집 전기 및 조명 조각별 분석 방식으로 함수를 지정합니다. 조각별 함수

전기 및 조명

조각별 분석 방식으로 함수를 지정합니다. 조각별 함수

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교과서: A. G. Mordkovich가 편집한 대수학 8학년.

수업 유형:새로운 지식의 발견.

목표:

선생님을 위해 목표는 수업의 각 단계에서 고정됩니다.

학생을 위해:

개인적인 목표:

자신의 생각을 명확하고 정확하며 유능하게 언어로 표현하는 방법을 배우십시오. 글쓰기, 작업의 의미를 이해합니다.
새로운 문제를 해결하기 위해 습득한 지식과 기술을 적용하는 방법을 배우십시오.
귀하의 활동 과정과 결과를 통제하는 방법을 배우십시오.

메타 주제 목표:

인지 활동에서:

개발 논리적 사고그리고 말, 자신의 판단을 논리적으로 입증하고 간단한 체계화를 수행하는 능력;
다음과 같은 경우에 가설을 세우는 방법을 배우십시오. 문제 해결, 확인해야 할 필요성을 이해합니다.
표준 상황에서 지식을 적용하고 독립적으로 작업을 수행하는 방법을 배웁니다.
지식을 변화된 상황으로 옮기고 문제 상황의 맥락에서 작업을 확인하십시오.

정보 및 커뮤니케이션 활동:

대화하는 법을 배우고, 다른 의견을 가질 권리를 인정하십시오.

성찰 활동에서:

예측하는 법을 배우세요 가능한 결과귀하의 행동;
어려움의 원인을 제거하는 방법을 배우십시오.

과목 목표:

조각별 함수가 무엇인지 알아보세요.
그래프를 사용하여 분석적으로 주어진 함수를 조각별로 정의하는 방법을 배웁니다.

수업 중

1. 교육활동의 자기결정

무대의 목적:

학습 활동에 학생들을 포함시킵니다.
수업 내용 결정: 숫자 함수 주제를 계속 반복합니다.

조직 교육과정 1단계에서:

T: 이전 수업에서는 무엇을 했나요?

D: 우리는 수치 함수에 대한 주제를 반복했습니다.

U: 오늘 우리는 이전 수업의 주제를 계속해서 반복할 것이며, 오늘은 이 주제에서 우리가 배울 수 있는 새로운 것이 무엇인지 알아내야 합니다.

2. 지식 업데이트 및 활동상의 어려움 기록

무대의 목적:

새로운 자료에 대한 인식에 필요하고 충분한 교육 콘텐츠를 업데이트합니다. 수치 함수의 공식, 해당 속성 및 구성 방법을 기억합니다.
새로운 자료의 인식에 필요하고 충분한 정신적 작업 업데이트: 비교, 분석, 일반화;
활동의 개별적인 어려움을 기록하고 개인적으로 중요한 수준에서 기존 지식의 부족함을 보여줍니다. 주어진 함수를 분석적으로 지정하고 그래프를 구성합니다.

2단계 교육 과정의 구성:

T: 슬라이드에는 5가지 숫자 함수가 표시되어 있습니다. 유형을 결정하십시오.

1) 분수-합리적;

2) 이차;

3) 비합리적이다.

4) 모듈 기능;

5) 진정.

T: 그에 해당하는 공식의 이름을 지정하세요.

3) ;

4) ;

U: 이 공식에서 각 계수가 어떤 역할을 하는지 토론해 볼까요?

D: 변수 "l"과 "m"은 이들 함수의 그래프를 각각 왼쪽-오른쪽 및 위-아래로 이동하는 역할을 하며, 첫 번째 함수의 계수 "k"는 쌍곡선 분기의 위치를 결정합니다. k> 0 - 가지가 I 및 III 분기에 있음, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - 가지가 위쪽을 향하고< 0 - вниз).

2. 슬라이드 2

U: 그래프가 그림에 표시된 함수를 분석적으로 정의합니다. (y=x2로 움직인다는 점을 고려). 선생님은 칠판에 답을 적는다.

디: 1) );

2);

3. 슬라이드 3

U: 그래프가 그림에 표시된 함수를 분석적으로 정의합니다. (움직이는 것을 고려하여). 선생님은 칠판에 답을 적는다.

4. 슬라이드 4

U: 이전 결과를 사용하여 그림에 그래프가 표시되는 함수를 분석적으로 정의하십시오.

3. 어려움의 원인을 파악하고 활동목표를 설정한다.

무대의 목적:

학습 활동에 어려움을 초래하는 과제의 고유한 속성을 식별하고 기록하는 동안 의사소통 상호 작용을 구성합니다.
수업의 목적과 주제에 동의합니다.

3단계 교육 과정의 구성:

T: 무엇이 당신에게 어려움을 주고 있나요?

D: 그래프 조각이 화면에 제공됩니다.

T: 우리 수업의 목적이 무엇인가요?

D: 함수의 일부를 분석적으로 정의하는 방법을 배우십시오.

T: 수업 주제를 공식화하세요. (아이들은 주제를 독립적으로 공식화하려고 노력합니다. 교사는 그것을 명확하게 설명합니다. 주제: 조각별로 주어진 함수.)

4. 난관 탈출을 위한 프로젝트 구축

무대의 목적:

새로운 것을 구축하기 위해 의사소통적 상호작용을 조직한다. 행동 모드, 식별된 어려움의 원인을 제거합니다.
고치다 새로운 길행위.

4단계의 교육 과정 구성:

T: 과제를 다시 주의 깊게 읽어 볼까요? 어떤 결과가 도움으로 사용되도록 요청됩니까?

D: 이전 것, 즉 칠판에 적힌 것들.

U: 아마도 이 공식이 이미 이 작업에 대한 답이 아닐까요?

D: 아니요, 왜냐면 이러한 공식은 2차 및 유리 함수를 정의하며 해당 부분이 슬라이드에 표시됩니다.

U: 첫 번째 함수의 일부에 해당하는 x축의 간격이 무엇인지 토론해 볼까요?

U: 그렇다면 첫 번째 함수를 지정하는 분석적 방법은 다음과 같습니다.

T: 유사한 작업을 완료하려면 어떻게 해야 합니까?

D: 공식을 적고 가로축의 어느 간격이 이 함수의 부분에 해당하는지 결정합니다.

5. 외부 연설의 기본 통합

무대의 목적:

공부한 교육 내용을 외부 연설로 녹음합니다.

5단계의 교육 과정 구성:

7. 지식체계의 포함과 반복

무대의 목적:

이전에 배운 콘텐츠와 함께 새로운 콘텐츠를 사용하는 기술을 훈련합니다.

7단계의 교육 과정 구성:

U: 그림에 그래프가 표시된 함수를 분석적으로 정의합니다.

8. 수업 활동에 대한 반성

무대의 목적:

수업에서 배운 새로운 내용을 기록합니다.
수업에서 자신의 활동을 평가하십시오.
수업 결과를 얻는 데 도움을 준 반 친구들에게 감사합니다.
해결되지 않은 어려움을 향후 교육 활동의 방향으로 기록합니다.
숙제에 대해 토론하고 적으세요.

8단계의 교육 과정 구성:

T: 오늘 수업에서 무엇을 배웠나요?

D: 조각별로 주어진 함수를 사용합니다.

T: 오늘 우리는 어떤 일을 배웠나요?

D: 이 유형의 함수를 분석적으로 지정합니다.

T: 손을 들어보세요. 오늘 수업의 주제를 이해한 사람이 누구입니까? (다른 어린이들에게 발생한 문제에 대해 토론하십시오.)

숙제

21.12(a, c);
21.13(a, c)호;
№22.41;
№22.44.

수업 목표: 이 단원에서는 하나의 공식이 아니라 서로 다른 간격의 여러 다른 공식으로 제공되는 함수에 익숙해집니다.

정의 영역의 서로 다른 간격에서 서로 다른 공식으로 정의되는 함수

예시적인 상황을 살펴보겠습니다.

예시 1.

보행자는 A 지점에서 시속 4km의 속도로 이동을 시작했고 2시간 30분 동안 걸었다. 그 후 그는 멈춰서 0.5시간 동안 휴식을 취했다. 휴식을 취한 후 시속 2.5km의 속도로 계속해서 2시간 동안 이동했습니다. 시간에 따른 보행자에서 A 지점까지의 거리 변화의 의존성을 설명합니다.

그것을주의해라 총 시간보행자가 도로에서 보낸 시간은 5시간이다. 그러나 보행자는 서로 다른 시간에 서로 다른 방식으로 A 지점에서 멀어졌습니다.

처음 2.5시간 동안 그는 4km/h의 속도로 이동했습니다. 따라서 보행자와 지점 A 사이의 시간 의존성은 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.

성) = 4티, .

그는 다음 0.5시간 동안 휴식을 취했으므로 그와 A 지점 사이의 거리는 변하지 않고 10km였습니다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 성) = 10, .

지난 2시간 동안 그는 2.5km/h의 속도로 이동했으며 시간에 따른 보행자와 지점 A 사이의 거리 의존성에 대한 공식은 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.

성) = 10 + 2,5(티 – 3), .

따라서 얻은 표현을 연속적으로 결합하면 정의 영역의 서로 다른 간격에서 세 가지 다른 공식으로 표현되는 다음 종속성을 얻습니다.

이 함수의 정의 영역은 간격입니다. 값 세트는 숫자 세트입니다.

그림 1은 이 함수의 그래프를 보여줍니다.

그림 1. 함수 그래프

보시다시피 정의 영역의 세 간격에 해당하는 세 개의 링크로 구성된 파선이며 각 링크에 대한 종속성은 특정 공식으로 표현됩니다.

예시 2.

함수를 다음 공식으로 표현해 보겠습니다. . 모듈을 확장하고 이 함수를 그려보겠습니다.

우리가 얻을 때: .
우리가 얻을 때: .

즉, 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

이제 그래프를 만들어 보겠습니다. 변수의 음수 값의 경우 그래프는 직선과 일치합니다. 와이 = 3엑스+ 1, 변수의 음수가 아닌 값의 경우 그래프는 직선과 일치합니다. 와이 = 엑스 + 1.

그래프는 그림 2에 나와 있습니다.

쌀. 2. 함수 그래프

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

예시 3.

함수는 그래프로 제공됩니다(그림 3 참조).

그림 3. 조각별로 주어진 함수의 그래프

수식으로 함수를 지정합니다.

이 함수의 정의 영역은 숫자로 구성됩니다.

모두 도메인세 가지 간격으로 나뉩니다.

1.
2.
3.

이러한 각 간격에서 함수는 다른 공식으로 제공됩니다. 간격에 따라 함수를 정의하는 각 함수는 선형입니다. 이러한 기능을 찾아보겠습니다.

1. 첫 번째 간격에서 함수는 y = kx + b점(-6; –4)과 점(2; 4)을 통과합니다.

–4 = –6케이 + 비
4 = 2k + b

첫 번째 방정식으로 표현해보자 비두 번째 방정식으로 대체합니다.

비 = –4 + 6케이
4 = 2케이 –4 + 6케이

여기에서 우리는 얻는다 케이= 1. 그런 다음 계산합니다. 비 = 2.

계수는 다르게 찾을 수 있습니다. 그래프는 지점 (0; 2)에서 연산 증폭기 축과 교차합니다. 그것은 다음을 의미합니다 비 = 2.

함수의 기울기는 양수입니다. 그래프는 값이 변할 때를 보여줍니다. 엑스 1만큼 y 값도 1로 변경됩니다. 이는 다음을 의미합니다. 케이 = 1.

와이 = 엑스 + 2.

2. 두 번째 간격에서 함수는 y = kx + b점(2; 4)과 점(6; 2)을 통과합니다.

이 점의 좌표를 직선 방정식으로 대체해 보겠습니다.

4 = 2케이 + 비
2 = 6케이 + 비

비 = 4 – 2케이
2 = 6케이 + 4 – 2케이

여기에서 우리는 얻는다 케이= -0.5. 그런 다음 계산합니다. 비 = 5.

즉, 간격에 대한 함수에 대한 표현식을 얻었습니다. 와이 = –0,5엑스 + 5.

3. 세 번째 간격에서는 함수가 y = kx + b점(6; 2)과 점(9; 11)을 통과합니다.

이 점의 좌표를 직선 방정식으로 대체해 보겠습니다.

2 = 6케이 + 비
11 = 9케이 + 비

첫 번째 방정식에서 b를 표현하고 이를 두 번째 방정식에 대입해 보겠습니다.

비 = 2 – 6케이
11 = 9케이 + 2 – 6케이

여기에서 우리는 얻는다 케이= 3. 그런 다음 계산합니다. 비 = –16.

즉, 간격에 대한 함수에 대한 표현식을 얻었습니다. 와이 = 3엑스 – 16.

자연에서 일어나는 실제 과정은 함수를 사용하여 설명할 수 있습니다. 따라서 우리는 서로 반대되는 두 가지 주요 유형의 프로세스를 구분할 수 있습니다. 점진적인또는 마디 없는그리고 경련성(예: 공이 떨어지고 튀는 경우) 그러나 불연속적인 과정이 있다면 특별한 수단그들을 설명하기 위해. 이를 위해 불연속, 점프, 즉 다양한 분야수직선 함수는 다양한 법칙에 따라 동작하므로 다양한 공식으로 제공됩니다. 불연속점과 제거 가능한 불연속성의 개념이 도입되었습니다.

확실히 인수 값에 따라 여러 공식으로 정의된 함수를 이미 접한 적이 있을 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

y = (x – 3, x > -3인 경우;
(-(x – 3), x에서< -3.

이러한 함수를 호출합니다. 조각별로또는 조각별로 지정됨. 수직선의 섹션 다양한 공식작업을 호출해 보겠습니다. 구성 요소도메인. 모든 구성 요소의 결합은 정의의 영역입니다. 조각별 함수. 함수 정의 영역을 구성 요소로 나누는 지점을 호출합니다. 경계점. 정의 영역의 각 구성요소에 대해 조각별 함수를 정의하는 공식을 호출합니다. 수신 기능. 조각별로 주어진 함수의 그래프는 각 분할 간격에 구성된 그래프의 일부를 결합하여 얻습니다.

수업 과정.

조각별 함수의 그래프를 구성합니다.

1) (-3, -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, x = 0인 경우,
(1, 0에서< x ≤ 5.

첫 번째 함수의 그래프는 y = -3 점을 지나는 직선입니다. 이는 좌표가 (-4; -3)인 지점에서 시작하여 x축과 평행하게 좌표가 (0; -3)인 지점까지 이어집니다. 두 번째 함수의 그래프는 좌표가 (0; 0)인 점입니다. 세 번째 그래프는 첫 번째 그래프와 유사합니다. 이는 y = 1 점을 통과하는 직선이지만 이미 Ox 축을 따라 0에서 5 사이의 영역에 있습니다.

답변: 그림 1.

2) (x ≤ -4인 경우 3,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, -4인 경우< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) x > 4인 경우 2.

각 기능을 개별적으로 고려하고 그래프를 작성해 보겠습니다.

따라서 f(x) = 3은 Ox축에 평행한 직선이지만 x ≤ -4인 영역에만 나타내면 됩니다.

함수 f(x) = |x 2 – 4|x|의 그래프 + 3| 포물선 y = x 2 – 4x + 3에서 얻을 수 있습니다. 그래프를 구성한 후 Ox 축 위에 있는 그림 부분은 변경되지 않고 그대로 두어야 하며 가로축 아래에 있는 부분은 대칭으로 표시되어야 합니다. 황소 축으로. 그런 다음 그래프의 일부를 대칭적으로 표시합니다.
음수 x의 경우 Oy 축을 기준으로 x ≥ 0입니다. 가로축을 따라 -4에서 4까지의 영역에서만 모든 변환의 결과로 얻은 그래프를 남겨 둡니다.

세 번째 함수의 그래프는 가지가 아래쪽을 향하고 정점이 좌표(4; 3)가 있는 점에 있는 포물선입니다. x > 4인 영역에만 그림을 그립니다.

답변: 그림 2.

3) (8 – (x + 6) 2, x ≤ -6인 경우,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, -6 ≤ x인 경우< 5,
(x ≥ 5인 경우 3.

제안된 조각별 주어진 함수의 구성은 이전 단락과 유사합니다. 여기서 처음 두 함수의 그래프는 포물선의 변환을 통해 얻어지며, 세 번째 그래프는 Ox에 평행한 직선입니다.

답변: 그림 3.

4) 함수 y = x – |x|를 그래프로 나타내세요. + (x – 1 – |x|/x) 2 .

해결책.이 기능의 범위는 다음과 같습니다. 실수, 0은 제외. 모듈을 확장해 보겠습니다. 이렇게 하려면 다음 두 가지 경우를 고려하십시오.

1) x > 0인 경우 y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2를 얻습니다.

2) x에서< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

따라서 우리는 조각별로 주어진 함수를 갖습니다:

y = ((x – 2) 2, x > 0인 경우;
( x 2 + 2x, x에서< 0.

두 함수의 그래프는 포물선이며 분기가 위쪽을 향합니다.

답변: 그림 4.

5) 함수 y = (x + |x|/x – 1) 2의 그래프를 그립니다.

해결책.

함수의 정의역은 0을 제외한 모든 실수임을 쉽게 알 수 있습니다. 모듈을 확장한 후, 조각별로 주어진 함수를 얻습니다.

1) x > 0인 경우 y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 를 얻습니다.

2) x에서< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

다시 작성해 보겠습니다.

y = (x 2, x > 0인 경우;
((x – 2) 2 , x에서< 0.

이 함수의 그래프는 포물선입니다.

답변: 그림 5.

6) 좌표평면의 그래프에 다음과 같은 함수가 있습니까? 공통점어떤 직선에서?

해결책.

예, 존재합니다.

예를 들어 함수 f(x) = x 3 이 있습니다. 실제로, 3차 포물선의 그래프는 점 (a; a 3)에서 수직선 x = a와 교차합니다. 이제 방정식 y = kx + b로 직선을 구해 보겠습니다. 그런 다음 방정식
x 3 – kx – b = 0은 실수 근 x 0을 갖습니다(홀수 차수 다항식은 항상 적어도 하나의 실수 근을 갖기 때문입니다). 결과적으로 함수의 그래프는 예를 들어 점 (x 0; x 0 3)에서 직선 y = kx + b와 교차합니다.

웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.

조각별 함수- 이는 서로 다른 수치 간격에서 서로 다른 공식으로 정의되는 함수입니다. 예를 들어,

이 표기법은 x가 다음보다 클 때 함수의 값이 공식 √x를 사용하여 계산됨을 의미합니다. 0과 같음. 언제 x 0보다 작음, 함수의 값은 공식 -x 2에 의해 결정됩니다. 예를 들어 x = 4이면 f(x) = 2입니다. 이 경우 근 추출 공식이 사용되기 때문입니다. x = –4이면 f(x) = –16입니다. 이 경우 공식 –x 2가 사용되기 때문입니다(먼저 제곱한 다음 마이너스를 고려합니다).

이러한 조각별 함수를 플롯하려면 먼저 x 값에 관계없이(즉, 인수의 전체 수직선에) 두 개의 서로 다른 함수를 플롯합니다. 그 후에는 해당 x 범위에 속하는 부분만 결과 그래프에서 가져옵니다. 그래프의 이러한 부분은 하나로 결합됩니다. 간단한 경우에는 "전체" 버전의 예비 그림을 생략하고 그래프의 일부를 한 번에 그릴 수 있다는 것이 분명합니다.

위의 예에서 공식 y = √x에 대해 다음 그래프를 얻습니다.