家装飾材料大きな数の根をすばやく見つける方法。平方根

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大きな数の根をすばやく見つける方法。平方根

平方根とは何ですか?

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

この概念は非常にシンプルです。自然なことだと思います。数学者はあらゆる行動に対する反応を見つけようとします。足し算もあれば引き算もある。掛け算もあるし、割り算もある。二乗もある…だからあるものだ 平方根を取る！それだけです。このアクション ( 平方根) 数学では、次のアイコンで示されます。

アイコン自体は次のように呼ばれます美しい言葉 "ラジカル".

根を取り出すにはどうすればいいですか？見たほうがいいよ例.

9の平方根は何ですか? 何の二乗すると9になりますか? 3 の 2 乗で 9 になります。それらの：

しかし、ゼロの平方根とは何でしょうか? 問題ない！ゼロの二乗は何になりますか? はい、ゼロになります！手段：

わかった、 平方根とは何ですか?それから考えます例:

回答 (混乱中): 6; 1; 4; 9; 5.

決めた？本当に、それはどれくらい簡単ですか？

しかし... ルーツのあるタスクを見たとき、人はどうするでしょうか?

人は悲しみを感じ始めます...彼は自分のルーツの単純さと軽さを信じていません。彼は知っているようだが 平方根とは何ですか...

これは、その人がルーツを研究する際にいくつかの重要な点を無視したためです。そして、これらの流行はテストや試験に対して残酷な復讐をするのです...

ポイント 1。ルーツを視覚的に認識する必要があります。

49の平方根は何ですか? セブン？右！どうして7時だと分かったのですか？ 7を二乗して49が出ますか？右！その点に注意してください 根を抽出する 49 のうち、逆の操作、つまり 7 を実行する必要がありました。そして、見逃さないようにしてください。あるいは見逃していたかもしれない...

これが難点です 根の抽出. 四角なしの任意の数特別な問題。数値と列を掛け合わせるだけです。しかし、 根の抽出これほどシンプルで確実な技術はありません。私たちはしなければならない 選び出す答えて二乗して正しいかどうかを確認します。

これは複雑です創造的なプロセス- 回答の選択は、次の場合に大幅に簡素化されます。 覚えて人気のある数字の正方形。九九みたいな。たとえば、4 × 6 を掛ける必要がある場合、4 を 6 回足しませんよね? 答えは 24 です。ただし、誰もが理解できるわけではありません。

無料で、そして成功した仕事ルートの場合は、1 から 20 までの数の 2 乗を知るだけで十分です。 そこにはそして 戻る。それらの。たとえば、11 の 2 乗と 121 の平方根の両方を簡単に暗唱できるはずです。この暗記を達成するには、2 つの方法があります。まずは正方形の表を学ぶことです。これは例を解く際に非常に役立ちます。 2つ目は決めることです他の例。これは正方形の表を覚えるのに非常に役立ちます。

そして電卓もありません！テスト目的のみ。そうしないと、試験中に容赦なく速度が落ちてしまいます...

それで、 平方根とは何ですかそしてどうやって 根を抽出する- それは明らかだと思います。では、それらを何から抽出できるかを見てみましょう。

ポイント 2。ルート、私はあなたのことを知りません！

どの数値から平方根を求めることができますか? はい、ほとんどすべてです。何から来たのか理解しやすいです それは禁止されていますそれらを抽出します。

このルートを計算してみましょう。

これを行うには、2 乗すると -4 になる数値を選択する必要があります。選択します。

なんだ、合わないのか？ 2 2 は +4 を与えます。 (-2) 2 でまた +4! 以上です... 2 乗すると負の数になる数値はありません。この数字は知っていますが。でも教えませんよ）。大学に行けば自分でわかります。

負の数でも同じことが起こります。したがって、結論は次のとおりです。

平方根記号の下に負の数がある式 - 意味がありません！これは禁止されている操作です。ゼロ除算と同じくらい禁止されています。 この事実をしっかりと覚えておいてください！言い換えれば:

負の数から平方根を抽出することはできません。

しかし、他のすべてのことについては、それは可能です。たとえば、次のように計算することは十分に可能です

一見すると、これは非常に難しいです。分数を選択して二乗する...心配しないでください。根の性質を理解すると、そのような例は同じ正方形の表に還元されます。生活が楽になりますよ！

さて、分数です。しかし、依然として次のような表現に遭遇します。

大丈夫です。全く同じです。 2 の平方根は、2 乗すると 2 になる数です。この数字だけが完全に不均等です...これが次のとおりです。

興味深いのは、この端数が決して終わらないことです...このような数値は無理数と呼ばれます。平方根では、これが最も一般的です。ちなみに、根を持つ式がこう呼ばれるのはこのためです。 不合理な。このような無限分数を常に書くのは不便であることは明らかです。したがって、無限分数の代わりに、次のようになります。

例を解くときに、次のような抽出できないものが出てきた場合:

それからそのままにしておきます。これが答えになります。

アイコンの意味を明確に理解する必要がある

もちろん、数値の根を取ると スムーズ、これを行う必要があります。タスクに対する答えは次のような形式になります。

まったく完全な答えです。

そしてもちろん、記憶からおおよその値を知る必要があります。

この知識は、複雑なタスクの状況を評価するのに非常に役立ちます。

ポイント3。最も狡猾です。

ルートを扱う際の主な混乱はこの点によって引き起こされます。不確実性を与えるのは彼です自分の力・・・この問題はしっかり対処しましょう！

まず、もう一度それらの 4 つの平方根を求めてみましょう。このルートについてはすでに迷惑をかけていますか?) 気にしないでください、これからは面白くなります!

4の2乗は何の数ですか? そうですね、2、2 - 不満の答えが聞こえてきます...

右。二。だけでなく マイナス2 4 の 2 乗が得られます...その間、答えは

正解と答え

ひどい間違い。このような。

それで、どういうことですか？

実際、(-2) 2 = 4 です。そして、4 の平方根の定義の下では、 マイナス2かなり適切です...これも 4 の平方根です。

しかし！学校の数学の授業では平方根を考えるのが通例です 負ではない数値のみです。つまり、ゼロですべてがプラスです。特別な用語さえも作られました。番号からあ- これ非負その二乗が次の数あ。算術平方根を抽出する際の負の結果は単純に破棄されます。学校ではすべて平方根です - 算術。これについては特に言及されていませんが。

わかりました、それは理解できます。否定的な結果を気にしない方がさらに良いです...これはまだ混乱ではありません。

混乱は二次方程式を解くときに始まります。たとえば、次の方程式を解く必要があります。

方程式は単純です。(教えられたとおり) 答えを書きます。

この答え（ちなみに、絶対に正しいです）は単なる短縮版です二答え:

やめて、やめて！先ほど、平方根は数値であると書きました いつも非ネガティブです！そして、これが答えの1つです - ネガティブ！障害。これは根本的な不信感を引き起こす最初の（最後ではない）問題です...この問題を解決しましょう。次のように答えを書き留めてみましょう (単に理解のために!)。

括弧は答えの本質を変えるものではありません。括弧で区切っただけです兆候から根。これで、ルート自体 (括弧内) がまだ負ではないことがはっきりとわかります。そしてその兆候は、 方程式を解いた結果。結局のところ、方程式を解くときは次のように書かなければなりません。全て元の方程式に代入すると正しい結果が得られる X。プラスとマイナスの両方を含む 5 の根 (正!) が方程式に適合します。

このような。もし、あんたが 平方根を取るだけです何からでも、あなたは いつもわかります 1 つの非ネガティブ結果。例えば：

なぜなら、それは - 算術平方根.

でも何かを決めたら二次方程式、タイプ：

それ いつもそれが判明二答え（プラスとマイナスを付けて）：

なぜなら、これが方程式の解だからです。

希望、 平方根とは何ですか要点は明確になりました。今、根で何ができるか、その特性が何であるかを見つけることが残っています。そして、ポイントと落とし穴は何ですか...ごめんなさい、石！）

これらすべては次のレッスンで説明します。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

最初の章。

指定された整数から最大の整数の平方根を見つけます。

170. 予備的なコメント。

A)平方根のみの抽出について説明するため、この章では話を短くするために、「平方根」の代わりに単に「ルート」と呼びます。

b)自然数列の数を 2 乗すると、1、2、3、4、5 になります。。。とすると、次の平方テーブルが得られます: 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144。、、

明らかに、この表にない整数がたくさんあります。もちろん、このような数字から根全体を抽出することは不可能です。したがって、たとえば、整数のルートを抽出する必要がある場合。 √4082 を見つけるのに必要な場合、この要件を次のように理解することに同意します。可能であれば、4082 のルート全体を抽出します。それが不可能な場合は、2 乗が 4082 である最大の整数を見つける必要があります (63 2 = 3969 および 64 2 = 4090 であるため、そのような数値は 63 になります)。

V)この数値が 100 未満の場合は、乗算表を使用してその根が求められます。したがって、7 7 は 49 (60 未満) に等しく、8 8 は 64 (60 より大きい) に等しいため、√60 は 7 になります。

171. 10,000 未満で 100 を超える数値の根を抽出する。√4082を見つける必要があるとしましょう。この数値は 10,000 未満であるため、その根は √l0,000 = 100 より小さくなります。一方、この数値は 100 より大きくなります。これは、その根が 10 より大きい (または 10 に等しい) ことを意味します。 (たとえば、√を見つける必要がある場合、 120 、その場合、数値は 120 > 100 ですが、√ 120 は 10 に等しいため、 11 2 = 121。) ただし、10 より大きく 100 未満のすべての数値は 2 桁になります。これは、必要なルートが次の合計であることを意味します。

10 + 1、

したがって、その二乗は合計と等しくなければなりません。

この合計は 4082 の最大二乗でなければなりません。

それらの最大の 36 を取り上げ、10 の根の 2 乗がこの最大の 2 乗と正確に等しいと仮定しましょう。次に、ルートの 10 の数は 6 でなければなりません。これが常に当てはまることを確認しましょう。つまり、ルートの 10 の数は常に、根号の百の数の最大の整数ルートに等しくなります。

実際、この例では、(12 月 7 日) 2 = 49 百であるため、根の 10 の位の数は 6 を超えることはできず、4082 を超えます。しかし、12 月 5 日であるため、6 未満にすることはできません。 (単位付き) は 6 des 未満であり、一方、(6 des.) 2 = 3600 は 4082 未満です。そして、最大の根全体を探しているので、根に 5 des を取るべきではありません。 10の6でも多くないとき。

したがって、根の十の位の数、つまり 6 がわかりました。根の十の位を意味することを忘れずに、この数字を = 記号の右側に書きます。これを二乗すると、3600 になります。部首数の 4000 からこれらの 3600 を引き、この数値の残りの 2 桁を引きます。剰余 482 には、2 (10 進数の 6) (単位) + (単位)2 が含まれている必要があります。積 (6 dec.) (単位) は 10 でなければなりません。したがって、10 と 1 の 2 倍の積は、余りの 10 の位、つまり 48 で求められます (48 "2 の余りの右側の 1 桁を区切ることで、その数が得られます)。根の 10 の 2 倍12 を構成します。これは、12 にルートの単位 (まだ不明) を乗算すると、48 に含まれる数値が得られることを意味します。したがって、48 を 12 で割ります。

これを行うには、余りの左側に垂直線を引き、その後ろに (これから表示される目的のために線から 1 つ左に戻ります)、根の最初の桁の 2 倍、つまり 12 を書きます。 48 をそれで割ると 4 になります。

ただし、数値 4 が根の単位として受け取れるかどうかを事前に保証することはできません。なぜなら、ここで 10 の余りを全体の数 12 で割ったからです。一方、それらの一部は、次の 10 の 2 倍積に属さない可能性があります。単位ですが、単位の平方の一部です。したがって、4という数字は大きいかもしれません。試してみる必要があります。合計 2 (6 dec.) 4 + 4 2 が剰余 482 以下であれば、これは明らかに適切です。

その結果、両方の合計が一度に得られます。結果の積は 496 であることが判明し、これは残りの 482 よりも大きくなります。つまり4番が大きいということです。次に、次に小さい数値 3 を同じ方法でテストします。

例。

例 4 では、余りの 47 の 10 を 4 で割ると、商として 11 が得られます。ただし、根の単位の数は 2 桁の数値 11 または 10 にはならないため、数値 9 を直接テストする必要があります。

例 5 では、正方形の最初の面から 8 を引いた結果、余りが 0 になり、次の面もゼロで構成されます。これは、目的のルートが 8 つの 10 の位のみで構成されているため、1 の位に 0 を置く必要があることを示しています。

172. 10000 を超える数値の根を抽出する。 √35782 を見つける必要があるとします。根号が10,000を超えるため、根は√10000=100より大きくなり、3桁以上になります。たとえそれが何桁で構成されていたとしても、私たちはそれを常に十と一だけの和として考えることができます。たとえば、ルートが 482 であることが判明した場合、それを 48 des の量として数えることができます。 +2ユニットこの場合、根の二乗は 3 つの項で構成されます。

(10 進) 2 + 2 (10 進) (単位) + (単位) 2 。

これで、(前の段落で) √4082 を見つけたときとまったく同じ方法で推論できます。唯一の違いは、4082 の 10 の位の根を見つけるには 40 の根を抽出する必要があり、これは九九を使用して実行できることです。ここで、10√35782 を取得するには、357 の根を取る必要がありますが、九九を使用して行うことはできません。しかし、数値 357 があるため、前の段落で説明したテクニックを使用して √357 を見つけることができます。< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

次に、√4082 を見つけたときと同じように進めます。つまり、余り 3382 の左側に垂直線を引き、その後ろに、見つかった根の 10 の位の数の 2 倍を (線から 1 つ後退して) 書きます。つまり、36 (18 の 2 倍)。余りでは、右側の 1 桁を区切って、余りの 10 の位の数、つまり 338 を 36 で割ります。商では 9 が得られます。この数値をテストし、右側の 36 に割り当てます。それを掛けます。製品は残りよりも少ない 3321 であることが判明しました。これは、数字の 9 が適切であることを意味し、根元に書きます。

一般に、整数の平方根を抽出するには、まずその百の位の根を抽出する必要があります。この数が 100 を超える場合は、この数百の数百、つまりこの数の数万の数の根を探す必要があります。この数値が 100 を超える場合は、数十万の数値、つまり、指定された数値の百万から根を求める必要があります。

例。

で最後の例最初の桁を見つけてその二乗を引くと、余りが 0 になります。次の 2 桁の 51 を取り除きます。10 の位を区切ると 5 des が得られますが、ルートの 2 つの見つかった桁は 6 になります。これは、次のことを意味します。 5 を 6 で割ると 0 が得られます。ルート 0 を 2 番目に置き、次の 2 桁を余りに加算します。 5110 を取得します。その後は通常どおり続行します。

この例では、必要なルートは 900 の位だけで構成されているため、10 の位と 1 の位にはゼロを配置する必要があります。

ルール。指定された整数の平方根を抽出するには、それを次から除算します。右手左側の端に、それぞれ 2 桁の数字が表示されます。ただし、最後の数字には 1 桁の数字が含まれる場合があります。
根の最初の桁を見つけるには、最初の面の平方根を求めます。
2 番目の桁を見つけるには、根の最初の桁の 2 乗を最初の面から引き、2 番目の面を余りにして、得られた数値の 10 の位を根の最初の桁の 2 倍で割ります。 ; 結果の整数がテストされます。
このテストは次のように実行されます。垂直線の後ろ (余りの左側) に、以前に見つけたルートの数値を 2 回書き込み、その右側に、テストされた数字 (この加算後に得られた数値) を追加します。、テストされた数字が乗算されます。乗算後の結果が剰余より大きい場合、テストされた桁は適切ではないため、次に小さい桁をテストする必要があります。
ルートの次の桁は、同じ手法を使用して検出されます。
面を削除した後、結果の数の 10 の位が約数より小さいことが判明した場合、つまりルートの見つかった部分の 2 倍未満であることが判明した場合は、ルートに 0 を置き、次の面を削除し、さらにアクションを継続します。

173. ルートの桁数。ルートを求めるプロセスを考慮すると、ルートには、部首番号の各 2 桁の面の数と同じ数の桁があることがわかります (左側の面には 1 桁の場合もあります)。

第2章。

腹心の抽出平方根整数と分数から .

多項式の平方根の抽出については、§ 399 以降の 2 番目の部分への追加を参照してください。

174. 正確な平方根の符号。指定された数値の正確な平方根は、その二乗が指定された数値と正確に等しい数値です。与えられた数値から正確な根を抽出できるかどうかを判断できるいくつかの兆候を示しましょう。

A)与えられた整数から正確な整根が抽出されない場合 (剰余は抽出時に取得されます)、整数に等しくない分数はそれ自体を乗算するため、そのような数値からは分数の正確な根を見つけることはできません。、また、積では整数ではなく分数が生成されます。

b)分数の根は分子の根を分母の根で割ったものに等しいため、分子または分母から抽出できない場合、既約分数の正確な根を見つけることはできません。たとえば、分数 4/5、8/9、11/15 から正確な根を抽出することはできません。最初の分数では分母から、2 番目の分数では分子から、そして 3 番目の分数では抽出できないためです。分子からも分母からも。

正確な根を抽出できない数値からは、近似的な根のみを抽出できます。

175. 1 に正確な近似根。指定された数値 (整数か小数かは関係ありません) の 1 以内の精度の近似平方根は、次の 2 つの要件を満たす整数です。

1) この数値の 2 乗が指定された数値以下である。 2) ただし、この数値の 2 乗に 1 を加えた値は、この数値より大きくなります。言い換えれば、1 に正確な近似平方根は、与えられた数値の最大の整数平方根、つまり前の章で求め方を学んだ根です。このルートは、精度 1 の近似ルートと呼ばれます。正確なルートを取得するには、この近似ルートに 1 未満の分数を加算する必要があるため、未知の正確なルートの代わりにこの近似ルートを使用すると、次のようになります。 1 未満の誤差。

ルール。 1 以内の精度で近似平方根を抽出するには、指定された数値の整数部分の最大の整数根を抽出する必要があります。

このルールによって求められる数値は近似根ですが、特定の分数 (1 未満) の正確な根が欠けているため、欠点があります。この根を 1 増やすと、正確な根よりいくらかの余剰がある別の数が得られますが、この余剰は 1 未満です。この 1 を加えた根は、精度 1 の近似根とも言えますが、過剰な状態で。 (一部の数学の書籍では、「欠損あり」または「過剰あり」という名前が、「欠損による」または「過剰による」という同等の別の名前に置き換えられています。)

176. 1/10の精度の近似ルート。 1/10 の精度で √2.35104 を見つける必要があるとします。これは、そのようなものを見つける必要があることを意味します 10進数、これは整数単位と 10 分の 1 で構成され、次の 2 つの要件を満たします。

1) この分数の二乗は 2.35104 を超えませんが、2) 1/10 増やすと、この増加した分数の二乗は 2.35104 を超えます。

このような分数を見つけるには、まず 1 に正確な近似根を見つけます。つまり、整数 2 からのみ根を抽出します。1 が得られます (剰余は 1)。ルートに数字の 1 を書き、その後にカンマを置きます。次に、10 の位の数を調べます。これを行うには、小数点の右側 35 桁を残り 1 まで減算し、整数 235 のルートを抽出するかのように抽出を続けます。結果の数値 5 を、ルートのの代わりに書き込みます。 10分の1。部首番号 (104) の残りの桁は必要ありません。結果として得られる数値 1.5 が実際には 1/10 の精度の近似根であることが、以下からわかります。精度 1 で 235 の最大の整数根を見つけると、15 が得られます。つまり、次のようになります。

15 2 < 235 ですが、16 2 >235 です。

これらすべての数値を 100 で割ると、次のようになります。

これは、数値 1.5 が 1/10 の精度の近似根と呼ばれる小数であることを意味します。

この手法を使用すると、次の近似根を精度 0.1 で見つけることもできます。

177. 平方根を1/100～1/1000以内に近似するなど

1/100 の精度で近似 √248 を見つける必要があるとします。これは、整数、10 の位、100 の位で構成され、次の 2 つの要件を満たす小数を見つけます。

1) その二乗は 248 を超えませんが、2) この分数を 1/100 増やすと、この増加した分数の二乗は 248 を超えます。

このような分数は、次の順序で求めます。最初に整数、次に 10 の位の数字、次に 100 の位の数字を求めます。整数のルートは 15 個の整数です。これまで見てきたように、10 の位の数字を取得するには、剰余 23 に小数点の右側にさらに 2 桁を加算する必要があります。この例では、これらの数値はまったく存在しません。代わりにゼロを置きます。これらを剰余に加算し、整数 24,800 の根を求めるかのように続けると、10 分の 1 の図 7 が見つかります。100 分の 1 の数値を見つけることは残ります。これを行うには、整数 2,480,000 の根を求めるかのように、残り 151 にゼロを 2 つ追加して抽出を続けます。15.74 が得られます。この数値が実際には 1/100 の精度で 248 の近似根であることが、以下からわかります。整数 2,480,000 の最大の整数平方根を見つけると、1574 が得られます。手段：

1574 2 < 2,480,000 ですが、1575 2 > 2,480,000 です。

すべての数値を 10,000 (= 100 2) で割ると、次のようになります。

これは、15.74 が 248 の 1/100 の精度を持つ近似根と呼ばれる小数であることを意味します。

この手法を 1/1000 ～ 1/10000 の精度で近似根を求める場合などに応用すると、次のようになります。

ルール。ここから抜粋すると整数または、指定された小数から 1/10 ～ 1/100 ～ 1/100 の精度で近似ルートを求めるなど、まず精度 1 の近似ルートを見つけて、整数からルートを抽出します (そうでない場合)。そこに、ルート 0 全体について書きます)。

次に、10 分の 1 の数を求めます。これを行うには、小数点の右側にある根号の 2 桁を剰余に追加し (存在しない場合は、剰余に 2 つのゼロを追加します)、整数の根を抽出する場合と同様に抽出を続行します。。結果の数値は、10 の位の部分のルートに書き込まれます。

次に、100 分の 1 の位を求めます。これを行うには、削除したばかりの数値の右側にある 2 つの数値が剰余に追加されます。

したがって、小数を含む整数の根を抽出する場合、小数点から左 (数値の整数部分) と右 (数値の整数部分) の両方に 2 桁ずつ面に分割する必要があります。小数部）。

例。

1) 最大 1/100 根を求めます: a) √2; b) √0.3;

最後の例では、根の小数点以下 4 桁を見つけるのに必要な 4 つの面を形成するために小数点以下 8 桁を計算することで、分数 3/7 を小数に変換しました。

178. 平方根の表の説明。この本の最後には、4桁で計算した平方根の表があります。この表を使用すると、4 桁以内で表現される整数 (または小数) の平方根をすぐに見つけることができます。この表がどのように構成されているかを説明する前に、表の助けを借りずに部首番号を見るだけで、いつでも目的のルートの最初の有効桁を見つけることができることに注意してください。どちらであるかを簡単に判断することもできます。小数点以下の桁はルートの最初の桁を意味するため、ルートのどこにその桁を見つける場合は、カンマを入れる必要があります。ここではいくつかの例を示します。

1) √5"27,3 . 根号の左側が 5 であるため、最初の桁は 2 になります。また、根号の整数部分には 2 つの面しかないため、目的の根の整数部分には 2 桁の数字がなければならず、したがって、その最初の数字は 2 でなければなりません。十を意味します。

2) √9.041。明らかに、このルートでは、最初の桁は 3 つの素数単位になります。

3) √0.00"83"4。初め有効数字最初の有効数字を取得するためにルートを取得する必要がある面は 83 であり、83 のルートは 9 であるため、これは 9 です。必要な数には整数も 10 分の 1 も含まれないため、最初の数字 9 は 9 でなければなりません。 100分の1を意味します。

4) √0.73"85。最初の有効数字は 10 分の 8 です。

5) √0.00"00"35"7。最初の有効数字は 1000 分の 5 になります。

もう一つ指摘しておきます。数値の根を抽出する必要があると仮定します。この数値は、その中に含まれている単語を破棄した後、5681 のような一連の数値で表されます。この根は、次のいずれかになります。

1 本の線で下線を引いた根を取ると、それらはすべて同じ一連の数字、つまり 5681 から根を抽出したときに得られる数字 (これらは 7、5、3、7 という数字になります) で表されます。）。その理由は、ルートの桁を見つけるときに根号を分割する必要がある面がこれらすべての例で同じであるため、各ルートの桁が同じになるためです（小数点の位置のみ）もちろんポイントは異なります）。同様に、2 行で下線を引いたすべてのルートで、次のようになります。同じ数字、まさに√568.1 を表すもの (これらの数字は 2、3、8、3 になります)、そして同じ理由です。したがって、同じ行の数値 5681 によって (カンマを削除して) 表される数値の根の桁は 2 種類 (そして 2 つだけ) になります。これは行 7、5、3、7、または行 7、5、3、7 のいずれかです。行 2、3、8、3。明らかに、他の一連の数値についても同じことが言えます。したがって、これから見るように、表では、根号の各桁の行は、根の 2 行の桁に対応します。

ここで、テーブルの構造とその使用方法を説明します。説明をわかりやすくするために、ここでは表の最初のページの先頭を示しています。

この表は複数のページに分かれています。それぞれの左側の最初の列には、10、11、12... (最大 99) の数字が配置されます。これらの数値は、平方根を求める数値の最初の 2 桁を表します。上部の水平線 (下部も同様) には数字 0、1、2、3...9 があり、この数字の 3 桁目を表し、さらに右側には数字 1、2、 3. 。。 9、この数字の 4 桁目を表します。他のすべての水平線には、対応する数値の平方根を表す 2 つの 4 桁の数値が含まれています。

整数または小数で表された数値の平方根を求める必要があるとします。まず第一に、表の助けを借りずに、ルートの最初の桁とその桁を見つけます。次に、この数値にカンマがある場合はそれを破棄します。まず、カンマを破棄すると、たとえば 3 桁だけが残ると仮定します。 114. 表の左端の列の最初の 2 桁、つまり 11 を見つけ、そこから水平線に沿って右に移動し、垂直列に到達します。その上部 (および下部) が 3 桁目です。この場所には、1068 と 3376 という 2 つの 4 桁の数字があります。これら 2 つの数字のうちどちらを採用するか、カンマをどこに置くかは、ルートの最初の桁とカンマの位置によって決まります。先ほど見つけたその数字。したがって、√0.11"4 を見つける必要がある場合、ルートの最初の桁は 10 の 3 なので、ルートとして 0.3376 を取る必要があります。√1.14 を見つける必要がある場合、ルートの最初の桁は次のようになります。 1 とすると、1.068 になります。

このようにして、以下を簡単に見つけることができます。

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571 など

ここで、(小数点を切り捨てて) 4 桁で表現される数値の根を求める必要があるとします。たとえば、√7"45.6 です。根の最初の桁が 20 の位であることに注意して、次のように求めます。番号 745、今説明したように、数字 2729 (この番号は指で確認するだけですが、書き留めません) 次に、この番号からさらに右に移動して、テーブルの右側 (後ろ) に移動します。最後の太線) 上部 (および下部) にマークされている縦の列と出会います。 4. この数字の 3 番目の桁、つまり数字 6 で、数字 1 を見つけます。これは適用する必要がある修正です。 (心の中で) 前に見つけた数値 2729 を入力すると、2730 が得られます。この数値を適切な場所に書き留めて、27.30 とします。

このようにして、たとえば次のことがわかります。

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107 など

部首番号が 1 桁または 2 桁のみで表されている場合は、これらの桁の後に 1 つまたは 2 つのゼロがあると想定して、次の説明のように続行できます。 3桁の数字。たとえば、√2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606 など。

最後に、部首番号が 4 桁以上で表されている場合は、最初の 4 桁だけを取得して残りを破棄し、破棄された桁の最初の桁が 5 桁または 5 桁を超える場合は、エラーを減らすために、次に、保持されている桁の 4 番目を l ずつ増やします。それで：

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; 等々。

コメント。表は、近似平方根を、場合によっては不足、場合によっては過剰を含めて示します。つまり、これらの近似ルートのうち正確なルートに近いものを示します。

179. 普通の分数から平方根を抽出する。既約分数の正確な平方根は、分数の両方の項が正確な平方根である場合にのみ抽出できます。この場合、次のように分子と分母の根を別々に抽出するだけで十分です。

の近似平方根公分数ある程度の小数精度で求める最も簡単な方法は、まず普通の分数を小数に変換し、この分数で小数点以下の小数点以下の桁数を 2 倍に計算することです。さらに多くの数目的のルートの小数点以下の桁数。

ただし、別の方法で行うこともできます。次の例でこれを説明しましょう。

近似値 √ 5 / 24 を求めます

分母を正確な二乗にしましょう。これを行うには、分数の両方の項に分母 24 を乗算するだけで十分です。ただし、この例では別の方法で行うこともできます。 24 を素因数に分解してみましょう: 24 = 2 2 2 3。この分解から、24 に 2 を掛け、さらに 3 を掛けると、積では各単純因数が偶数回繰り返されることが明らかです。、分母は正方形になります。

ある程度の精度で √30 を計算し、その結果を 12 で割る必要があります。12 で割ると、精度の程度を示す端数も小さくなることに留意する必要があります。したがって、1/10 の精度で √30 を見つけ、その結果を 12 で割ると、1/120 の精度で分数 5/24 の近似根が得られます (つまり、54/120 と 55/120)。

第三章。

関数のグラフx = √ y .

180. 逆関数。を決定する式を与えてみましょう。での関数としてバツたとえば、次のようになります。 y = x 2 。それだけでなく、での関数としてバツ、だけでなく、逆に、バツの関数としてで、暗黙の方法ではありますが。この関数を明示的にするには、この方程式を解く必要があります。バツ、取るで既知の番号の場合。したがって、計算した方程式から次のことがわかります。 y = x 2 .

代数式 y を x の関数として決定する方程式を解いた後に x に対して得られる関数は、y を決定する方程式の逆関数と呼ばれます。

したがって、関数は x = √ y 逆関数 y = x 2 。通例のように、独立変数を表すとします。バツ、および扶養家族でとすると、今得られた逆関数は次のように表すことができます。 y = √ x 。したがって、与えられた（直接）関数の逆関数を取得するには、この与えられた関数を定義する方程式から導出する必要があります。バツに応じて y そして、結果の式では replace y の上バツ、A バツの上 y .

181. 関数のグラフ y = √ x 。この機能は負の値では使用できませんバツ、ただし、どのような場合でも (任意の精度で) 計算することが可能です。正の値バツ、そのような値ごとに、関数は 2 つの値を受け取ります。さまざまな意味絶対値は同じですが、符号が反対になります。ご存知の方は √ 平方根の算術値のみを表す場合、関数のこれら 2 つの値は次のように表すことができます。 y= ± √ × この関数のグラフをプロットするには、まずその値のテーブルをコンパイルする必要があります。このテーブルを作成する最も簡単な方法は、直接関数値のテーブルから作成することです。

y = x 2 .

バツ

値がで価値観として受け入れるバツ、およびその逆：

y= ± √ ×

これらすべての値を図面上にプロットすると、次のグラフが得られます。

同じ図に、直接関数のグラフを (破線で) 描きました。 y = x 2 。これら 2 つのグラフを比較してみましょう。

182. 正関数と逆関数のグラフ間の関係。逆関数の値の表を作成するには y= ± √ × 私たちは取ったバツ直接関数の表にある数値 y = x 2 の値として機能しましたで、そしてのためにでそれらの数字を取得しました。この表の値はどれですかバツ。このことから、両方のグラフは同じであり、直接関数のグラフだけが軸に対してそのように配置されていることがわかります。で - 逆関数のグラフが軸に対してどのように配置されるかバツ - 11月その結果、直線を中心に図面を曲げると、 OA 直角を二等分する xOy 、半軸を含む図面の部分が OU 、アクスルシャフトを含む部分に落ちたおお、それ OU と互換性がありますおお、すべての部門 OU 部門と一致しますおお、放物線点 y = x 2 グラフ上の対応する点と整列します y= ± √ × 。たとえば、ポイント M そして N 、その縦座標 4 、横軸 2 そして - 2 、ポイントと一致しますま」そしてん」、横軸は 4 、縦軸 2 そして - 2 。これらの点が一致する場合、これは直線が一致することを意味します。 んん" そして んん」 に垂直 OAそしてこの直線を半分に分けます。両方のグラフ内の他のすべての対応する点についても同じことが言えます。

したがって、逆関数のグラフは直接関数のグラフと同じである必要がありますが、これらのグラフは異なる位置にあります。つまり、角度の二等分線に関して互いに対称です。 xOy 。逆関数のグラフは、角度の二等分線に対する直接関数のグラフを（鏡のように）反映したものであると言えます。 xOy .

根の公式。平方根の性質。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

前のレッスンでは、平方根とは何かを理解しました。どれが存在するのかを理解する時が来ました 根の公式何ですか 根の性質、そしてこれで何ができるのか。

ルートの公式、ルートの性質、ルートを扱うためのルール- これは本質的に同じことです。平方根の公式は驚くほど少ないです。それは確かに私にとって嬉しいことです！というか、さまざまな数式をたくさん書くことができますが、ルートを使って実践的かつ自信を持って作業するには、たった 3 つだけで十分です。他のすべてはこれら 3 つから流れます。多くの人が 3 つのルート公式で混乱しますが、そうです...

最も単純なものから始めましょう。彼女が来た：

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

それを整理する時が来た 根の抽出方法。これらは根の特性、特に等号に基づいており、これは負でない数 b に当てはまります。

以下では、根を抽出する主な方法を1つずつ見ていきます。

最も単純なケースから始めましょう。平方テーブルや立方テーブルなどを使用して自然数から根を抽出します。

正方形、立方体などのテーブルの場合手元にない場合は、根号を素因数に分解する根を抽出する方法を使用するのが合理的です。

奇数の指数を持つ根に対して何が可能であるかについては、特に言及する価値があります。

最後に、ルート値の桁を順番に求める方法を考えてみましょう。

始めましょう。

正方形のテーブル、立方体のテーブルなどを使用します。

最も単純なケースでは、正方形や立方体などのテーブルを使用して根を抽出できます。これらのテーブルは何ですか?

0 ～ 99 の整数の 2 乗テーブル (以下を参照) は 2 つのゾーンで構成されます。テーブルの最初のゾーンは灰色の背景にあり、特定の行と特定の列を選択すると、0 から 99 までの数値を構成できます。たとえば、8 の位の行と 3 単位の列を選択して、数値 83 を固定してみましょう。 2 番目のゾーンはテーブルの残りの部分を占めます。各セルは特定の行と特定の列の交差点に位置し、0 から 99 までの対応する数字の 2 乗が含まれます。選択した 8 の 10 の行と 1 の列 3 の交点に、数字 83 の 2 乗である 6,889 という数字のセルがあります。

立方体の表、0 から 99 までの数値の 4 乗の表などは、正方形の表に似ていますが、2 番目のゾーンに立方体や 4 乗などが含まれる点のみが異なります。対応する番号。

正方形、立方体、4乗などの表。平方根、立方根、4乗根などを抽出できます。これらの表の数字から判断してください。根を抽出する際の使用原理を説明しましょう。

数値 a が n 乗表に含まれているときに、数値 a の n 乗根を抽出する必要があるとします。この表を使用して、a=b n となる数値 b を見つけます。それからしたがって、数値 b が目的の n 次根になります。

例として、キューブテーブルを使用して 19,683 の立方根を抽出する方法を示します。立方体の表で数値 19,683 を見つけます。そこから、この数値は数値 27 の 3 乗であることがわかります。したがって、 .

n 乗表が根を抽出するのに非常に便利であることは明らかです。ただし、それらは手元にないことが多く、コンパイルには時間がかかります。さらに、対応する表に含まれていない数値から根を抽出する必要がある場合もよくあります。このような場合は、他のルート抽出方法に頼る必要があります。

根元数を素因数分解する

十分便利な方法で自然数からルートを抽出することを可能にする (もちろんルートが抽出される場合) は、根号を素因数に分解します。彼の ポイントはこれです: その後、それを目的の指数を使用して累乗として表すのは非常に簡単になり、ルートの値を取得できるようになります。この点を明確にしましょう。

自然数 a の n 乗根をとり、その値が b に等しいとします。この場合、等式 a=b n は真です。数字 b はどれも同じです自然数は、すべての素因数 p 1 、p 2 、…、p m の積として p 1 · p 2 · … · p m の形式で表すことができ、この場合の基数 a は (p 1 · p 2) として表されます。 · … · p m) n。数値の素因数への分解は一意であるため、根号 a の素因数への分解は (p 1 ·p 2 ·… ·p m) n の形式になり、根の値を計算することができます。として。

根号 a の素因数への分解が (p 1 ·p 2 ·… ·p m) n の形式で表現できない場合、その数 a の n 乗根は完全に抽出されないことに注意してください。

例題を解くときにこれを理解しましょう。

例。

144の平方根を求めます。

解決。

前の段落で示した平方表を見ると、144 = 12 2 であることがはっきりとわかり、144 の平方根が 12 に等しいことがわかります。

しかし、この点を考慮すると、部首数 144 を素因数分解して根がどのように抽出されるかに興味があります。この解決策を見てみましょう。

分解してみましょう 144 を素因数に変換します。

つまり、144=2・2・2・2・3・3となります。結果の分解に基づいて、次の変換を実行できます。 144=2・2・2・2・3・3=(2・2) 2・3 2 =(2・2・3) 2 =12 2。したがって、 .

次数の特性と根の特性を使用すると、解は少し異なる方法で定式化できます。

答え：

資料を統合するために、さらに 2 つの例に対する解決策を検討してください。

例。

ルートの値を計算します。

解決。

基数 243 の素因数分解は、 243=3 5 の形式になります。したがって、 .

答え：

例。

ルート値は整数ですか?

解決。

この質問に答えるために、根号を素因数分解して、整数の 3 乗として表現できるかどうかを確認してみましょう。

285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 となります。素因数 7 のべき乗は 3 の倍数ではないため、結果の展開は整数の 3 乗として表すことができません。したがって、285,768 の立方根を完全に抽出することはできません。

答え：

いいえ。

分数から根を抽出する

分数の根を抽出する方法を考えてみましょう。分数根数を p/q と書きます。商の根の性質により、次の等式が成り立ちます。この等式から次のことがわかります 分数の根を抽出する規則: 分数の根は、分子の根を分母の根で割った商に等しい。

分数から根を抽出する例を見てみましょう。

例。

公分数 25/169 の平方根は何ですか?

解決。

二乗表を使用すると、元の分数の分子の平方根は 5 に等しく、分母の平方根は 13 に等しいことがわかります。それから。これで公分数25/169の根の抽出が完了しました。

答え：

小数や帯分数の根を、根号を普通の分数に置き換えて抽出します。

例。

小数部 474.552 の立方根を計算します。

解決。

元の小数部を通常の分数である 474.552=474552/1000 と想像してみましょう。それから。結果として得られる分数の分子と分母にある立方根を抽出する作業が残ります。なぜなら 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 および 1 000 = 10 3、するとそして。残っているのは計算を完了することだけです .

答え：

負の数の根を取る

負の数から根を抽出することに重点を置く価値があります。根を研究するときに、根の指数が奇数の場合、根の符号の下に負の数が存在する可能性があると言いました。これらのエントリに次の意味を与えました: 負の数 −a と根 2 n−1 の奇数の指数の場合、。この等式により、 負の数から奇数の根を抽出するルール: 負の数の根を抽出するには、反対の正の数の根を取り、結果の前にマイナス記号を付ける必要があります。

解決策の例を見てみましょう。

例。

ルートの値を求めます。

解決。

ルート記号の下に正の数が含まれるように元の式を変換してみましょう。。ここで、帯分数を通常の分数に置き換えます。。普通の分数の根を抽出するための規則を適用します。。結果の分数の分子と分母の根を計算する作業が残ります。 .

解決策の簡単な概要は次のとおりです。 .

答え：

ルート値のビットごとの決定

一般的な場合、ルートの下には、上で説明した手法を使用しても数値の n 乗として表すことができない数値があります。しかし同時にその意味を知る必要もあります与えられたルート、少なくとも特定の兆候までは。この場合、ルートを抽出するには、必要な数値の十分な数の桁値を順番に取得できるアルゴリズムを使用できます。

このアルゴリズムの最初のステップは、ルート値の最上位ビットが何であるかを調べることです。これを行うには、数値が根号を超える瞬間が得られるまで、数値 0、10、100、... を順番に n 乗します。次に、前の段階で n 乗した数値が、対応する最上位桁を示します。

たとえば、5 の平方根を抽出するときのアルゴリズムのこのステップを考えてみましょう。数値 0、10、100、... を取得し、5 より大きい数値が得られるまでそれらを 2 乗します。 0 2 =0 があります<5 , 10 2 =100>5。これは、最上位桁が 1 の桁になることを意味します。このビットの値と下位ビットの値は、ルート抽出アルゴリズムの次のステップで見つかります。

アルゴリズムの後続のすべてのステップは、ルートの目的の値の次のビットの値を、最も高いものから始めて最も低いものに移動することによって、ルートの値を順次明らかにすることを目的としています。たとえば、最初のステップのルートの値は 2、2 番目のステップでは 2.2、3 番目のステップでは 2.23 となり、2.236067977… となります。数字の値がどのように見つかるかを説明しましょう。

数字は、考えられる値 0、1、2、...、9 を検索することで見つかります。この場合、対応する数値の n 乗が並列計算され、根号と比較されます。ある段階で次数の値が根数を超えた場合、前の値に対応する桁の値が見つかったとみなされ、そうでない場合はルート抽出アルゴリズムの次のステップに移行します。この場合、この数字の値は 9 になります。

これらの点を、同じ 5 の平方根を抽出する例を使って説明しましょう。

まず、単位の桁の値を見つけます。根号の 5 より大きい値が得られるまで、値 0、1、2、...、9 を調べて、それぞれ 0 2、1 2、...、9 2 を計算します。これらすべての計算を表の形式で示すと便利です。

したがって、単位の桁の値は 2 です (2 2 なので)<5 , а 2 3 >5）。 10 の位の値を求めてみましょう。この場合、数値 2.0、2.1、2.2、...、2.9 を二乗し、結果の値を根号 5 と比較します。

2.2 2 以降<5 , а 2,3 2 >5 の場合、10 の位の値は 2 になります。 100 の位の値の検索に進むことができます。

これにより、5 の根の次の値が求められ、2.23 に等しくなります。したがって、引き続き値を見つけることができます。 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

マテリアルを統合するために、考慮されたアルゴリズムを使用してルートの抽出を 100 分の 1 の精度で分析します。

まず、最上位桁を決定します。これを行うには、0、10、100 などの数値を 3 乗します。 2,151,186 より大きい数値が得られるまで。 0 3 =0 があります<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 なので、最上位桁は 10 の位になります。

その値を決定してみましょう。

10 3以降<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 の場合、10 の位の値は 1 になります。単位の話に移りましょう。

したがって、一の位の値は 2 になります。 10分の1に進みましょう。

12.9 3 さえ根号 2 151.186 より小さいため、10 の位の値は 9 になります。アルゴリズムの最後のステップを実行することで、必要な精度のルートの値が得られます。

この段階では、ルートの値は 100 分の 1 まで正確であることがわかります。 .

この記事の結論として、根を抽出する方法は他にもたくさんあると言いたいと思います。ただし、ほとんどのタスクでは、上で学習したタスクで十分です。

参考文献。

Makarychev Yu.N.、Mindyuk N.G.、Neshkov K.I.、Suvorova S.B. 代数: 8 年生の教科書。教育機関。
コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の初歩: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。

電卓が登場する前は、生徒や教師は平方根を手で計算していました。数値の平方根を手動で計算するには、いくつかの方法があります。近似的な解決策のみを提供するものもあれば、正確な答えを提供するものもあります。

ステップ

素因数分解

根号を因数分解して平方数にします。根号に応じて、おおよその答えまたは正確な答えが得られます。平方数は、平方根全体を求めることができる数です。因数は、乗算すると元の数値が得られる数値です。たとえば、2 x 4 = 8 であるため、数字 8 の因数は 2 と 4 です。また、√25 = 5、√36 = 6、√49 = 7 であるため、数字 25、36、49 は平方数です。は因数であり、平方数です。まず、根号を二乗因数分解してみます。

たとえば、400 の平方根を (手動で) 計算します。まず、400 を二乗因数分解してみます。 400 は 100 の倍数、つまり 25 で割り切れる、平方数です。 400 を 25 で割ると 16 になります。16 という数字は平方数でもあります。したがって、400 は 25 と 16 の二乗係数に因数分解できます。つまり、25 x 16 = 400 となります。
これは次のように書けます: √400 = √(25 x 16)。

いくつかの項の積の平方根は、各項の平方根の積に等しくなります。つまり、√(a x b) = √a x √b となります。このルールを使用して、各平方係数の平方根を取得し、その結果を乗算して答えを求めます。
- この例では、25 と 16 の根を求めます。
  - √(25×16)
  - √25×√16
  - 5×4＝20
根号が 2 つの二乗因数に分解されない場合 (これはほとんどの場合に起こります)、整数の形で正確な答えを見つけることはできません。しかし、根号を二乗因数と通常の因数 (平方根全体を求めることができない数値) に分解することで、問題を単純化することができます。次に、平方根の平方根を求め、共通因数の根を求めます。
- たとえば、数値 147 の平方根を計算します。数値 147 は 2 つの平方因数に因数分解できませんが、49 と 3 の因数に因数分解できます。問題は次のように解決します。
  - = √(49 × 3)
  - = √49 × √3
  - = 7√3
必要に応じて、ルートの値を推定します。これで、根号に最も近い（数直線の両側にある）平方数の根の値と比較することで、根の値を推定する（近似値を見つける）ことができます。ルート値を小数として受け取ります。ルート記号の後ろの数値を掛ける必要があります。
- 例に戻りましょう。根号は 3 です。それに最も近い平方数は、1 (√1 = 1) と 4 (√4 = 2) になります。したがって、√3 の値は 1 と 2 の間に位置します。√3 の値はおそらく 1 よりも 2 に近いため、推定値は次のようになります: √3 = 1.7。この値にルート記号の数値を掛けます: 7 x 1.7 = 11.9。電卓で計算すると 12.13 が得られ、これは答えにかなり近い値になります。
  - この方法は大きな数値でも機能します。たとえば、√35 について考えてみましょう。根号は 35 です。それに最も近い平方数は、25 (√25 = 5) と 36 (√36 = 6) になります。したがって、√35 の値は 5 と 6 の間に位置します。√35 の値は 5 よりも 6 にはるかに近いため (35 は 36 より 1 しか小さいため)、√35 は 6 よりわずかに小さいと言えます。計算機で確認すると、答えは 5.92 でした - 私たちは正しかったです。
もう 1 つの方法は、根数を素因数に因数分解することです。素因数は、1 とそれ自体でのみ割り切れる数です。一連の素因数を書き、同一の因数のペアを見つけます。このような要素はルートサインから取り出すことができます。
- たとえば、45 の平方根を計算します。根号を素因数に因数分解します。45 = 9 x 5、9 = 3 x 3。したがって、√45 = √(3 x 3 x 5) となります。 3 はルート記号として取り出すことができます: √45 = 3√5。これで、√5 を推定できます。
- 別の例を見てみましょう: √88。
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11)。 2 の乗数を 3 つ受け取りました。それらをいくつか取り、ルート記号を超えて移動します。
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11。これで、√2 と √11 を評価して、近似的な答えを見つけることができます。
手動で平方根を計算する

長い除算を使用する
1. この方法には、長い除算と同様のプロセスが含まれており、正確な答えが得られます。まず、シートを 2 等分する縦線を引き、次にシートの上端の少し右下に縦線に向かって横線を引きます。ここで、根号を小数点以下の小数部分から始めて、数値のペアに分割します。したがって、数値 79520789182.47897 は、「7 95 20 78 91 82, 47 89 70」と書きます。
  - たとえば、780.14 という数値の平方根を計算してみましょう。 (図に示すように) 2 本の線を引き、左上に「7 80, 14」の形式で指定された数字を書き込みます。左から最初の桁がペアになっていない桁であるのが通常です。右上に答え（この数字の根）を書きます。
2. 左から最初の数値のペア (または単一の数値) について、二乗が問題の数値のペア (または単一の数値) 以下である最大の整数 n を見つけます。言い換えると、左から最初の数値のペア (または単一の数値) に最も近い、ただし小さい平方数を見つけて、その平方数の平方根を計算します。数値nが得られます。見つけたnを右上に書き、nの2乗を右下に書きます。
  - この場合、左側の最初の数字は 7 になります。次は 4 です。< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. 左側の最初の数値のペア (または単一の数値) から、先ほど見つけた数値 n の 2 乗を引きます。計算結果は減数（数値nの2乗）の下に書きます。
  - この例では、7 から 4 を引いて 3 を取得します。
4. 2 番目の数値ペアを書き留め、前の手順で取得した値の隣に書き留めます。次に右上の数字を2倍にし、その結果を右下に「_×_=」を加えて書きます。
  - この例では、2 番目の数値ペアは「80」です。 3の後に「80」と書き、右上の数字を2倍すると4になります。右下に「4_×_=」と書きます。
5. 右側の空白を埋めてください。
  - この場合、ダッシュの代わりに数字 8 を入力すると、48 x 8 = 384 となり、380 より大きくなります。したがって、8 は大きすぎる数字ですが、7 で十分です。ハイフンの代わりに 7 を書くと、47 x 7 = 329 が得られます。右上に 7 を書きます。これは、数値 780.14 の平方根の 2 番目の桁です。
6. 左側の現在の数値から結果の数値を引きます。前のステップの結果を左側の現在の数値の下に書き込み、差を求めて減数の下に書き込みます。
  - この例では、380 から 329 を引くと、51 になります。
7. 手順 4 を繰り返します。転送される数値のペアが元の数値の小数部分である場合は、右上の必要な平方根の整数部分と小数部分の間に区切り文字 (カンマ) を入れます。左側で、次の数字のペアを降ろします。右上の数字を2倍にし、その結果を右下に「_×_=」を付けて書きます。
  - この例では、次に削除する数値のペアは数値 780.14 の小数部となるため、右上の目的の平方根に整数部と小数部の区切り文字を配置します。 14を取り出して左下に書きます。右上の数字（27）を2倍すると54になるので、右下に「54_×_=」と書きます。
8. 手順 5 と 6 を繰り返します。乗算の結果が左側の現在の数値以下になるように、右側のダッシュの代わりに (ダッシュの代わりに同じ数値を置き換える必要があります) 最大の数値を見つけます。
  - この例では、549 x 9 = 4941 となり、左側の現在の数値 (5114) よりも小さくなります。右上に「9」を書き、左側の現在の数値から乗算の結果を引きます: 5114 - 4941 = 173。
9. 平方根の小数点以下の桁数をさらに求める必要がある場合は、現在の数値の左側にゼロをいくつか書き込み、手順 4、5、および 6 を繰り返します。答えの精度 (小数点以下の桁数) が得られるまで手順を繰り返します。必要。
プロセスを理解する
1. 数値 S の最初の桁のペア Sa (この例では Sa = 7) を考え、その平方根を求めます。この場合、目的の平方根値の最初の桁 A は、平方根が S a 以下の桁になります (つまり、不等式 A² ≤ Sa となるような A を探します)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - 88962 を 7 で割る必要があるとします。ここで、最初のステップは同様になります。割り切れる数 88962 (8) の最初の桁を考慮し、7 を掛けたときに 8 以下の値が得られる最大の数を選択します。つまり、次のことを探しています。不等式が成り立つ数値 d: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. 面積を計算する必要がある正方形を頭の中で想像してください。 L、つまり面積が S に等しい正方形の辺の長さを求めています。A、B、C は数値 L の数値です。別の書き方もできます: 10A + B = L ( 2 桁の数字）または 100A + 10B + C = L（3 桁の数字の場合）など。
  - させて (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B²。 10A+B は、数字 B が単位を表し、数字 A が 10 を表す数字であることに注意してください。たとえば、A=1 および B=2 の場合、10A+B は数値 12 に等しくなります。 (10A+B)²正方形全体の面積です。 100A²- 大きな内側の広場のエリア、 B²- 小さな内側の広場の面積、 10A×B- 2 つの長方形それぞれの面積。記載された数値の面積を加算すると、元の正方形の面積が求められます。

大きな数の根をすばやく見つける方法。平方根

平方根とは何ですか?

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根の公式。平方根の性質。