対数とは何ですか?
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対数とは何ですか? 対数を解くにはどうすればいいですか? これらの質問は多くの卒業生を混乱させます。 伝統的に、対数の話題は複雑で、理解できず、恐ろしいものだと考えられてきました。 特に対数を使った方程式。
これは絶対に真実ではありません。 絶対に！ 信じられない？ 大丈夫。 わずか 10 ～ 20 分で次のことが可能になります。
1. 理解する 対数とは何ですか.
2. クラス全体で解く方法を学ぶ 指数方程式。 たとえ彼らについて何も聞いていなくても。
3. 単純な対数の計算を学びます。
さらに、このために必要なのは、九九と数値のべき乗の方法だけを知っていることだけです...
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まず、頭の中で次の方程式を解きます。
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関数と導関数について知ることができます。
トピックに関するレッスンとプレゼンテーション:「自然対数、自然対数の底、自然数の対数」
追加資料
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自然対数とは
皆さん、前回のレッスンでは新しい特別な数字 e を学びました。今日はこの数字を使って作業を続けます。私たちは対数を研究しており、対数の底は 0 より大きい多くの数になり得ることを知っています。今日は、数値 e を底とする対数も見ていきます。このような対数は通常、自然対数と呼ばれます。 独自の表記法があります。$\ln(n)$ は自然対数です。 このエントリは、エントリ $\log_e(n)=\ln(n)$ と同等です。
指数関数と対数関数は逆関数であり、自然対数は関数の逆関数です: $y=e^x$。
逆関数は直線 $y=x$ に対して対称です。
直線$y=x$に対して指数関数をプロットして自然対数をプロットしてみましょう。
関数 $y=e^x$ の点 (0;1) における接線の傾き角が 45°であることに注目してください。 このとき、点(1;0)における自然対数のグラフの接線の傾斜角も45度に等しくなります。 これらの接線は両方とも、$y=x$ 線に平行になります。 接線を図にしてみましょう。 
関数 $y=\ln(x)$ のプロパティ
1. $D(f)=(0;+∞)$。2. 偶数でも奇数でもない。
3. 定義領域全体にわたって増加します。
4. 上からの制限も下からの制限もありません。
5. 最大値いいえ、最小値はありません。
6. 継続的。
7. $E(f)=(-∞; +∞)$。
8.上に凸。
9. どこでも差別化可能。
高等数学の過程で次のことが証明されています 逆関数の導関数は、指定された関数の導関数の逆関数です.
証拠を掘り下げる必要はない とても理にかなっているでは、$y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$ という式を書いてみましょう。
例。
関数 $x=4$ における $y=\ln(2x-7)$ の導関数の値を計算します。
解決。
で 一般的な見解私たちの関数は関数 $y=f(kx+m)$ で表され、そのような関数の導関数を計算できます。
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$。
必要な点での導関数の値を計算しましょう: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$。
答え: 2.
例。
関数 $y=ln(x)$ のグラフの点 $х=е$ に接線を引きます。
解決。
$x=a$ 点における関数のグラフの接線の方程式はよく覚えています。
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$。
必要な値を順番に計算します。
$a=e$。
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$。
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$。
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$。
点 $x=e$ における接線方程式は関数 $y=\frac(x)(e)$ です。
自然対数と接線をプロットしてみましょう。 
例。
関数 $y=x^6-6*ln(x)$ の単調性と極値を調べます。
解決。
関数 $D(y)=(0;+∞)$ の定義域。
与えられた関数の導関数を見つけてみましょう。
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$。
導関数は定義域からのすべての x に対して存在します。 重要なポイントいいえ。 静止点を見つけてみましょう。
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$。
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$。
$6*x^6-6=0$。
$x^6-1=0$。
$x^6=1$。
$x=±1$。
点 $х=-1$ は定義域に属しません。 すると、静止点 $x=1$ が 1 つあります。 増加と減少の間隔を求めてみましょう。 
点 $x=1$ が最小点であり、$y_min=1-6*\ln(1)=1$ となります。
答え: 関数はセグメント (0;1) 上で減少し、関数は光線 $ (\displaystyle ) 上で増加します。。 この定義の単純さは、この対数を使用する他の多くの式と一致しており、「ナチュラル」という名前の由来を説明しています。
自然対数を実変数の実関数と考えると、それは指数関数の逆関数となり、次の恒等式が得られます。
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) 。 (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0)。)すべての対数と同様に、自然対数は乗算を加算にマッピングします。
ln x y = ln x + ln y 。 (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y。)自然対数、グラフ、定義領域、値のセット、基本的な公式、導関数、積分、展開の基本的な性質 パワーシリーズ複素数を使用した関数 ln x の表現。
意味
自然対数関数 y = lnx、指数の逆数、x = e y、数値 e の底の対数です。 ln x = log e x.
自然対数は、その導関数が最も単純な形式であるため、数学で広く使用されています。 (ln x)' = 1/ x.
ベース 定義、自然対数の底は次の数です。 e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
関数 y = のグラフ lnx.
自然対数のグラフ (関数 y = lnx) は指数グラフから得られます。 鏡像直線 y = x に対する相対値。
自然対数は次のように定義されます。 正の値変数x。 それはその定義領域内で単調増加します。
×時→ 0 自然対数の極限はマイナス無限大 (-∞) です。
x → + ∞ なので、自然対数の極限はプラス無限大 (+ ∞) です。 x が大きい場合、対数は非常にゆっくりと増加します。 どれでも べき乗関数正の指数 a を持つ x a は、対数よりも速く増加します。
自然対数の性質
定義範囲、値のセット、極値、増加、減少
自然対数は単調増加関数であるため、極値はありません。 自然対数の主な特性を表に示します。
ln x 値
ln1 = 0
自然対数の基本公式
逆関数の定義から次の式が得られます。
対数の主な性質とその結果
塩基置換式
任意の対数は、塩基置換式を使用して自然対数で表現できます。
これらの公式の証明は「対数」のセクションに示されています。
逆関数
自然対数の逆数が指数です。
の場合、
もしそうなら。
導関数 ln x
自然対数の微分:
.
係数 x の自然対数の微分:
.
n次微分:
.
数式の導出 > > >
積分
積分は部分ごとの積分によって計算されます。
.
それで、
複素数を使った式
複素変数 z の関数を考えてみましょう。
.
複素変数を表現してみよう zモジュール経由 rそして議論 φ
:
.
対数の特性を使用すると、次のようになります。
.
または
.
引数 φ は一意に定義されません。 置いたら
ここで、n は整数です。
n が異なっても同じ番号になります。
したがって、複素変数の関数としての自然対数は、単一値の関数ではありません。
べき級数展開
拡張が行われるとき:
参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
