複素関数の導関数。 解決策の例
このレッスンでは、次のことを見つける方法を学びます 複素関数の導関数。 レッスンはレッスンの論理的な続きです 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?ここでは、最も単純な導関数を調べ、微分の規則と導関数を見つけるためのいくつかの技術的テクニックについても学びました。 したがって、関数の導関数が苦手な場合、またはこの記事のいくつかの点が完全に明確ではない場合は、まず上記のレッスンを読んでください。 真剣な気分になってください。内容は単純ではありませんが、それでも簡単かつ明確に提示するように努めます。
実際には、複素関数の導関数を非常に頻繁に処理する必要があります。導関数を見つけるタスクが与えられた場合は、ほぼ常にと言っていいほどです。
複素関数を微分するための規則 (その 5) の表を見てみましょう。
それを理解しましょう。 まずはエントリーに注目してみましょう。 ここには 2 つの関数 - と があり、比喩的に言うと、関数は関数内にネストされています。 このタイプの関数 (ある関数が別の関数内にネストされている場合) は、複合関数と呼ばれます。
関数を呼び出します 外部関数、および関数 – 内部 (またはネストされた) 関数.
！ これらの定義は理論的なものではないため、割り当ての最終設計には含めるべきではありません。 「外部機能」「内部」機能というくだけた表現を使用しているのは、内容を理解しやすくするためだけです。
状況を明確にするために、次の点を考慮してください。
例1
関数の導関数を求める
サインの下には文字「X」だけではなく式全体があるため、表からすぐに導関数を見つけることはできません。 また、最初の 4 つのルールをここに適用することは不可能であることにも気付きます。違いがあるように見えますが、実際にはサインを「バラバラに引き裂く」ことはできないということです。
で この例では関数が複素関数であり、多項式が内部関数 (埋め込み) と外部関数であることは、私の説明からすでに直感的に明らかです。
最初の一歩複素関数の導関数を求めるときに行う必要があるのは、 どの機能が内部でどの機能が外部であるかを理解する.
単純な例の場合、正弦の下に多項式が埋め込まれていることが明らかです。 しかし、すべてが明らかでない場合はどうなるでしょうか? どの機能が外部であり、どの機能が内部であるかを正確に判断するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、次のテクニックを使用することをお勧めします。これは頭の中で、または下書きで行うことができます。
計算機で式の値を計算する必要があると想像してみましょう (1 つの代わりに、任意の数値を指定できます)。
最初に何を計算しますか? 初めに次のアクションを実行する必要があります: したがって、多項式は内部関数になります。 
第二にを見つける必要があるため、sine – は外部関数になります。 
私たちの後 完売内部関数と外部関数を使用して、複素関数の微分規則を適用します。
決め始めましょう。 クラスから 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?導関数に対するソリューションの設計は常に次のように始まることを覚えています。式を括弧で囲み、右上にストロークを置きます。
初めに導関数を見つける 外部関数(正弦)、導関数の表を見てください。 初等関数そして私たちはそれに気づきます。 「x」を複雑な式に置き換えると、すべての表の数式も適用できます。、 この場合：
内部関数に注意してください 変わっていない、私たちはそれに触れていない.
まあ、それは非常に明白です
式を適用した最終結果は次のようになります。
定数因数は通常、式の先頭に置かれます。
誤解があれば、答えを紙に書いて、もう一度解説を読みましょう。
例 2
関数の導関数を求める
例 3
関数の導関数を求める
いつものように、次のように書き留めます。 
どこに外部関数があり、どこに内部関数があるかを調べてみましょう。 これを行うには、(頭の中で、または下書きで) での式の値を計算しようとします。 まず何をすべきでしょうか? まず最初に、基数が何に等しいかを計算する必要があります。これは、多項式が内部関数であることを意味します。 
そして、そのときのみ累乗が実行されるため、次のようになります。 べき乗関数は外部関数です: 
式によれば、まず外部関数の微分、この場合は次数を見つける必要があります。 表内で必要な式を探します。 もう一度繰り返します: 表形式の数式は「X」だけでなく、複雑な式にも有効です。。 したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は次のようになります。
外部関数の導関数を取得しても、内部関数は変化しないことをもう一度強調します。 
ここで残っているのは、内部関数の非常に単純な導関数を見つけて、結果を少し調整することだけです。
例 4
関数の導関数を求める
これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。
複素関数の導関数についての理解を強化するために、コメントなしで例を示します。外部関数と内部関数がどこにあるのか、なぜこの方法でタスクが解決されるのかを説明し、自分で理解してみてください。
例5
a) 関数の導関数を求めます。
b) 関数の導関数を求めます。
例6
関数の導関数を求める 
ここには根があり、根を区別するには、それを力として表現する必要があります。 したがって、まず関数を微分に適した形式にします。
関数を分析すると、3 つの項の和が内部関数であり、べき乗が外部関数であるという結論に達します。 複素関数の微分規則を適用します。
ここでも次数を根号 (ルート) として表し、内部関数の導関数に対して、合計を微分するための単純なルールを適用します。
準備ができて。 括弧内の式を指定することもできます。 共通点すべてを 1 つの分数として書き留めます。 もちろんそれは美しいことですが、面倒な長い導関数を取得する場合は、これを行わない方がよいでしょう (混乱しやすく、不要な間違いを犯しやすく、教師がチェックするのが不便になります)。
例 7
関数の導関数を求める
これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。
興味深いのは、複素関数を微分するためのルールの代わりに、商を微分するためのルールを使用できる場合があるということです。 
、しかし、そのような解決策は面白い倒錯のように見えるでしょう。 典型的な例を次に示します。
例8
関数の導関数を求める
ここで商の微分規則を使用できます。 、しかし、複素関数の微分の法則を通じて導関数を見つける方がはるかに有益です。
微分用の関数を準備します。微分符号からマイナスを移動し、分子にコサインを加算します。
コサインは内部関数であり、べき乗は外部関数です。
私たちのルールを使ってみましょう:
内部関数の導関数を求め、コサインをリセットして元に戻します。
準備ができて。 検討した例では、標識を混同しないことが重要です。 ちなみに、法則を使って解いてみてください 、答えは一致する必要があります。
例9
関数の導関数を求める
これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。
これまで、複雑な関数内にネストが 1 つだけあるケースを見てきました。 実際のタスクでは、入れ子人形のように、1 つの関数がもう 1 つの関数の内側にあり、一度に 3 つ、さらには 4 ～ 5 つの関数が入れ子になっている派生関数をよく見かけます。
例 10
関数の導関数を求める
この機能の付属品を理解しましょう。 実験値を用いて式を計算してみましょう。 どうやって電卓を頼りにするのでしょうか？
まず、 を見つける必要があります。これは、逆正弦が最も深い埋め込みであることを意味します。
この 1 の逆正弦を 2 乗する必要があります。
そして最後に、7 の累乗を行います。 
つまり、この例では 3 つの異なる関数と 2 つの埋め込みがあり、最も内側の関数は逆正弦関数、最も外側の関数は指数関数です。
決め始めましょう
ルールによれば、まず外部関数の導関数を取得する必要があります。 デリバティブの表を見て、デリバティブを見つけます。 指数関数: 唯一の違いは、「X」の代わりに 複雑な表現ただし、この式の有効性が否定されるものではありません。 したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は次のようになります。
ストロークの下には、また複雑な関数があります。 しかし、それはすでに簡単になっています。 内側の関数が逆正弦であり、外側の関数が次数であることを検証するのは簡単です。 複素関数を微分するための規則に従って、まずべき乗の導関数を取得する必要があります。
複雑な派生関数。 対数導関数。
べき指数関数の導関数
今後も差別化技術の向上に努めてまいります。 このレッスンでは、これまでカバーしてきた内容を統合し、より複雑な導関数を見て、導関数、特に対数導関数を見つけるための新しいテクニックとコツについても学びます。
準備レベルが低い読者はこの記事を参照してください。 導関数を見つけるにはどうすればよいですか? 解決策の例, これにより、ほぼゼロからスキルを上げることができます。 次に、ページを注意深く調べる必要があります 複素関数の導関数、理解して解決する 全て私が挙げた例。 このレッスン論理的には 3 番目で、これをマスターすると、かなり複雑な関数を自信を持って区別できるようになります。 「他にどこがある？」という立場を取ることは望ましくありません。 はい、それで十分です。」すべての例と解決策は実際のものから引用されているためです。 テスト実際によく遭遇します。
繰り返しから始めましょう。 レッスンで 複素関数の導関数詳細なコメントとともに多くの例を検討しました。 微分積分や数学的解析のその他の分野を学習する過程では、微分を頻繁に行う必要がありますが、例を詳細に説明することが必ずしも便利であるとは限りません (また、常に必要であるとも限りません)。 そこで口頭で導関数を求める練習をしていきます。 これに最も適した「候補」は、最も単純な複雑な関数の導関数です。次に例を示します。
複素関数の微分の法則によると 
:
将来他のマタンのトピックを学習する場合、ほとんどの場合、そのような詳細な記録は必要ありません。学生は自動操縦でそのような導関数を見つける方法を知っていると想定されます。 午前 3 時に、 電話すると、心地よい声で「2 つの X の正接の導関数は何ですか?」と尋ねられました。 これに続いて、ほぼ即座に丁寧な応答が返されます。 
.
最初の例は、すぐに独立したソリューションを対象としています。
例1
たとえば、次の導関数を 1 つのアクションで口頭で見つけます。 タスクを完了するには、次のコマンドを使用するだけです 初等関数の導関数の表（まだ覚えていない場合）。 問題がある場合は、レッスンをもう一度読むことをお勧めします 複素関数の導関数.
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答えはレッスンの最後に
複雑な導関数
大砲の事前準備が完了すると、3-4-5 の関数のネストを持つ例はそれほど怖くなくなります。 おそらく、次の 2 つの例は一部の人にとって複雑に見えるかもしれませんが、それらを理解していれば (誰かが苦労するでしょう)、他のほとんどすべてのことは理解できます。 微分積分子供の冗談のように思われるでしょう。
例 2
関数の導関数を求める 
すでに述べたように、複素関数の導関数を求めるときは、まず次のことが必要です。 右自分の投資を理解しましょう。 疑問がある場合は、便利なテクニックを思い出してください。たとえば、「x」の実験値を使用して、（頭の中で、または草案の中で）次の値を代入してみます。 与えられた値「ひどい表現」に。
1) まず式を計算する必要があります。これは、合計が最も深い埋め込みであることを意味します。
2) 次に、対数を計算する必要があります。
4) 次にコサインを 3 乗します。
5) 5 番目のステップでの違いは次のとおりです。
6) そして最後に、最も外側の関数は平方根です。 
複素関数を微分するための公式 
最も外側の関数から最も内側の関数へ、逆の順序で適用されます。 私たちが決めます：
エラーはないようですが…
(1) 平方根の導関数を求めます。
(2) ルールを使用して差の微分を計算します。 
(3) トリプルの導関数はゼロです。 第 2 項では、次数 (3 乗) の導関数を計算します。
(4) コサインの導関数を求めます。
(5) 対数の導関数を求めます。
(6) そして最後に、最も深い埋め込みの導関数を取得します。
難しすぎるように思えるかもしれませんが、これは最も残酷な例ではありません。 たとえば、クズネツォフのコレクションを考えてみると、分析された派生物のすべての美しさとシンプルさが理解できるでしょう。 学生が複素関数の導関数の求め方を理解しているか理解していないかを確認する試験でも、彼らは同じようなことをするのが好きなことに気づきました。
次の例は、自分で解決するためのものです。
例 3
関数の導関数を求める
ヒント: まず、線形性ルールと積微分ルールを適用します。
レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。
より小さくて優れたものに移行する時が来ました。
2 つではなく 3 つの関数の積を示す例も珍しくありません。 3 つの因子の積の導関数を求めるにはどうすればよいですか?
例 4
関数の導関数を求める 
まず、3 つの関数の積を 2 つの関数の積に変えることは可能でしょうか? たとえば、積に 2 つの多項式がある場合、括弧を開くことができます。 ただし、検討中の例では、次数、指数、対数などの関数がすべて異なります。
このような場合に必要となるのが、 順次製品差別化ルールを適用する 
二度
重要なのは、「y」で 2 つの関数の積を表し、「ve」で対数を表すことです。 なぜこんなことができるのでしょうか？ 出来ますか 
– これは 2 つの要素の積ではないので、ルールは機能しません?! 複雑なことは何もありません。
ルールをもう一度適用する必要があります 
かっこに入れる:
ひねって括弧の外に何かを入れることもできますが、この場合は、答えをこの形式のままにしておいた方が、確認が容易になります。
考慮された例は 2 番目の方法で解決できます。 
どちらのソリューションも完全に同等です。
例5
関数の導関数を求める
これは独立した解決策の例であり、サンプルでは最初の方法を使用して解決されます。
分数を使った同様の例を見てみましょう。
例6
関数の導関数を求める 
ここにアクセスするにはいくつかの方法があります。
または次のようにします。
ただし、最初に商の微分規則を使用すると、解はよりコンパクトに記述されます。 
分子全体を取ると、次のようになります。
基本的に例題は解けているのでそのままでもエラーにはなりません。 しかし、時間があれば、常に草案をチェックして、答えを簡略化できるかどうかを確認することをお勧めします。 分子の式を共通の分母に還元してみましょう。 3階建て部分をなくしましょう:
追加の単純化の欠点は、導関数を見つけるときではなく、平凡な学校の変換中に間違いを犯すリスクがあることです。 一方で、教師は課題を拒否し、その派生語を「思い出してください」と要求することがよくあります。
自分で解決できる簡単な例:
例 7
関数の導関数を求める
私たちは導関数を見つける方法を引き続き習得し、今度は微分のために「ひどい」対数が提案されたときの典型的なケースを考えてみましょう。
例8
関数の導関数を求める
ここでは、複雑な関数を微分するためのルールを使用して、大いに役立ちます。
しかし、その最初のステップですぐにあなたは落胆に陥ります。分数の累乗から不快な導関数を取得し、さらに分数からも不愉快な導関数を取得する必要があります。
それが理由です 前に「高度な」対数の導関数を取得する方法は、まずよく知られている学校のプロパティを使用して簡略化されます。
! 手元に練習ノートがある場合は、これらの公式をそこに直接コピーしてください。 レッスンの残りの例はこれらの公式を中心に展開するため、ノートをお持ちでない場合は、紙にコピーしてください。
ソリューション自体は次のように記述できます。
関数を変換しましょう:
導関数を求める: 
関数自体を事前に変換することで、ソリューションが大幅に簡素化されました。 したがって、微分のために同様の対数が提案されている場合は、常にそれを「分解」することをお勧めします。
次に、自分で解決できる簡単な例をいくつか示します。
例9
関数の導関数を求める 
例 10
関数の導関数を求める
すべての変換と答えはレッスンの最後にあります。
対数導関数
対数の導関数がこのような素晴らしい音楽である場合、場合によっては対数を人為的に整理することは可能でしょうか? できる！ そして必要さえあります。
例 11
関数の導関数を求める 
私たちは最近、同様の例を調べました。 何をするか？ 商の微分ルールを順に適用し、次に積の微分ルールを適用できます。 この方法の欠点は、最終的に 3 階建ての巨大な部分ができてしまい、まったく処理したくないことです。
しかし、理論的にも実践的にも、対数導関数のような素晴らしいものがあります。 対数は、両側に「ぶら下げる」ことで人為的に整理できます。
ここで、右辺の対数をできるだけ「分解」する必要があります (目の前の数式?)。 このプロセスについて詳しく説明します。
差別化から始めましょう。
両方の部分をプライムの下で結論付けます。
右辺の導関数は非常に単純です。このテキストを読んでいるなら、自信を持って処理できるはずなので、これについてはコメントしません。
左側はどうでしょうか？
左側には、 複素関数。 「なぜ、対数の下に「Y」という文字が 1 つあるのですか?」という質問が予想されます。
実は、この「一文字ゲーム」は - それ自体が関数である(よくわからない場合は、「暗黙的に指定された関数の導関数」の記事を参照してください)。 したがって、対数は外部関数であり、「y」は内部関数です。 そして、複素関数を微分するための規則を使用します 
:
左側にはまるで魔法のように 魔法の杖派生関数があります。 次に、比例の法則に従って、左辺の分母から右辺の上部に「y」を転送します。
さて、差別化の際に話した「プレーヤー」機能がどのようなものか思い出してみましょう。 条件を見てみましょう: 
最終的な答え: 
例 12
関数の導関数を求める
これは自分で解決できる例です。 設計例 このタイプのレッスンの終わりに。
対数導関数を使用すると、例 4 から 7 のいずれも解くことができました。もう 1 つは、関数がより単純であり、おそらく対数導関数の使用はあまり正当化されないということです。
べき指数関数の導関数
この機能についてはまだ考慮していません。 べき乗関数とは、次のような関数です。 次数と底の両方が「x」に依存します。 教科書や講義で取り上げられる古典的な例:
べき指数関数の導関数を見つけるにはどうすればよいですか?
先ほど説明したテクニック、つまり対数導関数を使用する必要があります。 対数を両辺に掛けます。
原則として、右側では次のように対数の下から次数が取り出されます。
その結果、右側には 2 つの関数の積が得られ、これは標準公式に従って微分されます。 
.
これを行うには、導関数を見つけます。両方の部分をストロークで囲みます。
さらなるアクションは簡単です。
ついに： 
変換が完全に明確でない場合は、例 #11 の説明を注意深く読み直してください。
で 実践的なタスクべき乗関数は常に、講義で説明した例よりも複雑になります。
例 13
関数の導関数を求める
対数導関数を使用します。 
右側には、定数と 2 つの因数の積、「x」と「対数 x の対数」(別の対数が対数の下にネストされています) があります。 微分するときは、定数が邪魔にならないように、微分符号からすぐに定数を移動する方がよいことを覚えています。 そしてもちろん、おなじみのルールを適用します 
:
ご覧のとおり、対数導関数を使用するアルゴリズムには特別なトリックやトリックは含まれておらず、べき指数関数の導関数を求めることは通常「苦痛」とは関連付けられません。
また、複素関数の導関数に関する定理は次のように定式化されます。
1) 関数 $u=\varphi (x)$ がある時点で導関数 $x_0$ を持つ、2) 関数 $y=f(u)$ があるとします。対応する点 $u_0=\varphi (x_0)$ には導関数 $y_(u)"=f"(u)$ があります。 次に、前述の点の複素関数 $y=f\left(\varphi (x) \right)$ も、関数 $f(u)$ と $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
または、短い表記では $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ となります。
このセクションの例では、すべての関数は $y=f(x)$ の形式をとります (つまり、1 つの変数 $x$ の関数のみを考慮します)。 したがって、すべての例で、導関数 $y"$ は変数 $x$ に関して取得されます。導関数が変数 $x$ に関して取得されることを強調するために、多くの場合、$y の代わりに $y"_x$ が記述されます。 「$。
事例No.1、事例No.2、事例No.3の概要 詳しいプロセス複素関数の導関数を見つけること。 例 4 は導関数テーブルをより完全に理解することを目的としており、よく理解しておくと意味があります。
例 1 ～ 3 の内容を学習した後、次に進むことをお勧めします。 独立した決定例No.5、No.6、No.7。 例 #5、#6、および #7 には、読者が結果の正確さを確認できるように短い解決策が含まれています。
例その1
関数 $y=e^(\cos x)$ の導関数を求めます。
複素関数 $y"$ の導関数を見つける必要があります。$y=e^(\cos x)$ なので、$y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ となります。導関数 $ \left(e^(\cos x)\right)"$ を求めるには、導関数の表の式 6 を使用します。 式 6 を使用するには、この場合 $u=\cos x$ であることを考慮する必要があります。 さらなる解決策は、$u$ の代わりに式 $\cos x$ を式 6 に単純に代入することです。
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
ここで、式 $(\cos x)"$ の値を見つける必要があります。再び導関数の表に戻り、そこから式 10 を選択します。式 10 に $u=x$ を代入すると、次のようになります。 : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ では、等式 (1.1) を続けて、見つかった結果で補足してみましょう。
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
$x"=1$ なので、等式 (1.2) を継続します。
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
したがって、等式 (1.3) から、 $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ が得られます。 当然のことながら、通常は説明と中間等式は省略され、導関数の結果を 1 行で記述します。等式 ( 1.3) のように、複素関数の導関数が求まったので、あとは答えを書き留めるだけです。
答え: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$。
例その2
関数 $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ の導関数を求めます。
導関数 $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ を計算する必要があります。 まず、定数 (つまり数値 9) が微分記号から取り出せることに注意してください。
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
ここで、式 $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ に移りましょう。導関数の表から目的の式を選択しやすくするために、次の式を提示します。問題は次の形式です: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$。 ここで、式 2 を使用する必要があることは明らかです。 $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$。 $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ と $\alpha=12$ をこの式に代入してみましょう。
得られた結果で等式 (2.1) を補足すると、次のようになります。
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
この状況では、最初のステップでソルバーが式の代わりに $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ という式を選択するときに間違いが発生することがよくあります。 $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$。 重要なのは、外部関数の導関数が最初に来る必要があるということです。 どの関数が式 $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ の外部になるかを理解するには、式 $\arctg^(12)(4\cdot 5^) の値を計算していると想像してください。 x)$ は、ある値 $x$ で表されます。 まず $5^x$ の値を計算し、その結果を 4 で乗算して、$4\cdot 5^x$ を取得します。 次に、この結果から逆正接を取得し、$\arctg(4\cdot 5^x)$ を取得します。 次に、結果の数値を 12 乗して、$\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ を取得します。 最後のアクション、つまり 12 乗は外部関数になります。 そしてこれから、等式で導関数を求め始めなければなりません (2.2)。
次に、$(\arctg(4\cdot \ln x))"$ を見つける必要があります。導関数テーブルの式 19 を使用し、それに $u=4\cdot \ln x$ を代入します。
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ を考慮して、結果の式を少し単純化してみましょう。
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
等式 (2.2) は次のようになります。
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \タグ (2.3) $$
$(4\cdot \ln x)"$ を見つけることが残っています。微分符号から定数 (つまり 4) を取り出しましょう: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$ を見つけるには、式 8 を使用し、$u=x$ を代入します。 $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x 「$。 $x"=1$ なので、$(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) となります。得られた結果を式 (2.3) に代入すると、次のようになります。
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))
最後の等式で書いたように、複素関数の導関数はほとんどの場合 1 行で見つかることを思い出してください。 したがって、標準的な計算や制御作業を作成する場合、解法をそれほど詳細に記述する必要はまったくありません。
答え: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$。
例その3
関数 $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ の $y"$ を求めます。
まず、関数 $y$ を少し変形して、累乗として根号 (ルート) を表します。 $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$。 それでは導関数を求めてみましょう。 $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ なので、次のようになります。
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
導関数の表の式 2 を使用して、$u=\sin(5\cdot 9^x)$ と $\alpha=\frac(3)(7)$ を代入してみましょう。
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
得られた結果を使用して等式 (3.1) を続けてみましょう。
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
次に、$(\sin(5\cdot 9^x))"$ を見つける必要があります。このために、導関数の表の式 9 を使用し、それに $u=5\cdot 9^x$ を代入します。
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
得られた結果で等式 (3.2) を補足すると、次のようになります。
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
$(5\cdot 9^x)"$ を見つけることが残っています。まず、微分符号の外側の定数 (数値 $5$) を取得しましょう。つまり、$(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$。導関数 $(9^x)"$ を求めるには、導関数の表の公式 5 を適用し、$a=9$ と $u=x$ を代入します。 $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$。 $x"=1$ なので、$(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ になります。これで等式 (3.3) を続けることができます。
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x。 $$
$\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ を $\ の形式で書き、べき乗から根 (根) に再び戻ることができます。 frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$。 次に、導関数は次の形式で記述されます。
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))。
答え: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$。
例4
導関数の表の式 No.3 と No.4 が、この表の式 No.2 の特殊なケースであることを示してください。
導関数表の式No.2には関数$u^\alpha$の導関数が含まれています。 $\alpha=-1$ を式 2 に代入すると、次のようになります。
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
$u^(-1)=\frac(1)(u)$ および $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ であるため、等式 (4.1) は次のように書き換えることができます。 $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$。 微分表の式No.3です。
再び導関数表の式 2 に戻りましょう。 これに $\alpha=\frac(1)(2)$ を代入してみましょう。
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ かつ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ の場合、等式 (4.2) は次のように書き換えることができます。
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
結果として得られる等式 $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ が導関数表の式 4 です。 ご覧のとおり、導関数テーブルの式 No.3 と No.4 は、式 No.2 に対応する $\alpha$ 値を代入することで得られます。
複素関数の導関数の公式を使用して導関数を計算する例が示されています。
ここでは、次の関数の導関数を計算する例を示します。
;
;
;
;
.
関数が次の形式の複素関数として表現できる場合:
,
次に、その微分値は次の式で求められます。
.
以下の例では、この式を次のように記述します。
.
どこ 。
ここで、微分記号の下にある添字 または は、微分が実行される変数を示します。
通常、導関数の表では、変数 x からの関数の導関数が与えられます。 ただし、x は仮パラメータです。 変数 x は他の変数に置き換えることができます。 したがって、関数を変数から微分するときは、導関数の表で変数 x を変数 u に変更するだけです。
簡単な例
例1
複素関数の導関数を求める
.
解決
書き留めてみましょう 与えられた関数同等の形式で:
.
導関数の表には次のことがわかります。
;
.
複素関数の導関数の公式によれば、次のようになります。
.
ここ 。
答え
例 2
導関数を求めます
.
解決
導関数の符号と導関数の表から定数 5 を取り出します。
.
.
ここ 。
答え
例 3
導関数を求めます
.
解決
定数を取り出します -1
導関数の符号について、導関数の表から次のことがわかります。
;
導関数の表から次のことがわかります。
.
複素関数の導関数に公式を適用します。
.
ここ 。
答え
より複雑な例
さらに詳しく 複雑な例複素関数を微分するためのルールを数回適用します。 この場合、端から導関数を計算します。 つまり、関数をそのコンポーネント部分に分割し、次を使用して最も単純な部分の導関数を見つけます。 デリバティブの表。 私たちも使っています 合計を微分するための規則、積と分数。 次に、置換を行って、複素関数の導関数の公式を適用します。
例 4
導関数を求めます
.
解決
式の最も単純な部分を選択し、その導関数を求めてみましょう。 。
.
ここでは次の表記を使用しました
.
得られた結果を使用して、元の関数の次の部分の導関数を見つけます。 合計を微分するためのルールを適用します。
.
もう一度、複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ 。
答え
例5
関数の導関数を求めます
.
解決
式の最も単純な部分を選択し、導関数の表からその導関数を見つけてみましょう。 。
複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ
.
この記事では、複素関数のような重要な数学的概念について説明し、複素関数の導関数を求める方法を学びます。
複素関数の導関数を求める前に、複素関数の概念、それが何であるか、「何と一緒に食べるか」、「正しく調理する方法」を理解しましょう。
任意の関数、たとえば次の関数を考えてみましょう。
関数方程式の右辺と左辺の引数は同じ数値または式であることに注意してください。
変数の代わりに、たとえば次の式を入れることができます。 そして関数を取得します
この式を中間引数、関数を外部関数と呼びましょう。 これらは厳密な数学的概念ではありませんが、複素関数の概念の意味を理解するのに役立ちます。
複素関数の概念の厳密な定義は次のとおりです。
関数をセット上で定義し、この関数の値のセットとする。 セット (またはそのサブセット) を関数の定義領域とします。 それぞれに番号を割り当ててみましょう。 したがって、関数はセット上で定義されます。 これを関数合成または複素関数と呼びます。
この定義では、用語を使用すると、外部関数は中間引数です。
複素関数の導関数は、次の規則に従って求められます。
より明確にするために、このルールを次のように書きます。
この式において、using は中間関数を示します。
それで。 複素関数の導関数を求めるには、次のものが必要です。
1. どの関数が外部関数であるかを判断し、導関数の表から対応する導関数を見つけます。
2. 中間引数を定義します。
この手順で最大の困難は外部関数を見つけることです。 これには単純なアルゴリズムが使用されます。
A. 関数の方程式を書き留めます。
b. x の値に対して関数の値を計算する必要があると想像してください。 これを行うには、この x 値を関数方程式に代入し、算術演算を実行します。 最後に実行するアクションは外部関数です。
たとえば、関数では
最後のアクションは累乗です。
この関数の導関数を求めてみましょう。 これを行うには、中間引数を作成します。
