幾何学は単純な科学ではありません。 学校のカリキュラムにも役立つ可能性があります。 実生活。 多くの公式や定理を知っていれば、幾何学的な計算が簡単になります。 幾何学の最も単純な図形の 1 つは三角形です。 三角形の種類の 1 つである正三角形には、独自の特徴があります。
正三角形の特徴
定義上、三角形は 3 つの角と 3 つの辺を持つ多面体です。 これは平らな 2 次元の図形であり、その特性は次の方法で研究されます。 高校。 角度の種類に基づいて、鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形があります。 直角三角形は、角の 1 つが 90 度である幾何学図形です。 このような三角形には 2 本の脚 (直角を作る) と 1 つの斜辺 (反対側) があります。 直角）。 既知の量に応じて、次の 3 つがあります。 簡単な方法直角三角形の斜辺を計算します。
最初の方法は、直角三角形の斜辺を見つけることです。 ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺を計算する最も古い方法です。 これは次のように聞こえます。「直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい」。 したがって、斜辺を計算するには、2 本の脚の 2 乗の合計の平方根を導出する必要があります。 わかりやすくするために、式と図を示します。
2番目の方法。 脚と隣接角という 2 つの既知の量を使用した斜辺の計算
直角三角形の特性の 1 つは、脚の長さと斜辺の長さの比が、この脚と斜辺の間の角度の余弦に等しいということです。 私たちが知っている角度をαと呼びましょう。 さて、ありがとう 既知の定義を使用すると、斜辺を計算する式を簡単に定式化できます: Hypotenuse = Leg/cos(α)
第三の方法。 脚と対角という 2 つの既知の量を使用した斜辺の計算
反対の角度がわかっている場合は、直角三角形の特性を再度使用することができます。 脚の長さと斜辺の比は、反対の角度の正弦に等しくなります。 既知の角度をもう一度 α と呼びます。 計算では、少し異なる式を使用します。
斜辺 = 辺/sin (α)
数式を理解するのに役立つ例
それぞれの公式をより深く理解するには、次のことを考慮する必要があります。 実例。 したがって、次のデータがある直角三角形が与えられたとします。
- 脚 – 8 cm。
- 隣接角度cosα1は0.8である。
- 対角sinα2は0.8です。
ピタゴラスの定理によると、斜辺 = (36+64) の平方根 = 10 cm。
脚のサイズと隣接角度に応じて、8/0.8 = 10 cm。
足のサイズと反対の角度によると、8/0.8 = 10 cm。
公式を理解すれば、どんなデータでも斜辺を簡単に計算できます。
ビデオ: ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理- ユークリッド幾何学の基本定理の 1 つで、次の関係を確立します。
直角三角形の辺の間。
ギリシャの数学者ピタゴラスによって証明されたと考えられており、ピタゴラスの名にちなんで名付けられました。
ピタゴラスの定理の幾何学的定式化。
この定理はもともと次のように定式化されました。
直角三角形では、斜辺上に作られる正方形の面積は、正方形の面積の合計に等しく、
脚の上に構築されています。
ピタゴラスの定理の代数的定式化。
直角三角形では、斜辺の長さの二乗は脚の長さの二乗の和に等しい。
つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b:
両方の処方 ピタゴラスの定理は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、そうではありません。
面積の概念が必要です。 つまり、2 番目のステートメントは、その領域について何も知らなくても検証できます。
直角三角形の辺の長さのみを測定します。
逆ピタゴラスの定理。
三角形の 1 辺の 2 乗が他の 2 辺の 2 乗の和に等しい場合、
直角三角形。
言い換えれば、次のようになります。
正の数の 3 倍ごとに ある, bそして c、 そのような
足のある直角三角形があります あるそして bと斜辺 c.
二等辺三角形のピタゴラスの定理。
正三角形のピタゴラスの定理。
ピタゴラスの定理の証明。
現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく定理
ピタゴラスは、これほど驚くべき数の証明を持つ唯一の定理です。 このような多様性
幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。
もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 その中で最も有名なものは次のとおりです。
証拠 エリア法, 公理的なそして 珍しい証拠（例えば、
を使用して 微分方程式 ).
1. 相似三角形を用いたピタゴラスの定理の証明。
代数定式化の次の証明は、構築された証明の中で最も単純です。
公理から直接。 特に、図形の面積の概念は使用しません。
させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cと示します
その基盤は H.
三角形 ACH三角形に似た AB 2つの角にC。 同様に三角形 CBH似ている ABC.
表記法を導入すると、次のようになります。
我々が得る：
,
- に相当します
折りたたんだ状態 ある 2と b 2、次の結果が得られます。
または、それを証明する必要があります。
2. 面積法を用いたピタゴラスの定理の証明。
以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 それらすべて
面積の性質を使用しますが、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。
- 等相補性による証明。
等しい長方形を4つ並べましょう
図のように三角形
右側。
辺のある四角形 c- 四角、
2つの合計から 鋭い角 90°、
展開角度 - 180°。
一方、図形全体の面積は、
一辺のある正方形の面積( a+b)、一方、4 つの三角形の面積の合計と
Q.E.D.
3. 無限小法によるピタゴラスの定理の証明。
図に示されている図面を見ると、
サイドチェンジを見ているある、 我々はできる
次の関係を無限に書きます
小さい サイドインクリメントとそして ある(類似性を利用して
三角形）：
変数分離方法を使用すると、次のことがわかります。
両側で増分がある場合の斜辺の変化のより一般的な式は次のとおりです。
この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次が得られます。
したがって、次のような望ましい答えに到達します。
簡単にわかるように、最終的な式には二次依存性が現れます。
三角形の辺と増分の間の比例関係、一方、合計は独立した要素に関係します。
さまざまな脚の増分による寄与。
脚の 1 つが増加しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます。
（この場合は足です） b）。 次に、積分定数については次のようになります。
ピタゴラスの定理は直角三角形にのみ適用されるため、与えられた三角形が直角三角形であることを確認してください。 で 直角三角形 x 3 つの角度のうちの 1 つは常に 90 度です。
- 直角三角形の直角は、斜角を表す曲線記号ではなく、正方形の記号で示されます。
三角形の辺にラベルを付けます。脚を「a」と「b」（脚は直角に交差する辺）、斜辺を「c」（斜辺は直角三角形の最大の辺で、直角の反対側にあります）とラベルを付けます。
三角形のどの辺を見つけたいかを決定します。ピタゴラスの定理を使用すると、直角三角形の任意の辺を見つけることができます (他の 2 つの辺がわかっている場合)。 どの辺 (a、b、c) を見つける必要があるかを決定します。
- たとえば、斜辺が 5 で、脚が 3 であるとします。この場合、2 番目の脚を見つける必要があります。 この例については後ほど説明します。
- 他の 2 つの辺が未知の場合、ピタゴラスの定理を適用するには、未知の辺の 1 つの長さを見つける必要があります。 これを行うには、基本的な 三角関数(斜角の 1 つの値が与えられている場合)。
与えられた値 (または見つけた値) を式 a 2 + b 2 = c 2 に代入します。 a と b は脚、c は斜辺であることに注意してください。
- この例では、3² + b² = 5² と書きます。
既知の各辺を正方形にします。または、べき乗をそのままにしておきます。後で数値を 2 乗することもできます。
- この例では、9 + b² = 25 と書きます。
方程式の片側の未知の側を分離します。これを行うには、既知の値を方程式の反対側に転送します。 斜辺が見つかった場合、ピタゴラスの定理では、斜辺はすでに方程式の片側で分離されています (したがって、何もする必要はありません)。
- この例では、9 を方程式の右側に移動して、未知の b² を分離します。 b² = 16 が得られます。
方程式の一方の側に未知数 (二乗) があり、もう一方の側に切片 (数値) が得られた後、方程式の両辺の平方根を求めます。
- この例では、b² = 16 です。方程式の両辺の平方根をとり、b = 4 を取得します。したがって、2 番目の脚は 4 になります。
ピタゴラスの定理を使用する 日常生活、多くの実用的な状況で使用できるためです。 これを行うには、日常生活で直角三角形を認識することを学びます。つまり、2 つのオブジェクト (または線) が直角に交差し、3 番目のオブジェクト (または線) が最初の 2 つのオブジェクト (または線) の頂点を (対角線で) 接続するあらゆる状況で直角三角形を認識できるようになります。行)、ピタゴラスの定理を使用して、未知の側面を見つけることができます (他の 2 つの側面が既知の場合)。
- 例: 建物にもたれかかっている階段があるとします。 下部階段は壁の根元から 5 メートルのところにあります。 上部階段は地面から 20 メートル (壁の上) にあります。 階段の長さはどれくらいですか？
- 「壁の基部から 5 メートル」とは、a = 5 を意味します。 「地面から 20 メートルの位置」とは、b = 20 を意味します (つまり、建物の壁と地球の表面は直角に交差するため、直角三角形の 2 本の脚が与えられます)。 階段の長さは斜辺の長さですが、不明です。
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- c = 20.6。 したがって、階段の長さはおよそ 20.6 メートルになります。
- 「壁の基部から 5 メートル」とは、a = 5 を意味します。 「地面から 20 メートルの位置」とは、b = 20 を意味します (つまり、建物の壁と地球の表面は直角に交差するため、直角三角形の 2 本の脚が与えられます)。 階段の長さは斜辺の長さですが、不明です。
ピタゴラスの定理: 脚の上に載っている正方形の面積の合計 ( あるそして b)、斜辺上に作られた正方形の面積に等しい( c).
幾何学的定式化:
この定理はもともと次のように定式化されました。
代数的定式化:
つまり、三角形の斜辺の長さを次のように表します。 c、および脚の長さ あるそして b :
ある 2 + b 2 = c 2定理の両方の定式化は同等ですが、2 番目の定式化はより基本的であり、面積の概念を必要としません。 つまり、2 番目のステートメントは、面積について何も知らなくても、直角三角形の辺の長さを測定するだけで検証できます。
逆ピタゴラスの定理:
証拠
現在、この定理の 367 件の証明が科学文献に記録されています。 おそらく、ピタゴラスの定理は、これほど多くの証明が行われている唯一の定理です。 このような多様性は、幾何学の定理の基本的な重要性によってのみ説明できます。
もちろん、概念的にはそれらはすべて少数のクラスに分類できます。 それらの中で最も有名なものは、面積法による証明、公理的およびエキゾチックな証明 (たとえば、微分方程式を使用した) です。
相似な三角形を通って
代数定式化の次の証明は、公理から直接構築された最も単純な証明です。 特に、図形の面積の概念は使用しません。
させて ABC直角を持つ直角三角形があります C。 から高さを描きましょう Cそしてその基底を次のように表します H。 三角形 ACH三角形に似た ABC 2つの角で。 同様に三角形 CBH似ている ABC。 表記法を導入することで
我々が得る
同等とは何ですか
それを合計すると、
面積法を使用した証明
以下の証明は単純そうに見えますが、まったく単純ではありません。 これらはすべて面積の性質を使用しており、その証明はピタゴラスの定理自体の証明よりも複雑です。
等相補性による証明
- 図1のように等しい直角三角形を4つ並べてみましょう。
- 辺のある四角形 c 2 つの鋭角の合計は 90°、直角は 180° であるため、 は正方形です。
- 図形全体の面積は、一方では辺（a + b）を持つ正方形の面積に等しく、他方では4つの三角形と2つの内部三角形の面積の合計に等しくなります。正方形。
Q.E.D.
等価性による証明
順列を使用したエレガントな証明
そのような証明の 1 つの例が右の図に示されています。ここでは、斜辺上に構築された正方形が、辺上に構築された 2 つの正方形に再配置されています。
ユークリッドの証明
ユークリッドの証明のための描画
ユークリッドの証明の図解
ユークリッドの証明の考え方は次のとおりです。斜辺の上に作られた正方形の面積の半分は、脚の上に作られた正方形の半分の面積の合計に等しいことを証明してみましょう。大きい正方形と小さい正方形 2 つは等しいです。
左の図を見てみましょう。 その上に、直角三角形の辺に正方形を作成し、直角 C の頂点から斜辺 AB に垂直な光線 s を描きます。斜辺上に構築された正方形 ABIK を 2 つの長方形 (BHJI と HAKJ) に切ります。それぞれ。 これらの長方形の面積は、対応する脚上に構築された正方形の面積と正確に等しいことがわかります。
正方形 DECA の面積が長方形 AHJK の面積に等しいことを証明してみましょう。これを行うには、補助的な観察を使用します。高さと底辺が同じ三角形の面積です。指定された長方形は、指定された長方形の面積の半分に等しくなります。 これは、三角形の面積を底辺と高さの積の半分として定義した結果です。 この観察から、三角形 ACK の面積は三角形 AHK (図には示されていません) の面積に等しく、三角形 AHK の面積は長方形 AHJK の面積の半分に等しいことがわかります。
ここで、三角形 ACK の面積も正方形 DECA の面積の半分に等しいことを証明しましょう。 このために行う必要がある唯一のことは、三角形 ACK と BDA が等しいことを証明することです (上記の性質によれば、三角形 BDA の面積は正方形の面積の半分に等しいため)。 等しいことは明らかで、三角形の両側とそれらの間の角度は等しい。 つまり、AB=AK、AD=AC - 角度 CAK と BAD が等しいことは、運動法によって簡単に証明できます。三角形 CAK を反時計回りに 90 度回転すると、2 つの三角形の対応する辺が次のとおりであることが明らかです。質問は一致します（正方形の頂点の角度が90°であるため）。
正方形 BCFG と長方形 BHJI の面積が等しい理由は完全に似ています。
したがって、斜辺上に作られた正方形の面積は、脚上に作られた正方形の面積で構成されることが証明されました。 この証明の背後にある考え方は、上のアニメーションでさらに詳しく説明されています。
レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
証明の主な要素は対称性と動きです。
対称性から分かるように、線分を描いたものを考えてみましょう。 C私正方形を切る あBHJ 2 つの同一の部分に分割します (三角形なので、 あBCそして JH私構造的には同等です）。 反時計回りに 90 度回転すると、影付きの数字が等しいことがわかります。 CあJ私 そして GDあB 。 これで、影を付けた図形の面積が、脚の上に作られた正方形の面積の半分と元の三角形の面積の合計に等しいことがわかります。 一方、斜辺上に作られた正方形の面積の半分に、元の三角形の面積を加えたものに等しくなります。 証明の最後のステップは読者に委ねられます。
無限小法による証明
微分方程式を使用した次の証明は、20 世紀前半に生きた有名な英国の数学者ハーディによるものであることがよくあります。
図に示した図面を見て、側面の変化を観察します。 ある、無限小の辺の増分に対して次の関係を書くことができます。 とそして ある(三角形の類似度を使用):
無限小法による証明
変数の分離方法を使用すると、次のようになります。
両側に増加がある場合の斜辺の変化のより一般的な式
この方程式を積分し、初期条件を使用すると、次のようになります。
c 2 = ある 2 + b 2 + 定数。こうして私たちは望ましい答えに到達します
c 2 = ある 2 + b 2 .簡単にわかるように、三角形の辺と増分の間の線形比例関係により、最終的な式の二次依存性が現れますが、合計はさまざまな脚の増分からの独立した寄与に関連付けられています。
レッグの 1 つに増分が発生しないと仮定すると、より簡単な証明が得られます (この場合、レッグ b）。 次に、積分定数を取得します。
バリエーションと一般化
- 正方形の代わりに他の同様の図形を側面に作成すると、ピタゴラスの定理の次の一般化が当てはまります。 直角三角形では、辺に作られた相似な図形の面積の合計は、斜辺に作られた図形の面積に等しくなります。特に：
- 脚の上に作られる正三角形の面積の和は、斜辺の上に作られる正三角形の面積に等しい。
- 脚上に構築された半円の面積（直径と同様）の合計は、斜辺上に構築された半円の面積に等しくなります。 この例は、ヒポクラテスの月面と呼ばれる 2 つの円の弧で囲まれた図形の特性を証明するために使用されます。
話
チュペイ 紀元前 500 ～ 200 年。 左側には、高さと底辺の長さの二乗の和が斜辺の長さの二乗であるという碑文があります。
チュペイが語る古代中国の本 ピタゴラスの三角形側面が 3、4、5 の場合: 同じ本の中で、バシャラのヒンドゥー教の幾何学の図面の 1 つと一致する図面が提案されています。
カントール (ドイツの偉大な数学史家) は、3² + 4² = 5² という等式は紀元前 2300 年頃にエジプト人にすでに知られていたと考えています。 たとえば、アメンエムハト 1 世の時代 (ベルリン博物館のパピルス 6619 による)。 カントールによれば、ハルペドナプテス、または「ロープ引き手」は、辺が 3、4、5 の直角三角形を使用して直角を構築しました。
彼らの構築方法を再現するのは非常に簡単です。 長さ12メートルのロープを用意し、それに3メートルの距離で色のついたストリップを結びましょう。 一方の端からもう一方の端まで4メートル。 直角は長さ 3 ～ 4 メートルの辺の間に囲まれます。 ハルペドナプティア人にとっては、たとえば、すべての大工が使用する木製の正方形を使用すると、彼らの建築方法が不必要になるという反論があるかもしれません。 実際、そのような道具が見られるエジプトの図面、例えば大工の作業場を描いた図面が知られている。
バビロニア人の間ではピタゴラスの定理についてもう少し詳しく知られています。 ハンムラビの時代、つまり紀元前 2000 年に遡る文書の中にあります。 つまり、直角三角形の斜辺の近似計算が与えられます。 このことから、メソポタミアでは、少なくともいくつかの場合において、直角三角形を使用した計算を実行できたと結論付けることができます。 一方では、エジプトとバビロニアの数学に関する現在の知識レベルに基づいて、他方ではギリシャの資料の批判的研究に基づいて、ファン デル ワールデン (オランダの数学者) は次の結論に達しました。
文学
ロシア語で
- スコペッツ Z.A.幾何学的なミニチュア。 M.、1990
- エレンスキー・シュッチ。ピタゴラスの足跡をたどります。 M.、1961
- ファン デル ワールデン B.L.科学の覚醒。 数学 古代エジプト、バビロンとギリシャ。 M.、1959 年
- グレイザー G.I.学校での数学の歴史。 M.、1982
- W. リッツマン、「ピタゴラスの定理」M.、1960 年。
- ピタゴラスの定理に関するサイト。V. リッツマンの本から引用した多数の証明が掲載されています。 大きな数図面は個別のグラフィック ファイルの形式で表示されます。
- D. V. アノソフ著『数学とそこから得た何か』のピタゴラスの定理とピタゴラスの三重項の章
- ピタゴラスの定理とその証明方法について G. Glaser、ロシア教育アカデミー会員、モスクワ
英語で
- WolframMathWorldのピタゴラスの定理
- Cut-The-Knot、ピタゴラスの定理に関するセクション、約 70 の証明と広範な追加情報 (英語)
ウィキメディア財団。 2010年。
100%確実に言えることは、斜辺の二乗は何かと尋ねられたら、大人なら誰でも大胆に「足の二乗の和」と答えるだろうということです。 この定理は教育を受けたすべての人の心にしっかりと根付いていますが、誰かに証明してもらう必要があるだけで、困難が生じる可能性があります。 したがって、ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を思い出して考えてみましょう。
略歴
ピタゴラスの定理はほとんどの人によく知られていますが、どういうわけか、それを世にもたらした人物の伝記はあまり人気がありません。 これは修正できます。 したがって、ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を検討する前に、ピタゴラスの性格について簡単に知る必要があります。
ピタゴラス - 哲学者、数学者、思想家 元々は今日、彼の伝記をこの偉大な男を記念して発展した伝説から区別することは非常に困難です。 しかし、彼の信奉者の著作からわかるように、サモスのピタゴラスはサモス島で生まれました。 彼の父親は普通の石切り職人でしたが、母親は貴族の出身でした。
伝説から判断すると、ピタゴラスの誕生はピシアという女性によって予言され、その名をとって少年はその名をとられました。 彼女の予言によれば、生まれてくる男の子は人類に多くの利益と善をもたらすはずだった。 それはまさに彼がやったことだ。
定理の誕生
若い頃、ピタゴラスはエジプトに移り、そこで有名なエジプトの賢者たちに会いました。 彼らと会った後、彼は勉強することを許可され、そこでエジプトの哲学、数学、医学のすべての偉大な成果を学びました。
ピタゴラスがピラミッドの威厳と美しさに触発され、偉大な理論を生み出したのはおそらくエジプトでした。 これは読者にショックを与えるかもしれないが、現代の歴史家はピタゴラスが彼の理論を証明していないと信じている。 しかし、彼は自分の知識を弟子たちに伝えただけで、彼らは後に必要な数学的計算をすべて完了させました。
それはともかく、今日、この定理を証明する方法は 1 つだけではなく、一度にいくつかあります。 今日、古代ギリシャ人がどのように正確に計算を実行したかは推測することしかできません。そこで、ここではピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を見てみましょう。
ピタゴラスの定理
計算を開始する前に、どのような理論を証明したいのかを把握する必要があります。 ピタゴラスの定理は次のようになります。「角度の 1 つが 90°である三角形では、脚の二乗の和は斜辺の二乗に等しい」。
ピタゴラスの定理を証明するには 15 の異なる方法があります。 これで十分です 大きな数、その中で最も人気のあるものに注目してみましょう。
方法 1
まず、私たちに与えられたものを定義しましょう。 これらのデータはピタゴラスの定理を証明する他の方法にも適用されるため、利用可能なすべての表記法をすぐに覚えておく価値があります。
脚 a、b と斜辺が c に等しい直角三角形が与えられたとします。 最初の証明方法は、直角三角形から正方形を描く必要があるという事実に基づいています。
これを行うには、長さ a の脚にセグメントを追加する必要があります。 脚に等しいで、その逆も同様です。 これにより、正方形の 2 つの等しい辺が得られます。 あとは2本の平行線を引くだけで正方形が完成します。
結果の図の中に、辺のある別の正方形を描く必要があります 斜辺に等しい本来の三角形。 これを行うには、頂点 ас と св から с に等しい 2 つの平行な線分を描く必要があります。 したがって、正方形の 3 つの辺が得られ、そのうちの 1 つは元の直角三角形の斜辺になります。 残っているのは 4 番目のセグメントを描画することだけです。
結果の図に基づいて、外側の正方形の面積は (a + b) 2 であると結論付けることができます。 図の中を見ると、内側の正方形に加えて、4 つの直角三角形があることがわかります。 それぞれの面積は0.5avです。
したがって、面積は次のようになります: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
したがって、(a + b) 2 = 2ab + c 2
したがって、c 2 =a 2 +b 2
定理は証明されました。
方法 2: 相似な三角形
ピタゴラスの定理を証明するためのこの公式は、相似な三角形に関する幾何学のセクションの記述に基づいて導出されました。 それは、直角三角形の脚は、その斜辺と、90°の角度の頂点から伸びる斜辺のセグメントに比例する平均であると述べています。
初期データはそのままなので、早速証明を始めましょう。 辺ABに垂直な線分CDを描きましょう。 上記の記述に基づくと、三角形の足は等しいです。
AC=√AB*AD、SV=√AB*DV。
ピタゴラスの定理をどのように証明するかという問題に答えるには、両方の不等式を二乗することによって証明を完了する必要があります。
AC 2 = AB * AD および CB 2 = AB * DV
次に、結果として生じる不等式を合計する必要があります。
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV)、AD + DV = AB
次のことがわかります。
AC2+CB2=AB*AB
したがって：
AC 2 + CB 2 = AB 2
ピタゴラスの定理の証明と さまざまな方法その解決策には、この問題に対する多面的なアプローチが必要です。 ただし、このオプションは最も単純なオプションの 1 つです。
別の計算方法
ピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法の説明は、実際に実践し始めるまでは何の意味もないかもしれません。 多くのテクニックには、数学的な計算だけでなく、元の三角形から新しい図形を構築することも含まれます。
この場合、辺BCから再度直角三角形VSDを完成させる必要がある。 したがって、共通の脚 BC を持つ 2 つの三角形が存在します。
相似図形の面積は、相似図形の二乗と同じ比率であることを知る 直線寸法、 それ：
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(2 - から 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
2 - から 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
8 年生向けのピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法のうち、このオプションはほとんど適切ではないため、次の方法を使用できます。
ピタゴラスの定理を証明する最も簡単な方法。 レビュー
歴史家によると、この方法は、定理を証明するために初めて使用されました。 古代ギリシャ。 まったく計算を必要としないため、最も簡単です。 絵を正しく描けば、a 2 + b 2 = c 2 という命題の証明がはっきりと見えます。
条件 この方法前回とは若干異なります。 定理を証明するには、直角三角形 ABC が二等辺であると仮定します。
斜辺 AC を正方形の辺として取り、その 3 つの辺を描きます。 さらに、得られた正方形に 2 本の対角線を引く必要があります。 つまり、その中には 4 つの二等辺三角形ができます。
また、脚 AB と CB に正方形を描き、それぞれに斜めの直線を 1 本描く必要があります。 最初の線を頂点 A から描き、2 番目の線を頂点 C から描きます。
次に、結果として得られる図面を注意深く見る必要があります。 斜辺 AC 上には元の三角形と等しい 4 つの三角形があり、辺上には 2 つの三角形があるため、これはこの定理が真実であることを示しています。
ちなみに、ピタゴラスの定理を証明するこの方法のおかげで、「ピタゴラスのパンツはどの方向でも等しい」という有名なフレーズが生まれました。
J. ガーフィールドの証明
ジェームズ・ガーフィールドはアメリカ合衆国の第20代大統領です。 彼はアメリカ合衆国の統治者として歴史に名を残しただけでなく、才能ある独学でもありました。
キャリアの初めは公立学校の普通の教師でしたが、すぐに最高レベルの学校の校長になりました。 教育機関。 自己啓発への欲求により、彼はピタゴラスの定理を証明するための新しい理論を提案することができました。 定理とその解法例は以下の通りです。
まず、紙の上に 2 つの直角三角形を描き、そのうちの 1 つの足が 2 つ目の足と連続するようにします。 最終的に台形を形成するには、これらの三角形の頂点を接続する必要があります。
ご存知のとおり、台形の面積は、底辺と高さの合計の半分の積に等しくなります。
S=a+b/2 * (a+b)
得られた台形を 3 つの三角形からなる図形として考えると、その面積は次のように求められます。
S=av/2 *2 + s 2 /2
ここで、2 つの元の式を等しくする必要があります。
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =a 2 +b 2
ピタゴラスの定理とその証明方法については、複数の本が書けるでしょう。 教材。 しかし、この知識が実際に適用できない場合、意味があるでしょうか?
ピタゴラスの定理の実践
残念ながら、現代の学校カリキュラムでは、この定理の使用は幾何学問題でのみ規定されています。 卒業生は、自分の知識やスキルを実際にどのように応用できるかわからないまま、まもなく学校を卒業することになります。
実際、ピタゴラスの定理は誰でも日常生活で活用できます。 そしてそれだけではなく 専門的な活動, だけでなく、通常の家事でも。 ピタゴラスの定理とその証明方法が非常に必要となるいくつかのケースを考えてみましょう。
定理と天文学の関係
紙の上の星と三角形がどのように接続できるかのように見えます。 実は天文学というのは、 科学分野, ピタゴラスの定理を多用しています。
たとえば、空間内の光線の動きを考えてみましょう。 光は両方向に同じ速度で移動することが知られています。 光線が進む軌道を AB とします。 私. そして、光が点 A から点 B に到達するのにかかる時間の半分を呼び出しましょう t。 そしてビームの速度 - c. 次のことがわかります。 c*t=l
この同じ光線を別の平面、たとえば速度 v で移動する宇宙船から見ると、この方法で物体を観察すると、その速度が変化します。 この場合、静止している要素も速度 v で反対方向に動き始めます。
コミックライナーが右に航行しているとします。 次に、ビームが突入する点AとBが左に移動し始めます。 さらに、ビームが点 A から点 B に移動するとき、点 A には移動する時間があり、したがって、光はすでに新しい点 C に到着しています。点 A が移動した距離の半分を求めるには、次の式を乗算する必要があります。ライナーの速度はビームの移動時間 (t ") の半分になります。
この間に光線がどのくらいの距離を移動できるかを調べるには、経路の半分を新しい文字 s でマークし、次の式を取得する必要があります。
光の点 C と B、およびスペースライナーが二等辺三角形の頂点であると想像すると、点 A からライナーまでの線分は二等辺三角形を 2 つの直角三角形に分割します。 したがって、ピタゴラスの定理のおかげで、光線が到達できる距離を知ることができます。
もちろん、この例は最も成功した例というわけではありません。実際に試してみることができるのは幸運にも少数の人だけだからです。 したがって、この定理のより日常的な応用を考えてみましょう。
モバイル信号の送信範囲
現代の生活はもはやスマートフォンの存在なしでは考えられません。 しかし、モバイル通信経由で加入者と接続できなければ、どれほどの用途があるでしょうか?!
モバイル通信の品質は、アンテナが設置されている高さに直接依存します。 携帯電話会社。 電話機が携帯電話の塔からどれくらいの距離で信号を受信できるかを計算するには、ピタゴラスの定理を適用できます。
半径 200 キロメートル以内に信号を配信できるように、固定塔のおおよその高さを見つける必要があるとします。
AB (タワーの高さ) = x;
BC (信号伝送半径) = 200 km;
OS(半径 グローブ) = 6380 km。
OB=OA+ABOB=r+x
ピタゴラスの定理を適用すると、塔の最小の高さは 2.3 キロメートルである必要があることがわかります。
日常生活におけるピタゴラスの定理
奇妙なことに、ピタゴラスの定理は次のような場合にも役立ちます。 家事たとえば、ワードローブの高さを決定するなど。 一見すると、そのようなものを使用する必要はありません 複雑な計算、巻尺を使用して簡単に測定できるためです。 しかし、すべての測定が正確以上に行われているのに、なぜ組み立てプロセス中に特定の問題が発生するのか疑問に思う人は少なくありません。
実際のところ、ワードローブは水平位置で組み立てられ、その後持ち上げられて壁に対して設置されます。 したがって、構造物を持ち上げるプロセス中、キャビネットの側面は部屋の高さに沿って、および部屋の対角線の両方に自由に移動する必要があります。
奥行き800mmのワードローブがあると仮定します。 床から天井までの距離 - 2600 mm。 経験豊富な家具メーカーは、キャビネットの高さは部屋の高さより 126 mm 低くする必要があると言います。 しかし、なぜ正確に 126 mm なのでしょうか? 例を見てみましょう。
理想的なキャビネットの寸法を使用して、ピタゴラスの定理の動作を確認してみましょう。
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - すべてが適合します。
キャビネットの高さが 2474 mm ではなく、2505 mm であるとします。 それから：
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm。
したがって、このキャビネットはこの部屋への設置には適していません。 垂直位置に持ち上げると本体を損傷する可能性があるためです。
おそらく、さまざまな科学者がピタゴラスの定理を証明するさまざまな方法を検討した結果、それが真実以上であると結論付けることができるでしょう。 これで、受け取った情報を日常生活で使用することができ、すべての計算が役に立つだけでなく、正確であることを完全に確信できます。
