삼각형 각도의 이등분선은 무엇입니까? 이 질문에 답할 때 모퉁이를 돌며 모퉁이를 반으로 나누는 유명한 쥐가 어떤 사람들의 입에서 나온다." 만약 대답이 "유머러스하다"면 아마 정답일 것이다. 과학적 요점관점에서 보면 이 질문에 대한 대답은 다음과 같이 들릴 것입니다: 각도의 꼭지점에서 시작하여 후자를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 것입니다." 기하학에서 이 그림은 교차하기 전에 이등분선의 한 부분으로도 인식됩니다. 삼각형의 반대편 이것은 잘못된 의견이 아닙니다. 그러나 각도의 이등분선에 대해 그 정의 외에 무엇이 더 알려져 있습니까?
기하학적인 점의 궤적과 마찬가지로 고유한 특성이 있습니다. 첫 번째는 오히려 부호가 아니라 다음과 같이 간략하게 표현할 수있는 정리입니다. “반대편을 이등분선으로 두 부분으로 나누면 그 비율은 큰 삼각형의 변.”
두 번째 속성은 모든 각도의 이등분선의 교차점을 내심이라고 합니다.
세 번째 기호: 삼각형의 한 내각과 두 외각의 이등분선은 세 개의 내접원 중 하나의 중심에서 교차합니다.
삼각형 각도의 이등분선의 네 번째 속성은 각 각도가 같으면 후자가 이등변이라는 것입니다.
다섯 번째 기호는 이등변 삼각형과도 관련이 있으며 이등분선으로 그림을 인식하기 위한 주요 지침입니다. 즉, 이등변 삼각형에서는 중앙값과 고도 역할을 동시에 수행합니다.
각도의 이등분선은 나침반과 눈금자를 사용하여 구성할 수 있습니다.
여섯 번째 규칙은 정육면체의 2배, 원의 제곱, 각의 삼등분을 이 방법으로 구성하는 것이 불가능한 것과 마찬가지로 기존의 이등분선만으로 후자를 사용하여 삼각형을 구성하는 것이 불가능하다는 것입니다. 엄밀히 말하면 이것들은 모두 삼각형의 이등분선의 속성입니다.
이전 단락을주의 깊게 읽었다면 아마도 한 문구에 관심이 있었을 것입니다. "각의 삼등분이란 무엇입니까?" -아마 물어볼 것입니다. 삼등분선은 이등분선과 조금 비슷하지만 후자를 그리면 각도가 2등분으로 나누어지고, 삼등분선을 구성할 때에는 3등분하게 됩니다. 당연히 각의 이등분선은 학교에서 가르치지 않기 때문에 기억하기가 더 쉽습니다. 그러나 완전성을 위해 그것에 대해서도 말씀 드리겠습니다.
이미 말했듯이 삼등분선은 컴퍼스와 자로만 구성할 수 없지만 후지타의 법칙과 일부 곡선(파스칼의 달팽이, 사각형, 니코메데스의 원추형, 원뿔 단면, 등)을 사용하여 만들 수 있습니다.
각도의 삼등분에 관한 문제는 네브시스를 사용하여 매우 간단하게 해결됩니다.
기하학에는 각도 삼등분선에 관한 정리가 있습니다. 몰리의 정리라고 합니다. 그녀는 중앙에 있는 각 삼등분선의 교차점이 정점이 될 것이라고 말합니다.
큰 삼각형 안의 작은 검은색 삼각형은 항상 정삼각형입니다. 이 정리는 1904년 영국의 과학자 프랭크 몰리(Frank Morley)에 의해 발견되었습니다.
각도 나누기에 대해 배울 수 있는 내용은 다음과 같습니다. 각도의 삼등분선과 이등분선에는 항상 자세한 설명이 필요합니다. 그러나 여기에는 내가 아직 공개하지 않은 많은 정의가 주어졌습니다. 파스칼의 달팽이, 니코메데스의 콘코이드 등이 있습니다. 이에 대해 쓸 내용이 훨씬 더 많으니 안심하세요.
정리. 삼각형 내각의 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 부분으로 나눕니다.
증거. 삼각형 ABC (그림 259)와 각도 B의 이등분선을 고려하십시오. 꼭지점 C를 통해 이등분선 BC에 평행 한 직선 CM을 그려 변 AB가 계속되는 점 M에서 교차 할 때까지 그립니다. BK는 ABC의 이등분선이므로 . 또한, 평행선에 대한 해당 각도 및 평행선에 대한 횡방향 각도로 사용됩니다. 따라서 따라서 - 이등변, 어디서 . 각도의 변과 교차하는 평행선에 대한 정리에 의해 우리는 를 갖고 있고, 이를 통해 우리가 증명해야 하는 것이 있습니다.
이등분 외부 코너삼각형 ABC (그림 260)는 비슷한 속성을 가지고 있습니다. 꼭지점 A와 C에서 이등분선과 변 AC의 연속 교차점 L까지의 세그먼트 AL과 CL은 삼각형의 변에 비례합니다.
이 속성은 이전 속성과 동일한 방식으로 입증되었습니다. 도 260에서, 이등분선 BL에 평행하게 보조 직선 SM이 그려진다. 독자 자신은 각도 VMS와 VSM이 동일하다는 것을 확신하게 될 것이며 따라서 삼각형 VMS의 변 VM과 BC가 필요한 비율을 즉시 얻게 될 것입니다.
외각의 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 부분으로 나눈다고 말할 수 있습니다. 세그먼트의 "외부 분할"을 허용하는 데 동의하기만 하면 됩니다.
선분 AC(연속) 외부에 있는 점 L은 관계식에서 이를 외부적으로 나눕니다. 따라서 삼각형 각도의 이등분선(내부 및 외부)은 반대쪽(내부 및 외부)을 다음에 비례하는 부분으로 나눕니다. 인접한 측면.
문제 1. 사다리꼴의 변은 12와 15이고, 밑변은 24와 16입니다. 사다리꼴의 큰 밑변과 그 연장된 변으로 형성된 삼각형의 변을 구합니다.
해결책. 그림의 표기법에서 261 우리는 쉽게 찾을 수 있는 측면의 연속 역할을 하는 세그먼트에 대한 비율을 가지고 있습니다. 비슷한 방식으로 삼각형의 두 번째 측면이 큰 밑변과 일치하는지 확인합니다.
문제 2. 사다리꼴의 밑변은 6과 15입니다. 작은 밑변의 꼭지점에서 세어 밑변을 1:2의 비율로 나누고 밑변과 평행한 선분의 길이는 얼마입니까?
해결책. 그림을 살펴보겠습니다. 262, 사다리꼴을 묘사함. 작은 밑면의 꼭지점 C를 통해 변 AB와 평행한 선을 그려 사다리꼴에서 평행사변형을 잘라냅니다. 이후 , 여기에서 우리는 를 찾습니다. 따라서 전체 알려지지 않은 세그먼트 KL은 이 문제를 해결하기 위해 사다리꼴의 측면을 알 필요가 없다는 점에 유의하십시오.
문제 3. 삼각형 ABC의 내각 B의 이등분선은 변 AC를 꼭지점 A와 C로부터 어느 정도 떨어진 부분으로 자르는가? 외각 B의 이등분선은 연장선 AC와 교차할 것인가?
해결책. 각도 B의 각 이등분선은 AC를 동일한 비율로 나누지만 하나는 내부적으로, 다른 하나는 외부적으로 나눕니다. 연속 AC와 외부 각도 B의 이등분선의 교차점을 L로 표시하겠습니다. AK 이후 알 수 없는 거리 AL을 표시하면 비율을 갖게 됩니다. 이 솔루션의 솔루션은 필요한 거리를 제공합니다.
직접 그림을 완성해보세요.
수업 과정
1. 밑면이 8번과 18번인 사다리꼴은 밑면에 평행한 직선으로 폭이 같은 6개의 띠로 나뉩니다. 사다리꼴을 스트립으로 나누는 직선 세그먼트의 길이를 찾으십시오.
2. 삼각형의 둘레는 32입니다. 각도 A의 이등분선은 변 BC를 5와 3과 같은 부분으로 나눕니다. 삼각형의 변의 길이를 구합니다.
3. 이등변삼각형의 밑변은 a, 변은 b입니다. 밑면 모서리의 이등분선과 측면의 교차점을 연결하는 선분의 길이를 찾습니다.
소로키나 비카
삼각형의 이등분선의 성질을 증명하고, 문제해결에 이론을 적용하는 방법을 고찰한다.
다운로드:
시사:
Oktyabrsky 지역 자치구 사라토프 행정 교육위원회 교육 기관 Lyceum No. 3의 이름을 따서 명명되었습니다. A. S. 푸쉬킨.
시립 과학-실용
회의
"첫 번째 단계"
주제: 이등분선과 그 속성.
완료한 작품: 8학년 학생
소로키나 빅토리아과학 감독자: 최고 카테고리의 수학 교사포포바 니나 페도로브나.
사라토프 2011
- 제목 페이지..........................................................................................1
- 내용..........................................................................2
- 소개 및 목적 .......................................................................... ..3
- 이등분선의 속성 고려
- 세 번째 점의 위치.................................................3
- 정리 1..........................................................................................4
- 정리 2..........................................................................4
- 삼각형의 이등분선의 주요 속성:
- 정리 3..........................................................................4
- 작업 1.......................................................................................... ....7
- 작업 2..........................................................................8
- 작업 3..........................................................................9
- 작업 4..........................................................................9-10
- 정리 4..........................................................................10-11
- 이등분선을 찾는 공식:
- 정리 5..........................................................................................11
- 정리 6..........................................................................11
- 정리 7..........................................................................12
- 작업 5..........................................................................12-13
- 정리 8..........................................................................13
- 작업 6..........................................................................................14
- 작업 7..........................................................................14-15
- 이등분선을 이용한 기본 방위 결정..........................................15
- 결론 및 결론..........................................................................................15
- 참고문헌 목록.................................................................16
이등분
기하학 수업시간에 유사삼각형 주제를 공부하던 중 이등분선과 대변의 관계에 관한 정리에 관한 문제를 발견했습니다. 이등분선 주제에는 흥미로운 것이 있을 수 있을 것 같지만 이 주제는 나에게 흥미로웠고 더 깊이 연구하고 싶었습니다. 결국, 이등분선은 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 되는 놀라운 특성이 매우 풍부합니다.
이 주제를 고려할 때 기하학 교과서에서는 이등분선의 속성에 대해 거의 언급하지 않지만 시험에서는 이를 알면 문제를 훨씬 쉽고 빠르게 해결할 수 있습니다. 또한, GIA 및 통합 주 시험에 합격하려면 현대 학생들은 스스로 공부해야 합니다. 추가 자료학교 커리큘럼에. 그래서 나는 이등분선 주제를 더 자세히 연구하기로 결정했습니다.
이등분선(라틴어 bi- “double” 및 sectio에서 유래) 각도의 "절단")은 각도의 꼭지점에서 시작하여 각도를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 광선입니다. 각도의 이등분선(연장 포함)은 각 변(또는 연장선)으로부터 등거리에 있는 점의 자취입니다.)
세 번째 점의 궤적
그림 F 어떤 속성을 갖는 점(점 집합)의 위치입니다.ㅏ, 두 가지 조건이 충족되는 경우:
- 그 점이 그림에 속한다는 사실로부터에프, 그것은 다음과 같은 속성을 가지고 있다는 것을 의미합니다ㅏ;
- 그 점이 속성을 만족한다는 사실로부터ㅏ, 그것은 그림에 속한다는 것을 따른다에프.
기하학에서 고려되는 점의 첫 번째 자취는 원입니다. 한 고정점에서 등거리에 있는 점들의 자취. 두 번째는 세그먼트의 수직 이등분선입니다. 즉 세그먼트의 끝에서 등거리에 있는 점의 위치입니다. 그리고 마지막으로, 세 번째 - 이등분선 - 각도의 측면에서 등거리에 있는 점의 기하학적 궤적입니다.
정리 1:
이등분선은 양쪽에서 같은 거리에 있습니다.그 사람 코너야.
증거:
R을 보자 - 이등분선ㅏ. 요점부터 내려보자P 수직 RV 및 모퉁이 옆에 있는 PC. 그러면 VAR = SAR 빗변과 예각에 의한. 따라서 PB = PC
정리 2:
점 P가 각도 A의 변으로부터 같은 거리에 있으면 이등분선 위에 위치합니다..
증명: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR은 이등분선입니다.
기본적인 기하학적 사실 중에는 이등분선이 반대쪽을 반대쪽과 관련하여 나눈다는 정리가 있습니다. 이 사실은 오랫동안 숨겨져 있었지만 이등분선에 대한 다른 사실을 알면 훨씬 쉽게 해결할 수 있는 문제가 곳곳에 있습니다. 나는 관심을 갖게 되었고 이등분선의 속성을 더 탐구하기로 결정했습니다.
삼각형의 각도 이등분선의 주요 속성
정리 3. 이등분선은 삼각형의 반대쪽을 인접한 변과 관련하여 나눕니다..
증거 1:
주어진 값: AL - 삼각형 ABC의 이등분선
입증하다:
증명: F를 선의 교차점알 그리고 그 점을 지나는 선안에 AC 측과 평행합니다.
그러면 BFA = FAC = BAF입니다. 그러므로 B.A.F. 이등변과 AB = BF. 삼각형의 유사성에서 ALC와 FLB를 보유하고 있습니다.
비율
어디
증거 2
F를 직선 AL과 밑변 AB에 평행한 점 C를 지나는 직선과 교차하는 점이라고 합니다. 그런 다음 추론을 반복할 수 있습니다.
증거 3
K와 M을 선 위에 떨어뜨린 수직선의 밑면으로 설정합니다.지점 B와 C의 AL 각기. 삼각형 ABL과 ACL은 두 각도에서 유사합니다. 그렇기 때문에
. 그리고 BKL과 CML의 유사성으로부터 우리는
여기에서
증명 4
면적법을 사용해 보자. 삼각형의 면적을 계산해 봅시다 ABL 및 ACL 두 가지 방법.
여기에서.
증거 5
α= 당신, ψ= BLA. 삼각형 ABL의 사인 정리에 의해
그리고 삼각형 ACL에서.
왜냐하면 ,
그런 다음 평등의 양쪽을 다른 쪽의 해당 부분으로 나누면 다음을 얻습니다..
문제 1
주어진: 안에 삼각형 ABC, VC – 이등분선, BC=2, KS=1,
해결책:
문제 2
주어진:
다리가 24번과 18번인 직각삼각형의 예각의 이등분선을 구합니다.
해결책:
변 AC = 18, 변 BC = 24,
오전. - 삼각형의 이등분선.
피타고라스의 정리를 이용하여 우리가 찾은 것은,
AB = 30입니다.
그때부터
마찬가지로 두 번째 이등분선도 찾아보겠습니다.
답변:
문제 3
안에 정삼각형 직각 B의 ABC 각의 이등분선ㅏ 옆을 가로지른다기원전
D 지점에서. BD=4, DC=6으로 알려져 있다.
삼각형의 면적 찾기 ADC
해결책:
삼각형의 이등분선의 성질에 의해
AB = 2 x, AC = 3 x로 표시하겠습니다. 정리에 따라
피타고라스 BC 2 + AB 2 = AC 2, 또는 100 + 4 x 2 = 9 x 2
여기에서 우리는 그것을 발견합니다 x = 그런 다음 AB = , S ABC=
따라서,
문제 4
주어진:
이등변삼각형에서알파벳 옆 AB 10과 같음, 기본 AC는 12입니다.
각도의 이등분선 A와 C 한 지점에서 교차디. BD를 찾아보세요.
해결책:
삼각형의 이등분선은 에서 교차하므로
한 점, 그러면 BD는 B의 이등분선입니다. BD를 계속하자 와의 교차점으로 M 지점의 AC 그러면 M은 AC, BM AC의 중간점입니다. 그렇기 때문에
CD 이후 - 삼각형의 이등분선그러면 BMC
따라서,.
답변:
정리 4. 삼각형의 세 이등분선은 한 점에서 교차합니다.
실제로, 먼저 두 이등분선의 교차점 P(예: AK)를 고려해 보겠습니다. 1 및 VK 2 . 이 점은 이등분선 위에 있으므로 변 AB와 AC로부터 같은 거리에 있습니다.A는 이등분선에 속하므로 변 AB와 BC로부터 같은 거리에 있습니다.B. 이는 변 AC와 BC로부터 같은 거리에 있으므로 세 번째 이등분선 SC에 속한다는 의미입니다. 3 즉, 점 P에서 세 이등분선이 모두 교차합니다.
이등분선을 찾는 공식
정리5: (이등분선의 첫 번째 공식): 삼각형 ABC에서 세그먼트 AL은 이등분선입니다. A이면 AL² = AB·AC - LB·LC.
증거: M을 선 AL과 삼각형 ABC에 외접하는 원의 교차점으로 설정합니다(그림 41). 각도 BAM은 관례적으로 각도 MAC와 동일합니다. 각도 BMA와 BCA는 동일한 코드에 대응되는 내접 각도와 합동입니다. 이는 삼각형 BAM과 LAC가 두 각도에서 유사하다는 것을 의미합니다. 따라서 AL:AC = AB:AM이 됩니다. 이는 AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC를 의미합니다. Q.E.D.
정리6: . (이등분선에 대한 두 번째 공식): 변 AB=a, AC=b인 삼각형 ABC에서A는 2α 및 이등분선 l과 동일하며 동등성은 다음과 같습니다.
l = (2ab / (a+b)) cosα.
증거 : ABC를 주어진 삼각형, AL의 이등분선, a=AB, b=AC, l=AL로 둡니다. 그럼 S ABC = S ALB + S ALC . 따라서 ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα입니다. 정리가 입증되었습니다.
정리 7: a, b가 삼각형의 변이라면 Y는 그 사이의 각도입니다.는 이 각의 이등분선입니다. 그 다음에.
평균 수준
삼각형의 이등분선. 상세한 이론예시 포함 (2019)
삼각형의 이등분선과 그 속성
세그먼트의 중간점이 무엇인지 아시나요? 물론 그렇습니다. 원의 중심은 어떻습니까? 같은. 각도의 중점은 무엇입니까? 이런 일은 일어나지 않는다고 말할 수 있습니다. 그런데 선분은 반으로 나눌 수 있는데 각도는 왜 나눌 수 없나요? 그것은 가능합니다. 점이 아니라… 선.
농담을 기억하시나요? 이등분선은 모퉁이를 돌며 모퉁이를 반으로 나누는 쥐입니다. 따라서 이등분선의 실제 정의는 다음 농담과 매우 유사합니다.
삼각형의 이등분선- 이것은 이 각도의 꼭지점과 반대편의 점을 연결하는 삼각형 각도의 이등분선입니다.
옛날 옛적에 고대 천문학자와 수학자들은 이등분선의 많은 흥미로운 특성을 발견했습니다. 이 지식은 사람들의 삶을 크게 단순화시켰습니다. 건설, 거리 계산, 대포 발사 조정도 쉬워졌습니다... 이러한 속성에 대한 지식은 일부 GIA 및 통합 상태 시험 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다!
이에 도움이 될 첫 번째 지식은 이등변삼각형의 이등분선.
그런데, 이 용어들을 모두 기억하시나요? 서로 어떻게 다른지 기억하시나요? 아니요? 무섭지 않아요. 이제 알아 봅시다.
그래서, 이등변삼각형의 밑변- 이것은 다른 어떤 것과도 동등하지 않은 측면입니다. 사진을 보세요. 이것이 어느 쪽이라고 생각하시나요? 맞습니다 - 이쪽이 옆입니다.
중앙값은 삼각형의 꼭지점에서 그려 반대쪽(다시 말하지만)을 반으로 나누는 선입니다.
"이등변삼각형의 중앙값"이라고 말하지 않는다는 점에 유의하세요. 이유를 아시나요? 삼각형의 꼭지점에서 도출된 중앙값은 모든 삼각형의 반대쪽을 이등분하기 때문입니다.
음, 높이는 위에서 밑면에 수직으로 그은 선입니다. 눈치채셨나요? 우리는 이등변 삼각형뿐만 아니라 모든 삼각형에 대해 다시 이야기하고 있습니다. 모든 삼각형의 높이는 항상 밑변에 수직입니다.
그래서, 알아냈나요? 거의. 이등분선, 중앙값 및 높이가 무엇인지 더 잘 이해하고 영원히 기억하려면 서로 비교하고 유사점과 차이점을 이해해야 합니다. 동시에, 더 잘 기억하려면 모든 것을 "인간의 언어"로 설명하는 것이 좋습니다. 그러면 수학 언어로 쉽게 작업할 수 있지만 처음에는 이 언어를 이해하지 못하므로 모국어로 모든 것을 이해해야 합니다.
그렇다면 그들은 어떻게 유사합니까? 이등분선, 중앙값 및 고도 - 모두 삼각형의 꼭지점에서 "나오고" 반대편에 휴식을 취하고 나오는 각도 또는 반대쪽으로 "뭔가를 수행"합니다. 제 생각엔 간단할 것 같은데요, 그렇죠?
그것들은 어떻게 다릅니까?
- 이등분선은 나타나는 각도를 반으로 나눕니다.
- 중앙값은 반대쪽을 반으로 나눕니다.
- 높이는 항상 반대쪽에 수직입니다.
그게 다야. 이해하기 쉽습니다. 그리고 일단 이해하면 기억할 수 있습니다.
지금 다음 질문. 이등변삼각형의 경우 이등분선이 중앙값과 고도인 이유는 무엇입니까?
그림을 보고 중앙값이 완전히 동일한 두 개의 삼각형으로 나뉘는지 확인할 수 있습니다. 그게 다야! 그러나 수학자들은 자신의 눈을 믿는 것을 좋아하지 않습니다. 그들은 모든 것을 증명해야 합니다. 무서운 단어? 그런 건 없어요 - 간단해요! 보세요: 둘 다 동일한 측면을 가지고 있으며 일반적으로 공통된 측면을 가지고 있습니다. (- 이등분선!) 그래서 두 삼각형은 두 변의 길이가 같고 그 사이에 각도가 있다는 것이 밝혀졌습니다. 우리는 삼각형의 평등의 첫 번째 기호를 기억하고 (기억하지 못하는 경우 주제를 살펴보십시오) 결론을 내리므로 = and입니다.
이것은 이미 좋은 결과입니다. 이는 중앙값으로 판명되었음을 의미합니다.
하지만 그것은 무엇입니까?
사진을 보시죠 - . 그리고 우리는 그것을 얻었습니다. 너무 너무! 드디어 만세! 그리고.
이 증거가 좀 무겁다고 생각하시나요? 그림을보세요. 두 개의 동일한 삼각형이 스스로를 말합니다.
어쨌든 다음 사항을 확실히 기억하십시오.
이제 더 어려워졌습니다. 계산하겠습니다 모든 삼각형의 이등분선 사이의 각도!두려워하지 마십시오. 그렇게 까다롭지 않습니다. 사진을 봐:
세어보자. 너 그걸 기억하니 삼각형의 내각의 합은?
이 놀라운 사실을 적용해보자.
한편으로는 다음과 같습니다.
그건.
이제 다음을 살펴보겠습니다.
하지만 이등분선, 이등분선!
다음에 대해 기억합시다:
이제 편지를 통해
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
놀랍지 않나요? 그것은 밝혀졌다 두 각의 이등분선 사이의 각은 세 번째 각에만 의존합니다.!
음, 우리는 두 개의 이등분선을 살펴보았습니다. 3개가 있다면??!! 그것들은 모두 한 지점에서 교차할까요?
아니면 이대로 될까요?
당신은 어떻게 생각하십니까? 그래서 수학자들은 다음과 같이 생각하고 생각하고 증명했습니다.
정말 좋지 않나요?
왜 이런 일이 발생하는지 알고 싶나요?
그럼...두 개의 직각삼각형: 그리고. 그들은 다음을 가지고 있습니다:
- 일반 빗변.
- (이등분선이니까!)
이는 각도와 빗변을 의미합니다. 따라서 이 삼각형의 해당 변은 동일합니다! 그건.
우리는 점이 각도의 변으로부터 동일한(또는 동일하게) 거리에 있음을 증명했습니다. 포인트 1이 다루어집니다. 이제 포인트 2로 넘어가겠습니다.
2가 왜 사실인가요?
그리고 점들을 연결해 봅시다.
이것은 그것이 이등분선에 있다는 것을 의미합니다!
그게 다야!
문제를 해결할 때 이 모든 것을 어떻게 적용할 수 있습니까? 예를 들어, 문제에는 "원이 각도의 측면에 닿습니다..."라는 문구가 종종 있습니다. 글쎄, 뭔가를 찾아야 해.
그러면 당신은 그것을 빨리 깨닫는다.
그리고 평등을 사용할 수 있습니다.
3. 삼각형의 세 이등분선은 한 점에서 교차합니다.
이등분선이 각도의 측면에서 등거리에 있는 점의 자취라는 속성에서 다음 설명은 다음과 같습니다.
정확히 어떻게 나오나요? 하지만 보세요. 두 개의 이등분선은 확실히 교차할 것입니다. 그렇죠?
그리고 세 번째 이등분선은 다음과 같이 될 수 있습니다:
그러나 실제로는 모든 것이 훨씬 좋습니다!
두 이등분선의 교점을 살펴보겠습니다. 그것을 이라고 부르자.
우리는 여기서 두 번 모두 무엇을 사용했습니까? 예 단락 1, 물론! 점이 이등분선 위에 있으면 그 점은 각의 변으로부터 같은 거리에 있습니다.
그래서 그런 일이 일어났습니다.
하지만 이 두 가지 동등성을 주의 깊게 살펴보십시오! 결국, 그들로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.
그리고 이제 그것이 작동하게 될 것입니다 포인트 2: 각 변의 거리가 같다면 점은 이등분선 위에 있습니다. 각은 무엇입니까? 그림을 다시 보세요:
그리고 는 각도의 변까지의 거리이며 동일합니다. 이는 점이 각도의 이등분선에 있다는 것을 의미합니다. 세 번째 이등분선도 같은 점을 통과했습니다! 세 개의 이등분선은 모두 한 점에서 교차합니다! 그리고 추가 사은품으로-
반경 쓰는서클.
(확실히 다른 주제를 살펴보십시오).
이제 다음 사항을 절대 잊지 못할 것입니다.
삼각형의 이등분선의 교점은 그 안에 내접하는 원의 중심입니다.
다음 속성으로 넘어가겠습니다... 와, 이등분선에는 속성이 많죠? 그리고 이것은 좋은 점입니다. 속성이 많을수록 더 많은 도구이등분선 문제를 해결하기 위한 것입니다.
4. 이등분선과 평행성, 인접한 각도의 이등분선
어떤 경우에는 이등분선이 각도를 반으로 나누기 때문에 완전히 예상치 못한 결과가 발생합니다. 예를 들어,
사례 1
좋아요, 그렇죠? 이것이 왜 그런지 이해합시다.
한편으로는 이등분선을 그립니다!
그러나 반면에 십자형으로 놓여 있는 각도도 있습니다(주제를 기억하세요).
그리고 이제 그 사실이 밝혀졌습니다. 가운데를 버리세요: ! - 이등변!
사례 2
삼각형을 상상해 보세요(또는 그림을 보세요)
요점을 넘어 측면을 계속합시다. 이제 두 가지 각도가 있습니다.
- - 내부 코너
- -바깥쪽 코너가 밖에 있는거 맞죠?
그래서 이제 누군가가 하나가 아닌 두 개의 이등분선을 한 번에 그리고 싶었습니다. 무슨 일이 일어날 것?
잘 될까요? 직사각형!
놀랍게도 이것이 바로 사실입니다.
그것을 알아 봅시다.
금액이 얼마일 것 같나요?
물론, 결국 그들은 모두 함께 직선으로 판명되는 각도를 만듭니다.
이제 와 가 이등분선이라는 것을 기억하세요. 그리고 각 안에 정확히 가 있다는 것을 보세요. 반네 가지 각도의 합에서 : 그리고 - - 즉, 정확히. 방정식으로 작성할 수도 있습니다.
놀랍지만 사실입니다.
삼각형의 내각과 외각의 이등분선 사이의 각도는 같습니다.
사례 3
내부 및 외부 모서리와 모든 것이 동일하다는 것을 알 수 있습니까?
아니면 왜 이런 일이 일어나는지 다시 생각해 볼까요?
다시, 인접한 모서리에 대해서는
(병렬 베이스에 해당).
그리고 또 그들은 화해한다. 정확히 절반합계에서
결론:문제에 이등분선이 포함된 경우 인접한각도 또는 이등분선 관련 있는평행사변형이나 사다리꼴의 각도, 그러면 이 문제에서 틀림없이직각 삼각형이 포함되거나 전체 직사각형이 포함될 수도 있습니다.
5. 이등분선과 반대쪽
삼각형 각도의 이등분선은 어떤 방식으로든 반대쪽을 나누는 것이 아니라 특별하고 매우 흥미로운 방식으로 나누어집니다.
그건:
놀라운 사실이지 않나요?
이제 우리는 이 사실을 증명할 것이지만 준비하십시오. 이전보다 조금 더 어려울 것입니다.
다시 - "공간"으로 나가기 - 추가 형성!
똑바로 가자.
무엇을 위해? 지금 살펴보겠습니다.
선과 교차할 때까지 이등분선을 계속합시다.
익숙한 사진인가요? 예, 예, 예, 포인트 4, 사례 1과 정확히 동일합니다. (- 이등분선)
가로로 누워
그래서 그것도.
이제 삼각형을 살펴 보겠습니다.
그들에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?
그들은 비슷하다. 네, 각도는 수직 각도와 같습니다. 그래서 두 모퉁이에 있습니다.
이제 우리는 관련 당사자의 관계를 작성할 권리가 있습니다.
이제 간단히 표기하면 다음과 같습니다.
오! 뭔가 생각나네요, 그렇죠? 이것이 우리가 증명하고 싶었던 것이 아닌가? 예, 예, 바로 그 것입니다!
추가 직선을 건설하는 "우주 유영"이 얼마나 훌륭했는지 알 수 있습니다. 그것이 없었다면 아무 일도 일어나지 않았을 것입니다! 그래서 우리는 다음을 증명했습니다.
이제 안심하고 사용하실 수 있습니다! 삼각형 각도의 이등분선의 속성을 하나 더 살펴보겠습니다. 놀라지 마세요. 이제 가장 어려운 부분은 끝났습니다. 더 쉬울 것입니다.
우리는 그것을 얻습니다
정리 1:
정리 2:
정리 3:
정리 4:
정리 5:
정리 6:
BISSECTRIX의 속성
이등분선 속성: 삼각형에서 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 세그먼트로 나눕니다.
외각의 이등분선 삼각형의 외각의 이등분선은 한 점에서 변의 연장선과 교차하며, 이 변의 끝점까지의 거리는 각각 삼각형의 인접한 변에 비례합니다. C B A D
이등분선의 길이 공식:
이등분선이 삼각형의 반대쪽 변을 나누는 선분의 길이를 구하는 공식
이등분선을 이등분선의 교점으로 나눈 선분의 길이 비율을 구하는 공식
문제 1. 삼각형의 이등분선 중 하나를 꼭지점부터 세어 3:2의 비율로 이등분선의 교점으로 나눕니다. 이등분선을 그린 삼각형의 한 변의 길이가 12cm일 때 삼각형의 둘레를 구하세요.
해법 공식을 사용하여 이등분선이 삼각형의 이등분선의 교차점으로 나뉘는 선분의 길이 비율을 구해 보겠습니다. a + c = = 18 P Δ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. 답: P = 30cm.
작업 2. 이등분선 BD와 CE Δ ABC는 점 O에서 교차합니다. AB=14, BC=6, AC=10. O D를 찾아보세요.
해결책. 공식을 사용하여 이등분선의 길이를 구해 봅시다: BD = BD = = 이등분선이 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 비율에 대한 공식에 따르면: l = . 2 + 1 = 총 3개 부품.
이것은 1부입니다 OD = 답: OD =
문제 Δ ABC에 이등분선 AL과 BK가 그려집니다. AB = 15, AK =7.5, BL = 5일 때 선분 KL의 길이를 구하십시오. Δ ABC에 이등분선 AD가 있고 점 D를 통해 AC에 평행하고 점 E에서 AB와 교차하는 선이 있습니다. 면적 Δ ABC 및 Δ BDE , AB = 5, AC = 7. 다리가 24cm와 18cm인 직각삼각형의 예각의 이등분선을 구합니다. 직각삼각형에서 이등분선은 예각반대쪽 다리를 길이 4cm와 5cm로 나눕니다. 삼각형의 면적을 결정합니다.
5. 이등변삼각형에서 밑변과 밑변은 각각 5cm와 20cm입니다. 삼각형 밑변의 이등분선을 구하세요. 6. 이등분선 찾기 직각다리가 a와 b인 삼각형. 7. 변의 길이가 a = 18cm, b = 15cm, c = 12cm인 삼각형 ABC의 각 A의 이등분선의 길이를 계산합니다. 8. 삼각형 ABC에서 변 AB, BC, AC의 길이는 다음과 같습니다. 비율은 각각 2:4:5입니다. 이등분선을 나누는 비율 찾기 내부 모서리교차점에서.
답: 답: 답: 답: 답: 답: 답: 답: 답: AP = 6 AP = 10cm KL = CP =
