関数のグラフは、グラフの最も単純な変換です。 グラフの変換

仮説: 関数方程式を形成する際のグラフの動きを研究すると、すべてのグラフが一般法則に従うことがわかります。したがって、関数に関係なく一般法則を定式化することが可能であり、これにより関数方程式の構築が容易になるだけでなく、さまざまな関数のグラフだけでなく、問題解決にも使用します。

目標: 関数のグラフの動きを研究する:

1) その仕事は文学を勉強することです

2) さまざまな関数のグラフの作成を学びます

3) グラフの変換を学ぶ 一次関数

4) 問題を解く際にグラフを使用する問題を考慮する

研究対象: 関数グラフ

研究対象：関数グラフの動き

関連性: 関数のグラフの作成には通常、多くの時間がかかり、学生の注意が必要ですが、関数のグラフと基本関数のグラフの変換ルールを知っていれば、関数のグラフを迅速かつ簡単に作成できます。これにより、関数のグラフを構築するためのタスクを完了できるだけでなく、それに関連する問題を解決することもできます（最大値（時間と集合点の最小高さ）を見つけるため）

このプロジェクトは学校のすべての生徒にとって役立ちます。

文献レビュー:

文献では、さまざまな関数のグラフを構築する方法と、これらの関数のグラフを変換する例について説明しています。 ほぼすべての主要な機能のグラフはさまざまな技術プロセスで使用されており、プロセスの流れをより明確に視覚化し、結果をプログラムすることができます。

永続的な機能。 この関数は、式 y = b で与えられます。ここで、b は特定の数です。 定数関数のグラフは、横軸に平行で、縦軸の点(0; b)を通る直線です。 関数 y = 0 のグラフが x 軸です。

関数の種類 1正比例。 この関数は式 y = kx で与えられます。ここで、比例係数 k ≠ 0 です。正比例のグラフは原点を通る直線です。

線形関数。 このような関数は、式 y = kx + b で与えられます。ここで、k と b は次のとおりです。 実数。 一次関数のグラフは直線です。

一次関数のグラフは交差したり平行になったりすることがあります。

したがって、一次関数 y = k 1 x + b 1 および y = k 2 x + b 2 のグラフの線は、k 1 ≠ k 2 の場合に交差します。 k 1 = k 2 の場合、線は平行になります。

2反比例は、式 y = k/x (k ≠ 0) で与えられる関数です。K は反比例係数と呼ばれます。 反比例のグラフは双曲線になります。

関数 y = x 2 は、区間 [-~; 0] の間隔で関数は減少し、その間隔で関数は増加します。

関数 y = x 3 は数直線全体に沿って増加し、三次放物線でグラフで表されます。

自然指数を使用したべき乗関数。 この関数は、式 y = x n で与えられます。ここで、n は 自然数。 チャート べき乗関数自然指数付きはnに依存します。 たとえば、n = 1 の場合、グラフは直線 (y = x) になり、n = 2 の場合、グラフは放物線になります。

負の整数の指数を持つべき関数は、式 y = x -n で表されます。n は自然数です。 この関数はすべての x ≠ 0 に対して定義されます。関数のグラフは指数 n にも依存します。

正の小数指数をもつべき関数。 この関数は、式 y = x r で表されます。ここで、r は正の既約分数です。 この関数も偶数でも奇数でもありません。

従属変数と独立変数の関係を座標平面上に表示する折れ線グラフ。 グラフはこれらの要素を視覚的に表示するために役立ちます

独立変数とは、関数定義の領域で任意の値を取ることができる変数です (指定された関数が意味を持つ (0 で割ることはできない))。

必要な関数のグラフを作成するには

1) VA (許容値の範囲) を見つける

2) 独立変数としていくつかの任意の値を取得します

3) 従属変数の値を見つける

4) 座標平面を構築し、その上にこれらの点をマークします。

5) 必要に応じて線を接続し、結果のグラフを調べます。 グラフの変換 初等関数.

グラフの変換

残念ながら、純粋な形では、基本的な初等関数はそれほど一般的ではありません。 より多くの場合、定数と係数を追加することによって基本的な初等関数から得られる初等関数を処理する必要があります。 このような関数のグラフは、対応する基本初等関数のグラフに幾何学的変換を適用する (または新しい座標系に切り替える) ことによって構築できます。 例えば、 二次関数式は 二次放物線縦軸に対して 3 倍圧縮され、横軸に対して対称的に表示され、この軸の方向に対して 2/3 単位だけシフトされ、縦軸に沿って 2 単位だけシフトされた数式。

具体的な例を使用して、関数のグラフのこれらの幾何学的変換を段階的に理解してみましょう。

関数 f(x) のグラフの幾何学的変換を使用して、数式の形式の任意の関数のグラフを構築できます。ここで、数式は、それぞれ oy 軸と ox 軸に沿った圧縮係数または伸縮係数であり、先頭にマイナス記号が付きます。式の と式の係数は、座標軸に対するグラフの対称表示を示します。 a と b は、それぞれ横軸と縦軸に対するシフトを決定します。

したがって、関数のグラフの幾何学的変換には 3 つのタイプがあります。

1 つ目のタイプは、横軸と縦軸に沿ったスケーリング (圧縮または伸縮) です。

スケーリングの必要性は、1 以外の数式係数によって示されます。数値が 1 より小さい場合、グラフは oy を基準にして圧縮され、数値が 1 より大きい場合は、縦軸に沿って拡大されます。そして横軸に沿って圧縮します。

2 つ目は、座標軸に対して対称 (ミラー) 表示です。

この変換の必要性は、式 (この場合、グラフを ox 軸に関して対称的に表示します) と式 (この場合、グラフを oy 軸に関して対称的に表示します) の係数の前にあるマイナス記号によって示されます。軸）。 マイナス記号がない場合、このステップはスキップされます。

物理的プロセスの条件に応じて、ある量は一定の値をとり、定数と呼ばれますが、他の量は特定の条件下で変化し、変数と呼ばれます。

注意深く研究する 環境を示す 物理量相互に依存しています。つまり、ある量の変化は他の量の変化を伴います。

数学的分析は、特定の物理的意味を抽象化して、相互に変化する量間の定量的関係の研究を扱います。 数学的解析の基本概念の 1 つは関数の概念です。

集合の要素と集合の要素を考慮する
(図3.1)。

集合の要素間に何らかの対応関係が確立されている場合
そして ルールの形で 、その後、関数が定義されていることに気づきました。
.

意味 3.1. 対応 、各要素に関連付けられます 空集合ではない
明確に定義された要素 空集合ではない 、関数またはマッピングと呼ばれます
V .

象徴的に表示する
V は次のように書かれています。

.

同時に、多くの
は関数の定義域と呼ばれ、次のように表されます。
.

順番に、多くの は関数の値の範囲と呼ばれ、次のように表されます
.

さらに、セットの要素に注意してください。
独立変数、集合の要素と呼ばれます は従属変数と呼ばれます。

関数の指定方法

関数は、表形式、グラフ形式、分析形式の主な方法で指定できます。

実験データに基づいて、関数の値と対応する引数の値を含むテーブルがコンパイルされる場合、関数を指定するこの方法はテーブル形式と呼ばれます。

同時に、実験結果のいくつかの研究が記録装置（オシロスコープ、記録装置など）に表示される場合、関数はグラフィックで指定されることに注意してください。

最も一般的なのは、関数を指定する分析的な方法です。 式を使用して独立変数と従属変数をリンクする方法。 この場合、関数の定義ドメインが重要な役割を果たします。

それらは同じ分析関係によって与えられますが、異なります。

関数式のみを指定する場合
、その後、この関数の定義領域が変数のそれらの値のセットと一致すると考えます。 、その式は
意味があります。 この点で、関数の定義領域を見つける問題は特別な役割を果たします。

タスク 3.1. 関数のドメインを見つける

解決

最初の項は次の場合に実数値を取ります。
、そして2番目のat。 したがって、定義域を見つけるには、 与えられた関数不平等系を解決する必要があります。

結果として、このようなシステムの解決策は です。 したがって、関数の定義域はセグメントです。
.

関数グラフの最も単純な変換

基本的な初等関数のよく知られたグラフを使用すると、関数グラフの構築を大幅に簡素化できます。 次の関数は主要な基本関数と呼ばれます。

1) べき乗関数
どこ
;

2) 指数関数
どこ
そして
;

3) 対数関数
、 どこ - 1 以外の正の数:
そして
;

4) 三角関数




;
.

5) 逆三角関数
;
;
;
.

初等関数とは、基本的な初等関数を四則演算と有限回の重ね合わせにより求めた関数です。

単純な幾何学的変換により、関数のグラフを構築するプロセスを簡素化することもできます。 これらの変換は次のステートメントに基づいています。

関数 y=f(x+a) のグラフは、グラフ y=f(x) を (>0 の場合は左に、a の場合は) シフトしたものです。< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

関数 y=f(x) +b のグラフは、グラフ y=f(x) を (b>0 で上に、b で) シフトしたものです。< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

関数 y = mf(x) (m0) のグラフは、y = f(x) のグラフを (m>1 で) m 回引き伸ばし、または (0 で) 圧縮したものです。

関数 y = f(kx) のグラフは、y = f(x) のグラフを k 回圧縮 (k >1 の場合)、または引き伸ばし (0 の場合) したものです。< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

バックフォワード

注意！ スライド プレビューは情報提供のみを目的としており、プレゼンテーションのすべての機能を表しているわけではありません。 もし興味があれば この作品、完全版をダウンロードしてください。

レッスンの目的:関数グラフの変換パターンを決定します。

タスク:

教育:

• 平行移動、圧縮 (ストレッチ)、圧縮 (ストレッチ) などを使用して、指定された関数のグラフを変換することによって、関数のグラフを作成することを生徒に教えます。 異なる種類対称。

教育:

• 生徒の個人的な資質（聞く能力）、他人に対する善意、気配り、正確さ、規律、そしてグループで働く能力を養います。
• 主題への興味と知識を獲得する必要性を育てます。

発達:

• 空間的な想像力を養い、 論理的思考学生は環境を素早く移動する能力。 知性、機知を開発し、記憶力を訓練します。

装置：

• マルチメディアのインストール: コンピューター、プロジェクター。

文学：

1. バシュマコフ、M. I. 数学 [テキスト]: 教育機関向けの教科書。 そして水曜日 教授 教育/M.I.バシュマコフ - 第5版、改訂。 – M.: パブリッシング センター「アカデミー」、2012 年。 – 256 p.
2. バシュマコフ、M. I. 数学。 問題集【テキスト】：教科書。 教育手当 早期に機関 そして水曜日 教授 教育 / M. I. バシュマコフ – M.: 出版センター「アカデミー」、2012 – 416 p。

レッスンプラン：

1. 組織に関する瞬間 (3 分)。
2. 知識を更新する (7 分)。
3. 新教材の説明（20分）
4. 新しい材料の統合 (10 分)。
5. レッスンの概要 (3 分)。
6. 宿題(2分)。

授業中

1.組織 瞬間（3分）。

出席者を確認しています。

レッスンの目的を伝えます。

変数間の依存関係としての関数の基本的な特性は、これらの量の測定方法を変更した場合、つまり測定スケールと基準点を変更した場合に大きく変わってはなりません。 ただし、それ以上の理由により、 合理的な選択可変量を測定する方法では、通常、それらの間の関係の記録を簡素化し、この記録を何らかの標準形式にすることが可能です。 幾何学的言語では、値の測定方法を変更するということは、グラフのいくつかの単純な変換を意味します。これについては今日学習します。

2. 知識の更新 (7 分)。

グラフの変換について話す前に、これまで説明した内容を復習しましょう。

口頭仕事。 (スライド 2)。

与えられた関数:

3. 関数のグラフを説明します。 , , , .

3. 新しい資料の説明 (20 分)。

グラフの最も単純な変換は、並列転送、圧縮 (ストレッチ)、およびある種の対称性です。 いくつかの変換を表に示します。 (別紙1)、（スライド 3）。

グループで作業します。

各グループは、与えられた関数のグラフを作成し、ディスカッションのために結果を提示します。

関数	関数のグラフを変形する	機能例	滑り台
	OUの上 あユニットアップの場合 あ>0、かつ |A| 上 ユニットがダウンしている場合 あ<0.	,	(スライド 4)
	軸に沿った平行移動 おおの上 あ右側の単位の場合 あ>0、以降 - あ左側の単位の場合 あ<0.	,	(スライド 5)

画像や数式を使わずに作品のテキストを掲載します。
作品の完全版は、[作品ファイル] タブから PDF 形式で入手できます。

導入

関数グラフの変換は、実際の活動に直接関係する基本的な数学的概念の 1 つです。 関数のグラフの変換は、9 年生の代数学で「二次関数」というトピックを勉強するときに初めて遭遇します。 二次関数は、二次方程式や不等式と密接に関連して導入および研究されます。 また、多くの数学的概念はグラフィック手法によって考慮されます。たとえば、10 年生から 11 年生では、関数の学習により、関数の定義領域と値の領域、減少または増加の領域、漸近線を見つけることができます。 、定数記号の間隔など。この重要な問題は GIA でも取り上げられます。 したがって、関数のグラフを作成して変換することは、学校で数学を教える主なタスクの 1 つであるということになります。

ただし、多くの関数のグラフをプロットするには、プロットを簡単にするさまざまな方法を使用できます。 上記で決まります 関連性研究テーマ。

研究対象学校の数学でグラフの変形を勉強することです。

研究テーマ -中学校における関数グラフの構築と変換のプロセス。

問題のある質問: 初等関数のグラフ変換のスキルがあれば、知らない関数のグラフを構築することは可能でしょうか？

目標：不慣れな状況で関数をプロットする。

タスク:

1. 研究中の問題に関する教材を分析します。 2. 学校の数学コースで関数のグラフを変換するためのスキームを特定します。 3. 関数グラフを構築および変換するための最も効果的な方法および手段を選択します。 4.この理論を問題解決に適用できるようになります。

必要な初期知識、スキル、能力:

関数を指定するさまざまな方法で、引数の値によって関数の値を決定します。

研究した関数のグラフを作成します。

グラフを使用して関数の動作とプロパティを記述し、最も単純な場合には、関数のグラフから最大値と最小値を見つけます。

さまざまな依存関係の関数を使用した説明、グラフィカルな表現、グラフの解釈。

主要部分

理論部分

関数 y = f(x) の最初のグラフとして、二次関数を選択します。 y = x 2 . この関数を定義する式の変更に関連してこのグラフが変形するケースを検討し、任意の関数について結論を導き出します。

1. 関数 y = f(x) + a

新しい式では、「古い」関数値と比較して、関数値 (グラフ点の縦軸) が数値 a だけ変化します。 これにより、関数グラフが OY 軸に沿って並列転送されます。

a > 0 の場合はアップ。 ダウンした場合< 0.

結論

したがって、関数 y=f(x)+a のグラフは、関数 y=f(x) のグラフから、a > 0 の場合は単位を上げ、単位を下げる縦軸に沿った平行移動を使用して取得されます。もし< 0.

2. 関数 y = f(x-a)、

新しい式では、引数の値 (グラフの点の横軸) が、「古い」引数の値と比較して数値 a だけ変化します。 これにより、関数グラフが OX 軸に沿って並行して転送されます。< 0, влево, если a >0.

結論

これは、関数 y= f(x - a) のグラフは、関数 y=f(x) のグラフから、a > 0 の場合は横軸に沿って 1 単位ずつ左に平行移動することによって得られることを意味します。右側に 1 単位の場合< 0.

3. 関数 y = k f(x)、ここで、k > 0 および k ≠ 1

新しい式では、関数値 (グラフ点の縦軸) は、「古い」関数値と比較して k 倍変化します。 これにより、次の結果が得られます。 1) OY 軸に沿った点 (0; 0) から k 倍の「伸長」 (k > 1 の場合)、2) OY 軸に沿った点 (0; 0) までの「圧縮」 0 の場合は係数< k < 1.

結論

結果: 関数 y = kf(x) (k > 0 および k ≠ 1) のグラフをプロットするには、点の縦座標が必要です。 与えられたスケジュール関数 y = f(x) に k を掛けます。 このような変換は、k > 1 の場合、点 (0; 0) から OY 軸に沿って k 回ストレッチすると呼ばれます。 OY 軸に沿った点 (0; 0) への圧縮に 0 を乗算< k < 1.

4. 関数 y = f(kx)、k > 0、k ≠ 1

新しい式では、引数の値 (グラフ点の横座標) は、「古い」引数の値と比較して k 回変化します。 これにより、次の結果が得られます。 1) 点 (0; 0) から OX 軸に沿って 1/k 倍 (0 の場合) に「ストレッチ」します。< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

結論

したがって、関数 y = f(kx) (k > 0 および k ≠ 1) のグラフを構築するには、関数 y=f(x) の指定されたグラフの点の横座標に k を乗算する必要があります。 。 このような変換は、点 (0; 0) から OX 軸に沿って 1/k 倍 (0 の場合) に引き伸ばすと呼ばれます。< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. 関数 y = - f (x)。

この式では関数の値（グラフ点の縦軸）が反転します。 この変更により、関数の元のグラフが Ox 軸に対して対称的に表示されます。

結論

関数 y = - f (x) のグラフをプロットするには、関数 y= f(x) のグラフが必要です。

OX 軸に関して対称に反射します。 この変換をOX軸を中心とした対称変換と呼びます。

6. 関数 y = f (-x)。

この式では、引数（グラフ点の横軸）の値が反転します。 この変更により、関数の元のグラフが OY 軸に対して対称的に表示されます。

関数 y = - x² の例では、この関数は偶数であり、変換後にグラフが変化しないため、この変換は目立ちません。 この変換は、関数が奇数の場合と、偶数でも奇数でもない場合に表示されます。

7. 関数 y = |f(x)|。

新しい式では、関数値 (グラフ点の縦軸) は係数記号の下にあります。 これにより、元の関数のグラフの負の縦軸を持つ部分 (つまり、Ox 軸に対して下半平面に位置する部分) が消え、これらの部分が Ox 軸に対して対称的に表示されます。

8. 関数 y= f (|x|)。

新しい式では、引数の値 (グラフ点の横座標) は係数記号の下にあります。 これにより、元の関数のグラフの負の横座標を持つ部分 (つまり、OY 軸に対して左半平面に位置する部分) が消失し、OY 軸に対して対称な元のグラフの部分で置き換えられます。 。

実践編

上記の理論の応用例をいくつか見てみましょう。

例 1.

解決。変身しましょう この式:

1) 関数のグラフを作成しましょう

例 2.

数式で与えられた関数をグラフ化する

解決。 この二次三項式の二項式の二乗を分離して、この式を変形してみましょう。

1) 関数のグラフを作成しましょう

2) 構築したグラフをベクトルに並列転送する

例 3.

統一州試験の課題 区分関数のグラフ化

関数のグラフ 関数 y=|2(x-3)2-2| のグラフ。 1