このレッスンでは、括弧を含む式を括弧のない式に変換する方法を学習します。 プラス記号とマイナス記号が前にある括弧を開く方法を学びます。 乗算の分配法則を使って括弧を開く方法を覚えましょう。 考慮された例により、新しい資料と以前に研究した資料を 1 つの全体に結び付けることができます。
トピック: 方程式を解く
レッスン: 括弧の展開
「+」記号が前にある括弧を展開する方法。 加算の結合法則を使用します。
2 つの数値の合計を数値に加算する必要がある場合は、まず最初の項をこの数値に加算し、次に 2 番目の項を加算します。
等号の左側は括弧付きの式、右側は括弧なしの式です。 これは、等式の左辺から右に移動するときに括弧の開きが発生したことを意味します。
例を見てみましょう。
例1. 
括弧を開けることで、アクションの順序を変更しました。 数えるのがより便利になりました。
例2。 
例 3.
3 つの例すべてで単に括弧を削除しただけであることに注意してください。 ルールを定式化してみましょう。
コメント。
括弧内の最初の項が符号なしの場合は、プラス記号を付けて記述する必要があります。
例を段階的に見てみましょう。 まず、889 に 445 を足します。この操作は頭の中で実行できますが、それほど簡単ではありません。 括弧を開けて、変更された手順によって計算が大幅に簡素化されることを見てみましょう。
示された手順に従う場合は、最初に 512 から 345 を引いてから、その結果に 1345 を加算する必要があります。括弧を開けると、手順が変更され、計算が大幅に簡略化されます。
例とルールを示します。
例を見てみましょう。 式の値を求めるには、2 と 5 を加算し、その結果の数値に反対の符号を付けます。 -7 が得られます。
一方、元の数値と逆の数値を加算しても同じ結果が得られます。
ルールを定式化してみましょう。
例1. 
例2。
括弧内の用語が 2 つではなく 3 つ以上ある場合でも、ルールは変わりません。
例 3. 
コメント。 符号は用語の前でのみ反転されます。
この場合、括弧を開くためには、分配特性を覚えておく必要があります。
まず、最初の括弧に 2 を掛け、2 番目の括弧に 3 を掛けます。
最初の括弧の前には「+」記号が付いています。これは、記号を変更しないでおく必要があることを意味します。 2 番目の記号の前には「-」記号が付いているため、すべての記号を反対の記号に変更する必要があります。
参考文献
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: ムネモシュネ、2012 年。
- Merzlyak A.G.、Polonsky V.V.、Yakir M.S. 数学6年生。 - 体育館、2006 年。
- デップマン I.Ya.、ビレンキン N.Ya. 数学の教科書のページの裏。 - 啓蒙、1989 年。
- ルルキン A.N.、チャイコフスキー I.V. 数学コース 5 年生から 6 年生の課題 - ZSh MEPhI、2011 年。
- ルルキン A.N.、ソチロフ S.V.、チャイコフスキー K.G. 数学5-6。 6年生向けマニュアル 通信制高校メフィ。 - ZSh MEPhI、2011 年。
- シェフリン L.N.、ゲイン A.G.、コリャコフ I.O.、ヴォルコフ M.V. 数学: 5 ～ 6 年生の教科書と対話者 高校。 数学教師の図書館。 - 啓蒙、1989 年。
- 数学のオンラインテスト ()。
- 1.2 項で指定されたものをダウンロードできます。 本（）。
宿題
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: Mnemosyne、2012. (リンクは 1.2 を参照)
- 宿題：No.1254、No.1255、No.1256(b、d)
- その他のタスク: No. 1258(c)、No. 1248
代数で考慮されるさまざまな式の中には、 大切な場所単項式の和を占めます。 そのような表現の例を次に示します。
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
単項式の和を多項式といいます。 多項式の項は多項式の項と呼ばれます。 単項式は 1 つの要素から構成される多項式であるとみなされるため、単項式も多項式として分類されます。
たとえば、多項式
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
簡略化することができます。
すべての項を単項式で表しましょう 標準ビュー:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
結果の多項式で同様の項を提示してみましょう。
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
結果は多項式であり、そのすべての項は標準形式の単項式であり、その中には類似した項はありません。 このような多項式は次のように呼ばれます。 標準形式の多項式.
後ろに 多項式の次数標準形式のメンバーは、そのメンバーの最高の権限を取得します。 したがって、二項式 \(12a^2b - 7b\) は 3 番目の次数を持ち、三項式 \(2b^2 -7b + 6\) は 2 番目の次数を持ちます。
通常、1 つの変数を含む標準形式の多項式の項は、指数の降順に並べられます。 例えば：
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
いくつかの多項式の和は、標準形式の多項式に変換 (簡略化) できます。
場合によっては、多項式の項をグループに分割し、各グループを括弧で囲む必要があることがあります。 囲み括弧は開き括弧の逆変換なので定式化は簡単です 開き括弧のルール:
「+」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は同じ符号で記述されます。
「-」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は反対の符号で書かれます。
単項式と多項式の積の変換（簡略化）
乗算の分配特性を利用して、単項式と多項式の積を多項式に変換 (簡略化) できます。 例えば：
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
単項式と多項式の積は、この単項式と多項式の各項の積の合計に等しくなります。
この結果は通常、ルールとして定式化されます。
単項式に多項式を乗算するには、その単項式に多項式の各項を乗算する必要があります。
合計を乗算するためにこのルールをすでに数回使用しました。
多項式の積。 2 つの多項式の積の変換 (単純化)
一般に、2 つの多項式の積は、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項の積の合計に等しくなります。
通常は次のルールが使用されます。
多項式と多項式を乗算するには、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。
乗算の公式の省略形。 二乗和、差、二乗差
代数変換では、一部の式を他の式よりも頻繁に処理する必要があります。 おそらく最も一般的な式は \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) と \(a^2 - b^2 \)、つまり合計の 2 乗、次の 2 乗です。平方の違いと違い。 これらの式の名前が不完全であることに気づきました。たとえば、 \((a + b)^2 \) は、もちろん、単に合計の 2 乗ではなく、a と b の合計の 2 乗です。 。 ただし、a と b の和の 2 乗はあまり頻繁には出現しません。通常、文字 a と b の代わりに、さまざまな (場合によっては非常に複雑な) 式が含まれます。
式 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) は、標準形式の多項式に簡単に変換 (簡略化) できます。実際、多項式を乗算するときに、この作業がすでに発生しています。
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
結果の恒等式を記憶しておき、中間計算を行わずに適用すると便利です。 これには、簡潔な口頭表現が役立ちます。
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 和の二乗 合計に等しい平方と積を2倍にします。
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 差の二乗は、積を 2 倍しない二乗和に等しくなります。
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 二乗の差は、差と和の積に等しくなります。
これら 3 つのアイデンティティにより、変換時に左手の部分を右手の部分に置き換えたり、その逆、つまり右手の部分を左手の部分に置き換えたりすることができます。 最も難しいのは、対応する式を見て、その中で変数 a と b がどのように置き換えられるかを理解することです。 短縮された乗算公式の使用例をいくつか見てみましょう。
このレッスンでは、括弧を含む式を括弧のない式に変換する方法を学習します。 プラス記号とマイナス記号が前にある括弧を開く方法を学びます。 乗算の分配法則を使って括弧を開く方法を覚えましょう。 考慮された例により、新しい資料と以前に研究した資料を 1 つの全体に結び付けることができます。
トピック: 方程式を解く
レッスン: 括弧の展開
「+」記号が前にある括弧を展開する方法。 加算の結合法則を使用します。
2 つの数値の合計を数値に加算する必要がある場合は、まず最初の項をこの数値に加算し、次に 2 番目の項を加算します。
等号の左側は括弧付きの式、右側は括弧なしの式です。 これは、等式の左辺から右に移動するときに括弧の開きが発生したことを意味します。
例を見てみましょう。
例1.
括弧を開けることで、アクションの順序を変更しました。 数えるのがより便利になりました。
例2。
例 3.
3 つの例すべてで単に括弧を削除しただけであることに注意してください。 ルールを定式化してみましょう。
コメント。
括弧内の最初の項が符号なしの場合は、プラス記号を付けて記述する必要があります。
例を段階的に見てみましょう。 まず、889 に 445 を足します。この操作は頭の中で実行できますが、それほど簡単ではありません。 括弧を開けて、変更された手順によって計算が大幅に簡素化されることを見てみましょう。
示された手順に従う場合は、最初に 512 から 345 を引いてから、その結果に 1345 を加算する必要があります。括弧を開けると、手順が変更され、計算が大幅に簡略化されます。
例とルールを示します。
例を見てみましょう。 式の値を求めるには、2 と 5 を加算し、その結果の数値に反対の符号を付けます。 -7 が得られます。
一方、元の数値と逆の数値を加算しても同じ結果が得られます。
ルールを定式化してみましょう。
例1.
例2。
括弧内の用語が 2 つではなく 3 つ以上ある場合でも、ルールは変わりません。
例 3.
コメント。 符号は用語の前でのみ反転されます。
この場合、括弧を開くためには、分配特性を覚えておく必要があります。
まず、最初の括弧に 2 を掛け、2 番目の括弧に 3 を掛けます。
最初の括弧の前には「+」記号が付いています。これは、記号を変更しないでおく必要があることを意味します。 2 番目の記号の前には「-」記号が付いているため、すべての記号を反対の記号に変更する必要があります。
参考文献
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: ムネモシュネ、2012 年。
- Merzlyak A.G.、Polonsky V.V.、Yakir M.S. 数学6年生。 - 体育館、2006 年。
- デップマン I.Ya.、ビレンキン N.Ya. 数学の教科書のページの裏。 - 啓蒙、1989 年。
- ルルキン A.N.、チャイコフスキー I.V. 数学コース 5 年生から 6 年生の課題 - ZSh MEPhI、2011 年。
- ルルキン A.N.、ソチロフ S.V.、チャイコフスキー K.G. 数学5-6。 MEPhI通信制高校6年生向けのマニュアルです。 - ZSh MEPhI、2011 年。
- シェフリン L.N.、ゲイン A.G.、コリャコフ I.O.、ヴォルコフ M.V. 数学: 中学校 5 ～ 6 年生の教科書の対話者。 数学教師の図書館。 - 啓蒙、1989 年。
- 数学のオンラインテスト ()。
- 1.2 項で指定されたものをダウンロードできます。 本（）。
宿題
- Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. 数学 6. - M.: Mnemosyne、2012. (リンクは 1.2 を参照)
- 宿題：No.1254、No.1255、No.1256(b、d)
- その他のタスク: No. 1258(c)、No. 1248
ここで、括弧内の式に数値または式を乗算する式の開き括弧に進みます。 マイナス記号が前に付く括弧の開きに関するルールを定式化してみましょう。括弧はマイナス記号とともに省略され、括弧内のすべての項の符号はその反対の符号に置き換えられます。
式変換の 1 つのタイプは、括弧の展開です。 数値、リテラル、変数式は括弧を使用して記述できます。括弧はアクションの順序を示したり、負の数を含めたりすることができます。 上記の式では、数値や変数の代わりに、任意の式を使用できると仮定します。
そして、括弧を開けるときに解決策を書くときの特殊性について、もう 1 つの点に注意してみましょう。 前の段落では、いわゆる開き括弧について説明しました。 これを行うには、括弧の開きに関するルールがあり、これから確認していきます。 この規則は、正の数は通常括弧なしで記述されるという事実によって決定され、この場合には括弧は不要です。 式 (−3.7)−(−2)+4+(−9) は括弧なしで−3.7+2+4−9 と書くことができます。
最後に、ルールの 3 番目の部分は、単に式の左側に負の数を記述する際の特殊性によるものです (これについては、負の数を記述するためのかっこに関するセクションで説明しました)。 数値、マイナス記号、および複数の括弧のペアで構成される式が表示される場合があります。 括弧を開いて内部から外部に移動すると、解は次のようになります。 −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5。
括弧を開くにはどうすればよいですか?
ここで説明します: −(−2 x) は +2 x であり、この式が最初にあるため、+2 x は 2 x、−(x2)=−x2、+(−1/ x)=−1 と書くことができます。 /x および −(2 x y2:z)=−2 x y2:z。 括弧の開きに関するルールの最初の部分は、負の数の乗算のルールに直接従っています。 2 番目の部分は、数値を乗算するルールの結果です。 さまざまな兆候。 符号の異なる 2 つの数値の積と商の開き括弧の例に移りましょう。
左括弧: ルール、例、解決策。
上記のルールは、これらのアクションのチェーン全体を考慮し、ブラケットを開くプロセスを大幅にスピードアップします。 同じルールにより、積である式や、和や差ではないマイナス記号の付いた部分式でも括弧を開くことができます。
このルールの適用例を見てみましょう。 対応するルールを与えてみましょう。 上ではすでに −(a) と −(−a) という形式の式が出てきましたが、括弧なしではそれぞれ −a と a と書かれます。 たとえば、−(3)=3、および。 これらは、規定されたルールの特殊なケースです。 次に、括弧に和や差が含まれる場合の開き括弧の例を見てみましょう。 このルールの使用例を示します。 式 (b1+b2) を b として表し、括弧内に前の段落の式を掛ける規則を使用すると、(a1+a2)・(b1+b2)=(a1+a2) となります。・b=(a1・b+a2・b)=a1・b+a2・b。
帰納法により、このステートメントは各括弧内の任意の数の項に拡張できます。 前の段落のルールを使用して、結果の式の括弧を開く必要があり、最終的には 1·3·x·y−1·2·x·y3-x·3·x·y+x· が得られます。 ２・ｘ・ｙ３．
数学のルールは、括弧の前に (+) と (-) がある場合は括弧を開くことです。
この式は、3 つの因数 (2+4)、3、および (5+7・8) の積です。 ブラケットを順番に開く必要があります。 ここで括弧に数字を掛けるためのルールを使用します。((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) となります。 自然指数を伴う括弧内に書かれたいくつかの式が基本となる度は、いくつかの括弧の積として考えることができます。
たとえば、式 (a+b+c)2 を変形してみましょう。 まず、2 つの括弧の積 (a+b+c)・(a+b+c) として書きます。次に、括弧と括弧を掛けます。a・a+a・b+a・c+ が得られます。 b・a+b・b+b・c+c・a+c・b+c・c。
また、2 つの数値の和と差を自然累乗するには、ニュートンの二項公式を使用することが推奨されることも述べます。 たとえば、(5+7−3):2=5:2+7:2−3:2 となります。 最初に除算を乗算に置き換えてから、積の中で括弧を開くために対応するルールを使用することも同様に便利です。
例を使用して括弧の開きの順序を理解する必要があります。 (−5)+3・(−2):(−4)−6・(−7)という式を考えてみましょう。 これらの結果を元の式に代入します: (−5)+3・(−2):(−4)−6・(−7)=(−5)+(3・2:4)−(−6・7） 。 残っているのは括弧の開きを完了することだけです。その結果、-5+3・2:4+6・7 が得られます。 これは、等式の左辺から右に移動するときに括弧の開きが発生したことを意味します。
3 つの例すべてで単に括弧を削除しただけであることに注意してください。 まず、889 に 445 を足します。この操作は頭の中で実行できますが、それほど簡単ではありません。 括弧を開けて、変更された手順によって計算が大幅に簡素化されることを見てみましょう。
括弧を別の角度に拡張する方法
例とルールを示します。 例を見てみましょう。 式の値を求めるには、2 と 5 を加算し、その結果の数値に反対の符号を付けます。 括弧内の用語が 2 つではなく 3 つ以上ある場合でも、ルールは変わりません。 コメント。 符号は用語の前でのみ反転されます。 この場合、括弧を開くためには、分配特性を覚えておく必要があります。
括弧内の単一の数字の場合
あなたの間違いは標識ではなく、 故障分数で？ ６年生では正の数と負の数について学習しました。 例や方程式をどのように解くのでしょうか?
括弧内はいくらですか？ これらの表現について何と言えますか? もちろん、最初の例と 2 番目の例の結果は同じです。つまり、それらの間に等号を入れることができます: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4。括弧はどうしましたか? ?
開き括弧のルールを示したスライド 6 のデモンストレーション。 したがって、括弧の開きに関するルールは、例を解決し、式を簡素化するのに役立ちます。 次に、生徒はペアで作業するように求められます。矢印を使用して、括弧を含む式と、括弧のない対応する式を接続する必要があります。
スライド 11 サニーシティに到着すると、ズナイカとダンノはどちらが方程式を正しく解いたかについて議論しました。 次に、括弧開きのルールを使用して、生徒が自分で方程式を解きます。 方程式を解く」 レッスンの目的: 教育 (トピックに関する知識の強化: 「括弧を開けます。
レッスンのトピック: 「かっこを開く。 この場合、最初の括弧の各項と 2 番目の括弧の各項を乗算し、その結果を加算する必要があります。 まず、最初の 2 つの要素がもう 1 つの括弧で囲まれて取得され、これらの括弧内で既知のルールの 1 つに従って括弧が開かれます。
rawalan.freezeet.ru
開き括弧: ルールと例 (7 年生)
括弧の主な機能は、値を計算するときにアクションの順序を変更することです。 数値表現 . 例えば、V 数値的に\(5·3+7\) 乗算が最初に計算され、次に加算が計算されます: \(5·3+7 =15+7=22\)。 ただし、式 \(5·(3+7)\) では、括弧内の加算が最初に計算され、その後で乗算が計算されます: \(5·(3+7)=5·10=50\)。
ただし、私たちが扱っている場合は、 代数式 含む 変数- たとえば、次のようになります: \(2(x-3)\) - この場合、変数が邪魔になるため、括弧内の値を計算することはできません。 したがって、この場合、括弧は適切なルールを使用して「開かれ」ます。
括弧の開きのルール
括弧の前にプラス記号がある場合、括弧は単に削除され、その中の式は変更されません。 言い換えると：
ここで、数学では表記を短縮するために、式の最初にプラス記号が現れる場合にはプラス記号を書かないのが通例であることを明確にする必要があります。 たとえば、7 と 3 など、2 つの正の数を加算する場合、7 も正の数であるにもかかわらず、\(+7+3\) ではなく、単に \(7+3\) と書きます。 。 同様に、たとえば \((5+x)\) という式を見た場合、次のことがわかります。 括弧の前にプラスがありますが、これは書かれていません.
例
。 括弧を開いて同様の項を入力します: \((x-11)+(2+3x)\)。
解決
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\)。
括弧の前にマイナス記号がある場合、括弧が削除されると、その中の式の各項の符号が反対に変わります。
ここで、a が括弧内にある間はプラス記号があり (彼らがそれを書いていないだけです)、括弧を外した後、このプラスはマイナスに変わったことを明確にする必要があります。
例
: 式 \(2x-(-7+x)\) を簡略化します。
解決
: 括弧内には \(-7\) と \(x\) という 2 つの項があり、括弧の前にはマイナスがあります。 これは、符号が変わり、7 がプラスになり、x がマイナスになることを意味します。 ブラケットを開いて、 同様の用語を紹介します .
例。
括弧を開いて、同様の項 \(5-(3x+2)+(2+3x)\) を与えます。
解決
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)。
括弧の前に係数がある場合、括弧の各メンバーにその係数が乗算されます。
例。
括弧 \(5(3-x)\) を展開します。
解決
: 括弧内には \(3\) と \(-x\) があり、括弧の前には 5 があります。 これは、括弧の各メンバーに \(5\) が乗算されることを意味します。 数値と括弧の間の乗算記号は、エントリのサイズを減らすために数学では記述されません。.
例。
括弧 \(-2(-3x+5)\) を展開します。
解決
: 前の例と同様に、括弧内の \(-3x\) と \(5\) に \(-2\) が掛けられます。
最後の状況を考慮する必要があります。
括弧ごとに乗算すると、最初の括弧の各項が 2 番目の括弧の各項と乗算されます。
例。
括弧 \((2-x)(3x-1)\) を展開します。
解決
: 括弧の積があり、上記の式を使用してすぐに展開できます。 ただし、混乱しないように、すべてを段階的に実行しましょう。
ステップ 1. 最初のブラケットを削除し、各メンバーに 2 番目のブラケットを掛けます。
ステップ 2. 上記のように括弧と因数の積を展開します。
- まず最初に...
ステップ 3. 次に、類似した項を掛け合わせて提示します。
すべての変換をこれほど詳細に説明する必要はなく、すぐに増やすことができます。 ただし、括弧の開き方や詳細な書き方を学んでいるだけであれば、間違いを犯す可能性は低くなります。
セクション全体に注意してください。実際、4 つのルールをすべて覚える必要はなく、\(c(a-b)=ca-cb\) という 1 つのルールだけを覚えておく必要があります。 なぜ？ c の代わりに one を代入すると、規則 \((a-b)=a-b\) が得られるからです。 そして、マイナス 1 を代入すると、規則 \(-(a-b)=-a+b\) が得られます。 c の代わりに別の括弧を代入すると、最後の規則が得られます。
括弧内の括弧
実際には、他の括弧内に入れ子になっている括弧で問題が発生することがあります。 そのようなタスクの例を次に示します。式 \(7x+2(5-(3x+y))\) を単純化します。
このようなタスクを正常に解決するには、次のものが必要です。
- 括弧の入れ子を注意深く理解してください。どの括弧がどの中にあるかを理解してください。
— たとえば最も内側の括弧から始めて、括弧を順番に開きます。
ブラケットの 1 つを開くときに重要です 式の残りの部分には触れないでくださいをそのまま書き換えるだけです。
例として上記のタスクを見てみましょう。
例。
括弧を開いて、同様の項 \(7x+2(5-(3x+y))\) を入力してください。
解決：
内側のブラケット (内側のブラケット) を開けることから作業を始めましょう。 これを展開すると、それに直接関係するものだけを扱います。これは括弧自体とその前のマイナス (緑色で強調表示されています) です。 他のすべて (強調表示されていないもの) を同じ方法で書き直します。
オンラインで数学の問題を解く
オンライン計算機。
多項式を簡略化します。
多項式の乗算。
この数学プログラムを使用すると、多項式を単純化できます。
プログラムの実行中:
- 多項式を乗算します
- 単項式を要約します (類似のものを与えます)
- かっこを開きます
- 多項式をべき乗します
多項式簡略化プログラムは、問題に対する答えを与えるだけでなく、 詳細な解決策説明付き、つまり 数学や代数学の知識を確認できるように、解決プロセスが表示されます。
このプログラムは、次の準備をしている中学生にとって役立つかもしれません。 テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？ 宿題数学か代数学でしょうか？ この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。
このようにして、問題解決の分野での教育レベルが向上しながら、自分自身のトレーニングや弟や妹のトレーニングを行うことができます。
なぜなら 問題を解決したい人はたくさんいます。あなたのリクエストはキューに入れられています。
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ちょっとお待ちください。
ちょっとした理論。
単項式と多項式の積。 多項式の概念
代数で考慮されるさまざまな式の中で、単項式の和は重要な位置を占めます。 そのような表現の例を次に示します。
単項式の和を多項式といいます。 多項式の項は多項式の項と呼ばれます。 単項式は 1 つの要素から構成される多項式であるとみなされるため、単項式も多項式として分類されます。
すべての項を標準形式の単項式の形式で表しましょう。
結果の多項式で同様の項を提示してみましょう。
結果は多項式であり、そのすべての項は標準形式の単項式であり、その中には類似した項はありません。 このような多項式は次のように呼ばれます。 標準形式の多項式.
後ろに 多項式の次数標準形式のメンバーは、そのメンバーの最高の権限を取得します。 したがって、二項式には 3 番目の次数があり、三項式には 2 番目の次数があります。
通常、1 つの変数を含む標準形式の多項式の項は、指数の降順に並べられます。 例えば：
いくつかの多項式の和は、標準形式の多項式に変換 (簡略化) できます。
場合によっては、多項式の項をグループに分割し、各グループを括弧で囲む必要があることがあります。 囲み括弧は開き括弧の逆変換なので定式化は簡単です 開き括弧のルール:
「+」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は同じ符号で記述されます。
「-」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は反対の符号で書かれます。
単項式と多項式の積の変換（簡略化）
乗算の分配特性を利用して、単項式と多項式の積を多項式に変換 (簡略化) できます。 例えば：
単項式と多項式の積は、この単項式と多項式の各項の積の合計に等しくなります。
この結果は通常、ルールとして定式化されます。
単項式に多項式を乗算するには、その単項式に多項式の各項を乗算する必要があります。
合計を乗算するためにこのルールをすでに数回使用しました。
多項式の積。 2 つの多項式の積の変換 (単純化)
一般に、2 つの多項式の積は、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項の積の合計に等しくなります。
通常は次のルールが使用されます。
多項式と多項式を乗算するには、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。
乗算の公式の省略形。 二乗和、差、二乗差
代数変換では、一部の式を他の式よりも頻繁に処理する必要があります。 おそらく最も一般的な表現は u、つまり、和の 2 乗、差の 2 乗、および 2 乗の差です。 これらの式の名前が不完全であることに気づきました。たとえば、これはもちろん、単なる合計の 2 乗ではなく、a と b の合計の 2 乗です。 ただし、a と b の和の 2 乗はあまり頻繁には出現しません。通常、文字 a と b の代わりに、さまざまな (場合によっては非常に複雑な) 式が含まれます。
式を標準形式の多項式に変換 (簡略化) するのは簡単です。実際、多項式を乗算するときにそのようなタスクに遭遇したことがあります。
結果の恒等式を記憶しておき、中間計算を行わずに適用すると便利です。 これには、簡潔な口頭表現が役立ちます。
- 合計の二乗は、二乗と 2 倍の積の和に等しい。
— 差の二乗は、二乗積を除いた二乗の和に等しい。
- 二乗の差は、差と和の積に等しい。
これら 3 つのアイデンティティにより、変換時に左手の部分を右手の部分に置き換えたり、その逆、つまり右手の部分を左手の部分に置き換えたりすることができます。 最も難しいのは、対応する式を見て、その中で変数 a と b がどのように置き換えられるかを理解することです。 短縮された乗算公式の使用例をいくつか見てみましょう。
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括弧の展開
引き続き代数の基礎を勉強していきます。 で このレッスン式の中のかっこを展開する方法を学びます。 括弧を展開するとは、式から括弧を削除することを意味します。
括弧を開くには、2 つのルールを覚えるだけで済みます。 定期的に練習すると、目を閉じたままブラケットを開くことができるようになり、覚えておく必要があったルールを安全に忘れることができます。
括弧の開きに関する最初のルール
次の式を考えてみましょう。
この式の値は、 2 。 この式のかっこを開いてみましょう。 括弧を展開するとは、式の意味に影響を与えることなく括弧を削除することを意味します。 つまり、括弧を削除した後の式の値は、 8+(−9+3) それでも 2 に等しいはずです。
開始括弧の最初のルールは次のとおりです。
括弧を開くときに、括弧の前にプラスがある場合、このプラスは括弧とともに省略されます。
したがって、式でそれがわかります 8+(−9+3) 括弧の前にプラス記号があります。 このプラスは括弧とともに省略する必要があります。 つまり、括弧はその前にあったプラスとともに消えてしまいます。 そして、括弧内にあったものは変更せずに書かれます。
8−9+3 。 この式は次と等しいです 2 は、括弧を使用した前の式と同様に、次と同等でした。 2 .
8+(−9+3) そして 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
例2。式内の括弧を展開します 3 + (−1 − 4)
括弧の前にプラスがあります。これは、このプラスが括弧とともに省略されていることを意味します。 括弧内にあるものは変更されません。
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
例 3.式内の括弧を展開します 2 + (−1)
で この例では括弧を開けることは、減算を加算に置き換える一種の逆演算になりました。 それはどういう意味ですか？
表現において 2−1 引き算が発生しますが、足し算で置き換えることもできます。 次に、次の式が得られます 2+(−1) 。 しかし、表現の場合 2+(−1) 括弧を開けるとオリジナルが得られます 2−1 .
したがって、かっこの開きに関する最初のルールは、変換後の式を簡略化するために使用できます。 つまり、括弧を削除して単純化します。
たとえば、式を簡略化してみましょう 2a+a−5b+b .
この表現を簡略化するために、同様の用語を与えることができます。 類似した用語を減らすには、類似した用語の係数を加算し、その結果に共通の文字部分を乗算する必要があることを思い出してください。
表現ができた 3a+(−4b)。 この式の中のかっこを外してみましょう。 大括弧の前にプラスがあるため、大括弧を開くための最初のルールを使用します。つまり、大括弧の前にあるプラスとともに大括弧を省略します。
したがって、その表現は 2a+a−5b+b単純化すると 3a−4b .
いくつかのブラケットを開いた後、途中で他のブラケットに遭遇する可能性があります。 最初のものと同じルールをそれらにも適用します。 たとえば、次の式のかっこを展開してみましょう。
括弧を開ける必要がある場所が 2 か所あります。 この場合、括弧の開きに関する最初のルールが適用されます。つまり、括弧とその前にあるプラス記号を省略します。
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
例 3.式内の括弧を展開します 6+(−3)+(−2)
括弧がある両方の場所では、その前にプラスが付いています。 ここでも、括弧の開きに関する最初のルールが適用されます。
場合によっては、括弧内の最初の項が記号なしで書かれることがあります。 たとえば、次の式では、 1+(2+3−4) 括弧内の最初の項 2 サインなしで書かれています。 括弧と括弧の前のプラスが省略された後、2 つの記号の前にどのような記号が表示されるかという疑問が生じます。 答えはそれ自体を示唆しています - 2つの前にプラスがあるでしょう。
実際、括弧内であっても 2 つの前にプラスがありますが、書き留められていないため見えません。 正の数の完全な表記は次のようになるとすでに述べました。 +1, +2, +3. しかし、伝統によれば、プラスは書き留められていないため、私たちはよく知っている正の数字を見るのです。 1, 2, 3 .
したがって、式内の括弧を展開するには、 1+(2+3−4) 通常どおり、これらの大括弧の前にあるプラス記号とともに大括弧を省略する必要がありますが、大括弧内の最初の用語にはプラス記号を付けて記述します。
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
例4.式内の括弧を展開します −5 + (2 − 3)
括弧の前にプラスがあるため、括弧の開きに関する最初のルールを適用します。つまり、括弧の前にあるプラスも含めて括弧を省略します。 ただし、最初の項はプラス記号を付けて括弧内に書きます。
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
例5.式内の括弧を展開します (−5)
括弧の前にプラスがありますが、その前に他の数値や式がないため記載しません。 私たちのタスクは、かっこを開く最初のルールを適用してかっこを削除することです。つまり、このプラスと一緒にかっこを省略します (たとえ目に見えない場合でも)。
例6。式内の括弧を展開します 2a + (−6a + b)
括弧の前にプラスがあります。これは、このプラスが括弧とともに省略されていることを意味します。 括弧内の内容は変更されずに書き込まれます。
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
例7。式内の括弧を展開します 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
この式には括弧を展開する必要がある場所が 2 か所あります。 どちらのセクションでも、括弧の前にプラスがあります。これは、このプラスが括弧とともに省略されていることを意味します。 括弧内の内容は変更されずに書き込まれます。
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
括弧の開きに関する 2 番目の規則
次に、括弧の開きに関する 2 番目のルールを見てみましょう。 括弧の前にマイナスがある場合に使用します。
括弧の前にマイナスがある場合、このマイナスは括弧とともに省略されますが、括弧内にある用語の符号は反対に変わります。
たとえば、次の式のかっこを展開してみましょう。
括弧の前にマイナスがあることがわかります。 これは、2 番目の展開ルールを適用する必要があることを意味します。つまり、括弧の前にあるマイナス記号とともに括弧を省略します。 この場合、括弧内の用語の符号が反対に変わります。
括弧のない式が得られました 5+2+3 。 括弧付きの前の式が 10 に等しいのと同様に、この式は 10 に等しくなります。
したがって、式の間では、 5−(−2−3) そして 5+2+3 それらは同じ値に等しいため、等号を置くことができます。
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
例2。式内の括弧を展開します 6 − (−2 − 5)
括弧の前にマイナスがあるため、括弧の開きに関する 2 番目のルールを適用します。つまり、括弧の前にあるマイナスも含めて括弧を省略します。 この場合、括弧内の用語を反対の符号で書きます。
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
例 3.式内の括弧を展開します 2 − (7 + 3)
括弧の前にマイナスがあるため、括弧の開きに 2 番目のルールを適用します。
例4.式内の括弧を展開します −(−3 + 4)
例5.式内の括弧を展開します −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
括弧を開ける必要がある場所が 2 か所あります。 最初のケースでは、括弧の開きに関して 2 番目のルールを適用する必要があります。また、式に関しては、 +(−9−2) 最初のルールを適用する必要があります。
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
例6。式内の括弧を展開します −(−a−1)
例7。式内の括弧を展開します −(4a + 3)
例8.式内の括弧を展開します ある − (4b + 3) + 15
例9。式内の括弧を展開します 2a + (3b − b) − (3c + 5)
括弧を開ける必要がある場所が 2 か所あります。 最初のケースでは、括弧の開きに関する最初のルールを適用する必要があります。また、式に関しては、 −(3c+5) 2 番目のルールを適用する必要があります。
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
例10。式内の括弧を展開します −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
ブラケットを開く必要がある場所は 3 か所あります。 まず、かっこの開きに関する 2 番目のルールを適用する必要があります。次に最初のルールを適用し、次に 2 番目のルールを再度適用する必要があります。
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
ブラケットオープン機構
ここで調べた開始括弧のルールは、乗算の分配法則に基づいています。
実際には 開き括弧は、括弧内の各項に共通因数を乗算する手順です。 この乗算の結果、括弧が消えます。 たとえば、式の中のかっこを展開してみましょう。 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
したがって、括弧内の式で数値を乗算する必要がある場合 (または括弧内の式と数値を乗算する場合)、次のように言う必要があります。 括弧を開けてみましょう.
しかし、乗算の分配法則は、前に見た括弧の開きの規則とどのように関係するのでしょうか?
実際には、括弧の前に共通の要素があります。 例では 3×(4+5)共通因数は 3 。 そして例では a(b+c)共通因数は変数です ａ．
括弧の前に数値や変数がない場合、共通因数は次のようになります。 1 または −1 、括弧の前にある記号に応じて。 括弧の前にプラスがある場合、共通因数は次のようになります。 1 。 括弧の前にマイナスがある場合、共通因数は次のようになります。 −1 .
たとえば、式の中のかっこを展開してみましょう。 −(3b−1)。 かっこの前にマイナス記号があるため、かっこを開くための 2 番目のルールを使用する必要があります。つまり、かっこの前にあるマイナス記号とともにかっこを省略します。 そして、括弧内の式を反対の符号で書きます。
括弧を展開するためのルールを使用して括弧を展開しました。 しかし、これらの同じ括弧は、乗算の分配法則を使用して開くことができます。 これを行うには、まず括弧の前に、まだ書き留められていない共通因数 1 を書きます。
以前は括弧の前にあったマイナス記号はこの単位を指しました。 これで、乗算の分配法則を使用して括弧を開くことができます。 この目的のための共通因数 −1 括弧内の各項を掛けて、結果を加算する必要があります。
便宜上、括弧内の差異を金額に置き換えます。
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
前回この表現を受け取ったときと同様に、 −3b+1。 今回は、このような単純な例を解決するためにより多くの時間が費やされたことに誰もが同意するでしょう。 したがって、使用する方が賢明です 既製のルールこのレッスンで見た括弧を開くと、次のようになります。
しかし、これらのルールがどのように機能するかを知っておくことは悪いことではありません。
このレッスンでは、別の同一の変換を学習しました。 括弧を開けたり、括弧の外に一般を出したり、類似の用語を持ってきたりすることで、解決すべき問題の範囲を少し広げることができます。 例えば：
ここでは 2 つのアクションを実行する必要があります。まず括弧を開いてから、同様の用語を入力します。 したがって、順番に:
1) 括弧を開きます。
2) 同様の用語を示します。
結果の式では −10b+(−1)括弧を展開することができます。
例2。次の式に括弧を開いて、同様の用語を追加します。
1) 括弧を開けてみましょう:
2) 類似の用語を提示してみましょう。今回は時間とスペースの都合上、共通文字部分にどのように係数を掛けるのかは書きません。
例 3.式を簡略化する 8m+3mそしてその値を次のように見つけます m=−4
1) まず、式を簡略化してみましょう。 表現を簡略化するには 8m+3m、その中の共通因数を取り出すことができます メートル括弧の外側:
2) 式の値を求める m(8+3)で m=−4。 これを行うには、式で m(8+3)変数の代わりに メートル数字を代入する −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
A+(b + c) は、a+(b + c)=a + b + c のように括弧なしで記述することができます。 この操作は、かっこを開くと呼ばれます。
例1.式 a + (- b + c) のかっこを開いてみましょう。
解決。 a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c。
括弧の前に「+」記号がある場合は、括弧内の用語の符号を維持したまま、括弧とこの「+」記号を省略できます。 括弧内の最初の項が符号なしで記述されている場合は、「+」符号を付けて記述する必要があります。
例2。式 -2.87+ (2.87-7.639) の値を見つけてみましょう。
解決。括弧を開けると、- 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639 となります。
式 - (- 9 + 5) の値を見つけるには、次を追加する必要があります。 数字-9 と 5 を計算し、結果の合計の反対の数を見つけます: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4。
同じ値は別の方法でも取得できます。まず、これらの項の反対の数字を書き留めて (つまり、符号を変えて)、次に次の値を追加します: 9 + (- 5) = 4。したがって、-(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4。
複数の項の和と逆の和を書くには、これらの項の符号を変更する必要があります。
これは、- (a + b) = - a - b を意味します。
例 3.式 16 - (10 -18 + 12) の値を求めてみましょう。
解決。 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
「-」記号が前にある括弧を開くには、この記号を「+」に置き換え、括弧内のすべての用語の符号を反対に変更してから括弧を開く必要があります。
例4.式 9.36-(9.36 - 5.48) の値を求めてみましょう。
解決。 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48。
括弧の展開と可換性および結合性のプロパティの適用 追加計算を簡素化できます。
例5.式 (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 の値を求めてみましょう。
解決。まず、括弧を開いて、すべての正の数値の合計とすべての負の数値の合計を個別に求め、最後に結果を合計しましょう。
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
例6。式の値を求めてみましょう
解決。まず、各項を整数部と小数部の合計として想像してから、括弧を開けて、整数と小数部をそれぞれ加算してみましょう。 分数部分的に分割し、最後に結果を合計します。
「+」記号が前にある括弧を開くにはどうすればよいですか? 複数の数値の合計の逆となる式の値を見つけるにはどうすればよいでしょうか? 「-」記号が前にある括弧を展開するにはどうすればよいですか?
1218. 括弧を開きます。
a) 3.4+(2.6+8.3); c) m+(n-k);
b) 4.57+(2.6 - 4.57); d) c+(-a + b)。
1219. 式の意味を調べてください:
1220. 括弧を開きます。
a) 85+(7.8+98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k)。
1221. 括弧を開いて式の意味を調べてください。
1222. 式を簡略化します。
1223. 書く 額 2 つの式を使用して簡略化します。
a) - 4 - m および m + 6.4。 d) a+b および p - b
b) 1.1+a および -26-a; e) - m + n および -k - n。
c) a + 13 および -13 + b; e)m - n および n - m。
1224. 2 つの式の違いを書いて簡略化します。
1226. 方程式を使用して問題を解きます。
a) 1 つの棚には 42 冊の本があり、もう 1 つの棚には 34 冊の本があり、2 番目の棚から数冊の本が取り除かれ、2 番目の棚に残っていたのと同じ数の本が最初の棚から取り出されました。 その後、最初の棚には12冊の本が残りました。 2番目の棚から何冊の本が取り除かれましたか?
b) 1 年生の生徒は 42 人ですが、2 年生は 3 年生よりも 3 人少ないです。 この 3 学年の生徒が 125 人いる場合、3 年生には何人の生徒がいますか?
1227. 式の意味を調べてください:
1228. 口頭で計算する:
1229. 探す 最高値式:
1230. 次の場合は、連続する 4 つの整数を指定します。
a) 小さい方は -12 です。 c) それらのうち小さい方が n です。
b) それらの最大のものは -18 です。 d) それらのうち大きい方が k に等しい。
