y=k/y 함수를 생각해 보세요. 이 함수의 그래프는 수학에서 쌍곡선이라고 불리는 선입니다. 쌍곡선의 일반적인 모습은 아래 그림에 나와 있습니다. (그래프는 함수 y가 k를 x로 나눈 것과 같고 k는 1과 같다는 것을 보여줍니다.)
그래프가 두 부분으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 이러한 부분을 쌍곡선의 가지라고 합니다. 쌍곡선의 각 가지가 좌표축에 점점 더 가까운 방향 중 하나로 접근한다는 점도 주목할 가치가 있습니다. 이 경우의 좌표축을 점근선이라고 합니다.
일반적으로 함수 그래프가 무한히 접근하지만 도달하지 않는 직선을 점근선이라고 합니다. 포물선과 마찬가지로 쌍곡선에도 대칭축이 있습니다. 위 그림에 표시된 쌍곡선의 경우 이는 y=x 선입니다.
이제 과장법의 두 가지 일반적인 경우를 살펴보겠습니다. k ≠0에 대한 함수 y = k/x의 그래프는 쌍곡선이 되며, 분기는 k>0인 경우 첫 번째 및 세 번째 좌표 각도에 위치하거나 두 번째 및 네 번째 좌표 각도에 위치합니다. 포크<0.
k>0인 경우 함수 y = k/x의 기본 속성
k>0인 경우 함수 y = k/x의 그래프
5. x>0에서 y>0; y6. 이 함수는 구간(-무한대;0)과 구간(0;+무한대) 모두에서 감소합니다.
10. 함수 값의 범위는 두 개의 열린 구간(-무한대;0)과 (0;+무한대)입니다.
k에 대한 함수 y = k/x의 기본 속성<0
k에서 함수 y = k/x의 그래프<0
1. 점 (0;0)은 쌍곡선 대칭의 중심입니다.
2. 좌표축 - 쌍곡선의 점근선.
4. 함수의 정의역은 x=0을 제외한 모든 x입니다.
5. x0에서 y>0.
6. 이 함수는 간격(-무한대;0)과 간격(0;+무한대) 모두에서 증가합니다.
7. 기능은 아래 또는 위로부터 제한되지 않습니다.
8. 함수에는 최대값과 최소값이 없습니다.
9. 이 함수는 구간 (-무한대;0)과 구간 (0;+무한대)에서 연속입니다. x=0에 간격이 있습니다.
지침
그래프가 좌표 원점을 통과하고 OX 축과 각도 α를 형성하는 직선인 경우(양의 반축 OX에 대한 직선의 경사 각도). 이 선을 설명하는 함수는 y = kx 형식을 갖습니다. 비례 계수 k는 tan α와 같습니다. 직선이 두 번째와 네 번째 좌표 분기를 통과하면 k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0이고 함수가 증가하면 좌표축을 기준으로 다른 방식으로 위치한 직선을 나타냅니다. 이는 선형 함수이며 y = kx + b 형식을 갖습니다. 여기서 변수 x와 y는 1제곱이고 k와 b는 양수이거나 음수이거나 0일 수 있습니다. 이 선은 선 y = kx와 평행하며 |b| 축에서 절단됩니다. 단위. 선이 가로축과 평행하면 k = 0이고, 세로축이면 방정식의 형식은 x = const입니다.
서로 다른 분기에 위치하고 좌표 원점을 기준으로 대칭인 두 가지로 구성된 곡선은 쌍곡선입니다. 이 그래프는 x에 대한 변수 y의 역의존성이며 방정식 y = k/x로 설명됩니다. 여기서 k ≠ 0은 비례 계수입니다. 게다가 k > 0이면 함수가 감소합니다. 만약 k라면< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
이차 함수 y = ax2 + bx + c 형식을 갖습니다. 여기서 a, b 및 c는 일정한 양이고 a 0입니다. 조건 b = c = 0이 충족되면 함수 방정식은 y = ax2(가장 간단한 경우)와 같습니다. ), 그 그래프는 원점을 지나는 포물선이다. 함수 y = ax2 + bx + c의 그래프는 함수의 가장 간단한 경우와 모양은 같지만 정점(OY축과의 교점)이 원점에 있지 않습니다.
그래프도 포물선이다 전력 함수, n이 짝수인 경우 방정식 y = xⁿ로 표현됩니다. n이 홀수인 경우 이러한 전력 함수의 그래프는 3차 포물선처럼 보입니다.
n이 임의인 경우 함수 방정식은 다음 형식을 취합니다. 홀수 n에 대한 함수 그래프는 쌍곡선이 되고 짝수 n에 대한 해당 분기는 op 축을 기준으로 대칭이 됩니다.
학년도에도 기능을 자세히 연구하고 그래프를 구성합니다. 그러나 불행히도 그들은 실제로 함수 그래프를 읽고 제시된 그림에서 해당 유형을 찾는 방법을 가르치지 않습니다. 기본 기능 유형을 기억하면 실제로는 매우 간단합니다.
지침
제시된 그래프가 좌표 원점을 통과하고 OX 축을 각도 α(양의 반축에 대한 직선의 경사 각도)로 나타내는 경우 이러한 직선을 설명하는 함수는 다음과 같습니다. y = kx로 표시됩니다. 이 경우 비례 계수 k는 각도 α의 탄젠트와 같습니다.
주어진 선이 두 번째와 네 번째 좌표 분기를 통과하면 k는 0과 같고 함수는 증가합니다. 제시된 그래프를 좌표축을 기준으로 어떤 방식으로든 직선으로 만듭니다. 그러면 그러한 기능은 그래픽 아트 y = kx + b 형식으로 표시되는 선형이 됩니다. 여기서 변수 y와 x는 첫 번째에 있고 b와 k는 음수와 k를 모두 취할 수 있습니다. 양수 값또는 .
선이 y = kx 그래프의 선과 평행하고 세로축에서 b 단위를 자르면 방정식의 형식은 x = const이고, 그래프가 가로축과 평행하면 k = 0입니다.
원점을 기준으로 대칭이고 서로 다른 분기에 위치한 두 가지로 구성된 곡선은 쌍곡선입니다. 이러한 그래프는 변수 x에 대한 변수 y의 역의존성을 보여주며 y = k/x 형식의 방정식으로 설명됩니다. 여기서 k는 다음과 같을 수 없습니다. 0과 같음, 이는 반비례 계수이기 때문입니다. 더욱이 k 값이 0보다 크면 함수가 감소합니다. 만약 k라면 0보다 작음– 증가합니다.
제안된 그래프가 원점을 통과하는 포물선인 경우 b = c = 0이라는 조건에 따른 함수는 y = ax2 형식을 갖습니다. 이것은 이차 함수의 가장 간단한 경우입니다. y = ax2 + bx + c 형식의 함수 그래프는 가장 간단한 경우와 동일한 형식을 가지지만 정점(그래프가 세로축과 교차하는 지점)은 원점에 있지 않습니다. y = ax2 + bx + c 형식으로 표시되는 이차 함수에서 a, b 및 c의 값은 상수이지만 a는 0이 아닙니다.
포물선은 n이 짝수인 경우에만 y = xⁿ 형식의 방정식으로 표현되는 거듭제곱 함수의 그래프일 수도 있습니다. n의 값이 홀수인 경우, 이러한 거듭제곱 함수의 그래프는 3차 포물선으로 표시됩니다. 변수 n이 음수인 경우 함수 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
주제에 관한 비디오
평면의 모든 점의 좌표는 가로축과 세로축의 두 가지 수량에 의해 결정됩니다. 그러한 많은 점들의 집합은 함수의 그래프를 나타냅니다. 여기에서 X 값의 변화에 따라 Y 값이 어떻게 변하는지 확인할 수 있으며, 어느 구간(간격)에서 함수가 증가하고 감소하는지 확인할 수도 있습니다.
지침
그래프가 직선이라면 함수에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 이 선이 좌표 원점(즉, X와 Y 값이 0인 점)을 통과하는지 확인하세요. 통과하면 이러한 함수는 방정식 y = kx로 설명됩니다. k의 값이 클수록 이 직선이 세로축에 가깝게 위치하게 된다는 것을 이해하기 쉽습니다. 그리고 Y축 자체는 실제로 무한히 대응합니다. 매우 중요하다케이.
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정의 선형 함수
선형 함수의 정의를 소개하겠습니다.
정의
$k$가 0이 아닌 $y=kx+b$ 형식의 함수를 선형 함수라고 합니다.
선형함수의 그래프는 직선이다. $k$라는 숫자를 선의 기울기라고 합니다.
$b=0$일 때 선형 함수는 정비례 함수 $y=kx$라고 합니다.
그림 1을 고려해보세요.
쌀. 1. 선의 기울기의 기하학적 의미
삼각형 ABC를 고려해보세요. $ВС=kx_0+b$를 확인하세요. $y=kx+b$ 선과 $Ox$ 축의 교차점을 찾아보겠습니다.
\ \
따라서 $AC=x_0+\frac(b)(k)$. 이 변의 비율을 찾아 보겠습니다.
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
반면 $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$입니다.
따라서 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
결론
계수 $k$의 기하학적 의미. 경사 계수직선 $k$는 $Ox$ 축에 대한 이 직선의 경사각의 접선과 같습니다.
선형 함수 $f\left(x\right)=kx+b$ 및 해당 그래프 연구
먼저, $k > 0$인 $f\left(x\right)=kx+b$ 함수를 고려해 보세요.
- $f"\왼쪽(x\오른쪽)=(\왼쪽(kx+b\오른쪽))"=k>0$. 결과적으로 이 기능은 전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다. 극단적인 점은 없습니다.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- 그래프(그림 2).
쌀. 2. $k > 0$에 대한 함수 $y=kx+b$의 그래프.
이제 $f\left(x\right)=kx$ 함수를 생각해 보세요. 여기서 $k
- 정의 영역은 모든 숫자입니다.
- 값의 범위는 모두 숫자입니다.
- $f\왼쪽(-x\오른쪽)=-kx+b$. 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
- $x=0,f\left(0\right)=b$의 경우. $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$일 때.
좌표축이 있는 교차점: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ 및 $\left(0,\ b\right)$
- $f"\왼쪽(x\오른쪽)=(\왼쪽(kx\오른쪽))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. 따라서 함수에는 변곡점이 없습니다.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- 그래프(그림 3).
