今日は、私たちと一緒に関数のグラフを探索して構築してみませんか。 この記事を注意深く読んだ後は、この種のタスクを完了するために長時間汗をかく必要はありません。 関数のグラフを研究して構築するのは簡単ではありません。最大限の注意と計算の正確さが必要な膨大な作業です。 教材を理解しやすくするために、同じ関数を段階的に学習し、すべてのアクションと計算を説明します。 素晴らしく魅力的な数学の世界へようこそ! 行く！

ドメイン

関数を調べてグラフ化するには、いくつかの定義を知っておく必要があります。 関数は数学の主要な (基本的な) 概念の 1 つです。 これは、変更中の複数の変数 (2 つ、3 つ以上) 間の依存関係を反映します。 この関数はセットの依存性も示します。

一定の変化範囲を持つ 2 つの変数があると想像してください。 したがって、2 番目の変数の各値が 2 番目の変数の 1 つの値に対応するとすると、y は x の関数になります。 この場合、変数 y は依存しており、関数と呼ばれます。 変数 x と y は次のとおりであると言うのが通例です。この依存関係をより明確にするために、関数のグラフが作成されます。 関数のグラフとは何ですか? これは座標平面上の点のセットであり、各 x 値が 1 つの y 値に対応します。 グラフは、直線、双曲線、放物線、正弦波など、さまざまなものにすることができます。

研究なしに関数をグラフ化することは不可能です。 今日は、調査を行って関数のグラフを作成する方法を学びます。 勉強中にメモを取ることは非常に重要です。 これにより、タスクへの対処がはるかに容易になります。 ほとんど 便利なプラン研究：

1. ドメイン。
2. 連続。
3. 偶数か奇数か。
4. 周期性。
5. 漸近線。
6. ゼロ。
7. 署名の恒常性。
8. 増えたり減ったり。
9. 極端。
10. 凸面と凹面。

最初のポイントから始めましょう。 定義領域、つまり関数がどのような間隔で存在するかを見つけてみましょう: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)。 私たちの場合、関数は x の任意の値に対して存在します。つまり、定義域は R に等しいです。これは次のように書くことができます x∎R。

連続

次に、不連続関数を調べます。 数学では、運動法則の研究の結果として「連続性」という用語が登場しました。 無限とは何ですか？ 空間、時間、いくつかの依存関係 (例として、運動問題における変数 S と t の依存関係)、加熱された物体の温度 (水、フライパン、温度計など)、連続線 (つまり、シート鉛筆から持ち上げずに描くことができます）。

グラフは、ある時点で途切れない場合、連続しているとみなされます。 最も重要なものの 1 つ 実例このようなグラフは正弦波であり、このセクションの図で見ることができます。 いくつかの条件が満たされる場合、関数はある点 x0 で連続になります。

• 関数は特定の時点で定義されます。
• ある点における右端と左端は等しい。
• 制限は点 x0 における関数の値に等しくなります。

少なくとも 1 つの条件が満たされない場合、関数は失敗すると言われます。 そして、関数が中断されるポイントは、通常、ブレークポイントと呼ばれます。 グラフィカルに表示すると「壊れる」関数の例は、y=(x+4)/(x-3) です。 また、点 x = 3 には y は存在しません (0 で割ることは不可能なので)。

私たちが研究している関数 (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) では、グラフが連続であるため、すべてが単純であることがわかりました。

偶数、奇数

次に、関数のパリティを調べます。 まず、ちょっとした理論です。 偶数関数とは、変数 x の任意の値 (値の範囲内) について条件 f(-x)=f(x) を満たす関数です。 例としては次のものが挙げられます。

• モジュール x (グラフは daw、グラフの第 1 四半期と第 2 四半期の二等分線のように見えます)。
• x の 2 乗 (放物線);
• コサイン x (コサイン)。

これらのグラフはすべて、y 軸 (つまり、y 軸) に関して見ると対称であることに注意してください。

では、奇関数とは何でしょうか? これらは、変数 x の任意の値に対して f(-x)=-f(x) という条件を満たす関数です。 例:

• 双曲線;
• 立方体の放物線。
• 正弦波;
• タンジェントなど。

これらの関数は点 (0:0)、つまり原点に対して対称であることに注意してください。 この記事のこのセクションで述べたことに基づくと、偶数関数と奇数関数には次のプロパティが必要です。x は定義セットに属し、-x にも属します。

パリティの関数を調べてみましょう。 彼女がどの描写にも当てはまらないことがわかります。 したがって、関数は偶数でも奇数でもありません。

漸近線

定義から始めましょう。 漸近線は、グラフにできるだけ近い曲線、つまり、特定の点からの距離がゼロに近づく傾向がある曲線です。 合計で 3 種類の漸近線があります。

• 垂直、つまり y 軸に平行。
• 水平、つまり x 軸に平行。
• 傾いた。

最初のタイプに関しては、次の行をいくつかの点で探す必要があります。

• ギャップ;
• 定義領域の終わり。

この場合、関数は連続であり、定義域は R に等しいため、垂直方向の漸近線はありません。

関数のグラフには水平方向の漸近線があり、x が無限大またはマイナス無限大になる傾向があり、その極限が特定の数値 (たとえば、a) に等しい場合という要件を満たします。 この場合、y=a は水平方向の漸近線です。 私たちが研究している関数には水平方向の漸近線はありません。

斜めの漸近線は、次の 2 つの条件が満たされる場合にのみ存在します。

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b。

次に、式 y=kx+b を使用して求めることができます。 繰り返しますが、この場合には斜めの漸近線はありません。

関数ゼロ

次のステップは、関数のグラフでゼロを調べることです。 また、関数のゼロを見つけることに関連するタスクは、関数のグラフを研究して構築するときだけでなく、独立したタスクとしても、また不等式を解く方法としても発生することに注意することが非常に重要です。 グラフ上の関数のゼロを見つけたり、数学的表記を使用したりする必要がある場合があります。

これらの値を見つけると、関数をより正確にグラフ化するのに役立ちます。 話したら 簡単な言葉での場合、関数のゼロは、y = 0 となる変数 x の値になります。 グラフ上の関数のゼロを探している場合は、グラフが X 軸と交差する点に注意を払う必要があります。

関数のゼロを見つけるには、方程式 y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0 を解く必要があります。 必要な計算を実行すると、次の答えが得られます。

符号の恒常性

関数 (グラフ) の研究と構築の次の段階は、定数符号の間隔を見つけることです。 これは、関数がどのくらいの間隔で実行されるかを決定する必要があることを意味します 正の値、そしていくつかの点では否定的です。 最後のセクションで見つかったゼロ関数は、これを行うのに役立ちます。 したがって、(グラフとは別に) 直線を構築する必要があります。 正しい順序で関数のゼロを最小から最大まで分配します。 次に、結果として得られる間隔のどれに「+」記号があり、どれに「-」記号があるかを判断する必要があります。

私たちの場合、関数は間隔で正の値を取ります。

• 1から4まで。
• 9から無限大まで。

否定的な意味:

• マイナス無限大から 1 まで。
• 4から9まで。

これは非常に簡単に判断できます。 区間の任意の数値を関数に代入し、答えの符号 (マイナスまたはプラス) を確認します。

関数の増加と減少

関数を調査して構築するには、グラフがどこで増加するか (Oy 軸に沿って上に行く)、どこで下降するか (Y 軸に沿って下降する) を知る必要があります。

関数は、変数 x のより大きな値が y のより大きな値に対応する場合にのみ増加します。 つまり、x2 は x1 より大きく、f(x2) は f(x1) より大きくなります。 そして、減少関数 (x が増えると y が減る) を伴うまったく逆の現象が観察されます。 増加と減少の間隔を決定するには、以下を見つける必要があります。

• 定義のドメイン (すでに持っています);
• 導関数 (この場合: 1/3(3x^2-28x+49);
• 方程式 1/3(3x^2-28x+49)=0 を解きます。

計算後、次の結果が得られます。

関数はマイナス無限大から 7/3 と 7 から無限大の間隔で増加し、7/3 から 7 の間隔で減少します。

エクストリーム

研究対象の関数 y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) は連続関数であり、変数 x の任意の値に対して存在します。 極値点は、特定の関数の最大値と最小値を示します。 私たちの場合は何もないので、構築作業が大幅に簡素化されます。 それ以外の場合は、導関数を使用して見つけることもできます。 見つけたら、チャート上にマークすることを忘れないでください。

凸面と凹面

関数 y(x) についてさらに調査を続けます。 次に、凸面と凹面を確認する必要があります。 これらの概念の定義を理解するのは非常に難しいため、例を使用してすべてを分析することをお勧めします。 テストの場合: 関数が非減少関数である場合、関数は凸です。 同意します、これは理解できません！

2 次関数の導関数を見つける必要があります。 y=1/3(6x-28) が得られます。 さて、右辺をゼロとして方程式を解きましょう。 答え: x=14/3。 変曲点、つまりグラフが凸から凹、またはその逆に変化する場所を見つけました。 マイナス無限大から 14/3 までの区間では関数は凸型となり、14/3 からプラス無限大までは凹型になります。 また、チャート上の変曲点は滑らかで柔らかくなければならないことに注意することも非常に重要です。 鋭い角存在してはいけません。

追加ポイントの定義

私たちの仕事は、関数のグラフを調査して構築することです。 私たちは研究を完了しました。関数のグラフを構築することは難しくありません。 座標平面上の曲線または直線をより正確かつ詳細に再現するために、いくつかの補助点を見つけることができます。 計算は非常に簡単です。 たとえば、x=3 として、結果の方程式を解き、y=4 を見つけます。 または、x=5、y=-5 などです。 建設に必要なだけ追加のポイントを取得できます。 少なくとも 3 ～ 5 個は見つかります。

グラフをプロットする

関数 (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y を調査する必要がありました。 計算中に必要なマークはすべて座標平面上に作成されました。 あとはグラフを構築する、つまりすべての点を結ぶだけです。 点と点を結ぶのはスムーズかつ正確である必要があります。これはスキルの問題です。少し練習すれば、スケジュールは完璧になります。

関数を調べてグラフを作成するときの基準点は、不連続点、極値、変曲点、座標軸との交点などの特徴点です。 微分積分を使用すると、次のことが確立できます。 特徴関数の変化: 増加と減少、最大値と最小値、グラフの凸面と凹面の方向、漸近線の存在。

関数のグラフのスケッチは、漸近線と極値点を見つけた後に描くことができます (そしてそうすべきです)。研究が進むにつれて関数の研究の概要表を記入すると便利です。

通常、次のような関数学習スキームが使用されます。

1.関数の定義領域、連続性の間隔、ブレークポイントを見つけます。.

2.関数の偶数か奇数か (グラフの軸対称または中心対称か) を調べます。

3.漸近線 (垂直、水平、または斜め) を見つけます。

4.関数の増加と減少の間隔、その極値点を見つけて研究します。

5.曲線の凸面と凹面の間隔、変曲点を求めます。

6.曲線と座標軸の交点が存在する場合は、それを見つけます。

7.研究の概要表を作成します。

8.上記の点に従って実行される関数の検討を考慮して、グラフが作成されます。

例。探索機能

そしてそのグラフを構築します。

7. 関数を研究するための要約表を作成しましょう。ここにすべての特徴点とそれらの間隔を入力します。 関数のパリティを考慮すると、次の表が得られます。

				チャートの機能
[-1, 0[			増加中	凸型
				(0; 1) – 最大点
]0, 1[			降順	凸型
				変曲点は軸とともに形成されます 牛鈍角

関数を研究してグラフを作成するにはどうすればよいでしょうか?

世界のプロレタリアートの指導者、55巻に及ぶ著作集の著者である彼の精神的に洞察力に富んだ顔が、私には分かり始めているようだ... 長い旅は、基本的な情報から始まりました。 関数とグラフ、そして今、労働集約的なトピックに取り組むと、論理的な結果が得られます - 記事 関数の完全な研究について。 待望のタスクは次のように定式化されます。

微分積分法を使用して関数を研究し、その研究結果に基づいてそのグラフを構築します。

つまり、関数を調べてグラフを作成します。

なぜ探索するのか？単純な場合には、初等関数を理解し、次の関数を使用して得られたグラフを描くことは難しくありません。 基本的な幾何学的変換等々。 ただし、プロパティと グラフィック画像もっと 複雑な関数明らかではないため、全体的な研究が必要です。

ソリューションの主な手順は参考資料にまとめられています。 機能研究スキーム、これはこのセクションのガイドです。 ダミーには必要なもの ステップバイステップの説明読者の中には、どこから始めればよいのか、どのように研究をまとめればよいのかが分からない人もいます。また、上級の学生は、いくつかの点にしか興味がないかもしれません。 しかし、あなたが誰であろうと、親愛なる訪問者、提案された要約と次の点へのヒントをご覧ください。 いろいろなレッスンできるだけ短い時間で、あなたを興味のある方向に導きます。 ロボットたちは涙を流しました =) マニュアルは PDF ファイルとしてレイアウトされ、ページ上の適切な場所に配置されました 数式と表.

私は関数の調査を 5 ～ 6 つのポイントに分割することに慣れています。

6) 研究結果に基づいて追加のポイントとグラフ。

最終的なアクションに関しては、誰にとってもすべてが明らかであると思います。数秒以内に取り消し線が引かれ、タスクが修正のために戻されたら、非常に残念です。 正確かつ正確な図面がこのソリューションの主な成果です。 分析エラーを「隠蔽」する可能性が高くなりますが、間違ったスケジュールや不注意なスケジュールは、完璧に実施された研究であっても問題を引き起こす可能性があります。

他の情報源では、調査ポイントの数、その実装順序、および設計スタイルが私が提案したスキームと大きく異なる場合があることに注意してください。しかし、ほとんどの場合、これで十分です。 最も単純な問題は 2 ～ 3 段階のみで構成され、次のように定式化されます。「導関数を使用して関数を調べ、グラフを作成する」または「1 次および 2 次導関数を使用して関数を調べ、グラフを作成する」。

当然のことながら、マニュアルに別のアルゴリズムが詳しく説明されている場合、または教師が講義に従うことを厳しく要求している場合は、ソリューションにいくつかの調整を加える必要があります。 チェーンソーのフォークをスプーンに交換するのと同じくらい難しいことではありません。

偶数/奇数の関数を確認してみましょう。

これにテンプレート応答が続きます。
これは、この関数が偶数でも奇数でもないことを意味します。

関数は 上で連続であるため、垂直方向の漸近線はありません。

斜めの漸近線もありません。

注記 : 高いほど注意してください。 成長順序、より、したがって、最終的な制限は正確に「 プラス無限大。」

関数が無限大でどのように動作するかを調べてみましょう。

言い換えれば、右に行けばグラフは無限に上に進み、左に行けば無限に下に進みます。 はい、1 つのエントリに対して 2 つの制限もあります。 標識を解読するのが難しい場合は、次のレッスンをご覧ください。 微小関数.

したがって、関数は 上から限定されないそして 下から限定されない。 ブレークポイントがないことを考慮すると、明らかになります。 機能範囲: – 任意の実数も。

役立つ技術テクニック

タスクの各段階で得られるものは、 新情報関数のグラフについてしたがって、解決する際には、一種の LAYOUT を使用すると便利です。 ドラフト上にデカルト座標系を描いてみましょう。 すでに確実にわかっていることは何ですか? まず、グラフには漸近線がないため、直線を引く必要がありません。 次に、関数が無限大でどのように動作するかを知っています。 分析に従って、次の第一近似値を導き出します。

予めご了承ください。 連続関数がオンであることと、グラフが少なくとも 1 回軸を横切る必要があるという事実です。 それとも交差点がいくつかあるのでしょうか？

3) 関数のゼロと定数記号の間隔。

まず、グラフと縦軸の交点を探します。 それは簡単です。 次の場所で関数の値を計算する必要があります。

海抜1.5メートル。

軸との交点 (関数のゼロ点) を見つけるには、方程式を解く必要がありますが、ここで不快な驚きが待っています。

最後には無料のメンバーが潜んでいるため、タスクはさらに難しくなります。

このような方程式には少なくとも 1 つの実根があり、ほとんどの場合、この根は無理数です。 最悪のおとぎ話の中で、三匹の子豚が私たちを待っています。 この方程式は、いわゆる次の方法を使用して解くことができます。 カルダノ公式しかし、紙の損傷は研究のほぼ全体に匹敵します。 この点に関しては、口頭または草稿で少なくとも 1 つを選択するように努める方が賢明です。 全体根。 これらの数値が次のとおりであるかどうかを確認してみましょう。
- 適切ではありません;
- がある！

ここは幸運だ。 失敗した場合は、 をテストすることもできます。これらの数値が一致しない場合は、次の可能性があります。 収益性の高いソリューション残念ながら、その方程式は非常に小さいです。 その場合は、研究ポイントを完全にスキップする方が良いです。おそらく、追加のポイントを突破する最後のステップで、何かがより明確になるでしょう。 そして、根が明らかに「悪い」のであれば、兆候の恒常性の間隔については控えめに沈黙し、より慎重に描く方がよいでしょう。

ただし、美しい根があるので、多項式を分割します。 残りなし:

多項式を多項式で除算するアルゴリズムについては、レッスンの最初の例で詳しく説明します。 複雑な制限.

その結果、元の方程式の左辺は 分解されて生成物になります。

そして今、少しについて 健康的な方法人生。 もちろんそれは理解しています 二次方程式毎日解く必要がありますが、今日は例外を設けます。方程式です。 には 2 つの本当のルーツがあります。

見つかった値を数直線上にプロットしてみましょう そして インターバル法関数の符号を定義しましょう。


したがって、一定の間隔で スケジュールは場所にあります
X 軸の下、一定の間隔で – この軸の上。

この発見により、レイアウトを改良することができ、グラフの 2 番目の近似は次のようになります。

関数には、間隔内に少なくとも 1 つの最大値と、間隔内に少なくとも 1 つの最小値が必要であることに注意してください。 しかし、スケジュールがいつ、どこで、何回ループするかはまだわかりません。 ちなみに、関数には無限に多くの値を含めることができます。 極端な.

4) 関数の増加、減少、極値。

重要なポイントを見つけてみましょう。

この方程式には 2 つの実根があります。 それらを数直線上に置き、導関数の符号を決定してみましょう。


したがって、関数は次のように増加します で減少します。
関数が最大値に達した時点で、次のようになります。 .
関数が最小値に達した時点で、次のようになります。 .

確立された事実により、テンプレートはかなり厳格なフレームワークに強制的に組み込まれます。

言うまでもなく、微分積分は強力なものです。 最後にグラフの形を理解しましょう。

5) 凸部、凹部、変曲点。

二次導関数の臨界点を見つけてみましょう。

記号を定義しましょう。


関数のグラフは に凸、 に凹になります。 変曲点の縦座標を計算してみましょう。

ほぼすべてが明らかになりました。

6) より正確にグラフを作成し、セルフテストを実行するのに役立つ追加のポイントを見つける必要があります。 この場合、それらはほとんどありませんが、無視することはありません。

絵を描いてみましょう:

緑変曲点にはマークが付けられ、追加の点には×印が付けられます。 スケジュール 3次関数は変曲点に関して対称であり、変曲点は常に最大値と最小値の間の厳密に中間に位置します。

課題が進むにつれて、私は 3 つの仮の中間図面を提供しました。 実際には、座標系を描き、見つかった点にマークを付け、研究の各点の後で関数のグラフがどのようになるかを頭の中で推定するだけで十分です。 十分な準備ができている学生であれば、下書きを使わずに頭の中だけでこのような分析を行うことは難しくありません。

のために 独立した決定:

例 2

関数を調べてグラフを作成します。

ここでは、すべてがより速く、より楽しくなります。レッスンの最後には、最終デザインのおおよその例が示されます。

分数有理関数を研究すると、多くの秘密が明らかになります。

例 3

微分積分法を使用して関数を研究し、研究結果に基づいてグラフを作成します。

解決: 研究の最初の段階では、定義領域の穴を除いて、目立った点はありません。

1) 関数が定義されており、点を除く数直線全体上で連続しています。 ドメイン: .

これは、この関数が偶数でも奇数でもないことを意味します。

この関数が非周期的であることは明らかです。

関数のグラフは、左右の半平面に位置する 2 つの連続した分岐を表しています。これは、おそらくポイント 1 の最も重要な結論です。

2) 漸近線、無限における関数の動作。

a) 片側制限を使用して、明らかに垂直方向の漸近線があるはずの疑わしい点付近の関数の動作を調べます。

確かに機能は長持ちします 無限のギャップ時点で
そして直線（軸）は 垂直漸近線グラフィックアート。

b) 斜めの漸近線が存在するかどうかを確認してみましょう。

はい、真っ直ぐです 斜めの漸近線グラフィックスがあれば。

関数が斜めの漸近線を含むことはすでに明らかであるため、極限を分析することは意味がありません。 上から限定されないそして 下から限定されない.

2 番目の調査ポイントでは、機能に関する多くの重要な情報が得られました。 大まかなスケッチを描いてみましょう。

結論その 1 は、定数符号の間隔に関するものです。 「マイナス無限大」では関数のグラフは明らかに x 軸の下に位置し、「プラス無限大」ではこの関数のグラフはこの軸の上にあります。 さらに、片側極限により、点の左でも右でも関数がゼロより大きいことが分かりました。 左半平面では、グラフが少なくとも 1 回 x 軸と交差する必要があることに注意してください。 右半平面には関数のゼロが存在しない可能性があります。

結論その 2 は、関数は点の左側に向かって増加します (「下から上に」)。 この点の右側に行くにつれて、関数は減少します (「上から下へ」)。 グラフの右分岐には少なくとも 1 つの最小値が必ず存在する必要があります。 左側では、極端な値は保証されません。

結論 3 は、点付近のグラフの凹面に関する信頼できる情報を提供します。 線は上からも下からも漸近線に向かって押される可能性があるため、無限遠での凸面/凹面についてはまだ何も言えません。 一般的に言えば、 分析方法今すぐそれを理解する必要がありますが、グラフの形状は後の段階で明らかになります。

なぜそんなに言葉が多いのでしょうか？ その後の調査ポイントをコントロールして失敗を避けるために！ さらに計算を行っても、導き出された結論と矛盾してはなりません。

3) グラフと座標軸の交点、関数の定数符号の間隔。

関数のグラフは軸と交差しません。

間隔法を使用して符号を決定します。

、 もし ;
、 もし .

この点の結果は結論 1 と完全に一致しています。 各段階の後に、草案を見て研究を頭の中で確認し、関数のグラフを完成させます。

検討中の例では、分子は分母によって項ごとに除算されます。これは微分に非常に有益です。

実際、これは漸近線を見つけるときにすでに行われています。

- クリティカルポイント。

記号を定義しましょう。

増加します そして減少します

関数が最小値に達した時点で、次のようになります。 .

結論 2 との矛盾もありません。おそらく、私たちは正しい軌道に乗っていると考えられます。

これは、関数のグラフが定義領域全体にわたって凹面であることを意味します。

素晴らしいです。何も描く必要はありません。

変曲点はありません。

凹面は結論 3 と一致しており、さらに、関数のグラフが無限遠 (そことそこの両方) に位置することを示しています。 より高いその斜めの漸近線。

6) 追加点を意識してタスクをピン留めします。 研究では 2 つの点しかわかっていないため、ここは私たちが頑張らなければならないところです。

そして、おそらく多くの人が昔に想像したであろう次のような絵があります。

タスクの実行中は、研究の各段階間に矛盾がないことを注意深く確認する必要がありますが、場合によっては状況が緊急であったり、絶望的に行き詰まったりすることもあります。 分析が「合っていない」、それだけです。 この場合、私は緊急テクニックをお勧めします。グラフに属するできるだけ多くの点を見つけて（忍耐力の限り）、それらを座標平面上にマークします。 見つかった値をグラフィカルに分析すると、ほとんどの場合、どこが真実でどこが偽であるかがわかります。 さらに、Excel などのプログラムを使用してグラフを事前に作成することもできます (もちろん、これにはスキルが必要です)。

例 4

微分積分法を使用して関数を調べ、そのグラフを作成します。

これは自分で解決できる例です。 その中で、自制心は関数のパリティによって強化されます。グラフは軸に関して対称であり、研究の中にこの事実に反する何かがある場合は、エラーを探してください。

偶数または奇数の関数は でのみ検討でき、その後はグラフの対称性を使用します。 この解決策は最適ですが、私の意見では、非常に珍しいように思えます。 私は個人的に数直線全体を見ますが、追加の点はまだ右側にしか見つかりません。

例5

関数を徹底的に調査し、そのグラフを作成します。

解決: 事態は困難になりました:

1) 関数は定義されており、数直線全体で連続しています: 。

これは、この関数が奇数であり、そのグラフが原点に対して対称であることを意味します。

この関数が非周期的であることは明らかです。

2) 漸近線、無限における関数の動作。

関数は 上で連続であるため、垂直方向の漸近線はありません。

指数を含む関数の場合、典型的なのは 別無限大の「プラス」と「マイナス」の研究ですが、グラフの対称性、つまり、左右の両方に漸近線があるか、漸近線がないことによって、私たちの生活は楽になります。 したがって、両方の無限の制限を 1 つのエントリに書き込むことができます。 私たちが使用するソリューション中に ロピタルのルール:

直線 (軸) は、 におけるグラフの水平漸近線です。

私が斜めの漸近線を見つけるための完全なアルゴリズムをどのように巧妙に回避したかに注目してください。極限は完全に合法であり、無限における関数の動作を明確にし、水平漸近線は「あたかも同時に」発見されました。

連続性と水平漸近線の存在から、関数は次のようになります。 上に境界があるそして 下に境界がある.

3) グラフと座標軸の交点、定符号の間隔。

ここでもソリューションを短縮します。
グラフは原点を通過します。

他に座標軸との交点はありません。 さらに、符号の不変性の間隔は明らかであり、軸を描く必要はありません。これは、関数の符号が「x」のみに依存することを意味します。
、 もし ;
、 もし 。

4) 関数の増加、減少、極値。


– 重要なポイント。

当然のことながら、点はゼロに関して対称です。

導関数の符号を決定してみましょう。


関数は一定の間隔で増加し、一定の間隔で減少します

関数が最大値に達した時点で、次のようになります。 .

物件の都合上 (関数の奇数) 最小値を計算する必要はありません。

関数は区間にわたって減少するため、グラフは明らかに「マイナス無限大」に位置します。 下その漸近線。 区間にわたって関数も減少しますが、ここでは逆が当てはまります。最大点を通過した後、線は上から軸に近づきます。

上記から、関数のグラフは「マイナス無限大」で凸になり、「プラス無限大」で凹になるということもわかります。

この時点の研究の後、関数値の範囲が導き出されます。

何か誤解がある場合は、ノートに座標軸を描き、鉛筆を手に、タスクの各結論を再分析することをもう一度お勧めします。

5) グラフの凸部、凹部、ねじれ。

– 重要なポイント。

点の対称性は保たれており、おそらく間違いはありません。

記号を定義しましょう。


関数のグラフは上に凸です そして凹面 .

極端な間隔での凹凸が確認されました。

すべての重要な点でグラフにねじれがあります。 変曲点の座標を見つけて、関数の奇数を使用して計算の数を再度減らしてみましょう。

問題が関数 f (x) = x 2 4 x 2 - 1 とそのグラフの構築を完全に研究する必要がある場合は、この原理を詳細に検討します。

この問題を解決するために このタイプのメインのプロパティとグラフ 初等関数。 研究アルゴリズムには次のステップが含まれます。

Yandex.RTB R-A-339285-1

定義域を見つける

研究は関数の定義の領域で行われるため、このステップから始める必要があります。

例1

後ろに この例 ODZ から分母のゼロを除外するために、分母のゼロを見つけることが含まれます。

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

その結果、根や対数などが得られます。 次に、ODZ は、不等式 g (x) ≥ 0 によってタイプ g (x) 4 の偶数次数の根を検索でき、対数 log a g (x) については不等式 g (x) > 0 によって検索できます。

ODZ の境界を調査し、垂直方向の漸近線を見つける

関数の境界での片側極限が無限である場合、関数の境界には垂直方向の漸近線が存在します。

例 2

たとえば、x = ± 1 2 に等しい境界点を考えてみましょう。

次に、片側極限を見つける関数を研究する必要があります。 すると、次のようになります: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

これは、片側限界が無限であることを示しています。これは、直線 x = ± 1 2 がグラフの垂直方向の漸近線であることを意味します。

関数とそれが偶数か奇数かについての研究

条件 y (- x) = y (x) が満たされる場合、関数は偶数とみなされます。 これは、グラフが Oy に対して対称に位置していることを示唆しています。 条件 y (- x) = - y (x) が満たされる場合、関数は奇数とみなされます。 これは、対称性が座標の原点に対して相対的であることを意味します。 少なくとも 1 つの不等式が満たされない場合、一般形式の関数が得られます。

y (- x) = y (x) という等式は、関数が偶数であることを示します。 構築する際には、Oy に関して対称性があることを考慮する必要があります。

不等式を解くには、増加間隔と減少間隔がそれぞれ f " (x) ≥ 0 と f " (x) ≤ 0 の条件で使用されます。

定義 1

静止点- これらは導関数をゼロにする点です。

重要なポイント- これらは、関数の導関数がゼロに等しいか存在しない、定義領域からの内部点です。

決定を下すときは、次の注意事項を考慮する必要があります。

• f " (x) > 0 の形式の増加および減少不等式の既存の区間では、臨界点は解に含まれません。
• 有限導関数なしで関数が定義される点は、増加と減少の区間に含まれなければなりません (たとえば、y = x 3、点 x = 0 で関数が定義され、この点で導関数の値は無限大になります) point, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞、x = 0 は増加区間に含まれます)。
• 意見の相違を避けるために、教育省が推奨する数学文献を使用することをお勧めします。

関数の定義領域を満たす場合、増加および減少の間隔に臨界点が含まれます。

定義 2

のために 関数の増加と減少の間隔を決定するには、次の値を見つける必要があります。:

• 誘導体;
• 重要なポイント。
• 臨界点を使用して定義ドメインを間隔に分割します。
• 各区間の導関数の符号を決定します。ここで、+ は増加、- は減少です。

例 3

定義域 f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) の導関数を求めます。 １）２．

解決

解決するには次のものが必要です。

• 静止点を見つけます。この例では x = 0 です。
• 分母のゼロを見つけます。この例では、x = ± 1 2 で値 0 を取得します。

数直線上に点を配置して、各区間の導関数を決定します。 これを行うには、区間から任意の点を取得して計算を実行するだけで十分です。 で 肯定的な結果グラフでは、+ は関数が増加していることを意味し、- は関数が減少していることを意味します。

たとえば、 f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 は、左側の最初の区間に + 符号があることを意味します。数直線上で考えます。

答え：

• 関数は間隔 - ∞ で増加します。 -1 2 および (-1 2 ; 0 ] ;
• 間隔 [ 0 ; が減少します。 1 2) および 1 2 ; + ∞ 。

図では、+ と - を使用して関数の正と負を示し、矢印は減少と増加を示します。

関数の極値点は、関数が定義され、導関数の符号が変わる点です。

例 4

x = 0 の例を考えると、その関数の値は f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 に等しくなります。 導関数の符号が + から - に変化し、点 x = 0 を通過するとき、座標 (0; 0) の点が最大点とみなされます。 符号が - から + に変わるとき、最小点が得られます。

凸面と凹面は、f "" (x) ≥ 0 および f "" (x) ≤ 0 の形式の不等式を解くことによって決定されます。 あまり一般的ではありませんが、凹面の代わりに下凸面、凸面の代わりに上凸面という名前が使用されます。

定義 3

のために 凹凸の間隔を決める必要：

• 二次導関数を求めます。
• 二次導関数のゼロを見つけます。
• 定義領域を出現点の間隔に分割します。
• 間隔の符号を決定します。

例5

定義域から二次導関数を求めます。

解決

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

分子と分母のゼロを見つけます。この例では、分母のゼロ x = ± 1 2 が得られます。

ここで、数直線上に点をプロットし、各区間から 2 次導関数の符号を決定する必要があります。 それはわかります

答え：

• 関数は区間 - 1 2 から凸になります。 12;
• 関数は間隔 - ∞ から凹型になります。 - 1 2 および 1 2; + ∞ 。

定義 4

変曲点– これは x 0 の形式の点です。 f (x 0) . 関数のグラフに接線がある場合、x 0 を通過すると関数の符号が反対に変わります。

言い換えれば、これは二次導関数が通過して符号を変える点であり、その点自体ではゼロに等しいか存在しません。 すべての点が関数の領域とみなされます。

この例では、2 次導関数は点 x = ± 1 2 を通過する間に符号が変化するため、変曲点がないことは明らかでした。 したがって、それらは定義の範囲には含まれません。

水平および斜めの漸近線を見つける

無限大で関数を定義する場合は、水平および斜めの漸近線を探す必要があります。

定義5

斜めの漸近線直線を使って描かれているので、 方程式で与えられる y = k x + b、ここで、k = lim x → ∞ f (x) x および b = lim x → ∞ f (x) - k x。

k = 0 で b が無限大に等しくない場合、斜めの漸近線は次のようになることがわかります。 水平.

言い換えれば、漸近線は関数のグラフが無限遠に近づく直線であると考えられます。 これにより、関数グラフの迅速な構築が容易になります。

漸近線はないが、関数が両方の無限大で定義されている場合、関数のグラフがどのように動作するかを理解するために、これらの無限大で関数の極限を計算する必要があります。

例6

例として考えてみましょう

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

は水平漸近線です。 関数を調べたら、構築を開始できます。

中間点での関数の値の計算

グラフをより正確にするために、中間点でいくつかの関数値を見つけることをお勧めします。

例 7

検討した例から、x = - 2、x = - 1、x = - 3 4、x = - 1 4 の点で関数の値を見つける必要があります。 関数は偶数であるため、値がこれらの点の値と一致することがわかります。つまり、x = 2、x = 1、x = 3 4、x = 1 4 が得られます。

書いて解決しましょう:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

関数の最大値と最小値、変曲点、中間点を決定するには、漸近線を構築する必要があります。 指定に便利なように、増加、減少、凸、凹の間隔を記録します。 下の写真を見てみましょう。

マークされた点を通るグラフの線を描く必要があります。これにより、矢印に従って漸近線に近づくことができます。

これで、この関数の完全な説明は終了です。 幾何学的変換が使用されるいくつかの初等関数を構築する場合があります。

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関数 \(y= \frac(x^3)(1-x) \) を調べて、そのグラフを作成してみましょう。

1. 定義の範囲。
有理関数 (分数) の定義域は次のようになります。分母は次のようになります。 ゼロに等しい、つまり \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\)。 ドメイン $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. 関数ブレークポイントとその分類。
関数にはブレークポイントが 1 つあります x = 1
点 x= 1 を調べます。不連続点の左右、右側 $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)( 1-x)) = -\infty $$ と点 $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ の左側これは第 2 種の不連続点です。 片側限界は \(\infty\) に等しい。

直線 \(x = 1\) は垂直方向の漸近線です。

3. 機能のパリティ。
パリティ \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) をチェックします。この関数は偶数でも奇数でもありません。

4. 関数のゼロ (Ox 軸との交点)。 関数の定数符号の間隔.
関数ゼロ (牛軸との交点): \(y=0\) と等価すると、\(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) が得られます。 この曲線には、座標 \((0;0)\) の Ox 軸との交点が 1 つあります。

関数の定数符号の間隔。
考慮した区間 \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) では、曲線には Ox 軸との交点が 1 つあるため、3 つの区間で定義領域を検討します。

定義域の区間における関数の符号を決定してみましょう。
区間 \((-\infty; 0) \) 任意の点における関数の値を求めます \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
区間 \((0; 1) \) の任意の点 \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \) における関数の値を求めます。この区間では関数は次のようになります。正の \(f(x ) > 0 \)、つまり 牛軸の上に位置します。
区間 \((1;+\infty) \) 任意の点における関数の値を求める \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy軸との交点: \(x=0\) と等価すると、\(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) が得られます。 Oy軸との交点の座標 \((0; 0)\)

6. 単調な間隔。 関数の極値。
臨界 (静止) 点を見つけてみましょう。このために、一次導関数を見つけて、それをゼロと同等にします。 $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ は 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ この時点での関数の値を求めてみましょう \( f(0) = 0\) および \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\)。 座標 \((0;0)\) と \((1.5;-6.75)\) の 2 つの臨界点を取得しました。

単調な間隔。
この関数には 2 つの臨界点 (可能な極値点) があるため、4 つの区間での単調性を考慮します。
区間 \((-\infty; 0) \) 区間 \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) 内の任意の点における一次微分の値を求めます)^2) >
区間 \((0;1)\) 区間 \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ の任意の点における一次導関数の値を求めます。 2) > 0\) の場合、関数はこの間隔で増加します。
区間 \((1;1.5)\) 区間 \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ の任意の点における一次導関数の値を求めます。 2) > 0\) の場合、関数はこの間隔で増加します。
区間 \((1.5; +\infty)\) 区間 \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) 内の任意の点における一次導関数の値を求めます^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

関数の極値。

関数を研究する際、定義領域の区間上に 2 つの臨界 (静止) 点が得られました。 それらが極端かどうかを判断してみましょう。 臨界点を通過するときの導関数の符号の変化を考えてみましょう。

点 \(x = 0\) 導関数は \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) で符号を変更します - 点は極値ではありません。
点 \(x = 1.5\) 導関数は \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) で符号を変更します。この点は最大点です。

7. 凸面と凹面の間隔。 変曲点。

凸面と凹面の間隔を求めるには、関数の二次導関数を求め、それをゼロと同等とします。 $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ゼロに等しい $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ この関数には 1 つあります。 臨界点座標 \((0;0)\) を持つ 2 番目の種類。
第 2 種の臨界点 (考えられる変曲点) を考慮して、定義領域の区間上の凸性を定義しましょう。

区間 \((-\infty; 0)\) 任意の点における二次導関数の値を求めます \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
区間 \((0; 1)\) の任意の点における二次導関数の値を求めます \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \)、この区間では関数の二次導関数は正です \(f""(x) > 0 \) 関数は下に凸です (凸)。
区間 \((1; \infty)\) 任意の点における二次導関数の値を求めます \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

変曲点。

第 2 種臨界点を通過するときの 2 次導関数の符号の変化を考えてみましょう。
点 \(x =0\) で、二次導関数は \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) と符号が変わり、関数のグラフの凸性が変化します。 これは座標 \((0;0)\) の変曲点です。

8. 漸近線。

垂直漸近線。 関数のグラフには 1 つの垂直漸近線 \(x =1\) があります (段落 2 を参照)。
斜めの漸近線。
\(x \to \infty\) における関数 \(y= \frac(x^3)(1-x) \) のグラフが傾いた漸近線 \(y = kx+b\) を持つためには、それは必要かつ十分であり、したがって 2 つの制限があります $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$我々はそれを見つけます $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ および 2 番目の極限 $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $、なぜなら \(k = \infty\) - 斜めの漸近線はありません。

水平漸近線:水平漸近線が存在するためには、極限が必要です $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ それを見つけてみましょう $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\すごい$$
水平方向の漸近線はありません。

9. 関数グラフ。