数学には無限の数の関数があります。 それぞれに独自の特徴があります。) 多種多様な機能を使用するには、必要な機能が必要です。 シングルアプローチ。 そうでなければ、これはどのような数学ですか?!) そして、そのようなアプローチもあります!
関数を扱うときは、標準的な質問セットが提示されます。 そして、最初に、最も 重要な質問- これ 関数の定義のドメイン。この領域はセットと呼ばれることもあります 許容可能な値引数、関数指定領域など
関数のドメインとは何ですか? どうやって見つけますか？ これらの質問は複雑で理解できないように思えることがよくありますが、実際にはすべてが非常に単純です。 このページを読めば自分の目で確認できます。 行く？）
まあ、何と言えばいいでしょうか…ただ尊敬します。） はい！ 関数の自然領域 (ここで説明します) マッチ関数に含まれる式の ODZ を使用します。 したがって、同じルールに従って検索されます。
次に、完全に自然ではない定義領域を見てみましょう。)
関数のスコープに関する追加の制限。
ここでは、タスクによって課される制限について説明します。 それらの。 タスクには、コンパイラーが作成した追加の条件がいくつか含まれています。 あるいは、機能の定義方法そのものから制限が生じます。
タスクの制限に関しては、すべてが簡単です。 通常、何も探す必要はありません。すべてがタスク内にすでに記載されています。 タスクの作成者によって書かれた制限はキャンセルされないことを思い出してください。 数学の根本的な限界。タスクの条件を考慮することを忘れないでください。
たとえば、このタスクは次のとおりです。
関数のドメインを見つけます。
正の数のセットについて。
上記でこの関数の定義の自然領域を見つけました。 この地域：
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
口頭で関数を指定する方法では、条件を注意深く読み、そこにある X に関する制限を見つける必要があります。 時々、目は公式を探しますが、言葉は意識を通り過ぎて笛を吹くことがあります...) 前のレッスンの例:
関数は条件によって指定されます。自然引数 x の各値は、x の値を構成する数字の合計に関連付けられます。
ここで注意していただきたいのは、私たちが話しているのは、 のみ Xの自然値について。 それから D(f)即座に記録されました:
D(f): x ∈ N
ご覧のとおり、関数のスコープはそれほど大きくありません。 複雑な概念。 この領域を見つけるには、関数を調べ、不等式系を作成し、この系を解く必要があります。 もちろん、単純なものから複雑なものまで、あらゆる種類のシステムがあります。 しかし...
開けてみます ちょっとした秘密。 定義領域を見つける必要がある関数は、単に怖ろしく見えることがあります。 青ざめて泣きたい） しかし、不平等の体系を書き出すとすぐに... そして、突然、その体系が初歩的なものであることが判明しました！ さらに、機能がひどいほど、システムは単純になることがよくあります...
道徳: 目は恐れ、頭は決める!)
関数のドメインを見つけるにはどうすればよいでしょうか? 中学生はこの課題に取り組まなければならないことがよくあります。
親は子供たちがこの問題を理解できるように手助けする必要があります。
関数の指定。
代数学の基本用語を思い出してみましょう。 数学では、関数とは、ある変数の別の変数への依存関係です。 これは、2 つの数値を特定の方法で結び付ける厳密な数学法則であると言えます。
数学では、数式を分析するときに、数値変数がアルファベット記号に置き換えられます。 最も一般的に使用されるのは、x (「x」) と y (「y」) です。 変数 x は引数と呼ばれ、変数 y は x の従属変数または関数と呼ばれます。
存在する さまざまな方法変数の依存関係を設定します。
それらを列挙してみましょう:
- 分析タイプ。
- 表形式のビュー。
- グラフィック表示。
分析方法は式で表されます。 例を見てみましょう: y=2x+3、y=log(x)、y=sin(x)。 式 y=2x+3 は典型的なものです。 一次関数。 与えられた式に代入すると 数値引数を指定すると、y の値が得られます。
表形式の方法は、2 つの列で構成される表です。 最初の列は X 値に割り当てられ、次の列にはプレーヤーのデータが記録されます。
グラフィカルな方法が最も視覚的であると考えられています。 グラフは、平面上のすべての点の集合を表示したものです。
グラフを構築するには、デカルト座標系が使用されます。 システムは 2 本の垂直線で構成されます。 同一の単位セグメントが軸上に配置されます。 直線の交点の中心点から数えます。
独立変数は水平線で示されます。 それを横軸と呼びます。 縦線 (y 軸) は従属変数の数値を表示します。 点は、これらの軸に対する垂線の交点にマークされます。 点と点を結ぶと実線が得られます。 スケジュールの基本となります。
変数の依存関係の種類
意味。
で 一般的な見解依存関係は方程式 y=f(x) として表されます。 この式から、数値 x の各値に対して次のことがわかります。 特定の数あなた。 数値 x に対応するゲームの値は、関数の値と呼ばれます。
独立変数が取得するすべての可能な値は、関数の定義領域を形成します。 したがって、従属変数の数値のセット全体が関数の値の範囲を決定します。 定義域は、f(x) が意味をなす引数のすべての値です。
数学的法則を研究する際の最初のタスクは、定義領域を見つけることです。 この用語は正しく定義されなければなりません。 そうしないと、それ以降の計算はすべて無駄になります。 結局のところ、値の量は最初のセットの要素に基づいて形成されます。
関数のスコープは制約に直接依存します。 制限は、特定の操作を実行できないことによって引き起こされます。 数値の使用にも制限があります。
制限がない場合、定義領域は数値空間全体です。 無限大の記号には、水平方向の 8 の字の記号が付いています。 数値のセット全体は、(-∞; ∞) のように記述されます。
で 特定のケースデータ配列はいくつかのサブセットで構成されます。 数値の間隔またはスペースの範囲は、パラメーター変化の法則の種類によって異なります。
制限に影響を与える要因のリストは次のとおりです。
- 反比例。
- 算術ルート。
- べき乗;
- 対数依存性。
- 三角関数の形式。
このような要素が複数ある場合、制限の検索は要素ごとに分割されます。 最大の問題識別を表します 重要なポイントそして間隔。 この問題の解決策は、すべての数値サブセットを統合することです。
数値のセットとサブセット
セットについて。
定義域はD(f)で表され、和集合の符号は記号∪で表されます。 すべての数値間隔は括弧で囲まれています。 敷地の境界線がセットに含まれていない場合は、半円形のブラケットが配置されます。 それ以外の場合、数値がサブセットに含まれる場合は角括弧が使用されます。
反比例はy=k/xという式で表されます。 関数グラフは 2 つの枝からなる曲線です。 一般に誇張と呼ばれるものです。
関数は分数で表現されるため、定義領域を見つけるには分母を分析する必要があります。 数学ではゼロ除算が禁止されていることはよく知られています。 この問題を解決するには、分母をゼロに等しくして根を求める必要があります。
以下に例を示します。
与えられた場合: y=1/(x+4)。 定義域を見つけます。
- 分母をゼロとみなします。
x+4=0 - 方程式の根を見つける。
x=-4 - 引数のすべての可能な値のセットを定義します。
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
回答: 関数の定義域は、-4 を除くすべての実数です。
記号の下の数字の意味 平方根マイナスにはできません。 この場合、ルートを使用した関数の定義は、不等式を解くことに帰着します。 根号式はゼロより大きくなければなりません。
ルートの決定領域は、ルート インジケーターのパリティに関連します。 インジケーターが 2 で割り切れる場合、式は次の場合にのみ意味を持ちます。 正の値。 インジケーターの奇数は、根元式の任意の値 (正と負の両方) が許容されることを示します。
不等式は方程式と同じ方法で解決されます。 違いは 1 つだけです。 不等式の両辺に負の数を掛けた後、符号を反転する必要があります。
平方根が分母にある場合は、追加の条件を課す必要があります。 数値はゼロであってはなりません。 不平等は、厳密な不平等のカテゴリーに移ります。
対数関数と三角関数
対数形式は正の数に適しています。 したがって、定義領域は 対数関数ゼロを除いて平方根関数に似ています。
対数依存性の例、y=log(2x-6) を考えてみましょう。 定義域を見つけます。
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
答え: (3; +∞)。
y=sin x および y=cos x の定義域は、すべての集合です。 実数。 タンジェントとコタンジェントには制限があります。 これらは、角度のコサインまたはサインによる除算に関連付けられています。
角度の正接は、サインとコサインの比によって決まります。 接線値が存在しない角度値を示しましょう。 関数 y=tg x は、x=π/2+πn、n∈Z を除く引数のすべての値に対して意味を持ちます。
関数 y=ctg x の定義域は、x=πn、n∈Z を除く実数のセット全体です。 引数が数値 π または π の倍数に等しい場合、角度の正弦 ゼロに等しい。 これらの点 (漸近線) では、コタンジェントは存在できません。
定義の領域を特定する最初の作業は、7 年生の授業で始まります。 代数のこのセクションに初めて触れたとき、学生はトピックを明確に理解する必要があります。
この用語は、学習期間全体を通して学童、そして学生に付随することに注意する必要があります。
分数方程式。 ODZ。
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
私たちは方程式をマスターし続けます。 私たちは一次方程式と二次方程式を扱う方法をすでに知っています。 残った最後の景色 - 分数方程式 。 あるいは、もっと敬意を持って呼ばれることもあります - 分数 有理方程式 。 同じです。
分数方程式。
名前が示すように、これらの方程式には必ず分数が含まれます。 しかし、単なる分数ではなく、次のような分数も含まれます。 分母が不明。 少なくとも1つは。 例えば：
分母が 数字、これらは一次方程式です。
決め方 分数方程式? まずは端数を捨てましょう！ この後、方程式はほとんどの場合、線形または二次方程式になります。 そして、何をすべきかはわかります... 場合によっては、5=5 などのアイデンティティに変わったり、7=2 などの誤った表現になる可能性があります。 しかし、これはめったに起こりません。 これについては後述します。
しかし、端数を取り除くにはどうすればよいですか? とてもシンプルです。 同じ同一の変換を適用します。
方程式全体に同じ式を掛ける必要があります。 すべての分母が減るように！ すべてがすぐに簡単になります。 例を挙げて説明しましょう。 次の方程式を解く必要があります。
で教えられたように ジュニアクラス? すべてを片側に寄せたり、共通点に近づけたりします。 方法は忘れてください 恐ろしい夢！ これは、加算または減算するときに行う必要があることです。 分数式。 あるいは、不平等を抱えて仕事をしていることもあります。 そして、方程式では、すぐに両辺に式を掛けます。これにより、すべての分母を減らす機会が得られます（つまり、本質的には、 共通点）。 で、この表現は何でしょうか？
左側で、分母を減らすには次の値を乗算する必要があります。 x+2。 そして右側では、2 の乗算が必要です。これは、方程式に を乗算する必要があることを意味します。 2(x+2)。 かける：
これは分数の一般的な掛け算ですが、詳しく説明します。
まだブラケットを開いていないことに注意してください (x + 2)！ それで、全体として、私はそれを書きます：
左側は完全に収縮します (x+2)、右側の 2. 必要なものはどれですか! 削減後、次のようになります 線形方程式：
そして、誰でもこの方程式を解くことができます。 x = 2.
もう少し複雑な別の例を解いてみましょう。
3 = 3/1 であることを覚えていると、 2x = 2x/ 1、次のように書くことができます。
そして再び、私たちがあまり好まないもの、つまり分数を取り除きます。
X で分母を減らすには、分数に次の値を掛ける必要があることがわかります。 (x – 2)。 そして、いくつかは私たちにとって邪魔にはなりません。 さて、増やしてみましょう。 全て左側と 全て右側：
また括弧 (x – 2)明らかにしてないよ。 ブラケット全体を 1 つの数字であるかのように操作します。 これは常に実行する必要があり、そうしないと何も削減されません。
深い満足感とともに、 (x – 2)定規を使うと、分数のない方程式が得られます。
それでは括弧を開けてみましょう:
同様のものを持ってきて、すべてを左側に移動すると、次のようになります。
しかしその前に、他の問題を解決する方法を学びます。 利息について。 ちなみに熊手ですよ！
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）
関数と導関数について知ることができます。
さまざまな問題を解決するとき、式の同一の変換を実行する必要があることがよくあります。 しかし、場合によっては、ある種の変換が許容される場合もあれば、許容されない場合もあります。 進行中の変革の許容性を監視するという点で、ODZ は重要な支援を提供します。 これをさらに詳しく見てみましょう。
このアプローチの本質は次のとおりです。元の式の変数の ODZ と、同じ変換の結果として得られた式の変数の ODZ が比較され、比較結果に基づいて適切な結論が導き出されます。
一般に、恒等変換では次のことが可能です。
- DL には影響しません。
- ODZの拡大につながります。
- ODZ の狭小化につながります。
それぞれのケースを例を挙げて説明しましょう。
式 x 2 +x+3·x を考えてみましょう。この式の変数 x の ODZ は集合 R です。 ここで、この式を使用して次の同じ変換を実行してみましょう。同様の項を提示します。その結果、x 2 +4・x の形式になります。 明らかに、この式の変数 x も集合 R です。 したがって、実行された変換は DZ を変更しませんでした。
次へ移りましょう。 式 x+3/x−3/x を考えてみましょう。 この場合、ODZ は条件 x≠0 によって決定され、セット (−∞, 0)∪(0, +∞) に対応します。 この式には同様の項も含まれており、これを削減した後、ODZ が R となる式 x に到達します。 表示される内容: 変換の結果、ODZ が拡張されました (元の式の変数 x の ODZ に数値ゼロが追加されました)。
変換後に許容値の範囲を狭める例を検討する必要があります。 という表現をとってみましょう 
。 変数 x の ODZ は、不等式 (x−1)・(x−3)≥0 によって決定され、その解は適切です。たとえば、結果として (−∞, 1]∪∪; 編集しました) S. A. Telyakovsky著 - 17-編 - M.: 教育、2008年。 - 240ページ: ISBN 978-5-09-019315-3。
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