이 주제는 간단하지 않은 많은 공식으로 인해 처음에는 복잡해 보일 수 있습니다. 이차방정식 자체에는 긴 표기법이 있을 뿐만 아니라, 판별식을 통해서도 근을 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 얻어졌습니다. 기억하기가 쉽지 않습니다. 이는 이러한 방정식을 자주 풀어야만 가능합니다. 그러면 모든 공식이 자동으로 기억됩니다.
이차 방정식의 일반적인 견해
여기서 우리는 가장 큰 정도가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여지는 명시적인 기록을 제안합니다. 용어가 일치하지 않는 경우가 종종 있습니다. 그렇다면 변수의 차수를 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.
몇 가지 표기법을 소개하겠습니다. 아래 표에 나와 있습니다.
이러한 표기법을 받아들이면 모든 이차 방정식은 다음 표기법으로 축소됩니다.
또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1번으로 지정하겠습니다.
방정식이 주어지면 답에 근이 몇 개인지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.
- 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
- 답은 하나의 숫자가 될 것입니다.
- 방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.
그리고 결정이 확정될 때까지 특정 경우에 어떤 옵션이 나타날지 이해하기 어렵습니다.
이차 방정식의 기록 유형
작업에 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 일반적인 이차 방정식 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 누락될 수도 있습니다. 위에 쓴 내용은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 내용이 표시됩니다. 이러한 기록은 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.
또한 계수가 "b"와 "c"인 항만 사라질 수 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 경우에도 0이 될 수 없습니다. 왜냐하면 이 경우 공식은 다음과 같습니다. 일차 방정식. 불완전한 형태의 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.
따라서 완전한 유형 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 공식을 2번, 두 번째 공식을 3번으로 설정합니다.
그 가치에 대한 뿌리 수의 판별 및 의존성
방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 상관없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 하며, 이는 숫자 4가 됩니다.
이 공식에 계수 값을 대입하면 다음과 같은 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 표시. 대답이 '예'라면 방정식에 대한 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. 숫자가 음수이면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0과 같으면 답은 하나뿐입니다.
완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
사실 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 나면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 다음 공식을 적용해야 합니다.
"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 표현식이 판별식입니다. 따라서 수식을 다르게 다시 작성할 수 있습니다.
공식 번호 5입니다. 동일한 기록에서 판별식이 다음과 같은 경우임이 분명합니다. 0과 같음이면 두 루트 모두 동일한 값을 갖습니다.
해결책이라면 이차 방정식아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간에는 어려움이 발생하지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.
불완전한 이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
여기에서는 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 수식도 필요하지 않습니다. 그리고 판별자와 미지의 것에 대해 이미 기록된 것들은 필요하지 않을 것입니다.
먼저, 불완전한 방정식 2를 살펴보겠습니다. 이 등식에서는 괄호 안에 있는 알 수 없는 수량을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 가지 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 승수가 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻어집니다.
불완전한 방정식 3번은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 이동하여 해결됩니다. 그런 다음 미지의 계수로 나누어야합니다. 남은 것은 제곱근을 추출하고 이를 반대 기호로 두 번 적어 두는 것입니다.
다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 방정식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 단계입니다. 학생이 부주의로 인한 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다. 이러한 단점은 "2차 방정식(8학년)"이라는 광범위한 주제를 공부할 때 낮은 성적을 초래할 수 있습니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요는 없습니다. 안정적인 스킬이 나타나기 때문이죠.
- 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 가장 큰 정도를 가진 용어, 그 다음에는 정도가 없고 마지막으로 숫자만 나타냅니다.
- 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 이차 방정식을 공부하는 초보자의 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해서는 모든 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이는 모든 용어의 부호가 반대 방향으로 변경됨을 의미합니다.
- 같은 방법으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하면 됩니다.
예
다음 이차 방정식을 풀어야 합니다.
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
첫 번째 방정식: x 2 − 7x = 0. 불완전하므로 두 번째 공식에 설명된 대로 풀립니다.
괄호에서 꺼내면 x (x - 7) = 0이 됩니다.
첫 번째 근은 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 선형 방정식: x - 7 = 0에서 구됩니다. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.
두 번째 방정식: 5x 2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로만 해결됩니다.
30을 방정식의 오른쪽으로 이동한 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 다음과 같습니다: x 2 = 6. 답은 숫자입니다: x 1 = √6, x 2 = - √6.
세 번째 방정식: 15 − 2x − x 2 = 0. 여기서부터 2차 방정식 풀이는 표준 형식: − x 2 − 2x + 15 = 0으로 다시 작성하여 시작됩니다. 이제 두 번째 방정식을 사용할 차례입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. 결과는 x 2 + 2x - 15 = 0입니다. 네 번째 공식을 사용하여 판별식을 계산해야 합니다. D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. 양수입니다. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 뿌리가 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식을 사용하여 계산해야 합니다. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 = 3, x 2 = - 5입니다.
네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x = 0은 x 2 + 3x + 8 = 0으로 변환됩니다. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 대답은 "뿌리가 없습니다."라는 항목이 됩니다.
다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성되어야 합니다: x 2 + 12x + 36 = 0. 판별식에 공식을 적용하면 숫자 0이 얻어집니다. 즉, x = -12/ (2 * 1) = -6이라는 하나의 루트를 갖게 됩니다.
여섯 번째 방정식 (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)에는 변환이 필요합니다. 이는 먼저 괄호를 열고 유사한 용어를 가져와야 한다는 사실로 구성됩니다. 첫 번째 대신 다음 표현식이 사용됩니다: x 2 + 2x + 1. 동등 후에는 다음 항목이 나타납니다: x 2 + 3x + 2. 유사한 용어를 계산한 후 방정식은 x 2 형식을 취합니다. - x = 0. 불완전해졌습니다. 이와 유사한 내용이 이미 조금 더 높은 수준에서 논의되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.
이 기사의 자료에서는 "방정식 풀기"라는 주제로 이차 방정식을 소개합니다.
모든 것을 자세히 살펴 보겠습니다. 이차 방정식의 본질과 표기법, 수반되는 용어 정의, 불완전하고 완전한 방정식을 풀기 위한 체계 분석, 근과 판별식의 공식에 익숙해지고 근과 계수 사이의 연결 설정, 물론 실제 사례에 대한 시각적 솔루션도 제공할 것입니다.
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이차방정식, 그 유형
정의 1이차 방정식다음과 같이 쓰여진 방정식이다 a x 2 + b x + c = 0, 어디 엑스– 변수, a, b 및 씨– 일부 숫자, 반면 ㅏ 0이 아닙니다.
종종 이차 방정식은 2차 방정식이라고도 합니다. 왜냐하면 본질적으로 이차 방정식은 다음과 같기 때문입니다. 대수 방정식두번째 등급.
주어진 정의를 설명하기 위해 예를 들어보겠습니다. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 등 이것은 이차 방정식입니다.
정의 2
숫자 a, b 및 씨는 이차 방정식의 계수입니다. a x 2 + b x + c = 0, 계수는 ㅏ x 2에서 첫 번째, 상위 또는 계수라고 합니다. b - 두 번째 계수 또는 계수 엑스, ㅏ 씨무료회원이라고 합니다.
예를 들어, 이차 방정식에서 6 x 2 − 2 x − 11 = 0선행 계수는 6이고 두 번째 계수는 다음과 같습니다. − 2 , 자유 기간은 다음과 같습니다. − 11 . 계수가 다음과 같다는 사실에 주목합시다. 비및/또는 c가 음수이면 다음을 사용하세요. 짧은 형식다음과 같은 기록 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, 하지만 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
이 측면도 명확히 해보겠습니다. 계수가 ㅏ및/또는 비동일한 1 또는 − 1 , 그러면 그들은 표시된 수치 계수를 작성하는 특성으로 설명되는 2차 방정식을 작성하는 데 명시적인 역할을 하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식에서 와이 2 − 와이 + 7 = 0선행 계수는 1이고 두 번째 계수는 다음과 같습니다. − 1 .
축소 및 축소되지 않은 이차 방정식
첫 번째 계수의 값에 따라 이차 방정식은 감소된 방정식과 감소되지 않은 방정식으로 구분됩니다.
정의 3
축소된 이차 방정식는 최고차 계수가 1인 2차 방정식입니다. 선행 계수의 다른 값에 대해서는 이차 방정식이 감소되지 않습니다.
예를 들어 보겠습니다. 이차 방정식 x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0이 감소하며 각각의 선행 계수는 1입니다.
9 x 2 − x − 2 = 0- 첫 번째 계수가 다음과 다른 비환원 이차 방정식 1 .
모든 비환원 이차방정식은 양변을 첫 번째 계수(등가변환)로 나누어 환산방정식으로 변환할 수 있습니다. 변환된 방정식은 주어진 비환원 방정식과 동일한 근을 가지거나 전혀 근이 없습니다.
고려 사항 구체적인 예이를 통해 우리는 비환원 이차 방정식에서 축소된 방정식으로의 전환을 명확하게 보여줄 수 있습니다.
실시예 1
방정식 6 x 2 + 18 x − 7 = 0이 주어지면 . 원래 방정식을 축소된 형태로 변환하는 것이 필요합니다.
해결책
위의 방식에 따라 원래 방정식의 양변을 선행 계수 6으로 나눕니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3이며 이는 다음과 같습니다. (6×2) : 3 + (18×) : 3 − 7: 3 = 0그리고 더 나아가: (6:6)×2+(18:6)×−7:6=0.여기에서: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 . 따라서 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어집니다.
답변: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 .
완전하고 불완전한 이차 방정식
이차 방정식의 정의를 살펴보겠습니다. 거기에서 우리는 다음과 같이 지정했습니다. a ≠ 0. 방정식에는 유사한 조건이 필요합니다. a x 2 + b x + c = 0정확히 정사각형이었습니다. a = 0본질적으로 선형 방정식으로 변환됩니다. b x + c = 0.
계수의 경우 비그리고 씨가 0과 같을 경우(개별적으로나 공동으로 모두 가능) 이차 방정식을 불완전하다고 합니다.
정의 4
불완전한 이차 방정식- 그러한 이차 방정식 a x 2 + b x + c = 0,여기서 계수 중 적어도 하나는 비그리고 씨(또는 둘 다)는 0입니다.
완전한 이차 방정식– 모든 수치 계수가 0이 아닌 2차 방정식.
이차 방정식의 유형에 정확히 이러한 이름이 부여되는 이유를 논의해 보겠습니다.
b = 0일 때 2차 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. a x 2 + 0 x + c = 0, 이는 다음과 같습니다. a x 2 + c = 0. ~에 c = 0이차 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. a x 2 + b x + 0 = 0, 이는 동일합니다. a x 2 + b x = 0. ~에 b = 0그리고 c = 0방정식은 다음과 같은 형태를 취합니다 에 × 2 = 0. 우리가 얻은 방정식은 왼쪽 변에 변수 x가 있는 항이나 자유항 또는 둘 다가 포함되지 않는다는 점에서 완전한 2차 방정식과 다릅니다. 실제로, 이 사실은 이러한 유형의 방정식에 불완전이라는 이름을 부여했습니다.
예를 들어, x 2 + 3 x + 4 = 0 및 − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0은 완전한 2차 방정식입니다. x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – 불완전한 2차 방정식.
불완전한 2차 방정식 풀기
위에 주어진 정의를 통해 다음 유형의 불완전 이차 방정식을 구별할 수 있습니다.
- 에 × 2 = 0, 이 방정식은 계수에 해당합니다 b = 0그리고 c = 0;
- a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.
각 유형의 불완전 이차방정식의 해를 순차적으로 살펴보겠습니다.
방정식 a x 2 =0의 해
위에서 언급했듯이 이 방정식은 계수에 해당합니다. 비그리고 씨, 0과 같습니다. 방정식 에 × 2 = 0등가 방정식으로 변환될 수 있다 x 2 = 0, 우리는 원래 방정식의 양변을 숫자로 나누어 얻습니다. ㅏ, 0이 아닙니다. 분명한 사실은 방정식의 근본은 x 2 = 0이건 0이니까 0 2 = 0 . 이 방정식에는 차수의 속성으로 설명할 수 있는 다른 근이 없습니다. 피, 0이 아닌 경우 부등식은 참입니다. 피 2 > 0, 그로부터 다음과 같은 경우가 발생합니다. p ≠ 0평등 p 2 = 0결코 달성되지 않을 것입니다.
정의 5
따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 = 0의 경우 단일 근이 있습니다. 엑스 = 0.
실시예 2
예를 들어, 불완전한 이차방정식을 풀어보겠습니다. − 3×2 = 0. 이는 방정식과 같습니다 x 2 = 0, 유일한 루트는 엑스 = 0, 원래 방정식에는 단일 근 - 0이 있습니다.
간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성됩니다.
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
방정식 a x 2 + c = 0 풀기
다음 줄은 불완전한 이차 방정식의 해입니다. 여기서 b = 0, c ≠ 0, 즉 다음 형식의 방정식입니다. a x 2 + c = 0. 방정식의 한쪽에서 다른 쪽으로 항을 이동하고 부호를 반대쪽으로 변경하고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누어 이 방정식을 변환해 보겠습니다.
- 옮기다 씨오른쪽에 방정식을 제공합니다. a x 2 = − c;
- 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. ㅏ, 우리는 x = - c a 로 끝납니다.
우리의 변환은 동일합니다. 따라서 결과 방정식도 원래 방정식과 동일하며 이 사실을 통해 방정식의 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 가치는 무엇입니까? ㅏ그리고 씨표현식의 값 - c a는 다음과 같습니다. 빼기 기호를 가질 수 있습니다(예를 들어, a = 1그리고 c = 2, - c a = - 2 1 = - 2) 또는 더하기 기호(예: a = - 2그리고 c = 6, 그런 다음 - c a = - 6 - 2 = 3); 0이 아니기 때문에 c ≠ 0. 다음과 같은 상황에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.< 0 и - c a > 0 .
- c a의 경우< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피평등 p 2 = - c a는 참일 수 없습니다.
- c a > 0일 때 모든 것이 달라집니다. 제곱근을 기억하면 방정식 x 2 = - c a의 근이 - c a 2 = - c a이기 때문에 숫자 - ca가 될 것이라는 것이 분명해질 것입니다. 숫자 - - c a가 방정식 x 2 = - c a의 근이기도 함을 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 실제로 - - c a 2 = - c a입니다.
방정식에는 다른 근이 없습니다. 모순의 방법을 사용하여 이를 증명할 수 있습니다. 우선, 위에서 찾은 근에 대한 표기법을 다음과 같이 정의하겠습니다. x 1그리고 - x 1. 방정식 x 2 = - c a에도 근이 있다고 가정해 보겠습니다. x 2, 이는 뿌리와 다릅니다. x 1그리고 - x 1. 우리는 방정식을 대입하여 이를 알 수 있습니다. 엑스그 뿌리를 바탕으로 방정식을 공정한 수치 평등으로 변환합니다.
을 위한 x 1그리고 - x 1우리는 다음과 같이 씁니다: x 1 2 = - c a , 그리고 x 2- x 2 2 = - c . 수치적 평등의 속성에 기초하여, 우리는 다른 용어에서 하나의 올바른 평등 용어를 빼면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 엑스 1 2 − 엑스 2 2 = 0. 우리는 숫자 연산의 속성을 사용하여 마지막 동등성을 다음과 같이 다시 작성합니다. (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. 두 숫자의 곱은 숫자 중 적어도 하나가 0인 경우에만 0인 것으로 알려져 있습니다. 위에서부터 다음과 같다. 엑스 1 − 엑스 2 = 0및/또는 엑스 1 + 엑스 2 = 0, 이는 동일합니다 엑스 2 = 엑스 1및/또는 엑스 2 = - 엑스 1. 명백한 모순이 발생했는데, 왜냐하면 처음에는 방정식의 근본이 다음과 같이 합의되었기 때문입니다. x 2~와 다르다 x 1그리고 - x 1. 따라서 우리는 방정식에 x = - c a 및 x = - - c a 이외의 근이 없음을 증명했습니다.
위의 모든 주장을 요약해 보겠습니다.
정의 6
불완전한 이차 방정식 a x 2 + c = 0방정식 x 2 = - c a와 동일하며, 이는 다음과 같습니다.
- - ca에 뿌리가 없습니다< 0 ;
- 두 개의 근 x = - c a 및 x = - - c a - c a > 0을 갖습니다.
방정식을 푸는 예를 들어 보겠습니다. a x 2 + c = 0.
실시예 3
이차 방정식이 주어지면 9 x 2 + 7 = 0.해결책을 찾는 것이 필요합니다.
해결책
자유항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. 9×2 = − 7.
결과 방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. 9
, x 2 = - 7 9 에 도달합니다. 오른쪽에는 빼기 기호가 있는 숫자가 표시됩니다. 이는 다음을 의미합니다. 주어진 방정식뿌리가 없습니다. 그러면 원래의 불완전한 이차 방정식은 9×2+7=0뿌리가 없을 것이다.
답변:방정식 9×2+7=0뿌리가 없습니다.
실시예 4
방정식을 풀어야합니다 − x 2 + 36 = 0.
해결책
36을 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. − x 2 = − 36.
두 부분을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. − 1
, 우리는 얻는다 x 2 = 36. 오른쪽에는 양수가 있으며, 이를 통해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
x = 36 또는
x = - 36 .
근을 추출하고 최종 결과를 적어 봅시다: 불완전한 이차 방정식 − x 2 + 36 = 0뿌리가 2개 있다 x=6또는 x = - 6.
답변: x=6또는 x = - 6.
방정식 a x 2 +b x=0의 해
불완전한 이차방정식의 세 번째 유형을 분석해 보겠습니다. c = 0. 불완전한 이차 방정식의 해를 찾으려면 a x 2 + b x = 0, 인수분해 방법을 사용하겠습니다. 괄호 안의 공통인수를 빼서 방정식의 왼쪽에 있는 다항식을 인수분해해 봅시다. 엑스. 이 단계를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식을 동등한 방정식으로 변환할 수 있습니다. x(a x + b) = 0. 그리고 이 방정식은 차례로 일련의 방정식과 동일합니다. 엑스 = 0그리고 x + b = 0. 방정식 x + b = 0선형 및 그 루트: x = − 바.
정의 7
따라서 불완전한 이차 방정식은 a x 2 + b x = 0뿌리가 두 개 있을 거에요 엑스 = 0그리고 x = − 바.
예를 들어 자료를 강화해 보겠습니다.
실시예 5
방정식 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0에 대한 해를 찾아야 합니다.
해결책
우리가 꺼내줄게 엑스괄호 밖에서 우리는 방정식 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 을 얻습니다. 이 방정식은 다음 방정식과 동일합니다. 엑스 = 0그리고 2 3 x - 2 2 7 = 0입니다. 이제 결과 선형 방정식을 풀어야 합니다: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
다음과 같이 방정식의 해를 간략하게 작성하십시오.
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 또는 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 또는 x = 3 3 7
답변: x = 0, x = 3 3 7.
판별식, 이차 방정식의 근에 대한 공식
이차 방정식의 해를 찾으려면 루트 공식이 있습니다.
정의 8
x = - b ± D 2 · a, 여기서 D = b 2 − 4 a c– 소위 이차 방정식의 판별식.
x = - b ± D 2 · a라고 쓰면 본질적으로 x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a를 의미합니다.
이 공식이 어떻게 도출되었는지, 어떻게 적용하는지 이해하는 것이 도움이 될 것입니다.
이차 방정식의 근에 대한 공식 유도
이차 방정식을 푸는 과제에 직면해 보겠습니다. a x 2 + b x + c = 0. 여러 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.
- 방정식의 양변을 숫자로 나눕니다. ㅏ, 0과 다르게 다음과 같은 이차 방정식을 얻습니다. x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- 결과 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ㄷ
그 후 방정식은 x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0의 형식을 취합니다. - 이제 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮기고 부호를 반대쪽으로 바꾸는 것이 가능합니다. 그 후에 우리는 다음을 얻습니다: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- 마지막으로, 마지막 등식의 오른쪽에 쓰여진 표현식을 변환합니다.
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
따라서 우리는 원래 방정식과 동일한 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 방정식에 도달합니다. a x 2 + b x + c = 0.
우리는 이전 단락(불완전한 2차 방정식 풀기)에서 그러한 방정식의 해를 조사했습니다. 이미 얻은 경험을 통해 방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2의 근에 관한 결론을 도출할 수 있습니다.
- b 2 - 4 a c 4 a 2 포함< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0일 때 방정식은 x + b 2 · a 2 = 0이고 x + b 2 · a = 0입니다.
여기에서 유일한 근 x = - b 2 · a는 분명합니다.
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0인 경우 다음이 참입니다: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 또는 x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 는 x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 또는 x = - b 2 · a - b 2 - 4와 동일합니다. · a · c 4 · a 2, 즉 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (따라서 원래 방정식)의 근의 존재 여부는 표현식 b의 부호에 따라 결정된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 2 - 4 · a · c 4 · a 2가 오른쪽에 적혀 있습니다. 그리고 이 표현의 부호는 분자의 부호(분모)로 주어집니다. 4 대 2항상 양수입니다), 즉 표현식의 부호입니다. b 2 – 4ac. 이 표현 b 2 – 4ac이름이 주어집니다 - 이차 방정식의 판별식과 문자 D가 그 지정으로 정의됩니다. 여기에서 판별식의 본질을 기록할 수 있습니다. 값과 부호를 기반으로 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부와 그렇다면 근의 수(1 또는 2)가 무엇인지 결론을 내릴 수 있습니다.
방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 로 돌아가 보겠습니다. 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
결론을 다시 공식화해 보겠습니다.
정의 9
- ~에 디< 0 방정식에는 실제 뿌리가 없습니다.
- ~에 D=0방정식은 단일 근을 가집니다. x = - b 2 · a ;
- ~에 D > 0방정식에는 두 개의 근이 있습니다. x = - b 2 · a + D 4 · a 2 또는 x = - b 2 · a - D 4 · a 2. 라디칼의 특성에 따라 이러한 근은 x = - b 2 · a + D 2 · a 또는 - b 2 · a - D 2 · a 형식으로 작성될 수 있습니다. 그리고 모듈을 확장하고 분수를 다음과 같이 줄이면 공통분모, 우리는 다음을 얻습니다: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
따라서 우리 추론의 결과는 이차 방정식의 근에 대한 공식을 유도하는 것이었습니다.
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, 판별식 디공식으로 계산 D = b 2 − 4 a c.
이러한 공식을 사용하면 판별식이 0보다 클 때 두 실근을 모두 결정할 수 있습니다. 판별식이 0인 경우 두 공식을 모두 적용하면 이차 방정식의 유일한 해와 동일한 근이 제공됩니다. 판별식이 음수인 경우, 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 하면 다음을 추출해야 하는 상황에 직면하게 됩니다. 제곱근음수에서 우리를 넘어갈 것입니다. 실수. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에는 실수 근이 없지만, 우리가 얻은 동일한 근 공식에 의해 결정되는 한 쌍의 복소수 켤레 근이 가능합니다.
근 공식을 사용하여 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
근 공식을 이용하여 바로 이차 방정식을 푸는 것도 가능하지만, 이는 일반적으로 복소수 근을 구해야 할 때 수행됩니다.
대부분의 경우 이는 일반적으로 복소수를 찾는 것이 아니라 이차 방정식의 실수근을 찾는 것을 의미합니다. 그런 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 결정하고 그것이 음수가 아닌지 확인하는 것이 최적입니다(그렇지 않으면 방정식에 실제 근이 없다고 결론을 내릴 것입니다). 그런 다음 다음을 계산합니다. 뿌리의 가치.
위의 추론을 통해 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화할 수 있습니다.
정의 10
이차 방정식을 풀려면 a x 2 + b x + c = 0, 필요한:
- 공식에 따르면 D = b 2 − 4 a c판별 값을 찾으십시오.
- D에< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0인 경우 공식 x = - b 2 · a를 사용하여 방정식의 유일한 근을 구합니다.
- D > 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용하여 2차 방정식의 두 실수 근을 결정합니다.
판별식이 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용할 수 있으며 공식 x = - b 2 · a와 동일한 결과를 제공합니다.
예를 살펴 보겠습니다.
이차 방정식 풀이의 예
예시에 대한 해결책을 제시해 보겠습니다. 다른 의미판별.
실시예 6
우리는 방정식의 근을 찾아야 합니다 x 2 + 2 x − 6 = 0.
해결책
이차 방정식의 수치 계수를 적어 보겠습니다. a = 1, b = 2 및 c = - 6. 다음으로 알고리즘에 따라 진행합니다. 계수 a, b를 대체할 판별식 계산을 시작하겠습니다. 그리고 씨판별 공식에: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
따라서 우리는 D > 0을 얻습니다. 이는 원래 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미합니다.
이를 찾기 위해 루트 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용하고 해당 값을 대체하여 x = - 2 ± 28 2 · 1을 얻습니다. 루트 부호에서 인수를 제거한 다음 분수를 줄여 결과 표현식을 단순화해 보겠습니다.
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 또는 x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 또는 x = - 1 - 7
답변: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .
실시예 7
이차방정식을 풀어야 함 − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
해결책
판별식을 정의해 보겠습니다. D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. 이 판별식 값을 사용하면 원래 방정식은 공식 x = - b 2 · a에 의해 결정되는 단 하나의 근을 갖게 됩니다.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
답변: 엑스 = 3.5.
실시예 8
방정식을 풀어야합니다 5y 2 + 6y + 2 = 0
해결책
이 방정식의 수치 계수는 a = 5, b = 6 및 c = 2입니다. 우리는 판별식을 찾기 위해 다음 값을 사용합니다: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . 계산된 판별식은 음수이므로 원래 이차 방정식에는 실수 근이 없습니다.
작업이 복소수 근을 나타내는 것인 경우 근 공식을 적용하여 복소수로 작업을 수행합니다.
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 또는 x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i 또는 x = - 3 5 - 1 5 · i.
답변:실제 뿌리는 없습니다. 복소수 근은 다음과 같습니다: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
학교 커리큘럼에는 복소근을 찾는 표준 요구 사항이 없으므로 솔루션 중에 판별식이 음수로 결정되면 실제 뿌리가 없다는 대답이 즉시 기록됩니다.
짝수 번째 계수에 대한 근 공식
근 공식 x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c)를 사용하면 더 컴팩트한 또 다른 공식을 얻을 수 있으므로 x에 대해 짝수 계수를 사용하여 2차 방정식의 해를 찾을 수 있습니다( 또는 2 · n 형식의 계수를 사용합니다(예: 2 3 또는 14 ln 5 = 2 7 ln 5). 이 공식이 어떻게 도출되는지 보여드리겠습니다.
2차 방정식 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 에 대한 해를 찾는 작업에 직면해 보겠습니다. 우리는 알고리즘에 따라 진행합니다. 판별식 D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)를 결정한 다음 근 공식을 사용합니다.
x = - 2n ± D 2a, x = - 2n ± 4n 2 - a c 2 a, x = - 2n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
표현 n 2 − a · c를 D 1로 표시합니다 (때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 · n을 사용하여 고려중인 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
x = - n ± D 1 a, 여기서 D 1 = n 2 − a · c.
D = 4 · D 1, 즉 D 1 = D 4임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 판별식의 4분의 1입니다. 분명히, D 1의 부호는 D의 부호와 동일합니다. 이는 D 1의 부호가 이차 방정식의 근의 존재 여부를 나타내는 지표 역할을 할 수도 있음을 의미합니다.
정의 11
따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식의 해를 찾으려면 다음이 필요합니다.
- D 1 = n 2 − a · c를 구합니다.
- D 1에< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0일 때 공식 x = - n a를 사용하여 방정식의 유일한 근을 결정합니다.
- D 1 > 0인 경우 공식 x = - n ± D 1 a를 사용하여 두 개의 실수 근을 결정합니다.
실시예 9
2차 방정식 5 x 2 − 6 x − 32 = 0을 풀어야 합니다.
해결책
주어진 방정식의 두 번째 계수는 2 · (− 3) 으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 주어진 이차 방정식을 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0으로 다시 작성합니다. 여기서 a = 5, n = − 3 및 c = − 32입니다.
판별식의 네 번째 부분을 계산해 보겠습니다. D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. 결과 값은 양수입니다. 이는 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미합니다. 해당 루트 공식을 사용하여 이를 결정해 보겠습니다.
x = - n ± D 1a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 또는 x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 또는 x = - 2
이차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하여 계산을 수행하는 것이 가능하지만 이 경우 솔루션이 더 번거롭습니다.
답변: x = 31 5 또는 x = - 2 .
2차 방정식의 형태 단순화
때로는 원래 방정식의 형태를 최적화하여 근을 계산하는 과정을 단순화할 수 있습니다.
예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 4 x − 7 = 0은 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0보다 확실히 더 쉽게 풀 수 있습니다.
더 자주, 이차 방정식 형태의 단순화는 양쪽에 특정 숫자를 곱하거나 나누어 수행됩니다. 예를 들어, 위에서 우리는 양 변을 100으로 나누어 얻은 방정식 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0의 단순화된 표현을 보여주었습니다.
이러한 변환은 이차 방정식의 계수가 서로 같지 않을 때 가능합니다. 소수. 그런 다음 일반적으로 방정식의 양쪽을 계수의 절대값의 최대 공약수로 나눕니다.
예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 42 x + 48 = 0을 사용합니다. 계수의 절대값의 GCD를 결정해 보겠습니다. GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. 원래 이차 방정식의 양변을 6으로 나누고 등가 이차 방정식 2 x 2 − 7 x + 8 = 0을 얻습니다.
이차 방정식의 양변을 곱하면 일반적으로 분수 계수가 제거됩니다. 이 경우 계수의 분모의 최소 공배수를 곱합니다. 예를 들어, 2차 방정식 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0의 각 부분에 LCM (6, 3, 1) = 6을 곱하면 더 많은 형식으로 작성됩니다. 간단한 형태로 x 2 + 4 x − 18 = 0 .
마지막으로, 우리는 방정식의 각 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 첫 번째 계수에서 거의 항상 마이너스를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 양쪽에 − 1을 곱하거나 나누어서 달성됩니다. 예를 들어, 2차 방정식 − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0에서 단순화된 버전인 2 x 2 + 3 x − 7 = 0으로 이동할 수 있습니다.
근과 계수의 관계
우리에게 이미 알려진 이차 방정식의 근에 대한 공식 x = - b ± D 2 · a는 수치 계수를 통해 방정식의 근을 표현합니다. 의지하다 이 공식, 근과 계수 사이의 다른 종속성을 지정할 수 있는 기회가 있습니다.
가장 유명하고 적용 가능한 공식은 Vieta의 정리입니다.
x 1 + x 2 = - b a 및 x 2 = c a.
특히, 주어진 2차 방정식의 경우 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수이고 근의 곱은 자유항과 같습니다. 예를 들어, 2차 방정식 3 x 2 − 7 x + 22 = 0의 형태를 보면 근의 합이 7 3이고 근의 곱이 22 3이라는 것을 즉시 알 수 있습니다.
또한 이차 방정식의 근과 계수 사이의 다른 여러 연결을 찾을 수도 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식의 근의 제곱의 합은 계수로 표현될 수 있습니다.
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a ca 2.
텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
이 수학 프로그램을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 이차 방정식 풀기.
이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라 해결 과정도 두 가지 방식으로 표시합니다.
- 판별식을 사용
- Vieta의 정리를 사용합니다(가능한 경우).
또한 답변은 대략적인 답변이 아닌 정확한 답변으로 표시됩니다.
예를 들어 방정식 \(81x^2-16x-1=0\)의 경우 답은 다음 형식으로 표시됩니다.
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2차 다항식 입력 규칙에 익숙하지 않은 경우 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.
2차 다항식 입력 규칙
모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) 등
숫자는 정수 또는 분수로 입력할 수 있습니다.
또한 분수는 소수 형식뿐만 아니라 일반 분수 형식으로도 입력할 수 있습니다.
소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분에서는 소수 부분을 마침표나 쉼표로 전체 부분과 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음을 입력할 수 있습니다. 소수예: 2.5x - 3.5x^2
일반 분수 입력 규칙.
정수만이 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.
분모는 음수가 될 수 없습니다.
숫자 분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
전체 부분은 앰퍼샌드 기호로 분수와 구분됩니다. &
입력: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
결과: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
표현식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 이차방정식을 풀 때 먼저 도입된 식이 단순화된다.
예: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
결정하다
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약간의 이론.
이차 방정식과 그 뿌리. 불완전한 이차 방정식
각 방정식
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
처럼 보인다
\(ax^2+bx+c=0, \)
여기서 x는 변수이고, a, b, c는 숫자입니다.
첫 번째 방정식에서 a = -1, b = 6 및 c = 1.4이고, 두 번째 방정식에서 a = 8, b = -7 및 c = 0이고, 세 번째 방정식에서 a = 1, b = 0 및 c = 4/9입니다. 이러한 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 이차 방정식.
정의.
이차 방정식 ax 2 +bx+c=0 형식의 방정식이라고 하며, 여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 숫자이고 \(a \neq 0 \)입니다.
숫자 a, b 및 c는 이차 방정식의 계수입니다. 숫자 a는 첫 번째 계수, 숫자 b는 두 번째 계수, 숫자 c는 자유항이라고 합니다.
ax 2 +bx+c=0(여기서 \(a\neq 0\)) 형식의 각 방정식에서 변수 x의 최대 거듭제곱은 정사각형입니다. 따라서 이름은 이차 방정식입니다.
이차 방정식은 왼쪽이 2차 다항식이므로 2차 방정식이라고도 합니다.
x 2의 계수가 1인 이차방정식을 다음과 같이 부릅니다. 주어진 이차 방정식. 예를 들어, 주어진 이차 방정식은 다음 방정식입니다.
\(x^2-11x+30=0, \쿼드 x^2-6x=0, \쿼드 x^2-8=0 \)
이차 방정식 ax 2 +bx+c=0에서 계수 b 또는 c 중 적어도 하나가 0과 같으면 이러한 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식. 따라서 방정식 -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0은 불완전한 2차 방정식입니다. 첫 번째는 b=0, 두 번째는 c=0, 세 번째는 b=0 및 c=0입니다.
불완전 이차 방정식에는 세 가지 유형이 있습니다.
1) 도끼 2 +c=0, 여기서 \(c \neq 0 \);
2) 도끼 2 +bx=0, 여기서 \(b \neq 0 \);
3) 도끼 2 =0.
이러한 각 유형의 방정식을 푸는 것을 고려해 봅시다.
\(c \neq 0 \)에 대해 ax 2 +c=0 형식의 불완전한 2차 방정식을 풀려면 자유 항을 오른쪽으로 이동하고 방정식의 양쪽을 a로 나눕니다.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \오른쪽 화살표 x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
\(c \neq 0 \)이므로 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
\(-\frac(c)(a)>0\)이면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
\(-\frac(c)(a) 형식 ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \)의 불완전한 2차 방정식을 풀려면 왼쪽 변을 인수분해하여 다음 방정식을 얻습니다.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (배열)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(배열) \right.
이는 \(b \neq 0 \)에 대한 ax 2 +bx=0 형식의 불완전한 이차 방정식에는 항상 두 개의 근이 있음을 의미합니다.
ax 2 =0 형식의 불완전한 2차 방정식은 방정식 x 2 =0과 동일하므로 단일 근 0을 갖습니다.
이차 방정식의 근에 대한 공식
이제 미지수의 계수와 자유 항이 모두 0이 아닌 이차 방정식을 푸는 방법을 고려해 보겠습니다.
이차방정식을 풀어보자 일반적인 견해결과적으로 우리는 근에 대한 공식을 얻습니다. 그런 다음 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 수 있습니다.
2차 방정식 ax 2 +bx+c=0 풀기
양쪽을 a로 나누면 등가의 축소된 이차 방정식을 얻습니다.
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
이항식의 제곱을 선택하여 이 방정식을 변환해 보겠습니다.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \오른쪽 화살표 \)
급진적 표현은 다음과 같습니다. 이차 방정식의 판별식 ax 2 +bx+c=0 (라틴어로 "판별자" - 판별자). 문자 D로 지정됩니다.
\(D = b^2-4ac\)
이제 판별 표기법을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 다시 작성합니다.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), 여기서 \(D= b^2-4ac \)
다음은 분명합니다.
1) D>0이면 이차 방정식은 두 개의 근을 갖습니다.
2) D=0이면 이차 방정식은 하나의 근 \(x=-\frac(b)(2a)\)을 갖습니다.
3) D인 경우 판별식의 값에 따라 이차 방정식은 두 개의 근(D > 0인 경우), 한 개의 근(D = 0인 경우) 또는 근이 없는(D인 경우) 이를 사용하여 이차 방정식을 풀 때 공식은 다음과 같은 방법으로 수행하는 것이 좋습니다.
1) 판별식을 계산하고 이를 0과 비교합니다.
2) 판별식이 양수이거나 0이면 근 공식을 사용하고, 판별식이 음수이면 근이 없다고 적습니다.
비에타의 정리
주어진 이차 방정식 ax 2 -7x+10=0에는 근 2와 5가 있습니다. 근의 합은 7이고 곱은 10입니다. 근의 합은 반대쪽에서 취한 두 번째 계수와 같습니다. 부호이고, 근의 곱은 자유항과 같습니다. 근이 있는 모든 약식 이차 방정식은 이 속성을 갖습니다.
위 이차방정식의 근의 합은 반대 부호를 취한 두 번째 계수와 같고, 근의 곱은 자유항과 같습니다.
저것들. Vieta의 정리는 축소된 이차 방정식 x 2 +px+q=0의 근 x 1과 x 2가 다음 속성을 갖는다고 말합니다.
\(\왼쪽\( \begin(배열)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(배열) \right. \)
수학의 일부 문제에는 제곱근 값을 계산하는 능력이 필요합니다. 이러한 문제에는 2차 방정식 풀이가 포함됩니다. 이 기사에서 우리는 소개할 것입니다 효과적인 방법제곱근을 계산하고 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용할 때 사용합니다.
제곱근이란 무엇입니까?
수학에서 이 개념은 기호 √에 해당합니다. 역사적 자료에 따르면 이 개념은 16세기 전반에 독일에서 처음 사용되었다고 합니다(크리스토프 루돌프(Christoph Rudolf)의 독일 최초의 대수학 연구). 과학자들은 이 기호가 변형된 라틴 문자 r(기수는 라틴어로 "루트"를 의미함)이라고 믿습니다.
모든 숫자의 근은 근호 표현에 해당하는 제곱의 값과 같습니다. 수학 언어에서 이 정의는 다음과 같습니다: y 2 = x인 경우 √x = y.
양수(x > 0)의 근은 양수(y > 0)이기도 하지만, 음수(x)의 근을 취하면< 0), то его результатом уже будет 복소수, 허수 단위 포함 i.
다음은 두 가지 간단한 예입니다.
√9 = 3, 3 2 = 9이기 때문입니다. √(-9) = 3i, 왜냐하면 i 2 = -1이기 때문입니다.
제곱근 값을 찾는 헤론의 반복 공식
위의 예는 매우 간단하며 근을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 정사각형으로 표현할 수 없는 어떤 값에 대해서도 근값을 찾을 때 어려움이 나타나기 시작합니다. 자연수, 예를 들어 √10, √11, √12, √13. 실제로는 정수가 아닌 숫자의 근을 찾아야 한다는 사실은 말할 것도 없습니다. 예를 들어 √(12,15), √(8,5) 등등.
위의 모든 경우에 다음을 사용해야 합니다. 특별한 방법제곱근 계산. 현재 Taylor 계열 확장, 열 분할 등 몇 가지 방법이 알려져 있습니다. 알려진 모든 방법 중에서 아마도 가장 간단하고 효과적인 것은 헤론의 반복 공식을 사용하는 것입니다. 이 공식은 제곱근을 결정하는 바빌로니아 방법으로도 알려져 있습니다(고대 바빌로니아인들이 실제 계산에 이 방법을 사용했다는 증거가 있습니다).
√x의 값을 결정하는 것이 필요하다고 가정합니다. 제곱근을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
a n+1 = 1/2(an +x/an), 여기서 lim n->(an) => x입니다.
이 수학적 표기법을 해독해 봅시다. √x를 계산하려면 특정 숫자 a 0을 사용해야 합니다(임의일 수 있지만 결과를 빠르게 얻으려면 (a 0) 2가 x에 최대한 가깝도록 선택해야 합니다. 그런 다음 이를 제곱근을 계산하기 위해 표시된 공식을 입력하고 새로운 숫자 a 1을 얻으면 이미 원하는 값에 더 가까워집니다. 그런 다음 표현식에 1을 대입하여 2를 얻어야 합니다. 이 절차는 때까지 반복되어야 합니다. 필요한 정확도가 얻어집니다.
Heron의 반복 공식을 사용한 예
주어진 숫자의 제곱근을 구하기 위해 위에서 설명한 알고리즘은 많은 사람들에게 매우 복잡하고 혼란스럽게 들릴 수 있지만 실제로는 이 공식이 매우 빠르게 수렴되기 때문에 모든 것이 훨씬 더 간단합니다(특히 성공적인 숫자 0이 선택된 경우). .
간단한 예를 들어보겠습니다. √11을 계산해야 합니다. 3 2 = 9이기 때문에 0 = 3을 선택해 보겠습니다. 이는 4 2 = 16보다 11에 더 가깝습니다. 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;
a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;
a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.
2와 3이 소수점 이하 5자리에서만 달라지기 시작하므로 계산을 계속할 필요가 없습니다. 따라서 공식을 2번만 적용하면 0.0001의 정확도로 √11을 계산할 수 있습니다.
요즘 계산기와 컴퓨터는 근을 계산하는 데 널리 사용되지만 정확한 값을 수동으로 계산하려면 표시된 공식을 기억하는 것이 유용합니다.
2차 방정식
제곱근이 무엇인지 이해하고 이를 계산하는 능력은 이차 방정식을 푸는 데 사용됩니다. 이 방정식을 미지의 방정식이라고 하며, 일반적인 형태는 아래 그림에 나와 있습니다.
여기서 c, b 및 a는 일부 숫자를 나타내며 a는 0이 아니어야 하며 c와 b의 값은 0과 같은 것을 포함하여 완전히 임의적일 수 있습니다.
그림에 표시된 동등성을 만족하는 모든 x 값을 근이라고 합니다(이 개념을 제곱근 √와 혼동해서는 안 됩니다). 고려 중인 방정식은 2차(x 2)이므로 근이 2개 이상 있을 수 없습니다. 이러한 뿌리를 찾는 방법에 대한 기사를 더 자세히 살펴보겠습니다.
이차 방정식의 근 찾기(공식)
고려중인 평등 유형을 해결하는 이러한 방법을 보편적 방법 또는 판별 방법이라고도합니다. 모든 이차 방정식에 사용할 수 있습니다. 이차 방정식의 판별식과 근에 대한 공식은 다음과 같습니다.
이는 근이 방정식의 세 가지 계수 각각의 값에 따라 달라짐을 보여줍니다. 또한 x 1 계산은 제곱근 앞의 기호만 x 2 계산과 다릅니다. b 2 - 4ac와 동일한 근수 표현은 문제의 평등을 판별하는 것에 지나지 않습니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식의 판별식은 해의 수와 유형을 결정하기 때문에 중요한 역할을 합니다. 따라서 0과 같으면 해는 하나만 있고, 양수이면 방정식에는 두 개의 실수 근이 있으며, 마지막으로 음의 판별식은 두 개의 복소근 x 1 및 x 2로 이어집니다.
비에타의 정리 또는 2차 방정식 근의 일부 속성
16세기 말, 현대 대수학의 창시자 중 한 명인 프랑스인이 2차 방정식을 연구하면서 그 근의 성질을 알아낼 수 있었습니다. 수학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
x 1 + x 2 = -b / a 및 x 1 * x 2 = c / a.
두 등식은 누구나 쉽게 얻을 수 있습니다. 이를 위해서는 판별식을 사용하여 공식을 통해 얻은 근을 사용하여 적절한 수학적 연산을 수행하면 됩니다.
이 두 표현의 조합은 이차 방정식의 근에 대한 두 번째 공식이라고 할 수 있으며, 이를 통해 판별식을 사용하지 않고도 해를 추측할 수 있습니다. 여기서는 두 표현식이 항상 유효하더라도 인수분해가 가능한 경우에만 방정식을 풀 때 이를 사용하는 것이 편리하다는 점에 유의해야 합니다.
습득한 지식을 통합하는 임무
기사에서 논의된 모든 기술을 보여주는 수학적 문제를 풀어 보겠습니다. 문제의 조건은 다음과 같습니다. 곱이 -13이고 합이 4인 두 숫자를 찾아야 합니다.
이 조건은 제곱근의 합과 그 곱에 대한 공식을 사용하여 Vieta의 정리를 즉시 상기시킵니다.
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
a = 1이라고 가정하면 b = -4이고 c = -13입니다. 이러한 계수를 사용하면 2차 방정식을 만들 수 있습니다.
x 2 - 4x - 13 = 0.
판별식과 함께 공식을 사용하여 다음 근을 구해 보겠습니다.
x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
즉, 문제는 √68이라는 숫자를 찾는 것으로 축소되었습니다. 68 = 4 * 17이고 제곱근 속성을 사용하면 √68 = 2√17을 얻습니다.
이제 고려된 제곱근 공식인 a 0 = 4를 사용해 보겠습니다.
1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;
2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.
발견된 값의 차이가 0.02에 불과하므로 3을 계산할 필요가 없습니다. 따라서 √68 = 8.246입니다. 이를 x 1,2 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 및 x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.
보시다시피, 발견된 숫자의 합은 실제로 4와 같지만, 해당 곱을 찾으면 -12.999가 되어 0.001의 정확도로 문제의 조건을 충족합니다.
첫 번째 수준
이차 방정식. 종합 가이드 (2019)
이차 방정식이라는 용어에서 핵심 단어는 '이차'입니다. 이는 방정식이 반드시 제곱된 변수(동일한 x)를 포함해야 하며, 3승(또는 그 이상)의 x가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.
많은 방정식의 해는 이차 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.
이것이 다른 방정식이 아니라 이차 방정식인지 확인하는 방법을 알아봅시다.
예시 1.
분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱해 봅시다.
모든 것을 왼쪽으로 이동하고 X의 거듭제곱이 내림차순으로 항을 정렬해 보겠습니다.
이제 우리는 이 방정식이 이차 방정식이라고 자신있게 말할 수 있습니다!
예시 2.
왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱합니다.
이 방정식은 원래 포함되어 있었지만 이차 방정식이 아닙니다!
예시 3.
모든 것에 다음을 곱해 봅시다:
무서운? 4도 및 2도... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.
예시 4.
있는 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.
보세요, 그것은 줄어들었고 이제 그것은 단순한 선형 방정식이 되었습니다!
이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식이고 어느 방정식이 아닌지 스스로 결정해 보십시오.
예:
답변:
- 정사각형;
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형.
수학자들은 전통적으로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.
- 완전한 이차 방정식- 계수와 자유항 c가 0이 아닌 방정식(예제 참조). 또한, 완전한 이차 방정식 중에는 다음이 있습니다. 주어진- 이것은 계수가 있는 방정식입니다(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소되었습니다!).
- 불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 하지만 방정식에는 항상 x 제곱이 포함되어야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.
그들은 왜 그런 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같습니다. 괜찮습니다. 이 구분은 솔루션 방법에 따라 결정됩니다. 각각을 더 자세히 살펴보겠습니다.
불완전한 2차 방정식 풀기
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중하겠습니다. 훨씬 간단합니다!
불완전한 이차 방정식에는 다음과 같은 유형이 있습니다.
- , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
- , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
- , 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.
1. 나. 우리는 제곱근을 구하는 방법을 알고 있으므로 이 방정식으로 표현해 보겠습니다.
표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱할 때 결과는 항상 양수이므로 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식에 해가 없습니다.
그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식을 외울 필요는 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 알고 항상 기억해야한다는 것입니다.
몇 가지 예를 해결해 봅시다.
예시 5:
방정식을 풀어보세요
이제 남은 것은 왼쪽과 오른쪽에서 루트를 추출하는 것뿐입니다. 결국 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?
답변:
음수 부호가 있는 뿌리를 절대 잊지 마세요!!!
예시 6:
방정식을 풀어보세요
답변:
예시 7:
방정식을 풀어보세요
오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없어!
뿌리가 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
답변:
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았으므로 여기에는 제한이 없습니다.
예시 8:
방정식을 풀어보세요
괄호에서 공통인수를 빼자:
따라서,
이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
답변:
불완전 이차 방정식의 가장 간단한 유형입니다(비록 모두 간단하지만). 분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
여기서는 예제를 생략하겠습니다.
완전한 이차 방정식 풀기
완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형태의 방정식이라는 점을 상기시켜 드립니다.
완전한 이차 방정식을 푸는 것은 이것보다 조금 더 어렵습니다.
기억하다, 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.
다른 방법을 사용하면 더 빨리 계산할 수 있지만, 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 해법을 익히십시오.
1. 판별식을 사용하여 이차방정식을 푼다.
이 방법을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단합니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.
그렇다면 방정식에는 근이 있습니다. 특별한 관심한 발짝 떼다. 판별식()은 방정식의 근의 개수를 알려줍니다.
- 그렇다면 단계의 공식은 다음과 같이 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
- 그렇다면 해당 단계에서는 판별식의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 9:
방정식을 풀어보세요
1 단계우리는 건너뛴다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다.
3단계.
답변:
예 10:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뛴다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 방정식의 근이 하나라는 것을 의미합니다.
답변:
예 11:
방정식을 풀어보세요
방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뛴다.
2 단계.
우리는 판별식을 찾습니다:
이는 판별식의 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 뿌리는 없습니다.
이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.
답변:뿌리가 없다
2. Vieta의 정리를 사용하여 이차방정식을 푼다.
기억하신다면 축소(계수 a가 다음과 같을 때)라고 불리는 방정식 유형이 있습니다.
이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
뿌리의 합 주어진이차방정식은 같고, 근의 곱은 같습니다.
실시예 12:
방정식을 풀어보세요
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. .
방정식의 근의 합은 같습니다. 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
시스템을 구성하고 해결해 봅시다:
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
답변: ; .
실시예 13:
방정식을 풀어보세요
답변:
실시예 14:
방정식을 풀어보세요
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
답변:
이차 방정식. 평균 수준
이차 방정식이란 무엇입니까?
즉, 이차방정식은 다음과 같은 형태의 방정식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.
그 숫자를 최고라고 부르거나 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.
왜? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 된다면, 왜냐하면 사라질 것이다.
이 경우 및 는 0과 같을 수 있습니다. 이 의자 방정식에서는 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.
다양한 유형의 이차 방정식에 대한 해법
불완전한 2차 방정식을 푸는 방법:
먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 이 방법은 더 간단합니다.
다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.
I., 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.
II. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
III. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
이제 이러한 각 하위 유형에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.
분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.
두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
뿌리가 두 개라면
이 공식을 외울 필요는 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 그보다 적을 수 없다는 것입니다.
예:
솔루션:
답변:
음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!
숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
뿌리가 없습니다.
문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 기록하려면 빈 세트 아이콘을 사용합니다.
답변:
따라서 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
답변:
괄호에서 공통인수를 빼자:
요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
예:
방정식을 푼다.
해결책:
방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾아보겠습니다.
답변:
완전한 2차 방정식을 푸는 방법:
1. 판별식
이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있다는 점을 기억하세요! 심지어 불완전합니다.
근에 대한 공식에서 판별식에서 근이 나오는 것을 보셨나요? 그러나 판별자는 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.
- 그렇다면 방정식에는 뿌리가 있습니다.
- 그렇다면 방정식의 근은 동일하고 실제로는 하나의 근을 갖습니다.
이러한 뿌리를 이중뿌리라고 합니다.
- 그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
왜 가능합니까? 다른 수량뿌리? 이차 방정식의 기하학적 의미를 살펴보겠습니다. 함수의 그래프는 포물선입니다.
이차방정식인 특별한 경우에는 . 이는 이차 방정식의 근이 가로축(축)과의 교차점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않을 수도 있고, 한 점(포물선의 정점이 축 위에 있는 경우)이나 두 점에서 교차할 수도 있습니다.
또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지는 위쪽으로 향하고, 그렇다면 아래쪽으로 향합니다.
예:
솔루션:
답변:
답변: .
답변:
즉, 해결책이 없습니다.
답변: .
2. 비에타의 정리
Vieta의 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유항과 같고 그 합이 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.
Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 축소된 2차 방정식().
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 #1:
방정식을 푼다.
해결책:
이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. . 기타 계수: ; .
방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 그 합이 같은지 확인해 보겠습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
따라서 와 는 우리 방정식의 뿌리입니다.
답변: ; .
예시 #2:
해결책:
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택한 다음 그 합계가 같은지 확인하겠습니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다.
그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다. 얻으려면 가정된 뿌리와 결국 제품의 표시를 간단히 변경하는 것으로 충분합니다.
답변:
예시 #3:
해결책:
방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 다음과 같습니다. 모듈의 차이점.
제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.
그리고: 그들의 차이는 동일합니다 - 맞지 않습니다.
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합합니다. 남은 것은 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것입니다. 그 합은 동일해야 하므로 모듈러스가 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:
답변:
예시 #4:
방정식을 푼다.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이는 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수인 경우에만 가능합니다.
곱이 동일한 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정해 보겠습니다.
분명히 뿌리만 첫 번째 조건에 적합합니다.
답변:
예시 #5:
방정식을 푼다.
해결책:
방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.
근의 합은 음수입니다. 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 뿌리 모두 마이너스 기호가 있음을 의미합니다.
곱이 다음과 같은 숫자 쌍을 선택해 보겠습니다.
분명히 뿌리는 숫자와입니다.
답변:
이 불쾌한 판별식을 세는 대신 구두로 뿌리를 찾는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 비에타의 정리를 사용해 보십시오.
그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타의 정리가 필요합니다. 이를 사용하여 이익을 얻으려면 작업을 자동으로 수행해야 합니다. 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 하지만 속이지 마세요. 판별식을 사용할 수 없습니다! 비에타의 정리만:
독립적인 작업을 위한 작업 솔루션:
작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta의 정리에 따르면:
평소와 같이 작품 선택을 시작합니다.
금액이 적당하지 않습니다.
: 딱 필요한 금액입니다.
답변: ; .
작업 2.
그리고 다시 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 동일해야 하고 곱도 동일해야 합니다.
그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다: 그리고 (전체적으로).
답변: ; .
작업 3.
흠... 그게 어디죠?
모든 용어를 하나의 부분으로 이동해야 합니다.
근의 합은 곱과 같습니다.
알았어, 그만해! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 제시해야 합니다. 이끌 수 없다면 이 아이디어를 포기하고 다른 방법(예를 들어 판별식을 통해)으로 해결하세요. 이차 방정식을 제공한다는 것은 주요 계수를 동일하게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.
엄청난. 그러면 근의 합은 와 곱이 됩니다.
여기서 선택하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 결국 그것은 소수입니다(동어어가 같아 죄송합니다).
답변: ; .
작업 4.
무료 회원은 부정적입니다. 이것의 특별한 점은 무엇입니까? 그리고 뿌리가 나올 것이라는 사실 다른 표시. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈의 차이점을 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.
따라서 근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 비에타의 정리는 근의 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같다는 것을 말해줍니다. 이는 더 작은 루트에 마이너스가 있음을 의미합니다.
답변: ; .
작업 5.
먼저 무엇을 해야 할까요? 맞습니다. 방정식을 제시하십시오.
다시 말하지만, 숫자의 요소를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.
근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스의 근이 더 커집니다.
답변: ; .
요약하자면:
- 비에타의 정리는 주어진 이차 방정식에만 사용됩니다.
- Vieta의 정리를 사용하면 구두로 선택하여 근을 찾을 수 있습니다.
- 방정식이 제공되지 않거나 자유 항의 적합한 인수 쌍이 발견되지 않으면 전체 근이 없으므로 다른 방법(예: 판별식을 통해)을 풀어야 합니다.
3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법
미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항 형식으로 표시되는 경우 변수를 대체한 후 방정식은 해당 유형의 불완전한 이차 방정식 형식으로 표시될 수 있습니다.
예를 들어:
예시 1:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
예 2:
방정식을 푼다: .
해결책:
답변:
일반적으로 변환은 다음과 같습니다.
이는 다음을 의미합니다.
아무것도 생각나지 않나요? 이건 차별적인 일이에요! 이것이 바로 우리가 판별 공식을 얻은 방법입니다.
이차 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게
이차 방정식- 이것은 다음 형식의 방정식입니다. - 미지수 - 이차 방정식의 계수 - 자유항.
완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.
축소된 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .
불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
- 계수인 경우 방정식은 다음과 같습니다.
- 자유 항이 있는 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
- 만약 그렇다면 방정식은 다음과 같습니다: .
1. 불완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
1.1. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 미지수를 표현해보자: ,
2) 표현식의 부호를 확인하십시오.
- 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
- 그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
1.2. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
1) 괄호 안의 공통인수를 빼자: ,
2) 요소 중 하나 이상이 0이면 제품은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.
1.3. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:
이 방정식에는 항상 단 하나의 근만 있습니다: .
2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
2.1. 판별식을 이용한 해
1) 방정식을 다음과 같이 줄여보겠습니다. 표준보기: ,
2) 공식을 사용하여 판별식을 계산해 보겠습니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.
3) 방정식의 근을 찾으십시오.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 근이 있습니다.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 구되는 근이 있습니다.
- 그렇다면 방정식에는 근이 없습니다.
2.2. 비에타의 정리를 이용한 해
축소된 이차 방정식(형태의 방정식)의 근의 합은 같고 근의 곱은 같습니다. 즉 , ㅏ.
2.3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법에 의한 해법
