선형 부등식 시스템을 그래픽으로 해결합니다. 그래픽 방법으로 선형 부등식 시스템 풀기

시스템은 두 가지 변수의 불평등으로 구성됩니다.

시스템을 해결하려면 다음이 필요합니다.

1. 각 부등식에 대해 이 부등식에 해당하는 방정식을 적어보세요.

2. 방정식으로 지정된 함수의 그래프인 직선을 구성합니다.

3. 각 선에 대해 부등식으로 제공되는 반평면을 결정합니다. 이렇게 하려면 선 위에 있지 않은 임의의 점을 가져와 해당 좌표를 부등식으로 대체합니다. 부등식이 참이면 선택한 점을 포함하는 반평면이 원래 부등식의 해가 됩니다. 부등식이 거짓이면 선 반대편의 반평면이 이 부등식에 대한 해의 집합입니다.

4. 부등식 시스템을 해결하려면 시스템의 각 부등식에 대한 해가 되는 모든 반면의 교차 영역을 찾는 것이 필요합니다.

이 영역이 비어 있는 것으로 판명될 수 있으며, 불평등 시스템에는 해결책이 없으며 일관성이 없습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 있다고 합니다. 유한한 수의 해가 있을 수도 있고 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 영역은 닫힌 다각형이거나 무한할 수 있습니다.

예시 3.그래픽으로 시스템을 해결합니다.

부등식에 해당하는 방정식 x + y–1 = 0 및 –2x – 2y + 5 = 0을 고려하십시오. 이 방정식으로 주어진 직선을 구성해 봅시다(그림 3).

그림 3 - 직선 이미지

부등식으로 정의되는 반평면을 정의해 보겠습니다. 임의의 점을 취해 (0; 0)으로 합시다. x+ y– 1 ≤ 0을 고려하고 점 (0; 0)을 0 + 0 – 1 ≤ 0으로 대체합니다. 이는 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 x + y – 1 ≤ 0임을 의미합니다. , 즉. . 선 아래에 있는 반평면은 첫 번째 부등식의 해입니다. 이 점(0; 0)을 두 번째 점으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, 즉 점 (0; 0)이 있는 반평면에서는 –2x – 2y + 5≥ 0이고, 우리는 –2x – 2y + 5 ≤ 0인 곳이 어디인지 물었습니다. 따라서 다른 반평면에서는 – 하나의 직선 위.

이 두 반평면의 교차점을 찾아봅시다. 선은 평행하므로 평면은 어느 곳에서도 교차하지 않습니다. 이는 이러한 불평등 시스템에 해결책이 없으며 일관성이 없음을 의미합니다.

예시 4.불평등 시스템에 대한 그래픽 솔루션을 찾으십시오.

1. 부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 봅시다(그림 4).

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

와이 – x – 1 = 0 x 0 2

와이 + 2 = 0; y = -2.

그림 4 - 직선 이미지

2. 점 (0; 0)을 선택한 후 반평면의 불평등 징후를 결정합니다.

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, 즉 직선 아래 반평면에서 x + 2y– 2 ≤ 0;

0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 직선 아래 반평면에서 y –x– 1 ≤ 0;

0 + 2 =2 ≥ 0, 즉 직선 위의 반평면에서 y + 2 ≥ 0입니다.

3. 이 세 개의 반면의 교차점은 삼각형 영역이 됩니다. 해당 선의 교차점으로 영역의 꼭지점을 찾는 것은 어렵지 않습니다.

따라서 A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2)입니다.

시스템의 결과 솔루션 도메인이 무제한인 또 다른 예를 고려해 보겠습니다.

실시예 5.시스템을 그래픽으로 해결

부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 보겠습니다(그림 5).

그림 5 - 직선 이미지

x + y – 1 = 0 x 0 1

와이 – x – 1 = 0 x 0 -1

반 평면의 기호를 정의해 보겠습니다. 점 (0; 0)을 선택해 봅시다:

0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 y – x – 1 ≤ 0 직선 아래;

0 + 0 – 1 ≤ 0, 즉 x + y – 1 ≤ 0 직선 아래.

두 반평면의 교차점은 점 A(0;1)에 있는 정점과의 각도입니다. 이 무한한 영역은 불평등의 원래 시스템에 대한 솔루션입니다.

두 변수를 갖는 선형 부등식이 주어지고

(1)

값이 그리고 평면 위의 점 좌표로 간주되면 좌표가 부등식(1)을 충족하는 평면 위의 점 집합을 이 부등식에 대한 해의 영역이라고 합니다. 결과적으로, 불평등에 대한 해의 영역(1)은 경계선이 직선인 반평면입니다.
.

예시 1.

.

해결책. 직선 만들기
예를 들어 좌표축 (0; 4) 및 (6; 0)과의 교차점으로 두 점으로 계산됩니다. 이 선은 평면을 두 부분으로 나눕니다. 두 개의 반 평면으로. 우리는 구성된 선 위에 있지 않은 평면의 임의의 점을 취합니다. 점의 좌표가 주어진 부등식을 만족하는 경우 솔루션 영역은 이 점이 위치한 반평면입니다. 잘못된 수치 부등식을 얻으면 솔루션 영역은 이 점이 속하지 않는 반평면이 됩니다. 일반적으로 제어를 위해 포인트 (0; 0)가 사용됩니다.

대체하자
그리고
주어진 불평등에. 우리는 얻는다
. 결과적으로, "0을 향한" 반평면은 이 부등식에 대한 해법 영역입니다(그림 1의 음영 부분).

예시 2.부등식으로 정의된 반평면 찾기

.

해결책. 직선 만들기
, 예를 들어 포인트 (0; 0) 및 (1; 3)로 표시됩니다. 왜냐하면 직선은 좌표의 원점인 점(0; 0)을 통과하므로 제어할 수 없습니다. 예를 들어 점 (-2; 0)을 취하고 해당 좌표를 주어진 부등식으로 대체하십시오. 우리는 얻는다
. 이것은 사실이 아닙니다. 이는 이 부등식에 대한 해법 영역이 제어점이 속하지 않는 반평면(그림 2의 음영 부분)이 됨을 의미합니다.

2. 선형 부등식 시스템의 해 영역.

예.불평등 시스템의 해법 영역을 찾으십시오.

해결책. 우리는 첫 번째 부등식(그림 1)과 두 번째 부등식(그림 2)에 대한 해의 영역을 찾습니다.

해칭이 겹쳐지는 평면 부분의 모든 점은 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식을 모두 만족합니다. 따라서 주어진 부등식 시스템에 대한 해 영역이 얻어집니다(그림 3).

주어진 불평등 시스템에 조건을 추가하면
그리고
, 불평등 시스템의 해법 영역
I 좌표 분기에만 위치합니다(그림 4).

선형 불평등 시스템에 대한 해결책을 찾는 원리는 시스템에 포함된 불평등의 수에 의존하지 않습니다.

메모 : 허용되는 해 영역(ADA)이 존재하는 경우 이는 닫힌 또는 열린 볼록 다각형입니다.

3. 문제 해결을 위한 그래픽 방법 알고리즘

선형 계획법 문제에 변수가 두 개만 포함된 경우 다음 작업을 수행하여 그래픽적으로 해결할 수 있습니다.

예.선형 프로그래밍 문제를 그래픽 방식으로 해결

최대

해결책. 시스템의 세 번째와 네 번째 제한은 이중 불평등입니다. 이러한 문제에 더 친숙한 형태로 변환해 보겠습니다.
, 이것
그리고
, 저것. 결과적인 불평등 중 첫 번째
(또는
)는 음성이 아닌 조건을 의미하고, 두 번째는
제한 시스템으로. 비슷하게,
이것
그리고
.

저것. 문제는 형태를 취할 것이다

최대

,

부등호를 정확한 등호로 대체하여 직선 방정식을 사용하여 허용 가능한 솔루션 영역을 구성합니다.

;
;
;
.

부등식의 해 영역은 오각형입니다. 에이 비 씨 디이.

벡터를 만들어 봅시다
. 벡터에 수직인 원점을 통해 레벨 라인을 그리다 . 그런 다음 벡터 방향으로 평행하게 이동합니다. 실현 가능한 솔루션 영역에서 벗어나는 지점까지. 이것이 요점이 될 것입니다 와 함께. 첫 번째와 네 번째 선의 방정식으로 구성된 시스템을 풀어 이 점의 좌표를 찾아보겠습니다.

.

점의 좌표를 대입해보자 와 함께목적 함수에 대입하여 최대값을 찾습니다.
예.레벨 라인 구성
그리고
선형 프로그래밍 문제의 경우:

최대 (분)

해결책. 실현 가능한 해의 영역은 개방형 영역입니다(그림 6). 레벨 라인
한 지점을 통과한다 안에. 기능 지이 시점에서는 최소값이 있습니다. 레벨 라인
실현 가능한 해의 영역에서 출구점이 없기 때문에 구성할 수 없습니다. 이는 다음을 의미합니다.
.

독립적인 작업을 위한 작업.

불평등 시스템의 해법 영역을 찾으십시오.

ㅏ) 비)

선형 프로그래밍 문제를 그래픽 방식으로 해결

분

경제-수학적 모델을 만들고 선형 계획법 문제를 그래픽적으로 해결합니다.

이 회사는 A와 B의 두 가지 유형의 제품을 생산합니다. 각 유형의 제품은 두 대의 기계(I 및 II)에서 처리됩니다. 유형별 한 제품의 기계 처리 시간, 기계 작동 시간 근무 교대, A 유형과 B 유형의 한 제품을 판매하여 회사의 이익이 표에 나열되어 있습니다.

판매 시장에 대한 연구에 따르면 유형 B 제품의 일일 수요는 유형 A 제품의 수요를 40단위 이상 초과하지 않으며 유형 A 제품의 수요는 일일 90단위를 초과하지 않는 것으로 나타났습니다.

가장 큰 이익을 제공하는 제품 생산 계획을 결정하십시오.

불평등의 대략적인 해결책.

알 수 없는 불평등에 대한 그래픽 솔루션입니다.

두 개의 미지수가 있는 부등식 시스템의 그래픽 솔루션입니다.

솔루션의 교차점.

기능을 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다. 약결정하다불평등 하나는 알려지지 않았고 불평등의 시스템은하나 그리고 알려지지 않은 두 가지. 미지의 부등식을 그래픽적으로 해결하려면, 모든 구성원을 하나의 부분으로 전송해야 합니다.이자형 . 다음으로 이어진다:

에프 ( 엑스 ) > 0 ,

그리고 함수를 플롯와이 = 에프(엑스 ). 이후, 구성된 그래프를 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 함수 0(참조), 축을 나눌 것입니다엑스여러 간격 동안. 이제 이를 바탕으로 간격을 결정합니다. 엑스, 그 안에서 함수 기호는 부등호에 해당합니다. 예를 들어,함수의 0:ㅏ그리고 비(그림 30). 그러면 그래프에서그 사이의 간격은 명백하다. 에프 (엑스 ) > 0: 엑스 < ㅏ그리고 엑스 > 비(굵은 화살표로 강조 표시되어 있습니다). >라는 표시가 분명합니다. 여기에는 조건부가 있습니다. 대신에 다른 것이 있을 수 있습니다: < , .

에게 불평등 시스템을 그래픽으로 해결와 함께 하나를 알 수 없는 경우 각 용어의 모든 용어를 하나의 부분으로 옮겨야 합니다.이자형 . 불평등을 다음과 같은 형식으로 가져옵니다.

함수 그래프 작성와이 = 에프 ( 엑스 ), 와이 = g (엑스 ) , ... , 와이 = 시간 (엑스). 각 이러한 불평등 중 하나는 위에서 설명한 그래픽 방법으로 해결됩니다. 이후필요하다 찾다 솔루션의 교차점모든 불평등, 즉이자형.

그들의 공통점.

예 불평등 시스템을 그래픽으로 해결합니다.해결책 먼저, 함수를 그려보겠습니다. = - 2 / 3 엑스와이

해결책 먼저, 함수를 그려보겠습니다. = 엑스 2 + 2 및

- 1(그림 31):첫 번째 결정엑스> 3, 불평등은 간격이다엑스 < - 1 и 엑스> 1, 그림 31에 회색 화살표로 표시됨.

그래프로 보면 명확해무엇 이 두 해의 교차점은 간격입니다.엑스> 3. 이것이 주어진 불평등 체계에 대한 해결책입니다.

두 개의 미지수가 있는 두 부등식 시스템을 그래픽적으로 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 각각에서 모든 용어를 하나의 부분으로 옮깁니다.이자형. 가져오다

형태의 불평등:

2) 암시적으로 지정된 함수의 그래프를 작성합니다.에프 (엑스, 와이) = 0 및 g (엑스, 와이) = 0;

3) 각 그래프는 좌표 평면을 두 부분으로 나눕니다.

그 중 하나는 불평등 공정하고 또 다른 것은 아닙니다. 해결하다

이러한 각 불평등을 그래픽으로 확인하는 것으로 충분합니다.

모든 내부의 임의의 한 지점에서 불평등의 타당성

비행기의 일부; 이 시점에서 불평등이 발생하면

좌표 평면의 이 부분은 솔루션입니다. 그렇지 않은 경우

해는 평면의 반대쪽 부분이다 ;

4) 주어진 불평등 시스템에 대한 해결책은 교차점이다

(일반 영역) 좌표 평면의 일부.

예 불평등 시스템을 해결합니다.

해결책: 먼저 그래프를 작성합니다. 선형 함수: 5 엑스 – 7 해결책 먼저, 함수를 그려보겠습니다.= - 11 및

2 엑스 + 3 해결책 먼저, 함수를 그려보겠습니다.= 10(그림 32). 그들 각각에 대해 우리는 반 평면을 찾습니다.

그 안에서 해당주어진 불평등

공정한. 우리는 공정성을 확인하는 것만으로도 충분하다는 것을 알고 있습니다.

지역 내 임의의 한 지점에서의 불평등 이것에

이 경우 좌표 원점을 사용하는 것이 가장 쉽습니다. 영형(0, 0 ).

그를 프레이밍 대신 우리의 불평등을 조정합니다.엑스그리고 와이,

우리는 다음을 얻습니다: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11, 그러므로 더 낮다

반면 (노란색) 첫 번째 해결책은

불평등; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе 불평등

그 해는 또한 하부 반평면(파란색

그림 물감 ). 이 반평면의 교차점( 청록색 색상 영역)

해결책이다 우리의 불평등 시스템.

선형 계획법 문제를 그래픽으로 해결, 선형 계획법 문제의 정식 형식도 참조하세요.

이러한 문제에 대한 제약 시스템은 두 가지 변수의 불평등으로 구성됩니다.
목적 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 에프 = 씨 1 엑스 + 씨 2 와이극대화해야 하는 것입니다.

질문에 답해 보겠습니다. 어떤 숫자 쌍 ( 엑스; 와이) 불평등 시스템에 대한 해법은, 즉 각 불평등을 동시에 만족시키는 것입니까? 즉, 시스템을 그래픽적으로 해결한다는 것은 무엇을 의미합니까?
먼저 두 개의 미지수가 있는 하나의 선형 부등식에 대한 해법이 무엇인지 이해해야 합니다.
두 개의 미지수로 선형 부등식을 푼다는 것은 부등식이 유지되는 모든 알 수 없는 값 쌍을 결정하는 것을 의미합니다.
예를 들어 부등식 3 엑스 – 5와이≥ 42 만족 쌍( 엑스 , 와이) : (100, 2); (3, –10) 등. 과제는 그러한 쌍을 모두 찾는 것입니다.
두 가지 불평등을 고려해 봅시다: 도끼 + ~에 의해≤ 씨, 도끼 + ~에 의해≥ 씨. 똑바로 도끼 + ~에 의해 = 씨평면을 두 개의 반평면으로 나누어 그 중 하나의 점 좌표가 부등식을 만족하도록 합니다. 도끼 + ~에 의해 >씨, 그리고 다른 부등식 도끼 + +~에 의해 <씨.
과연 좌표로 포인트를 잡아보자 엑스 = 엑스 0 ; 그런 다음 선 위에 놓여 있고 가로좌표를 갖는 점이 있습니다. 엑스 0, 세로좌표 있음

확실히 하자 ㅏ< 0, 비>0, 씨>0. 가로좌표가 있는 모든 점 엑스 0 위에 누워 피(예를 들어 점 중), 가지다 와 남>와이 0 및 해당 지점 아래의 모든 지점 피, 가로좌표 있음 엑스 0 , 있음 y N<와이 0 . 왜냐하면 엑스 0은 임의의 점이며, 선의 한쪽에는 항상 점이 있습니다. 도끼+ ~에 의해 > 씨, 반평면을 형성하고 반대쪽에서는 - 점 도끼 + ~에 의해< 씨.

그림 1

반평면의 부등호는 숫자에 따라 달라집니다. ㅏ, 비 , 씨.
이는 다음과 같은 방법으로 이어집니다. 그래픽 솔루션두 변수의 선형 불평등 시스템. 시스템을 해결하려면 다음이 필요합니다.

1. 각 부등식에 대해 이 부등식에 해당하는 방정식을 작성하십시오.
2. 방정식으로 지정된 함수 그래프인 직선을 구성합니다.
3. 각 선에 대해 부등식으로 제공되는 반평면을 결정합니다. 이렇게 하려면 선 위에 있지 않은 임의의 점을 가져와 해당 좌표를 부등식으로 대체합니다. 부등식이 참이면 선택한 점을 포함하는 반평면이 원래 부등식의 해가 됩니다. 부등식이 거짓이면 선 반대편의 반평면이 이 부등식에 대한 해의 집합입니다.
4. 부등식 시스템을 해결하려면 시스템의 각 부등식에 대한 해가 되는 모든 반면의 교차 영역을 찾아야 합니다.

이 영역이 비어 있는 것으로 판명될 수 있으며, 불평등 시스템에는 해결책이 없으며 일관성이 없습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 있다고 합니다.
유한한 수의 해가 있을 수도 있고 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 영역은 닫힌 다각형이거나 무한할 수 있습니다.

세 가지 관련 사례를 살펴보겠습니다.

예 1. 시스템을 그래픽으로 해결합니다.
엑스 + 와이 – 1 ≤ 0;
–2엑스 – 2와이 + 5 ≤ 0.

• 부등식에 해당하는 방정식 x+y–1=0 및 –2x–2y+5=0을 고려하십시오.
• 이 방정식으로 주어진 직선을 만들어 봅시다.

그림 2

부등식으로 정의되는 반평면을 정의해 보겠습니다. 임의의 점을 취해 (0; 0)으로 합시다. 고려해 봅시다 엑스+ 와이- 1 0, 점 (0; 0)을 대체합니다: 0 + 0 – 1 ≤ 0. 이는 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 다음을 의미합니다. 엑스 + 와이 – 1 ≤ 0, 즉 선 아래에 있는 반평면은 첫 번째 부등식의 해입니다. 이 점(0; 0)을 두 번째 점으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, 즉 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 –2 엑스 – 2와이+ 5≥ 0, 그리고 우리는 –2가 어디에 있는지 물었습니다. 엑스 – 2와이+ 5 ≤ 0, 따라서 다른 절반 평면에서 - 직선 위의 절반 평면에서.
이 두 반평면의 교차점을 찾아봅시다. 선은 평행하므로 평면은 어느 곳에서도 교차하지 않습니다. 이는 이러한 불평등 시스템에 해결책이 없으며 일관성이 없음을 의미합니다.

예 2. 불평등 시스템에 대한 그래픽 솔루션 찾기:

그림 3
1. 부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 봅시다.
엑스 + 2와이– 2 = 0

엑스	2	0
와이	0	1

와이 – 엑스 – 1 = 0

엑스	0	2
와이	1	3

와이 + 2 = 0;
와이 = –2.
2. 점 (0; 0)을 선택한 후 반평면의 불평등 징후를 결정합니다.
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, 즉 엑스 + 2와이– 직선 아래의 반평면에서는 2 ≤ 0입니다.
0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 와이 –엑스– 직선 아래의 반평면에서는 1 ≤ 0입니다.
0 + 2 =2 ≥ 0, 즉 와이직선 위의 반평면에서 + 2 ≥ 0입니다.
3. 이 세 개의 반면의 교차점은 삼각형 영역이 됩니다. 해당 선의 교차점으로 영역의 꼭지점을 찾는 것은 어렵지 않습니다.


따라서, ㅏ(–3; –2), 안에(0; 1), 와 함께(6; –2).

시스템의 결과 솔루션 도메인이 제한되지 않는 또 다른 예를 고려해 보겠습니다.