円周角、問題の理論。 友達！ この記事では、内接角の特性を知る必要があるタスクについて説明します。 これは一連のタスク全体であり、統一州試験に含まれています。 それらのほとんどは、1 回のアクションで非常に簡単に解決できます。
もっと難しい課題もありますが、それも 大変な困難は表示されないため、内接角の特性を知る必要があります。 タスクのすべてのプロトタイプを徐々に分析していきます。ブログに招待します。
今 必要な理論。 これらの角度が置かれる中心角と内接角、弦、円弧が何であるかを思い出してみましょう。
円の中心角は、次のような平面角です。その中心にある頂点.
平面角の内側にある円の部分円弧といいます。
円弧の度数を度数といいます。対応する中心角。
角の頂点が存在する場合、角は円に内接すると言われます。円上にあり、角の辺がこの円と交差します。
円上の 2 点を結ぶ線分を といいます。コード。 最大の弦は円の中心を通過し、次のように呼ばれます。直径。
円に内接する角に関する問題を解くには、次の特性を知っておく必要があります。
1. 内接角は、同じ円弧に基づく中心角の半分に等しくなります。
2. 同じ円弧の範囲内にあるすべての内接角は等しい。
3. 同じ弦に基づいており、その頂点がこの弦の同じ側にあるすべての内接角は等しい。
4. 同じ弦に基づいた角度のペア。その頂点が沿って並んでいます。 異なる側面弦の合計は 180° になります。
必然的に、円に内接する四角形の対角の合計は 180 度になります。
5. 直径によって定められるすべての内接角は直角です。
一般に、この特性は特性 (1) の結果です。これは特殊な場合です。 見て - 中心角は 180 度に等しい (そして、この展開角は直径にすぎません)。これは、最初の特性によれば、内接角 C はその半分、つまり 90 度に等しいことを意味します。
知識 この物件の多くの問題を解決するのに役立ち、多くの場合、不必要な計算を避けることができます。 これをしっかりマスターすれば、この種の問題の半分以上を口頭で解くことができるようになります。 導き出される結論は 2 つあります。
系 1: 三角形が円に内接し、その辺の 1 つがこの円の直径と一致する場合、その三角形は直角です (頂点) 直角円の上にあります）。
系 2: 直角三角形に外接する円の中心は、その斜辺の中心と一致します。
立体測定問題の多くのプロトタイプも、この特性とその結果を使用して解決されます。 事実自体を思い出してください。円の直径が内接三角形の一辺である場合、この三角形は直角です (直径の反対側の角度は 90 度です)。 その他の結論や結果はすべて自分で導き出すことができ、教える必要はありません。
原則として、円周角に関する問題の半分は記号なしでスケッチ付きで出題されます。 問題を解決するときの推論プロセスを理解するために (記事の以下)、頂点 (角度) の表記法が導入されています。 統一国家試験ではこれを行う必要はありません。タスクを考えてみましょう。
円の半径に等しい弦によって定められる鋭角の内接角の値はいくらですか? 度数で答えてください。
与えられた内接角の中心角を作成し、頂点を指定しましょう。
円に内接する角度の性質によれば、次のようになります。
三角形 AOB は正三角形であり、正三角形ではすべての角度が 60 0 に等しいため、角度 AOB は 60 0 に等しくなります。 条件では弦が半径に等しいことが示されているため、三角形の辺は等しいです。
したがって、内接角 ACB は 30 0 に等しくなります。
答え: 30
半径 3 の円に内接する 30 0 の角度でサポートされる弦を見つけます。
これは本質的に、（前の問題の）逆問題です。 中心角を作図しましょう。
これは内接角の 2 倍です。つまり、角度 AOB は 60 0 に等しくなります。 このことから、三角形 AOB は正三角形であると結論付けることができます。 したがって、弦は半径、つまり 3 に等しくなります。
答え: 3
円の半径は 1 です。2 の根に等しい弦によって定められる鈍角の内接角の大きさを求めます。 度単位で答えてください。
中心角を作成しましょう。
半径と弦がわかれば、中心角 ASV を見つけることができます。 これはコサイン定理を使用して行うことができます。 中心角がわかれば、内接角 ACB を簡単に求めることができます。
コサイン定理: 三角形のいずれかの辺を正方形にします 合計に等しい他の 2 つの辺の 2 乗。ただし、これらの辺の積をそれらの間の角度の余弦で 2 倍にすることはありません。
したがって、2 番目の中心角は 360 0 です。 – 90 0 = 270 0 .
角度 ACB は、内接角の性質により、その半分、つまり 135 度に等しくなります。
答え: 135
半径 3 の平方根の円に内接する 120 度の角度で囲まれる弦を見つけます。
点Aと点Bを円の中心に結びましょう。 それを O と表します。
半径と内接角 ASV はわかっています。 中心角 AOB (180 度より大きい) を見つけてから、三角形 AOB 内の角度 AOB を見つけます。 次に、コサイン定理を使用して AB を計算します。
内接角の性質により、中心角 AOB (180 度より大きい) は内接角の 2 倍、つまり 240 度に等しくなります。 これは、三角形 AOB の角度 AOB が 360 0 – 240 0 = 120 0 に等しいことを意味します。
コサイン定理によれば、次のようになります。
答え:3
円の 20% の円弧によって囲まれる内接角を求めます。 度単位で答えてください。
内接角の性質によれば、それは同じ円弧に基づく中心角の半分の大きさになります。この場合、円弧 AB について話しています。
弧ABは円周の20パーセントと言われています。 これは、中心角 AOB も 360 0 の 20 パーセントであることを意味します。※円は360度の角度です。 手段、
したがって、内接角ＡＣＢは３６度である。
答え: 36
円弧 交流。、ポイントは含まれていません B、200度です。 そして、点を含まない円BCの弧 あ、80度です。 内接角 ACB を求めます。 度単位で答えてください。
明確にするために、角度の測定値が与えられている円弧を示します。 200度に相当する円弧 – 青色、80 度に対応する円弧は赤、円の残りの部分は 黄色.
したがって、円弧 AB (黄色) の度数、したがって中心角 AOB は次のようになります: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
内接角 ACB は中心角 AOB の半分の大きさ、つまり 40 度に等しい。
答え: 40
円の直径によって決まる内接角はいくらですか? 度単位で答えてください。
これは2つがなす角です 和音、円上の一点から始まります。 円周角は次のように言われます。 休みます側面の間に囲まれた円弧上にあります。
内接角それが載っている円弧の半分に等しい。
言い換えると、 内接角多くの角度、分、秒が含まれます 弧度、分と秒は、それが載っている円弧の半分に含まれます。 これを正当化するために、3 つのケースを分析してみましょう。
最初のケース:
中心Oは側面にあります 内接角 ABC。 半径 AO を描くと ΔABO が得られ、その中で OA = OB (半径として)、したがって ∠ABO = ∠BAO となります。 これに関連して 三角形、角度 AOC - 外部。 これは、角度 ABO と角度 BAO の合計、または 2 倍の角度 ABO に等しいことを意味します。 したがって、∠ABOは半分に等しい 中心角 AOC。 ただし、この角度は円弧 AC によって測定されます。 つまり、内接角 ABC は円弧 AC の半分で測定されます。
2番目のケース:
中心Oは側面の間にあります 内接角 ABC 直径 BD を描いたら、角度 ABC を 2 つの角度に分割します。最初のケースによれば、そのうちの 1 つは半分になります。 円弧 AD、およびアーク CD の残りの半分。 したがって、角度 ABC は (AD+DC) /2 で測定されます。つまり、 1/2AC。
3 番目のケース:
センターOは屋外にあります 内接角 ABC。 直径 BD を描くと、∠ABC = ∠ABD - ∠CBD となります。 . ただし、角度 ABD と CBD は、以前に正当化された半分に基づいて測定されます。 アーク広告とCD。 そして、∠ABC は (AD-CD)/2、つまりアーク AC の半分で測定されます。
帰結 1.同じ円弧に基づくものはどれも同じ、つまり互いに等しい。 それぞれ同じ半分で測るので、 円弧 .
帰結 2. 内接角、直径に基づいて - 直角。 このような角度はそれぞれ半円で測定されるため、90°が含まれます。
中心角- は 2 つの半径によって形成される角度です 丸。 中心角の例としては、角度 AOB、BOC、COE などがあります。
について 中央隅そして アーク当事者間で締結されたと言われています 対応するお互い。
1. もし 中心角 円弧は同じ。
2. もし 中心角等しくない場合、それらの大きい方が大きい方に対応します。 アーク.
AOB と COD を 2 とする 中心角、等しいか不平等か。 半径 OA が OC と一致するように、扇形 AOB を中心を中心に矢印の方向に回転させます。すると、中心角が等しい場合、半径 OA は OD と一致し、円弧 AB は円弧 CD と一致します。 。
これは、これらの円弧が等しいことを意味します。
もし 中心角が等しくない場合、半径 OB は OD に沿ってではなく、他の方向、たとえば OE または OF に沿って進みます。 どちらの場合も、より大きな角度はより大きな円弧に対応することは明らかです。
1 つの円について証明した定理は引き続き当てはまります 等円なぜなら、そのような円は位置以外は互いに何も変わらないからです。
リバースオファーそれも真実だろう . 1 つの円または均等な円で:
1. もし 円弧が等しい場合、それらに対応する 中心角は同じ。
2. もし 円弧等しくない場合、それらの大きい方が大きい方に対応します。 中心角.
1 つの円または等しい円では、中心角は対応する円弧として関連付けられます。 言い換えると、中心角がわかります 比例それに対応する円弧。
説明書
希望の中心角 (θ) に対応する円の半径 (R) と円弧の長さ (L) がわかっている場合は、度とラジアンの両方で計算できます。 合計は式 2*π*R で求められ、度の代わりにラジアンが使用されている場合は、中心角 360°、または 2 つの円周率に相当します。 したがって、比率 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ から計算します。 そこから中心角をラジアンで表します θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R または度 θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) を計算し、結果の式を使用して計算します。
中心角 (θ) を決定する点を結ぶ弦の長さ (m) に基づいて、円の半径 (R) が既知であれば、その値も計算できます。 これを行うには、2 つの半径 と によって形成される三角形を考えます。 これは二等辺三角形であり、誰もが知っていますが、底辺の反対側の角度を見つける必要があります。 半分の正弦 比率に等しいベースの長さ (弦) を側面の長さ (半径) の 2 倍にします。 したがって、計算には逆正弦関数 (arcsine: θ = 2*arcsin(1/2*m/R)) を使用します。
中心角は、回転の分数で指定することも、回転角度から指定することもできます。 たとえば、1 回転の 4 分の 1 に相当する中心角を見つける必要がある場合は、360° を 4 で割ります: θ = 360°/4 = 90°。 同じ値をラジアンで表すと、2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57 となります。 展開角度は 1 回転の半分に等しいため、たとえば、その 4 分の 1 に対応する中心角は、度とラジアンの両方で上記で計算した値の半分になります。
サインの逆関数を三角関数といいます 逆正弦。 正と負の両方の数値Piの半分以内の値を取ることができます。 マイナス側ラジアンで測定した場合。 度で測定すると、これらの値はそれぞれ -90° から +90° の範囲になります。
説明書
一部の「ラウンド」値は計算する必要がなく、覚えやすいです。 例:- 関数の引数の場合 ゼロに等しい、その場合、その逆正弦の値もゼロになります。 - 1/2 は、測定した場合、30° または 1/6 Pi に等しくなります。 - -1/2 の逆正弦は、-30° または -1/ に等しくなります。数値 Pi の 6 - 1 からの逆正弦は 90° またはラジアンでの Pi の 1/2 に等しい; - 1 の逆正弦は -90° またはラジアンでの Pi の -1/2 に等しい。
他の引数からこの関数の値を測定するには、標準の Windows 電卓があれば、それを使用するのが最も簡単な方法です。 まず、「スタート」ボタン (または WIN キーを押して) でメインメニューを開き、「すべてのプログラム」セクションに移動し、次に「アクセサリ」サブセクションに移動して「電卓」をクリックします。
電卓インターフェイスを、計算が可能な動作モードに切り替えます。 三角関数。 これを行うには、メニューの「表示」セクションを開き、(科学の種類に応じて)「エンジニアリング」または「科学」を選択します。 オペレーティング·システム).
逆正接を計算する引数の値を入力します。 これを行うには、マウスで電卓インターフェイスのボタンをクリックするか、 のキーを押すか、値をコピー (CTRL + C) して電卓の入力フィールドに貼り付けます (CTRL + V)。
関数計算の結果を取得する必要がある測定単位を選択します。 入力フィールドの下には 3 つのオプションがあり、(マウスでクリックして) 、ラジアン、ラジアンのいずれかを選択する必要があります。
電卓インターフェイスのボタンに表示される機能を反転するチェックボックスをオンにします。 その隣にはInvという短い碑文があります。
「罪」ボタンをクリックします。 電卓は、それに関連付けられた関数を反転して計算を実行し、指定された単位で結果を表示します。
トピックに関するビデオ
一般的な幾何学的な問題の 1 つは、円セグメントの面積を計算することです。これは、弦で囲まれた円の部分と、円弧で対応する弦で囲まれた円の部分です。
円形セグメントの面積は、対応する円形扇形の面積と、セグメントに対応する扇形の半径とセグメントを制限する弦によって形成される三角形の面積との差に等しくなります。
例1
円の範囲を定める弦の長さは値 a に等しくなります。 弦に対応する円弧の度数は 60°です。 円セグメントの面積を求めます。
解決
2 つの半径と弦によって形成される三角形は二等辺であるため、中心角の頂点から弦によって形成される三角形の辺まで引いた高度も中心角の二等分線となり、それを半分に分割します。中央値、弦を半分に分割します。 角度の正弦が斜辺に対する反対側の脚の比率に等しいことがわかっているので、半径を計算できます。
sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah、hは中心角の頂点から弦までの高さです。 ピタゴラスの定理によれば、h=√(R²-a²/4)= √3*a/2 となります。
したがって、S▲=√3/4*a²となります。
Sreg = Sc - S▲として計算されるセグメントの面積は、次と等しくなります。
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
置き換える 数値 aの値の代わりに、セグメント面積の数値を簡単に計算できます。
例 2
円の半径は a に等しい。 セグメントに対応する円弧の度数は 60°です。 円セグメントの面積を求めます。
解決：
特定の角度に対応するセクターの面積は、次の式を使用して計算できます。
Sc = πa²/360°*60° = πa²/6、
セクターに対応する三角形の面積は次のように計算されます。
S▲=1/2*ah、hは中心角の頂点から弦までの高さです。 ピタゴラスの定理によれば、h=√(a²-a²/4)= √3*a/2 となります。
したがって、S▲=√3/4*a²となります。
そして最後に、Sreg = Sc - S▲として計算されるセグメントの面積は次と等しくなります。
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²。
どちらの場合の解決策もほぼ同じです。 したがって、最も単純なケースでセグメントの面積を計算するには、セグメントの円弧に対応する角度の値と、円の半径または円の半径のいずれかの2つのパラメータのいずれかを知るだけで十分であると結論付けることができます。セグメントを形成する円の円弧の範囲を定める弦の長さ。
出典:
- セグメント - ジオメトリ
今日は別のタイプの問題 6 を見ていきます - 今回は円を使用します。 多くの学生はそれらが好きではなく、難しいと感じています。 そして、そのような問題は解決されるので、完全に無駄です 小学校いくつかの定理を知っていれば。 あるいは、あなたが彼らを知らなければ、彼らはまったく勇気がありません。
主なプロパティについて話す前に、次の定義を思い出してください。
内接角とは、その頂点が円自体上にあり、その側面がこの円上の弦を切り取る角のことです。
中心角は、円の中心に頂点を持つ任意の角度です。 その辺もこの円と交差し、その上に和音を刻みます。
したがって、内接角と中心角の概念は、円とその内部の弦と密接に関係しています。 そして主な声明は次のとおりです。
定理。 中心角は、同じ円弧に基づいて、常に内接角の 2 倍になります。
このステートメントの単純さにもかかわらず、それを使用して解決できる問題 6 のクラス全体が存在します。それ以外は何もありません。
タスク。 円の半径に等しい弦によって定められる鋭角の内接角を見つけます。
AB を検討中のコード、O を円の中心とします。 追加の構造: OA と OB は円の半径です。 我々が得る：
三角形ABOを考えてみましょう。 その中で、AB = OA = OB - すべての辺は円の半径に等しい。 したがって、三角形ABOは正三角形であり、その中のすべての角度は60°です。
M を内接角の頂点とする。 角度 O と M は同じ円弧 AB 上にあるため、内接角度 M は中心角 O の 2 倍小さくなります。 我々は持っています：
M = O: 2 = 60: 2 = 30
タスク。 中心角は、同じ円弧が定める内接角より 36°大きいです。 内接角を求めます。
次の表記法を導入しましょう。
- AB は円の弦です。
- 点 O は円の中心なので、角度 AOB が中心角になります。
- 点 C は内接角 ACB の頂点です。
内接角 ACB を探しているので、それを ACB = x と表します。 このとき、中心角 AOB は x + 36 となります。一方、中心角は内接角の 2 倍になります。 我々は持っています：
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36。
そこで、内接角 AOB を見つけました。これは 36° に等しいです。
円は360°の角度です
サブタイトルを読んだ知識のある読者は、おそらく今「うわー！」と言うでしょう。 実際、円と角度を比較することは完全に正しいわけではありません。 私たちが何を言っているのかを理解するには、古典的な三角円を見てください。
この写真は何のためにあるのでしょうか？ しかも、一回転とは 360 度の角度です。 それをたとえば 20 で割ると 等しい部分の場合、それぞれのサイズは 360: 20 = 18 度になります。 これはまさに問題 B8 を解決するために必要なものです。
点 A、B、C は円上にあり、円を 3 つの円弧に分割します。その度数の尺度は 1:3:5 の比率になります。三角形 ABC の大きい方の角度を求めます。
まず、各円弧の度数を求めてみましょう。 小さい方をxとします。 図では、この円弧はABで示されています。 次に、残りの円弧 BC と AC は AB で表すことができます。 円弧 BC = 3x; AC = 5x。 これらの円弧は合計 360 度になります。
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40。
次に、点 B を含まない大きな円弧 AC を考えます。 この円弧は、対応する中心角 AOC と同様、5x = 5 40 = 200 度です。
角度 ABC は、三角形のすべての角度の中で最大です。 これは、中心角 AOC と同じ円弧によって定められる内接角です。 これは、角度 ABC が AOC の 2 倍小さいことを意味します。 我々は持っています：
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
これは、三角形 ABC の大きい方の角度の度数になります。
直角三角形に外接する円
多くの人はこの定理を忘れています。 しかし、一部の B8 問題はそれなしではまったく解決できないため、無駄です。 より正確に言えば、それらは解決されますが、答えにたどり着くよりも眠ってしまうほどの計算量になります。
定理。 直角三角形に外接する円の中心は斜辺の中点にあります。
この定理から何が導かれるでしょうか?
- 斜辺の中点は、三角形のすべての頂点から等距離にあります。 これは定理の直接的な結果です。
- 斜辺に引かれた中央線は、元の三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。 これはまさに問題 B8 を解決するために必要なものです。
三角形 ABC で中央値 CD を描きます。 角度 C は 90°、角度 B は 60°です。 角度 ACD を求めます。
角度Cは90°なので、三角形ABCは直角三角形です。 CD は斜辺に引かれた中央値であることがわかります。 これは、三角形 ADC と BDC が二等辺であることを意味します。
特に、三角 ADC について考えてみましょう。 この場合、AD = CD となります。 しかし、二等辺三角形では、底辺の角度は等しい - 「問題 B8: 三角形の線分と角度」を参照してください。 したがって、必要な角度 ACD = A となります。
したがって、角度 A が何に等しいかを調べる必要があります。 そのためには、元の状態に戻りましょう 三角形ABC。 角度 A = x を示しましょう。 任意の三角形の角度の合計は 180° であるため、次のようになります。
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30。
もちろん、最後の問題は別の方法で解決できます。 たとえば、三角形 BCD が単なる二等辺ではなく正三角形であることを証明するのは簡単です。 したがって、角度BCDは60度です。 したがって、角度 ACD は 90 − 60 = 30 度です。 ご覧のとおり、さまざまな二等辺三角形を使用できますが、答えは常に同じになります。
