집 주택 건물 도함수를 사용하여 함수의 가장 작은 값을 찾습니다. 세그먼트에 대한 함수의 최대값과 최소값

주택 건물

도함수를 사용하여 함수의 가장 작은 값을 찾습니다. 세그먼트에 대한 함수의 최대값과 최소값

기능을 보자 와이 =에프(엑스)간격 [ 에, 비]. 알려진 바와 같이, 이러한 함수는 이 세그먼트에서 최대값과 최소값에 도달합니다. 이 함수는 세그먼트의 내부 지점에서 이러한 값을 취할 수 있습니다. 에, 비] 또는 세그먼트 경계에 있습니다.

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 [ 에, 비] 필요한:

1) 구간에서 함수의 임계점을 찾습니다( 에, 비);

2) 발견된 임계점에서 함수 값을 계산합니다.

3) 세그먼트 끝의 함수 값을 계산합니다. 즉, 엑스=ㅏ그리고 x = 비;

4) 계산된 모든 함수 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

예.가장 위대한 것을 찾아내고 가장 작은 값기능

세그먼트에.

중요한 점 찾기:

이 점은 세그먼트 내부에 있습니다. 와이(1) = ‒ 3; 와이(2) = ‒ 4; 와이(0) = ‒ 8; 와이(3) = 1;

그 시점에 엑스= 3 그리고 그 지점에서 엑스= 0.

볼록성과 변곡점에 대한 함수 연구.

기능 와이 = 에프 (엑스) ~라고 불리는 볼록한사이 (ㅏ, 비) , 해당 그래프가 이 간격의 임의 지점에 그려진 접선 아래에 있고 호출되는 경우 아래로 볼록하다 (오목하다), 그래프가 접선 위에 있는 경우.

볼록한 부분이 오목한 부분으로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 지점을 다음과 같이 부릅니다. 변곡점.

볼록성과 변곡점을 조사하는 알고리즘:

1. 제2종 임계점, 즉 2차 도함수가 0이 되거나 존재하지 않는 지점을 찾습니다.

2. 수직선에 중요한 지점을 그려 간격으로 나눕니다. 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. if 이면 함수는 위쪽으로 볼록하고, if 이면 함수는 아래쪽으로 볼록합니다.

3. 제2종 임계점을 통과할 때 부호가 바뀌고 이 지점에서 2차 도함수가 0과 같으면 이 점이 변곡점의 가로좌표입니다. 좌표를 찾으세요.

함수 그래프의 점근선. 점근선에 대한 함수 연구.

정의.함수 그래프의 점근선은 다음과 같습니다. 똑바로, 이는 그래프의 점이 원점에서 무한정 이동할 때 그래프의 임의 점에서 이 선까지의 거리가 0이 되는 경향이 있다는 특성을 가지고 있습니다.

점근선에는 세 가지 유형이 있습니다: 수직, 수평 및 경사.

정의.직선이라고 합니다 수직 점근선기능 그래픽 y = f(x), 이 지점에서 함수의 단측 극한 중 적어도 하나가 무한대와 같은 경우, 즉

함수의 불연속점은 어디입니까? 즉 정의 영역에 속하지 않습니다.

예.

디 ( 와이) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

엑스= 2 – 중단점.

정의.똑바로 와이 =ㅏ~라고 불리는 수평 점근선기능 그래픽 y = f(x)에, 만약에

예.

엑스
와이

정의.똑바로 와이 =케이엑스 +비 (케이≠ 0)이 호출됩니다. 경사 점근선기능 그래픽 y = f(x)어디에

함수를 연구하고 그래프를 구성하는 일반적인 방식입니다.

함수 연구 알고리즘y = f(x) :

1. 함수의 정의역 찾기 디 (와이).

2. 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다(가능한 경우). 엑스= 0 및 와이 = 0).

3. 함수의 균등성과 홀수를 조사합니다( 와이 (‒ 엑스) = 와이 (엑스) ‒ 동등; 와이(‒ 엑스) = ‒ 와이 (엑스) ‒ 이상한).

4. 함수 그래프의 점근선을 구합니다.

5. 함수의 단조성 간격을 찾습니다.

6. 함수의 극값을 찾습니다.

7. 함수 그래프의 볼록(오목) 간격과 변곡점을 구합니다.

8. 수행된 연구를 바탕으로 함수의 그래프를 구성합니다.

예.함수를 탐색하고 그래프를 구성합니다.

1) 디 (와이) =

엑스= 4 – 중단점.

2) 언제 엑스 = 0,

(0; − 5) – 교차점 오.

~에 와이 = 0,

3) 와이(‒ 엑스)= 기능 일반적인 견해(짝수도 홀수도 아님)

4) 점근선을 조사합니다.

가) 수직

b) 수평

c) 여기서 경사 점근선을 찾습니다.

─사선 점근선 방정식

5) 이 방정식에서는 함수의 단조성 구간을 찾을 필요가 없습니다.

이러한 임계점은 함수 정의의 전체 영역을 간격 (˗무; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) 및 (10; +무한)으로 나눕니다. 얻은 결과를 다음 표의 형태로 제시하는 것이 편리하다.

이 서비스를 이용하면 다음과 같은 일을 할 수 있습니다. 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기 Word 형식의 솔루션을 사용하는 하나의 변수 f(x). 따라서 함수 f(x,y)가 주어지면 두 변수 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 함수의 증가 및 감소 간격을 찾을 수도 있습니다.

기능 입력 규칙:

한 변수의 함수의 극한에 대한 필요 조건

방정식 f" 0 (x *) = 0은 다음과 같습니다. 필요한 조건하나의 변수에 대한 함수의 극값, 즉 x * 지점에서 함수의 1차 도함수는 사라져야 합니다. 이는 함수가 증가하거나 감소하지 않는 고정점 xc를 식별합니다.

한 변수의 함수의 극값에 대한 충분조건

f 0 (x)가 집합 D에 속하는 x에 대해 두 번 미분 가능하다고 가정합니다. x * 지점에서 조건이 충족되면:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

그러면 x * 지점은 함수의 로컬(전역) 최소 지점입니다.

x * 지점에서 조건이 충족되면:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

그러면 점 x *는 지역(전역) 최대값입니다.

예 1. 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.
해결책.

임계점은 1 x 1 = 2(f'(x)=0)입니다. 이 지점은 세그먼트에 속합니다. (x=0 지점은 0∉이므로 중요하지 않습니다.)
세그먼트 끝과 임계점에서 함수 값을 계산합니다.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
답: x=2에서 f min = 5 / 2; x=1에서 f 최대 =9

예 2. 고차 도함수를 사용하여 함수 y=x-2sin(x) 의 극값을 구합니다.
해결책.
함수의 도함수를 구합니다: y'=1-2cos(x) . 임계점을 찾아봅시다: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)를 찾아 계산합니다. 이는 x= π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최소 점입니다. , 이는 x=- π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최대 점입니다.

예 번호 3. x=0 지점 근처에서 극한 함수를 조사합니다.
해결책. 여기서 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 극한값 x=0이면 해당 유형(최소값 또는 최대값)을 알아보세요. 발견된 점 중에 x = 0이 없으면 함수 f(x=0)의 값을 계산합니다.
주어진 점의 양쪽에 있는 도함수가 그 부호를 바꾸지 않을 때, 미분 가능한 함수에 대해서도 가능한 상황이 소진되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 점 x 0의 한쪽에 있는 임의의 작은 이웃에 대해 발생할 수 있습니다. 양쪽에서 미분 변경 기호가 표시됩니다. 이 시점에서는 극한의 기능을 연구하기 위해 다른 방법을 사용할 필요가 있습니다.

$z=f(x,y)$ 함수가 일부 제한된 폐쇄 도메인 $D$에서 정의되고 연속이라고 가정합니다. 이 영역의 주어진 함수가 1차의 유한 부분 도함수를 갖는다고 가정합니다(아마도 유한 개수의 점을 제외하고). 주어진 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 세 단계의 간단한 알고리즘이 필요합니다.

닫힌 도메인 $D$에서 $z=f(x,y)$ 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

정의역 $D$에 속하는 함수 $z=f(x,y)$의 임계점을 찾습니다. 중요한 지점에서 함수 값을 계산합니다.
$D$ 영역의 경계에서 $z=f(x,y)$ 함수의 동작을 조사하여 가능한 최대값과 최소값의 지점을 찾습니다. 획득한 지점에서 함수값을 계산합니다.
이전 두 단락에서 얻은 함수 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

중요한 점은 무엇입니까? 표시\숨기기

아래에 임계점 1차 편도함수가 모두 0인 점을 의미합니다(예: $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ 및 $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) 또는 적어도 하나의 부분 파생물이 존재하지 않습니다.

종종 1차 편도함수가 0과 같은 점을 다음과 같이 부릅니다. 고정점. 따라서 고정점은 임계점의 하위 집합입니다.

예 1

닫힌 영역에서 $z=x^2+2xy-y^2-4x$ 함수의 최대값과 최소값을 구하고, 라인으로 제한됨$x=3$, $y=0$ 및 $y=x+1$.

위의 내용을 따르지만 먼저 문자 $D$로 표시할 특정 영역의 그림을 다루겠습니다. 우리는 주어진 세 가지 방정식이 영역을 제한하는 직선. $x=3$ 직선은 세로축(Oy축)에 평행한 점 $(3;0)$을 통과합니다. 직선 $y=0$은 가로축(Ox축)의 방정식입니다. $y=x+1$ 선을 구성하기 위해 우리는 이 선을 그릴 두 점을 찾을 것입니다. 물론 $x$ 대신 임의의 값 몇 개를 대체할 수도 있습니다. 예를 들어, $x=10$을 대체하면 $y=x+1=10+1=11$이 됩니다. 우리는 $y=x+1$ 선에 $(10;11)$ 점을 발견했습니다. 그러나 $y=x+1$ 직선이 $x=3$ 및 $y=0$ 선과 교차하는 지점을 찾는 것이 좋습니다. 왜 이것이 더 낫습니까? 왜냐하면 우리는 일석이조로 두 마리의 새를 죽일 것이기 때문입니다. 직선 $y=x+1$을 구성하기 위한 두 점을 얻는 동시에 이 직선이 주어진 면적을 제한하는 다른 선과 교차하는 점을 알아낼 것입니다. $y=x+1$ 선은 $(3;4)$ 점에서 $x=3$ 선과 교차하고, $y=0$ 선은 $(-1;0)$ 점에서 교차합니다. 보조 설명으로 해결 과정을 혼란스럽게 하지 않기 위해 이 두 가지 사항을 얻는 문제를 메모에 넣겠습니다.

$(3;4)$ 및 $(-1;0)$ 포인트는 어떻게 얻었나요? 표시\숨기기

$y=x+1$과 $x=3$ 선의 교차점부터 시작하겠습니다. 원하는 점의 좌표는 첫 번째 직선과 두 번째 직선 모두에 속하므로 알 수 없는 좌표를 찾으려면 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

$$ \left \( \begin(정렬) & y=x+1;\\ & x=3. \end(정렬) \right. $$

이러한 시스템에 대한 해결책은 간단합니다. $x=3$을 첫 번째 방정식에 대입하면 $y=3+1=4$가 됩니다. $(3;4)$ 점은 $y=x+1$ 및 $x=3$ 선의 원하는 교차점입니다.

이제 $y=x+1$과 $y=0$의 교차점을 찾아보겠습니다. 다시 방정식 시스템을 구성하고 풀어 보겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

첫 번째 방정식에 $y=0$을 대입하면 $0=x+1$, $x=-1$이 됩니다. $(-1;0)$ 점은 $y=x+1$ 선과 $y=0$ 선(x축)의 원하는 교차점입니다.

다음과 같은 도면을 작성할 준비가 모두 완료되었습니다.

메모에 대한 질문은 그림에 모든 것이 표시되기 때문에 분명해 보입니다. 그러나 그림은 증거가 될 수 없다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 그림은 설명 목적으로만 사용됩니다.

우리의 영역은 그것을 묶는 직선 방정식을 사용하여 정의되었습니다. 분명히 이 선들은 삼각형을 정의합니다. 그렇죠? 아니면 완전히 명확하지 않습니까? 아니면 같은 선으로 둘러싸인 다른 영역이 주어질 수도 있습니다.

물론 해당 지역이 폐쇄된 상태라고 되어 있어 표시된 사진은 정확하지 않습니다. 그러나 그러한 모호함을 피하려면 불평등을 기준으로 지역을 정의하는 것이 좋습니다. $y=x+1$ 직선 아래에 위치한 평면 부분에 관심이 있습니까? 좋습니다. $y ≤ x+1$입니다. 우리 지역이 $y=0$ 선 위에 위치해야 합니까? 좋습니다. 이는 $y ≥ 0$를 의미합니다. 그건 그렇고, 마지막 두 불평등은 쉽게 하나로 결합될 수 있습니다: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

이러한 부등식은 $D$ 영역을 정의하며 어떠한 모호함도 허용하지 않고 이를 명확하게 정의합니다. 그러나 이것이 노트의 시작 부분에 언급된 질문에 어떻게 도움이 됩니까? 그것은 또한 도움이 될 것입니다 :) $M_1(1;1)$ 점이 $D$ 영역에 속하는지 확인해야 합니다. 이 영역을 정의하는 불평등 시스템에 $x=1$ 및 $y=1$을 대체해 보겠습니다. 두 부등식이 모두 충족되면 점이 영역 내부에 놓이게 됩니다. 부등식 중 적어도 하나가 충족되지 않으면 해당 점이 해당 영역에 속하지 않습니다. 그래서:

$$ \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & 0  1  2;\\ & 1  3. \end(aligned) \right $$.

두 부등식이 모두 유효합니다. $M_1(1;1)$ 지점은 $D$ 지역에 속합니다.

이제 영역 경계에서 함수의 동작을 연구할 차례입니다. 으로 가자. 직선 $y=0$부터 시작하겠습니다.

직선 $y=0$(가로축)은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$에 $y=0$을 대입해 보겠습니다. 치환의 결과로 얻은 하나의 변수 $x$의 함수를 $f_1(x)$로 나타냅니다.

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

이제 $f_1(x)$ 함수의 경우 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트에 속하므로 포인트 목록에 $M_2(2;0)$도 추가합니다. 또한 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트의 끝 부분에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_3(-1;0)$ 및 $M_4(3;0)$ 지점에서. 그런데 $M_2$ 포인트가 고려 중인 세그먼트에 속하지 않았다면 물론 그 안에 있는 $z$ 함수의 값을 계산할 필요가 없습니다.

그럼 $M_2$, $M_3$, $M_4$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. 물론 이러한 점의 좌표를 원래 표현식 $z=x^2+2xy-y^2-4x$로 대체할 수 있습니다. 예를 들어 $M_2$ 지점에 대해 다음을 얻습니다.

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

그러나 계산을 조금 단순화할 수 있습니다. 이를 수행하려면 $M_3M_4$ 세그먼트에 $z(x,y)=f_1(x)$가 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이에 대해 자세히 적어보겠습니다.

\begin(정렬) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(정렬됨)

물론 일반적으로 이렇게 상세한 기록은 필요하지 않으며 앞으로는 모든 계산을 간략하게 기록해 보겠습니다.

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

이제 직선 $x=3$으로 돌아가 보겠습니다. 이 직선은 $0 ≤ y ≤ 4$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z$에 $x=3$을 대입해 보겠습니다. 이 대체의 결과로 $f_2(y)$ 함수를 얻습니다.

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ 함수의 경우 $0 ≤ y ≤ 4$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ 값은 $0 ≤ y ≤ 4$ 세그먼트에 속하므로 이전에 찾은 포인트에 $M_5(3;3)$도 추가합니다. 또한 세그먼트 $0 ≤ y ≤ 4$의 끝 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해야 합니다. 즉, $M_4(3;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 지점에서. $M_4(3;0)$ 지점에서 우리는 이미 $z$의 값을 계산했습니다. $M_5$ 및 $M_6$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_4M_6$ 세그먼트에는 $z(x,y)=f_2(y)$가 있으므로 다음과 같습니다.

\begin(정렬) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(정렬됨)

마지막으로 $D$ 영역의 마지막 경계를 고려합니다. 직선 $y=x+1$. 이 직선은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건 하에서 $D$ 영역을 제한합니다. $y=x+1$을 $z$ 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

다시 한 번 변수 $x$의 함수가 있습니다. 그리고 다시 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 이 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. $f_(3)(x)$ 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에 속합니다. $x=1$이면 $y=x+1=2$입니다. 점 목록에 $M_7(1;2)$을 추가하고 이 시점에서 $z$ 함수의 값이 무엇인지 알아봅시다. 세그먼트 끝의 점 $-1 ≤ x ≤ 3$, 즉 $M_3(-1;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 포인트는 이전에 고려되었으므로 이미 해당 함수의 값을 찾았습니다.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

솔루션의 두 번째 단계가 완료되었습니다. 우리는 7가지 값을 받았습니다:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

살펴 보겠습니다. 세 번째 단락에서 얻은 숫자에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하면 다음과 같습니다.

$$z_(분)=-4; \; z_(최대)=6.$$

문제는 해결되었으니 답을 적는 일만 남았습니다.

답변: $z_(분)=-4; \; z_(최대)=6$.

예 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ 영역에서 $z=x^2+y^2-12x+16y$ 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다.

먼저 그림을 만들어 보겠습니다. $x^2+y^2=25$ 방정식(주어진 영역의 경계선)은 원점(즉, $(0;0)$ 지점)에 중심이 있고 반경은 다음과 같은 원을 정의합니다. 5. 부등식 $x^2 +y^2 ≤ $25는 언급된 원 내부와 위의 모든 점을 만족합니다.

우리는 따라 행동할 것입니다. 편도함수를 구하고 중요한 점을 알아봅시다.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

발견된 부분 도함수가 존재하지 않는 지점은 없습니다. 두 부분 도함수가 동시에 0과 같은 지점, 즉 정지점을 찾아보자.

$$ \left \( \begin(정렬) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & x =6;\\ & y=-8.\end(정렬)\right $$.

우리는 고정점 $(6;-8)$을 얻었습니다. 그러나 발견된 지점은 $D$ 영역에 속하지 않습니다. 그림을 그리지 않고도 쉽게 보여줄 수 있습니다. 우리 지역 $D$를 정의하는 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$가 유지되는지 확인해 보겠습니다. $x=6$, $y=-8$이면 $x^2+y^2=36+64=100$, 즉 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$는 유지되지 않습니다. 결론: 포인트 $(6;-8)$은 $D$ 영역에 속하지 않습니다.

따라서 $D$ 영역에는 임계점이 없습니다. 다음으로 넘어가자... 우리는 주어진 영역의 경계에서 함수의 동작을 연구해야 합니다. $x^2+y^2=25$ 원에서. 물론 $y$를 $x$로 표현한 다음 결과 표현식을 $z$ 함수로 대체할 수 있습니다. 원의 방정식으로부터 $y=\sqrt(25-x^2)$ 또는 $y=-\sqrt(25-x^2)$를 얻습니다. 예를 들어 $y=\sqrt(25-x^2)$를 주어진 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

추가 솔루션은 이전 예제 1의 영역 경계에서 함수의 동작을 연구하는 것과 완전히 동일합니다. 그러나 이 상황에서는 라그랑주 방법을 적용하는 것이 더 합리적이라고 생각됩니다. 우리는 이 방법의 첫 번째 부분에만 관심을 가질 것입니다. 라그랑주 방법의 첫 번째 부분을 적용한 후 $z$ 함수의 최소값과 최대값을 검사할 지점을 얻습니다.

우리는 라그랑주 함수를 구성합니다:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot(x^2+y^2 -25). $$

라그랑주 함수의 편도함수를 찾고 해당 방정식 시스템을 구성합니다.

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (정렬됨) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(정렬) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( 정렬)\right.$ $

이 연립방정식을 풀기 위해 즉시 $\lambda\neq -1$을 지적해 봅시다. 왜 $\lambda\neq -1$인가요? $\lambda=-1$을 첫 번째 방정식에 대입해 보겠습니다.

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

결과적으로 모순 $0=6$은 $\lambda=-1$ 값이 허용되지 않음을 나타냅니다. 출력: $\lambda\neq -1$. $x$ 및 $y$를 $\lambda$로 표현해 보겠습니다.

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(정렬됨)

나는 여기서 우리가 $\lambda\neq -1$ 조건을 구체적으로 규정한 이유가 분명해진다고 믿습니다. 이는 $1+\lambda$ 표현식을 간섭 없이 분모에 맞추기 위해 수행되었습니다. 즉, 분모 $1+\lambda\neq 0$가 되도록 해야 합니다.

$x$ 및 $y$에 대한 결과 표현식을 시스템의 세 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. 즉, $x^2+y^2=25$에서:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

결과 동등성에서 $1+\lambda=2$ 또는 $1+\lambda=-2$가 됩니다. 따라서 $\lambda$ 매개변수의 두 가지 값, 즉 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$이 있습니다. 따라서 우리는 $x$와 $y$의 두 쌍의 값을 얻습니다.

\begin(정렬) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(정렬됨)

따라서 우리는 가능한 조건부 극값의 두 지점을 얻었습니다. $M_1(3;-4)$ 및 $M_2(-3;4)$. $M_1$ 및 $M_2$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 찾아보겠습니다.

\begin(정렬) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(정렬됨)

첫 번째와 두 번째 단계에서 얻은 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택해야 합니다. 하지만 이 경우 선택의 여지가 적습니다. :) 우리는 다음을 수행합니다.

$$ z_(분)=-75; \; z_(최대)=125. $$

답변: $z_(분)=-75; \; z_(최대)=$125.

실용적인 관점에서 가장 큰 관심은 도함수를 사용하여 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것입니다. 이것은 무엇과 관련이 있습니까? 이익 극대화, 비용 최소화, 최적의 장비 부하 결정... 즉, 삶의 여러 영역에서 우리는 일부 매개 변수를 최적화하는 문제를 해결해야 합니다. 그리고 이것은 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 작업입니다.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 일반적으로 함수의 전체 영역 또는 정의 영역의 일부인 특정 간격 X에서 구됩니다. 간격 X 자체는 세그먼트, 열린 간격일 수 있습니다. , 무한 간격.

이 기사에서는 명시적으로 최대값과 최소값을 찾는 방법에 대해 설명합니다. 주어진 함수하나의 변수 y=f(x) .

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함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 - 정의, 그림.

주요 정의를 간단히 살펴보겠습니다.

함수의 가장 큰 값 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

함수의 가장 작은 값구간 X의 y=f(x)를 이러한 값이라고 합니다. 그건 누구에게나 불평등은 사실이다.

이러한 정의는 직관적입니다. 함수의 가장 큰(가장 작은) 값은 가로좌표에서 고려 중인 구간에서 허용되는 가장 큰(가장 작은) 값입니다.

고정점– 함수의 미분이 0이 되는 인수의 값입니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 때 고정점이 필요한 이유는 무엇입니까? 이 질문에 대한 답은 페르마의 정리에 의해 주어집니다. 이 정리에 따르면 미분 가능 함수가 어떤 지점에서 극값(국소 최솟값 또는 국부 최댓값)을 갖는 경우 이 지점은 고정되어 있습니다. 따라서 함수는 종종 이 구간의 고정점 중 하나에서 구간 X의 가장 큰(가장 작은) 값을 취합니다.

또한 함수는 이 함수의 1차 도함수가 존재하지 않고 함수 자체가 정의되는 지점에서 최대값과 최소값을 취하는 경우가 많습니다.

이 주제에 대한 가장 일반적인 질문 중 하나인 "함수의 최대(최소) 값을 결정하는 것이 항상 가능합니까?"에 즉시 답해 보겠습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 때때로 간격 X의 경계가 함수 정의 영역의 경계와 일치하거나 간격 X가 무한합니다. 그리고 무한대와 정의 영역의 경계에 있는 일부 함수는 무한히 큰 값과 무한히 작은 값을 모두 가질 수 있습니다. 이 경우 함수의 최대값과 최소값에 대해서는 아무 것도 말할 수 없습니다.

명확성을 위해 그래픽 그림을 제공합니다. 사진을 보시면 많은 것이 더 명확해질 것입니다.

세그먼트에서

첫 번째 그림에서 함수는 세그먼트 [-6;6] 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

두 번째 그림에 묘사된 사례를 고려해보세요. 세그먼트를 으로 변경해 보겠습니다. 이 예에서 함수의 가장 작은 값은 다음과 같습니다. 정지점, 그리고 가장 큰 것 - 간격의 오른쪽 경계에 해당하는 가로좌표가 있는 지점.

그림 3에서 세그먼트 [-3;2]의 경계점은 함수의 최대값과 최소값에 해당하는 점의 가로좌표입니다.

열린 간격으로

네 번째 그림에서 함수는 열린 구간(-6;6) 내부에 위치한 정지점에서 가장 큰(max y) 값과 가장 작은(min y) 값을 취합니다.

구간에서는 가장 큰 값에 대한 결론을 도출할 수 없습니다.

무한대에서

일곱 번째 그림에 표시된 예에서 함수는 다음을 수행합니다. 가장 높은 가치(최대 y)는 가로좌표 x=1인 고정점에서, 가장 작은 값(최소 y)은 간격의 오른쪽 경계에서 달성됩니다. 음의 무한대에서 함수 값은 점근적으로 y=3에 접근합니다.

간격 동안 함수는 가장 작은 값이나 가장 큰 값에 도달하지 않습니다. x=2가 오른쪽에서 접근할수록 함수값은 마이너스 무한대(x=2선은 수직 점근선)에 가까워지는 경향이 있고, 가로좌표는 플러스 무한대 방향으로 갈수록 함수값은 y=3에 점근적으로 접근합니다. 이 예의 그래픽 그림이 그림 8에 나와 있습니다.

세그먼트에서 연속 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾을 수 있는 알고리즘을 작성해 보겠습니다.

함수 정의 영역을 찾아 전체 세그먼트가 포함되어 있는지 확인합니다.
우리는 1차 도함수가 존재하지 않고 세그먼트에 포함된 모든 점을 찾습니다(일반적으로 이러한 점은 모듈러스 기호 아래 인수가 있는 함수에서 발견됩니다. 전력 기능분수-유리 지수 사용). 해당 포인트가 없으면 다음 포인트로 이동합니다.
우리는 세그먼트 내에 속하는 모든 고정 지점을 결정합니다. 이를 위해 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀고 적합한 근을 선택합니다. 고정된 점이 없거나 그 중 어느 것도 세그먼트에 포함되지 않으면 다음 점으로 이동합니다.
선택된 고정점(있는 경우), 1차 도함수가 존재하지 않는 지점(있는 경우) 및 x=a 및 x=b에서 함수 값을 계산합니다.
얻은 함수 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다. 이는 각각 함수에 필요한 가장 큰 값과 가장 작은 값이 됩니다.

세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 예제를 해결하기 위한 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

예.

함수의 최대값과 최소값 찾기