まず、方程式の数が変数の数と等しい場合を考えてみましょう。 m = n。 このとき、系の行列は正方となり、その行列式を系の行列式と呼びます。
逆行列法
非縮退正方行列 A を持つ連立方程式 AX = B を一般形式で考えてみましょう。この場合、次の式が存在します。 逆行列 A-1。 左側の両辺に A -1 を掛けてみましょう。 A -1 AX = A -1 B が得られます。したがって、EX = A -1 B となります。
最後の等式は、このような方程式系の解を見つけるための行列公式です。 この公式を利用することを逆行列法といいます。
たとえば、この方法を使用して次のシステムを解いてみましょう。
;
系を解く最後に、見つかった値を系の方程式に代入して確認できます。 そうすることで、両者は真の平等にならなければなりません。
検討した例については、以下を確認してみましょう。
クラマーの公式を使用して正方行列をもつ連立一次方程式を解く方法
n= 2 とします:
最初の方程式の両辺に 22 を掛け、2 番目の方程式の両辺に (-a 12) を掛けて、結果の方程式を加算すると、システムから変数 x 2 が削除されます。 同様に、変数 x 1 を削除できます (最初の方程式の両辺に (-a 21) を乗算し、2 番目の方程式の両辺に 11 を乗算します)。 結果として、次のシステムが得られます。
括弧内の式はシステムの決定要因です
と表しましょう
すると、システムは次のような形式になります。
結果として得られる系から、系の行列式が 0 であれば、系は一貫性があり明確であることがわかります。 その唯一の解決策は、次の式を使用して計算できます。
= 0、a 1 0、および/または 2 0 の場合、システム方程式は 0*x 1 = 2 および/または 0*x 1 = 2 の形式になります。 この場合、システムは不整合になります。
= 1 = 2 = 0 の場合、次の形式をとるため、システムは一貫性があり、無限になります (解の数は無限になります)。
クラマーの定理（証明は省略します）。 n 連立方程式の行列の行列式が次の場合、 ゼロに等しいの場合、システムには次の式で決定される独自の解決策があります。
,
ここで、 j は、j 番目の列を自由項の列に置き換えることによって行列 A から得られる行列の行列式です。
上記の式は次のように呼ばれます クレイマーの公式.
例として、逆行列法を使用して以前に解かれたシステムをこの方法を使用して解いてみましょう。
検討された方法の欠点:
1) 顕著な労働強度（行列式の計算と逆行列の計算）。
2) 限定された範囲 (正方行列を備えたシステムの場合)。
実際の経済状況は、方程式と変数の数が非常に多く、変数よりも方程式の方が多いシステムによってモデル化されることが多いため、実際には次の方法がより一般的です。
ガウス法（変数を逐次消去する方法）
この方法はシステム m を解くために使用されます。 一次方程式 n 個の変数を一般形式で使用します。 その本質は、等価変換系を拡張行列に適用することにあり、これを利用して方程式系は、解が (存在する場合) 見つけやすくなる形式に変換されます。
これは左が入っているタイプです。 上部システムのマトリックスは段階的なマトリックスになります。 これは、ランクを決定するためのステップ マトリックスを取得するために使用されたのと同じ手法を使用して達成されます。 この場合、基本変換が拡張行列に適用され、等価な方程式系を取得できるようになります。 この後、展開された行列は次の形式になります。
このような行列を取得することを呼びます まっすぐにガウス法。
対応する連立方程式から変数の値を見つけることは、と呼ばれます 逆にガウス法。 考えてみましょう。
最後の (m – r) 方程式は次の形式になることに注意してください。
少なくとも 1 つの数字があれば、 
がゼロに等しくない場合、対応する等式は偽となり、システム全体が矛盾します。
したがって、どの関節システムでも 
。 この場合、変数の任意の値に対する最後の (m – r) 方程式は恒等式 0 = 0 となり、系を解く際には無視できます (対応する行を破棄するだけです)。
この後、システムは次のようになります。
まず、r=nの場合を考えてみましょう。 すると、システムは次のような形式になります。
システムの最後の方程式から、x r を一意に見つけることができます。
x r がわかれば、そこから x r -1 を明確に表現できます。 次に、前の式から、x r と x r -1 がわかれば、x r -2 などを表すことができます。 ×1まで。
したがって、この場合、システムは統合され、定義されます。
ここで、r が次の場合を考えてみましょう。
この方程式から、基本変数 x r を非基本変数で表すことができます。
最後から 2 番目の方程式は次のようになります。
x r の代わりに結果の式を代入すると、基本変数 x r -1 を非基本変数で表すことができます。 等。 変数x 1 に。 システムの解を得るには、非基本変数を任意の値と同等にしてから、結果の式を使用して基本変数を計算します。 したがって、この場合、システムは一貫性があり、不定になります (無限の数の解があります)。
たとえば、連立方程式を解いてみましょう。
基本変数のセットを次のように呼びます。 基礎システム。 それらの係数の列のセットも呼びます。 基礎(ベース列)、または 基本マイナーシステム行列。 すべての非基本変数がゼロに等しい系の解は次のように呼ばれます。 基本的な解決策.
前の例では、基本的な解は (4/5; -17/5; 0; 0) になります (変数 x 3 と x 4 (c 1 と c 2) は 0 に設定され、基本変数 x 1および x 2 はそれらを通じて計算されます)。 非基本的な解の例を挙げると、x 3 と x 4 (c 1 と c 2) を同時にゼロではない任意の数と同等にし、それらを通じて残りの変数を計算する必要があります。 たとえば、1 = 1 および 2 = 0 の場合、非基本解 - (4/5; -12/5; 1; 0) が得られます。 置き換えることにより、両方の解が正しいことを簡単に検証できます。
不定系では、無限の非基本解が存在する可能性があることは明らかです。 基本的な解決策はいくつありますか? 変換された行列の各行は、1 つの基底変数に対応する必要があります。 問題には n 個の変数と r 個のベースラインがあります。 したがって、基本変数のすべての可能なセットの数は、n × 2 の組み合わせの数を超えることはできません。 以下になる可能性があります 
なぜなら、この特定の変数セットが基礎となるような形式にシステムを変換できるとは限らないからです。
これは何の種類ですか? これは、これらの変数の係数の列から形成された行列がステップ化され、同時に r 行で構成される場合のタイプです。 それらの。 これらの変数の係数行列のランクは r に等しくなければなりません。 列の数は等しいため、これより大きくすることはできません。 それが r より小さいことが判明した場合、これは変数に対する列の線形依存性を示します。 このような列は基礎を形成できません。
上で説明した例で他にどのような基本的な解決策が見つかるかを考えてみましょう。 これを行うには、4 つの変数 (それぞれ 2 つの基本変数) の可能なすべての組み合わせを検討します。 こういう組み合わせもあるだろう 
、そのうちの 1 つ (x 1 と x 2) はすでに検討されています。
変数 x 1 と x 3 を考えてみましょう。 それらの係数の行列のランクを見つけてみましょう。
2 に等しいため、基本的なものにすることができます。 非基本変数 x 2 と x 4 をゼロに等しいとします: x 2 = x 4 = 0。そして、式 x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 から、x 1 = 4 となります。 /5、式 x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 から、x 3 = x 2 +17/5 = 17/ となります。 5. したがって、基本的な解 (4/5; 0; 17/5; 0) が得られます。
同様に、基本変数 x 1 および x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7) の基本解を取得できます。 x 2 および x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 および x 4 – (0; 0; 9; 4)。
この例の変数 x 2 と x 3 は、対応する行列のランクが 1 に等しいため、基本変数として受け取ることはできません。 2 つ未満:
.
特定の変数から基底を構築できるかどうかを判断する別のアプローチも可能です。 この例を解くときに、システム行列を段階的な形式に変換した結果、次のような形式になりました。
変数のペアを選択することで、この行列の対応するマイナーを計算することができました。 x 2 と x 3 を除くすべてのペアについて、それらがゼロに等しくないことを検証するのは簡単です。 列は線形に独立しています。 変数 x 2 および x 3 を含む列のみ 
、これは線形依存性を示します。
別の例を見てみましょう。 連立方程式を解いてみましょう
したがって、最後の行列の 3 行目に対応する方程式は矛盾しています。0 = -1 という誤った等式が得られるため、このシステムは矛盾しています。
ジョルダン・ガウス法 3 ガウス法を発展させたものです。 その本質は、システムの拡張行列が、変数の係数が行または列 4 の順列まで単位行列を形成する形式に変換されることです (r はシステム行列のランク)。
この方法を使用して系を解きましょう:
システムの拡張行列を考えてみましょう。
この行列では、単位要素を選択します。 たとえば、3 番目の制約の x 2 の係数は 5 です。 この列の残りの行にゼロが含まれていることを確認しましょう。 列を単一にしてみましょう。 変換プロセス中にこれを呼び出します カラム寛容な(リーディング、キー)。 3番目の制限（3番目） ライン）私たちも電話します 寛容な。 自分自身 要素解決する行と列 (ここでは 1 つ) の交点に位置し、とも呼ばれます。 寛容な.
最初の行には係数 (-1) が含まれています。 代わりにゼロを取得するには、3 行目に (-1) を乗算し、その結果を最初の行から減算します (つまり、最初の行を 3 行目に加算するだけです)。
2 行目には係数 2 が含まれています。その代わりに 0 を取得するには、3 行目に 2 を乗算し、その結果を最初の行から減算します。
変換の結果は次のようになります。
この行列から、最初の 2 つの制限のうち 1 つを取り消すことができることがはっきりとわかります (対応する行は比例しています。つまり、これらの方程式は相互に続きます)。 たとえば、2 番目の部分を取り消し線で消してみましょう。
したがって、新しいシステムには 2 つの方程式があります。 1 列 (2 番目) が取得され、ここでの単位は 2 行目に表示されます。 新しいシステムの 2 番目の方程式は基本変数 x 2 に対応することを思い出してください。
最初の行の基本変数を選択しましょう。 これは、x 3 以外の任意の変数にすることができます (x 3 の場合、最初の制約の係数がゼロであるため、つまり、ここでは変数のセット x 2 と x 3 を基本にすることはできません)。 最初または 4 番目の変数を取得できます。
×1を選びましょう。 この場合、解決要素は 5 になり、最初の行の最初の列に 1 を取得するには、解決方程式の両辺を 5 で割る必要があります。
残りの行 (つまり 2 行目) の最初の列にゼロが含まれていることを確認しましょう。 2 行目には 0 ではなく 3 が含まれているため、変換された 1 行目の要素を 2 行目から減算し、3 を乗算する必要があります。
結果の行列から、非基本変数をゼロに、基本変数を対応する方程式 (0.8; -3.4; 0; 0) の自由項に等価することによって、1 つの基本解を直接抽出できます。 また、基本変数から非基本変数までを表す一般式を導出することもできます。 x 1 = 0.8 – 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6x 4. これらの式は、システムに対する無限の解セット全体を記述します (x 3 と x 4 を任意の数に等しいとすると、x 1 と x 2 を計算できます)。
Jordan-Gauss 法の各段階での変換の本質は次のとおりであることに注意してください。
1) 解像度ラインを解像度要素で分割して、その位置に単位を取得します。
2) 他のすべての行から、変換された解像度が減算され、解像度列の指定された行にある要素が乗算され、この要素の代わりにゼロが取得されます。
システムの変換された拡張行列をもう一度考えてみましょう。
この記録から、システム A の行列のランクが r に等しいことは明らかです。
私たちの推論の過程で、次の場合にのみシステムが協力的になることが証明されました。 
。 これは、システムの拡張マトリックスが次のようになることを意味します。
ゼロ行を破棄することにより、システムの拡張行列のランクも r に等しいことがわかります。
クロネッカー・カペリの定理。 線形方程式系は、システムの行列のランクがこのシステムの拡張行列のランクと等しい場合にのみ一貫性があります。
行列のランクは、その線形に独立した行の最大数に等しいことを思い出してください。 このことから、拡張行列のランクが方程式の数より小さい場合、システムの方程式は線形依存しており、それらのうちの 1 つ以上をシステムから除外できることがわかります (それらは線形であるため)他のものの組み合わせ）。 方程式系は、拡張行列のランクが方程式の数と等しい場合にのみ線形独立になります。
さらに、連立一次方程式系の場合、行列の階数が変数の数と等しい場合、システムは一意の解を持ち、それが変数の数より小さい場合、システムは無限であり、無限に多くの解があります。
1たとえば、行列に 5 つの行があるとします (元の行順序は 12345)。 2行目と5行目を変更する必要があります。 2 行目を 5 行目の代わりに下に「移動」するには、隣接する行を 3 回連続して変更します。2 行目と 3 行目 (13245)、2 行目と 4 行目 (13425)、2 行目と 5 行目 (13452) ）。 次に、元の行列の 2 番目の行を 5 番目の行に置き換えるには、5 番目の行を 2 つの連続した変更だけ上に「シフト」する必要があります。5 番目と 4 番目の行 (13542)、および 5 番目と 3 番目の行です。 (15342)。
2nからrまでの組み合わせの数 
これらは、n 要素セットのすべての異なる r 要素サブセットの数を呼びます (要素の構成が異なるものは異なるセットとみなされます。選択の順序は重要ではありません)。 次の式を使用して計算されます。 
。 「！」という記号の意味を思い出してみましょう。 (階乗): 
0!=1.)
3 この方法は、前述のガウス法よりも一般的であり、本質的にガウス法の前進ステップと後退ステップの組み合わせであるため、名前の最初の部分を省略してガウス法と呼ばれることもあります。
4たとえば、 
.
5 システム行列に単位がない場合は、たとえば、最初の方程式の両辺を 2 で割ることができ、最初の係数は 1 になります。 など
このビデオから、方程式系に特化した一連のレッスンを始めます。 今日は連立一次方程式の解法について話します 加算方法- これは最も簡単な方法の 1 つですが、同時に最も効果的な方法の 1 つです。
追加方法は 3 つの簡単な手順で構成されます。
- システムを見て、各方程式で同じ (または反対の) 係数を持つ変数を選択します。
- 相互に方程式の代数的減算 (反対の数の場合 - 加算) を実行し、類似した項を導き出します。
- 2 番目のステップの後に得られた新しい方程式を解きます。
すべてが正しく行われると、出力で単一の方程式が得られます。 1 つの変数で—それを解決するのは難しくありません。 あとは、見つかったルートを元のシステムに置き換えて、最終的な答えを得るだけです。
ただし、実際にはすべてがそれほど単純ではありません。 これにはいくつかの理由があります。
- 加算法を使用して方程式を解くということは、すべての行に等しい/反対の係数を持つ変数が含まれている必要があることを意味します。 この要件が満たされていない場合はどうすればよいでしょうか?
- 示された方法で方程式を加算または減算すると、簡単に解ける美しい構造が得られるとは限りません。 何とか計算を簡略化し、計算を高速化することはできますか?
これらの質問に対する答えを得ると同時に、多くの生徒が失敗するいくつかの追加の微妙な点を理解するには、私のビデオ レッスンをご覧ください。
このレッスンでは、方程式系に特化した一連の講義を開始します。 そして、その中で最も単純なもの、つまり 2 つの方程式と 2 つの変数を含むものから始めます。 それぞれが直線的になります。
システムは 7 年生の教材ですが、このレッスンはこのトピックの知識を磨きたい高校生にも役立ちます。
一般に、このようなシステムを解決するには 2 つの方法があります。
- 追加方法;
- ある変数を別の変数に関して表現する方法。
今日は最初の方法を扱います。減算と加算の方法を使用します。 ただし、これを行うには、次の事実を理解する必要があります。2 つ以上の方程式があれば、それらのうちの任意の 2 つを取得して、それらを加算できるということです。 これらはメンバーごとに追加されます。 「X」に「X」を加えて似たものを与え、「Y」と「Y」をまた似て、等号の右側にあるものを加えて似たものをそこにも与えます。
このような陰謀の結果は新しい方程式となり、それに根がある場合、それらは必ず元の方程式の根の中に含まれます。 したがって、私たちのタスクは、$x$ または $y$ が消えるような方法で減算または加算を行うことです。
これを実現する方法と、そのためにどのツールを使用するかについては、これから説明します。
足し算を使って簡単な問題を解く
そこで、2 つの簡単な式の例を使って加算法の使い方を学びます。
タスクNo.1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
最初の方程式では $y$ の係数が $-4$ であり、2 番目の方程式では $+4$ であることに注意してください。 これらは相互に正反対であるため、これらを合計すると、その合計で「ゲーム」が相互に破壊されると考えるのが論理的です。 それを合計すると次のようになります。
最も単純な構造を解いてみましょう。
よかった、「x」が見つかりました。 今それをどうすればいいでしょうか？ 私たちはそれを式のいずれかに代入する権利を有します。 最初の部分を次のように置き換えてみましょう。
\[-4y=12\左| :\left(-4 \right) \right.\]
答え: $\left(2;-3 \right)$。
問題その2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
ここでも状況は完全に似ていますが、「X」が付いているだけです。 それらを合計してみましょう:
最も単純な一次方程式があるので、それを解いてみましょう。
それでは、$x$ を見つけてみましょう。
答え: $\left(-3;3 \right)$。
注意事項
これで、加算法を使用して 2 つの単純な一次方程式系を解いたところです。 もう一度重要なポイント:
- 変数の 1 つに反対の係数がある場合は、方程式内のすべての変数を追加する必要があります。 この場合、そのうちの 1 つが破壊されます。
- 見つかった変数をシステム方程式のいずれかに代入して、2 番目の変数を見つけます。
- 最終的な応答レコードはさまざまな方法で表示できます。 たとえば、次のように - $x=...,y=...$、または点の座標の形式 - $\left(...;... \right)$。 2 番目のオプションが望ましいです。 覚えておくべき主な点は、最初の座標が $x$ であり、2 番目の座標が $y$ であるということです。
- 点座標の形式で答えを書くというルールは、常に適用できるわけではありません。 例えば、変数が $x$ や $y$ ではなく、例えば $a$ や $b$ の場合は使用できません。
次の問題では、係数が反対でない場合の減算の手法を検討します。
引き算法を使って簡単な問題を解く
タスクNo.1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
ここには反対の係数はありませんが、同一の係数があることに注意してください。 したがって、最初の式から 2 番目の式を減算します。
次に、値 $x$ をシステム方程式のいずれかに代入します。 まずは行きましょう:
答え: $\left(2;5\right)$。
問題その2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
最初と 2 番目の方程式でも、$x$ に対して同じ $5$ の係数が見られます。 したがって、最初の式から 2 番目の式を減算する必要があると想定するのは論理的です。
1 つの変数を計算しました。 次に、たとえば値 $y$ を 2 番目の構造に代入して、2 番目の構造を見つけてみましょう。
答え: $\left(-3;-2 \right)$。
ソリューションのニュアンス
それで、何が見えるでしょうか？ 基本的に、このスキームは以前のシステムのソリューションと変わりません。 唯一の違いは、方程式を加算するのではなく、減算することです。 代数的減算を行っています。
言い換えれば、2 つの未知数の 2 つの方程式で構成される系が見えたら、最初に注目する必要があるのは係数です。 どこでも同じ場合は減算し、逆の場合は加算法を使用します。 これは常に、そのうちの 1 つが消えるように行われ、減算後に残る最終式には 1 つの変数だけが残ります。
もちろんそれだけではありません。 ここで、方程式が一般的に矛盾しているシステムを考えてみましょう。 それらの。 それらには、同じまたは反対の変数はありません。 この場合、そのようなシステムを解くために、それぞれの方程式に特殊な係数を乗算するという追加の手法が使用されます。 それを見つける方法とそのようなシステム一般を解決する方法については、これから説明します。
係数を掛けて問題を解く
例その1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
$x$ と $y$ のどちらの係数も相互に反対であるだけでなく、他の方程式とまったく相関がないことがわかります。 これらの係数は、方程式を足したり引いたりしたとしても、決して消えることはありません。 したがって、乗算を適用する必要があります。 $y$ 変数を削除してみましょう。 これを行うには、符号に触れずに、最初の方程式に 2 番目の方程式の $y$ の係数を乗算し、2 番目の方程式に最初の方程式の $y$ の係数を乗算します。 乗算して取得します 新しいシステム:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
それを見てみましょう: $y$ では係数が逆になります。 このような状況では、加算方法を使用する必要があります。 追加しましょう:
次に $y$ を見つける必要があります。 これを行うには、最初の式に $x$ を代入します。
\[-9y=18\左| :\left(-9 \right) \right.\]
答え: $\left(4;-2 \right)$。
例その2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
ここでも、どの変数の係数も一貫していません。 $y$ の係数を掛けてみましょう。
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
新しいシステムは前のシステムと同等ですが、$y$ の係数は相互に逆であるため、ここで加算法を適用するのは簡単です。
$x$ を最初の方程式に代入して $y$ を求めてみましょう。
答え: $\left(-2;1 \right)$。
ソリューションのニュアンス
ここでの重要なルールは次のとおりです。常に正の数のみを乗算します。これにより、記号の変更に伴う愚かで不快な間違いを防ぐことができます。 一般に、解決策のスキームは非常に単純です。
- システムを調べて、それぞれの方程式を分析します。
- $y$ も $x$ も無いことが分かると、係数は一貫しています。 それらが等しくも逆でもない場合は、次のことを行います。削除する必要がある変数を選択し、これらの方程式の係数を調べます。 最初の方程式に 2 番目の方程式の係数を乗算し、それに応じて 2 番目の方程式に最初の方程式の係数を乗算すると、最終的には前の方程式と完全に等価なシステムが得られ、$ の係数が得られます。 y$ は一貫性があります。 私たちのすべてのアクションや変換は、1 つの方程式で 1 つの変数を取得することのみを目的としています。
- 変数が 1 つ見つかります。
- 見つかった変数をシステムの 2 つの方程式の 1 つに代入し、2 番目の方程式を見つけます。
- 変数 $x$ と $y$ がある場合、答えは点の座標の形で書きます。
しかし、このような単純なアルゴリズムにも独自の微妙な点があります。たとえば、$x$ や $y$ の係数が分数やその他の「醜い」数値になる可能性があります。 これらのケースでは、標準アルゴリズムによるものとは多少異なる動作をすることができるため、これらのケースを個別に検討します。
分数の問題を解く
例その1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
まず、2 番目の方程式に分数が含まれていることに注目してください。 ただし、$4$ を $0.8$ で割ることができることに注意してください。 $5$を受け取ります。 2 番目の方程式に $5$ を掛けてみましょう。
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]
方程式を互いに減算します。
$n$ が見つかったので、$m$ を数えてみましょう。
答え: $n=-4;m=5$
例その2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\右。\]
ここでは、前のシステムと同様に、分数係数がありますが、どの変数についても、係数が整数回互いに適合することはありません。 したがって、標準アルゴリズムを使用します。 $p$ を削除します。
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
減算法を使用します。
$k$ を 2 番目の構造に代入して $p$ を見つけてみましょう。
答え: $p=-4;k=-2$。
ソリューションのニュアンス
それがすべての最適化です。 最初の式では何も乗算しませんでしたが、2 番目の式には $5$ を乗算しました。 その結果、最初の変数に関して一貫性があり、さらには同一の方程式が得られました。 2 番目のシステムでは、標準アルゴリズムに従いました。
しかし、方程式に掛ける数値はどうやって見つけられるのでしょうか? 結局のところ、分数を掛けると、新しい分数が得られます。 したがって、分数には新しい整数を与える数値を乗算し、その後、標準アルゴリズムに従って変数に係数を乗算する必要があります。
結論として、回答を記録する形式に注目していただきたいと思います。 すでに述べたように、ここでは $x$ と $y$ ではなく他の値があるため、次の形式の非標準表記を使用します。
複雑な連立方程式を解く
今日のビデオチュートリアルの最後のメモとして、非常に複雑なシステムをいくつか見てみましょう。 それらの複雑さは、左側と右側の両方に変数があるという事実にあります。 したがって、それらを解決するには、前処理を適用する必要があります。
システムNo.1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
各方程式はある程度の複雑さを伴います。 したがって、各式を通常の線形構造と同様に扱います。
合計すると、元のシステムと同等の最終システムが得られます。
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$ の係数を見てみましょう。$3$ は $6$ に 2 回適合します。そのため、最初の方程式に $2$ を掛けます。
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$ の係数は等しいので、最初の方程式から 2 番目の係数を引きます。 $$
$y$ を見つけてみましょう。
答え: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
システムNo.2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
最初の式を変形してみましょう。
2 番目について考えてみましょう。
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
全体として、最初のシステムは次の形式になります。
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
$a$ の係数を見ると、最初の方程式に $2$ を掛ける必要があることがわかります。
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
最初の構造から 2 番目の構造を減算します。
それでは、$a$ を見つけてみましょう。
答え: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$。
それだけです。 このビデオ チュートリアルが、この難しいトピック、つまり単純な一次方程式系の解法を理解するのに役立つことを願っています。 このトピックについては、今後さらに多くのレッスンが行われる予定です。より多くの変数があり、方程式自体が非線形になる、より複雑な例を見ていきます。 またね！
まず、2 つの変数を含む連立方程式の解の定義を思い出してください。
定義 1
数値のペアを方程式に代入すると真の等価性が得られる場合、2 つの変数における方程式系の解と呼ばれます。
将来的には、2 つの変数をもつ 2 つの方程式系を検討します。
存在する 連立方程式を解く 4 つの基本的な方法: 置換方法、加算方法、グラフィカル方法、新しい変数を維持する方法。 具体的な例を使用してこれらの方法を見てみましょう。 最初の 3 つの方法を使用する原理を説明するために、2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式からなる系を考えます。
置換方法
代入方法は次のとおりです。これらの方程式のいずれかを使用して、$y$ を $x$ で表現すると、$y$ がシステム方程式に代入され、そこから変数 $x が見つかります。$ この後、次のようになります。変数 $y.$ を簡単に計算します
例1
2 番目の方程式の $y$ を $x$ で表現してみましょう。
最初の方程式に代入して $x$ を求めてみましょう。
\ \ \
$y$ を見つけてみましょう:
答え： $(-2,\ 3)$
追加方法。
例を使用してこの方法を見てみましょう。
例 2
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
2 番目の方程式に 3 を掛けると、次のようになります。
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]
次に、両方の方程式を加算してみましょう。
\ \ \
2 番目の方程式から $y$ を求めてみましょう。
\[-6-y=-9\] \
答え： $(-2,\ 3)$
注1
この方法では、加算中に変数の 1 つが「消える」ような数を一方または両方の方程式に乗算する必要があることに注意してください。
グラフィック手法
グラフィカルな方法は次のとおりです。システムの両方の方程式が座標平面上に描かれ、それらの交点が見つかります。
例 3
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
両方の方程式から $y$ を $x$ で表現してみましょう。
\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
両方のグラフを同じ平面上に描いてみましょう。
写真1。
答え： $(-2,\ 3)$
新しい変数を導入する方法
次の例を使用してこの方法を見てみましょう。
例 4
\[\left\( \begin(配列)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(配列) \right .\]
解決。
このシステムは次のシステムと同等です
\[\left\( \begin(配列)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(配列) \右。\]
$2^x=u\ (u>0)$ および $3^y=v\ (v>0)$ とすると、次のようになります。
\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
結果として得られるシステムを加算法を使用して解いてみましょう。 方程式を合計してみましょう。
\ \
2 番目の方程式から、次のことがわかります。
置換に戻ると、新しい指数方程式系が得られます。
\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
我々が得る：
\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]
この記事の内容は、方程式系について初めて知る人を対象としています。 ここでは、連立方程式の定義とその解法を紹介し、最も一般的なタイプの連立方程式についても考察します。 いつものように、説明的な例を示します。
ページナビゲーション。
連立方程式とは何ですか?
徐々に方程式系の定義に近づいていきます。 まず、2 つの点を示して、それを与えるのが便利であるとだけ言っておきましょう。第一に、録音の種類、第二に、この録音に埋め込まれた意味です。 それらを順番に見て、その推論を方程式系の定義に一般化しましょう。
私たちの前にそれらがいくつかあるとしましょう。 たとえば、2 つの方程式 2 x+y=−3 と x=5 を考えてみましょう。 これらを上下に記述し、左側で中括弧で結合しましょう。
このタイプのレコードは、複数の方程式が列に配置され、左側で中括弧で結合されており、方程式系のレコードです。
このようなエントリは何を意味するのでしょうか? これらは、各方程式の解であるシステムの方程式に対するすべてのそのような解のセットを定義します。
別の言葉で説明しても問題ないでしょう。 最初の方程式に対するいくつかの解が、システムの他のすべての方程式に対する解であるとします。 したがって、システム レコードは単にそれらを意味します。
これで、方程式系の定義を適切に受け入れる準備が整いました。
意味。
連立方程式コール レコードは、上下に配置された方程式であり、左側で中括弧で結合されています。これは、方程式のすべての解のセットを示し、システムの各方程式の解でもあります。
教科書にも同様の定義が記載されていますが、そこでは一般的な場合ではなく、次の 2 つの場合について記載されています。 有理方程式 2 つの変数を使用します。
主な種類
無限の数の異なる方程式が存在することは明らかです。 当然のことながら、それらを使用してコンパイルされた方程式系も無数にあります。 したがって、連立方程式の研究と操作の便宜を図るために、類似の特性に従って連立方程式をグループに分けてから、個々のタイプの連立方程式の検討に進むことが理にかなっています。
最初の除算は、システムに含まれる方程式の数によってそれ自体を示唆します。 2 つの方程式がある場合は 2 つの方程式系があると言え、3 つの方程式がある場合は 3 つの方程式系があると言えます。 この場合、本質的に、システムではなく方程式自体を扱っているため、1 つの方程式のシステムについて話すことが無意味であることは明らかです。
次の除算は、システムの方程式を記述する際に関与する変数の数に基づきます。 変数が 1 つある場合は、変数が 1 つある方程式系 (未知数が 1 つあるとも言います) を扱っていることになり、変数が 2 つある場合は、変数が 2 つある方程式系 (未知数が 2 つある) を扱うことになります。 例えば、 
は、2 つの変数 x と y をもつ連立方程式です。
これは、記録に関与するすべてのさまざまな変数の数を指します。 それらすべてを各方程式のレコードに一度に含める必要はなく、少なくとも 1 つの方程式に存在していれば十分です。 例えば、 
は、3 つの変数 x、y、z を持つ連立方程式です。 最初の方程式では、変数 x は明示的に存在し、y と z は暗黙的です (これらの変数の値はゼロであると仮定できます)。2 番目の方程式では、x と z は存在しますが、変数 y は明示的には存在しません。 言い換えると、最初の方程式は次のように見ることができます。 
、2番目は x+0・y−3・z=0 となります。
連立方程式が異なる 3 番目の点は、方程式自体のタイプです。
学校では、連立方程式の学習は次のように始まります。 2 変数の 2 つの線形方程式系。 つまり、このような系は 2 つの一次方程式を構成します。 以下にいくつかの例を示します。 
そして 
。 彼らは方程式系の操作の基礎を学びます。
さらに決めるときは 複雑なタスクまた、3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式系に遭遇することもあります。
さらに9年生では、2つの変数を持つ2つの方程式系に非線形方程式が追加されます。ほとんどは2次方程式全体ですが、頻度は低くなりますが、より高次のものです。 これらの系は非線形方程式系と呼ばれ、必要に応じて方程式と未知数の数が指定されます。 このような非線形方程式系の例を示します。 
そして 。
そして、システムには、たとえば、 もあります。 これらは通常、どの方程式であるかを特定せずに、単に連立方程式と呼ばれます。 ここで、連立方程式は単に「連立方程式」と呼ばれることが多く、説明は必要な場合にのみ追加されることに注意してください。
高校では、無理数、三角関数、対数、および 指数方程式
: 
, 
, 
.
大学の 1 年生のカリキュラムをさらに詳しく見てみると、主に線形代数方程式 (SLAE) 系、つまり左辺に 1 次の多項式が含まれる方程式の研究と解決に重点が置かれます。右側には特定の数値が含まれます。 しかし、そこでは学校とは異なり、もはや 2 つの変数を持つ 2 つの一次方程式を扱うのではなく、任意の数の変数を持つ任意の数の方程式を取り上げますが、これは方程式の数と一致しないことがよくあります。
連立方程式の解は何ですか?
「連立方程式の解」という用語は、連立方程式を直接指します。 学校では、2 つの変数を使用して連立方程式を解く定義が与えられます。 :
意味。
2 つの変数を使用して連立方程式を解くは、システムの各方程式を正しいものに変えるこれらの変数の値のペアと呼ばれ、言い換えれば、システムの各方程式の解です。
たとえば、変数値のペア x=5、y=2 ((5, 2) と書くことができます) は、x= のときの系の方程式なので、定義上、連立方程式の解となります。 5 では、y=2 がそれらに代入され、それぞれ正しい数値等式 5+2=7 および 5−2=3 になります。 しかし、値のペア x=3、y=0 はこのシステムの解ではありません。これらの値を方程式に代入すると、最初の値が誤った等式 3+0=7 になってしまうからです。
同様の定義は、変数が 1 つのシステムだけでなく、変数が 3 つ、4 つなどのシステムでも定式化できます。 変数。
意味。
1 つの変数を使用して連立方程式を解くシステムのすべての方程式の根となる変数の値が存在します。つまり、すべての方程式が正しい数値等式に変換されます。
例を挙げてみましょう。 次の形式の 1 つの変数 t を持つ連立方程式を考えます。 
。 (-2) 2 =4 と 5・(-2+2)=0 は両方とも真の数値的等式であるため、数値 -2 はその解です。 また、t=1 はシステムの解ではありません。この値を代入すると、1 2 =4 と 5・(1+2)=0 という 2 つの誤った等式が得られるからです。
意味。
3 つ、4 つなどの系を解く。 変数 3、4などと呼ばれます。 変数の値をそれぞれ設定し、システムのすべての方程式を真の等式に変換します。
したがって、定義により、変数 x=1、y=2、z=0 の値の 3 つの値がシステムの解になります。 
, 2・1=2、5・2=10、および1+2+0=3は真の数値的等価です。 そして、(1, 0, 5) はこのシステムの解ではありません。変数のこれらの値をシステムの方程式に代入すると、それらの 2 番目の値が誤った等式 5・0=10 になってしまい、 3番目も1+0+5=3。
連立方程式には解がない場合もあれば、1、2、... などの有限数の解がある場合や、無限に多くの解がある場合があることに注意してください。 このトピックをさらに深く掘り下げていくと、このことがわかります。
連立方程式とその解の定義を考慮すると、連立方程式の解はすべての方程式の解の集合の積であると結論付けることができます。
結論として、関連する定義をいくつか示します。
意味。
非接合、解決策がない場合、それ以外の場合はシステムが呼び出されます。 ジョイント.
意味。
方程式系は次のように呼ばれます 不確かな無限に多くの解がある場合、そして ある、解の数が有限である場合、または解がまったくない場合。
これらの用語は、たとえば教科書で紹介されますが、学校で使用されることはほとんどなく、高等教育機関でよく聞かれます。
参考文献。
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- 代数そして分析の始まり：Proc. 10〜11年生向け。 一般教育 機関/A.N.コルモゴロフ、A.M.アブラモフ、Yu.P.ドゥドニーツィンなど。 エド。 A. N. コルモゴロフ - 第 14 版 - M.: 教育、2004 年。 - ISBN 5-09-013651-3。
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2 つの未知数をもつ連立一次方程式とは、すべてを見つける必要がある 2 つ以上の線形方程式です。 一般的な解決策。 2 つの未知数における 2 つの線形方程式系を考えます。 一般的な形式 2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式の系を次の図に示します。
( a1*x + b1*y = c1、
( a2*x + b2*y = c2
ここで、x と y は未知の変数、a1、a2、b1、b2、c1、c2 は実数です。 2 つの未知数における 2 つの線形方程式の系の解は 1 組の数値 (x,y) であり、これらの数値を系の方程式に代入すると、系の各方程式は真の等式になります。 連立一次方程式を解く方法はいくつかあります。 連立一次方程式を解く方法の 1 つである加算法を考えてみましょう。
加算法で解くアルゴリズム
加算法を使用して 2 つの未知数を持つ連立一次方程式を解くアルゴリズム。
1. 必要に応じて、等価変換を使用して、両方の方程式の未知の変数の 1 つの係数を等しくします。
2. 結果の方程式を加算または減算して、1 つの未知数を含む一次方程式を取得します。
3. 得られた方程式を 1 つの未知数で解き、変数の 1 つを見つけます。
4. 結果の式をシステムの 2 つの方程式のいずれかに代入し、この方程式を解き、2 番目の変数を取得します。
5. 解決策を確認します。
加算法による解決例
より明確にするために、加算法を使用して 2 つの未知数を含む次の連立一次方程式を解いてみましょう。
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
どの変数も同一の係数を持たないため、変数 y の係数を等しくします。 これを行うには、最初の式に 3 を掛け、2 番目の式に 2 を掛けます。
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
我々が得る 次の方程式系:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
次に、2 番目の方程式から最初の式を減算します。 同様の項を提示し、結果として得られる一次方程式を解きます。
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
結果の値を元のシステムの最初の方程式に代入し、結果の方程式を解きます。
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
結果は、数値 x=6 と y=14 のペアになります。 確認中です。 置き換えてみましょう。
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
ご覧のとおり、2 つの正しい等式が得られたため、正しい解が見つかりました。
