対数与えられた数の指数は、別の数を累乗する必要がある指数と呼ばれます。 基礎この数値を取得するには対数を使用します。 たとえば、100 の底 10 の対数は 2 です。つまり、100 を得るには 10 を 2 乗する必要があります (10 2 = 100)。 もし n– 指定された数値、 b– ベースと 私– 対数、すると b l = n。 番号 n底の真数とも呼ばれます b数字 私。 たとえば、底 10 に対する 2 の真数は 100 に等しくなります。これは、関係ログの形式で書くことができます。 bn = 私そして真対数 ｂｌ = n.
対数の基本的な性質:
1 以外の正の数は対数の底として機能しますが、残念なことに、 bそして nは有理数ですが、まれにそのような有理数が存在します 私、 何 b l = n。 ただし、無理数を定義することは可能です 私たとえば、10 のようになります。 私= 2; これは無理数です 私有理数によって必要な精度で近似できます。 与えられた例では、 私は約 0.3010 に等しく、2 の底 10 の対数のこの近似は、10 進対数の 4 桁の表で見つけることができます。 底 10 の対数 (または底 10 の対数) は計算でよく使用されるため、以下のように呼ばれます。 普通対数を表し、対数の底の明示的な指示を省略して、log2 = 0.3010 または log2 = 0.3010 として記述されます。 底の対数 e、2.71828 にほぼ等しい超越数は、と呼ばれます。 自然対数。 それらは主に数学的分析とそのさまざまな科学への応用に関する作品に見られます。 自然対数も、底を明示的に示さずに、特別な表記 ln を使用して記述されます。たとえば、ln2 = 0.6931 です。 e 0,6931 = 2.
常用対数の表を使用します。
数値の正対数は、特定の数値を得るために 10 を累乗する必要がある指数です。 10 0 = 1、10 1 = 10、および 10 2 = 100 であるため、log1 = 0、log10 = 1、log100 = 2 などがすぐにわかります。 整数べき乗 10 を増加させます。同様に、10 –1 = 0.1、10 –2 = 0.01 となるため、log0.1 = –1、log0.01 = –2 などとなります。 すべての負の整数乗の場合は 10。残りの数値の通常の対数は、最も近い 10 の整数乗の対数で囲まれます。 log2 は 0 と 1 の間、log20 は 1 と 2 の間、log0.2 は -1 と 0 の間でなければなりません。したがって、対数は 0 と 1 で囲まれた 2 つの部分、整数と小数で構成されます。という整数部分 特性対数であり、数値自体によって決定され、小数部分はと呼ばれます 仮数表から見つけることができます。 また、log20 = log(2̑10) = log2 + log10 = (log2) + 1 です。2 の対数は 0.3010 なので、log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010 となります。 同様に、log0.2 = log(2®10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1。減算すると、log0.2 = – 0.6990 が得られます。 ただし、log0.2 を 0.3010 – 1 または 9.3010 – 10 として表す方が便利です。 定式化することができ、 原則: 10 の累乗を乗算して指定された数値から得られるすべての数値は、指定された数値の仮数と等しい同じ仮数を持ちます。 他のすべての数値の仮数は表に示されている仮数から取得できるため、ほとんどの表には 1 から 10 の範囲の数値の仮数が表示されます。
ほとんどの表では、小数点以下 4 桁または 5 桁の対数が表示されますが、7 桁の表や小数点以下の桁数がさらに多い表もあります。 このようなテーブルの使用方法を学ぶ最も簡単な方法は、例を使用することです。 log3.59 を見つけるには、まず、数値 3.59 が 10 0 と 10 1 の間にあるため、その特性は 0 であることに注意します。テーブル内で数値 35 (左側) を見つけ、行に沿って先頭に数字 9 がある列。 この列と行 35 の交点は 5551 であるため、log3.59 = 0.5551 となります。 4 の数値の仮数部を見つけるには 有効数字、補間に頼る必要があります。 一部の表では、表の各ページの右側の最後の 9 列に示されている比率によって補間が容易になります。 ここで、log736.4 を見つけてみましょう。 数値 736.4 は 10 2 と 10 3 の間にあるため、その対数の特性は 2 です。表では、73 という行の左側と 6 列目が見つかります。この行とこの列の交点には、直線部分の中に列 4 が見つかります。行 73 と列 4 の交差点に数字 2 があります。8669 に 2 を加算すると、仮数が得られます。これは 8671 に等しくなります。したがって、log736.4 = 2.8671。
自然対数。
自然対数のテーブルとプロパティは、通常の対数のテーブルとプロパティに似ています。 両方の主な違いは、整数部分が 自然対数は小数点の位置を決定する上で重要ではないため、仮数と特性の区別は特別な役割を果たしません。 数値の自然対数 5.432。 54.32 と 543.2 はそれぞれ 1.6923 に等しくなります。 3.9949 と 6.2975。 これらの対数間の関係は、それらの差を考慮すると明らかになります。log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; 最後の数値は数値 10 の自然対数にすぎません (ln10 のように記述されます)。 log543.2 – log5.432 = 4.6052; 最後の数字は 2ln10 です。 ただし、543.2 = 10 54.32 = 10 2 5.432 となります。 したがって、与えられた数の自然対数により、 ある数値の積に等しい数値の自然対数を見つけることができます あるいかなる学位でも n ln の場合は数字 10 ある ln10 を加算して乗算 n、つまり ln( あるґ10n) = ログ ある + n ln10 = ln ある + 2,3026n。 たとえば、ln0.005432 = ln(5.432̑10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3̑2.3026) = – 5.2155。 したがって、自然対数の表には、常対数の表と同様に、通常、1 から 10 までの数値の対数のみが含まれます。自然対数系では、真対数について話すこともできますが、より多くの場合、真対数について話します。 指数関数または出展者について。 もし バツ= ログ y、 それ y = 元、 そして yの指数と呼ばれる バツ(活字上の便宜上、彼らはしばしば次のように書きます) y= 経験値 バツ）。 指数は数値の真数の役割を果たします。 バツ.
10 進数と自然対数のテーブルを使用すると、10 以外の底の対数のテーブルを作成できます。 e。 ログの場合 b a = バツ、 それ bx = あるしたがってログに記録します cbx=ログ c aまたは バツログ c b=ログ c a、 または バツ=ログ c a/ログ c b=ログ b a。 したがって、底対数表からこの逆数式を使用すると、 c他の底で対数の表を作成できます b。 乗数 1/log c b呼ばれた 移行モジュール基地から c基地へ b。 たとえば、反転公式を使用したり、ある対数系から別の対数系に移行したり、常用対数の表から自然対数を見つけたり、逆の移行を行ったりすることを妨げるものはありません。 たとえば、log105.432 = ログ e 5.432/ログ e 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923̑0.4343 = 0.7350。 常対数を得るために、指定された数の自然対数に乗算する必要がある数値 0.4343 は、常対数系への遷移の係数です。
特別なテーブル。
対数はもともと、その特性を使用して対数を計算するために発明されました。 腹筋=ログ ある+ログ bそしてログを記録します ある/b=ログ ある-ログ b、積を和に、商を差に変えます。 つまり、ログの場合 あるそしてログを記録します bがわかっている場合は、加算と減算を使用して、積と商の対数を簡単に求めることができます。 しかし、天文学では、対数の値が与えられることがよくあります。 あるそしてログを記録します bログを見つける必要があります( ある + b) またはログ( ある – b）。 もちろん、最初に対数表から見つけることもできます。 あるそして b、次に、指定された加算または減算を実行し、再び表を参照して必要な対数を見つけます。ただし、そのような手順では表を 3 回参照する必要があります。 Z. Leonelli は 1802 年にいわゆる表を出版しました。 ガウス対数– 和と差を加算するための対数 – これにより、テーブルへのアクセスを 1 回に制限することが可能になりました。
1624 年、I. ケプラーは比例対数の表を提案しました。 数値の対数 ある/バツ、 どこ ある– 何らかの正の定数値。 これらのテーブルは主に天文学者や航海士によって使用されます。
比例対数 ある= 1 が呼び出されます 対数で表す積や商を扱う必要がある場合の計算に使用されます。 数値の対数 n 対数に等しい逆数; それらの。 コログ n= log1/ n= – ログ n。 log2 = 0.3010 の場合、colog2 = – 0.3010 = 0.6990 – 1 となります。対数を使用する利点は、次のような式の対数値を計算する場合にあることです。 pq/r正の小数の対数の 3 倍の和 p+ログ q+コログ r混合和と差のログよりも見つけやすい p+ログ q-ログ r.
話。
対数系の基礎となる原理は非常に古くから知られており、古代バビロニア数学 (紀元前 2000 年頃) にまで遡ることができます。 当時、複利の計算には、整数の正の整乗のテーブル値間の補間が使用されていました。 ずっと後になって、アルキメデス (紀元前 287 ～ 212 年) は 108 乗を使って、当時知られていた宇宙を完全に埋めるのに必要な砂粒の数の上限を見つけました。 アルキメデスは、対数の有効性の基礎となる指数の性質、つまりべき乗の積は指数の合計に対応することに注目しました。 中世の終わりから近代の初めにかけて、数学者は等比数列と等差数列の関係にますます注目し始めました。 M. シュティーフェルのエッセイ 整数演算(1544) は、数 2 の正と負の累乗の表を示しました。
シュティーフェルは、最初の行 (指数行) の 2 つの数値の合計が、一番下の行 (指数行) の対応する 2 つの数値の積に対応する 2 の指数に等しいことに気づきました。 この表に関連して、シュティーフェルは 4 つの規則に相当する 4 つの規則を定式化しました。 現代のルール指数演算または対数演算の 4 つのルール: 上の行の合計は下の行の積に対応します。 上の行の減算は下の行の除算に対応します。 上の行の乗算は下の行のべき乗に対応します。 上の行の分割は下の行のルート化に対応します。
どうやら、シュティーフェルの規則に似た規則が、J. ネイパーの作品に最初の対数系を正式に導入するきっかけとなったようです。 驚くべき対数表の説明しかし、彼の著作が出版される10年以上前に、ネイピアはデンマークから、ティコ・ブラーエ天文台で彼の助手たちが、積を合計に換算することが可能です。 ネイピアが受け取ったメッセージで説明されている方法は、次のような三角関数の公式の使用に基づいていました。
したがって、ネイパーの表は主に対数で構成されています 三角関数。 底の概念はネイピアによって提案された定義には明示的に含まれていませんでしたが、彼の体系における対数系の底に相当する役割は、1/ にほぼ等しい数値 (1 – 10 –7)̑10 7 によって演じられました。 e.
ナパーとは独立して、そしてほぼ同時に、タイプが非常に似た対数系がプラハの J. ビュルギによって発明され、1620 年に出版されました。 算術および等比数列表。 これらは底 (1 + 10 –4) 10 4 の真数の表であり、数値のかなり良い近似値です。 e.
Naper システムでは、数値 10 7 の対数がゼロとみなされ、数値が減少すると対数が増加します。 G. ブリッグス (1561–1631) がネーピアを訪れたとき、両者は 10 という数字を底として使用し、1 の対数を取る方が便利であることに同意しました。 ゼロに等しい。 次に、数値が増加するにつれて、対数も増加します。 それで、私たちは得ました 現代のシステム 10 進対数、ブリッグスが著書で公開した表 対数演算（1620年）。 底の対数 e、正確には Naper によって紹介されたものではありませんが、Naper's と呼ばれることがよくあります。 「特性」と「仮数」という用語はブリッグスによって提案されました。
最初の対数は、歴史的な理由から、数値 1/ の近似値を使用していました。 eそして e。 少し後、自然対数の考え方は双曲線の下の領域の研究と関連付けられ始めました。 xy= 1 (図 1)。 17世紀に この曲線で囲まれた領域、軸が バツと縦座標 バツ= 1 および バツ = ある(図 1 では、この領域は太くてまばらなドットで覆われています) 等差数列、 いつ ある増加する 等比数列。 指数と対数の演算ルールで生じるのはまさにこの依存性です。 これにより、ネーペリアン対数を「双曲線対数」と呼ぶようになりました。
対数関数。
対数が計算の手段としてのみ考慮されていた時代もありましたが、18 世紀には主にオイラーの研究のおかげで、対数関数の概念が形成されました。 このような関数のグラフ y= ログ バツ、縦軸は等差数列で増加し、横軸は等比数列で増加しますが、図に示されています。 2、 あ。 逆関数または指数関数のグラフ y = e x縦軸は等差数列で増加し、横軸は等差数列で増加します。これをそれぞれ図に示します。 2、 b。 (曲線 y=ログ バツそして y = 10バツ曲線に似た形状 y= ログ バツそして y = 元.) 対数関数の別の定義も提案されています。
kpi ; 同様に、数値 -1 の自然対数は次のようになります。 複素数種類（2種類） k + 1)円周率、 どこ k– 整数。 同様の記述は、一般対数または他の対数系にも当てはまります。 さらに、対数の定義はオイラーの恒等式を使用して一般化し、複素数の複素対数を含めることができます。
対数関数の別の定義は、関数分析によって提供されます。 もし f(バツ) – 連続関数 実数 バツ、次の 3 つのプロパティがあります。 f (1) = 0, f (b) = 1, f (紫外線) = f (あなた) + f (v）、 それ f(バツ) は数値の対数として定義されます。 バツに基づく b。 この定義には、この記事の冒頭で示した定義よりも多くの利点があります。
アプリケーション。
対数はもともと計算を簡略化するためにのみ使用されていましたが、この応用は今でも最も重要なものの 1 つです。 積、商、累乗、根の計算は、公開されている対数表が広く利用できるだけでなく、いわゆる対数表を使用することによっても容易になります。 計算尺 - 動作原理が対数の特性に基づいている計算ツール。 定規には対数スケールが装備されています。 数値 1 から任意の数値までの距離 バツ log と等しくなるように選択される バツ; あるスケールを別のスケールに対して移動することにより、対数の和や差をプロットすることができ、対応する数値の積や商をスケールから直接読み取ることが可能になります。 数値を対数形式で表すことの利点を活用することもできます。 グラフを描くための対数紙（両座標軸に対数目盛りが印刷された紙）。 関数が次の形式のべき乗則を満たす場合、 y = kxnの場合、その対数グラフは直線のように見えます。 ログ y=ログ k + nログ バツ– 対数に関して線形の方程式 yそしてログを記録します バツ。 逆に、ある関数の依存関係の対数グラフが直線のように見える場合、その依存関係はべき乗依存関係です。 指数関数を識別する必要がある場合は、半対数紙 (Y 軸が対数スケールで、X 軸が均一のスケールを持つ) が便利です。 次の形式の方程式 y = kb rx人口、放射性物質の量、銀行残高などの量が、現在利用可能な人口、放射性物質、またはお金の量に比例した割合で減少または増加するたびに発生します。 このような依存関係を片対数紙にプロットすると、グラフは直線のように見えます。
対数関数は、さまざまな自然の形態に関連して発生します。 ヒマワリの花序の花は対数螺旋状に配置され、軟体動物の殻はねじれています オウムガイ、山羊の角とオウムのくちばし。 これらの自然な形状はすべて、対数螺旋として知られる曲線の例として機能します。極座標系では、その方程式は次のとおりです。 r = ae bq、または ln r= ログ ある + バーベキュー。 このような曲線は移動点によって表され、その極からの距離は等比数列で増加し、その動径ベクトルによって表される角度は等差数列で増加します。 このような曲線、したがって対数関数の遍在性は、それが非常に遠く離れた場所に完全に現れるという事実によってよく示されています。 さまざまな分野偏心したカムの輪郭や、光に向かって飛んでいく昆虫の軌跡のようなものです。
したがって、2 のべき乗があります。 一番下の行から数値を取得すると、この数値を得るために 2 を累乗する必要がある累乗を簡単に見つけることができます。 たとえば、16 を取得するには、2 の 4 乗する必要があります。 そして 64 を取得するには、2 の 6 乗する必要があります。 これは表からもわかります。
そして今、実際に対数の定義は次のとおりです。
x の底 a の対数は、x を得るために a を累乗する必要があります。
指定: log a x = b、ここで、a は底、x は引数、b は対数が実際に等しいものです。
たとえば、2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 であるため、8 の底 2 の対数は 3 です)。 同じ成功ログでは、2 6 = 64 なので、2 64 = 6 となります。
与えられた底に対する数値の対数を求める操作は、対数化と呼ばれます。 そこで、テーブルに新しい行を追加しましょう。
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| 対数 2 2 = 1 | 対数 2 4 = 2 | 対数 2 8 = 3 | 対数 2 16 = 4 | 対数 2 32 = 5 | 対数 2 64 = 6 |
残念ながら、すべての対数がそれほど簡単に計算できるわけではありません。 たとえば、 log 2 5 を検索してみてください。 数値 5 は表にありませんが、論理的には対数がセグメント上のどこかにあることがわかります。 なぜなら 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
このような数は無理数と呼ばれます。小数点以降の数は無限に書き込むことができ、決して繰り返されません。 対数が無理数であることが判明した場合は、log 2 5、log 3 8、log 5 100 のようにそのままにしておく方がよいでしょう。
対数は 2 つの変数 (底と引数) を含む式であることを理解することが重要です。 最初は、どこが根拠でどこが議論なのかを混同する人が多いです。 迷惑な誤解を避けるために、次の写真を見てください。
私たちの前にあるのは対数の定義にすぎません。 覚えて： 対数は累乗です、引数を取得するにはベースを構築する必要があります。 累乗されるのはベースです。写真では赤で強調表示されています。 ベースは常に最下位にあることが判明しました。 私は最初のレッスンでこの素晴らしいルールを生徒たちに伝えますが、混乱は起こりません。
定義はわかったので、あとは対数の数え方を学ぶだけです。 「ログ」記号を削除します。 まず、この定義から 2 つの重要な事実が得られることに注意してください。
- 引数と基数は常にゼロより大きくなければなりません。 これは、有理指数による次数の定義に基づいて、対数の定義が縮小されます。
- 1 は、程度を問わず 1 であることに変わりはないため、基底は 1 とは異なっていなければなりません。 このため、「2 を得るには 1 を何乗する必要があるか」という質問は無意味です。 そんな学位はないよ！
このような制限はと呼ばれます 地域 許容可能な値 (ODZ)。 対数の ODZ は次のようになることがわかります: log a x = b ⇒ x > 0、a > 0、a ≠ 1。
なお、ｂ（対数値）の値には制限はない。 たとえば、対数が負になる可能性は十分にあります: log 2 0.5 = −1。 0.5 = 2 −1。
ただし、現在検討しているのは、 数値式、ここでは対数の CVD を知る必要はありません。 すべての制限は問題の作成者によってすでに考慮されています。 しかし、彼らが行くとき 対数方程式不平等により、DHS の要件が義務化されます。 結局のところ、根拠と議論には、必ずしも上記の制限に対応しない非常に強力な構造が含まれている可能性があります。
では、考えてみましょう 一般的なスキーム対数を計算します。 これは 3 つのステップで構成されます。
- 基数 a と引数 x を、1 より大きい最小可能な基数のべき乗として表します。 途中で、小数点を削除した方がよいでしょう。
- 変数 b の方程式を解きます。 x = a b ;
- 得られた数字 b が答えになります。
それだけです！ 対数が無理数であることが判明した場合、これは最初のステップですでに表示されています。 底が 1 より大きいという要件は非常に重要です。これにより、エラーの可能性が減り、計算が大幅に簡素化されます。 と同じ 小数: すぐに通常のものに変換すると、エラーが大幅に減ります。
具体的な例を使用して、このスキームがどのように機能するかを見てみましょう。
タスク。 対数を計算します: log 5 25
- 基数と引数が 5 のべき乗であると想像してみましょう: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- 答えは 2 でした。
方程式を作成して解いてみましょう。
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
タスク。 対数を計算します。
タスク。 対数を計算します: log 4 64
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - 答えは3です。
タスク。 対数を計算します: log 16 1
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - 答えは「0」でした。
タスク。 対数を計算します: log 7 14
- 基数と引数が 7 の累乗であると想像してみましょう: 7 = 7 1 ; 7 1 であるため、14 は 7 のべき乗として表すことができません。< 14 < 7 2 ;
- 前の段落から、対数はカウントされないことがわかります。
- 答えは変わりません: log 7 14。
ちょっとしたメモ 最後の例。 ある数値が別の数値の正確なべき乗ではないことをどうやって確認できるでしょうか? とても簡単です。素因数分解するだけです。 展開に少なくとも 2 つの異なる係数がある場合、その数値は正確な累乗ではありません。
タスク。 数値が正確な累乗であるかどうかを調べます: 8; 48; 81; 35; １４．
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 正確な次数です。 乗算器は 1 つだけです。
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - は、3 と 2 の 2 つの因数があるため、正確な累乗ではありません。
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 正確な度数。
35 = 7 · 5 - これも正確な累乗ではありません。
14 = 7 · 2 - これも正確な度数ではありません。
私たち自身にも注意しましょう 素数は常にそれ自体の正確な次数です。
10 進対数
一部の対数は非常に一般的であるため、特別な名前と記号が付いています。
x の 10 進対数は、10 を底とする対数、つまり 10 を底とする対数です。 数値 x を得るために数値 10 を累乗する必要があります。 指定: lg x。
たとえば、log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - など
今後、教科書に「lg 0.01 を検索」のような語句が出てきたら、これはタイプミスではないことを知っておいてください。 これは 10 進対数です。 ただし、この表記に慣れていない場合は、いつでも書き直すことができます。
対数 x = 対数 10 x
通常の対数に当てはまることはすべて、10 進対数にも当てはまります。
自然対数
独自の名称を持つ別の対数があります。 ある意味では、10 進数よりも重要です。 それは自然対数について。
x の自然対数は e を底とする対数、つまり次のようになります。 数値 x を得るために数値 e を累乗する必要がある累乗。 指定: ln x 。
多くの人は「e という数字は何ですか?」と尋ねるでしょう。 これは無理数です、 正確な値見つけて記録することは不可能です。 最初の数字だけを示します。
e = 2.718281828459...
この数値が何なのか、またなぜそれが必要なのかについては詳しく説明しません。 e が自然対数の底であることを覚えておいてください。
ln x = log e x
したがって、 ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - など 一方、ln 2 は無理数です。 一般に、任意の自然対数は、 有理数不合理な。 もちろん、単位の場合は除きます: ln 1 = 0。
自然対数の場合、通常の対数に当てはまるすべての規則が有効です。
これは、たとえば、次の計算機です。 基本セット手術室プログラム Windows システム。 これを起動するためのリンクは、OS のメイン メニューに隠されています。[スタート] ボタンをクリックして開き、[プログラム] セクションを開き、[標準] サブセクション、[ユーティリティ] の順に移動します。セクションを選択し、最後に「計算機」項目をクリックします。 マウスを使用してメニュー間を移動する代わりに、キーボードとプログラム起動ダイアログを使用できます。WIN + R キーの組み合わせを押し、「calc」(これは電卓の実行可能ファイルの名前です) と入力して Enter キーを押します。
電卓インターフェイスを詳細モードに切り替えると、次のことが可能になります... デフォルトでは「通常」ビューで開きますが、「エンジニアリング」または「」が必要です（使用しているOSのバージョンによって異なります）。 メニューの「表示」セクションを展開し、適切な行を選択します。
自然値を評価する引数を入力します。 これは、キーボードから行うか、画面上の電卓インターフェイスの対応するボタンをクリックすることで実行できます。
「ln」というラベルの付いたボタンをクリックすると、プログラムは e を底とする対数を計算し、結果を表示します。
自然対数の値を計算する代わりに、計算機の 1 つを使用します。 たとえば、次の場所にあります。 http://calc.org.ua。 そのインターフェイスは非常にシンプルです。計算する必要のある数値の値を入力する必要がある入力フィールドが 1 つあります。 ボタンの中から「ln」と書かれたボタンを見つけてクリックします。 この電卓のスクリプトはサーバーにデータを送信して応答する必要がないため、ほぼ瞬時に計算結果を受け取ることができます。 考慮すべき唯一の特徴は、入力した数値の小数部分と整数部分の間の区切り文字は ではなくドットでなければならないということです。
用語 " 対数「」は 2 つのギリシャ語から来ており、1 つは「数」を意味し、もう 1 つは「比率」を意味します。 これは、記号の下に示された数値を得るために定数値 (底) を累乗する必要がある変数量 (指数) を計算する数学的操作を示します。 対数 A. 基数が数値「e」と呼ばれる数学定数に等しい場合、 対数「ナチュラル」と呼ばれます。
必要になるだろう
- インターネットへのアクセス、 マイクロソフトオフィスエクセルとか電卓とか。
説明書
インターネット上で利用できる多くの計算機を使用してください。これはおそらく自然な a を計算する簡単な方法です。 適切なサービスを探す必要はありません。 サーチエンジンそれら自体にも計算機が内蔵されており、作業に非常に適しています。 対数アミ。 たとえば、次の場所に移動します。 ホームページ最大のオンライン検索エンジン - Google。 ここでは値を入力したり関数を選択したりするためのボタンは必要ありません。クエリ入力フィールドに必要な数学的アクションを入力するだけです。 計算してみましょう 対数基数「e」に数値 457 を入力するには、「ln 457」と入力します。これは、ボタンを押してサーバーにリクエストを送信しなくても、Google が小数点以下 8 桁 (6.12468339) の精度で表示するのに十分です。
自然な値を計算する必要がある場合は、適切な組み込み関数を使用してください。 対数この問題は、一般的なスプレッドシート エディタである Microsoft Office Excel でデータを操作するときに発生します。 この関数は、ここでは一般的な表記法を使用して呼び出されます。 対数そして大文字 - LN。 計算結果を表示するセルを選択し、等号を入力します。このスプレッドシート エディタでは、メイン メニューの [すべてのプログラム] セクションの [標準] サブセクションに含まれるセルでレコードが開始されます。 Alt + 2 を押して、電卓をより機能的なモードに切り替えます。次に、自然に値を入力します。 対数計算したい値を入力し、プログラムインターフェイスで記号 ln で示されるボタンをクリックします。 アプリケーションは計算を実行し、結果を表示します。
トピックに関するビデオ
トピックに関するレッスンとプレゼンテーション:「自然対数、自然対数の底、自然数の対数」
追加資料
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Integral オンライン ストアの 11 年生向けの教材とシミュレーター
9 年生から 11 年生向けの対話型マニュアル「三角法」
10～11年生向けインタラクティブマニュアル「対数」
自然対数とは
皆さん、前回のレッスンでは新しい特別な数字 e を学びました。今日はこの数字を使って作業を続けます。私たちは対数を研究しており、対数の底は 0 より大きい多くの数になり得ることを知っています。今日は、数値 e を底とする対数も見ていきます。このような対数は通常、自然対数と呼ばれます。 独自の表記法があります。$\ln(n)$ は自然対数です。 このエントリは、エントリ $\log_e(n)=\ln(n)$ と同等です。
実例と 対数関数が逆数の場合、自然対数は関数の逆数になります: $y=e^x$。
逆関数は直線 $y=x$ に対して対称です。
直線$y=x$に対して指数関数をプロットして自然対数をプロットしてみましょう。
関数 $y=e^x$ の点 (0;1) における接線の傾き角が 45°であることに注目してください。 このとき、点(1;0)における自然対数のグラフの接線の傾斜角も45度に等しくなります。 これらの接線は両方とも、$y=x$ 線に平行になります。 接線を図にしてみましょう。 
関数 $y=\ln(x)$ のプロパティ
1. $D(f)=(0;+∞)$。2. 偶数でも奇数でもない。
3. 定義領域全体にわたって増加します。
4. 上からの制限も下からの制限もありません。
5. 最大値いいえ、最小値はありません。
6. 継続的。
7. $E(f)=(-∞; +∞)$。
8.上に凸。
9. どこでも差別化可能。
高等数学の過程で次のことが証明されています 逆関数の導関数は、指定された関数の導関数の逆関数です.
証拠を掘り下げる必要はない とても理にかなっているでは、$y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$ という式を書いてみましょう。
例。
関数 $x=4$ における $y=\ln(2x-7)$ の導関数の値を計算します。
解決。
で 一般的な見解私たちの関数は関数 $y=f(kx+m)$ で表され、そのような関数の導関数を計算できます。
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$。
必要な点での導関数の値を計算しましょう: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$。
答え: 2.
例。
関数 $y=ln(x)$ のグラフの点 $х=е$ に接線を引きます。
解決。
$x=a$ 点における関数のグラフの接線の方程式はよく覚えています。
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$。
必要な値を順番に計算します。
$a=e$。
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$。
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$。
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$。
点 $x=e$ における接線方程式は関数 $y=\frac(x)(e)$ です。
自然対数と接線をプロットしてみましょう。 
例。
関数 $y=x^6-6*ln(x)$ の単調性と極値を調べます。
解決。
関数 $D(y)=(0;+∞)$ の定義域。
与えられた関数の導関数を見つけてみましょう。
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$。
定義域からのすべての x に対して導関数が存在する場合、臨界点は存在しません。 静止点を見つけてみましょう。
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$。
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$。
$6*x^6-6=0$。
$x^6-1=0$。
$x^6=1$。
$x=±1$。
点 $х=-1$ は定義域に属しません。 それから、一つあります 静止点$x=1$。 増加と減少の間隔を求めてみましょう。 
点 $x=1$ が最小点であり、$y_min=1-6*\ln(1)=1$ となります。
答え: 関数はセグメント (0;1] 上で減少し、関数は光線 $) 上で増加します。
