역학과 운동학은 공간에서 물체의 움직임 법칙을 연구하는 물리학의 두 가지 중요한 분야입니다. 첫 번째는 신체에 작용하는 힘을 고려하는 반면, 두 번째는 원인을 파악하지 않고 동적 과정의 특성을 직접적으로 다룹니다. 경사면에서의 운동과 관련된 문제를 성공적으로 해결하려면 이러한 물리학 분야에 대한 지식을 사용해야 합니다. 기사에서 이 문제를 살펴보겠습니다.
역학의 기본 공식
물론 우리는 17세기 아이작 뉴턴이 고체의 기계적 운동을 연구하면서 가정한 제2법칙을 이야기하고 있다. 수학적 형식으로 작성해 보겠습니다.
외력 F̅의 작용은 질량이 m인 물체에 선형 가속도 a̅가 나타나는 원인이 됩니다. 두 벡터량(F̅ 및 á)은 모두 같은 방향을 향합니다. 공식의 힘은 시스템에 존재하는 모든 힘이 물체에 작용한 결과입니다.
회전 운동의 경우 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 표현됩니다.
여기서 M과 I는 각각 관성이고 α는 각가속도입니다.
운동학 공식
경사면에서의 운동과 관련된 문제를 해결하려면 동역학의 주요 공식뿐만 아니라 이에 상응하는 운동학 표현에 대한 지식도 필요합니다. 가속도, 속도 및 이동 거리를 동일하게 연결합니다. 균일하게 가속된(균등하게 감속된) 직선 운동의 경우 다음 공식이 사용됩니다.
S = v 0 *t ± a*t 2 /2
여기서 v0는 물체의 초기 속도 값이고, S는 시간 t 동안 직선 경로를 따라 이동한 경로입니다. 시간이 지남에 따라 신체 속도가 증가하는 경우 "+" 기호를 추가해야 합니다. 그렇지 않은 경우(균일한 느린 동작) 공식에 "-" 기호를 사용해야 합니다. 이것은 중요한 포인트입니다.
원형 경로(축을 중심으로 한 회전)를 따라 이동하는 경우 다음 공식을 사용해야 합니다.
Ω = Ω 0 ± α*t;
θ = Ω 0 *t ± α*t 2 /2
여기서 α와 Ω는 각각 속도이고, θ는 시간 t 동안 회전체의 회전 각도입니다.
선형 및 각도 특성은 다음 공식으로 서로 관련됩니다.
여기서 r은 회전 반경입니다.
경사면에서의 움직임: 힘
이 움직임은 수평선에 대해 특정 각도로 기울어진 평평한 표면을 따라 물체가 움직이는 것으로 이해됩니다. 예로는 보드 위에서 미끄러지는 블록이나 기울어진 금속판 위에서 굴러가는 원통이 있습니다.
고려 중인 움직임 유형의 특성을 결정하려면 먼저 신체(바, 실린더)에 작용하는 모든 힘을 찾아야 합니다. 그들은 다를 수 있습니다. 일반적으로 이는 다음과 같은 힘이 될 수 있습니다.
- 무거움;
- 지원 반응;
- 및/또는 미끄러짐;
- 실 장력;
- 외부 견인력.
처음 세 개는 항상 존재합니다. 마지막 두 가지의 존재는 신체의 특정 시스템에 따라 다릅니다.
경사면을 따른 운동과 관련된 문제를 해결하려면 힘 모듈뿐만 아니라 해당 작용 방향도 알아야 합니다. 물체가 평면 아래로 굴러 떨어지면 마찰력을 알 수 없습니다. 그러나 해당 운동 방정식 시스템에서 결정됩니다.
해결방법
이러한 유형의 문제를 해결하는 것은 힘과 그 작용 방향을 결정하는 것부터 시작됩니다. 이를 위해서는 먼저 중력을 고려한다. 이는 두 개의 구성요소 벡터로 분해되어야 합니다. 그 중 하나는 경사면의 표면을 따라 향해야 하고 두 번째는 경사면에 수직이어야 합니다. 아래쪽으로 움직이는 물체의 경우 중력의 첫 번째 구성요소는 선형 가속도를 제공합니다. 어쨌든 이런 일이 발생합니다. 두 번째는 다음과 같습니다. 이 모든 지표는 서로 다른 매개변수를 가질 수 있습니다.
경사면을 따라 이동할 때 마찰력은 항상 신체의 움직임에 반대됩니다. 슬라이딩의 경우 계산은 매우 간단합니다. 이렇게 하려면 다음 공식을 사용하세요.
N이 지지 반응인 경우 µ는 차원이 없는 마찰 계수입니다.
이 세 가지 힘만 시스템에 존재하는 경우 경사면을 따른 결과는 다음과 같습니다.
F = m*g*sin(ψ) - µ*m*g*cos(ψ) = m*g*(sin(ψ) - µ*cos(ψ)) = m*a
여기서 Φ는 수평선에 대한 평면의 경사각입니다.
힘 F를 알면 뉴턴의 법칙을 사용하여 선형 가속도 a를 결정할 수 있습니다. 후자는 알려진 시간이 지난 후 경사면을 따라 이동하는 속도와 신체가 이동한 거리를 결정하는 데 사용됩니다. 살펴보면 모든 것이 그렇게 복잡하지 않다는 것을 이해할 수 있습니다.
물체가 미끄러지지 않고 경사면을 굴러 내려가는 경우 총 힘 F는 다음과 같습니다.
F = m*g*sin(ψ) - F r = m*a
어디 F r -그것은 알려지지 않았습니다. 물체가 구르면 중력은 회전축에 작용하므로 모멘트가 발생하지 않습니다. 차례로 F r은 다음 순간을 생성합니다.
두 개의 방정식과 두 개의 미지수(α와 a가 서로 관련되어 있음)가 있다는 점을 고려하면 이 시스템과 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.
이제 설명된 기술을 사용하여 특정 문제를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.
경사면에서 블록이 움직이는 문제
나무 블록은 경사면의 꼭대기에 있습니다. 길이는 1m, 각도는 45o인 것으로 알려져 있다. 슬라이딩의 결과로 블록이 이 평면을 따라 하강하는 데 걸리는 시간을 계산해야 합니다. 마찰계수를 0.4로 설정합니다.
주어진 물리적 시스템에 대한 뉴턴의 법칙을 작성하고 선형 가속도 값을 계산합니다.
m*g*(sin(Φ) - µ*cos(Φ)) = m*a =>
a = g*(sin(ψ) - µ*cos(ψ)) ≒ 4.162m/s 2
블록이 이동해야 하는 거리를 알고 있으므로 초기 속도 없이 균일하게 가속되는 모션 동안 경로에 대해 다음 공식을 작성할 수 있습니다.
시간을 어디에서 표현하고 알려진 값으로 대체해야 합니까?
t = √(2*S/a) = √(2*1/4.162) ≒ 0.7초
따라서 블록의 경사면을 따라 이동하는 데 걸리는 시간은 1초 미만입니다. 얻은 결과는 체중에 의존하지 않습니다.
실린더가 비행기 아래로 굴러 내려가는 문제
반지름이 20cm이고 질량이 1kg인 원통이 30o 각도로 기울어진 평면 위에 놓여 있습니다. 길이가 1.5미터인 경우 비행기를 굴릴 때 얻을 수 있는 최대 선형 속도를 계산해야 합니다.
해당 방정식을 작성해 보겠습니다.
m*g*sin(Φ) - Fr = m*a;
F r *r = I*α = I*a/r
실린더 I의 관성 모멘트는 다음 공식으로 계산됩니다.
이 값을 두 번째 공식에 대입하고 마찰력 F r을 표현한 후 첫 번째 방정식의 결과 표현식으로 바꾸면 다음과 같습니다.
F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >
m*g*sin(Φ) - 1/2*m*a = m*a =>
a = 2/3*g*sin(ψ)
우리는 선형 가속도가 평면에서 굴러가는 물체의 반경과 질량에 의존하지 않는다는 것을 발견했습니다.
비행기의 길이가 1.5미터라는 것을 알면 몸이 움직이는 시간을 알 수 있습니다.
그러면 실린더의 경사면을 따라 이동하는 최대 속도는 다음과 같습니다.
v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(ψ))
문제 조건에서 알려진 모든 양을 최종 공식에 대입하면 v ≒ 3.132 m/s라는 답을 얻습니다.
레버와 마찬가지로 경사면은 신체를 들어올리는 데 필요한 힘을 줄여줍니다. 예를 들어, 45kg 무게의 콘크리트 블록을 손으로 들어 올리는 것은 매우 어렵지만 경사면 위로 끌어 올리는 것은 가능합니다. 경사면에 놓인 물체의 무게는 두 가지 구성 요소로 분해되는데, 그 중 하나는 표면에 평행하고 다른 하나는 수직입니다. 블록을 경사면 위로 이동하려면 사람은 평면의 경사각이 증가함에 따라 그 크기가 증가하는 평행 구성요소만 극복해야 합니다.
경사면은 디자인이 매우 다양합니다. 예를 들어, 나사는 원통형 부분을 중심으로 나선형으로 회전하는 경사면(나사산)으로 구성됩니다. 나사가 부품에 나사로 고정되면 나사산이 부품 본체에 침투하여 부품과 나사산 사이의 높은 마찰로 인해 매우 강한 연결을 형성합니다. 바이스는 레버 동작과 나사의 회전 동작을 선형 압축력으로 변환합니다. 무거운 짐을 들어올리는 데 사용되는 잭도 같은 원리로 작동합니다.
경사면에 작용하는 힘
경사면에 위치한 물체의 경우 중력은 표면에 평행 및 수직으로 작용합니다. 물체를 경사면 위로 이동하려면 평면 표면에 평행한 중력 성분과 크기가 같은 힘이 필요합니다.
경사면 및 나사
나사와 경사면의 관계는 대각선으로 자른 종이를 원통 주위에 감으면 쉽게 추적할 수 있습니다. 결과 나선형은 나사산과 위치가 동일합니다.
프로펠러에 작용하는 힘
나사를 돌리면 나사산이 나사로 고정되는 부품의 재질에 매우 큰 힘을 가하게 됩니다. 이 힘은 프로펠러를 시계 방향으로 돌리면 앞으로 당기고, 시계 반대 방향으로 돌리면 뒤로 당기게 됩니다.
역도 나사
잭의 회전 나사는 엄청난 힘을 발생시켜 자동차나 트럭만큼 무거운 물체를 들어올릴 수 있습니다. 레버로 중앙 나사를 돌리면 잭의 두 끝이 함께 당겨져 필요한 리프트가 생성됩니다.
분할을 위한 경사면
쐐기는 베이스로 연결된 두 개의 경사면으로 구성됩니다. 쐐기를 나무에 박을 때 경사면은 가장 강한 목재를 쪼개기에 충분한 측면 힘을 발생시킵니다.
힘과 일
경사면이 작업을 더 쉽게 만들 수는 있지만 작업을 완료하는 데 필요한 작업량을 줄이지는 않습니다. 무게가 45kg(W)인 콘크리트 블록을 수직으로 9m 들어 올리려면(오른쪽 먼 그림) 45 x 9kg의 작업이 필요하며, 이는 블록의 무게와 이동량을 곱한 것과 같습니다. 블록이 44.5° 경사면에 있을 때 블록을 끌어당기는 데 필요한 힘(F)은 무게의 70%로 감소합니다. 이렇게 하면 블록을 이동하기가 더 쉬워지지만 이제 블록을 9미터 높이로 올리려면 13미터 평면을 따라 끌어야 합니다. 즉, 힘의 증가는 리프트 높이(9미터)를 경사면을 따라 이동한 길이(13미터)로 나눈 것과 같습니다.
우리의 경우 F n = mg, 왜냐하면 표면이 수평입니다. 그러나 수직력의 크기가 중력의 힘과 항상 일치하는 것은 아닙니다.
수직력은 접촉하는 물체의 표면 사이의 상호 작용력입니다. 힘이 클수록 마찰이 강해집니다.
수직력과 마찰력은 서로 비례합니다.
F tr = μF n
0 < μ < 1 - 표면 거칠기를 나타내는 마찰 계수.
μ=0에서는 마찰이 없습니다(이상적인 경우).
μ=1일 때 최대 마찰력은 수직력과 같습니다.
마찰력은 두 표면의 접촉 면적에 의존하지 않습니다(질량이 변하지 않는 경우).
참고: Eq. F tr = μF n는 서로 다른 방향으로 향하기 때문에 벡터 간의 관계가 아닙니다. 수직력은 표면에 수직이고 마찰력은 평행합니다.
1. 마찰의 종류
마찰에는 두 가지 유형이 있습니다. 공전그리고 운동.
정지마찰 (정지마찰) 서로 상대적으로 정지해 있는 접촉하는 몸체 사이에서 작용합니다. 정적 마찰은 미세한 수준에서 발생합니다.
운동마찰 (슬라이딩 마찰) 서로 접촉하고 움직이는 신체 사이에서 작용합니다. 운동마찰은 거시적인 수준에서 나타납니다.
동일한 물체에 대해 정지 마찰이 운동 마찰보다 크거나 정지 마찰 계수가 미끄럼 마찰 계수보다 큽니다.
아마도 개인적인 경험을 통해 이 사실을 알고 계실 것입니다. 캐비닛을 옮기는 것은 매우 어렵지만 캐비닛을 계속 움직이게 하는 것은 훨씬 쉽습니다. 이는 움직일 때 신체 표면이 미세한 수준에서 서로 접촉할 "시간이 없다"는 사실로 설명됩니다.
작업 #1: 수평에 대해 α = 30° 각도로 위치한 경사면을 따라 무게 1kg의 공을 들어 올리는 데 필요한 힘은 얼마입니까? 마찰계수 μ = 0.1
중력 성분을 계산합니다.먼저 경사면과 중력 벡터 사이의 각도를 알아야 합니다. 중력을 고려할 때 우리는 이미 비슷한 절차를 수행했습니다. 하지만 반복은 배움의 어머니입니다 :)
중력은 수직 방향으로 아래쪽을 향합니다. 모든 삼각형의 내각의 합은 180°입니다. 세 가지 힘, 즉 중력 벡터로 형성된 삼각형을 생각해 보십시오. 경사면; 비행기의 바닥 (그림에서 빨간색으로 강조 표시됨)
중력 벡터와 평면 밑면 사이의 각도는 90°입니다.
경사면과 밑면 사이의 각도는 α입니다.
따라서 나머지 각도는 경사면과 중력 벡터 사이의 각도입니다.
180° - 90° - α = 90° - α
경사면을 따른 중력의 구성요소:
F g 기울기 = F g cos(90° - α) = mgsinα
공을 들어올리는 데 필요한 힘:
F = Fg 포함 + F 마찰 = mgsinα + F 마찰
마찰력을 결정하는 것이 필요합니다 F tr. 정지 마찰 계수를 고려하면:
마찰 F = μF 표준
수직력 계산 F 노멀, 이는 경사면에 수직인 중력 성분과 같습니다. 우리는 중력 벡터와 경사면 사이의 각도가 90° - α라는 것을 이미 알고 있습니다.
F 노름 = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα
F = 1 9.8 sin30° + 0.1 1 9.8 cos30° = 4.9 + 0.85 = 5.75 N
공을 경사면의 꼭대기까지 굴리려면 공에 5.75N의 힘을 가해야 합니다.
작업 #2: 질량이 있는 공이 얼마나 멀리 굴러갈지 결정 m = 1kg수평면을 따라, 길이가 긴 경사면을 굴러 내려감 10미터슬라이딩 마찰 계수에서 μ = 0.05
구르는 공에 작용하는 힘이 그림에 나와 있습니다.
경사면을 따른 중력 구성요소:
F g cos(90° - α) = mgsinα
보통 강도:
F n = mgsin(90° - α) = mgcos(90° - α)
슬라이딩 마찰력:
마찰 F = μF n = μmgsin(90° - α) = μmgcosα
결과적인 힘:
F = Fg - F 마찰 = mgsinα - μmgcosα
F = 1 9.8 sin30° - 0.05 1 9.8 0.87 = 4.5 N
F = 엄마; a = F/m = 4.5/1 = 4.5m/s 2
경사면 끝에서 공의 속도를 결정합니다.
V 2 = 2as; V = 2as = 2 4.5 10 = 9.5m/s
공은 경사면을 따라 이동을 마치고 9.5m/s의 속도로 수평 직선을 따라 이동하기 시작합니다. 이제 수평 방향에서는 공에 마찰력만 작용하고 중력 성분은 0이 됩니다.
총 힘:
F = μF n = μF g = μmg = 0.05·1 9.8 = -0.49N
마이너스 기호는 힘이 이동 방향과 반대 방향으로 향함을 의미합니다. 공의 감속 가속도를 결정합니다.
a = F/m = -0.49/1 = -0.49m/s 2
볼 제동 거리:
V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a
공이 완전히 멈출 때까지 공의 경로를 결정하므로 V1 =0:
s = (-V 0 2)/2a = (-9.5 2)/2·(-0.49) = 92m
우리 공은 무려 92미터나 직선으로 굴러갔습니다!
힘의 투영. 경사면에서의 움직임
역학 문제.
뉴턴의 I 및 II 법칙.
축의 입력 및 방향.
비공선적 힘.
축에 힘을 투영합니다.
방정식 시스템을 해결합니다.
역학의 가장 일반적인 문제
뉴턴의 I 법칙과 II 법칙부터 시작해 보겠습니다.
물리학 교과서를 펴서 읽어보자. 뉴턴의 제1법칙: 관성 기준계가 있습니다.이 튜토리얼을 닫겠습니다. 저도 이해가 안 됩니다. 알았어, 농담이야, 이해하지만 더 간단하게 설명하겠습니다.
뉴턴의 제1법칙: 물체가 가만히 서 있거나 (가속도 없이) 균일하게 움직이는 경우 물체에 작용하는 힘의 합은 0입니다.
결론: 물체가 일정한 속도로 움직이거나 정지해 있으면 힘의 벡터 합은 0이 됩니다.
뉴턴의 II 법칙: 물체가 균일하게 가속되거나 균일하게 감속(가속도 포함)으로 움직이는 경우, 물체에 작용하는 힘의 합은 질량과 가속도의 곱과 같습니다.
결론: 물체가 다양한 속도로 움직이는 경우, 이 물체에 영향을 미치는 힘(견인력, 마찰력, 공기 저항력)의 벡터 합은 이 물체의 질량에 가속도를 곱한 것과 같습니다.
이 경우 동일한 몸체가 다른 축에서 다르게(균일하게 또는 가속도에 따라) 움직이는 경우가 가장 많습니다. 그러한 예를 생각해 봅시다.
작업 1. 4500N의 엔진 견인력이 5m/s²의 가속도를 발생시킨다면 무게가 600kg인 자동차 타이어의 마찰 계수를 구하십시오.
이러한 문제에서는 도면을 작성하고 기계에 작용하는 힘을 표시해야 합니다.
X축: 가속도가 있는 이동
Y축: 이동 없음(여기서 좌표는 0이었으므로 동일하게 유지되며 기계는 산을 오르거나 내리지 않습니다)
방향이 축의 방향과 일치하는 힘은 플러스가 되고, 반대의 경우에는 마이너스가 됩니다.
X축을 따라: 견인력은 X축과 마찬가지로 오른쪽으로 향하고 가속도도 오른쪽으로 향합니다.
Ftr = μN, 여기서 N은 지지 반력입니다. Y축: N = mg, 이 문제에서는 Ftr = μmg입니다.
우리는 그것을 얻습니다:
마찰계수는 무차원량입니다. 따라서 측정 단위가 없습니다.
답: 0.25
문제 2. 무게가 없고 늘어나지 않는 실에 묶인 5kg의 하중이 3m/s²의 가속도로 위쪽으로 들어 올려집니다. 실의 장력을 결정하십시오.
그림을 그려 하중에 작용하는 힘을 보여드리겠습니다.
T - 실 장력
X축: 전원 없음
Y축에 작용하는 힘의 방향을 알아봅시다.
T(장력)을 표현하고 수치를 대입해 보겠습니다.
답: 65N
가장 중요한 것은 힘의 방향(축을 따르거나 반대 방향), 그 밖의 모든 것과 혼동하지 않는 것입니다.계산기나 모두가 좋아하는 칼럼을 만들어보세요.
몸체에 작용하는 모든 힘이 항상 축을 따라 향하는 것은 아닙니다.
간단한 예: 썰매를 끄는 소년
X축과 Y축도 구성하면 장력(견인력)이 어느 축에도 작용하지 않습니다.
견인력을 축에 투영하려면 직각 삼각형을 불러옵니다.
빗변에 대한 대변의 비율이 사인입니다.
빗변에 대한 인접한 다리의 비율이 코사인입니다.
Y축의 견인력 - 세그먼트(벡터) BC.
X축의 견인력은 세그먼트(벡터) AC입니다.
이것이 명확하지 않다면 문제 #4를 보십시오.
로프가 길어지고 각도 α가 작을수록 썰매를 당기는 것이 더 쉬워집니다. 로프가 지면과 평행할 때 이상적입니다., X축에 작용하는 힘은 Fнcosα이기 때문입니다. 코사인 최대값은 어느 각도에서 발생합니까? 이 다리가 클수록 수평력이 강해집니다.
작업 3. 블록은 두 개의 스레드에 의해 정지됩니다. 첫 번째 장력은 34N, 두 번째 장력은 34N입니다.- 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. 블록의 질량을 구합니다.
축을 소개하고 힘을 투영해 보겠습니다.
우리는 두 개의 직각삼각형을 얻습니다. 빗변 AB와 KL은 장력입니다. LM 및 BC - X축의 투영, AC 및 KM - Y축의 투영입니다.
답: 4.22kg
작업 4. 질량이 5kg인 블록(이 문제에서는 질량이 필요하지 않지만 방정식에서 모든 것을 알 수 있도록 특정 값을 사용하겠습니다)은 계수가 있는 45° 각도로 기울어진 평면에서 미끄러집니다. 마찰 μ = 0.1. 블록의 가속도를 찾으십니까?
경사면이 있는 경우 축(X 및 Y)을 신체 이동 방향으로 향하게 하는 것이 가장 좋습니다. 이 경우 일부 힘(여기서는 mg)은 어떤 축에도 작용하지 않습니다. 이 힘은 취한 축과 동일한 방향을 갖도록 투영되어야 합니다.
ΔABC는 이러한 문제에서 항상 ΔKOM과 유사합니다(평면의 직각 및 경사각 기준).
ΔKOM을 자세히 살펴보겠습니다.
우리는 KO가 Y축에 있고 mg을 Y축으로 투영하는 것은 코사인을 사용한다는 것을 얻습니다. 그리고 벡터 MK는 X축에 대해 동일선상(평행)이고 X축에 대한 투영 mg은 사인을 사용하며 벡터 MK는 X축을 향합니다(즉, 마이너스를 사용합니다).
축의 방향과 힘이 일치하지 않으면 마이너스를 적용해야 한다는 점을 잊지 마세요!
Y축에서 N을 표현하고 이를 X축의 방정식으로 대체하여 가속도를 찾습니다.
답: 6.36m/s²
보시다시피, 분자의 질량은 괄호에서 꺼내어 분모로 줄일 수 있습니다. 그렇다면 그것을 알 필요는 없습니다. 그것 없이도 답을 얻는 것이 가능합니다.
예 예,이상적인 조건(공기 저항이 없는 경우 등)에서는 깃털과 추 모두 동시에 굴러갑니다(떨어집니다).
작업 5. 버스가 8m/s²의 가속도와 8kN의 견인력으로 60° 경사로 언덕을 미끄러져 내려갑니다. 타이어와 아스팔트 사이의 마찰계수는 0.4입니다. 버스의 질량을 구해 보세요.
힘을 이용해 그림을 그려 봅시다:
X축과 Y축을 축에 투영해 보겠습니다.
X와 Y에 대한 뉴턴의 제2법칙을 작성해 보겠습니다.
답: 6000kg
작업 6. 기차가 반경 800m의 곡선을 72km/h의 속도로 움직인다. 외부 레일이 내부 레일보다 얼마나 높아야 하는지 결정합니다. 레일 사이의 거리는 1.5m입니다.
가장 어려운 것은 어떤 힘이 어디에 작용하는지, 그리고 각도가 힘에 어떤 영향을 미치는지 이해하는 것입니다.
자동차나 버스에서 원을 그리며 운전할 때 그것이 당신을 어디로 밀어내는지 기억하세요? 이것이 바로 기차가 옆으로 넘어지지 않도록 기울기가 필요한 이유입니다!
모서리 α는 레일 사이의 거리에 대한 레일 높이 차이의 비율을 지정합니다(레일이 수평인 경우).
축에 어떤 힘이 작용하는지 적어 보겠습니다.
이 문제의 가속도는 구심력입니다!
하나의 방정식을 다른 방정식으로 나누어 보겠습니다.
접선은 인접면에 대한 반대면의 비율입니다.
답: 7.5cm
우리가 알아낸 바와 같이, 그러한 문제를 해결하는 것은 힘의 방향을 배열하고, 이를 축에 투영하고, 방정식 시스템을 푸는 것으로 귀결되는데, 이는 거의 사소한 일입니다.
자료를 강화하려면 힌트와 답변을 통해 몇 가지 유사한 문제를 해결하세요.
역학은 우주에서 신체가 움직이는 이유를 연구하는 물리학의 중요한 분야 중 하나입니다. 이 기사에서는 이론적 관점에서 역학의 전형적인 문제 중 하나인 경사면을 따라 신체가 움직이는 것을 고려하고 일부 실제 문제에 대한 해결책의 예도 제공합니다.
역학의 기본 공식
경사면을 따른 신체 운동의 물리학을 연구하기 전에 이 문제를 해결하는 데 필요한 이론적 정보를 제시합니다.
17세기에 아이작 뉴턴은 거시적으로 주변 물체의 운동을 실제로 관찰한 덕분에 현재 그의 이름을 딴 세 가지 법칙을 도출했습니다. 모든 고전 역학은 이러한 법칙을 기반으로 합니다. 우리는 이 기사의 두 번째 법칙에만 관심이 있습니다. 수학적 형식은 다음과 같습니다.
이 공식은 외력 F̅의 작용이 질량 m인 물체에 가속도 a̅를 부여할 것이라고 말합니다. 우리는 경사면을 따라 몸이 움직이는 문제를 해결하기 위해 이 간단한 표현을 더 사용할 것입니다.
힘과 가속도는 같은 방향을 향하는 벡터량입니다. 또한 힘은 추가 특성입니다. 즉, 위 공식에서 F̅는 신체에 대한 결과 효과로 간주될 수 있습니다.
경사면과 그 위에 위치한 몸체에 작용하는 힘
경사면을 따른 신체 운동 문제 해결의 성공 여부는 신체에 작용하는 힘을 결정하는 데 달려 있습니다. 힘의 정의는 힘의 모듈과 작용 방향에 대한 지식으로 이해됩니다.
아래 그림은 차체(자동차)가 수평에 대해 비스듬히 기울어진 평면 위에 정지해 있는 모습을 나타낸 그림입니다. 어떤 힘이 작용하고 있습니까?
아래 목록에는 이러한 힘이 나열되어 있습니다.
- 무거움;
- 지원 반응;
- 마찰;
- 실 장력(있는 경우).
중력
우선 이것이 중력(Fg)이다. 수직으로 아래쪽을 향하게 됩니다. 신체는 평면의 표면을 따라서만 이동할 수 있기 때문에 문제를 해결할 때 중력은 서로 수직인 두 개의 구성 요소로 분해됩니다. 구성 요소 중 하나는 평면을 따라 향하고 다른 구성 요소는 평면에 수직입니다. 그 중 첫 번째만이 신체에 가속을 일으키며 실제로 문제의 신체를 움직이는 유일한 요인입니다. 두 번째 구성요소는 지지 반력의 발생을 결정합니다.
지상 반응
신체에 작용하는 두 번째 힘은 지면반력(N)입니다. 그 출현 이유는 뉴턴의 제3법칙과 관련이 있다. N 값은 평면이 몸체에 작용하는 힘을 나타냅니다. 경사면에 수직으로 위쪽을 향합니다. 물체가 수평 표면에 있다면 N은 무게와 같습니다. 고려 중인 경우 N은 중력 팽창으로 얻은 두 번째 구성요소와만 같습니다(위 단락 참조).
지지대의 반응은 경사면에 수직이기 때문에 신체 움직임의 특성에 직접적인 영향을 미치지 않습니다. 그럼에도 불구하고 신체와 비행기 표면 사이에 마찰이 발생합니다.
마찰력
경사면에서 물체의 움직임을 연구할 때 고려해야 할 세 번째 힘은 마찰(F f)입니다. 마찰의 물리적 특성은 복잡합니다. 그 외관은 불균일한 접촉 표면을 갖는 접촉체의 미세한 상호 작용과 관련이 있습니다. 이 힘에는 세 가지 유형이 있습니다.
- 평화;
- 슬립;
- 구르는.
정적 마찰과 미끄럼 마찰은 동일한 공식으로 설명됩니다.
여기서 μ는 무차원 계수이며 그 값은 마찰체의 재료에 따라 결정됩니다. 따라서 나무 위의 나무 미끄럼 마찰로 μ = 0.4, 얼음 위의 얼음 - 0.03입니다. 정지마찰계수는 항상 미끄럼계수보다 크다.
롤링 마찰은 이전 공식과 다른 공식을 사용하여 설명됩니다. 그것은 다음과 같습니다:
여기서 r은 바퀴의 반경이고, f는 역길이의 차원을 갖는 계수이다. 이 마찰력은 일반적으로 이전 마찰력보다 훨씬 적습니다. 해당 값은 휠 반경의 영향을 받습니다.
힘 F f는 그 유형에 관계없이 항상 신체의 움직임에 반대되는 방향으로 작용합니다. 즉, F f는 신체를 멈추려는 경향이 있습니다.
실 장력
경사면에서 신체 운동 문제를 해결할 때 이 힘이 항상 존재하는 것은 아닙니다. 그 모양은 경사면에 위치한 몸체가 확장 불가능한 스레드를 사용하여 다른 몸체와 연결되어 있다는 사실에 의해 결정됩니다. 종종 두 번째 몸체는 평면 외부의 블록을 통해 실로 매달려 있습니다.
평면에 위치한 물체에서는 실의 장력이 실을 가속하거나 감속시키는 역할을 합니다. 모든 것은 물리적 시스템에 작용하는 힘의 크기에 따라 달라집니다.
문제에서 이 힘이 나타나면 두 몸체(평면 위 및 매달린 상태)의 움직임을 동시에 고려해야 하기 때문에 해결 과정이 상당히 복잡해집니다.
임계각 결정 문제
이제 설명된 이론을 적용하여 신체의 경사면을 따라 움직이는 실제 문제를 해결할 때가 왔습니다.
나무 기둥의 질량이 2kg이라고 가정해 보겠습니다. 나무 비행기 위에 있어요. 빔이 평면을 따라 미끄러지기 시작할 평면의 임계 경사각을 결정하는 것이 필요합니다.
빔의 미끄러짐은 빔 위의 평면을 따라 아래쪽으로 작용하는 총 힘이 0보다 큰 경우에만 발생합니다. 따라서 이 문제를 해결하려면 결과적인 힘을 결정하고 그것이 0보다 커지는 각도를 찾는 것으로 충분합니다. 문제의 조건에 따라 두 가지 힘만 평면을 따라 빔에 작용합니다.
- 중력 성분 F g1 ;
- 정지 마찰 F f .
몸체가 미끄러지기 시작하려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.
중력 성분이 정지 마찰력을 초과하면 슬라이딩 마찰력보다 더 커지게 됩니다. 즉, 시작된 움직임은 일정한 가속도로 계속됩니다.
아래 그림은 모든 작용력의 방향을 보여줍니다.
임계각을 기호 θ로 표시하겠습니다. 힘 F g1과 F f가 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
F g1 = m × g × sin(θ);
Ff = µ × m × g × cos(θ).
여기서 m × g는 몸체의 무게이고, μ는 나무-나무 쌍 재료의 정지 마찰력 계수입니다. 해당 계수 표에서 0.7과 같다는 것을 알 수 있습니다.
발견된 값을 불평등으로 대체하면 다음을 얻습니다.
m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).
이 평등을 변형하면 신체 운동 조건에 도달합니다.
tan(θ) ≥ µ =>
θ ≥ 아크탄(μ).
우리는 매우 흥미로운 결과를 얻었습니다. 임계각 θ의 값은 경사면에 있는 물체의 질량에 의존하지 않고 정지 마찰 계수 μ에 의해 고유하게 결정되는 것으로 나타났습니다. 그 값을 불평등에 대입하여 임계각의 값을 얻습니다.
θ ≥ arctan(0.7) ≒ 35o .
신체의 경사면을 따라 이동할 때 가속도를 결정하는 작업
이제 약간 다른 문제를 해결해 보겠습니다. 유리 경사면에 나무 기둥을 두십시오. 비행기는 수평선에 대해 45o 각도로 기울어져 있습니다. 질량이 1kg이라면 신체가 어떤 가속도로 움직일지 결정하는 것이 필요합니다.
이 경우의 주요 역학 방정식을 적어 보겠습니다. 힘 F g1은 움직임을 따라 향하고 F f는 이에 반대하므로 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
F g1 - F f = m × a.
힘 Fg1과 Ff를 이전 문제에서 얻은 공식으로 대체하면 다음과 같습니다.
m × g × sin(θ) - µ × m × g × cos(θ) = m × a.
가속 공식은 어디에서 얻을 수 있습니까?
a = g × (sin(θ) - µ × cos(θ)).
이번에도 체중을 포함하지 않는 공식이 있습니다. 이 사실은 모든 질량의 블록이 동시에 경사면 아래로 미끄러진다는 것을 의미합니다.
목재-유리 마찰 재료의 계수 μ가 0.2라는 점을 고려하여 모든 매개변수를 등식으로 대체하고 답을 얻습니다.
따라서 경사면 문제를 해결하는 기술은 물체에 작용하는 합력을 구한 후 뉴턴의 제2법칙을 적용하는 것입니다.
