離散確率変数の二項分布。 離散確率変数の分布則

セクション 6. 典型的な分布法則と確率変数の数値的特性

関数 F(x)、p(x)、または列挙 p(x i) の形式は、確率変数の分布の法則と呼ばれます。 私たちは無限の種類の確率変数を想像することができますが、分布の法則ははるかに少数です。 まず、異なる確率変数がまったく同じ分布則を持つ可能性があります。 例: y が 1 と -1 の 2 つの値のみをとり、確率が 0.5 であるとします。 値 z = -y はまったく同じ分布則を持ちます。
第二に、非常に多くの場合、確率変数は同様の分布則を持っています。つまり、たとえば、確率変数の p(x) は同じ形式の式で表され、1 つ以上の定数が異なるだけです。 これらの定数は分布パラメータと呼ばれます。

原理的にはさまざまな分配法則が考えられますが、ここでは最も典型的な法則のいくつかを検討します。 それらが発生する条件、これらの分布のパラメーターと特性に注意を払うことが重要です。

1. 均一分布
これは、区間 (a,b) 内の任意の値を取ることができる確率変数の分布に与えられた名前であり、(a,b) 内の任意のセグメントに該当する確率は、区間の長さに比例します。セグメントであり、その位置に依存せず、(a,b) の外側の値の確率は 0 に等しくなります。

図 6.1 一様分布関数と密度

分布パラメータ: a、b

2. 正規分布
式で表される密度による分布

(6.1)

普通と呼ばれる。
分布パラメータ: a、σ

図6.2 典型的なビュー密度関数と正規分布関数

3. ベルヌーイ分布
一連の独立した試行が実行され、それぞれのイベント A が同じ確率 p で出現する場合、イベントの発生数は次のようになります。 ランダムな値、ベルヌーイの法則または二項法則に従って分布します。 (配信の別名).

ここで、n は一連の試行回数、m は確率変数 (イベント A の発生回数)、P n (m) は A が正確に m 回発生する確率、q = 1 - p (確率A が裁判に出廷しないこと）。

例 1: サイコロを 5 回振った場合、6 が 2 回出る確率はいくらですか?
n = 5、m = 2、p = 1/6、q = 5/6

分布パラメータ: n、p

４． ポアソン分布
ポアソン分布は、p がゼロに近づき、n が無限大に近づく傾向があるが、その積が一定のままである場合 (nр = а)、ベルヌーイ分布の限定ケースとして得られます。 形式的には、このような限界への通過は次の式につながります。

分布パラメータ: a

科学や実際の生活で見られる多くの確率変数は、ポアソン分布の影響を受けます。

例 2: 1 時間以内に救急車のステーションで受けた通報の数。
時間間隔 T (1 時間) を小さな間隔 dt に分割します。これにより、dt 中に 2 つ以上の通話を受信する確率は無視でき、1 つの通話の確率 p は dt に比例します。 p = μdt;
瞬間 dt の間の観察を独立した試行として考慮します。時間 T の間のそのような試行の数: n = T / dt;
コールの着信確率が 1 時間内に変化しないと仮定すると、 完全な数字呼び出しは、パラメータ n = T / dt、p = μdt によるベルヌーイの法則に従います。 dt をゼロにすると、n は無限大になる傾向があり、積 n×р は一定のままであることがわかります: a = n×р = μT。

例 3: ある一定の体積 V 内の理想気体の分子の数。
dV 内で 2 つ以上の分子が見つかる確率が無視でき、1 つの分子が見つかる確率が dV に比例するように、体積 V を小さな体積 dV に分割します。 p = μdV; 各体積 dV の観測を独立したテストとして考慮します。そのようなテストの数は n=V/dV です。 V 内の任意の場所で分子が見つかる確率が同じであると仮定すると、体積 V 内の分子の総数は、パラメータ n = V / dV、p = μdV によるベルヌーイの法則に従います。 dV をゼロにすると、n は無限大になる傾向があり、積 n×р は一定のままであることがわかります: a = n×р =μV。

確率変数の数値的特徴

1. 数学的期待値 (平均値)

意味：
数学的期待値は次のように呼ばれます。
  (6.4)

合計は、確率変数が取るすべての値を引き継ぎます。 系列は絶対に収束していなければなりません (そうでない場合、確率変数には数学的期待がないといわれます)。

;   (6.5)

積分は絶対に収束する必要があります (そうでない場合、確率変数には数学的期待がないといわれます)。

数学的期待値の特性:

ａ． C が定数値の場合、MC = C
b. MCx = CMx
c. 確率変数の合計の数学的期待値は、常にそれらの数学的期待値の合計に等しくなります: M(x+y) = Mx + My d。 条件付き数学的期待の概念が導入されます。 確率変数が異なる確率 p(x i /H j) で値 x i を取る場合、 さまざまな条件 H j 、その後は条件付き 期待値決定した

どうやって または ;   (6.6)

イベント H j の確率がわかっている場合、完全な

期待値: ;   (6.7)

例 4: 最初のシンボルが現れるまでに、平均して何回コインを投げる必要がありますか? この問題は正面から解決できます

x i	1 2 3 ...k..
p(x i) :		,

ただし、この金額はまだ計算する必要があります。 条件付きおよび完全な数学的期待の概念を使用すると、より簡単に実行できます。 仮説 H 1 - 紋章が最初に落ちた、H 2 - 紋章が最初に落ちなかった、という仮説を考えてみましょう。 明らかに、p(H 1) = p(H 2) = 1/2 です。 Mx / N 1 = 1;
Mx / N 2 は、望ましい完全な期待値より 1 大きいです。 最初にコインを投げた後、状況は変わりませんが、すでに 1 回投げられています。 数学的期待値の合計の公式を使用すると、Мх = Мx / Н 1 ×р(Н 1) + Мx / Н 2 ×р(Н 2) = 1 × 0.5 + (Мх + 1) × 0.5 となり、方程式を解くことができます。 Мх の場合、すぐに Mx = 2 が得られます。

e. f(x) が確率変数 x の関数である場合、確率変数の関数の数学的期待の概念は次のように定義されます。

離散確率変数の場合: ;   (6.8)

合計は、確率変数が取るすべての値を引き継ぎます。 級数は絶対に収束する必要があります。

連続確率変数の場合: ;   (6.9)

積分は絶対に収束する必要があります。

2. 確率変数の分散
意味：
確率変数 x の分散は、数学的期待値からの値の二乗偏差の数学的期待値です: Dx = M(x-Mx) 2

離散確率変数の場合: ;   (6.10)

合計は、確率変数が取るすべての値を引き継ぎます。 系列は収束していなければなりません (そうでない場合、確率変数には分散がないと言われます)。

連続確率変数の場合: ;   (6.11)

積分は収束していなければなりません (そうでない場合、確率変数には分散がないと言われます)。

分散特性:
ａ． C が定数値の場合、DC = 0
b. DСх = С 2 Dх
c. 確率変数の合計の分散は、これらの値が独立している場合にのみ、常にそれらの分散の合計と等しくなります (独立変数の定義)
d. 分散を計算するには、次の公式を使用すると便利です。

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

数値特性の関係
および典型的な分布のパラメータ

分布	オプション	式	MX	DX
ユニフォーム	a、b		(b+a) / 2	(b-a) 2/12
普通	α、σ		ある	σ 2
ベルヌーイ	n、p		n.p.	NPQ
ポワソン	ある		ある	ある

確率理論は、ランダム現象、ランダム変数、それらの特性とそれらに対する操作など、ランダム現象のパターンを研究する数学の一分野です。

長い間確率論には明確な定義がありませんでした。 制定されたのは 1929 年になってからです。 科学としての確率論の出現は、中世に遡り、ギャンブル (フレーク、サイコロ、ルーレット) の数学的分析が初めて試みられました。 17 世紀のフランスの数学者、ブレーズ パスカルとピエール フェルマーは、賞金の予測を研究しています。 ギャンブル、サイコロを投げるときに生じる最初の確率パターンを発見しました。

確率理論は、大量のランダムな出来事が特定のパターンに基づいているという信念から科学として生まれました。 確率理論はこれらのパターンを研究します。

確率理論は、その発生が確実に知られていない事象の研究を扱います。 これにより、あるイベントの発生確率を他のイベントと比較して判断できます。

たとえば、コインを投げた結果として「表」または「裏」を明確に判断することは不可能ですが、複数回投げた場合、結果はおよそ次のようになります。 同じ番号「表」と「裏」。これは、「表」または「裏」が得られる確率が 50% であることを意味します。

テストこの場合、特定の条件セットの実装はコイントスと呼ばれます。 チャレンジは無制限にプレイできます。 この場合、一連の条件にはランダムな要素が含まれます。

テスト結果は イベント。 イベントが発生します:

1. 信頼性があります (テストの結果として常に発生します)。
2. 不可能です（決して起こりません）。
3. ランダム (テストの結果として発生する場合と発生しない場合があります)。

たとえば、コインを投げるとき、コインが端に着地するという不可能な出来事、「表」または「裏」の出現というランダムな出来事が発生します。 特定のテスト結果は次のように呼ばれます。 初歩的な出来事。 テストの結果、初歩的なイベントのみが発生します。 すべての可能な、異なる、特定のテスト結果のセットは、と呼ばれます。 初歩的な出来事の空間.

理論の基本概念

確率- 事象が発生する可能性の程度。 ある起こり得る出来事が実際に起こる理由が反対の理由よりも大きい場合、その出来事は起こり得ると呼ばれ、そうでない場合は起こりそうもない、またはありそうもないと言われます。

ランダムな値- これは、テストの結果、1 つまたは別の値を取ることができる量であり、どの値になるかは事前にはわかりません。 例: 上の数字 消防署 1日あたり、10発のヒット数など。

確率変数は 2 つのカテゴリに分類できます。

1. 離散確率変数テストの結果、一定の確率で特定の値をとり、可算集合（要素に番号を付けることができる集合）を形成する量です。 このセットは有限または無限のいずれかになります。 たとえば、ターゲットに最初に命中するまでのショットの数は離散確率変数です。 この量は、数えることはできますが、無限の数の値を取ることができます。
2. 連続確率変数は、有限または無限の区間から任意の値を取ることができる量です。 明らかに、連続確率変数の取り得る値の数は無限です。

確率空間- A.N. によって導入されたコンセプト コルモゴロフは 20 世紀の 30 年代に確率の概念を定式化し、これにより厳密な数学的学問として確率論が急速に発展しました。

確率空間はトリプルです (山括弧: で囲まれる場合もあります)。

これは任意のセットであり、その要素は基本イベント、結果、またはポイントと呼ばれます。
- (ランダム) イベントと呼ばれるサブセットのシグマ代数。
- 確率の尺度または確率、つまり 次のようなシグマ加法有限測度。

ド・モアブル・ラプラスの定理- 1812 年にラプラスによって確立された確率論の極限定理の 1 つ。 それは、2 つの可能な結果を​​想定して同じランダムな実験を何度も繰り返した場合の成功数はおよそ であると述べています。 正規分布。 これにより、おおよその確率値を見つけることができます。

独立した試行ごとに、何らかのランダムなイベントが発生する確率が () に等しく、それが実際に発生する試行の数である場合、不等式が真である確率は (値が大きい場合) に近くなります。ラプラス積分の値。

確率論における分布関数- 確率変数または確率ベクトルの分布を特徴付ける関数。 確率変数 X が x 以下の値を取る確率 (x は任意) 実数。 既知の条件が満たされる場合、確率変数は完全に決定されます。

期待値- 確率変数の平均値 (これは、確率理論で考慮される確率変数の確率分布です)。 英語文献では、ロシア語では - で表されます。 統計ではこの表記がよく使われます。

確率空間とその上で定義された確率変数が与えられるとします。 つまり、定義上、測定可能な関数です。 次に、空間上のルベーグ積分がある場合、それは数学的期待値、または平均値と呼ばれ、 と表されます。

確率変数の分散- 与えられた確率変数の広がりの尺度、つまり数学的期待からの偏差。 それはロシアおよび外国の文献で指定されています。 統計では、またはという表記がよく使用されます。 分散の平方根は、標準偏差、標準偏差、または標準スプレッドと呼ばれます。

を、ある確率空間上で定義された確率変数としましょう。 それから

ここで、記号は数学的な期待値を示します。

確率論では、2 つのランダムな出来事を次のように呼びます。 独立した、一方の発生によってもう一方の発生確率が変わらない場合。 同様に、2 つの確率変数が呼び出されます。 依存、一方の値が他方の値の確率に影響を与える場合。

最も単純な法律形式 多数はベルヌーイの定理で、イベントの確率がすべての試行で同じである場合、試行回数が増加するにつれて、イベントの頻度はイベントの確率に近づく傾向があり、ランダムではなくなるというものです。

確率論における大数の法則は、固定分布からの有限サンプルの算術平均は、その分布の理論的平均に近いと述べています。 収束の種類に応じて、確率によって収束が起こる場合の弱い大数の法則と、ほぼ確実に収束する場合の強い大数の法則が区別されます。

大数の法則の一般的な意味は共同行動です 多数同一で独立した ランダム要因偶然とは関係なく、限界内での結果をもたらします。

有限サンプル分析に基づいて確率を推定する方法は、この特性に基づいています。 わかりやすい例有権者のサンプル調査に基づいた選挙結果の予測です。

中心極限定理- 和が十分であることを示す確率論の定理のクラス 大量ほぼ同じスケールを持つ弱い依存性の確率変数 (どの項も合計を支配したり、合計に決定的に寄与したりしない) は、正規に近い分布を持ちます。

アプリケーションの多くの確率変数は、依存性の弱いいくつかの確率要因の影響下で形成されるため、それらの分布は正規であると考えられます。 この場合、どの要因も支配的ではないという条件が満たされなければなりません。 このような場合の中心極限定理により、正規分布の使用が正当化されます。

ランダムイベントテストの結果として起こるかもしれないし、起こらないかもしれないあらゆる事実です。 ランダムなイベントはテストの結果です。 トライアル– これは実験であり、特定の一連の条件が満たされ、その中で特定の現象が観察され、特定の結果が記録されます。

イベントは、ラテンアルファベットの大文字 A、B、C で指定されます。

ある出来事が起こる可能性の客観性の度合いを数値的に測るものを、 ランダムな出来事が起こる確率。

古典的な定義事象Aの確率:

イベント A の確率は、イベント A(m) に有利なケースの数とイベント A(m) の比率に等しくなります。 総数ケース (n)。

統計的定義確率

イベントの相対的な頻度– これは、イベント A が出現した実際に実施されたテストの割合 W=P*(A)= m/n です。 これは実験特性です。m はイベント A が出現した実験の数です。 n は実行されたすべての実験の数です。

事象の確率周波数値がグループ化される番号です このイベントのさまざまな一連の多数のテストで P(A)=。

イベントは次のように呼ばれます 非互換、一方の発生により他方の発生が除外される場合。 それ以外の場合、イベントは ジョイント.

和 2 つのイベントは、これらのイベント (A または B) の少なくとも 1 つが発生するイベントです。

AとBの場合 ジョイントイベントの場合、それらの合計 A+B は、イベント A またはイベント B、または両方のイベントが一緒に発生したことを示します。

AとBの場合 非互換イベントの場合、合計 A+B はイベント A またはイベント B のいずれかの発生を意味します。

2. 依存イベントと独立イベントの概念。 条件付き確率、確率の乗算の法則（定理）。 ベイズの公式。

イベントBが呼び出されます 独立したイベント A の発生によってイベント B の発生確率が変わらない場合、イベント A からの発生確率。 独立したイベントは次の確率の積に等しくなります。

P(AB) = P(A)*P(B)

のために 依存イベント:

P(AB) = P(A)*P(B/A)。

2 つのイベントが発生する確率は、最初のイベントが発生したという仮定の下で求められる、一方の確率ともう一方の条件付き確率の積に等しくなります。

条件付き確率イベント B は、イベント A が発生した場合に求められるイベント B の確率です。 P(V/A)で表される

仕事 2 つのイベントは、これらのイベント (A と B) の同時発生からなるイベントです。

ベイズの公式はランダムイベントを再推定するために使用されます

P(H/A) = (P(H)*P(A/H))/P(A)

P(H) – イベント H の事前確率

P(H/A) – イベント A がすでに発生している場合の仮説 H の事後確率

P(A/H) – 専門家による評価

P(A) – イベント A の合計確率

3. 離散および連続確率変数の分布とその特性: 数学的期待値、分散、標準偏差。 連続確率変数の正規分布則。

ランダムな値は、テストの結果、場合に応じて、考えられる多くの値のうちの 1 つを取る量です。

離散確率変数– 単一の独立した可算値のセットを取る場合、それは確率変数です。

連続確率変数は、特定の間隔から任意の値を取得する確率変数です。 連続確率変数の概念は測定において生じます。

ディスクリート用確率変数、分布則は次の形式で指定できます。 テーブル、分析的に（数式の形式で）、 グラフィック的に.

テーブル– これは分布法則を指定する最も簡単な形式です

要件：

離散確率変数の場合

分析:

1)F(x)=P(X

分布関数 = 累積分布関数。 離散および連続確率変数の場合。

2)f(x) = F’(x)

確率密度関数 = 連続確率変数のみの微分分布関数。

グラフィック：

条件: 1) 0≤F(x)≤1

2) 離散確率変数の非減少

S-va: 1) f(x)≥0 P(x)=

2) 面積 S=1

連続確率変数の場合

特徴:

1.数学的期待 – 平均的な最も可能性の高い事象

離散確率変数の場合。

連続確率変数の場合。

2) 分散 - 数学的期待の周りの分散

離散確率変数の場合:

D(x)=x i -M(x)) 2 *pi

連続確率変数の場合:

D(x)=x-M(x)) 2 *f(x)dx

3) 平均 標準偏差 :

σ(x)=√(D(x))

σ – 標準偏差または標準

x は分散の平方根の算術値です。

正規分布則 (NDL) - ガウスの法則

NZR は連続確率変数の確率の減衰であり、微分関数で記述されます。

二項分布は、離散的に変化する確率変数の最も重要な確率分布の 1 つです。 二項分布は数値の確率分布です。 メートルイベントの発生 あ V n相互に独立した観測。 よくあるイベント あは観測の「成功」と呼ばれ、その反対の出来事は「失敗」と呼ばれますが、この指定には非常に条件があります。

二項分布条件:

• 合計で実行されました nイベントが行われる試練 あ起こるかもしれないし、起こらないかもしれない。
• イベント あ各テストで同じ確率で発生する可能性があります p;
• テストは相互に独立しています。

確率は nテストイベント あまさに来るだろう メートル倍は、ベルヌーイの公式を使用して計算できます。

,

どこ p- イベントが発生する確率 あ;

q = 1 - p- 逆の出来事が起こる確率。

それを理解しましょう 二項分布が上記のようにベルヌーイの公式に関係しているのはなぜですか? 。 イベント - 成功数 nテストはいくつかのオプションに分割されており、それぞれのオプションで成功が達成されます。 メートルテストと失敗 - n - メートルテスト。 これらのオプションの 1 つを検討してみましょう - B1 。 確率を加算するためのルールを使用して、反対のイベントの確率を乗算します。

,

そして次のように表すと q = 1 - p、 それ

.

その他のオプション メートル成功と n - メートル失敗。 このようなオプションの数は、実行できる方法の数と同じです。 nテスト取得 メートル成功。

すべての確率の合計 メートルイベントの発生数 あ(0から0までの数字 n) は 1 に等しい:

ここで、各項はニュートンの二項式の項を表します。 したがって、考慮中の分布は二項分布と呼ばれます。

実際には、多くの場合、確率を計算する必要があります。 メートルでの成功 nテスト」または「少なくとも メートルでの成功 nこれには次の式が使用されます。

積分関数、つまり 確率 F(メートル） 何がありますか n観測イベント あもう来ない メートル一度、次の式を使用して計算できます。

その順番で 確率 F(≥メートル） 何がありますか n観測イベント あ少なからず来るだろう メートル一度、次の式で計算されます。

場合によっては、次の確率を計算する方が便利な場合があります。 n観測イベント あもう来ない メートル反対の事象の確率を通じて、次のように計算します。

.

どの式を使用するかは、どちらの式の和がより少ない項を含むかによって決まります。

二項分布の特性は次の式を使用して計算されます。 .

期待値: 。

分散: 。

標準偏差： 。

MS Excel での二項分布と計算

二項確率 P n( メートル) と積分関数の値 F(メートル) は、MS Excel 関数 BINOM.DIST を使用して計算できます。 対応する計算のウィンドウを以下に示します (左クリックして拡大します)。

MS Excel では、次のデータを入力する必要があります。

• 成功の数。
• テストの数。
• 成功の確率。
• 整数 - 論理値: 0 - 確率を計算する必要がある場合 P n( メートル) と 1 - 確率の場合 F(メートル).

例1.同社のマネージャーは、過去 100 日間に販売されたカメラの数に関する情報をまとめました。 この表は情報を要約し、1 日に特定の数のカメラが販売される確率を計算します。

13 台以上のカメラが販売されれば、その日は利益で終了します。 その日が利益を得ることができる確率:

一日が利益を得ることなく労働される確率:

一日に利益が得られる確率が一定で 0.61 であるとします。また、一日に販売されるカメラの数は日に依存しません。 次に、二項分布を使用できます。 あ- その日は利益を伴って働きますが、- 利益はありません。

6 日間すべてが利益をもたらす確率:

.

MS Excel 関数 BINOM.DIST を使用しても同じ結果が得られます (整数値の値は 0)。

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052。

6 日のうち 4 日以上が利益をもたらす確率:

どこ ,

,

MS Excel 関数 BINOM.DIST を使用して、6 日間のうち 3 日以内に利益が得られる確率を計算します (整数値は 1)。

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0.61; 1) = 0.435。

6 日間すべてが損失を伴って解決する確率:

,

MS Excel 関数 BINOM.DIST を使用して同じ指標を計算できます。

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035。

自分で問題を解決し、解決策を確認する

例2。壺の中には白い玉が2個、黒い玉が3個入っています。 壺からボールを​​取り出し、色を定着させて元に戻します。 この試行は 5 回繰り返されます。 白球の出現数は離散確率変数です バツ、二項法則に従って分布します。 確率変数の分布の法則を作成します。 モード、数学的期待値、分散を定義します。

これからも一緒に課題を解決していきましょう

例 3.宅配便から現場へ向かいました n= 5 人の配達員。 各宅配業者はおそらく p= 0.3 は、他に関係なく、オブジェクトに対して遅れています。 離散確率変数 バツ- 遅れた配達員の数。 この確率変数の分布系列を構築します。 その数学的な期待値、分散、標準偏差を求めます。 少なくとも 2 人の宅配業者が物品の到着に遅れる確率を求めます。

知られているように、 確率変数 場合に応じて特定の値を取り得る可変量と呼ばれます。 確率変数はラテンアルファベットの大文字 (X、Y、Z) で表され、その値は対応する小文字 (x、y、z) で表されます。 確率変数は不連続 (離散) と連続に分けられます。

離散確率変数 は、特定の非ゼロ確率を持つ有限または無限 (可算) の値のセットのみを取る確率変数です。

離散確率変数の分布則 は、確率変数の値を対応する確率と結び付ける関数です。 分布則は次のいずれかの方法で指定できます。

1 . 分配法則は次の表で与えられます。

ここで、λ>0、k = 0、1、2、…。

V)を使用して 分布関数 F(x) 、各値 x について、確率変数 X が x より小さい値を取る確率を決定します。つまり、 F(x) = P(X< x).

関数 F(x) の性質

3 . 分布則をグラフィカルに指定可能 – 分布ポリゴン (ポリゴン) (問題 3 を参照)。

一部の問題を解決するために、分配法則を知る必要はないことに注意してください。 場合によっては、最もよく反映される 1 つ以上の数値を知るだけで十分な場合があります。 重要な機能流通法。 これは、確率変数の「平均値」を意味する数値、または確率変数の平均値からの偏差の平均サイズを示す数値です。 この種の数値は、確率変数の数値特性と呼ばれます。

離散確率変数の基本的な数値特性 :

• 数学的期待値 離散確率変数の（平均値） M(X)=Σ x i p i.
  二項分布の場合 M(X)=np、ポアソン分布の場合 M(X)=λ
• 分散 離散確率変数 D(X)=M2または D(X) = M(X 2)− 2。 差 X–M(X) は、数学的期待からの確率変数の偏差と呼ばれます。
  二項分布の場合 D(X)=npq、ポアソン分布の場合 D(X)=λ
• 標準偏差 （標準偏差） σ(X)=√D(X).

「離散確率変数の分布の法則」というテーマの問題の解決例

タスク1。

宝くじは 1000 枚発行され、5 枚に 500 ルーブル、10 枚に 100 ルーブル、20 枚に 50 ルーブル、50 枚に 10 ルーブルが当たります。 確率変数 X の確率分布の法則、つまりチケットごとの賞金を決定します。

解決。 問題の条件に応じて、確率変数 X の値は 0、10、50、100、500 が可能です。

当選しなかったチケットの数は 1000 – (5+10+20+50) = 915、P(X=0) = 915/1000 = 0.915 となります。

同様に、他のすべての確率を求めます: P(X=0) = 50/1000=0.05、P(X=50) = 20/1000=0.02、P(X=100) = 10/1000=0.01、P(X =500) = 5/1000 = 0.005。 結果として得られた法則を表の形式で示してみましょう。

値 X の数学的期待値を求めてみましょう: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

タスク3。

この装置は 3 つの独立して動作する要素で構成されています。 1 回の実験における各要素の故障確率は 0.1 です。 1 回の実験で失敗した要素の数の分布則を作成し、分布多角形を構築します。 分布関数 F(x) を見つけてプロットします。 離散確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を求めます。

解決。 1. 離散確率変数 X = (1 回の実験で失敗した要素の数) には次の値が考えられます: x 1 = 0 (どのデバイス要素も失敗しなかった)、x 2 = 1 (1 つの要素が失敗した)、x 3 = 2 ( 2 つの要素が失敗しました) および x 4 =3 (3 つの要素が失敗しました)。

要素の故障は互いに独立しており、各要素の故障確率は等しいため、適用可能です。 ベルヌーイの公式 。 条件 n=3、p=0.1、q=1-p=0.9 に従って、値の確率を決定します。
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1 を確認してください。

したがって、X の望ましい二項分布則は次の形式になります。

x i の取り得る値を横軸に沿ってプロットし、対応する確率 p i を縦軸に沿ってプロットします。 点 M 1 (0; 0.729)、M 2 (1; 0.243)、M 3 (2; 0.027)、M 4 (3; 0.001) を作成しましょう。 これらの点を直線で結ぶと、目的の分布多角形が得られます。

3. 分布関数 F(x) = Р(Х を見つけてみましょう

x ≤ 0 の場合、F(x) = Р(Х<0) = 0;
0の場合< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1人分< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2人分< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 の場合、F(x) = 1 になります。 イベントは信頼できます。

関数F(x)のグラフ

4. 二項分布 X の場合:
- 数学的期待値 M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- 分散 D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- 標準偏差 σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52。