집 조경 설계 중앙값은 직각에서 나옵니다. 직각 삼각형의 중앙값의 속성

조경 설계

중앙값은 직각에서 나옵니다. 직각 삼각형의 중앙값의 속성

중앙값은 삼각형의 꼭지점에서 반대쪽 변의 중앙까지 그려진 선분입니다. 즉, 교차점에서 이를 반으로 나눕니다. 중앙값이 중앙값이 나오는 정점의 반대편과 교차하는 지점을 밑면이라고 합니다. 삼각형의 각 중앙값은 교차점이라고 하는 한 점을 통과합니다. 길이에 대한 공식은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있습니다.

중앙값의 길이를 표현하는 공식

종종 기하학 문제에서 학생들은 삼각형의 중앙값과 같은 선분을 다루어야 합니다. 길이에 대한 공식은 측면으로 표현됩니다.

여기서 a, b, c는 변입니다. 또한 c는 중앙값이 떨어지는 쪽입니다. 이것이 가장 간단한 공식의 모습입니다. 보조 계산을 위해 삼각형의 중앙값이 필요한 경우가 있습니다. 다른 공식도 있습니다.

계산하는 동안 삼각형의 양면을 알고 있고 특정 각도α가 그 사이에 위치하면 세 번째 변으로 낮아진 삼각형의 중앙값의 길이는 다음과 같이 표현됩니다.

기본 속성

모든 중앙값에는 하나가 있습니다. 공통점 O와 O의 교차점은 꼭지점에서 계산할 경우 2:1의 비율로 나뉩니다. 이 점을 삼각형의 무게중심이라고 합니다.
중앙값은 삼각형을 면적이 같은 다른 두 개로 나눕니다. 이러한 삼각형을 동일 면적이라고 합니다.
중앙값을 모두 그리면 삼각형은 6개의 동일한 도형으로 나누어지며, 이 도형 역시 삼각형이 됩니다.
삼각형의 세 변이 모두 같다면 각 중앙값은 고도와 이등분선이 됩니다. 즉, 삼각형이 그려지는 변에 수직이고 삼각형이 나오는 각도를 이등분합니다.
이등변삼각형에서 다른 변과 같지 않은 변의 반대편 꼭지점에서 뽑아낸 중앙값도 고도와 이등분선이 됩니다. 다른 정점에서 떨어진 중앙값은 동일합니다. 이는 이등변형의 필요충분조건이기도 하다.
삼각형이 일반 피라미드의 밑면인 경우 이 밑면에 떨어진 높이는 모든 중앙값의 교차점에 투영됩니다.

직각 삼각형에서 가장 긴 변에 그려진 중앙값은 길이의 절반과 같습니다.
O를 삼각형 중앙값의 교차점으로 설정합니다. 아래 공식은 모든 점 M에 대해 적용됩니다.

삼각형의 중앙값은 또 다른 속성을 가지고 있습니다. 변의 제곱을 통한 길이의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

중앙분리대가 그려지는 측면의 속성

중앙값의 두 교차점을 중앙값이 떨어진 면과 연결하면 결과 세그먼트는 삼각형의 중앙선이 되고 공통점이 없는 삼각형 측면의 절반이 됩니다.
삼각형의 고도와 중앙값의 밑변과 삼각형의 꼭지점과 고도의 교차점을 연결하는 선분의 중간점은 동일한 원 위에 있습니다.

결론적으로 가장 중요한 부분 중 하나가 삼각형의 중앙값이라고 말하는 것이 논리적입니다. 이 공식을 사용하여 다른 변의 길이를 구할 수 있습니다.

메모. 안에 이번 수업'직각삼각형의 중앙값'이라는 주제로 기하학 문제에 대한 이론적 자료와 해법을 제시합니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 글을 작성하세요. 이 과정은 거의 확실하게 보충될 것입니다.

중앙값의 속성 정삼각형

중앙값 결정

삼각형의 중선은 한 점에서 교차하고 이 점을 기준으로 각의 꼭지점부터 계산하여 2:1의 비율로 두 부분으로 나뉩니다. 교차점을 삼각형의 무게 중심이라고 합니다(문제에서 이 점을 지정하기 위해 "중심"이라는 용어를 사용하는 경우는 비교적 드뭅니다).
중앙값은 삼각형을 크기가 같은 두 개의 삼각형으로 나눕니다.
삼각형은 3개의 중앙값으로 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.
삼각형의 더 큰 변은 더 작은 중앙값에 해당합니다.

해결을 위해 제안된 기하학 문제는 주로 다음을 사용합니다. 직각삼각형의 중앙값의 성질.

직각삼각형의 변에 떨어뜨린 중앙값의 제곱의 합은 빗변에 떨어뜨린 중앙값의 5제곱과 같습니다(공식 1).
중앙값은 직각삼각형의 빗변으로 떨어졌습니다. 빗변의 절반과 같습니다(수식 2)
직각삼각형의 빗변의 중앙값은 다음과 같습니다. 주위에 외접하는 원의 반지름과 같습니다.주어진 직각삼각형(공식 2)
빗변으로 떨어진 중앙값은 다음과 같습니다. 다리의 제곱합의 제곱근의 절반과 같습니다.(수식 3)
빗변으로 낮아진 중앙값은 다리 길이를 반대쪽 다리의 두 사인으로 나눈 몫과 같습니다. 예각(수식 4)
빗변으로 낮아진 중앙값은 다리 길이를 다리에 인접한 예각의 두 코사인으로 나눈 몫과 같습니다(공식 4).
직각 삼각형의 변의 제곱의 합은 빗변으로 떨어뜨린 중앙값의 8제곱과 같습니다(공식 5).

수식의 표기법:

에, 비- 직각삼각형의 다리

씨- 직각삼각형의 빗변

삼각형을 ABC로 표시하면

기원전 = ㅏ

(그건 측면 a,b,c- 해당 각도와 반대입니다)

중 ㅏ- 다리 A에 그려진 중앙값

중 비- 다리 b에 그려진 중앙값

중 씨 - 직각삼각형의 중앙값, 다음과 같이 빗변에 그려집니다.

α(알파)- 각도 CAB 반대편 a

직각삼각형의 중앙값에 관한 문제

다리에 그려진 직각삼각형의 중앙값은 각각 3cm와 4cm입니다. 삼각형의 빗변 구하기

해결책

문제 해결을 시작하기 전에 직각 삼각형의 빗변 길이와 그 위로 내려간 중앙값의 비율에 주목합시다. 이를 위해 공식 2, 4, 5를 살펴보겠습니다. 직각삼각형의 중앙값의 성질. 이 공식은 빗변과 중앙값의 비율을 명확하게 나타내며 1:2로 낮아집니다. 따라서 향후 계산의 편의를 위해(어떤 식으로든 솔루션의 정확성에는 영향을 미치지 않지만 더 많은 계산을 수행하게 됩니다) 편리함), 다리 AC와 BC의 길이를 변수 x와 y로 2x와 2y(x와 y가 아님)로 표시합니다.

직각 삼각형 ADC를 고려하십시오. 문제의 조건에 따라 각 C는 직각이고, 변 AC는 삼각형 ABC와 공통이고, 변 CD는 중앙값의 성질에 따라 반 BC와 같습니다. 그렇다면 피타고라스의 정리에 따르면

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC = 2x, CD = y이므로(중앙값이 다리를 두 개의 동일한 부분으로 나누기 때문에)
4x2 + y2 = 9

동시에 직각 삼각형 EBC를 고려하십시오. 문제의 조건에 따라 직각 C도 있는데, 다리 BC는 원본의 다리 BC와 공통이다. 삼각형 ABC, 그리고 다리 EC는 중앙값의 특성에 따라 원래 삼각형 ABC의 다리 AC의 절반과 같습니다.
피타고라스의 정리에 따르면:
EC 2 + BC 2 = BE 2

EC = x(중앙값은 다리를 반으로 나눕니다)이므로 BC = 2y입니다.
x 2 + 4y 2 = 16

삼각형 ABC, EBC 및 ADC는 공통 변으로 연결되어 있으므로 두 결과 방정식도 서로 연관되어 있습니다.
결과 방정식 시스템을 풀어 봅시다.
4x2 + y2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. 중앙값은 삼각형을 면적이 같은 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

2. 삼각형의 중앙값은 한 지점에서 교차하며, 꼭지점부터 계산하여 각각을 2:1의 비율로 나눕니다. 이 지점은 무게중심삼각형.

3. 전체 삼각형은 중앙값에 따라 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.

삼각형 이등분선의 속성

1. 각의 이등분선은 이 각의 변으로부터 등거리에 있는 점들의 궤적입니다.

2. 이등분선 내부 코너삼각형의 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 세그먼트로 나눕니다.

3. 삼각형의 이등분선의 교점은 이 삼각형에 내접하는 원의 중심입니다.

삼각형 고도의 속성

1. 직각삼각형의 꼭지점에서 그은 높이 직각, 원본과 비슷한 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

2. 예각 삼각형에서는 두 개의 고도가 유사한 삼각형을 차단합니다. 삼각형.

삼각형의 수직이등분선의 성질

1. 선분에 대한 수직이등분선의 각 점은 이 선분의 끝에서 등거리에 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 선분의 끝에서 등거리에 있는 모든 점은 선분의 수직 이등분선에 있습니다.

2. 삼각형의 변에 그려진 수직 이등분선의 교점은 이 삼각형에 외접하는 원의 중심입니다.

삼각형의 정중선의 성질

삼각형의 중심선은 한 변과 평행하고 그 변의 절반과 같습니다.

삼각형의 유사성

두 개의 삼각형 비슷한다음 조건 중 하나에 해당하는 경우 유사성의 징후:

· 한 삼각형의 두 각도는 다른 삼각형의 두 각도와 같습니다.

· 한 삼각형의 두 변은 다른 삼각형의 두 변에 비례하고, 두 변이 이루는 각도는 같습니다.

· 한 삼각형의 세 변은 각각 다른 삼각형의 세 변에 비례합니다.

유사한 삼각형에서 해당 선(높이, 중앙값, 이등분선 등)은 비례합니다.

사인의 정리

코사인 정리

2= 비 2+ c 2- 2기원전코사인

삼각형 면적 공식

1. 프리 트라이앵글

가, 비, ㄷ -측면; - 측면 사이의 각도 ㅏ그리고 비; - 반 둘레; 아르 자형-외접원 반경; 아르 자형-내접원의 반경; 에스-정사각형; 하아 -끌어당겨진 높이 옆 ㅏ.

S = 아아

S = 절대 죄

에스 = 홍보

2. 정삼각형

가, 비 -다리; 씨-빗변; h c -옆으로 끌어당긴 높이 씨.

S = ch c S = ab

3. 정삼각형

사변형

평행사변형의 속성

· 반대쪽은 동일합니다.

· 반대 각도는 동일합니다.

· 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

· 한 변에 인접한 각도의 합은 180°입니다.

대각선의 제곱의 합은 모든 변의 제곱의 합과 같습니다.

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

다음과 같은 경우 사각형은 평행사변형입니다.

1. 마주보는 두 변이 동일하고 평행하다.

2. 반대편은 쌍으로 동일합니다.

3. 반대 각도는 쌍으로 동일합니다.

4. 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

사다리꼴의 속성

· 그 중간선은 밑면과 평행하고 그 절반합과 같습니다.

· 사다리꼴이 이등변이면 대각선이 같고 밑면의 각도도 같습니다.

· 사다리꼴이 이등변이면 그 주위에 원이 묘사될 수 있습니다.

· 밑변의 합이 변의 합과 같으면 그 안에 원이 새겨질 수 있습니다.

직사각형 속성

대각선은 동일합니다.

평행사변형은 다음과 같은 경우 직사각형입니다.

1. 각 중 하나가 직선입니다.

2. 대각선이 같습니다.

마름모의 속성

· 평행사변형의 모든 속성;

대각선은 수직입니다.

대각선은 각도의 이등분선입니다.

1. 평행사변형은 다음과 같은 경우 마름모입니다.

2. 인접한 두 변이 같습니다.

3. 대각선은 수직이다.

4. 대각선 중 하나는 해당 각도의 이등분선입니다.

정사각형의 속성

· 사각형의 모든 모서리가 옳습니다.

· 정사각형의 대각선은 동일하고 서로 수직이며 교차점은 정사각형의 모서리를 이등분하고 이등분합니다.

직사각형은 마름모의 특성을 가지면 정사각형입니다.

기본 공식

1. 볼록한 사각형
디 1,d 2 -대각선; - 그들 사이의 각도; 에스-정사각형.

S = 디 1 디 2 죄

학교 과정에서 어떤 주제를 공부할 때 최소한의 문제를 선택할 수 있으며 문제 해결 방법을 숙지하면 학생들은 공부하는 주제에 대한 프로그램 요구 사항 수준에서 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 나는 학교 수학 과정에서 개별 주제의 상호 관계를 볼 수 있는 문제를 고려할 것을 제안합니다. 따라서 컴파일된 작업 시스템은 다음과 같습니다. 효과적인 수단반복, 일반화, 체계화 교육 자료학생들이 시험을 준비하는 동안.

시험에 합격하려면 불필요하지 않습니다 추가 정보삼각형의 일부 요소에 대해. 삼각형의 중앙값의 속성과 이러한 속성을 사용할 수 있는 문제를 해결하는 문제를 고려해 보겠습니다. 제안된 작업은 수준 차별화 원칙을 구현합니다. 모든 작업은 조건에 따라 레벨로 나뉩니다. 레벨은 각 작업 뒤의 괄호 안에 표시됩니다.

삼각형의 중앙값의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.

속성 1. 삼각형의 중앙값을 증명하세요. 알파벳, 정점에서 그려짐 ㅏ, 변의 합이 절반 미만 AB그리고 A.C..

증거

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

속성 2. 중앙값은 삼각형을 두 개의 동일한 영역으로 자릅니다.

증거

삼각형 ABC의 꼭지점 B에서 중앙값 BD와 높이 BE를 그려보겠습니다..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

세그먼트 BD가 중앙값이므로

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="중앙값" align="left" width="196" height="75 src=">!} 속성 4. 삼각형의 중앙값은 삼각형을 6개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.

증거

중앙값이 삼각형 ABC를 나누는 여섯 개의 삼각형 각각의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이와 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 수행하려면 예를 들어 삼각형 AOF를 고려하고 정점 A에서 선 BF까지 수직 AK를 놓습니다.

속성 2로 인해

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="중앙값" align="left" width="105" height="132 src=">!}

재산 6. 직각 꼭지점에서 그린 직각 삼각형의 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다.

증거

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="중앙값" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

결과:1. 직각 삼각형에 외접하는 원의 중심은 빗변의 중앙에 있습니다.

2. 삼각형에서 중앙값의 길이가 그려진 변의 길이의 절반과 같으면 이 삼각형은 직각입니다.

작업

각 후속 문제를 해결할 때 입증된 속성이 사용됩니다.

№1 주제: 중앙값을 두 배로 늘리기. 난이도: 2+

평행사변형의 표시 및 속성 등급: 8,9

상태

중위권 지속시 오전.삼각형 알파벳포인트당 중연기된 구간 MD, 동일한 오전.. 정사각형임을 증명하라 ABDC- 평행사변형.

해결책

평행사변형의 기호 중 하나를 사용해 봅시다. 사각형의 대각선 ABDC한 지점에서 교차 중그리고 그것을 반으로 나누어서 사각형이 되도록 하세요. ABDC- 평행사변형.

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