家建設資材機能の増加と減少の十分な兆候。トピック「二次関数の増減」

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機能の増加と減少の十分な兆候。トピック「二次関数の増減」

グラフを使って増減の間隔を求める二次関数 xy 0 11 x の大きい値が y の小さい値に対応する場合、関数は区間上で減少します。つまり、左から右に移動すると、グラフは下降します (クリックして表示)。関数は、次の場合、区間上で増加します。 x の値が大きいほど、 y, t の値も大きくなります。つまり、左から右に移動すると、グラフは上昇します (クリックして表示)。

8 y x0 11 二次関数の増加と減少の区間をグラフから求めて書き留めます。二次関数のグラフは 2 つの枝で構成されていることに注意してください。枝は放物線の頂点によって互いに接続されます。増加と減少の間隔を記録する場合、最も主役放物線の頂点の横座標 (x) が例 1 になります。放物線の各枝に沿った動きを個別に考えてみましょう。左の枝に沿って、左から右に移動すると、グラフは下降します。これは関数が減少することを意味します。右の分岐に沿って - グラフが上昇します。これは、関数が増加していることを意味します。答え: 間隔が減少する (- ∞; -1 ]; 間隔が増加する [ -1; +∞)

8 y x0 11 グラフから見つけて、二次関数の増加と減少の間隔を書き留めます。例 2. 放物線の各枝に沿った動きを個別に考えます。左の枝に沿って、左から右に移動すると、グラフは次のようになります。 up、つまり機能が増加することを意味します。右の分岐に沿って - グラフは下降します。これは、関数が減少していることを意味します。答え: 増加の間隔 (- ∞; 3 ]、減少の間隔 [3; +∞)。

のタスク独立した決定(ノートに記入) タスク 1 タスク 2 タスク 3 タスク 4 付録

増加する間隔 (- ∞; -1 ]、減少する間隔 [ -1; +∞)。答えを確認してください。グラフから見つけて、二次関数の増加と減少の間隔を書き留めます 88 y x0 1 11 アニメーションを見て自分で答えを書きましょう

「間隔が減少 (- ∞; 3 ]、間隔が増加 [ 3; +∞)。グラフから見つけて、2次関数の増加と減少の区間を書き留めます y x 11 0 8 2 アニメーションを見る答えを書き込む自分で答えを確認する

二次関数の増加と減少の間隔をグラフから見つけて書き留めます 8 y 0 1 1 x3 アニメーションを見て答えを自分で書きましょう減少の間隔 (- ∞; 0 ]; 増加の間隔 [ 0; +∞) ）。答えを確認してください

「二次関数の増加と減少の区間をグラフから見つけて書きなさい 8 1 y 01 x4 アニメーションを見て答えを自分で書きなさい増加の区間 (- ∞; - 0. 5 ]; 減少の区間 [ - 0.5; + ∞)。答えを確認してください

付録増加と減少の区間の境界点は放物線の頂点の横軸です。 2次関数は連続関数なので、増加と減少の区間の境界点は必ず括弧付きで解答に書きます。

単調

とても大切な財産関数はその単調性です。このさまざまな性質を知ることで、特別な機能、さまざまな物理的、経済的、社会的、その他多くのプロセスの動作を決定することが可能です。

次のタイプの関数の単調性が区別されます。

1) 関数 増加する、特定の間隔の場合、任意の 2 点の場合、この間隔の場合、。それらの。より大きな引数値はより大きな関数値に対応します。

2) 関数 減少する、特定の間隔の場合、任意の 2 点の場合、この間隔の場合、。それらの。より大きな引数値はより小さな関数値に対応します。

3) 関数 減少しない、特定の間隔にある場合、任意の 2 点の場合、この間隔が次のようになる場合。

4) 関数 増えない、特定の間隔の場合、任意の 2 点の場合、この間隔の場合、。

2. 最初の 2 つのケースについては、「厳密な単調性」という用語も使用されます。

3. 最後の 2 つのケースは特殊なもので、通常は複数の関数の組み合わせとして指定されます。

4. それとは別に、関数のグラフの増加と減少は左から右へのみ考慮されるべきであることに注意してください。

2. 偶数/奇数。

この関数は奇数と呼ばれます、引数の符号が変わると、その値が反対に変わる場合。これの式は次のようになります。これは、すべての x の代わりに「マイナス x」値を関数に代入すると、関数の符号が変更されることを意味します。このような関数のグラフは原点に対して対称になります。

奇数関数の例は、などです。

たとえば、グラフは実際には原点に関して対称性を持っています。

関数は偶数で呼び出されます、引数の符号が変わっても、その値は変わらない場合。この式は次のようになります。これは、すべての x の代わりに「マイナス x」の値を関数に代入しても、結果として関数は変化しないことを意味します。このような関数のグラフは軸に対して対称になります。

偶数関数の例は、などです。

たとえば、軸を中心としたグラフの対称性を示してみましょう。

関数が指定された型のいずれにも属さない場合、その関数は偶数でも奇数でも呼び出されません。 関数一般的な見解 。このような関数には対称性がありません。

たとえば、このような機能は私たちが最近レビューしたものです一次関数スケジュール付き:

3. 特別なプロパティ機能は 周期性。

実際のところ、学校の標準カリキュラムで考慮される周期関数は三角関数だけです。関連するトピックを検討する際に、それらについてはすでに詳しく説明しました。

周期関数引数にゼロ以外の特定の定数を加えてもその値が変化しない関数です。

この最小数は次のように呼ばれます。 関数の期間とは文字で指定されます。

この式は次のようになります。 .

正弦グラフの例を使用してこのプロパティを見てみましょう。

関数の周期とは、周期とはであることを覚えておいてください。

すでにご存知のように、三角関数複雑な引数の場合、標準以外のピリオドが存在する可能性があります。それはフォームの機能について:

それらの周期は等しい。そして機能については、

それらの周期は等しい。

ご覧のとおり、新しい期間を計算するには、標準期間を引数の係数で単純に除算します。関数の他の変更には依存しません。

制限。

関数 y=f(x) 任意の xϵX に対して不等式 f(x) が成立するような数 a がある場合、集合 X⊂D(f) に対して下から制限された関数が呼び出されます。< a.

関数 y=f(x) 任意の хϵХ に対して不等式 f(x) が成立するような数 a がある場合、集合 X⊂D(f) に対して上から制限された関数が呼び出されます。< a.

間隔 X が指定されていない場合、関数は定義領域全体にわたって制限されているとみなされます。 上下の両方に制限がある関数は、制限付きと呼ばれます。

関数の限界はグラフから容易に読み取ることができます。何らかの線 y=a を引くことができ、関数がこの線よりも高い場合、その関数は下から境界付けされます。

以下の場合は、それに応じて上になります。以下は、下に境界が設定された関数のグラフです。皆さんも、限定された機能のグラフを自分で描いてみてください。

トピック: 関数の特性: 増加と減少の間隔。最大かつ最小値; 極値点 (極大点と極小値)、関数の凸性。

増加と減少の間隔。

関数の増加と減少の十分条件（符号）に基づいて、関数の増加と減少の間隔を求めます。

以下は、区間上の増加関数と減少関数の符号の定式化です。

· 関数の導関数の場合 y=f(x)誰に対してもポジティブバツ間からバツ、関数は次のように増加しますバツ;

· 関数の導関数の場合 y=f(x)誰にとってもネガティブなバツ間からバツの場合、関数は次のように減少します。バツ.

したがって、関数の増加と減少の間隔を決定するには、次のことが必要です。

· 関数の定義領域を見つけます。

· 関数の導関数を求めます。

· 定義領域上の不等式を解決します。

どこかの飛行機で与えてもらいましょう長方形システム座標ある関数のグラフ (定義の X 領域) は、座標を持つこの平面の点の集合です。ここで、です。

グラフを構築するには、座標 (x;y) が関係によって関連付けられている一連の点を平面上に描く必要があります。

ほとんどの場合、関数のグラフはある種の曲線です。

グラフをプロットする最も簡単な方法は、点ごとにプロットすることです。

引数の値が 1 つのセルにあり、この引数からの関数の値が反対側のセルにあるテーブルがコンパイルされます。次に、結果として得られる点が平面上にマークされ、それらの点を通る曲線が描かれます。

点を使用して関数グラフを構築する例:

テーブルを作成しましょう。

それでは、グラフを作成してみましょう。

ただし、この方法では、十分に正確なグラフを作成できるとは限りません。精度を得るには、多くのポイントを取得する必要があります。したがって、彼らは使用しますさまざまな方法機能の研究。

と完全な図高等教育における機能研究の会合教育機関。関数を研究する際のポイントの 1 つは、関数の増加 (減少) の間隔を見つけることです。

関数は、この間隔からの任意の x 2 および x 1 について、x 2 >x 1 となる場合、特定の間隔で増加 (減少) すると呼ばれます。

たとえば、グラフが次の図に示されている関数は、間隔ごとに間隔 (-5;3) で増加および減少します。つまり、その合間にはスケジュールは上り坂です。そして区間 (-5;3) では「下り坂」です。

関数の研究におけるもう 1 つのポイントは、周期性に関する関数の研究です。

次のような数 T がある場合、関数は周期的と呼ばれます。 .

数値 T は関数の周期と呼ばれます。たとえば、関数は周期的です。ここでは周期は 2P であるため、

周期関数のグラフの例:

最初の関数の周期は 3 で、2 番目の関数の周期は 4 です。

偶数関数の例 y=x 2 の場合でも関数が呼び出されます。

奇数関数 y=x 3 の例では、関数は奇数と呼ばれます。

偶関数のグラフはオペアンプの軸に関して対称です (軸対称)。

奇関数のグラフは原点に対して対称です（中心対称）。

偶数関数 (左) と奇数関数 (右) のグラフの例。

関数の増加、減少、極値

関数の増加、減少、および極値の間隔を見つけることは、独立したタスクであると同時に、他のタスクの重要な部分でもあります。特に、 フル機能学習。関数の増加、減少、極値に関する初期情報は次のとおりです。 導関数に関する理論的な章事前学習に強くお勧めします (または繰り返し)– また、次の資料がまさにその内容に基づいているという理由からです。 本質的には派生的であり、この記事の調和のとれた継続です。ただし、時間がない場合は、今日のレッスンの例を純粋に形式的に練習することも可能です。

そして今日、空気中には稀に見る一致団結の精神が漂っており、その場にいる全員が欲望に燃えているのを直接感じることができます。 その導関数を使用して関数を探索することを学びます。したがって、合理的で、優れた、永遠の用語がすぐにモニター画面に表示されます。

何のために？理由の 1 つは最も現実的なものです。 特定のタスクにおいて一般的に何が求められるかを明確にするため!

関数の単調性。関数の極値点と極値

いくつかの関数を考えてみましょう。簡単に言えば、彼女は次のように仮定します。 継続的な数直線全体で:

念のため、特に最近知った読者の場合は、考えられる幻想をすぐに取り除きましょう。 関数の定数符号の間隔。ここで私たちは 興味がない、関数のグラフが軸に対してどのように配置されているか (上、下、軸が交差する場所)。説得力を持たせるには、心の中で軸を消去し、1 つのグラフを残します。そこに興味があるからです。

関数 増加するある間隔で、この間隔の任意の 2 点の場合、関係によってつながっている、不等式は真です。つまり、引数の値が大きいほど関数の値も大きくなり、そのグラフは「下から上」に進みます。デモンストレーション機能は間隔を経て成長します。

同様に、関数 減少するある区間で、のような指定された区間の任意の 2 点について不等式が真である場合。つまり、引数のより大きな値は関数のより小さな値に対応し、そのグラフは「上から下」に進みます。私たちの機能は一定の間隔で低下します .

関数が一定の間隔で増加または減少する場合、それは呼び出されます。 まったく単調なこの間隔で。単調とは何ですか？文字通りに受け取ってください – 単調です。

定義することもできます 減少しない関数（最初の定義の緩和条件）と 増加しない関数 (2 番目の定義の緩和された条件)。ある区間で非減少または非増加の関数は、特定の区間での単調関数と呼ばれます。 (厳密な単調性は「単純な」単調性の特殊なケースです).

この理論では、半間隔やセグメントなど、関数の増加/減少を決定するための他のアプローチも考慮されていますが、頭に油を注ぐことがないように、カテゴリ定義を使用して開いた間隔で操作することに同意します。 - これはより明確であり、多くの実際的な問題を十分に解決するのに十分です。

したがって、 私の記事では、「関数の単調性」という表現はほとんどの場合隠されます。間隔厳密な単調さ(関数を厳密に増加または厳密に減少させる)。

点の近傍。この言葉の後に生徒たちはどこへでも逃げ出し、恐怖のあまり部屋の隅に隠れます。 …投稿後ですが コーシーの限界彼らはおそらくもう隠れていませんが、わずかに震えているだけです =) 心配しないでください、数学的解析の定理の証明はもうありません - 定義をより厳密に定式化するには環境が必要でした 極値点。覚えておきましょう:

点の近傍指定された点を含む区間を呼びます。便宜上、区間は対称であると想定されることがよくあります。たとえば、点とその標準近傍は次のようになります。

実際の定義は次のとおりです。

ポイントと呼ばれるものは、 厳密な最高点、もし 存在します彼女の近所の、 すべてのために点自体を除いた値は不等式になります。私たちの中で具体例これがポイントです。

ポイントと呼ばれるものは、 厳密な最低点、もし 存在します彼女の近所の、 すべてのために点自体を除いた値は不等式になります。図では点「a」があります。

注記 : 近傍対称性の要件はまったく必要ありません。さらに、重要なことは、 存在そのものの事実指定された条件を満たす近傍 (微小であっても微視的であっても)

ポイントはと呼ばれます 厳密に極値点または単に 極値点機能。つまり、最高点と最低点の総称です。

「極端」という言葉をどう理解すればよいでしょうか？そう、単調さと同じくらい直接的に。ジェットコースターの極限点。

単調性の場合と同様に、緩い公準が存在し、理論的にはさらに一般的です。 (もちろん、考慮されている厳密なケースはこれに該当します!):

ポイントと呼ばれるものは、 最高点、もし 存在しますその周囲はそのような状況です すべてのために
ポイントと呼ばれるものは、 最小点、もし 存在しますその周囲はそのような状況です すべてのためにこの近傍の値では、不等式が成り立ちます。

最後の 2 つの定義によれば、定数関数の点 (または関数の「フラットセクション」) は最大点と最小点の両方とみなされます。ちなみに、この関数は増加も減少もしない、つまり単調です。ただし、実際には、ほとんどの場合、伝統的な「丘」と「くぼみ」（図を参照）を、独自の「丘の王」または「沼の王女」と考えているため、これらの考慮事項は理論家に任せます。品種としては、それが発生します ヒント、上または下に向けられた、たとえば、その点における関数の最小値。

ああ、王族といえば、
– 意味はこう呼ばれます最大機能;
– 意味はこう呼ばれます最小機能。

一般名 - 極端な機能。

言葉には気をつけてくださいね！

極値ポイント– これらは「X」値です。
エクストリーム– 「ゲーム」の意味。

！注記 : リストされた用語は、関数自体のグラフ上に直接存在する「X-Y」点を指す場合があります。

関数は極値をいくつ持つことができますか?

なし、1、2、3、...など無限に。たとえば、正弦波には無限に多くの最小値と最大値があります。

重要！「機能の最大化」という言葉 同一ではない「関数の最大値」という用語。値が最大になるのは地元の近所だけであり、左上には「よりクールな仲間」が存在することに気づきやすいです。同様に、「関数の最小値」は「関数の最小値」と同じではなく、図では値が最小値になるだけであることがわかります。ある地域。この点に関して、極値点はとも呼ばれます。 極値点、そして極値 – 局所的な極端な。彼らは近くを歩き回ったり、 グローバル兄弟たち。したがって、放物線はその頂点に グローバルミニマムまたは グローバル最大値。さらに、私は両極端のタイプを区別しません。説明は一般的な教育目的で行われます。「ローカル」/「グローバル」という形容詞が追加されても驚かないはずです。

テストショットを使って理論への短い行程を要約しましょう。「関数の単調区間と極値点を見つける」というタスクは何を意味するのでしょうか?

この文言は、次のことを見つけることを奨励します。

– 増加/減少関数の間隔 (非減少、非増加が現れる頻度はかなり低くなります)。

– 最大点および/または最小点 (存在する場合)。まあ、失敗を避けるためには、最小値/最大値自体を見つける方が良いでしょう ;-)

これらすべてをどのように判断するのでしょうか?微分関数を使ってみよう！

増加、減少の間隔を見つける方法
極値点と関数の極値?

実際、多くのルールはすでに知られており、理解されています。 導関数の意味についてのレッスン.

正接導関数全体的に機能が向上しているという明るいニュースをもたらします 定義領域.

コタンジェントとその導関数を使用状況はまったく逆です。

逆正弦は区間にわたって増加します。ここでの導関数は正です。 .
関数が定義されているが、微分可能ではない場合。ただし、臨界点右手導関数と右手接線があり、もう一方の端にはそれらの左手の対応物があります。

逆余弦とその導関数についても同様の推論を実行するのはそれほど難しくないと思います。

上記のすべてのケース、その多くは 表形式導関数、念のため、から直接フォローしてください。 導関数の定義.

なぜ導関数を使用して関数を探索するのでしょうか?

この関数のグラフがどのようなものかをよりよく理解するには: どこが「ボトムアップ」、どこが「トップダウン」、どこで最小値と最大値に達するか (到達した場合)。すべての関数がそれほど単純であるわけではありません。ほとんどの場合、特定の関数のグラフについてはまったくわかりません。

より有意義な例に移り、検討する時期が来ました。 単調性の区間と関数の極値を見つけるアルゴリズム:

例1

関数の増加/減少の間隔と極値を見つける

解決:

1) 最初のステップは次のことを見つけることです 関数のドメインまた、ブレークポイント (存在する場合) もメモします。この場合、関数は数直線全体で連続であり、この動作はある程度形式的です。しかし、多くの場合、ここで深刻な情熱が燃え上がるので、軽蔑せずにこの段落を扱いましょう。

2) アルゴリズムの 2 番目のポイントは、

極値の必要条件:

ある点に極値がある場合は、その値が存在しないかのどちらかです。.

結末に混乱していませんか？「モジュラス x」関数の極値 .

条件は必要ですが、 足りない、その逆は必ずしも真ではありません。したがって、等式から、関数が点で最大値または最小値に達するということはまだ得られていません。古典的な例はすでに上で強調されています - これは立方放物線とその臨界点です。

しかし、それはともかく、必要な条件極値により、疑わしい点を見つける必要性が決まります。これを行うには、導関数を見つけて方程式を解きます。

最初の記事の冒頭に 関数グラフについて例を使用して放物線をすばやく作成する方法を説明しました : 「...一次導関数を取得し、それをゼロに等しくします: ...したがって、方程式の解: - 放物線の頂点が位置するのはこの点です...」。さて、放物線の頂点が正確にこの点にある理由は誰もが理解していると思います =) 一般に、ここでは同様の例から始める必要がありますが、これは (ティーポットであっても) 単純すぎます。さらに、レッスンの最後には、次のような類似の説明があります。 関数の導関数。したがって、次数を増やしてみましょう。

例 2

単調性の区間と関数の極値を見つける

これは自分で解決できる例です。完全なソリューションレッスンの最後には、タスクのおおよその最終サンプルが表示されます。

待望の分数有理関数と出会う瞬間がやって来ました。

例 3

一次導関数を使用して関数を探索する

まったく同じタスクがどれほど多様に再定式化されるかに注目してください。

解決:

1) 関数には点で無限の不連続性があります。

2) 重要なポイントを検出します。一次導関数を見つけて、それをゼロに等しいとみなしてみましょう。

方程式を解いてみましょう。分数は分子がゼロになるとゼロに等しくなります。ゼロに等しい:

したがって、次の 3 つの重要な点が得られます。

3) 検出されたすべての点を数直線上にプロットします。 インターバル法微分関数の符号を定義します。

区間内のある点を取得し、その点での導関数の値を計算する必要があることを思い出してください。そしてその符号を決定します。数えるのではなく、口頭で「見積もる」ほうが有益です。たとえば、区間に属する点を取り上げて置換を実行してみましょう。 .

したがって、2 つの「プラス」と 1 つの「マイナス」により「マイナス」が得られます。これは、微分値が区間全体にわたって負であることを意味します。

ご存知のとおり、このアクションは 6 つの間隔ごとに実行する必要があります。ちなみに、分子因数と分母はどの区間のどの点でも厳密に正であることに注意してください。これにより、タスクが大幅に簡素化されます。

したがって、導関数は、関数自体が次のように増加することを示しています。で減少します。同じ種類の区間は結合アイコンで繋ぐと便利です。

関数が最大値に達した時点で、次のようになります。
関数が最小値に達した時点で、次のようになります。

2 番目の値を再計算する必要がない理由を考えてください ;-)

点を通過するとき、導関数は符号を変えないので、関数には極値がありません。減少したり、減少したままになったりします。

！繰り返しましょう大事なポイント : ポイントは重要とは見なされません - ポイントには関数が含まれています 決まっていない。したがって、ここでは 原則として極端なことはあり得ない(導関数の符号が変わったとしても)。

答え: 機能が増加します関数の最大値に達した時点で、次のように減少します。、そしてその時点での最小値は次のとおりです。

確立された単調性区間と極値に関する知識 漸近線すでに非常に良いアイデアを与えています外観機能グラフィック。平均的な訓練を受けた人は、関数のグラフに 2 つの垂直漸近線と 1 つの斜め漸近線があることを口頭で判断できます。私たちのヒーローは次のとおりです。

もう一度、調査結果をこの関数のグラフと関連付けてみてください。
臨界点には極値はありませんが、極値は存在します。 変曲点（これは、原則として、同様のケースで発生します）。