상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식. 2차 불균일 미분방정식

2차 미분방정식

§1. 방정식의 차수를 줄이는 방법.

2차 미분 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( 또는 미분" href="/text/category/ Differentcial/" rel="bookmark">2차 미분방정식). 2차 미분방정식에 대한 코시 문제(1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

2차 미분 방정식의 형식은 다음과 같습니다. https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" 폭="265" 높이="28 src=">.

따라서 2차 방정식 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. 이를 해결하여 두 개의 임의 상수에 따라 원래 미분 방정식의 일반 적분을 얻습니다. https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">.gif" width="76" height="25 src=">.

해결책.

원래 방정식에는 https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 인수가 명시적으로 포함되어 있지 않기 때문에 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "부터 >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

2차 미분 방정식의 형식은 다음과 같습니다. https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

예시 2.방정식에 대한 일반적인 해를 찾으세요: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif에 따라 방정식의 양쪽이 완전 도함수가 되는 형태로 변환할 수 있는 경우 거듭제곱의 차수가 줄어듭니다. " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

여기서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – 지정된 기능, 해를 구하는 간격에 따라 연속됩니다. a0(x) ≠ 0이라고 가정하면 (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)로 나눕니다.

(2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" 높이를 증명하지 않고 받아들이겠습니다. = "25 src=">이면 식 (2.2)는 동종이라고 하고, 그렇지 않으면 식 (2.2)는 비동질이라고 합니다.

2차 광맥에 대한 솔루션의 속성을 고려해 보겠습니다.

정의.함수의 선형 조합 https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

(2.3)의 선형 조합 https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> 결과가 항등식임을 보여줍니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> 함수는 방정식 (2.3)에 대한 해법이므로 각 괄호는 마지막 방정식은 0과 동일하다는 것을 증명해야 합니다.

결과 1. https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - 방정식 (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src=">는 이러한 함수 중 어느 것도 선형으로 표현될 수 없는 경우 일정 간격에서 선형 독립으로 호출됩니다. 다른 모든 것의 조합.

두 가지 기능의 경우 https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. 따라서 두 개의 선형 독립 함수에 대한 Wronski 행렬식은 동일하게 0이 될 수 없습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> 방정식을 만족합니다 (2..gif" width="42" height="25 src = "> – 방정식 (3.1)에 대한 해..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> 따라서 항등식을 얻습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, 여기서 방정식의 선형 독립 해에 대한 행렬식(2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> 공식 (3.2)의 오른쪽에 있는 두 요소는 모두 0이 아닙니다.

§4. 2차 광맥에 대한 일반 해의 구조.

정리. https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src=">가 방정식에 대한 선형 독립 해인 경우 (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">는 방정식 (2.3)의 해이며, 2차 광맥에 대한 해의 속성에 대한 정리를 따릅니다.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

이 선형 대수 방정식 시스템의 상수 https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src=">는 고유하게 결정됩니다. 이 시스템은 https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. 이전 단락에 따르면, 2차 Lod에 대한 일반 해는 이 방정식의 두 개의 선형 독립 부분 해를 알면 쉽게 결정됩니다. 간단한 방법 L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">가 제안한 상수 계수를 사용하여 방정식에 대한 부분 해를 찾기 위해 다음을 얻습니다. 대수 방정식, 이를 특성이라고 합니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src=">는 k 값에 대해서만 방정식 (5.1)의 해가 될 것입니다 그게 뿌리야 특성 방정식(5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src ="> 및 일반 솔루션(5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width=" 83 " height="26 src=">. 이 함수가 식 (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">를 만족하는지 확인해 보겠습니다. 이 식을 식 (5.1)에 대입하면 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, 왜냐하면..gif" width="137" height="26 src= ">.

특정 솔루션 https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src=">는 선형 독립입니다. 왜냐하면..gif" width="166" 높이 때문입니다. ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" 높이 = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

이 등식의 왼쪽에 있는 두 괄호는 모두 0과 동일합니다..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src=">는 방정식 (5.1)에 대한 해법 ..gif" width="129" height="25 src="> 는 다음과 같습니다:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

일반 솔루션 https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)의 합계로 표시됩니다.

특정 솔루션 https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src=">는 방정식 (6.1)..gif"에 대한 솔루션이 될 것입니다. width=" 272" height="25 src="> f(x). 이 동등성은 동일성입니다. 왜냐하면..gif" width="128" height="25 src="> f(x)입니다. 그러므로.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src=">는 이 방정식에 대한 선형 독립 해입니다. 따라서:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, 위에서 본 것처럼 그러한 행렬식은 0이 아닙니다..gif" width="19" height="25 src="> 시스템에서 방정식 (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> 방정식을 풀 것입니다

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> 방정식 (6.5)에 우리는 다음을 얻습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

여기서 오른쪽 f(x)가 다음과 같은 경우 https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> 방정식 (7.1) 특별한 유형. 이 방법은 부정 계수 방법이라고 하며 우변 f(x)의 유형에 따라 특정 해를 선택하는 것으로 구성됩니다. 다음 형식의 우변을 고려하세요.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, 0일 수 있습니다. 이 경우 특정 솔루션을 취해야 하는 형식을 지정해 보겠습니다.

a) 숫자 https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 소스 =>>.

해결책.

방정식의 경우 https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

평등의 왼쪽과 오른쪽에서 두 부분을 모두 https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">로 줄입니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

결과 방정식 시스템에서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> 및 일반 솔루션을 찾습니다. 주어진 방정식다음이 있습니다:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

여기서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

해결책.

해당 특성 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. 최종 일반적인 해에 대해 다음과 같은 표현식이 있습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> 훌륭함 0에서. 이 경우 특정 솔루션의 유형을 지정해 보겠습니다.

a) 숫자가 https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">인 경우,

여기서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src=">는 방정식의 특성 방정식의 루트입니다(5..gif" width="229 " 높이="25 src=">,

여기서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

해결책.

방정식 https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" 높이에 대한 특성 방정식의 뿌리 ="25 src=">.

예제 3에 제공된 방정식의 우변은 특별한 형식을 갖습니다: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="를 결정하려면 > 이를 주어진 방정식에 대입합니다.

유사한 용어를 인용하여 https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" 높이의 계수를 동일시합니다. = "25 src=">.

주어진 방정식에 대한 최종 일반 해법은 다음과 같습니다: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> 그리고 이러한 다항식 중 하나는 0과 같을 수 있습니다. 이 일반적인 경우에 특정 솔루션의 유형을 나타내겠습니다. .

a) 숫자 https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

여기서 https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) 숫자가 https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">인 경우 lndu에 대한 특정 솔루션은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. 표현식에서 (7..gif" width="121" height= " 25src=">.

예시 4.방정식에 대한 특정 해의 유형을 나타냅니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . 공통의 결정 lodu의 형식은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

추가 계수 https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > 우변 f1(x) 및 Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">임의 상수의 변형(Lagrange 방법)이 있는 방정식에 대한 특별한 해법이 있습니다.

상수 계수와 특별한 자유 항을 갖는 방정식의 경우를 제외하고 방정식에 대한 특정 해를 직접 찾는 것은 매우 어렵습니다. 따라서 방정식에 대한 일반 해를 찾기 위해 일반적으로 임의 상수의 변형 방법이 사용되며, 알려진 경우 항상 구적법으로 방정식에 대한 일반 해를 찾을 수 있습니다. 기본 시스템관련 결정 동차방정식. 이 방법은 다음과 같습니다.

위의 내용에 따르면 선형 동차 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – 상수는 아니지만 아직 알려지지 않은 f(x)의 일부 함수입니다. . 간격에서 가져와야합니다. 실제로 이 경우 Wronski 행렬식은 구간의 모든 지점에서 0이 아닙니다. 즉, 전체 공간에서 특성 방정식의 복소근입니다..gif" width="20" height="25 src="> 다음 형식의 선형 독립 부분 솔루션:

일반 해 공식에서 이 근은 다음 형식의 표현에 해당합니다.

교육 기관 "벨로루시 주

농업학원"

고등수학과

지침

통신교육회계학부(NISPO) 학생들의 “2차 선형미분방정식”이라는 주제를 연구하기 위해

고르키, 2013

선형미분방정식

상수가 있는 2차계수

선형 동차 미분 방정식

상수 계수를 갖는 2차 선형 미분 방정식 형태의 방정식이라고 불린다.

저것들. 원하는 함수와 그 도함수를 1차까지만 포함하고 그 곱은 포함하지 않는 방정식입니다. 이 방정식에서 그리고
- 일부 숫자 및 함수
일정 간격으로 주어지는
.

만약에
간격에
, 방정식 (1) 형태를 취할 것이다

, (2)

그리고 호출된다 선형 균질 . 그렇지 않으면 방정식 (1)이 호출됩니다. 선형 불균일 .

복잡한 기능을 고려하십시오

, (3)

어디
그리고
- 실제 기능. 함수 (3)이 방정식 (2)에 대한 복소수 해법인 경우 실수 부분은 다음과 같습니다.
, 그리고 허수부
솔루션
별도로 동일한 균질 방정식의 해가 있습니다. 따라서 모든 것은 포괄적인 솔루션방정식 (2)는 이 방정식에 대한 두 가지 실제 해를 생성합니다.

동종 솔루션 일차 방정식속성이 있습니다:

만약에 방정식 (2)에 대한 해법은 다음과 같습니다.
, 어디 와 함께– 임의의 상수는 방정식 (2)의 해법이기도 합니다.

만약에 그리고 방정식 (2)에 대한 해법이 있고 함수는 다음과 같습니다.
또한 방정식 (2)에 대한 해법이 될 것입니다.

만약에 그리고 방정식 (2)에 대한 해법이 있고 그 선형 조합이 있습니다.
또한 방정식 (2)에 대한 해법이 될 것입니다. 그리고
– 임의의 상수.

기능
그리고
호출됩니다 선형 종속 간격에
, 그러한 숫자가 존재하는 경우 그리고
, 아니다 0과 같음동시에 이 간격에서 평등은

동등 (4)가 다음 경우에만 발생하는 경우
그리고
, 다음 기능
그리고
호출됩니다 선형독립 간격에
.

실시예 1 . 기능
그리고
선형 의존적입니다. 왜냐하면
수직선 전체에. 이 예에서는
.

실시예 2 . 기능
그리고
등식이므로 임의의 간격에 대해 선형 독립입니다.
경우에만 가능합니다.
, 그리고
.

선형 균질에 대한 일반 솔루션 구축

방정식

방정식 (2)에 대한 일반 해를 찾으려면 선형 독립 해 중 두 개를 찾아야 합니다. 그리고 . 이러한 솔루션의 선형 조합
, 어디 그리고
임의의 상수이며 선형 균질 방정식에 대한 일반적인 해를 제공합니다.

우리는 방정식 (2)에 대한 선형 독립 해를 다음과 같은 형태로 찾을 것입니다.

, (5)

어디 – 특정 숫자. 그 다음에
,
. 이 표현식을 방정식 (2)로 대체해 보겠습니다.

또는
.

왜냐하면
, 저것
. 그래서 기능은
다음과 같은 경우 방정식 (2)의 해가 됩니다. 방정식을 만족할 것이다

. (6)

식 (6)은 다음과 같다. 특성 방정식 방정식 (2)의 경우. 이 방정식은 대수적 이차 방정식입니다.

허락하다 그리고 이 방정식의 뿌리가 있습니다. 그것들은 실제적이고 다를 수도 있고, 복잡할 수도 있고, 실제적이고 동일할 수도 있습니다. 이러한 경우를 고려해 봅시다.

뿌리를 내리자 그리고 특성 방정식은 실제적이고 구별됩니다. 그러면 방정식 (2)의 해는 다음과 같은 함수가 됩니다.
그리고
. 이러한 해는 다음과 같기 때문에 선형 독립입니다.
다음의 경우에만 수행할 수 있습니다.
, 그리고
. 따라서 방정식 (2)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

,

어디 그리고
- 임의의 상수.

실시예 3
.

해결책 . 이 미분의 특성 방정식은 다음과 같습니다.
. 이렇게 결정한 이차 방정식, 그 뿌리를 찾아보자
그리고
. 기능
그리고
미분방정식의 해이다. 이 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.
.

복소수 형태의 표현이라고 불린다.
, 어디 그리고 - 실수, ㅏ
허수단위라고 부른다. 만약에
, 그 다음 숫자
순전히 상상이라고 불린다. 만약에
, 그 다음 숫자
실수로 식별됩니다 .

숫자 복소수의 실수부라고 하며, - 가상 부분. 두 복소수가 허수부의 부호만 서로 다른 경우 이를 켤레라고 합니다.
,
.

실시예 4 . 이차 방정식 풀기
.

해결책 . 판별 방정식
. 그 다음에. 비슷하게,
. 따라서 이 이차 방정식은 켤레 복소수 근을 갖습니다.

특성 방정식의 근을 복잡하게 만듭니다. 즉
,
, 어디
. 방정식 (2)의 해는 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.
,
또는
,
. 오일러의 공식에 따르면

,
.

그 다음에 ,. 알려진 바와 같이, 복소 함수가 선형 동차 방정식의 해라면, 이 방정식의 해는 이 함수의 실수부이자 허수부입니다. 따라서 방정식 (2)의 해는 다음과 같은 함수가 됩니다.
그리고
. 평등 이후

경우에만 실행될 수 있습니다
그리고
이면 이들 해는 선형독립입니다. 따라서 방정식 (2)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 그리고
- 임의의 상수.

실시예 5 . 미분방정식의 일반해 찾기
.

해결책 . 방정식
주어진 차동의 특징입니다. 이를 해결하고 복잡한 뿌리를 얻자
,
. 기능
그리고
미분 방정식의 선형 독립 해입니다. 이 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같습니다.

특성 방정식의 근이 실수이고 동일하다고 가정합니다. 즉
. 그러면 방정식 (2)의 해는 다음과 같은 함수입니다.
그리고
. 이러한 해는 선형적으로 독립입니다. 왜냐하면 표현식은 다음과 같은 경우에만 0과 동일할 수 있기 때문입니다.
그리고
. 따라서 방정식 (2)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

실시예 6 . 미분방정식의 일반해 찾기
.

해결책 . 특성 방정식
뿌리가 같다
. 이 경우 미분 방정식에 대한 선형 독립 해는 다음 함수입니다.
그리고
. 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

상수 계수를 갖는 2차 비균질 선형 미분 방정식

그리고 오른쪽은 특별하게

선형 불균일 방정식 (1)의 일반 해는 일반 해의 합과 같습니다.
해당 동차 방정식 및 특정 솔루션
불균일 방정식:
.

어떤 경우에는 불균일 방정식에 대한 특정 해를 우변의 형태로 매우 간단하게 찾을 수 있습니다.
방정식 (1). 이것이 가능한 사례를 살펴보겠습니다.

저것들. 불균일 방정식의 우변은 차수 다항식입니다. 중. 만약에
가 특성 방정식의 근이 아닌 경우, 불균일 방정식에 대한 특정 해는 차수 다항식의 형태로 찾아야 합니다. 중, 즉.

승산
특정 솔루션을 찾는 과정에서 결정됩니다.

만약에
가 특성 방정식의 근이라면, 불균일 방정식에 대한 특정 해는 다음 형식으로 찾아야 합니다.

실시예 7 . 미분방정식의 일반해 찾기
.

해결책 . 이 방정식에 해당하는 동차 방정식은 다음과 같습니다.
. 그 특성 방정식
뿌리가 있다
그리고
. 균질 방정식의 일반 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

왜냐하면
가 특성 방정식의 근이 아닌 경우, 우리는 함수 형태로 불균일 방정식의 특정 해를 찾을 것입니다
. 이 함수의 미분을 찾아보자
,
이를 다음 방정식으로 대체합니다.

또는 . 계수를 동일시하자 무료 회원:
결정한 이 시스템, 우리는 얻는다
,
. 그런 다음 불균일 방정식의 특정 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
, 주어진 불균일 방정식의 일반 해는 해당 동차 방정식의 일반 해와 불균일 방정식의 특정 해의 합이 됩니다.
.

불균일 방정식의 형식을 다음과 같이 설정합니다.

만약에
가 특성 방정식의 근이 아닌 경우, 불균일 방정식에 대한 특정 해를 다음 형식에서 찾아야 합니다. 만약에
특성 다중성 방정식의 근입니다. 케이 (케이=1 또는 케이=2), 이 경우 불균일 방정식의 특정 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

실시예 8 . 미분방정식의 일반해 찾기
.

해결책 . 해당 균질 방정식의 특성 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
. 그 뿌리
,
. 이 경우 해당 동차 방정식의 일반 해는 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.
.

숫자 3은 특성 방정식의 근이 아니기 때문에 불균일 방정식에 대한 특정 해는 다음 형식으로 찾아야 합니다.
. 1차와 2차의 미분을 찾아보겠습니다.

미분 방정식으로 대체해 보겠습니다.
+ +,
+,.

계수를 동일시하자 무료 회원:

여기에서
,
. 그러면 이 방정식의 특정 해법은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
, 그리고 일반적인 해결책

.

임의 상수의 변형에 대한 라그랑주 방법

임의 상수를 변경하는 방법은 우변의 유형에 관계없이 상수 계수를 갖는 모든 비균질 선형 방정식에 적용될 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 해당 동차 방정식에 대한 일반 해를 알고 있는 경우 항상 비동차 방정식에 대한 일반 해를 찾을 수 있습니다.

허락하다
그리고
방정식 (2)의 선형 독립 해입니다. 그러면 이 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.
, 어디 그리고
- 임의의 상수. 임의 상수를 변경하는 방법의 본질은 방정식 (1)에 대한 일반적인 해를 다음 형식으로 구한다는 것입니다.

어디
그리고
- 발견해야 할 새로운 알려지지 않은 기능. 알려지지 않은 함수가 두 개 있으므로 이를 찾으려면 이러한 함수를 포함하는 두 개의 방정식이 필요합니다. 이 두 방정식이 시스템을 구성합니다.

이는 에 관한 선형 대수 방정식 시스템입니다.
그리고
. 이 시스템을 해결하면
그리고
. 얻은 평등의 양쪽을 통합하면 다음을 찾을 수 있습니다.

그리고
.

이러한 식을 (9)에 대입하면 불균일 선형 방정식 (1)에 대한 일반적인 해를 얻을 수 있습니다.

실시예 9 . 미분방정식의 일반해 찾기
.

해결책. 주어진 미분 방정식에 해당하는 동차 방정식의 특성 방정식은 다음과 같습니다.
. 그 뿌리는 복잡하다
,
. 왜냐하면
그리고
, 저것
,
, 동차 방정식의 일반 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 그런 다음 우리는 이 불균일 방정식에 대한 일반적인 해를 다음과 같은 형태로 찾을 것입니다.
그리고
- 알 수 없는 기능.

이러한 미지의 함수를 찾기 위한 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 시스템을 해결하면 다음을 찾을 수 있습니다.
,
. 그 다음에

,
. 결과 표현식을 일반 솔루션의 공식으로 대체하겠습니다.

이는 라그랑주 방법을 사용하여 얻은 이 미분 방정식의 일반적인 해입니다.

지식의 자기 통제를 위한 질문

상수 계수를 갖는 2차 선형 미분 방정식이라고 불리는 미분 방정식은 무엇입니까?

어떤 선형 미분 방정식을 균질이라고 하고 어느 것을 비균질이라고 합니까?

선형 균질 방정식에는 어떤 속성이 있습니까?

선형 미분 방정식의 특성이라고 불리는 방정식은 무엇이며 어떻게 얻습니까?

특성 방정식의 근이 다른 경우 상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식의 일반 해는 어떤 형태로 작성됩니까?

특성 방정식의 등근의 경우 상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식의 일반 해법은 어떤 형태로 작성됩니까?

특성 방정식의 복소근의 경우 상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식의 일반 해는 어떤 형태로 작성됩니까?

선형 불균일 방정식의 일반적인 해는 어떻게 작성됩니까?

특성 방정식의 근이 다르고 0이 아니고 방정식의 우변이 차수의 다항식인 경우 구하는 선형 불균일 방정식에 대한 특정 해는 어떤 형태로 사용됩니까? 중?

특성 방정식의 근 중 하나의 0이 있고 방정식의 우변이 차수 다항식인 경우 구하는 선형 불균일 방정식의 특정 해는 어떤 형태로 사용됩니까? 중?

라그랑주 방법의 본질은 무엇입니까?

여기서는 선형 불균일 문제를 해결하기 위해 라그랑주 상수의 변형 방법을 적용하겠습니다. 미분 방정식두 번째 순서. 상세 설명임의 차수의 방정식을 푸는 이 방법은 페이지에 설명되어 있습니다.
라그랑주 방법에 의한 고차 선형 불균일 미분 방정식의 해법 >>>.

실시예 1

라그랑주 상수의 변형 방법을 사용하여 상수 계수가 있는 2차 미분 방정식을 풉니다.
(1)

해결책

먼저 균질미분방정식을 푼다:
(2)

이것은 2차 방정식이다.

이차 방정식 풀기:
.
다중 루트: . 방정식 (2)에 대한 기본 해법 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(3) .
여기에서 우리는 동종 방정식 (2)에 대한 일반적인 해를 얻습니다.
(4) .

상수 C 변화 1 그리고 C 2 . 즉, (4)의 상수를 함수로 대체합니다.
.
우리는 원래 방정식 (1)에 대한 해법을 다음과 같은 형식으로 찾고 있습니다.
(5) .

파생상품 찾기:
.
함수와 방정식을 연결해 보겠습니다.
(6) .
그 다음에
.

우리는 이차 파생물을 찾습니다.
.
원래 방정식(1)으로 대체하면 다음과 같습니다.
(1) ;



.
과 가 동종 방정식 (2)를 만족하기 때문에 마지막 세 행의 각 열에 있는 항의 합은 0이 되고 이전 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
(7) .
여기 .

방정식 (6)과 함께 우리는 함수를 결정하기 위한 방정식 시스템을 얻습니다.
(6) :
(7) .

연립방정식 풀기

우리는 방정식 시스템 (6-7)을 푼다. 함수에 대한 표현식을 작성해 보겠습니다.
.
우리는 그들의 파생물을 찾습니다:
;
.

Cramer 방법을 사용하여 방정식 시스템(6-7)을 풉니다. 시스템 행렬의 행렬식을 계산합니다.

.
Cramer의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
;
.

그래서 우리는 함수의 파생물을 찾았습니다.
;
.
통합해 보겠습니다(근 통합 방법 참조). 대체하기
; ; ; .

.
.

;
.

답변

실시예 2

라그랑주 상수의 변화 방법으로 미분 방정식을 풉니다.
(8)

해결책

1단계. 동차방정식 풀기

우리는 동차 미분 방정식을 푼다:

(9)
우리는 형태로 해결책을 찾고 있습니다. 우리는 특성 방정식을 구성합니다.

이 방정식에는 복잡한 뿌리가 있습니다.
.
이러한 뿌리에 해당하는 기본 솔루션 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(10) .
동차방정식 (9)의 일반적인 해법:
(11) .

2단계. 상수의 변형 - 상수를 함수로 대체

이제 우리는 상수 C를 변경합니다 1 그리고 C 2 . 즉, (11)의 상수를 함수로 대체합니다.
.
우리는 원래 방정식 (8)에 대한 해법을 다음과 같은 형식으로 찾고 있습니다.
(12) .

또한 솔루션 진행은 예제 1과 동일합니다. 함수를 결정하기 위한 다음 방정식 시스템에 도달합니다.
(13) :
(14) .
여기 .

연립방정식 풀기

이 시스템을 해결해 봅시다. 함수 및 다음과 같은 표현식을 적어 보겠습니다.
.
파생상품 표에서 다음을 찾을 수 있습니다.
;
.

Cramer 방법을 사용하여 방정식 시스템(13-14)을 풉니다. 시스템 매트릭스의 결정자:

.
Cramer의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
;
.

.
이므로 대수 기호 아래의 모듈러스 기호는 생략 가능합니다. 분자와 분모에 다음을 곱합니다.
.
그 다음에
.

원래 방정식에 대한 일반적인 해법:


.

물리학의 일부 문제에서는 프로세스를 설명하는 양 사이의 직접적인 연결을 설정하는 것이 불가능합니다. 그러나 연구 중인 함수의 도함수를 포함하는 등식을 얻는 것은 가능합니다. 이것이 미분 방정식이 발생하는 방식이며 미지의 함수를 찾기 위해 이를 풀어야 할 필요성입니다.

이 글은 미지의 함수가 하나의 변수에 대한 함수인 미분 방정식을 푸는 문제에 직면한 사람들을 위한 것입니다. 이론은 미분 방정식에 대한 지식이 전혀 없어도 작업에 대처할 수 있도록 구성되어 있습니다.

각 유형의 미분 방정식은 일반적인 예와 문제에 대한 자세한 설명과 솔루션이 포함된 솔루션 방법과 연관되어 있습니다. 당신이 해야 할 일은 문제의 미분방정식 유형을 결정하고 유사한 분석 사례를 찾아 유사한 조치를 수행하는 것뿐입니다.

을 위한 성공적인 솔루션미분 방정식을 사용하려면 역도함수 세트를 찾는 기능도 필요합니다( 부정 적분) 다양한 기능. 필요한 경우 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.

먼저, 도함수와 관련하여 풀 수 있는 1차 상미분 방정식의 유형을 고려한 다음, 2차 ODE로 넘어간 다음, 고차 방정식에 대해 설명하고 다음 시스템으로 마무리하겠습니다. 미분 방정식.

y가 인수 x의 함수인 경우를 기억하세요.

1차 미분방정식.

형식의 가장 간단한 1차 미분 방정식입니다.

이러한 원격 제어의 몇 가지 예를 적어 보겠습니다. .

미분 방정식 등식의 양쪽을 f(x) 로 나누어 도함수에 대해 해결할 수 있습니다. 이 경우, f(x) ≠ 0에 대한 원래 방정식과 동일한 방정식에 도달합니다. 이러한 ODE의 예는 다음과 같습니다.

함수 f(x)와 g(x)가 동시에 사라지는 인수 x의 값이 있으면 추가 솔루션이 나타납니다. 추가 솔루션방정식 주어진 x는 이러한 인수 값에 대해 정의된 함수입니다. 이러한 미분 방정식의 예는 다음과 같습니다.

2차 미분 방정식.

상수 계수를 갖는 2차 선형 균질 미분 방정식.

상수 계수를 갖는 LDE는 매우 일반적인 유형의 미분 방정식입니다. 그들의 해결책은 특별히 어렵지 않습니다. 먼저, 특성방정식의 근을 구합니다. . 서로 다른 p와 q에 대해 세 가지 경우가 가능합니다. 특성 방정식의 근은 실수일 수도 있고 다를 수도 있고, 실수일 수도 있고 일치할 수도 있습니다. 또는 복합 접합체. 특성 방정식의 근 값에 따라 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같이 작성됩니다. , 또는 , 또는 각각.

예를 들어, 상수 계수를 갖는 선형 동차 2차 미분 방정식을 생각해 보세요. 특성 방정식의 근은 k 1 = -3 및 k 2 = 0입니다. 근은 실수이고 다르기 때문에 상수 계수를 갖는 LODE의 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.


상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식.

상수 계수 y를 갖는 2차 LDDE의 일반 해는 해당 LDDE의 일반 해의 합 형태로 구됩니다. 그리고 원래의 불균일 방정식에 대한 특별한 해, 즉 . 이전 단락에서는 상수 계수를 갖는 균질 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 찾는 데 전념했습니다. 그리고 특정 해는 다음과 같은 부정 계수 방법에 의해 결정됩니다. 특정 형태함수 f(x)를 원래 방정식의 오른쪽에 두거나 임의의 상수를 변경하는 방법을 사용합니다.

상수 계수를 갖는 2차 LDDE의 예로 다음을 제공합니다.


이론을 이해하고 익숙해진다. 상세한 솔루션우리는 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식 페이지에서 예를 제공합니다.

선형 동차 미분 방정식(LODE) 및 2차 선형 불균일 미분 방정식(LNDE).

이 유형의 미분 방정식의 특별한 경우는 상수 계수를 갖는 LODE 및 LDDE입니다.

특정 세그먼트에 대한 LODE의 일반 해는 이 방정식의 두 선형 독립 부분 해 y 1 및 y 2의 선형 조합으로 표현됩니다. 즉, .

가장 큰 어려움은 이러한 유형의 미분 방정식에 대해 선형 독립 부분 해를 찾는 것입니다. 일반적으로 특정 솔루션은 다음과 같은 선형 독립 함수 시스템에서 선택됩니다.


그러나 특정 솔루션이 항상 이러한 형식으로 제공되는 것은 아닙니다.

LOD의 예는 다음과 같습니다. .

LDDE의 일반해는 의 형태로 구하는데, 여기서 는 해당 LDDE의 일반해이고, 는 원래 미분방정식의 특정해입니다. 방금 구하는 것에 대해 이야기했지만 임의의 상수를 변화시키는 방법을 사용하여 결정할 수 있습니다.

LNDU의 예를 들 수 있습니다. .

고차 미분 방정식.

순서의 축소를 허용하는 미분 방정식.

미분방정식의 차수 는 원하는 함수와 k-1 차수까지의 도함수를 포함하지 않으며 를 대체하여 n-k로 줄일 수 있습니다.

이 경우 원래 미분방정식은 로 축소됩니다. 해 p(x)를 찾은 후에는 대체 함수로 돌아가서 알려지지 않은 함수 y를 결정해야 합니다.

예를 들어, 미분 방정식 교체 후에는 분리 가능한 변수가 있는 방정식이 되며 순서가 세 번째에서 첫 번째로 줄어듭니다.

상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식을 생각해 보세요.
(1) .
그 해결책은 다음과 같이 얻을 수 있습니다 일반적인 방법주문 감소.

그러나 기본 시스템을 즉시 얻는 것이 더 쉽습니다. N선형 독립 솔루션을 기반으로 일반 솔루션을 만듭니다. 이 경우 전체 솔루션 절차는 다음 단계로 축소됩니다.

우리는 방정식 (1)에 대한 해법을 다음과 같은 형식으로 찾고 있습니다. 우리는 얻는다 특성 방정식:
(2) .
그것은 n개의 뿌리를 가지고 있습니다. 방정식 (2)를 풀고 그 뿌리를 찾습니다. 그러면 특성방정식 (2)는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
(3) .
각 근은 방정식 (1)에 대한 기본 해 시스템의 선형 독립 해 중 하나에 해당합니다. 그런 다음 원래 방정식 (1)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(4) .

진짜 뿌리

실제 뿌리를 생각해 봅시다. 루트를 단일로 둡니다. 즉, 인자는 특성식 (3)에 한 번만 입력된다. 그런 다음 이 근은 해에 해당합니다.
.

다중도 p의 다중근이라고 하자. 그건
. 이 경우 승수는 p배입니다.
.
이러한 다중(동등) 근은 원래 방정식(1)의 p 선형 독립 해에 해당합니다.
; ; ; ...; .

복잡한 뿌리

복잡한 뿌리를 고려하십시오. 실수부와 허수부로 복소근을 표현해 보겠습니다.
.
원본의 계수는 실수이므로 근 외에도 복소수 켤레 근이 있습니다.
.

복소수 근을 배수로 둡니다. 그런 다음 근 쌍은 두 개의 선형 독립 해에 해당합니다.
; .

다중도 p의 다중 복소수 근이라고 하자. 그러면 켤레복소수 값은 다중도 p의 특성 방정식의 근이기도 하며 승수는 p번 입력됩니다.
.
이것 2p뿌리가 일치하다 2p선형 독립 솔루션:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

선형 독립 해의 기본 시스템을 찾은 후 일반 해를 얻습니다.

문제 해결의 예

실시예 1

방정식을 푼다:
.

해결책

.
그것을 변환해 봅시다:
;
;
.

이 방정식의 근원을 살펴보겠습니다. 우리는 다중도 2의 4개의 복소근을 얻었습니다:
; .
이는 원래 방정식의 4가지 선형 독립 해에 해당합니다.
; ; ; .

우리는 또한 배수 3의 세 가지 실제 근을 가집니다:
.
이는 세 가지 선형 독립 솔루션에 해당합니다.
; ; .

원래 방정식에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

답변

실시예 2

방정식을 풀어보세요

해결책

우리는 형태로 해결책을 찾고 있습니다. 우리는 특성 방정식을 구성합니다.
.
이차 방정식을 푸는 중입니다.
.

우리는 두 가지 복잡한 뿌리를 얻었습니다.
.
이는 두 개의 선형 독립 솔루션에 해당합니다.
.
방정식에 대한 일반적인 해법:
.