함수에 대한 역도함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 역도함수와 적분

부정 적분

주요 임무 미분학미분 또는 미분 계산이 있었습니다. 주어진 함수. 우리가 계속 연구하고 있는 적분법은 역 문제, 즉 미분이나 미분으로부터 함수 자체를 찾는 문제를 해결합니다. 즉, dF(x)= f(x)d (7.1) 또는 에프'(엑스)= 에프(엑스),

어디 에프엑스(f(x))- 알려진 기능, 해당 기능을 찾아야 함 에프엑스(F(x)).

정의:함수 F(x)가 호출됩니다. 역도함수이 세그먼트의 모든 지점에서 동등성이 유지되는 경우 세그먼트에 대한 함수 f(x): F'(x) = f(x)또는 dF(x)= f(x)d.

예를 들어, 함수에 대한 역도함수 중 하나 에프(엑스)=3x2~ 할 것이다 F(x)= x 3, 왜냐하면 ( x 3)'=3x 2. 하지만 함수의 프로토타입 에프(엑스)=3x2함수도 있을 것이고 , 왜냐하면 .

그래서 이 기능은 에프(엑스)=3x2무한한 수의 기본 요소가 있으며 각 기본 요소는 상수 항만 다릅니다. 이 결과가 일반적인 경우에도 성립함을 보여드리겠습니다.

정리 특정 구간에 정의된 동일한 함수의 두 가지 다른 역도함수는 이 구간에서 상수 항만큼 서로 다릅니다.

증거

기능을 보자 에프엑스(f(x)) 간격으로 정의됨 (a¸b)그리고 F 1 (x) 그리고 F 2 (x) - 역도함수, 즉 F 1 ′(x)= f(x) 및 F 2 ′(x)= f(x).

그 다음에 F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

여기에서, F 2 (x) = F 1 (x) + C

어디 와 함께 - 상수(여기서는 라그랑주 정리의 추론이 사용됨)

이로써 정리가 증명되었습니다.

기하학적 그림. 만약에 ~에 = F 1 (x) 그리고 ~에 = F 2 (x) – 동일한 기능의 역도함수 에프엑스(f(x)), 공통 가로좌표가 있는 점에서 그래프의 접선 엑스서로 평행하다(그림 7.1).

이 경우 축을 따라 이러한 곡선 사이의 거리가 OU일정하게 유지 F 2 (x) - F 1 (x) = C 즉, 이 곡선은 약간의 이해서로 "병렬"합니다.

결과 .

일부 역도함수에 추가 에프엑스(F(x)) 이 기능을 위해 에프엑스(f(x)), 간격에 정의됨 엑스, 가능한 모든 상수 와 함께, 우리는 함수에 대해 가능한 모든 역도함수를 얻습니다. 에프엑스(f(x)).

그래서 표현은 에프(x)+씨 , 어디서 , 그리고 에프엑스(F(x)) – 함수의 일부 역도함수 에프엑스(f(x))에 대한 가능한 모든 역도함수를 포함합니다. 에프엑스(f(x)).

예시 1.기능이 있는지 확인하세요. 함수의 역도함수

해결책:

답변: 함수에 대한 역도함수 기능이 있을거에요 그리고

정의: 함수 F(x)가 함수 f(x)의 역도함수이면 모든 역도함수 집합 F(x)+ C가 호출됩니다. 무기한 적분 f(x)는 다음을 나타냅니다.

∫f(х)dх.

우선순위:

f(x) - 적분 함수,

f(х)dх - 피적분 표현식

이로부터 부정 적분은 일반 형식의 함수이며, 그 미분은 피적분 함수와 같고 그 미분은 변수에 대한 것입니다. 엑스모든 점에서 피적분함수와 같습니다.

기하학적인 관점에서무한 적분은 곡선군으로, 각 곡선은 자신과 평행한 곡선 중 하나를 위 또는 아래로, 즉 축을 따라 이동하여 얻습니다. OU(그림 7.2).

특정 함수의 부정적분을 계산하는 연산을 호출합니다. 완성 이 기능.

다음의 파생물이 기본 기능가 항상 기본 함수인 경우, 기본 함수의 역도함수는 유한한 수의 기본 함수로 표현되지 않을 수 있습니다.

이제 고려해 봅시다 부정적분의 성질.

정의 2에서는 다음과 같습니다.

1. 부정 적분의 도함수는 피적분 함수와 같습니다. 즉, 다음과 같습니다. F'(x) = f(x) , 저것

2. 부정 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

. (7.4)

미분과 재산의 정의로부터(7.3)

3. 일부 함수의 미분의 무기한 적분은 상수 항까지 이 함수와 동일합니다. (7.5)

기능 에프(엑스 ) ~라고 불리는 역도함수 기능을 위해 에프(엑스) 주어진 간격으로, 만약 모두에 대해 엑스 이 간격에서 평등이 유지됩니다.

에프"(엑스 ) = 에프(엑스 ) .

예를 들어, 함수 F(x) = x 2 에프(엑스 ) = 2엑스 , 왜냐하면

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

역도함수의 주요 특성

만약에 에프엑스(F(x)) - 함수의 역도함수 에프엑스(f(x)) 주어진 간격으로 함수 에프엑스(f(x)) 무한히 많은 역도함수를 가지며 이러한 모든 역도함수는 다음 형식으로 작성될 수 있습니다. 에프(x) + 씨, 어디 와 함께 임의의 상수입니다.

예를 들어. 기능 F(x) = x 2 + 1 함수의 역도함수입니다 에프(엑스 ) = 2엑스 , 왜냐하면 F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = 에프(엑스); 기능 F(x) = x 2 - 1 함수의 역도함수입니다 에프(엑스 ) = 2엑스 , 왜냐하면 F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = 에프(엑스) ; 기능 F(x) = x 2 - 3 함수의 역도함수입니다 에프(엑스) = 2엑스 , 왜냐하면 F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = 에프(엑스); 모든 기능 F(x) = x 2 + 와 함께 , 어디 와 함께 - 임의의 상수이며 그러한 함수만이 함수의 역도함수입니다. 에프(엑스) = 2엑스 . ◄

역도함수 계산 규칙

1. 만약에 에프엑스(F(x)) - 역도함수 에프엑스(f(x)) , ㅏ 지(엑스) - 역도함수 g(x) , 저것 F(x) + G(x) - 역도함수 에프(엑스) + g(엑스) . 다시 말해서, 합계의 역도함수는 역도함수의 합과 같습니다. .
2. 만약에 에프엑스(F(x)) - 역도함수 에프엑스(f(x)) , 그리고 케이 - 상수, 그럼 케이 · 에프엑스(F(x)) - 역도함수 케이 · 에프엑스(f(x)) . 다시 말해서, 상수 인자는 도함수의 부호에서 제거될 수 있습니다 .
3. 만약에 에프엑스(F(x)) - 역도함수 에프엑스(f(x)) , 그리고 케이,비- 일정하고 k ≠ 0 , 저것 1 / 케이 에프(케이 엑스+비 ) - 역도함수 에프(케이 엑스+ 비) .

부정 적분

아니다 정적분 기능에서 에프엑스(f(x)) 호출된 표현식 에프(x) + 씨, 즉 주어진 함수의 모든 역도함수 집합 에프엑스(f(x)) . 부정 적분은 다음과 같이 표시됩니다.

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

에프엑스(f(x))- 그들이 전화한다 피적분 함수 ;

에프엑스(f(x)) dx- 그들이 전화한다 적분 ;

엑스 - 그들이 전화한다 통합변수 ;

에프엑스(F(x)) - 중 하나 역도함수 기능에프엑스(f(x)) ;

와 함께 임의의 상수입니다.

예를 들어, ∫ 2 xdx =엑스 2 + 와 함께 , ∫ 코사인xdx =죄 엑스 + 와 함께 등등. ◄

"적분"이라는 단어는 라틴어 단어에서 유래되었습니다. 정수 , 이는 "복원됨"을 의미합니다. 무기한 적분을 고려하면 2 엑스, 기능을 복원하는 것 같습니다 엑스 2 , 그 파생물은 다음과 같습니다. 2 엑스. 함수의 도함수로부터 함수를 복원하는 것, 또는 동일하게 주어진 피적분에 대해 무한 적분을 찾는 것을 호출합니다. 완성 이 기능. 적분은 미분의 역연산으로, 적분이 제대로 이루어졌는지 확인하기 위해서는 결과를 미분하여 피적분함수를 구하는 것으로 충분합니다.

부정 적분의 기본 속성

1. 부정 적분의 도함수는 피적분 함수와 같습니다.

(∫ 에프엑스(f(x)) dx )" = 에프(엑스) .

2. 적분의 상수 인수는 적분 부호에서 꺼낼 수 있습니다.

∫ 케이 · 에프엑스(f(x)) dx = 케이 · ∫ 에프엑스(f(x)) dx .

3. 함수의 합(차)의 적분 합계와 동일(차이점) 이 함수들의 적분:

∫ ( 에프(엑스) ± g(엑스 ) ) dx = ∫ 에프엑스(f(x)) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. 만약에 케이,비- 일정하고 k ≠ 0 , 저것

∫ 에프 ( 케이 엑스+ 비) dx = 1 / 케이 에프(케이 엑스+비 ) + C .

역도함수 및 부정 적분 표

	에프엑스(f(x))	에프(x) + 씨	∫ f(x) dx = F(x) + C
나.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\죄 x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
6.	$$\코사인 x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
Ⅶ.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
Ⅷ.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
Ⅸ.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
엑스.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin\frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ ₩₩
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
19.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
더블 엑스.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
항파생제 및 부정 적분이 표에 주어진 것은 일반적으로 호출됩니다 표 형식의 역도함수 그리고 테이블 적분 .

정적분

사이에 놔두세요 [ㅏ; 비] 연속함수가 주어진다 y = f(x) , 그 다음에 a에서 b까지의 정적분 기능 에프엑스(f(x)) 역도함수의 증가라고 한다 에프엑스(F(x)) 이 기능은, 즉

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

숫자 ㅏ그리고 비그에 따라 호출됩니다 낮추다 그리고 맨 위 통합의 한계.

정적분 계산을 위한 기본 규칙

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) 여기서 케이 - 끊임없는;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), 여기서 에프엑스(f(x)) - 심지어 기능;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), 여기서 에프엑스(f(x)) 이상한 기능입니다.

논평 . 모든 경우에 피적분은 적분의 한계인 경계가 있는 수치 간격에서 적분 가능하다고 가정됩니다.

정적분의 기하학적, 물리적 의미

기하학적 의미 정적분	물리적 의미 정적분
정사각형 에스곡선 사다리꼴(구간에서 연속적인 양의 그래프로 제한되는 그림) [ㅏ; 비] 기능 에프엑스(f(x)) , 축 황소 그리고 똑바로 x=a , x=b )는 공식으로 계산됩니다 $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	길 에스물질점이 극복한 , 법칙에 따라 변하는 속도로 직선으로 이동 v(티) , 일정 기간 동안 ; 비] , 그런 다음 이러한 함수와 직선의 그래프에 의해 제한되는 그림의 영역 x = 에이 , x = b 는 공식으로 계산됩니다 $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	예를 들어. 선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산해 봅시다 와이 = 엑스 2 그리고 와이 = 2-엑스 . 이러한 기능의 그래프를 개략적으로 묘사하고 영역을 찾아야 하는 그림을 다른 색상으로 강조 표시하겠습니다. 적분의 한계를 찾기 위해 다음 방정식을 풉니다. 엑스 2 = 2-엑스 ; 엑스 2 + 엑스- 2 = 0 ; 엑스 1 = -2, 엑스 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

혁명체의 부피

	축을 중심으로 회전하여 몸체를 얻은 경우 황소 구간에서 연속적이고 음이 아닌 그래프로 둘러싸인 곡선 사다리꼴 [ㅏ; 비] 기능 y = f(x) 그리고 똑바로 x = 에이그리고 x = b , 그런 다음 호출됩니다. 회전체 . 회전체의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다. $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ 함수 그래프에 의해 위와 ​​아래로 묶인 도형을 회전시켜 회전체를 얻는다면 y = f(x) 그리고 y = g(x) , 그에 따라 $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	예를 들어. 반지름이 있는 원뿔의 부피를 계산해 봅시다. 아르 자형 그리고 키 시간 . 콘을 위치시키자 직사각형 시스템축이 축과 일치하도록 좌표를 지정합니다. 황소 , 밑면의 중심은 원점에 위치하였다. 발전기 회전 AB원뿔을 정의합니다. 방정식 이후 AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
그리고 원뿔의 부피에 대해 우리는 $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

역도함수를 찾는 데에는 세 가지 기본 규칙이 있습니다. 이는 해당 미분 규칙과 매우 유사합니다.

규칙 1

F가 어떤 함수 f에 대한 역도함수이고, G가 어떤 함수 g에 대한 역도함수라면, F + G는 f + g에 대한 역도함수일 것입니다.

역도함수의 정의에 따르면 F' = f입니다. G' = g. 그리고 이러한 조건이 충족되었으므로 함수 합의 미분을 계산하는 규칙에 따라 다음을 갖게 됩니다.

(F + G)' = F' + G' = f + g.

규칙 2

F가 어떤 함수 f에 대한 역도함수이고, k가 어떤 상수인 경우. 그러면 k*F는 함수 k*f의 역도함수입니다. 이 규칙은 복소 함수의 도함수를 계산하는 규칙을 따릅니다.

(k*F)' = k*F' = k*f가 있습니다.

규칙 3

F(x)가 함수 f(x)에 대한 역도함수이고 k와 b가 상수이고 k가 0이 아닌 경우 (1/k)*F*(k*x+b)는 다음과 같습니다. 함수 f(k*x+b)에 대한 역도함수.

이 규칙은 복소 함수의 도함수를 계산하는 규칙을 따릅니다.

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

이러한 규칙이 어떻게 적용되는지에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1. 찾다 일반적인 형태함수 f(x) = x^3 +1/x^2에 대한 역도함수. 함수 x^3의 경우 역도함수 중 하나는 함수 (x^4)/4가 되고, 함수 1/x^2의 경우 역도함수 중 하나는 -1/x 함수가 됩니다. 첫 번째 규칙을 사용하면 다음과 같습니다.

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

실시예 2. 함수 f(x) = 5*cos(x)에 대한 일반적인 역도함수 형태를 찾아보겠습니다. cos(x) 함수의 경우 역도함수 중 하나는 sin(x) 함수입니다. 이제 두 번째 규칙을 사용하면 다음과 같습니다.

F(x) = 5*sin(x).

예시 3.함수 y = sin(3*x-2)에 대한 역도함수 중 하나를 구합니다. 함수 sin(x)의 경우 역도함수 중 하나는 -cos(x) 함수입니다. 이제 세 번째 규칙을 사용하면 역도함수에 대한 표현식을 얻을 수 있습니다.

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

실시예 4. 함수 f(x) = 1/(7-3*x)^5에 대한 역도함수를 구합니다.

함수 1/x^5의 역도함수는 (-1/(4*x^4)) 함수가 됩니다. 이제 세 번째 규칙을 사용하여 우리는 얻습니다.

직선을 따라 점의 움직임을 생각해 봅시다. 시간이 걸리도록 하세요 티이동이 시작될 때부터 점이 먼 거리를 이동했습니다. 성).그러면 순간속도는 v(티)함수의 도함수와 같습니다 성),그건 v(티) = s"(티).

실제로 우리는 역 문제에 직면합니다: 점의 이동 속도가 주어지면 v(티)그녀가 택한 길을 찾아라 성), 즉, 그러한 함수를 찾는 것입니다 성),그 파생물은 다음과 같습니다. v(티). 기능 성),그렇게 s"(티) = v(티), 함수의 역도함수라고 합니다. v(t).

예를 들어, v(t) = аt, 어디 ㅏ주어진 숫자이면 함수는 다음과 같습니다.
s(t) = (аt 2) / 2v(t),왜냐하면
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

기능 에프엑스(F(x))함수의 역도함수라고 함 에프엑스(f(x))어떤 간격으로, 만약에 모두 엑스이 틈에서 F"(x) = f(x).

예를 들어, 함수 F(x) = 죄 x함수의 역도함수입니다 f(x) = cos x,왜냐하면 (죄 x)" = cos x; 기능 F(x) = x 4 /4함수의 역도함수입니다 에프(엑스) = 엑스 3, 왜냐하면 (x 4 /4)" = x 3.

문제를 고려해 봅시다.

일.

함수 x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4가 동일한 함수 f(x) = x 2의 역도함수임을 증명하세요.

해결책.

1) F 1 (x) = x 3 /3, 그러면 F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x)를 나타냅니다.

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( 엑스).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

일반적으로 C가 상수인 모든 함수 x 3 /3 + C는 함수 x 2의 역도함수입니다. 이는 상수의 도함수가 0이라는 사실에서 비롯됩니다. 이 예는 주어진 함수에 대해 역도함수가 모호하게 결정된다는 것을 보여줍니다.

F 1 (x) 및 F 2 (x)를 동일한 함수 f(x)의 두 역도함수라고 가정합니다.

그러면 F 1 "(x) = f(x) 및 F" 2 (x) = f(x)입니다.

차이 g(x) = F 1 (x) – F 2 (x)의 미분은 0과 같습니다. g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x)이기 때문입니다. ) – f(x) = 0.

특정 구간에서 g"(x) = 0이면 이 구간의 각 지점에서 함수 y = g(x)의 그래프에 대한 접선은 Ox 축과 평행합니다. 따라서 함수 y =의 그래프는 g(x)는 Ox 축에 평행한 직선입니다. 즉, g(x) = C, 여기서 C는 등식에서 g(x) = C, g(x) = F 1 (x)입니다. – F 2 (x) F 1 (x) = F 2 (x) + S가 됩니다.

따라서 함수 F(x)가 특정 구간에서 함수 f(x)의 역도함수이면 함수 f(x)의 모든 역도함수는 F(x) + C 형식으로 작성됩니다. 여기서 C는 임의의 상수.

주어진 함수 f(x)의 모든 역도함수 그래프를 고려해 봅시다. F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나이면 이 함수의 역도함수는 F(x)에 일부 상수 F(x) + C를 추가하여 얻습니다. 함수 그래프 y = F( x) + C는 Oy 축을 따라 이동하여 그래프 y = F(x)에서 얻습니다. C를 선택하면 역도함수 그래프가 특정 점을 통과하도록 할 수 있습니다.

역도함수를 찾는 규칙에 주목해 보겠습니다.

주어진 함수에 대한 도함수를 찾는 작업이 호출된다는 점을 기억하세요. 분화. 주어진 함수에 대한 역도함수를 찾는 역연산을 호출합니다. 완성(라틴어 단어에서 "복원하다").

역도함수 표일부 함수의 경우 파생 테이블을 사용하여 컴파일할 수 있습니다. 예를 들어, (cos x)" = -sin x,우리는 얻는다 (-cos x)" = 죄 x, 그로부터 모든 역도함수 함수는 다음과 같습니다. 죄 x형식으로 작성됩니다 -cos x + C, 어디 와 함께- 끊임없는.

역도함수(antiderivative)의 몇 가지 의미를 살펴보겠습니다.

1) 기능: xp, p ≠ -1. 역도함수: (x p+1) / (p+1) + C.

2) 기능: 1/x, x > 0.역도함수: ln x + C.

3) 기능: xp, p ≠ -1. 역도함수: (x p+1) / (p+1) + C.

4) 기능: 전. 역도함수: 전자 x + C.

5) 기능: 죄 x. 역도함수: -cos x + C.

6) 기능: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0.역도함수: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) 기능: 1/(kx + b), k ≠ 0. 역도함수: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) 기능: e kx + b, k ≠ 0. 역도함수: (1/k) e kx + b + C.

9) 기능: 죄(kx + b), k ≠ 0. 역도함수: (-1/k) cos (kx + b).

10) 기능: cos (kx + b), k ≠ 0.역도함수: (1/k) 죄 (kx + b).

통합 규칙을 사용하여 얻을 수 있습니다 차별화 규칙. 몇 가지 규칙을 살펴보겠습니다.

허락하다 에프엑스(F(x))그리고 지(엑스)– 해당 함수의 역도함수 에프엑스(f(x))그리고 g(x)어느 정도 간격으로. 그 다음에:

1) 기능 F(x) ± G(x)함수의 역도함수입니다 f(x) ± g(x);

2) 기능 F(x)함수의 역도함수입니다 аf(x).

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표적:

• 역도함수 개념의 형성.
• 적분의 인식을 위한 준비.
• 컴퓨팅 기술의 형성.
• 미의식 함양(특이한 것에서도 아름다움을 보는 능력)

수학적 분석은 미분 및 적분법을 사용하여 함수와 함수의 일반화를 연구하는 일련의 수학 분야입니다.

지금까지 우리는 미분학이라고 불리는 수학적 분석의 한 분야를 연구했는데, 그 본질은 "작은" 함수를 연구하는 것입니다.

저것들. 각 정의점의 충분히 작은 이웃에서 함수를 연구합니다. 미분의 연산 중 하나는 미분(미분)을 찾아 함수 연구에 적용하는 것입니다.

반대 문제도 그다지 중요하지 않습니다. 함수 정의의 각 지점 근처에서 함수의 동작이 알려지면 함수를 전체적으로 어떻게 재구성할 수 있습니까? 정의의 전체 범위에 걸쳐. 이 문제는 소위 적분법의 연구 주제입니다.

통합은 차별화의 역작용이다. 또는 주어진 도함수 f`(x)로부터 함수 f(x)를 복원합니다. 라틴어 인테그로(integro)는 회복을 뜻한다.

예 1.

(x)`=3x 2라고 하자.
f(x)를 찾아보자.

해결책:

미분 법칙에 따르면 (x 3)` = 3x 2이기 때문에 f(x) = x 3이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
그러나 f(x)가 고유하게 발견되지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
f(x)로 우리는 취할 수 있습니다
에프(엑스)= x 3 +1
에프(엑스)= 엑스 3 +2
f(x)= x 3 -3 등

각각의 미분은 3x2와 같기 때문입니다. (상수의 미분은 0입니다.) 이 모든 기능은 상수 항으로 인해 서로 다릅니다. 그렇기 때문에 공동의 결정문제는 f(x)= x 3 +C 형식으로 작성될 수 있습니다. 여기서 C는 임의의 상수 실수입니다.

발견된 함수 f(x) 중 하나가 호출됩니다. 프리모디엄함수 F`(x)= 3x 2의 경우

정의. 함수 F(x)는 이 간격 F`(x)= f(x)의 모든 x에 대해 주어진 간격 J에서 함수 f(x)에 대한 역도함수라고 합니다. 따라서 함수 F(x)=x 3은 (- ; )에서 f(x)=3x 2에 대해 역도함수입니다.
모든 x ~R에 대해 평등은 참이므로: F`(x)=(x 3)`=3x 2

이미 알고 있듯이 이 함수에는 무한한 수의 역도함수가 있습니다(예제 1 참조).

예 2. 함수 F(x)=x는 구간 (0; +)에서 모든 f(x)= 1/x에 대해 역도함수입니다. 왜냐하면 이 구간의 모든 x에 대해 동등성이 유지됩니다.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

예 번호 3. 함수 F(x)=tg3x는 구간 (-n/)에서 f(x)=3/cos3x에 대한 역도함수입니다. 2; 피/ 2),
왜냐하면 F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

예 번호 4. 함수 F(x)=3sin4x+1/x-2는 구간 (0;무한대)에서 f(x)=12cos4x-1/x 2 에 대해 역도함수입니다.
왜냐하면 F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

강의 2.

주제: 역파생. 역도함수 함수의 주요 속성입니다.

역도함수를 연구할 때 우리는 다음 진술에 의존할 것입니다. 함수의 불변성의 부호: 구간 J에서 함수의 도함수 Ψ(x)가 0과 같으면 이 구간에서 함수 Ψ(x)는 일정합니다.

이 진술은 기하학적으로 증명될 ​​수 있습니다.

Ψ`(x)=tgα, γde α는 가로축 x 0인 점에서 함수 Ψ(x)의 그래프에 대한 접선의 경사각인 것으로 알려져 있습니다. 간격 J의 임의 지점에서 Ψ`(υ)=0이면 함수 Ψ(x)의 그래프에 대한 모든 접선에 대해 tanα=0 δ입니다. 이는 임의의 지점에서 함수 그래프의 접선이 가로축과 평행함을 의미합니다. 따라서 표시된 간격에서 함수 Ψ(x)의 그래프는 직선 세그먼트 y=C와 일치합니다.

따라서 함수 f(x)=c는 이 구간에서 f`(x)=0이면 구간 J에서 일정합니다.

실제로, 간격 J의 임의의 x 1 및 x 2에 대해 함수의 평균값에 대한 정리를 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), 왜냐하면 f`(c)=0이면 f(x 2)= f(x 1)

정리: (역도함수 함수의 주요 특성)

F(x)가 구간 J에서 함수 f(x)에 대한 역도함수 중 하나인 경우 이 함수의 모든 역도함수 집합은 F(x)+C 형식을 갖습니다. 여기서 C는 실수입니다.

증거:

F`(x) = f (x), 그러면 (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J에 대해.
Φ(x)가 존재한다고 가정합니다 - 간격 J에서 f(x)에 대한 또 다른 역도함수, 즉 Φ`(x) = f(x),
그런 다음 (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J에 대해.
이는 Φ(x) - F(x)가 간격 J에서 일정하다는 것을 의미합니다.
따라서 Φ(x) - F(x) = C입니다.
여기서 Φ(x)= F(x)+C입니다.
이는 F(x)가 구간 J에서 함수 f(x)에 대한 역도함수인 경우 이 함수의 모든 역도함수 집합의 형식은 F(x)+C이며, 여기서 C는 실수입니다.
결과적으로, 주어진 함수의 임의의 두 역도함수는 상수항에 의해 서로 다릅니다.

예: 함수 f (x) = cos x의 역도함수 집합을 찾습니다. 처음 3개의 그래프를 그립니다.

해결책: Sin x는 함수 f(x) = cos x에 대한 역도함수 중 하나입니다.
F(x) = Sin x+C – 모든 역도함수의 집합입니다.

F 1 (x) = 죄 x-1
F 2 (x) = 죄 x
F 3 (x) = 죄 x+1

기하학적 그림:임의의 역도함수 F(x)+C의 그래프는 r(0;c)의 병렬 전달을 사용하여 역도함수 F(x)의 그래프로부터 얻을 수 있습니다.

예: 함수 f(x) = 2x에 대해 그래프가 t.M(1;4)을 통과하는 역도함수를 찾습니다.

해결책: F(x)=x 2 +C – 문제의 조건에 따른 모든 역도함수 집합, F(1)=4 –.
따라서 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3