
이 수열을 등차수열이라고 합니다.
"진보"라는 용어는 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 넓은 의미에서 무한한 수열로 이해되었습니다. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인이 연구한 연속 비율 이론에서 옮겨졌습니다.

이것은 숫자 시퀀스로, 각 구성원은 동일한 숫자에 추가된 이전 구성원과 동일합니다. 이 숫자를 등차수열의 차이라고 하며 지정합니다.

어떤 숫자 시퀀스가 산술 수열이고 어떤 숫자 시퀀스가 아닌지 확인해보세요.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았어요? 답변을 비교해 보겠습니다.
~이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 수열()로 돌아가서 그 번째 항의 값을 찾아보겠습니다. 존재한다 둘찾는 방법.

1. 방법

진행의 번째 항에 도달할 때까지 이전 값에 진행 번호를 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명된 산술 수열의 번째 항은 다음과 같습니다.

2. 방법

진행의 3번째 항의 가치를 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합계를 계산하는 데는 한 시간 이상이 걸리며, 숫자를 더할 때 실수를 하지 않을 것이라는 것은 사실이 아닙니다.
물론, 수학자들은 이전 값에 수열의 차이를 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오... 확실히 당신은 이미 다음과 같은 특정 패턴을 발견했습니다.

예를 들어, 이 산술 수열의 세 번째 항의 값이 무엇으로 구성되어 있는지 살펴보겠습니다.

다시 말해서:

이런 식으로 주어진 산술 진행의 구성원 값을 직접 찾아보십시오.

계산하셨나요? 메모를 답변과 비교하세요.

이전 값에 산술 진행 조건을 순차적으로 추가하면 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
"이인증"을 시도해보자 이 공식- 그녀를 데려오자 일반적인 형태그리고 우리는 다음을 얻습니다:

산술 진행 방정식.

산술 진행은 증가하거나 감소할 수 있습니다.

증가- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생된 공식은 산술 수열의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실제로 이를 확인해 보겠습니다.
우리는 다음으로 구성된 산술진행을 얻었습니다. 다음 숫자: 공식을 사용하여 계산하면 이 산술 수열의 번째 숫자가 무엇인지 확인해 보겠습니다.

그때부터:

따라서 우리는 수식이 감소 및 증가하는 산술 진행 모두에서 작동한다고 확신합니다.
이 산술 수열의 번째 및 번째 항을 직접 찾아보세요.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술급수 속성

문제를 더 복잡하게 만들어 보겠습니다. 산술 진행의 속성을 도출해 보겠습니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 가정해 보겠습니다.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
쉽습니다. 이미 알고 있는 공식에 따라 말하고 계산을 시작하면 됩니다.

아, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 이를 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻는다는 것이 밝혀졌습니다. 진행 상황이 작은 값으로 표시되면 복잡한 것은 없지만 조건에 숫자가 주어지면 어떻게 될까요? 동의합니다. 계산에 실수가 있을 수 있습니다.
이제 어떤 공식을 사용해도 이 문제를 한 단계로 해결할 수 있는지 생각해 보세요. 물론 그렇습니다. 이것이 바로 우리가 지금 밝히려고 하는 것입니다.

산술 수열의 필수 항을 우리에게 알려진 공식으로 표시하겠습니다. 이것은 처음에 도출한 공식과 동일합니다.
, 그 다음에:

진행의 이전 항은 다음과 같습니다.
진행의 다음 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 후속 용어를 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 및 후속 항의 합은 그 사이에 위치한 진행 항의 이중 값인 것으로 나타났습니다. 즉, 이전 값과 연속 값이 알려진 진행 항의 값을 찾으려면 해당 값을 더하고 나누어야 합니다.

맞아요, 우리는 같은 번호를 받았어요. 자료를 확보하자. 진행 상황의 가치를 직접 계산해 보세요. 전혀 어렵지 않습니다.

잘하셨어요! 당신은 진행에 대해 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자들의 왕"인 칼 가우스(Karl Gauss)가 쉽게 추론한 공식은 단 하나뿐입니다.

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 수업에서 학생들의 작업을 확인하느라 바쁜 한 교사가 수업 시간에 다음 문제를 던졌습니다. 자연수에서 까지(다른 출처에 따르면 최대) 포함.” 1분 후에 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 문제에 정답을 냈고, 무모한 반 친구들 대부분은 오랜 계산 끝에 잘못된 결과를 받았을 때 교사가 얼마나 놀랐을지 상상해 보십시오...

젊은 칼 가우스(Carl Gauss)는 당신도 쉽게 알아차릴 수 있는 특정한 패턴을 발견했습니다.
-번째 항으로 구성된 산술 수열이 있다고 가정해 보겠습니다. 우리는 산술 수열의 이러한 항들의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만, 가우스가 찾고 있던 것처럼 해당 항의 합을 찾아야 하는 작업이라면 어떻게 될까요?

우리에게 주어진 진행 상황을 묘사해 보겠습니다. 강조 표시된 숫자를 자세히 살펴보고 이를 사용하여 다양한 수학 연산을 수행해 보세요.

시도해 보셨나요? 무엇을 알아차렸나요? 오른쪽! 그들의 합계는 동일합니다

이제 우리에게 주어진 진행 과정에서 그러한 쌍이 총 몇 개 있습니까? 물론 전체 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 수열의 두 항의 합이 동일하고 유사한 쌍이 동일하다는 사실을 바탕으로 총합이 다음과 같다는 것을 얻습니다.
.
따라서 산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

어떤 문제에서는 3번째 항을 모르지만 수열의 차이는 알 수 있습니다. 합 공식에 번째 항의 공식을 대입해 보세요.
무엇을 얻었나요?

잘하셨어요! 이제 Carl Gauss에게 요청한 문제로 돌아가 보겠습니다. th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇과 같고 th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산해 보세요.

얼마를 받았나요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 발견했습니다. 그게 당신이 결정한 건가요?

사실, 산술급열의 항의 합에 대한 공식은 3세기에 고대 그리스 과학자 디오판토스에 의해 증명되었으며, 이 기간 내내 재치있는 사람들산술진행의 특성을 최대한 활용했습니다.
예를 들어 상상해 보세요. 고대 이집트그리고 당시 가장 큰 건설 프로젝트-피라미드 건설... 사진은 그 한쪽을 보여줍니다.

여기서 진행 상황은 어디에 있습니까? 주의 깊게 보고 피라미드 벽의 각 줄에 있는 모래 블록 수의 패턴을 찾으세요.

산술진행은 왜 안되나요? 블록 벽돌을 바닥에 배치할 경우 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록 수를 계산합니다. 모니터에서 손가락을 움직이는 동안 숫자를 세지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 관해 우리가 말한 모든 것을 기억하시나요?

이 경우 진행은 다음과 같습니다.
산술진행의 차이.
산술 진행의 항 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체해 보겠습니다(두 가지 방법으로 블록 수 계산).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수 있습니다. 얻은 값을 피라미드에 있는 블록 수와 비교하세요. 알았어요? 잘하셨습니다. 산술 수열의 n번째 항의 합을 마스터하셨습니다.
물론 바닥의 블록으로 피라미드를 만들 수는 없지만? 이 조건으로 벽을 쌓는 데 몇 개의 모래 벽돌이 필요한지 계산해 보세요.
당신은 관리 했습니까?
정답은 블록입니다.

훈련

작업:

마샤는 여름을 맞아 몸매를 가꾸고 있습니다. 매일 그녀는 스쿼트 횟수를 늘립니다. 마샤가 첫 훈련 세션에서 스쿼트를 했다면 일주일에 몇 번이나 스쿼트를 하게 될까요?
에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
로그를 저장할 때 로거는 각 로그를 쌓는 방식으로 로그를 쌓습니다. 상위 레이어이전 로그보다 로그가 하나 적습니다. 벽돌의 기초가 통나무라면 하나의 벽돌에는 몇 개의 통나무가 있습니까?

답변:

산술 수열의 매개변수를 정의해 보겠습니다. 이 경우
(주 = 일).
답변: 2주 후에 마샤는 하루에 한 번씩 스쿼트를 해야 합니다.
첫 번째 홀수, 마지막 숫자.
산술진행의 차이.
의 홀수 개수는 절반입니다. 그러나 등차수열의 번째 항을 구하는 공식을 사용하여 이 사실을 확인해 보겠습니다.
숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
사용 가능한 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.
답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 같습니다.
피라미드에 관한 문제를 기억해 봅시다. 우리의 경우 a 의 경우 각 최상위 레이어가 하나의 로그만큼 줄어들기 때문에 전체적으로 여러 개의 레이어가 있습니다.
데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.
답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

요약하자면

- 인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스. 증가하거나 감소할 수 있습니다.
공식 찾기산술 수열의 번째 항은 수식 - 으로 작성됩니다. 여기서 는 수열의 숫자 개수입니다.
산술수열 멤버의 속성- - 진행 중인 숫자의 수는 어디에 있습니까?
산술진행 항의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다:

, 값의 개수는 어디에 있습니까?

산술 진행. 평균 수준

번호 순서

앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:

숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다. 그러나 우리는 항상 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 즉, 번호를 매길 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서숫자 집합으로, 각 숫자에는 고유한 숫자가 할당될 수 있습니다.

즉, 각 숫자는 특정 자연수 및 고유한 숫자와 연관될 수 있습니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

수열의 번째 항을 어떤 공식으로 지정할 수 있으면 매우 편리합니다. 예를 들어, 수식

순서를 설정합니다.

그리고 수식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 산술 수열은 수열입니다(여기서 첫 번째 항은 같고 차이는 입니다). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

우리는 반복되는 공식을 호출합니다. 여기서, 번째 항을 찾으려면 이전 항목 또는 여러 이전 항목을 알아야 합니다.

예를 들어, 이 공식을 사용하여 수열의 번째 항을 찾으려면 이전 9개 항을 계산해야 합니다. 예를 들어, 그렇게 놔두세요. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌나요?

각 줄에 숫자를 곱하고 더합니다. 어느 것? 매우 간단합니다. 현재 회원의 숫자에서 다음을 뺀 값입니다.

이제 훨씬 더 편리해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 수열에서 n 번째 항의 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

해결책:

첫 번째 항은 동일합니다. 차이점은 무엇입니까? 내용은 다음과 같습니다.

(이것이 수열의 연속 항의 차이와 동일하기 때문에 차이라고 부르는 이유입니다.)

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 100번째 항은 다음과 같습니다:

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면, 위대한 수학자 칼 가우스(Carl Gauss)는 9살 소년으로서 이 금액을 몇 분 만에 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 끝에서 두 번째 숫자의 합도 같고, 끝에서 세 번째와 세 번째 숫자의 합도 같다는 사실을 알아냈습니다. 그러한 쌍은 총 몇 개입니까? 맞습니다. 모든 숫자의 정확히 절반입니다. 그래서,

산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예:
모두의 합을 구해 보세요 두 자리 숫자, 배수.

해결책:

첫 번째 숫자는 이것이다. 각 후속 숫자는 이전 숫자를 더하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심 있는 숫자는 첫 번째 항과 차이로 산술급수를 형성합니다.

이 진행에 대한 번째 항의 공식:

모두 두 자리 숫자여야 한다면 수열에는 몇 개의 항이 있습니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계는 다음과 같습니다.

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

매일 운동선수는 전날보다 더 많은 미터를 달립니다. 그가 첫날에 km m을 달렸다면 일주일에 총 몇 킬로미터를 달릴 것인가?
자전거 타는 사람은 전날보다 매일 더 많은 킬로미터를 이동합니다. 첫날 그는 킬로미터를 여행했습니다. 1km를 이동하려면 며칠이 소요됩니까? 여행의 마지막 날에 그는 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
매장의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 하락합니다. 냉장고 가격이 루블로 판매되었다가 6년 후 루블로 판매된 경우 냉장고 가격이 매년 얼마나 감소했는지 확인합니다.

답변:

여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 해당 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우에는 (주 = 일)입니다. 이 수열의 첫 번째 항의 합을 결정해야 합니다.
.
답변:
여기에는 다음과 같은 내용이 나와 있습니다. , 을(를) 찾아야 합니다.
분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
.
다음 값을 대체하십시오.
루트는 분명히 맞지 않으므로 대답은 다음과 같습니다.
번째 항의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 경로를 계산해 보겠습니다.
(km).
답변:
주어진 값: . 찾다: .
이보다 더 간단할 수는 없습니다.
(장애).
답변:

산술 진행. 주요 사항에 대해 간략하게

인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술적 진행은 증가() 및 감소()가 될 수 있습니다.

예를 들어:

등차수열의 n번째 항을 구하는 공식

는 수식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행 중인 숫자의 수입니다.

산술수열 멤버의 속성

이웃 용어가 알려진 경우 진행의 용어를 쉽게 찾을 수 있습니다. 진행의 숫자 수는 어디에 있습니까?

산술진행의 항의 합

금액을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다.

값의 개수는 어디에 있습니까?

예, 예: 산술 진행은 장난감이 아닙니다 :)

글쎄, 친구들, 만약 당신이 이 글을 읽고 있다면, 내부 상한 증거는 당신이 아직 산술 진행이 무엇인지 모르지만 당신은 정말로 (아니, 그렇게: SOOOOO!) 알고 싶어한다는 것을 말해줍니다. 그러므로 긴 서론으로 여러분을 괴롭히지 않고 바로 본론으로 들어가겠습니다.

첫째, 몇 가지 예입니다. 여러 숫자 세트를 살펴보겠습니다.

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

이 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에는 아무것도 아닙니다. 그런데 사실 뭔가가 있어요. 즉: 각각의 다음 요소는 이전 요소와 동일한 숫자만큼 다릅니다..

스스로 판단하십시오. 첫 번째 세트는 단순히 연속된 숫자이며, 다음 각 숫자는 이전 숫자보다 1 더 많습니다. 두 번째 경우에는 인접한 숫자의 차이가 이미 5이지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 뿌리가 모두 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ 및 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(그리고 이 숫자가 비합리적이라는 것을 두려워하지 마십시오).

따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내려 보겠습니다.

정의. 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 수열이라고 합니다. 숫자가 서로 다른 정도를 진행 차이라고 하며 문자 $d$로 표시하는 경우가 가장 많습니다.

표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 자체이고, $d$는 그 차이입니다.

그리고 한 번에 커플 중요한 코멘트. 첫째, 진행 상황만 고려됩니다. 주문하다숫자의 순서: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 그 외에는 아무것도 읽을 수 없습니다. 번호는 재배열되거나 교체될 수 없습니다.

둘째, 수열 자체는 유한할 수도 있고 무한할 수도 있습니다. 예를 들어, 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한 산술 수열입니다. 그러나 정신으로 무언가를 적는다면 (1; 2; 3; 4; ...) - 이것은 이미 끝없는 발전. 4개 뒤의 줄임표는 앞으로 더 많은 숫자가 나올 것임을 암시하는 것 같습니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)

또한 진행 상황이 증가하거나 감소할 수 있다는 점에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 동일한 세트(1; 2; 3; 4; ...)가 증가하는 것을 보았습니다. 다음은 진행 감소의 예입니다.

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

그래 그래: 마지막 예지나치게 복잡해 보일 수도 있습니다. 하지만 나머지는 이해하실 것 같아요. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술진행을 다음과 같이 부릅니다.

각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.

반대로, 각 후속 요소가 이전 요소보다 작으면 감소합니다.

또한 동일한 반복 번호로 구성된 소위 "고정" 시퀀스도 있습니다. 예를 들어 (3; 3; 3; ...)입니다.

남은 질문은 하나뿐입니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 어떻게 구별할 수 있을까요? 다행히도 여기에 있는 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:

$d \gt 0$이면 진행률이 증가합니다.
$d \lt 0$이면 진행이 확실히 감소하고 있습니다.
마지막으로 $d=0$의 경우가 있습니다. 이 경우 전체 진행이 고정 시퀀스로 축소됩니다. 동일한 숫자: (1; 1; 1; 1; ...) 등

위에 주어진 세 가지 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 봅시다. 이렇게 하려면 인접한 두 요소(예: 첫 번째와 두 번째)를 가져와 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 보일 것입니다:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

보시다시피, 세 가지 경우 모두 그 차이는 실제로 음수로 나타났습니다. 이제 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 차례입니다.

진행 조건 및 반복 공식

시퀀스의 요소는 교체될 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽$\]

이 세트의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 첫 번째 멤버, 두 번째 멤버 등 숫자로 표시됩니다.

게다가, 우리가 이미 알고 있듯이, 진행의 이웃 용어는 다음 공식과 관련됩니다:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

간단히 말해서, 수열의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 차이 $d$를 알아야 합니다. 이 공식을 반복이라고 합니다. 이 공식을 사용하면 이전 공식(및 실제로 모든 이전 공식)을 알아야만 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이는 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 번째 항과 차이로 줄이는 더 교활한 공식이 있습니다.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

아마 여러분은 이미 이 공식을 접한 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고 서적과 솔루션 서적에 이를 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 합리적인 수학 교과서에서 그것은 첫 번째 중 하나입니다.

하지만 조금 연습해 보시길 권합니다.

작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 수열 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 적으세요.

해결책. 따라서 우리는 첫 번째 항 $((a)_(1))=8$과 수열의 차이 $d=-5$를 알고 있습니다. 방금 주어진 공식을 사용하고 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$을 대체해 보겠습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(정렬)\]

답: (8; 3; −2)

그게 다야! 참고: 진행 상황이 감소하고 있습니다.

물론 $n=1$은 대체될 수 없습니다. 첫 번째 항은 이미 우리에게 알려져 있습니다. 그러나 통일성을 대체함으로써 우리는 첫 번째 항에서도 우리의 공식이 작동한다고 확신했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.

작업 번호 2. 일곱 번째 항이 -40이고 열일곱 번째 항이 -50인 경우 산술 수열의 처음 세 항을 적습니다.

해결책. 익숙한 용어로 문제 조건을 작성해 보겠습니다.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \오른쪽.\]

이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템 기호를 넣었습니다. 이제 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(시스템이 있으므로 이렇게 할 권리가 있습니다) 다음과 같은 결과를 얻습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(정렬)\]

진행 차이를 찾는 것이 얼마나 쉬운지! 남은 것은 발견된 숫자를 시스템의 방정식에 대체하는 것입니다. 예를 들어 첫 번째에서는 다음과 같습니다.

\[\begin(행렬) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(행렬)\]

이제 첫 번째 항과 차이점을 알았으니 두 번째와 세 번째 항을 찾아야 합니다.

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(정렬)\]

준비가 된! 문제가 해결되었습니다.

답: (−34; −35; −36)

우리가 발견한 진행의 흥미로운 속성에 주목하세요. $n$번째 항과 $m$번째 항을 취하고 서로 빼면 $n-m$ 숫자를 곱한 진행의 차이를 얻습니다.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

단순하지만 매우 유용한 재산, 반드시 알아야 할 사항 - 도움을 받으면 많은 진행 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 이에 대한 명확한 예는 다음과 같습니다.

작업 번호 3. 등차수열의 다섯 번째 항은 8.4이고, 열 번째 항은 14.4입니다. 이 수열의 15번째 항을 찾아보세요.

해결책. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음을 참고하세요.

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(정렬)\]

그러나 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ 조건에 따라 $5d=6$이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(정렬)\]

답: 20.4

그게 다야! 우리는 방정식 시스템을 만들고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄만으로 해결되었습니다.

이제 다른 유형의 문제를 살펴보겠습니다. 진행의 부정 및 긍정적 용어를 검색하는 것입니다. 진행이 증가하고 첫 번째 용어가 부정적이면 조만간 긍정적인 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 감소하는 진행 조건은 조만간 음수가 될 것입니다.

동시에 요소를 순차적으로 살펴봄으로써 이 순간을 "정면"으로 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모르면 계산을 위해 여러 장의 종이가 필요한 방식으로 작성됩니다. 즉, 답을 찾는 동안 잠들기만 하면 됩니다. 그러므로 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결해 보도록 하겠습니다.

작업 번호 4. 산술 진행에 부정적인 용어가 몇 개 있습니까? -38.5; -35.8; ...?

해결책. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$에서 차이점을 즉시 찾을 수 있습니다.

차이가 양수이므로 진행이 증가한다는 점에 유의하세요. 첫 번째 항은 음수이므로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 발견하게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.

용어의 부정성이 얼마나 오랫동안(즉, 자연수 $n$까지) 남아 있는지 알아봅시다.

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \맞습니다. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(정렬)\]

마지막 줄에는 설명이 필요합니다. 따라서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$을 알고 있습니다. 반면에 우리는 숫자의 정수 값(또한: $n\in \mathbb(N)$)에만 만족하므로 허용되는 가장 큰 숫자는 정확히 $n=15$이며 어떤 경우에도 16은 아닙니다. .

작업 번호 5. 산술수열에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 수열의 첫 번째 긍정적 항의 수를 찾으세요.

이는 이전 문제와 정확히 동일한 문제이지만 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 이웃 용어는 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$로 알려져 있으므로 진행의 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

또한, 다섯 번째 항을 첫 번째 항과 차이를 통해 표준 공식을 사용하여 표현해 보겠습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(정렬)\]

이제 이전 작업과 유사하게 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에 양수가 나타날지 알아봅시다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min ))=56. \\ \end(정렬)\]

이 부등식에 대한 최소 정수 해는 숫자 56입니다.

참고: 에서 마지막 작업모든 것이 엄격한 불평등으로 귀결되었으므로 $n=55$ 옵션은 우리에게 적합하지 않습니다.

이제 간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 더 복잡한 문제로 넘어가겠습니다. 하지만 먼저 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 연구해 보겠습니다. 이는 미래에 많은 시간과 불평등 셀을 절약해 줄 것입니다. :)

산술 평균 및 동일 들여쓰기

증가하는 산술 수열 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려해 봅시다. 수직선에 표시해 봅시다:

수직선에서의 산술수열의 조건

나는 임의의 용어 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$를 구체적으로 표시했지만 일부는 $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 이제 제가 말씀드릴 규칙은 모든 "세그먼트"에 동일하게 적용되기 때문입니다.

그리고 규칙은 매우 간단합니다. 반복되는 공식을 기억하고 표시된 모든 용어에 대해 적어 보겠습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(정렬)\]

그러나 이러한 동등성은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(정렬)\]

그럼 어쩌죠? 그리고 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $에서 같은 거리에 있다는 사실 . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n)에서도 제거됩니다. )$는 동일한 거리에서 $2d$와 같습니다. 우리는 무한히 계속할 수 있지만 그 의미는 그림으로 잘 설명됩니다.

진행의 항은 중심으로부터 같은 거리에 있습니다.

이것이 우리에게 무엇을 의미합니까? 이는 이웃 숫자가 알려진 경우 $((a)_(n))$를 찾을 수 있음을 의미합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

우리는 훌륭한 진술을 도출했습니다: 산술 수열의 모든 항은 이웃 항의 산술 평균과 같습니다! 게다가 $((a)_(n))$에서 한 단계가 아니라 $k$ 단계만큼 왼쪽과 오른쪽으로 뒤로 물러날 수 있으며 공식은 여전히 정확합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

저것들. $((a)_(100))$ 및 $((a)_(200))$을 알고 있으면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. 왜냐하면 $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻 보면 이 사실이 우리에게 유용한 어떤 것도 주지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 산술평균을 사용하도록 특별히 고안된 문제가 많습니다. 구경하다:

작업 번호 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$가 연속되는 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 수열(표시된 순서대로).

해결책. 이러한 숫자는 수열의 구성원이므로 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중심 요소$x+1$은 이웃 요소로 표현될 수 있습니다.

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(정렬)\]

클래식하게 나왔어요 이차 방정식. 그 뿌리는 $x=2$ 및 $x=-3$ 입니다.

답: -3; 2.

작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$가 산술급수를 이루는 $$의 값을 (순서대로) 찾아보세요.

해결책. 다시 이웃항의 산술평균을 통해 중간항을 표현해 보겠습니다.

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \오른쪽.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(정렬)\]

다시 이차 방정식. 그리고 다시 두 개의 루트가 있습니다: $x=6$ 및 $x=1$.

답: 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자가 나오거나 찾은 답변의 정확성을 완전히 확신할 수 없는 경우, 문제를 올바르게 해결했는지 확인할 수 있는 훌륭한 기술이 있습니다.

6번 문제에서 -3과 2의 답을 받았다고 가정해 보겠습니다. 이 답이 맞는지 어떻게 확인할 수 있나요? 그냥 원래 상태에 연결하고 무슨 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 산술 수열을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. $x=-3$을 대체해 보겠습니다.

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]

우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 50과 52의 차이는 의심할 여지 없이 산술급수입니다. $x=2$에 대해서도 같은 일이 발생합니다.

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]

다시 진행되지만 차이는 27입니다. 따라서 문제는 올바르게 해결되었습니다. 원하는 분은 두 번째 문제를 직접 확인할 수 있지만 바로 말씀 드리겠습니다. 거기에서도 모든 것이 정확합니다.

일반적으로 마지막 문제를 해결하는 동안 우리는 또 다른 문제를 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 할 사항은 다음과 같습니다.

두 번째 숫자가 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 산술 평균이 되는 세 숫자가 있으면 이 숫자는 산술급수를 형성합니다.

앞으로 이 진술을 이해하면 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 문자 그대로 "구축"할 수 있게 될 것입니다. 그러나 그러한 "구성"에 참여하기 전에 우리는 이미 논의한 내용과 직접적으로 이어지는 또 하나의 사실에 주의를 기울여야 합니다.

요소 그룹화 및 합산

다시 숫자 축으로 돌아가 보겠습니다. 아마도 그 사이에 진행 과정의 여러 구성원이 있을 것입니다. 다른 회원들보다 훨씬 가치가 있습니다.

수직선에는 6개의 요소가 표시되어 있습니다.

$((a)_(n))$과 $d$를 통해 “왼쪽 꼬리”를, $((a)_(k))$와 $d$를 통해 “오른쪽 꼬리”를 표현해 보겠습니다. 매우 간단합니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(정렬)\]

이제 다음 금액이 동일하다는 점에 유의하세요.

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]

간단히 말해서, 진행의 두 요소를 시작으로 고려하고 총합이 $S$라는 숫자와 동일한 다음 이러한 요소에서 반대 방향으로(서로를 향하거나 그 반대 방향으로 이동하기 시작하는 경우), 그 다음에 우리가 우연히 발견하게 될 요소들의 합 또한 동일할 것입니다$S$. 이는 그래픽으로 가장 명확하게 표현될 수 있습니다.

동일한 들여쓰기는 동일한 양을 제공합니다.

이 사실을 이해하면 근본적으로 더 많은 문제를 해결할 수 있습니다. 높은 레벨위에서 고려한 것보다 어려움이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 12번째 항의 곱이 가장 작은 수열의 차이를 구합니다.

해결책. 우리가 알고 있는 모든 것을 적어보자:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]

따라서 우리는 진행 차이 $d$를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품은 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이점을 중심으로 구축됩니다.

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \왼쪽(d+66 \오른쪽)\cdot \왼쪽(d+6 \오른쪽). \끝(정렬)\]

탱크에 있는 사람들의 경우: 두 번째 브래킷에서 총 승수 11을 가져왔습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 2차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 생각해 보세요. 그래프는 가지가 위로 올라가는 포물선이 됩니다. 대괄호를 확장하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

보시다시피, 가장 높은 항의 계수는 11입니다. 이는 양수이므로 실제로 위쪽 가지가 있는 포물선을 다루고 있습니다.

일정 이차 함수- 포물선
참고: 이 포물선은 가로좌표 $((d)_(0))$가 있는 꼭지점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)를 사용하여 이 가로좌표를 계산할 수 있지만, 참고하는 것이 훨씬 더 합리적입니다. 원하는 정점이 포물선의 축 대칭에 있으므로 점 $((d)_(0))$는 방정식 $f\left(d \right)=0$의 근에서 등거리에 있습니다.

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(정렬)\]

그렇기 때문에 나는 괄호를 여는 데 특별히 서두르지 않았습니다. 원래 형태에서는 뿌리를 찾기가 매우 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로좌표는 평균과 같습니다. 산술 숫자−66 및 −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

발견된 숫자는 우리에게 무엇을 제공합니까? 이를 통해 필요한 제품이 필요합니다. 가장 작은 값(그런데 우리는 $((y)_(\min ))$를 계산한 적이 없습니다. 이것은 우리에게 필요하지 않습니다. 동시에 이 숫자는 원래 진행의 차이입니다. 우리는 답을 찾았습니다. :)

답: −36

작업 번호 9. 숫자 $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 이 숫자와 함께 산술 수열을 형성합니다.

해결책. 기본적으로 우리는 첫 번째와 마지막 숫자가 이미 알려진 5개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. 누락된 숫자를 변수 $x$, $y$ 및 $z$로 표시해 보겠습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$ 및 $z$와 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리에 있습니다. (1)( 6)$. 그리고 현재 숫자 $x$ 및 $z$에서 $y$를 얻을 수 없다면 진행이 끝나면 상황이 달라집니다. 산술 평균을 기억해 봅시다.

이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 $-\frac(1)(2)$와 방금 찾은 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그렇기 때문에

비슷한 추론을 사용하여 나머지 숫자를 찾습니다.

준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입되어야 하는 순서대로 답안지에 적어 봅시다.

답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

작업 번호 10. 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째, 마지막 숫자의 합이 56이라는 것을 알고 있는 경우 숫자 2와 42 사이에 이 숫자와 함께 산술 수열을 형성하는 여러 숫자를 삽입합니다.

해결책. 더 나아가 어려운 일, 그러나 이는 산술 평균을 통해 이전과 동일한 방식에 따라 해결됩니다. 문제는 얼마나 많은 숫자를 입력해야 하는지 정확히 알 수 없다는 것입니다. 따라서 모든 것을 삽입한 후에는 정확히 $n$ 숫자가 있고 첫 번째 숫자는 2이고 마지막 숫자는 42라고 확실하게 가정해 보겠습니다. 이 경우 필요한 산술 진행은 다음 형식으로 표현될 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

그러나 숫자 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$는 가장자리의 숫자 2와 42에서 서로 한 단계씩 얻어지며, 즉. . 시퀀스의 중앙으로 이동합니다. 그리고 이것은 다음을 의미합니다

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

그러나 위에 작성된 표현식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(정렬)\]

$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행의 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \end(정렬)\]

남은 것은 나머지 항을 찾는 것입니다.

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(정렬)\]

따라서 이미 9번째 단계에서 우리는 시퀀스의 왼쪽 끝인 숫자 42에 도달하게 됩니다. 전체적으로 7개의 숫자만 삽입해야 했습니다: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

진행에 관한 단어 문제

결론적으로 나는 비교적 간단한 몇 가지 문제를 고려하고 싶다. 글쎄요, 아주 간단합니다. 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 내용을 읽지 않은 대부분의 학생들에게는 이러한 문제가 어려워 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 이는 OGE 및 수학 통합 상태 시험에 나타나는 문제 유형이므로 숙지하는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했으며, 다음 달에는 전월보다 14개의 부품을 더 생산했습니다. 팀은 11월에 몇 개의 부품을 생산했습니까?

해결책. 분명히, 월별로 나열된 부품 수는 증가하는 산술 진행을 나타냅니다. 게다가:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

11월은 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정이다.

작업 번호 12. 제본 워크숍은 1월에 216권을 제본했으며, 다음 달에는 전월보다 4권을 더 제본했습니다. 12월 워크숍에서는 몇 권의 책을 제본했나요?

해결책. 모두 같은:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

12월은 한 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾고 있습니다.

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

이것이 정답입니다. 12월에는 260권이 제본됩니다.

글쎄요, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산수 진행에서 "젊은 투사 과정"을 성공적으로 완료하셨습니다. 진행 합계에 대한 공식과 그에 따른 중요하고 매우 유용한 결과를 연구할 다음 강의로 안전하게 넘어갈 수 있습니다.

첫 번째 수준

산술 진행. 예시를 포함한 상세한 이론 (2019)

번호 순서

번호 순서
예를 들어, 시퀀스의 경우:

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스가 있다고 가정해 보겠습니다.
예를 들어:

이것은 숫자 시퀀스로, 각 구성원은 동일한 숫자에 추가된 이전 구성원과 동일합니다. 이 숫자를 등차수열의 차이라고 하며 지정합니다.

어떤 숫자 시퀀스가 산술 수열이고 어떤 숫자 시퀀스가 아닌지 확인해보세요.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았어요? 답변을 비교해 보겠습니다.
~이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 수열()로 돌아가서 그 번째 항의 값을 찾아보겠습니다. 존재한다 둘찾는 방법.

1. 방법

진행의 번째 항에 도달할 때까지 이전 값에 진행 번호를 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명된 산술 수열의 번째 항은 다음과 같습니다.

2. 방법

예를 들어, 이 산술 수열의 세 번째 항의 값이 무엇으로 구성되어 있는지 살펴보겠습니다.

다시 말해서:

이런 식으로 주어진 산술 진행의 구성원 값을 직접 찾아보십시오.

계산하셨나요? 메모를 답변과 비교하세요.

이전 값에 산술 진행 조건을 순차적으로 추가하면 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 이를 일반적인 형식으로 표현하고 다음을 얻습니다.

산술 진행 방정식.

산술 진행은 증가하거나 감소할 수 있습니다.

증가- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 용어의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생된 공식은 산술 수열의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실제로 이를 확인해 보겠습니다.
다음 숫자로 구성된 산술 수열이 제공됩니다. 공식을 사용하여 계산하면 이 산술 수열의 번째 숫자가 무엇인지 확인해 보겠습니다.

그때부터:

따라서 우리는 수식이 감소 및 증가하는 산술 진행 모두에서 작동한다고 확신합니다.
이 산술 수열의 번째 및 번째 항을 직접 찾아보세요.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술급수 속성

아, 그럼:

산술 수열의 필수 항을 우리에게 알려진 공식으로 표시하겠습니다. 이것은 처음에 도출한 공식과 동일합니다.
, 그 다음에:

진행의 이전 항은 다음과 같습니다.
진행의 다음 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 후속 용어를 요약해 보겠습니다.

맞아요, 우리는 같은 번호를 받았어요. 자료를 확보하자. 진행 상황의 가치를 직접 계산해 보세요. 전혀 어렵지 않습니다.

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 수업에서 학생들의 작업을 확인 하느라 바쁜 교사는 수업 시간에 다음 과제를 할당했습니다. "(다른 출처에 따라)부터 (다른 출처에 따라)까지의 모든 자연수의 합을 계산하십시오." 1분 후에 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 문제에 정답을 냈고, 무모한 반 친구들 대부분은 오랜 계산 끝에 잘못된 결과를 받았을 때 교사가 얼마나 놀랐을지 상상해 보십시오...

어떤 문제에서는 3번째 항을 모르지만 수열의 차이는 알 수 있습니다. 합 공식에 번째 항의 공식을 대입해 보세요.
무엇을 얻었나요?

얼마를 받았나요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 발견했습니다. 그게 당신이 결정한 건가요?

실제로 등차수열의 항의 합을 구하는 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판토스(Diophantus)에 의해 증명되었으며, 이 기간 내내 재치 있는 사람들은 등차수열의 특성을 십분 활용했습니다.
예를 들어 고대 이집트와 당시 가장 큰 건설 프로젝트를 상상해보십시오. 피라미드 건설... 사진은 그 한쪽을 보여줍니다.

방법 1.

방법 2.

훈련

작업:

마샤는 여름을 맞아 몸매를 가꾸고 있습니다. 매일 그녀는 스쿼트 횟수를 늘립니다. 마샤가 첫 훈련 세션에서 스쿼트를 했다면 일주일에 몇 번이나 스쿼트를 하게 될까요?
에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
로그를 저장할 때 로거는 각 최상위 레이어에 이전 레이어보다 하나의 로그가 적게 포함되도록 로그를 쌓습니다. 벽돌의 기초가 통나무라면 하나의 벽돌에는 몇 개의 통나무가 있습니까?

답변:

산술 수열의 매개변수를 정의해 보겠습니다. 이 경우
(주 = 일).
답변: 2주 후에 마샤는 하루에 한 번씩 스쿼트를 해야 합니다.
첫 번째 홀수, 마지막 숫자.
산술진행의 차이.
의 홀수 개수는 절반입니다. 그러나 등차수열의 번째 항을 구하는 공식을 사용하여 이 사실을 확인해 보겠습니다.
숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
사용 가능한 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.
답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 같습니다.
피라미드에 관한 문제를 기억해 봅시다. 우리의 경우 a 의 경우 각 최상위 레이어가 하나의 로그만큼 줄어들기 때문에 전체적으로 여러 개의 레이어가 있습니다.
데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다.
답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

요약하자면

- 인접한 숫자 사이의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스. 증가하거나 감소할 수 있습니다.
공식 찾기산술 수열의 번째 항은 수식 - 으로 작성됩니다. 여기서 는 수열의 숫자 개수입니다.
산술수열 멤버의 속성- - 진행 중인 숫자의 수는 어디에 있습니까?
산술진행 항의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다:

, 값의 개수는 어디에 있습니까?

산술 진행. 평균 수준

번호 순서

앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:

번호 순서숫자 집합으로, 각 숫자에는 고유한 숫자가 할당될 수 있습니다.

즉, 각 숫자는 특정 자연수 및 고유한 숫자와 연관될 수 있습니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

수열의 번째 항을 어떤 공식으로 지정할 수 있으면 매우 편리합니다. 예를 들어, 수식

순서를 설정합니다.

그리고 수식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 산술 수열은 수열입니다(여기서 첫 번째 항은 같고 차이는 입니다). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

우리는 반복되는 공식을 호출합니다. 여기서, 번째 항을 찾으려면 이전 항목 또는 여러 이전 항목을 알아야 합니다.

예를 들어, 이 공식을 사용하여 수열의 번째 항을 찾으려면 이전 9개 항을 계산해야 합니다. 예를 들어, 그렇게 놔두세요. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌나요?

각 줄에 숫자를 곱하고 더합니다. 어느 것? 매우 간단합니다. 현재 회원의 숫자에서 다음을 뺀 값입니다.

이제 훨씬 더 편리해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 수열에서 n 번째 항의 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

해결책:

첫 번째 항은 동일합니다. 차이점은 무엇입니까? 내용은 다음과 같습니다.

(이것이 수열의 연속 항의 차이와 동일하기 때문에 차이라고 부르는 이유입니다.)

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 100번째 항은 다음과 같습니다:

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

산술 수열의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예:
두 자리 배수의 합을 모두 구하세요.

해결책:

이 진행에 대한 번째 항의 공식:

모두 두 자리 숫자여야 한다면 수열에는 몇 개의 항이 있습니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계는 다음과 같습니다.

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

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답변:

여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 해당 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우에는 (주 = 일)입니다. 이 수열의 첫 번째 항의 합을 결정해야 합니다.
.
답변:
여기에는 다음과 같은 내용이 나와 있습니다. , 을(를) 찾아야 합니다.
분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
.
다음 값을 대체하십시오.
루트는 분명히 맞지 않으므로 대답은 다음과 같습니다.
번째 항의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 경로를 계산해 보겠습니다.
(km).
답변:
주어진 값: . 찾다: .
이보다 더 간단할 수는 없습니다.
(장애).
답변: