「倍数」は5年生で学習します。 中等学校。 その目標は、筆記および口頭による数学的計算スキルを向上させることです。 このレッスンでは、「倍数」と「約数」という新しい概念が導入され、自然数の約数と倍数を見つけるテクニック、および最小公倍数を見つける能力が練習されます。 違う方法.
このトピックは非常に重要です。 この知識は、分数を含む例題を解くときに応用できます。 これを行うには、最小公倍数 (LCM) を計算して共通分母を見つける必要があります。
A の倍数は、剰余なしで A で割り切れる整数です。
すべての自然数には無限の倍数があります。 それ自体は最小であると考えられます。 倍数は数値そのものより小さくすることはできません。
数値 125 が数値 5 の倍数であることを証明する必要があります。これを行うには、最初の数値を 2 番目の数値で割る必要があります。 125 が余りなしで 5 で割り切れる場合、答えは「はい」です。
この方法は少数の場合に適用できます。
LOC の計算には特殊なケースがあります。
1. 2 つの数値 (たとえば、80 と 20) の公倍数を見つける必要がある場合、そのうちの 1 つ (80) がもう 1 つ (20) で割り切れる場合、この数値 (80) はこれらの最小倍数になります。 2つの数字。
LCM(80, 20) = 80。
2. 2 つの数値に公約数がない場合、それらの最小公倍数はこれら 2 つの数値の積であると言えます。
LCM(6, 7) = 42。
考えてみましょう 最後の例。 42 に対する 6 と 7 は約数です。 数値の倍数を剰余なしで割り算します。
この例では、6 と 7 はペアの因数です。 それらの積は最大倍数 (42) に等しくなります。
数値がそれ自身または 1 でのみ割り切れる場合 (3:1=3; 3:3=1)、その数値は素数と呼ばれます。 残りは複合と呼ばれます。
別の例には、9 が 42 の約数であるかどうかを判断することが含まれます。
42:9=4 (余り 6)
答え: 答えには余りがあるため、9 は 42 の約数ではありません。
約数は自然数を割る数であり、倍数自体がこの数で割り切れるという点で、倍数とは異なります。
数値の最大公約数 あるそして b、それらの最小倍数を掛けると、数値そのものの積が得られます。 あるそして b.
つまり、 gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b となります。
より複素数の公倍数は次の方法で求められます。
たとえば、168、180、3024 の最小公倍数を検索します。
これらの数値を素因数に因数分解し、べき乗の積として書きます。
168=23x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120。
しかし、多くの自然数は他の自然数でも割り切れます。
例えば:
数字 12 は、1、2、3、4、6、12 で割り切れます。
36 という数字は、1、2、3、4、6、12、18、36 で割り切れます。
整数で割り切れる数（12の場合、1、2、3、4、6、12）をいいます。 数の約数。 自然数の約数 ある- は与えられた数を割る自然数です ある跡形もなく。 約数が 3 つ以上ある自然数を自然数といいます。 複合 .
12 と 36 という数字には共通の因数があることに注意してください。 これらの数字は 1、2、3、4、6、12 です。これらの数字の最大の約数は 12 です。これら 2 つの数字の公約数は あるそして b- これは、指定された両方の数値を剰余なしで割った数値です。 あるそして b.
公倍数いくつかの数は、これらのそれぞれの数で割り切れる数です。 例えば、9、18、45 という数字は 180 の公倍数を持ちます。しかし、90 と 360 もそれらの公倍数です。 すべての公倍数の中には常に最小のものがあり、この場合は 90 です。この数はと呼ばれます。 一番小さい公倍数 (CMM).
LCM は常に自然数であり、定義されている数値の最大値より大きくなければなりません。
最小公倍数 (LCM)。 プロパティ。
可換性:
関連性:
特に、 と が互いに素数の場合、次のようになります。
2 つの整数の最小公倍数 メートルそして n他のすべての公倍数の約数です メートルそして n。 また、公倍数の集合は、 メートル、ン LCM( メートル、ン).
の漸近線は、いくつかの数理論関数を使用して表現できます。
それで、 チェビシェフ関数。 そして：
これは、ランダウ関数の定義とプロパティから導き出されます。 おやすみなさい）.
素数分布の法則から何が導かれるか。
最小公倍数 (LCM) を見つける。
NOC( a、b) はいくつかの方法で計算できます。
1. 最大公約数がわかっている場合は、その最大公約数と LCM との関係を使用できます。
2. 両方の数値の素因数への正規分解を明らかにします。
どこ p 1 ,...,p k- さまざまな素数、および d 1 ,...,d kそして e 1 ,...,ek— 負でない整数 (対応する素数が展開内にない場合はゼロになる可能性があります)。
次に NOC ( ある,b) は次の式で計算されます。
言い換えれば、LCM 分解には、数値の分解の少なくとも 1 つに含まれるすべての素因数が含まれます。 a、b、そしてこの乗数の 2 つの指数のうち最大のものが採用されます。
例:
いくつかの数値の最小公倍数の計算は、2 つの数値の最小公倍数の数回の連続計算に短縮できます。
ルール。一連の数値の最小公倍数を見つけるには、次のものが必要です。
- 数値を素因数に分解します。
- 最大の展開 (目的の積の因子の積) を目的の積の因子に変換します。 多数指定されたものから)、最初の数値に現れない、または最初の数値に出現する回数が少ない他の数値の展開から因数を追加します。
— 結果として得られる素因数の積は、指定された数値の最小公倍数になります。
どれか2つ以上 自然数独自の NOC を持っています。 数値が互いの倍数でない場合、または展開に同じ因数がない場合、最小公倍数はこれらの数値の積に等しくなります。
数値 28 の素因数 (2、2、7) に因数 3 (数値 21) を加算すると、結果の積 (84) は次のようになります。 最小の数、これは 21 と 28 で割り切れます。
素因数 もっと 30 に数値 25 の因数 5 を追加すると、結果の積 150 は最大の数値 30 より大きく、剰余なしで指定されたすべての数値で割り切れます。 これは、指定されたすべての数値の倍数である最小の積 (150、250、300...) です。
数値 2、3、11、37 は素数であるため、それらの最小公倍数は指定された数値の積に等しくなります。
ルール。 素数の最小公倍数を計算するには、これらすべての数値を掛け合わせる必要があります。
別のオプション：
複数の数値の最小公倍数 (LCM) を求めるには、次のものが必要です。
1) 各数値を素因数の積として表します。例:
504 = 2 2 2 3 3 7、
2) すべての素因数の累乗を書き留めます。
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1、
3) これらの各数値の素約数 (乗数) をすべて書き留めます。
4) これらの数値のすべての展開で見つかる、それぞれの最大次数を選択します。
5) これらの累乗を乗算します。
例。 数値 168、180、および 3024 の最小公倍数を求めます。
解決。 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1、
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1、
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
すべての素約数の最大累乗を書き留めて、それらを掛け合わせます。
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120。
LCM の計算方法を理解するには、まず「倍数」という用語の意味を確認する必要があります。
A の倍数は、剰余なしで A で割り切れる自然数です。したがって、5 の倍数である数値は、15、20、25 などと見なされます。
特定の数の約数の数は限られていますが、倍数は無限にあります。
自然数の公倍数とは、余りを残さずに割り切れる数のことです。
数値の最小公倍数を見つける方法
数 (2、3、またはそれ以上) の最小公倍数 (LCM) は、これらすべての数で割り切れる最小の自然数です。
LOC を見つけるには、いくつかの方法を使用できます。
小さな数値の場合は、これらの数値の倍数をすべて 1 行に書き留めて、それらに共通するものが見つかるまで続けると便利です。 倍数は表記で示されます 大文字に。
たとえば、4 の倍数は次のように記述できます。
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
したがって、数値 4 と 6 の最小公倍数は数値 24 であることがわかります。この表記は次のように行われます。
LCM(4, 6) = 24
数値が大きい場合は、3 つ以上の数値の公倍数を見つけて、LCM を計算する別の方法を使用することをお勧めします。
このタスクを完了するには、指定された数値を素因数に因数分解する必要があります。
まず、最大の数値の分解を一行に書き留め、その下に残りの数値を書き留める必要があります。
各数値の分解には、異なる数の因子が含まれる場合があります。
たとえば、数値 50 と 20 を素因数分解してみましょう。
小さい数値の展開では、最初の最大の数値の展開で欠落している要素を強調表示し、それらをそれに追加する必要があります。 示されている例では、2 が欠落しています。
これで、20 と 50 の最小公倍数を計算できるようになりました。
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
したがって、大きい方の数の素因数と、大きい方の数の展開に含まれなかった 2 番目の数の約数の積が最小公倍数になります。
3 つ以上の数値の最小公倍数を求めるには、前のケースと同様に、それらをすべて素因数に因数分解する必要があります。
たとえば、16、24、36 という数値の最小公倍数を見つけることができます。
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
したがって、16 の展開のうちの 2 が 2 つだけ、より大きな数の因数分解に含まれませんでした (24 の展開には 1 が含まれます)。
したがって、より大きな数の拡張にそれらを追加する必要があります。
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
最小公倍数を決定する特殊なケースがあります。 したがって、ある数値を剰余なしで別の数値で割ることができる場合、これらの数値のうち大きい方が最小公倍数になります。
たとえば、12 と 24 の最小公倍数は 24 です。
同一の約数を持たない互いに素な数の最小公倍数を見つける必要がある場合、その最小公倍数はその積に等しくなります。
たとえば、LCM (10, 11) = 110 となります。
「LCM - 最小公倍数、定義、例」のセクションで始めた最小公倍数についての話を続けましょう。 このトピックでは、3 つ以上の数値の最小公倍数を求める方法と、負の数の最小公倍数を求める方法について説明します。
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GCD による最小公倍数 (LCM) の計算
最小公倍数と最大公約数の関係はすでに確立しています。 次に、GCD を通じて最小公倍数を決定する方法を学びましょう。 まず、正の数に対してこれを行う方法を考えてみましょう。
定義 1
式 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) を使用して、最大公約数による最小公倍数を見つけることができます。
例1
数値 126 と 70 の最小公倍数を見つける必要があります。
解決
a = 126、b = 70 としましょう。 最大公約数 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) による最小公倍数を計算する式に値を代入してみましょう。
数値 70 と 126 の gcd を求めます。 このためにはユークリッド アルゴリズムが必要です: 126 = 70 1 + 56、70 = 56 1 + 14、56 = 14 4、したがって GCD (126 , 70) = 14 .
LCM を計算してみましょう。 LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630。
答え： LCM(126, 70) = 630。
例 2
68 と 34 という数字を見つけます。
解決
この場合の GCD は、68 が 34 で割り切れるため、見つけるのは難しくありません。 次の公式を使用して最小公倍数を計算しましょう: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68。
答え： LCM(68, 34) = 68。
この例では、正の整数 a と b の最小公倍数を見つけるためのルールを使用しました。最初の数値が 2 番目の数値で割り切れる場合、それらの数値の最小公倍数は最初の数値に等しくなります。
数値を素因数分解して最小公倍数を求める
次に、数値を素因数に因数分解することに基づく最小公倍数を求める方法を見てみましょう。
定義 2
最小公倍数を見つけるには、いくつかの簡単な手順を実行する必要があります。
- LCM を見つける必要がある数値のすべての素因数の積を構成します。
- 結果の積からすべての素因数を除外します。
- 共通素因数を除去した後に得られる積は、指定された数値の最小公倍数と等しくなります。
最小公倍数を見つけるこの方法は、等式 LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) に基づいています。 式を見ると明らかになるでしょう。数値 a と b の積は、これら 2 つの数値の分解に関与するすべての因子の積に等しいです。 この場合、2 つの数値の gcd は、これら 2 つの数値の因数分解で同時に存在するすべての素因数の積に等しくなります。
例 3
75 と 210 という 2 つの番号があります。 それらは次のように因数分解できます。 75 = 3 5 5そして 210 = 2 3 5 7。 元の 2 つの数値のすべての因数の積を合成すると、次のようになります。 2 3 3 5 5 5 7.
数値 3 と数値 5 の両方に共通する因子を除外すると、次の形式の積が得られます。 2 3 5 5 7 = 1050。 この商品は75番と210番のLCMとなります。
例 4
数値の最小公倍数を求める 441 そして 700 、両方の数値を素因数に因数分解します。
解決
条件で指定された数値のすべての素因数を見つけてみましょう。
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
441 = 3 3 7 7 と 700 = 2 2 5 5 7 という 2 つの数値の連鎖が得られます。
これらの数値の分解に関与したすべての要素の積は、次の形式になります。 2 2 3 3 5 5 7 7 7。 共通因子を見つけてみましょう。 これは7番です。 これを製品全体から除外しましょう。 2 2 3 3 5 5 7 7。 NOCであることが判明しました (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
答え： LOC(441, 700) = 44,100。
数値を素因数に分解して最小公倍数を求める方法を別の定式化してみましょう。
定義 3
以前は、両方の数値に共通する因子の合計数から除外していました。 次に、別の方法で実行します。
- 両方の数値を素因数に因数分解してみましょう。
- 最初の数の素因数の積に、2 番目の数の欠損因数を加算します。
- 積を取得します。これは、2 つの数値の目的の最小公倍数になります。
例5
数値 75 と 210 に戻りましょう。前の例の 1 つで LCM をすでに検索しました。 それらを単純な要因に分解してみましょう。 75 = 3 5 5そして 210 = 2 3 5 7。 係数 3、5、および 5 数値 75 は欠落している因数を追加します 2 そして 7 数字は210。 我々が得る： 2・3・5・5・7。これは、75 と 210 という数字の最小公倍数です。
例6
数値 84 と 648 の最小公倍数を計算する必要があります。
解決
条件からの数値を単純な因数に因数分解してみましょう。 84 = 2 2 3 7そして 648 = 2 2 2 3 3 3 3。 積に係数 2、2、3、および を追加しましょう。 7
数値 84 欠損因子 2、3、3、および
3
数字は648。 製品を受け取ります 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536。これは 84 と 648 の最小公倍数です。
答え： LCM(84, 648) = 4,536。
3 つ以上の数値の最小公倍数を求める
扱う数値の数に関係なく、アクションのアルゴリズムは常に同じです。つまり、2 つの数値の最小公倍数を順番に見つけます。 この場合には定理があります。
定理1
整数があると仮定しましょう a 1 、 a 2 、 … 、 a k。 NOC mkこれらの数値は、m 2 = LCM (a 1, a 2)、m 3 = LCM (m 2, a 3)、...、m k = LCM (m k − 1, a k) を順番に計算することによって求められます。
次に、定理を適用して特定の問題を解決する方法を見てみましょう。
例 7
4 つの数値 140、9、54 の最小公倍数を計算する必要があります。 250 .
解決
表記法を導入しましょう: a 1 = 140、a 2 = 9、a 3 = 54、a 4 = 250。
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) を計算することから始めましょう。 ユークリッド アルゴリズムを適用して、数値 140 と 9 の GCD を計算してみましょう: 140 = 9 15 + 5、9 = 5 1 + 4、5 = 4 1 + 1、4 = 1 4。 GCD (140, 9) = 1、GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260 が得られます。 したがって、m 2 = 1,260となります。
次に、同じアルゴリズム m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) を使用して計算してみましょう。 計算中に、m 3 = 3 780 が得られます。
私たちがしなければならないのは、m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) を計算することだけです。 同じアルゴリズムに従います。 m 4 = 94 500 が得られます。
条件例の 4 つの数値の最小公倍数は 94500 です。
答え： NOC (140、9、54、250) = 94,500。
ご覧のとおり、計算は単純ですが、非常に手間がかかります。 時間を節約するには、別の方法を使用することもできます。
定義 4
次のアクションのアルゴリズムを提供します。
- すべての数値を素因数に分解します。
- 最初の数値の因数の積に、2 番目の数値の積から不足している因数を追加します。
- 前の段階で得られた積に、3 番目の数などの欠落因子を追加します。
- 結果の積は、条件からのすべての数値の最小公倍数になります。
例8
5 つの数字 84、6、48、7、143 の最小公倍数を見つける必要があります。
解決
5 つの数値すべてを素因数分解してみましょう: 84 = 2 2 3 7、6 = 2 3、48 = 2 2 2 2 3、7、143 = 11 13。 素数、つまり数字の 7 は素因数に因数分解できません。 このような数は、素因数への分解と一致します。
ここで、数値 84 の素因数 2、2、3、7 の積をとり、それらに 2 番目の数値の欠損因数を加えてみましょう。 数字の6を2と3に分解しました。 これらの係数は、最初の数値の積にすでに含まれています。 したがって、それらを省略します。
不足している乗数を追加し続けます。 素因数の積 2 と 2 から 48 という数字に移りましょう。 次に、4 番目の数の素因数 7 と、5 番目の数の素因数 11 と 13 を加算します。 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 が得られます。 これは、元の 5 つの数値の最小公倍数です。
答え： LCM (84、6、48、7、143) = 48,048。
負の数の最小公倍数を見つける
負の数値の最小公倍数を見つけるには、まずこれらの数値を反対の符号を持つ数値に置き換えてから、上記のアルゴリズムを使用して計算を実行する必要があります。
例9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) および LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)
当社がそれを認める場合には、そのような行為は許容されます。 あるそして −– 反対の数字、
次に、数値の倍数の集合 ある数値の倍数のセットと一致します −.
例 10
負の数の最小公倍数を計算する必要があります − 145 そして − 45 .
解決
数字を置き換えてみましょう − 145 そして − 45 反対の数字に 145 そして 45 。 ここで、アルゴリズムを使用して、LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305 を計算します。ユークリッド アルゴリズムを使用して GCD を事前に決定しました。
数値の最小公倍数は - 145 であることがわかります。 − 45 等しい 1 305 .
答え： LCM (− 145、− 45) = 1,305。
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最大公約数と最小公倍数は、楽な演算を可能にする重要な算術概念です。 普通の分数。 LCM は、いくつかの分数の共通分母を見つけるために最もよく使用されます。
基本概念
整数 X の約数は、X を余りを残さずに割る別の整数 Y です。 たとえば、4 の約数は 2、36 は 4、6、9 です。整数 X の倍数は、余りを除いて X で割り切れる数 Y です。 たとえば、3 は 15 の倍数、6 は 12 の倍数です。
任意の数値のペアについて、公約数と倍数を見つけることができます。 たとえば、6 と 9 の場合、公倍数は 18、公約数は 3 です。明らかに、ペアには複数の約数と倍数が存在する可能性があるため、計算では最大の約数 GCD と最小の倍数 LCM が使用されます。
どのような数値でも常に 1 であるため、最小約数には意味がありません。 倍数のシーケンスは無限に達するため、最大の倍数も無意味になります。
gcd を求める
最大公約数を求める方法は数多くありますが、最も有名なものは次のとおりです。
- 約数の逐次検索、ペアに共通するものを選択し、その最大のものを検索します。
- 数値を分割できない要素に分解する。
- ユークリッドアルゴリズム。
- バイナリアルゴリズム。
今日は 教育機関最も一般的なのは、素因数分解とユークリッド アルゴリズムです。 後者は、ディオファントス方程式を解くときに使用されます。GCD の検索は、方程式が整数で解決できるかどうかを確認するために必要です。
NOC を見つける
最小公倍数は、逐次探索または不可分因子への分解によっても決定されます。 さらに、最大約数がすでに決定されている場合、最小公倍数を見つけるのは簡単です。 数値 X と Y の場合、LCM と GCD は次の関係によって関連付けられます。
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y)。
たとえば、GCM(15,18) = 3 の場合、LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 となります。 LCM を使用する最もわかりやすい例は、次の最小公倍数である共通分母を見つけることです。与えられた分数。
共素数
数値のペアに公約数がない場合、そのようなペアは互いに素と呼ばれます。 そのようなカップルのGCDは常に 1に等しい、そして約数と倍数の間の関係に基づいて、互いに素であるものの最小公倍数はその積に等しくなります。 たとえば、数値 25 と 28 は公約数がないため比較的素であり、LCM(25, 28) = 700 (その積に相当します) となります。 割り切れない 2 つの数は常に互いに素になります。
公約数と倍数の計算機
私たちの計算機を使用すると、選択した任意の数の GCD と LCM を計算できます。 公約数と倍数を計算する課題は 5 年生と 6 年生の算数で出てきますが、GCD と LCM は数学の重要な概念であり、数論、面積測定、伝達代数で使用されます。
実際の例
分数の公分母
最小公倍数は、いくつかの分数の共通分母を見つけるときに使用されます。 算数の問題で 5 つの分数を合計する必要があるとします。
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
分数を加算するには、式を次のように簡約する必要があります。 共通点、これは最小公倍数を見つけるという問題に帰着します。 これを行うには、電卓で 5 つの数値を選択し、対応するセルに分母の値を入力します。 プログラムは最小公倍数 (8, 9, 12, 15, 18) = 360 を計算します。ここで、分母に対する最小公倍数の比率として定義される各分数の追加係数を計算する必要があります。 したがって、追加の乗数は次のようになります。
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
この後、すべての分数に対応する追加係数を乗算して、次を取得します。
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
このような分数を簡単に合計して、159/360 という結果を得ることができます。 端数を 3 で減らすと、最終的な答えは 53/120 になります。
ディオファントスの線形方程式を解く
ディオファントスの線形方程式は、ax + by = d の形式の式です。 比 d / gcd(a, b) が整数の場合、方程式は整数で解くことができます。 いくつかの方程式をチェックして、整数解があるかどうかを確認してみましょう。 まず、方程式 150x + 8y = 37 を確認してみましょう。電卓を使用すると、GCD (150.8) = 2 が求められます。37/2 を割って = 18.5 となります。 この数値は整数ではないため、方程式には整数根がありません。
方程式 1320x + 1760y = 10120 を確認してみましょう。電卓を使用して GCD(1320, 1760) = 440 を求めます。10120/440 = 23 を割ります。結果として整数が得られます。したがって、ディオファントス方程式は整数係数で解くことができます。 。
結論
GCD と LCM は数論で大きな役割を果たしており、概念自体は数学のさまざまな分野で広く使用されています。 電卓を使用して、任意の数の最大約数と最小倍数を計算します。
