資料を読みやすくするために、このトピックの内容を追加します。

導入。 セットと選択。

このトピックでは、組み合わせ論の基本概念である順列、組み合わせ、配置について見ていきます。 それらの本質とその量を求める公式を見てみましょう。

機能するには、いくつかの補助情報が必要です。 このような基本的な数学的概念をセットとして始めましょう。 セットの概念については、「セットの概念。セットを指定する方法」のトピックで詳しく説明しました。

とても ショートストーリーセットについて: 表示/非表示

つまり、セットとはオブジェクトのコレクションです。 セットは中括弧で囲んで記述します。 要素を記述する順序は重要ではありません。 要素の繰り返しは許可されません。 たとえば、数値 11115555999 の数字のセットは $\(1,5,9\)$ になります。 単語「虎の子」の子音のセットは $\(t, g, r, n, k\)$ です。 $5\in A$ という表記は、要素 5 がセット $A=\(1,5,9 \)$ に属することを意味します。 有限集合内の要素の数は次のように呼ばれます。 力このセットの $|A|$ を示します。 たとえば、3 つの要素を含むセット $A=\(1,5,9 \)$ の場合、$|A|=3$ となります。

カーディナリティーが $n$、$|U|=n$ である特定の空でない有限集合 $U$ を考えてみましょう (つまり、集合 $U$ には $n$ 要素があります)。 のような概念を導入しましょう サンプル(一部の著者はこれをタプルと呼んでいます)。 $n$ 要素からの体積 $k$ のサンプル ($(n,k)$-sample と略します) とは、要素 $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$ のセットを意味します。ここで、$a_i\in U$。 要素の順序が指定されている場合、選択は順序付きと呼ばれます。 要素の順序のみが異なる 2 つの順序付けされたサンプルは異なります。 サンプル要素の順序が重要でない場合、そのサンプルは順序なしと呼ばれます。

選択範囲の定義では、要素の繰り返しについては何も述べられていないことに注意してください。 セット要素とは異なり、選択要素は繰り返すことができます。

たとえば、$U=\(a,b,c,d,e\)$ というセットを考えてみましょう。 セット $U$ には 5 つの要素が含まれます。 $|U|=5$。 繰り返しのないサンプルは $(a,b,c)$ になります。 この選択には 3 つの要素が含まれています。 このサンプルのサイズは 3 です。つまり、$(5,3)$ サンプルです。

繰り返しのあるサンプルは $(a,a,a,a,a,c,c,d)$ のようになります。 これには 8 つの要素が含まれています。 その体積は 8 です。つまり、これは $(5,8)$ サンプルです。

さらに 2 つの $(5,3)$ サンプル、$(a,b,b)$ と $(b,a,b)$ を考えてみましょう。 サンプルが順序付けされていないと仮定すると、サンプル $(a,b,b)$ はサンプル $(b,a,b)$ と等しくなります。 $(a,b,b)=(b,a,b)$。 サンプルが順序付けされていると仮定すると、$(a,b,b)\neq(b,a,b)$ となります。

もう少し抽象度の低い別の例を見てみましょう:) かごの中に 6 つのキャンディーがあり、それらはすべて異なるとします。 最初のキャンディーを番号 1、2 番目のキャンディーを番号 2 などに関連付けると、次のセットをバスケット内のキャンディーに関連付けることができます: $U=\(1,2,3,4, 5,6\)$。 3 つのキャンディーを取り出すために、ランダムに手をかごに入れたと想像してください。 抜いたキャンディーが選択です。 6 個のキャンディーから 3 個を取り出したので、(6,3)-サンプルが得られます。 キャンディーを手のひらに置く順序はまったく関係ないため、このサンプルには順序はありません。 そうですね、キャンディーはすべて異なるため、選択は重複しません。 したがって、この状況では、繰り返しのない順序付けされていない (6,3) サンプルについて話しています。

今度は反対側から近づいてみましょう。 私たちがキャンディー製造工場にいると想像してみましょう。この工場では 4 種類のキャンディーが生産されています。 この状況でのセット $U$ は次のとおりです: $U=\(1,2,3,4 \)$ (各数値は独自の種類のキャンディーを担当します)。 ここで、すべてのキャンディーが 1 つのシュートに注がれ、その近くに立っていると想像してみましょう。 そして、この流れの中から合掌してキャンディーを20個選びます。 お菓子の握りはサンプルです。 キャンディーを置く順番は重要ですか？ 当然のことながら、いいえ、したがってサンプルは順序付けされていません。 キャンディーは4種類しかありませんが、一般的な流れから20個を選択します。品種の繰り返しは避けられません。 同時に、サンプルは非常に異なる場合があります。すべて同じ種類のキャンディーがある場合もあります。 したがって、この状況では、繰り返しのある順序付けされていない (4,20) サンプルを扱っています。

さらにいくつかの例を見てみましょう。 立方体に、k、o、n、f、e、t、a の 7 つの異なる文字を書きます。 これらの文字は、セット $U=\(k,o,n,f,e,m,a\)$ を形成します。 これらの立方体から 5 文字の「単語」を作りたいとします。 これらの単語の文字 (たとえば、「confe」、「tenko」など) は (7,5) 選択を形成します: $(k,o,n,f,e)$, $(t,e,n 、k、o)$など 明らかに、このようなサンプル内の文字の順序は重要です。 たとえば、「nokft」と「kfton」という単語は、文字の順序が一致しないため、(同じ文字で構成されていますが) 異なります。 立方体が 7 つしかないため、そのような「単語」には文字の繰り返しがありません。 したがって、各単語の文字のセットは、繰り返しのない順序付けされた (7,5) サンプルです。

別の例: 1、5、7、8 の 4 桁からあらゆる種類の 8 桁の数字を作成します。たとえば、11111111、15518877、88881111 などです。 セット $U$ は $U=\(1,5,7,8\)$ です。 合成された各数値の桁は、(4,8) サンプルを形成します。 数値内の桁の順序は重要です。 サンプルは注文されています。 繰り返しは許可されているため、ここでは繰り返しのある順序付けされた (4,8) サンプルを扱います。

$k$ による $n$ 要素の繰り返しのない配置

$k$ による $n$ 要素の繰り返しのない配置 - 繰り返しのない順序付けられた $(n,k)$-選択。

検討中のサンプル内の要素は繰り返すことができないため、元のセットにある要素よりも多くの要素をサンプルに選択することはできません。 したがって、そのようなサンプルでは、​​次の不等式が成り立ちます: $n≥ k$。 $k$ による $n$ 要素の繰り返しのない配置数は、次の式で求められます。

\begin(方程式)A_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!} \end{equation} !}

「！」の記号は何を意味しますか？: 表示/非表示

「ん！」を収録。 (「階乗」と読みます) は、1 から n までのすべての数値の積を表します。

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

定義により、$0!=1!=1$ であると想定されます。 たとえば、5 を見つけてみましょう!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120。 $$

例その1

アルファベットは一連の記号 $E=\(+,*,0,1,f\)$ で構成されます。 このアルファベットの中で、繰り返し文字を含まない 3 文字の単語の数を調べてみましょう。

3 文字の単語とは、「+*0」や「0f1」などの表現を意味します。 セット $E$ には 5 つの要素があるため、3 文字の単語の文字は (5,3) 選択を形成します。 最初の質問は、これらのサンプルは注文されたものですか? 文字の順序のみが異なる単語は異なるものとみなされます。そのため、サンプル内の要素の順序が重要です。 これはサンプルが注文されたことを意味します。 2 番目の質問: 繰り返しは許可されますか? この質問に対する答えは、単語に繰り返しの文字が含まれないという条件によって決まります。 要約すると、問題の条件を満たす各単語の文字は、繰り返しのない順序付けられた (5,3) サンプルを形成します。 言い換えれば、各単語の文字は、3 の 5 つの要素が繰り返されない配置を形成します。そのような配置の例を次に示します。

$$ (+,*,f), \; (*,+,f), \; (1,+,0) $$

これらの配置の合計数に興味があります。 式(1)より、3の5つの要素の繰り返しのない配置数は次のようになります。

$$ A_(5)^(3)=\frac(5{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$ !}

それらの。 文字が繰り返されない 3 文字の単語を 60 個作成できます。

答え: 60.

$k$ の $n$ 要素の繰り返しを含む配置

$n$ 要素を $k$ ずつ繰り返す配置 - 順序付けられた繰り返しのある $(n,k)$ 選択。

$k$ の $n$ 要素の繰り返しの配置数は、次の式で求められます。

\begin(方程式)\bar(A)_(n)^(k)=n^k \end(方程式)

例その2

数字の集合 $\(5,7,2\)$ から 5 桁の数字は何個作れるでしょうか?

から このセット 55555、75222 などの 5 桁の数字を作成できます。 このような各数値の桁は (3,5) サンプルを形成します: $(5,5,5,5,5)$、$(7,5,2,2,2)$。 これらはどのような種類のサンプルなのか、自問してみましょう。 まず、数値の桁は繰り返すことができるため、繰り返しのあるサンプルを扱います。 次に、数値の桁の順序が重要です。 たとえば、27755 と 77255 は異なる番号です。 したがって、繰り返しのある順序付けされた (3,5) サンプルを扱うことになります。 式 (2) を使用して、そのようなサンプルの総数 (つまり、必要な 5 桁の数字の総数) を求めます。

$$ \bar(A)_(3)^(5)=3^5=243。 $$

したがって、与えられた数字から 243 個の 5 桁の数字を作ることができます。

答え: 243.

$n$ 要素の繰り返しのない順列

$n$ 要素の繰り返しのない順列は、繰り返しのない順序付けられた $(n,n)$ 選択です。

本質的に、繰り返しのない順列は、サンプル サイズが元のセットのカーディナリティと等しい場合の、繰り返しのない配置の特殊なケースです。 $n$ 要素の繰り返しのない順列の数は、次の式で決定されます。

\begin(式)P_(n)=n! \end(方程式)

ちなみに、この式は $P_n=A_(n)^(n)$ と考えると簡単に得られます。 すると、次のようになります。

$$ P_n=A_(n)^(n)=\frac(n{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$ !}

例その3

～の冷凍庫にアイスクリームが5人分あります さまざまな企業。 食べる順番を選べる方法は何通りありますか?

数字 1 を最初のアイスクリームに対応させ、数字 2 を 2 番目のアイスクリームに対応させます。 冷凍庫の内容を表すセット $U=\(1,2,3,4,5\)$ を取得します。 食べる順序は、$(2,1,3,5,4)$ または $(5,4,3,1,2)$ のいずれかです。 このような各セットは (5,5) サンプルです。 それは秩序正しく、繰り返しはありません。 言い換えれば、そのようなサンプルはそれぞれ、元のセットの 5 つの要素の順列です。 式 (3) によると、これらの順列の合計数は次のようになります。

$$ P_5=5!=120。 $$

したがって、食べる順番を選択するための順序は 120 通りあります。

答え: 120.

繰り返しを含む順列

繰り返しを含む順列は、繰り返しを含む順序付けされた $(n,k)$ サンプルです。要素 $a_1$ は $k_1$ 回繰り返され、$a_2$ は $k_2$ 回繰り返され、最後の要素 $ まで続きます。 a_r$、$ k_r$ 回繰り返されます。 この場合、$k_1+k_2+\ldots+k_r=k$ となります。

繰り返しを含む順列の合計数は、次の式で求められます。

\begin(式)P_(k)(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac(k{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation} !}

例4

単語はアルファベット $U=\(a,b,d\)$ に基づいて構成されます。 幾つか 違う言葉これらの単語の中で文字「a」を 2 回繰り返す必要がある場合、7 文字で構成できます。 文字「b」 - 1回、文字「d」 - 4回?

検索語の例は次のとおりです:「aabdddd」、「daddabd」など。 各単語の文字は、繰り返しのある (3,7) サンプルを形成します: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d )$など このような各サンプルは、2 つの要素「a」、1 つの要素「b」、および 4つの要素「d」。 つまり、$k_1=2$、$k_2=1$、$k_3=4$となります。 すべてのシンボルの繰り返しの合計数は、当然のことながら、サンプル サイズに等しくなります。 $k=k_1+k_2+k_3=7$。 これらのデータを式 (4) に代入すると、次のようになります。

$$ P_7(2,1,4)=\frac(7){2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$ !}

したがって、検索ワードの総数は 105 になります。

答え: 105.

各 $k$ の $n$ 要素の繰り返しのない組み合わせ

$k$ による $n$ 要素の繰り返しのない組み合わせは、繰り返しのない順序のない $(n,k)$ サンプルです。

$k$ の $n$ 要素の繰り返しのない組み合わせの総数は、次の式で求められます。

\begin(方程式)C_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!\cdot k!} \end{equation} !}

例その5

かごの中には1から10までの整数が書かれたカードが入っています。かごから4枚のカードを取り出し、そこに書かれている数字を足していきます。 バスケットから何セットのカードを引くことができますか?

したがって、この問題では、初期セットは $U=\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)$ になります。 このセットから 4 つの要素 (つまり、バスケットから 4 枚のカード) を選択します。 取り出された要素の番号は、(10,4)-選択を形成します。 すべてのカードの番号が異なるため、この選択を繰り返すことはできません。 問題は、カードを選択する順序が重要かどうかです。 つまり、たとえば、サンプル $(1,2,7,10)$ と $(10,2,1,7)$ は等しいか等しくありませんか? ここで、問題の状況に目を向ける必要があります。 後で要素の合計を求めるためにカードが取り出されます。 これは、項の位置を変更しても合計は変わらないため、カードの順序は重要ではないことを意味します。 たとえば、サンプル $(1,2,7,10)$ とサンプル $(10,2,1,7)$ は、同じ数値 $1+2+7+10=10+2+1+ に対応します。 7 = 20 ドル。 結論: 問題の状況から、順序付けされていないサンプルを扱っていることがわかります。 それらの。 繰り返しのない順序付けされていない (10,4) サンプルの合計数を見つける必要があります。 言い換えれば、4 の 10 個の要素の組み合わせの数を見つける必要があります。これには式 (5) を使用します。

$$ C_(10)^(4)=\frac(10){(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$ !}

したがって、検索されたセットの総数は 210 になります。

答え: 210.

それぞれ $k$ の $n$ 要素を繰り返した組み合わせ

$k$ の $n$ 要素の繰り返しを組み合わせたものは、繰り返しのある順序のない $(n,k)$ サンプルです。

$k$ の $n$ 要素の繰り返しを持つ組み合わせの総数は、次の式で求められます。

\begin(方程式)\bar(C)_(n)^(k)=\frac((n+k-1){(n-1)!\cdot k!} \end{equation} !}

例その6

私たちがキャンディー工場にいて、4 種類のキャンディーが流れるコンベアのすぐ隣にあると想像してください。 この流れに手を入れて20個抜き取ります。 一握りの中に、何種類の「キャンディーの組み合わせ」があるでしょうか?

最初のタイプが数値 1 に対応し、2 番目のタイプが数値 2 に対応すると仮定すると、問題の初期セットは次のようになります: $U=\(1,2,3,4\) $。 このセットから 20 個の要素 (つまり、組み立てラインからの同じ 20 個のキャンディー) を選択します。 一握りのお菓子は (4,20) サンプルを形成します。 当然、品種の繰り返しが発生します。 問題は、サンプル内の要素の順序が重要かどうかです。 問題の状況から、要素の配置順序は重要ではないことがわかります。 その一握りに最初の 15 個のキャンディーが含まれているか、次に 4 個のキャンディーが含まれているかは、私たちにとっては問題ではありません。 チョコレートキャンディー、または最初にチョコレート 4 個、次にロリポップ 15 個。 したがって、繰り返しのある順序付けされていない (4,20) サンプルを扱っています。 これらのサンプルの合計数を求めるには、式 (6) を使用します。

$$ \bar(C)_(4)^(20)=\frac((4+20-1){(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$ !}

したがって、検索される組み合わせの総数は 1771 通りになります。

組み合わせ。 配置。 再配置

順列同じものからなる組み合わせです n異なる要素であり、その配置順序が異なるだけです。 可能なすべての置換の数

例を見てみましょう： 幾つか 3桁の数字数字の画像に各桁が 1 回しか表示されない場合、その数字から 1、2、3 を作ることができますか?

解決：

またはこのように 例。 学生会議で7人の参加者が話す順番はくじで決まります。 幾つか さまざまなオプションこの場合、抽選は可能でしょうか？

解決：抽選の各バリエーションは、参加者の順序のみが異なります。つまり、7 つの要素の順列です。 彼らの番号は

例。 4人がお金を受け取るために同時にレジに近づきました。 彼らは何通りに並ぶことができますか?

解決：キューは 4 人の異なる人で構成されているため、キューに並ぶ各方法では、その人の配置順序が考慮されます。 したがって、4 人の順列があり、その数は次のとおりです。

配置 nさまざまな要素に応じて メートル順序または要素の構成が異なる要素。

可能なすべての配置の数が計算されます

例： 6 つの旗からいくつの信号を作ることができますか? 異なる色、一度に2つ撮りますか？

解決：

例： 1日のスケジュールは5つのレッスンで構成されています。 11 の分野から選択する場合、スケジュールのオプションの数を決定します。

解決：各スケジュール オプションは、11 の分野のうちの 5 つの分野のセットを表し、分野の構成と従う順序の両方において他のオプションとは異なります。つまり、それぞれ 5 つの要素からなる 11 の要素の配列です。スケジュール オプションの数は式で求められます

組み合わせから作られる組み合わせです nさまざまな要素に応じて メートル少なくとも 1 つの要素が異なる要素。 組み合わせ数

例： 10 個のパーツが入った箱から 2 つのパーツを選択できる方法は何通りありますか?

解決：

例：チェスのトーナメントには16人が参加する。 2 人の参加者の間で 1 つのゲームをプレイする必要がある場合、トーナメントでは何ゲームプレイする必要がありますか?

解決：各ゲームは 16 人中 2 人の参加者によってプレイされ、参加者のペアの構成のみが異なります。つまり、2 つの 16 要素の組み合わせです。

例：細菌は6種類あります。 増殖速度を決定するには、3 つの株を選択する必要があります。 これを実現できる方法は何通りありますか?

解決：選択された各株が少なくとも 1 つの要素で異なる場合、選択方法は異なると見なされます。 この番号

つまり20通りあるということです。

配置、順列、組み合わせの数が等式によって関係していることを強調します。

組み合わせ論の問題を解くときは、次のルールが使用されます。

合計ルール:何かのオブジェクトの場合 あオブジェクトのセットから選択できます メートルウェイと他のオブジェクト で選択できます n方法を選択し、どちらかを選択します あ、 または で方法によっては可能です。

製品ルール:オブジェクトの場合 あオブジェクトのセットから選択できます メートル方法とそのような選択のたびにオブジェクト で選択できる n方法、次にオブジェクトのペア ( A、B)指定された順序でメソッドを選択できます。

与えられたセットからのサンプル数を数える問題を考えてみましょう。 一般的な見解。 いくつかのセットを用意しましょう N、 からなる n 要素。 以下から構成される任意のサブセット メートル 要素は、その順序を考慮せずに、または考慮せずに考慮することができます。 順序を変更する場合は、別の順序に移動します メートル– サンプリング。

次の定義を定式化してみましょう。

繰り返しのない配置

繰り返しのない配置n 要素によるメートル N含むメートルさまざまな要素.

この定義から、要素が同じであっても、2 つの配置は要素と順序の両方で互いに異なることがわかります。

定理3。 繰り返しのない配置の数は製品と同じです メートル 因数のうち最大のものは次の数です n 。 書き留めます:

繰り返しのない順列

からの順列n 要素はセットの異なる順序と呼ばれますN.

この定義から、2 つの順列は要素の順序が異なるだけであり、配置の特殊なケースとして考えることができることがわかります。

定理4。 繰り返しのない異なる順列の数は、次の式で計算されます。

繰り返しのない組み合わせ

繰り返しのない組み合わせn 要素によるメートル セットの順序付けされていないサブセットが呼び出されます。N含むメートル さまざまな要素。

定義から、2 つの組み合わせは要素が異なるだけであり、順序は重要ではないことがわかります。

定理5。 繰り返しのない組み合わせの数は、次のいずれかの式を使用して計算されます。

例1。 部屋には椅子が5脚あります。 それらを置く方法は何通りありますか?

a) 7 人。 b) 5 人。 c) 3人ですか？

解決： a) まず、7 人の中から椅子に座る 5 人を選択する必要があります。 できるよ
方法。 特定の 5 つを選択するたびに、次のことを行うことができます。
再配置。 乗算定理によれば、必要な着陸方法の数は等しい。

コメント：この問題は積定理のみを使用して次のように推論して解決できます。1 番目の椅子に座るには 7 つの選択肢があり、2 番目の椅子には 6 つの選択肢があり、3 番目の椅子には -5、4 番目の椅子には -4、および 5- があります。 -3番目。 すると、5 つの椅子に 7 人が座る方法は となります。 両方の方法による解決策は一貫しています。

b) 解決策は明らかです -

V) - 占有された議長の選挙の数。

- 選択した 3 つの椅子の 3 人分の座席の数。

総選挙数は です。

公式を確認するのは難しくありません
;

;

以下から構成されるセットのすべてのサブセットの数。 n要素。

リピート配置

からの繰り返しで配置することで、n 要素によるメートル セットの順序付けられたすべてのサブセットが呼び出されますN、 からなるメートル 要素を追加して、1 から 2 までの任意の要素をこのサブセットに含めることができます。メートルまたは完全に欠席する.

繰り返しのある配置の数は次のように表されます。 そして、乗算定理の結果である次の式を使用して計算されます。

例 2。 N = (a, b, c) を 3 つの文字のセットとします。 このセットに含まれる文字のセットを単語と呼びましょう。 これらの文字から作成できる長さ 2 の単語の数を求めます。
.

コメント：明らかに、繰り返しのある配置も次の場合に考慮できます。
.

例 3。 長さ 3 のすべての単語を作成するには、文字 (a、b) を使用する必要があります。これを行う方法は何通りありますか?

答え:

組み合わせ論の問題を解く方法を学んでいますか? 実は 初期勉強する必要がある 基本的な組み合わせ論の公式: 組み合わせ、配置、順列 (を参照) を確認し、それらを使用して問題を解決する方法を学びます。

組み合わせ論の公式を選択するにはどうすればよいですか?

私たちはあなたのために準備しました 視覚的な図解決策の例とともに各組み合わせ論の公式について:

• 数式選択アルゴリズム (組み合わせ、順列、繰り返しの有無にかかわらず配置)、
• 組み合わせ論を勉強するための推奨事項、
• 6 つの問題があり、公式ごとに解答とコメントが付いています。

再配置

全部並べ替えてみます 可能な方法(オブジェクトの数は変更されず、順序のみが変更されます)。 結果として得られる組み合わせは次のように呼ばれます。 順列、それらの数は等しい

$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$

記号 $n!$ は階乗と呼ばれ、$1$ から $n$ までのすべての整数の積を表します。 定義により、$0!=1、1!=1$ とみなされます。

$n=3$ オブジェクトのすべての順列の例 ( いろいろな数字) - 右側の写真。 式によれば、正確に $P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3 =6$ となるはずで、これが起こります。

オブジェクトの数が増えると、順列の数が急速に増加し、それらを明確に描写することが困難になります。 たとえば、10 項目の順列数はすでに 3628800 （300万以上！）

配置

$n$ 個の異なるオブジェクトがあるとします。
その中から $m$ オブジェクトを選択し、あらゆる方法で再配置します (つまり、選択したオブジェクトの構成と順序の両方が変わります)。 結果として得られる組み合わせは次のように呼ばれます。 配置

$$A_n^m=\frac(n{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-m+1) $$ !}

$m=2$による$n=3$のオブジェクト(各種フィギュア)の全配置例を右の図に示します。 式によれば、正確に $A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6$ となるはずです。

組み合わせ

$n$ 個の異なるオブジェクトがあるとします。
考えられるすべての方法でそれらから $m$ オブジェクトを選択します (つまり、選択されたオブジェクトの構成は変わりますが、順序は重要ではありません)。 結果の組み合わせは次のように呼ばれます。 組み合わせ$n$ 個のオブジェクトが $m$ ずつあり、その数は

$$C_n^m=\frac(n{(n-m)!\cdot m!} $$ !}

$m=2$ の $n=3$ オブジェクト (異なる数値) のすべての組み合わせの例を右の図に示します。 式によれば、正確に $C_3^2=\frac(3{(3-2)!\cdot 2!} =3$. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в $m!$ раз, то есть верна формула связи:!}

$$ A_n^m = C_n^m \cdot P_m.$$