考えてみましょう 依存イベント、互換性のないいずれかの実装の結果としてのみ発生します。 仮説
、その形 フルグループ。 それらの確率と対応する条件付き確率を既知とします。 この場合、イベントが発生する確率は次のようになります。
この式はと呼ばれます 合計確率の公式。 教科書では、それは定理として定式化されており、その証明は初歩的です。 事象の代数, (イベントが発生しました そして またはイベントが発生しました そしてイベントが来てから またはイベントが発生しました そしてイベントが来てから または …. またはイベントが発生しました そしてイベントが来た後）。 仮説以来 互換性がなく、イベントが依存している場合、 両立しない事象の確率の加算定理 （最初の一歩）そして 依存事象の確率の乗算定理 （第二段階）:
問題 1
同じ骨壷が３つあります。 最初の壺には 4 つの白ボールと 7 つの黒ボールが入っており、2 番目の壺には白いボールだけが含まれ、3 番目の壺には黒いボールだけが入っています。 1 つの骨壷がランダムに選択され、そこからボールがランダムに引き出されます。 このボールが黒い確率はどれくらいですか?
解決: イベントを検討してください - ランダムに選ばれた壺から黒いボールが引き出されます。 このイベントは、次のいずれかの仮説の結果として発生する可能性があります。
– 1 番目の骨壷が選択されます。
– 2 番目の骨壷が選択されます。
– 3 番目の骨壷が選択されます。
骨壷はランダムで選択されるため、3 つの骨壷のいずれかを選択してください 同様に可能したがって、次のようになります。 
上記の仮説が形成されることに注意してください イベントの完全なグループつまり、条件に応じて、黒いボールはこれらの壺からのみ現れることができ、たとえば、ビリヤード台からは現れません。 簡単な中間チェックを行ってみましょう。 
, さて、次に進みましょう。
最初の壺には、白 4 個 + 黒 7 個 = 11 個のボールが入っています。 古典的な定義:
– 黒玉を引く確率 とすれば、1 番目の骨壷が選択されることを示します。
2番目の壺には白玉しか入っていないので、 選ばれたら黒い球の出現は 不可能: .
そして最後に、3 番目の壺には黒いボールだけが入っています。これは、対応するボールが含まれていることを意味します。 条件付き確率黒いボールを抽出すると、 （その出来事は信頼できる）.
合計確率の式によると、次のようになります。
– ランダムに選択された壺から黒いボールが取り出される確率。
答え:
問題 2
射撃場には精度の異なる 5 丁のライフルがあります。 ターゲットに命中する確率 与えられた射手それぞれ等しい 
そして0.4。 射手がランダムに選択したライフルから一発発砲した場合、標的に命中する確率はいくらですか?
問題 3
ピラミッドには 5 つのライフルがあり、そのうち 3 つは光学照準器を備えています。 射手が望遠照準器でライフルを発砲したときに標的に命中する確率は 0.95 です。 光学照準器のないライフルの場合、この確率は 0.7 です。 射手がランダムに取り出したライフルから一発発砲した場合に標的に命中する確率を求めます。
解決: この問題では、ライフルの数は前の問題とまったく同じですが、仮説は 2 つだけです。
– 射手は光学照準器を備えたライフルを選択します。
– 射手は照準器のないライフルを選択します。
による 確率の古典的な定義: 
.
コントロール：
問題4
エンジンは、通常、強制、アイドリングの 3 つのモードで動作します。 モード中 アイドルムーブ故障の確率は 0.05、通常動作時は 0.1、強制動作時は 0.7 です。 エンジンは 70% の確率で通常モードで動作し、20% は強制モードで動作します。 運転中にエンジンが故障する確率はどのくらいですか?
合計確率の公式を使用すると、イベントの確率を見つけることができます。 あ、これはそれぞれの場合にのみ発生します。 n確率が既知の場合、完全なシステムを形成する相互に排他的なイベント、および 条件付き確率 イベント あ各システム イベントに対する相対的な値は等しい。
イベントは仮説とも呼ばれます。これらは相互に排他的です。 したがって、文献では、文字によるものではないそれらの指定も見つけることができます。 B、そして手紙 H（仮説）。
このような条件の問題を解決するには、3、4、5、または一般的な場合を考慮する必要があります。 n事件が起こる可能性 あ-あらゆるイベントで。
確率の加算と乗算の定理を使用して、システムの各イベントの確率の積の合計を次のように取得します。 条件付き確率 イベント あ各システムイベントについて。 つまり、出来事が起こる確率 あ次の式を使用して計算できます
または一般的に
,
と呼ばれるもの 合計確率の式 .
総確率公式: 問題解決の例
例1.同じように見える壺が 3 つあります。最初のものには 2 つの白ボールと 3 つの黒ボールがあり、2 つ目には 4 つの白ボールと 1 つの黒ボールがあり、3 つ目には 3 つの白いボールがあります。 誰かがランダムに壺の 1 つに近づき、そこからボールを 1 つ取り出します。 活用する 合計確率の式, このボールが白になる確率を求めます。
解決。 イベント あ- 白いボールの出現。 私たちは次の 3 つの仮説を立てました。
最初の骨壷が選択されています。
2 番目の骨壷が選択されています。
3 番目の骨壷が選択されています。
イベントの条件付き確率 あそれぞれの仮説に関して、
,
,
.
合計確率の公式を適用すると、必要な確率が得られます。
.
例2。最初の工場では、100 個の電球ごとに平均 90 個の標準電球が生産され、2 番目の工場では 95 個、3 番目の工場では 85 個の標準電球が生産され、これらの工場の製品がそれぞれ 50%、30%、および特定の地域の店舗に供給される電球全体の 20%。 標準的な電球を購入する確率を求めます。
解決。 標準電球を購入する確率を次のように表しましょう。 あ、購入した電球がそれぞれ第1工場、第2工場、第3工場で製造されたという出来事が まで続いた。 条件によって、これらのイベントの確率がわかります: 、 、およびイベントの条件付き確率 あそれぞれについて： 
,
,
。 これらは、それぞれ第 1 工場、第 2 工場、および第 3 工場で製造された標準電球を購入する確率です。
イベント あイベントが発生すると発生します K- 電球は第一工場で製造され、標準またはイベント用です。 L- 電球は第 2 工場で製造され、標準またはイベント用です。 M- 電球は第 3 工場で製造された標準品です。 イベントが発生するその他の可能性 あいいえ。 したがって、イベントは、 あイベントの合計です K, Lそして M、互換性がありません。 確率加算定理を使って、事象の確率を想像します。 あとして
そして確率乗算定理により次のようになります。
あれは、 合計確率式の特殊な場合.
確率の値を式の左側に代入すると、イベントの確率が得られます。 あ :
例 3.飛行機は飛行場に着陸中です。 天候が許せば、パイロットは計器に加えて目視も使用して飛行機を着陸させます。 この場合、安全に着陸する確率は に等しい。 飛行場が低い雲で覆われている場合、パイロットは計器のみの誘導で飛行機を着陸させます。 この場合、安全に着陸する確率は次のようになります。 。 ブラインドランディングを提供する装置は信頼性があります (故障のない動作の可能性) P。 低い雲があり、ブラインド着陸装置が故障している場合、着陸が成功する確率は次のとおりです。 。 統計によると、 k飛行場に着陸する割合は低い雲で覆われています。 探す 事象の合計確率 あ- 飛行機の安全な着陸。
解決。 仮説:
低い雲はありません。
低い雲があります。
これらの仮説 (イベント) の確率:
;
条件付き確率。
仮説を使用した合計確率の公式を使用して、条件付き確率を再度求めます。
ブラインド着陸装置は作動しています。
盲目的着陸計器は故障した。
これらの仮説の確率:
合計確率式によると
例4.デバイスは、通常モードと異常モードの 2 つのモードで動作できます。 通常モードはデバイスの全動作ケースの 80% で観察され、異常モードはケースの 20% で観察されます。 一定時間内にデバイスが故障する確率 t 0.1に等しい。 異常0.7で。 探す 完全な確率時間の経過とともにデバイスが故障する t.
解決。 デバイスの故障の確率を再度次のように表します。 あ。 したがって、各モード (イベント) でのデバイスの動作に関しては、条件に応じて確率がわかります。通常モードの場合は 80% ()、異常モードの場合は 20% () です。 事象の確率 あ最初のイベント (通常モード) に応じて (つまり、デバイスの障害) は 0.1 () に等しくなります。 2 番目のイベント (異常モード) に応じて - 0.7 ( 
）。 これらの値を合計確率の式（つまり、システムの各イベントの確率とイベントの条件付き確率の積の合計）に代入します。 あシステムの各イベントに関して)、必要な結果が私たちの前にあります。
両方の主定理、つまり確率の加算の定理と確率の乗算の定理の結果は、いわゆる総確率の公式となります。
イベントの 1 つと一緒に発生する可能性のあるイベントの確率を決定する必要があるとします。
互換性のないイベントの完全なグループを形成します。 これらの出来事を仮説と呼びます。
この場合、それを証明しましょう
, (3.4.1)
それらの。 イベントの確率は、各仮説の確率とこの仮説に基づくイベントの確率の積の合計として計算されます。
式(3.4.1)を総確率式と呼びます。
証拠。 仮説は完全なグループを形成するため、イベントは次の仮説のいずれかと組み合わせた場合にのみ発生します。
仮説が矛盾しているので、その組み合わせは 
また互換性がありません。 加法定理をそれらに適用すると、次のようになります。
乗算定理をイベントに適用すると、次が得られます。
,
Q.E.D.
例 1. 同じように見える骨壷が 3 つあります。 最初の壺には白のボールが 2 つと黒のボールが 1 つ入っています。 2番目 - 3人の白と1人の黒人。 3 番目には、白のボールが 2 つ、黒のボールが 2 つあります。 誰かが壺の 1 つをランダムに選び、そこからボールを取り出します。 このボールが白である確率を求めてください。
解決。 3 つの仮説を考えてみましょう。
最初の投票箱を選ぶ
2 番目の骨壷を選択する
3 番目の骨壷を選択する
そして出来事は白球の出現です。
問題の条件に応じて仮説は同様に可能であるため、次のようになります。
.
これらの仮説に基づくイベントの条件付き確率はそれぞれ等しいです。
合計確率式によると
.
例 2. 3 つの単発弾が飛行機に向けて発射されます。 1 打目のヒット確率は 0.4、2 打目は 0.5、3 打目は 0.7 です。 航空機を無力化するには、明らかに 3 回の攻撃で十分です。 1 回の命中では航空機は 0.2 の確率で失敗し、2 回の命中では 0.6 の確率で航空機が失敗します。 3 発の射撃の結果、飛行機が戦闘不能になる確率を求めます。
解決。 4 つの仮説を考えてみましょう。
飛行機には一発の砲弾も命中しなかったが、
一発の砲弾が飛行機に命中し、
飛行機は2発の砲弾を受け、
飛行機は3発の砲弾を受けた。
加算と乗算の定理を使用して、これらの仮説の確率を求めます。
これらの仮説に基づくイベント (航空機の故障) の条件付き確率は次のようになります。
合計確率の公式を適用すると、次のようになります。
合計確率式の対応する項が消滅するため、最初の仮説は考慮に入れることができないことに注意してください。 これは、互換性のない仮説の完全なグループではなく、互換性のない仮説のグループのみを考慮して、合計確率の式を適用するときに通常行われることです。 このイベント多分。
例 3. エンジンの動作は 2 つのレギュレーターによって制御されます。 エンジンを問題なく動作させることが望ましい一定の期間が考慮されます。 両方のレギュレータが存在する場合、最初のレギュレータのみが動作する場合は確率で、2 番目のレギュレータのみが動作する場合は確率で、両方のレギュレータが故障するとエンジンは確率で故障します。 最初のレギュレータには信頼性があり、2番目には信頼性があります。 すべての要素は互いに独立して失敗します。 エンジンの完全な信頼性 (故障のない動作の確率) を求めます。
例 1. 最初の壺の中: 赤のボールが 3 つ、白のボールが 1 つ。 2 番目の壺には、赤のボールが 1 つ、白のボールが 3 つあります。 コインはランダムに投げられます。紋章の場合は最初の壺から選ばれ、そうでない場合は 2 番目の壺から選ばれます。
解決：
a) 赤いボールが引かれる確率
A – 赤いボールを手に入れました
P 1 – 紋章が落ちた、P 2 – それ以外の場合
b) 赤いボールが選択されます。 1 番目の壺から 2 番目の壺から取り出される確率を求めます。
B 1 – 最初の骨壺から、B 2 – 2 番目の骨壺から
,
例 2. 箱の中に 4 つのボールがあります。 可能性があるのは、白のみ、黒のみ、または白と黒です。 （組成不明）。
解決：
A – 白球が出現する確率
a) オールホワイト:
(白い選択肢がある 3 つの選択肢のうち 1 つを獲得する確率)
(全員が白の場合に白球が出現する確率)
b) 全員が黒人の場合は引き抜かれる
c) 全員が白人および/または黒人であるという選択肢を取り除いた
- そのうちの少なくとも 1 つは白です
P a +P b +P c =
例 3. 壺の中には白玉が5個、黒玉が4個入っています。 ボールが2つ連続で取り出されます。 両方のボールが白である確率を求めます。
解決：
白ボール5個、黒ボール4個
P(A 1) – 白球が出た
P(A 2) – 2 番目のボールも白である確率
P(A) – 連続して選ばれた白球
例3a。 1パックに偽物が2個、本物が8個入っています 紙幣。 パックから2枚の紙幣が続けて引き抜かれました。 両方とも偽物である確率を求めてください。
解決：
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022
例 4. ビンは 10 個あります。 壺は9個あり、黒玉2個、白玉2個が入っています。 1つの骨壷には白5個と黒1個が入っています。 無作為に採取された壺からボールが引き出されました。
解決：
P(A) - ? 白が5個入った壺から白玉が取り出される
B – 白が 5 つ入った壺から引き出される確率
, - 他人から持ち出されたもの
C 1 – レベル 9 で白球が出現する確率。
C 2 – 白球が 5 個ある場合の出現確率
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
例5.20 円筒ころそして15個の円錐形のもの。 ピッカーは 1 つのローラーを取り出し、次に別のローラーを取り出します。
解決：
a) 両方のローラーは円筒形です
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – 最初のシリンダー、C 2 – 2番目のシリンダー
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) 少なくとも 1 つのシリンダー
K 1 – 最初の円錐形。
K 2 - 2番目の円錐形。
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) 最初のシリンダーではあるが、2 番目のシリンダーではない
P(C)=P(C1)P(K2)
e) 単一シリンダーではありません。
P(D)=P(K1)P(K2)
e) ちょうど 1 つのシリンダー
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
例 6. 箱の中に標準部品が 10 個、不良部品が 5 個あります。
3つのパーツがランダムに描かれます
a) そのうちの 1 つに欠陥がある
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k 、
P – 不良品の確率
q – 標準部品の確率
n=3、3 つの部分
b) 3 つの部品のうち 2 つに欠陥がある P(2)
c) 少なくとも 1 つの標準
P(0) - 欠陥なし
P=P(0)+P(1)+P(2) - 少なくとも 1 つの部品が標準となる確率
例7。 1 つ目の壺には白と黒のボールが 3 つずつ入っており、2 つ目の壺には白と黒のボールが 3 つずつ入っています。 1つ目の壺から2つ目の壺に何も見ずにボールを2つ移し、2つ目の壺から2つのボールを引き出します。 彼らがそうなる確率はどれくらいですか？ 異なる色?
解決：
最初の壺からボールを移動する場合、次のオプションが可能です。
a) 2 つの白球を続けて取り出した
P BB 1 =
最初のステップですでに 1 つのボールが取り出されているため、2 番目のステップでは常にボールが 1 つ減ります。
b) 白ボールと黒ボールを 1 つずつ取り出した
先に白球を引いてから黒球を引いた場合の状況
P弾頭 =
先に黒玉を引いてから白玉を引いた場合の状況
P帯域幅 =
合計: P 弾頭 1 =
c) 2 つの黒いボールを続けて取り出した
PHH1 =
1 つ目の壺から 2 つ目の壺に 2 個のボールが移されたので、2 つ目の壺のボールの総数は 9 (7 + 2) になります。 したがって、考えられるすべてのオプションを検討します。
a) 2 番目の壺から最初に白いボール、次に黒いボールが取り出されました。
P BB 2 P BB 1 - 最初の壺から 2 つの白いボールが連続して引き出された場合に、最初に白いボールが引き出され、次に黒いボールが引き出される確率を意味します。 したがって、この場合の白球の数は 5 (3+2) です。
P BC 2 P BC 1 - 最初の壺から白と黒のボールが引き出された場合に、最初に白ボールが引き出され、次に黒ボールが引き出される確率を意味します。 したがって、この場合の白玉の数は 4 (3+1)、黒玉の数は 5 (4+1) になります。
P BC 2 P BC 1 - 両方の黒いボールが最初の壺から連続して引き出された場合に、最初に白いボールが引き出され、次に黒いボールが引き出される確率を意味します。 したがって、この場合の黒玉の数は 6 (4+2) です。
描かれた 2 つのボールが異なる色になる確率は次のとおりです。
答え: P = 0.54
例7a。 5 個の白ボールと 3 個の黒ボールが入った 1 番目の壺から、2 個のボールをランダムに 2 個の白ボールと 6 個の黒ボールが入った 2 番目の壺に移しました。 次に、2 番目の壺からランダムにボールが 1 つ引き出されます。
1) 2 番目の壺から引き出されたボールが白になる確率はどれくらいですか?
2) 2 番目の壺から取り出したボールは白色でした。 ボールが 1 番目の壺から 2 番目の壺に移される確率を計算します。 異なる色.
解決。
1) イベント A - 2 番目の壺から引き出されたボールは白であることがわかります。 このイベントの発生について次のオプションを検討してみましょう。
a) 2 つの白いボールを最初の壺から 2 番目の壺に置きました: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56。
2 番目の壺には合計 4 つの白いボールがあります。 次に、2 番目の壺から白ボールを引き出す確率は、P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448 となります。
b) 白と黒のボールを最初の壺から 2 番目の壺に置きました: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56。
2 番目の壺には合計 3 つの白いボールがあります。 2 番目の壺から白ボールを引き出す確率は、P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448 となります。
c) 2 つの黒いボールを最初の壺から 2 番目の壺に置きました: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56。
2番目の壺には白いボールが合計2個入っています。 次に、2 番目の壺から白ボールを引き出す確率は、P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 となります。
この場合、2 番目の壺から引き出されたボールが白になる確率は次のようになります。
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) 2 番目の壺から取り出したボールは白色であることが判明しました。 合計確率は P(A)=13/32 です。
異なる色のボール (黒と白) が 2 番目の壺に置かれ、白が選ばれる確率: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
例7b。 最初の壺には 8 個の白ボールと 3 個の黒ボールが入っており、2 番目の壺には 5 個の白ボールと 3 個の黒ボールが入っています。 最初から 1 つのボールがランダムに選ばれ、2 番目からは 2 つのボールが選ばれます。 その後、選択された 3 つのボールからランダムに 1 つのボールが取り出されます。 この最後のボールは黒だった。 最初の壺から白球が取り出される確率を求めよ。
解決。
イベント A のすべてのバリエーションを考えてみましょう。3 つのボールのうち、描かれたボールは黒であることがわかります。 どうして3つのボールの中に黒いボールがあったのでしょうか？
a) 最初の壺から黒いボールを 1 つ取り出し、2 番目の壺から 2 つの白いボールを取り出しました。
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) 最初の壺から 1 つの黒いボールを取り出し、2 番目の壺から 2 つの黒いボールを取り出しました。
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) 最初の壺から黒いボールを 1 つずつ取り出し、2 番目の壺から 1 つの白と 1 つの黒のボールを取り出しました。
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) 最初の壺から白いボールを 1 つ取り出し、2 番目の壺から 2 つの黒いボールを取り出しました。
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) 最初の壺から白いボールを 1 つずつ取り出し、2 番目の壺から 1 つの白ボールと 1 つの黒いボールを取り出しました。
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
確率の合計は次のとおりです: P = P1+P2+P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
白い壺から白いボールが取り出される確率は次のとおりです。
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
次に、3 つのボールから黒いボールが選択されたとすると、最初の壺から白いボールが選択される確率は次と等しくなります。
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
例7c。 最初の壺には白ボール 12 個と黒ボール 16 個が入っており、二番目の壺には白ボール 8 個と黒ボール 10 個が入っています。 同時に、第 1 壺と第 2 壺からボールを取り出し、混ぜ合わせてそれぞれの壺に 1 つずつ戻します。 次に、各壺からボールが取り出されます。 それらは同じ色であることがわかりました。 最初の壺に最初にあったのと同じ数の白玉が残る確率を求めます。
解決。
イベント A - ボールが 1 つ目と 2 つ目の壺から同時に引き出されます。
最初の壺から白ボールを引く確率: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
最初の壺から黒いボールを引く確率: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
2 番目の壺から白ボールを引く確率: P2(B) = 8/18 = 4/9
2 番目の壺から黒いボールを引く確率: P2(H) = 10/18 = 5/9
イベントAが発生しました。 イベント B - 各壺からボールが引き出されます。 シャッフル後、白または黒のボールが壺に戻る確率は 1/2 です。
イベント B のオプションを考えてみましょう。それらは同じ色であることがわかりました。
初めての骨壷について
1) 最初の壺に白球を入れ、白球を引いた。ただし、白球が事前に引かれていた場合、P1(BB/A=B) = 1/2 * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) 白いボールを最初の壺に置き、白いボールを引き抜きます。ただし、黒いボールが先に引き出された場合、P1(BB/A=H) = 1/2 * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) 白いボールが最初の壺に入れられ、黒いボールが引き出されます。ただし、白いボールが先に引き出された場合、P1(BC/A=B) = 1/2 * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) 白いボールが最初の壺に置かれ、黒いボールが引き出されます。ただし、黒いボールが先に引き出された場合、P1(BC/A=H) = 1/2 * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) 黒いボールが最初の壺に置かれ、白いボールが描かれました。ただし、白いボールが事前に描かれていた場合、P1(BW/A=B) = 1/2 * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) 黒いボールが最初の壺に置かれ、白いボールが描かれました。ただし、黒いボールが先に描かれていた場合、P1(B/A=H) = 1/2 * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) 黒いボールが最初の壺に置かれ、白いボールが先に引き出された場合に、黒いボールが引き出されます。P1(HH/A=B) = 1/2 * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) 黒いボールが最初の壺に置かれ、黒いボールが引き出されました。ただし、黒いボールが先に引き出された場合、P1(HH/A=H) = 1/2 * 16/28 * 4/7 = 8/49
2つ目の骨壺については
1) 白球を最初の壺に置き、白球を引きました。ただし、白球が事前に引かれていた場合、P1(BB/A=B) = 1/2 * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) 白いボールを最初の壺に置き、白いボールを引き抜きます。ただし、黒いボールが先に引き出された場合、P1(BB/A=H) = 1/2 * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) 白いボールが最初の壺に置かれ、黒いボールが引き出されます。ただし、白いボールが先に引き出された場合、P1(BC/A=B) = 1/2 * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) 白いボールが最初の壺に置かれ、黒いボールが引き出されます。ただし、黒いボールが先に引き出された場合、P1(BC/A=H) = 1/2 * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) 黒球を最初の壺に入れ、白球を引き抜きます。ただし、白球が先に引き出された場合、P1(BW/A=B) = 1/2 * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) 黒ボールを最初の壺に置き、白ボールを取り出します。ただし、黒ボールが先に引き出された場合、P1(BW/A=H) = 1/2 * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) 黒いボールが最初の壺に置かれ、白いボールが先に引き出された場合に、黒いボールが引き出されます。P1(HH/A=B) = 1/2 * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) 黒いボールが最初の壺に置かれ、黒いボールが引き出されました。ただし、黒いボールが先に引き出されていた場合、P1(HH/A=H) = 1/2 * 10/18 * 4/7 = 10/63
ボールは同じ色であることが判明しました。
白い
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) 黒
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
例7d。 最初の箱には白のボールが 5 個、青のボールが 4 個、2 番目の箱には 3 個と 1 個、3 番目の箱にはそれぞれ 4 個と 5 個が入っています。 箱がランダムに選ばれ、そこから取り出されたボールは青色でした。 このボールが 2 番目のボックスからのものである確率はどれくらいですか?
解決。
A - 青いボールを引くイベント。 このようなイベントで考えられるすべての結果を考えてみましょう。
H1 - 最初のボックスから引き出されたボール、
H2 - 2番目のボックスから引き出されたボール、
H3 - 3 番目のボックスから引き出されたボール。
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
問題の条件によれば、イベント A の条件付き確率は次のようになります。
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
このボールが 2 番目のボックスからのものである確率は次のとおりです。
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2
例8。 30 個のボールが入った 5 つの箱には、それぞれ 5 つの赤いボールが含まれます (これは構成 H1 の箱です)。20 個のボールが入った他の 6 つの箱には、それぞれ 4 つの赤いボールが含まれます (これは構成 H2 の箱です)。 ランダムに取られた赤いボールが最初の 5 つの箱のいずれかに含まれる確率を求めます。
解決策: 問題は、合計確率の公式を適用することです。
P(H 1) = 5/11
その確率は、 どれでも取られたボールは 6 つのボックスのいずれかに入れられます。
P(H2) = 6/11
イベントが起こりました - 赤いボールが引き抜かれました。 したがって、これは次の 2 つの場合に発生する可能性があります。
a) 最初の 5 つのボックスから取り出します。
P 5 = 赤玉 5 個 * 5 箱 / (玉 30 個 * 5 箱) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) 他の6つの箱から取り出したもの。
P 6 = 赤ボール 4 個 * 6 箱 / (ボール 20 個 * 6 箱) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
合計: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
したがって、ランダムに描かれた赤いボールが最初の 5 つのボックスのいずれかに含まれる確率は次のようになります。
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
例9。 壺の中には白ボールが2個、黒ボールが3個、赤ボールが4個入っています。 3 つのボールがランダムに引き出されます。 少なくとも 2 つのボールが同じ色になる確率はいくらですか?
解決。 考えられる結果は次の 3 つです。
a) 描かれた 3 つのボールのうち、少なくとも 2 つの白いボールがありました。
P b (2) = P 2b
これらのテストで考えられる基本的な結果の合計数は、9 つのボールから 3 つのボールを抽出できる方法の数に等しくなります。
選択した 3 つのボールのうち、2 つが白である確率を求めてみましょう。
2 つの白ボールから選択できるオプションの数:
選択できるオプションの数 7 その他のボール サードボール:
b) 引かれた 3 つのボールの中に、少なくとも 2 つの黒いボールがありました (つまり、2 つの黒か 3 つの黒のいずれか)。
選択した 3 つのボールのうち、2 つが黒である確率を求めてみましょう。
3 つの黒いボールから選択できるオプションの数:
1 つのボールの他の 6 つのボールから選択するオプションの数:
P 2h = 0.214
選択したボールがすべて黒である確率を求めてみましょう。
P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259
c) 引かれた 3 つのボールの中に、少なくとも 2 つの赤いボールがありました (つまり、赤 2 つまたは赤 3 つのいずれか)。
選択した 3 つのボールのうち、2 つが赤である確率を求めてみましょう。
4 つの黒いボールから選択できるオプションの数:
選択できるオプションの数: 5 個の白ボール、残り 1 個の白:
選択したすべてのボールが赤である確率を求めてみましょう。
P から (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
この場合、少なくとも 2 つのボールが同じ色になる確率は次のようになります: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138
例10。 最初の壺には 10 個のボールが入っており、そのうち 7 個は白です。 2 番目の壺には 20 個のボールが入っており、そのうち 5 個は白です。 各壺からランダムに 1 つのボールが抽出され、次にこれら 2 つのボールからランダムに 1 つのボールが抽出されます。 白球が出る確率を求めよ。
解決。 最初の壺から白球が取り出される確率は P(b)1 = 7/10 です。 したがって、黒玉を引く確率は P(h)1 = 3/10 となります。
2 番目の壺から白ボールが取り出される確率は、P(b)2 = 5/20 = 1/4 です。 したがって、黒玉を引く確率は P(h)2 = 15/20 = 3/4 となります。
イベント A - 2 つのボールから白ボールを 1 つ取り出す
イベント A で考えられる結果を考えてみましょう。
- 1 つ目の壺からは白球が、2 つ目の壺からは白球が抽出されました。 そして、これら 2 つのボールから白ボールが抽出されました。 P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- 白いボールが最初の壺から引き出され、黒いボールが 2 番目の壺から引き出されます。 そして、これら 2 つのボールから白ボールが抽出されました。 P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- 最初の壺からは黒いボールが引き出され、2 番目の壺からは白いボールが引き出されます。 そして、これら 2 つのボールから白ボールが抽出されました。 P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
例11. 箱の中にテニスボールがn個あります。 このうち、m が再生されました。 最初のゲームでは、2 つのボールがランダムに取られ、ゲーム後に元に戻されました。 2ゲーム目もランダムにボールを2つ取りました。 第 2 試合が新しいボールで行われる確率はどれくらいですか?
解決。 イベント A を考えてみましょう。ゲームは新しいボールで 2 回目に行われました。 どのようなイベントがこれにつながる可能性があるかを見てみましょう。
引き抜かれる前の新しいボールの数を g = n-m で表すことにします。
a) 最初のゲームでは、2 つの新しいボールが引き抜かれました。
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) 最初のゲームでは、彼らは新しいボールを 1 つ取り出し、もう 1 つはすでにプレイ済みのボールを取り出しました。
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) 最初のゲームでは、プレイされたボールが 2 つ抜かれました。
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
第2試合の様子を見てみましょう。
a) 条件 P1 の下で、2 つの新しいボールが引き出されました。新しいボールは最初のゲームですでに引き出されていたため、2 番目のゲームではその数が 2 (g-2) 減少します。
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) 条件 P2 の下で、2 つの新しいボールが引き出されました。1 つの新しいボールが最初のゲームですでに引き出されていたため、2 番目のゲームでは、その数が 1 (g-1) 減少します。
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) 条件 P3 の下で 2 つの新しいボールが引かれました。以前は最初のゲームでは新しいボールが使用されなかったため、その数は 2 番目のゲームでも変更されませんでした。
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
合計確率 P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
答え: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
例12。 1 番目、2 番目、3 番目のボックスには白ボール 2 個と黒ボール 3 個が入っており、4 番目と 5 番目のボックスには白ボール 1 個と黒ボール 1 個が入っています。 ボックスがランダムに選択され、そこからボールが抽出されます。 引かれたボールが白の場合に 4 番目または 5 番目のボックスが選択される条件付き確率はいくらですか?
解決.
各ボックスを選択する確率は P(H) = 1/5 です。
イベント A (白球を引く) の条件付き確率を考えてみましょう。
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = 1/2
P(A|H=5) = 1/2
白球を引く合計確率:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
4 番目のボックスが選択される条件付き確率
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
5 番目のボックスが選択される条件付き確率
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
合計すると、4 番目または 5 番目のボックスが選択される条件付き確率は次のようになります。
P(H=4、H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
例13。 壺の中には白玉が7個、赤玉が4個入っていました。 次に、別の白、赤、黒のボールを壺に入れ、シャッフルした後、ボールを 1 つ取り出しました。 赤くなってしまいました。 a) 赤いボールが置かれた確率はいくらですか? b) 黒いボール?
解決。
a) 赤いボール
イベント A - 赤いボールが描画されます。 イベント H - 赤いボールが配置されます。 赤いボールが壺に入った確率 P(H=K) = 1 / 3
したがって、P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) 黒いボール
イベント A - 赤いボールが描画されます。 イベント H - 黒いボールが配置されます。
黒いボールが壺に入った確率 P(H=H) = 1/3
したがって、P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
例14。 ボールの入った壺が2つあります。 1 つは赤ボール 10 個と青ボール 5 個、もう 1 つは赤ボール 5 個と青ボール 7 個です。 最初の壺からは赤いボールが、2 番目の壺からは青いボールがランダムに引き出される確率はどれくらいですか?
解決。イベント A1 を最初の壺から引き出された赤いボールとします。 A2 - 2 番目の骨壺から取り出したもの 青いボール:
,
イベント A1 と A2 は独立しています。 イベント A1 と A2 が同時に発生する確率は次のとおりです。
例15。 トランプ（36枚）が入っています。 2枚のカードがランダムに連続して引き出されます。 引いたカードが両方とも赤になる確率はどれくらいですか?
解決。イベント A 1 を最初に引いたレッドカードとします。 イベント A 2 - 2 番目にレッドカードが出されます。 B - 取り出したカードは両方とも赤です。 イベント A 1 とイベント A 2 の両方が発生する必要があるため、B = A 1 · A 2 となります。 イベント A 1 と A 2 は依存しているため、 P(B) は次のようになります。
,
ここから
例16。 2 つの壺には色だけが異なるボールが入っており、最初の壺には白ボール 5 個、黒ボール 11 個、赤ボール 8 個が入っており、2 番目の壺にはそれぞれ 10 個、8 個、6 個のボールがあります。 両方の壺から 1 つのボールがランダムに引き出されます。 両方のボールが同じ色である確率はいくらですか?
解決。インデックス 1 を意味するとします 白色、インデックス 2 - 黒。 3 - 赤い色。 イベント A i を、i 番目の色のボールが最初の壺から引き出されるというものとする。 イベント B j - 色のボール j が 2 番目の壺から引き出されます。 イベント A - 両方のボールが同じ色です。
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3。 イベント A i と B j は独立しており、i ≠ j の場合、A i · B i と A j · B j は互換性がありません。 したがって、
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
例17。 白 3 個と黒 2 個のボールが入った壺から、黒が現れるまでボールを 1 つずつ引きます。 壺から 3 つのボールが取り出される確率を求めますか? ボール5個？
解決.
1) 壺から 3 つのボールが取り出される確率 (つまり、3 番目のボールは黒、最初の 2 つは白になります)。
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) 壺から 5 個のボールが取り出される確率
この状況はあり得ないので、 白球は3個だけ。
P=0
