分数
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
高校では分数はそれほど面倒ではありません。 当面。 有理指数と対数を使った累乗に出会うまでは。 そしてここ... 電卓を押し続けると、いくつかの数字が完全に表示されます。 ３年生と同じように頭を使って考えなければなりません。
いよいよ分数を計算しましょう！ さて、どれだけ混乱できるでしょうか！ しかも、すべてがシンプルかつ論理的です。 それで、 分数の種類は何ですか?
分数の種類。 変身。
端数もあるよ 3種類.
1. 共通分数 、 例えば：
水平線の代わりにスラッシュを入れることもあります: 1/2、3/4、19/5、まあなど。 ここではこの綴りをよく使います。 一番上の番号を呼びます 分子、 より低い - 分母。これらの名前を常に混同する場合は (よくあることですが...)、次のフレーズを自分に言い聞かせてください。 ズズズズ覚えて！ ズズズズ分母 - 見てください ズズズズああ！」ほら、すべてが思い出されるでしょう。）
水平または斜めのダッシュは、次のことを意味します。 分割上の数値（分子）から下の数値（分母）まで。 それだけです！ ダッシュの代わりに、分割記号 (2 つのドット) を入れることもかなり可能です。
完全な分割が可能な場合は、これを行う必要があります。 したがって、分数「32/8」の代わりに、数字「4」を書く方がはるかに快適です。 それらの。 32 を単純に 8 で割ります。
32/8 = 32: 8 = 4
分数「4/1」の話でもありません。 これも単なる「4」です。 完全に割り切れない場合は、分数として残します。 場合によっては、逆の操作を行う必要があります。 整数を分数に変換します。 しかし、それについては後で詳しく説明します。
2. 小数 、 例えば：
このフォームには、タスク「B」の答えを書き留める必要があります。
3. 帯分数 、 例えば：
高校では帯分数はほとんど使われません。 これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。 しかし、これは絶対にできるようにする必要があります。 そうしないと、問題でそのような数値に遭遇してフリーズしてしまいます。 空きスペース。 でも、この手順は覚えておきます！ もう少し低いです。
最も汎用性の高い 公分数。 まずはそれらから始めましょう。 ちなみに、分数にあらゆる種類の対数、正弦、その他の文字が含まれている場合は、何も変わりません。 全てがそうなるという意味では、 分数式を使用したアクションは、通常の分数を使用したアクションと何ら変わりません。!
分数の主なプロパティ。
じゃ、行こう！ まず、あなたを驚かせます。 さまざまな分数変換が 1 つのプロパティによって提供されます。 それがそう呼ばれています 分数の主な性質。 覚えて： 分数の分子と分母に同じ数を掛ける（割る）場合、分数は変わりません。それらの：
顔が青くなるまで書き続けることができるのは明らかです。 正弦と対数について混乱させないでください。これらについてはさらに詳しく説明します。 重要なことは、これらのさまざまな表現はすべて次のとおりであることを理解することです。 同じ分数 . 2/3.
これらすべての変革は必要でしょうか？ そしてどうやって！ 今、あなた自身の目で見てみましょう。 まず、分数の基本的な性質を使ってみましょう。 分数を減らす。 それは初歩的なことのように思えるでしょう。 分子と分母を同じ数で割れば完了です。 間違えるなんてありえない！ しかし...人間は創造的な存在です。 どこでも間違いを犯す可能性があります！ 特に 5/10 のような端数を減らす必要がある場合は、 分数式いろんな文字で。
余分な作業をせずに分数を正確かつ迅速に減らす方法については、特別セクション 555 を参照してください。
普通の学生は、分子と分母を同じ数 (または式) で割ることを気にしません。 上下に同じものをすべて取り消し線で消すだけです。 ここにそれが潜んでいます 典型的な間違い言ってみれば、大失敗です。
たとえば、次の式を簡略化する必要があります。
ここでは何も考える必要はありません。上の文字「a」と下の「2」を取り消してください。 我々が得る：
すべてが正しいです。 でも本当にあなたは分けたのです 全て 分子と 全て 分母は「a」です。 取り消し線を引くことに慣れている場合は、急いで式の中の「a」を取り消し線で消すことができます。
そしてまたそれを手に入れてください
それは完全に誤りでしょう。 ここだから 全て「a」の分子はすでに 共有しない！ この割合を減らすことはできません。 ちなみに、このような減額は、ええと、教師にとっては重大な挑戦です。 これは許されません！ 覚えていますか？ 減らすときは分割する必要があります 全て 分子と 全て 分母！
分数を減らすと作業がずっと楽になります。 たとえば、375/1000 などの端数がどこかに表示されます。 どうすれば今も彼女と仕事を続けることができますか? 電卓がないのですか？ 掛け算、足し算、二乗!? そして、あなたがあまりにも怠け者でなければ、慎重にそれを5つ減らし、さらに5つ減らし、さらに...つまり、短くしている間に。 3/8をゲットしましょう！ ずっといいですよね？
分数の主なプロパティを使用すると、通常の分数を小数に変換したり、その逆を行うことができます。 電卓なしで！ これは統一国家試験にとって重要ですよね？
分数をある型から別の型に変換する方法。
と 小数それは簡単です。 聞いた通りに書かれているのです！ 0.25としましょう。 これは 100 分の 0 ポイント 25 です。 したがって、25/100 と書きます。 減らすと (分子と分母を 25 で割ります)、通常の分数 1/4 が得られます。 全て。 それは起こりますが、何も減りません。 0.3みたいな。 これは 10 分の 3、つまり 3/10。
整数がゼロでない場合はどうなるでしょうか? 大丈夫です。 分数全体を書き留めます コンマなしで分子と分母で、何が聞こえるか。 例: 3.17。 これは 1700 分の 3 です。 分子に 317、分母に 100 を書くと、317/100 となります。 何も減らない、それがすべてを意味します。 これが答えです。 小学生のワトソン！ これまで述べてきたことから、有益な結論が得られます。 任意の小数は公用分数に変換できます .
しかし、計算機がないと普通から小数への逆変換ができない人もいます。 そしてそれは必要です！ 統一国家試験の答えはどうやって書くの！ よく読んでこのプロセスをマスターしてください。
小数部の特徴は何ですか? 彼女の分母は いつもコストは 10、100、1000、10000 などです。 公分数の分母がこのようなものであれば問題ありません。 たとえば、4/10 = 0.4 となります。 または 7/100 = 0.07。 または、12/10 = 1.2。 セクション「B」のタスクの答えが 1/2 だった場合はどうなるでしょうか? 返事は何と書きましょうか？ 小数点は必須です...
覚えておきましょう 分数の主な性質 ！ 数学では、分子と分母に同じ数を掛けることができます。 ちなみに何でも！ もちろんゼロを除いて。 この特性を有効に活用しましょう。 分母に何をかけることができるか、つまり 2 を 10 にするか、100 にするか、1000 にするか (もちろん小さい方が良いです...)? 5歳の時は当然だ。 分母を自由に掛けてください（これは 私たちただし、分子にも 5 を掛ける必要があります。これはすでに 数学要求します！ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 となります。 それだけです。
ただし、あらゆる種類の分母が登場します。 たとえば、分数 3/16 に遭遇するかもしれません。 16 に何をかけると 100 または 1000 になるか考えてみてください...うまくいきませんか? 次に、単純に 3 を 16 で割ります。電卓がない場合は、次のように紙の上で角で割る必要があります。 ジュニアクラス教えた。 0.1875 となります。
そして、非常に悪い分母もあります。 たとえば、分数の 1/3 を適切な小数に変換する方法はありません。 電卓と紙の両方で、0.3333333 が得られます...これは、1/3 が正確な小数であることを意味します 翻訳しません。 1/7、5/6 などと同じです。 翻訳できないものもたくさんあります。 これにより、別の有益な結論が得られます。 すべての分数を小数に変換できるわけではありません !
ちなみに、これは 役立つ情報自己テスト用に。 セクション「B」では、答えに小数を記入する必要があります。 たとえば、4/3 が得られます。 この分数は小数に変換されません。 これは、途中のどこかで間違いを犯したことを意味します。 戻って解決策を確認してください。
そこで、常分数と小数を計算しました。 帯分数への対処が残っています。 これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。 どうやってするの？ ６年生を捕まえて聞いてみるといいでしょう。 でも、6 年生がいつもそばにいるわけではありません...自分でやる必要があります。 難しくない。 小数部分の分母に整数部分を掛けて、小数部分の分子を加算する必要があります。 これが公分数の分子になります。 分母はどうでしょうか？ 分母は変わりません。 複雑そうに聞こえますが、実際にはすべてが単純です。 例を見てみましょう。
問題内の数字を見て愕然としたとします。
パニックにならずに、冷静に考えます。 全体の部分は 1. ユニットです。 小数部は3/7です。 したがって、小数部の分母は7になります。この分母が普通分数の分母となります。 分子を数えます。 7 に 1 (整数部分) を掛け、3 (小数部分の分子) を加えます。 10 が得られます。これが公分数の分子になります。 それだけです。 数学的表記ではさらに単純に見えます。
明らかですか？ それならあなたの成功を確実にしましょう！ 普通の分数に変換します。 10/7、7/2、23/10、21/4 を取得する必要があります。
逆の操作 - 変換なし 適切な分数帯分数 - 高校ではめったに要求されません。 そうだとしたら... 高校生でない場合は、特別セクション 555 を調べることができます。 ちなみに、そこについては、 仮分数分かるでしょう。
まあ、実質的にはそれだけです。 分数の種類を覚えて理解できた どうやって あるタイプから別のタイプに転送します。 疑問は残ります: 何のために やれ？ この深い知識をいつ、どこに適用すればよいでしょうか?
私が答える。 どの例でも分かります 必要なアクション。 この例では、普通の分数、小数、さらには帯分数が混在している場合、すべてを普通の分数に変換します。 それはいつでもできる。 そうですね、0.8 + 0.3 のようなものであれば、翻訳せずにそのように数えます。 なぜ余分な作業が必要なのでしょうか? 便利なソリューションを選択します 私たち !
タスクがすべて小数の場合、しかしええと...ある種の邪悪なタスクである場合は、通常のタスクに移動して試してみてください。 ほら、すべてうまくいくよ。 たとえば、数値 0.125 を 2 乗する必要があります。 電卓の使用に慣れていないと、それほど簡単ではありません。 列内の数値を掛けるだけでなく、カンマをどこに挿入するかについても考慮する必要があります。 頭では絶対にダメですよ！ 普通の分数に移ったらどうなるでしょうか？
0.125 = 125/1000。 それを 5 減らします (これは手始めにです)。 25/200 が得られます。 もう一度 5 までに 5/40 を取得します。 ああ、まだ縮んでる！ 5に戻ります！ 1/8が得られます。 簡単に (頭の中で!) 2 乗すると 1/64 になります。 全て！
この教訓を要約しましょう。
1. 分数には 3 種類あります。 一般的な、10 進数および帯分数。
2. 小数と帯分数 いつも普通の分数に変換できます。 逆転送 常にではない利用可能。
3. タスクで使用する分数の種類の選択は、タスク自体によって異なります。 の存在下で 他の種類 1 つのタスクで分数を計算する場合、最も確実なのは通常の分数に進むことです。
これで練習できるようになりました。 まず、これらの小数を通常の分数に変換します。
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
次のような答えが得られるはずです (混乱しています!)。
ここで終わりにしましょう。 このレッスンでは、分数に関する重要なポイントについて記憶を新たにしました。 ただし、リフレッシュする特別なものがないことが起こります...) 誰かが完全に忘れているか、まだ習得していない場合...その後、特別なセクション 555 に進むことができます。 すべての基本はそこで詳しく説明されています。 突然たくさんの すべてを理解するが始まっています。 そして分数もその場で解決します)。
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関数と導関数について知ることができます。
小数。
小数の 10 進表記$0$ から $9$ までの 2 つ以上の数字のセットで、その間にはいわゆる \textit (小数点) があります。
例1
たとえば、$35.02$。 $100.7$; $123\$456.5; 54.89ドル。
の左端の数字 10進数表記数値をゼロにすることはできません。唯一の例外は、小数点が最初の桁 $0$ の直後にある場合です。
例 2
たとえば、$0.357$; $0.064$。
多くの場合、小数点は小数点に置き換えられます。 たとえば、$35.02$。 $100.7$; $123\456.5$; 54.89ドル。
10 進数の定義
定義 1
小数-- これらは 10 進表記で表される小数です。
たとえば、121.05 ドル。 $67.9$; 345.6700ドル。
小数分数は、通常の分数をよりコンパクトに記述するために使用されます。 普通の分数、分母は数値 $10$、$100$、$1\000$ などです。 帯分数 (小数部の分母は $10$、$100$、$1\000$ など) です。
たとえば、公分数 $\frac(8)(10)$ は 10 進数 $0.8$ として書くことができ、帯分数 $405\frac(8)(100)$ は 10 進数 $405.08$ として書くことができます。
小数の読み方
通常の分数に対応する小数の分数は、先頭に「ゼロ整数」という語句が追加されるだけで、通常の分数と同じように読み取れます。 たとえば、公用分数 $\frac(25)(100)$ (「100 分の 25」と読みます) は、小数分数 $0.25$ (「100 分の 25」と読みます) に対応します。
帯分数に対応する小数は、帯分数と同じように読み取られます。 たとえば、帯分数$43\frac(15)(1000)$は、小数$43.015$（「1000分の43」と読みます）に対応します。
小数点での桁数
小数を書く場合、各桁の意味はその位置によって異なります。 それらの。 小数部でもこの概念は適用されます カテゴリー.
小数点以下の小数の位は自然数の位と同じと呼ばれます。 小数点以下の小数点以下の桁数を表に示します。
写真1。
例 3
たとえば、小数部 $56.328$ では、数字 $5$ は 10 の位、$6$ は単位の位、$3$ は 10 の位、$2$ は 100 の位、$8$ は 1000 の位になります。場所。
小数部の桁は優先順位によって区別されます。 小数を読み取るときは、左から右に移動します。 シニアにランク付けする 若い.
例 4
たとえば、小数部 $56.328$ では、最上位 (最高) の位は 10 の位、下位 (最低) の位は 1000 の位です。
小数部は、自然数の桁分解と同様に桁に展開できます。
例5
たとえば、小数部 $37.851$ を数字に分解してみましょう。
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
終了小数点
定義 2
終了小数点は小数と呼ばれ、そのレコードには有限数の文字 (桁) が含まれます。
たとえば、$0.138$; $5.34$; $56.123456$; 350,972.54ドル。
任意の有限小数は、分数または帯分数に変換できます。
例6
たとえば、最後の小数 $7.39$ は小数 $7\frac(39)(100)$ に対応し、最後の小数 $0.5$ は適切な公分数 $\frac(5)(10)$ (またはそれに等しい任意の分数 (たとえば、$\frac(1)(2)$ または $\frac(10)(20)$。
分数を小数に変換する
分母が $10、100、\dots$ の分数を小数に変換する
一部の適切な分数を小数に変換する前に、まずそれらを「準備」する必要があります。 このような準備の結果は、分子の桁数と分母のゼロの数が同じになるはずです。
の本質は、 事前準備» 通常の分数を小数に変換 - 桁数の合計が分母のゼロの数と等しくなるように、分子の左側にそのような数のゼロを追加します。
例 7
たとえば、分数 $\frac(43)(1000)$ を 10 進数に変換する準備をして、$\frac(043)(1000)$ を取得してみましょう。 また、普通の分数 $\frac(83)(100)$ は準備する必要がありません。
定式化しましょう 分母が $10$、$100$、$1\000$、$\dots$ の固有公分数を小数に変換する規則:
$0$ と書き込みます。
その後に小数点を置きます。
分子からの数字を書き留めます（必要に応じて、準備後に追加されたゼロも加えて）。
例8
適切な分数 $\frac(23)(100)$ を 10 進数に変換します。
解決。
分母には $100$ という数値が含まれており、これには $2$ と 2 つのゼロが含まれます。 分子には数値 $23$ が含まれており、$2$.digits で記述されます。 これは、この分数を小数に変換するために準備する必要がないことを意味します。
$0$と書いて小数点を入れて、分子から$23$という数字を書きましょう。 小数部 $0.23$ が得られます。
答え: $0,23$.
例9
適切な分数 $\frac(351)(100000)$ を小数として書き込みます。
解決。
この分数の分子には $3$ の桁が含まれており、分母のゼロの数は $5$ であるため、この通常の分数は 10 進数に変換できるように準備する必要があります。 これを行うには、分子の左側に $5-3=2$ のゼロを追加する必要があります: $\frac(00351)(100000)$。
これで、目的の小数を形成できるようになりました。 これを行うには、$0$ を書き留めてから、カンマを追加して分子からの数値を書き留めます。 小数部 $0.00351$ が得られます。
答え: $0,00351$.
定式化しましょう 分母が $10$、$100$、$\dots$ の仮分数を小数に変換するためのルール:
分子からの数を書き留めます。
小数点を使用して、元の分数の分母にゼロがある数の右側の桁を区切ります。
例 10
仮分数 $\frac(12756)(100)$ を 10 進数に変換します。
解決。
分子 $12756$ からの数値を書き留めて、右側の $2$ の桁を小数点で区切ってみましょう。 元の分数 $2$ の分母はゼロです。 小数部 $127.56$ が得られます。
この資料では、小数の分数などの重要なトピックを取り上げます。 まず、基本的な定義を定義し、例を挙げて、10 進表記の規則と小数の桁数について詳しく説明します。 次に、有限分数と無限分数、周期分数と非周期分数などの主な種類に焦点を当てます。 最後の部分では、分数に対応する点が座標軸上にどのように配置されるかを示します。
Yandex.RTB R-A-339285-1
小数の10進表記とは何ですか
いわゆる分数の 10 進表記は、自然数と分数の両方に使用できます。 カンマで区切られた 2 つ以上の数字のセットのように見えます。
小数点は、整数部分と小数部分を区切るのに必要です。 原則として、最初のゼロの直後に小数点が表示されない限り、小数の最後の桁はゼロではありません。
10 進表記の小数の例にはどのようなものがありますか? これは、34、21、0、35035044、0、0001、11,231,552、9 などです。
一部の教科書では、カンマの代わりにピリオドが使用されていることがあります (5. 67、6789. 1011 など)。このオプションは同等とみなされますが、英語のソースではより一般的です。
小数の定義
上記の 10 進表記の概念に基づいて、次のような 10 進数の定義を定式化できます。
定義 1
Decimal は、10 進表記の小数を表します。
なぜこの形式で分数を書く必要があるのでしょうか? これにより、通常の表記よりもいくつかの利点が得られます。たとえば、特に分母に 1000、100、10 など、または帯分数が含まれる場合に、よりコンパクトな表記が可能になります。 たとえば、6 10 の代わりに 0.6、25 10000 - 0.0023、512 3 100 - 512.03 の代わりに 0.6 を指定できます。
分母に数十、数百、千を含む普通の分数を 10 進数形式で正しく表現する方法については、別の資料で説明します。
小数を正しく読む方法
10 進数表記の読み方にはいくつかの規則があります。 したがって、通常の等価物が対応する小数は、先頭に「10 分の 0」という単語が追加されること以外は、ほぼ同じように読み取られます。 したがって、14,100 に対応するエントリ 0, 14 は、「140 分の 0 ポイント」として読み取られます。
小数を帯分数に関連付けることができる場合、小数はこの数値と同じ方法で読み取られます。 したがって、56 2 1000 に相当する端数 56,002 がある場合、このエントリは「56.2 1000 分の 1」と読み取られます。
小数部の数字の意味は、その数字がどこにあるかによって異なります (自然数の場合と同様)。 つまり、小数部 0.7 では、7 は 10 分の 1、0.0007 では 10,000 分の 1、小数部 70,000.345 では、整数の 7 万分の 1 を意味します。 したがって、小数には位の値の概念もあります。
小数点の前にある数字の名前は、自然数に存在するものと似ています。 以下の名前は表に明確に示されています。
例を見てみましょう。
例1
小数部は 43,098 です。 彼女は、十の位が 4、単位の位が 3、10 の位が 0、100 の位が 9、1000 の位が 8 です。
小数部の順位は優先順位によって区別するのが通例です。 数値を左から右に移動すると、最も重要なものから最も重要でないものへと進みます。 百分率は十分の一よりも古く、百万分率は百分の一よりも若いことがわかります。 上で例として挙げた最後の小数部を例に挙げると、その中の最高位または最高位は百の位となり、最低位または最低位は万の位になります。
小数部はすべて個々の数字に展開でき、合計として表すことができます。 この動作は自然数の場合と同様に実行されます。
例 2
小数部 56, 0455 を数字に展開してみましょう。
私たちは得るだろう：
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
加算の性質を覚えていれば、この分数を他の形式、たとえば合計 56 + 0, 0455 や 56, 0055 + 0, 4 などとして表すことができます。
末尾の小数点とは何ですか?
上で説明したすべての分数は有限小数です。 これは、小数点以下の桁数が有限であることを意味します。 定義を導いてみましょう:
定義 1
後続小数は、小数点記号の後の小数点以下の桁数が有限である小数分数の一種です。
このような分数の例としては、0、367、3、7、55、102567958、231 032、49 などが挙げられます。
これらの分数はどれも、帯分数 (小数部分の値がゼロと異なる場合) または普通の分数 (整数部分がゼロの場合) に変換できます。 私たちはこれがどのように行われるかに専念しました 別の材料。 ここでは、いくつかの例を指摘します。たとえば、最後の小数 5, 63 を 5 63 100 の形式に減らすことができ、0, 2 は 2 10 (またはそれに等しい他の分数) に対応します。たとえば、4 20 または 1 5。)
しかし、逆のプロセス、つまり 公用分数を 10 進数形式で書くことは、常に可能であるとは限りません。 したがって、5 13 は、分母 100、10 などの等分数に置き換えることはできません。つまり、そこから最終的な小数を取得することはできません。
無限小数の主な種類: 周期分数と非周期分数
上で、有限分数は小数点以下の桁数が有限であるためそのように呼ばれることを示しました。 ただし、無限である可能性も十分あり、その場合、分数自体も無限と呼ばれます。
定義 2
無限小数とは、小数点以下の桁数が無限である小数のことです。
当然のことながら、そのような数値を完全に書き出すことはできないため、その一部のみを示し、省略記号を追加します。 この記号は、小数点以下の桁が無限に続くことを示します。 無限小数の例には、0、143346732…、3、1415989032…、153、0245005…、2、66666666666…、69、748768152…が含まれます。 等
このような分数の「末尾」には、一見ランダムな数列だけでなく、同じ文字または文字グループの一定の繰り返しが含まれる場合があります。 小数点以下の数字が交互に並ぶ分数は周期的と呼ばれます。
定義 3
周期小数は、小数点の後に 1 桁または複数の桁のグループが繰り返される無限の小数です。 繰り返しの部分を分数の周期といいます。
たとえば、端数 3 の場合、444444…。 ピリオドは数字の 4 になり、76 の場合は 134134134134... - グループ 134 になります。
なんてことだ 最小限の量周期分数の表記に記号を残してもよいでしょうか？ 周期分数の場合は、期間全体を括弧内に 1 回記述するだけで十分です。 つまり、端数 3、444444…。 3、(4)、および 76、134134134134... – 76、(134) と書くのが正しいでしょう。
一般に、括弧内に複数のピリオドを含むエントリはまったく同じ意味を持ちます。たとえば、周期分数 0.677777 は 0.6 (7) および 0.6 (77) と同じです。 0、67777 (7)、0、67 (7777) などの形式のレコードも受け入れられます。
間違いを避けるために、表記の統一を導入します。 小数点に最も近いピリオド (可能な限り短い一連の数値) を 1 つだけ書き留めて括弧で囲むことに同意しましょう。
つまり、上記の分数の場合、主エントリを 0, 6 (7) とみなして、たとえば、分数 8, 9134343434 の場合、8, 91 (34) と書きます。
普通の分数の分母に 5 と 2 に等しくない素因数が含まれている場合、10 進表記に変換すると無限の分数になります。
原理的には、任意の有限分数を周期分数として書くことができます。 これを行うには、右側に無限のゼロを追加するだけです。 レコーディングではどんな感じになるんですか？ 最後の端数 45, 32 があるとします。 周期的な形式では、45、32 (0) のように見えます。 この操作が可能なのは、小数の右側にゼロを追加すると、小数と等しい結果が得られるからです。
周期 9 の周期分数 (4、89 (9)、31、6 (9) など) には特別な注意を払う必要があります。 これらは、周期 0 の同様の分数の代替表記であるため、周期 0 の分数で書くときによく置き換えられます。 この場合、次の桁の値に 1 を加算し、括弧内に (0) を示します。 結果の数値が等しいかどうかは、それらを普通の分数として表すことで簡単に検証できます。
たとえば、分数 8, 31 (9) は、対応する分数 8, 32 (0) に置き換えることができます。 または、4、(9) = 5、(0) = 5。
無限小数周期分数とは、 有理数。 言い換えれば、任意の周期分数は通常の分数として表すことができ、その逆も同様です。
小数点以下が無限に繰り返されない分数もあります。 この場合、それらは呼び出されません 周期分数.
定義 4
非周期的な小数には、小数点の後にピリオドを含まない無限小数が含まれます。 繰り返される数字のグループ。
非周期的な分数は、周期的な分数と非常によく似ていることがあります。 例えば、9、03003000300003…一見するとピリオドが付いているように見えますが、 詳細な分析小数点以下の桁は、これが依然として非周期的な分数であることを確認します。 このような数値には細心の注意が必要です。
非周期分数は無理数として分類されます。 通常の分数には変換されません。
小数を使った基本的な演算
小数を使用して、比較、減算、加算、除算、乗算の演算を実行できます。 それぞれを個別に見てみましょう。
小数の比較は、元の小数に対応する分数の比較に帰着できます。 しかし、無限の非周期分数をこの形式に還元することはできず、小数分数を通常の分数に変換するのは多くの場合、労働集約的な作業となります。 問題を解決する際に比較アクションを行う必要がある場合、どうすれば素早く実行できるでしょうか? 自然数を比較するのと同じように、小数を桁ごとに比較すると便利です。 この方法については別の記事で説明します。
小数を他の小数と加算するには、自然数と同様に列加算法を使用すると便利です。 周期的な小数を追加するには、まずそれらを通常の小数に置き換えて、標準的なスキームに従ってカウントする必要があります。 問題の条件に従って、無限の非周期分数を加算する必要がある場合は、まずそれらを特定の桁に丸めてから加算する必要があります。 四捨五入する桁が小さいほど、計算の精度が高くなります。 無限分数の減算、乗算、除算の場合は、前処理も必要です。
小数間の差を求めることは、加算の逆です。 基本的に、減算を使用すると、減算している分数との合計が最小化する分数となる数値を見つけることができます。 これについては、別の記事で詳しく説明します。
小数の乗算は自然数の場合と同じ方法で行われます。 列計算方法もこれに適しています。 周期分数を使用したこの動作を、すでに学習したルールに従って通常の分数の乗算に還元します。 覚えているとおり、無限小数は計算前に四捨五入する必要があります。
小数の割り算は、掛け算の逆の処理です。 問題を解くときは、柱状計算も使用します。
最終的な小数と座標軸上の点との間の正確な対応関係を確立できます。 必要な小数に正確に対応する軸上の点をマークする方法を考えてみましょう。
普通の分数に対応する点を構築する方法をすでに研究しましたが、小数分数はこの形式に還元できます。 たとえば、公分数 14 10 は 1, 4 と同じであるため、対応する点は原点から正の方向にまったく同じ距離だけ削除されます。
小数部分を通常の小数部分に置き換えずに行うこともできますが、基本として桁ごとに展開する方法を使用します。 したがって、座標が 15, 4008 に等しい点をマークする必要がある場合は、まずこの数値を合計 15 + 0, 4 +, 0008 として提示します。 まず、カウントダウンの開始から正の方向に 15 個の単位セグメント全体を確保し、次に 1 セグメントの 10 分の 4、次に 1 セグメントの 10,000 分の 8 を確保しましょう。 その結果、分数 15、4008 に対応する座標点が得られます。
無限の小数の場合は、目的の点に好きなだけ近づけることができるため、この方法を使用することをお勧めします。 場合によっては、座標軸上の無限分数に正確に対応するものを構築することが可能です (たとえば、2 = 1、41421)。 。 。 、そしてこの分数は、0 から正方形の対角線の長さだけ離れた座標線上の点に関連付けることができ、その辺は 1 つの単位セグメントに等しくなります。
軸上の点ではなく、それに対応する小数点が見つかった場合、このアクションはセグメントの小数点測定と呼ばれます。 これを正しく行う方法を見てみましょう。
ゼロから座標軸上の特定の点まで到達する必要があるとします (または、無限分数の場合は可能な限り近づける必要があります)。 これを行うには、座標の原点から単位セグメントを徐々に延期していきます。 希望のポイント。 セグメント全体の後で、必要に応じて、一致が可能な限り正確になるように、10 分の 1、100 分の 1、およびそれより小さい端数を測定します。 その結果、以下に対応する小数を受け取りました。 与えられたポイント座標軸上で。
上では点 M を含む図面を示しました。 もう一度見てください。この点に到達するには、1 単位セグメントとその 10 分の 4 をゼロから測定する必要があります。この点は小数の 1、4 に対応するためです。
小数測定の過程である点に到達できない場合、それは無限小数に相当することを意味します。
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数学では 各種数値は当初から研究されてきました。 存在する たくさんの数値のセットとサブセット。 その中には、整数、有理数、無理数、自然数、偶数、奇数、複素数、分数があります。 今日は最後のセットである分数に関する情報を分析します。
分数の定義
分数は、整数部分と単位の小数部分で構成される数値です。 整数と同様に、2 つの整数の間には無数の分数が存在します。 数学では、分数の演算は整数や自然数の演算と同じように実行されます。 それは非常に簡単で、数回のレッスンで習得できます。
この記事では2つのタイプを紹介しています
共通分数
通常の分数は、整数部分 a と、分数線 b/c に書かれた 2 つの数値です。 小数部を有理 10 進形式で表現できない場合、共通分数は非常に便利です。 さらに、分数行を使用して算術演算を実行すると便利です。 上部を分子といい、小さいほうを分母といいます。
普通の分数を使った演算: 例
分数の主なプロパティ。 で分子と分母にゼロではない同じ数値を掛けると、結果は指定された数値と同じになります。 分数のこの性質は、足し算の分母を持ってきたり (これについては後述します)、分数を短くしたりして、数えるのに便利です。 a/b = a*c/b*c。 たとえば、36/24 = 6/4 または 9/13 = 18/26
共通分母への帰着。分数の分母を取得するには、分母を因数の形式で提示し、不足している数値を乗算する必要があります。 たとえば、7/15 と 12/30 です。 7/5*3 および 12/5*3*2。 分母が 2 違うことがわかるので、最初の分数の分子と分母に 2 を掛けます。14/30 と 12/30 が得られます。
複素分数- 全体が強調表示された通常の分数。 (A b/c) 複分数を公分数として表すには、分数の前の数値に分母を掛けてから、分子を加えます: (A*c + b)/c。
分数を使った算術演算
よく知られている算術演算は、小数を扱う場合にのみ考慮することをお勧めします。
加減。分数の加算と減算は、分数線の存在という 1 つの難点を除けば、整数の加算と減算と同じくらい簡単です。 同じ分母を持つ分数を加算する場合は、両方の分数の分子を加算するだけでよく、分母は変わりません。 例: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
2 つの分数の分母が異なる数値である場合は、まずそれらを共通の数値にする必要があります (これを行う方法は上で説明しました)。 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8。 減算もまったく同じ原理に従います: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9。
掛け算と割り算。 行動分数による乗算は、分子と分母が別々に乗算されるという原則に従って行われます。 で 一般的な見解乗算の公式は次のようになります: a/b *c/d = a*c/b*d。 さらに、乗算するときに、分子と分母から同様の因数を削除することで分数を減らすことができます。 つまり、分子と分母は同じ数で割られます: 4/16 = 4/4*4 = 1/4。
ある普通の分数を別の分数で割るには、約数の分子と分母を変更し、前に説明した原則に従って 2 つの分数を掛ける必要があります: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5
小数
小数は、分数のより一般的で頻繁に使用されるバージョンです。 行に書き留めたり、コンピューターで提示したりする方が簡単です。 小数の構造は次のとおりです。最初に整数が書き込まれ、次に小数点の後に小数部分が書き込まれます。 小数の核心は合成分数ですが、小数部分は 10 の倍数で割った数値で表されます。これが小数の名前の由来です。 小数部の演算も 10 進数体系で記述されるため、整数の演算と似ています。 また、通常の分数とは異なり、小数は無理数になる場合があります。 これは、それらが無限に存在する可能性があることを意味します。 それらは次のように書かれます: 7, (3)。 次のエントリは次のようになります: 7 ポイント 3、ピリオドの 3/10。
10 進数を使った基本的な演算
小数の加算と減算。分数を扱うことは、自然数全体を扱うことと同じくらい難しいことではありません。 このルールは、自然数を加算または減算するときに使用されるルールとまったく同じです。 同様に列として数えることができますが、必要に応じて欠落している箇所をゼロに置き換えます。 例: 5.5697 - 1.12。 列の減算を実行するには、小数点以下の数値の数を等しくする必要があります: (5.5697 - 1.1200)。 それで、 数値変更されず、列内でカウントできます。
小数のいずれかが無理数の場合、小数を使用した演算は実行できません。 これを行うには、両方の数値を通常の分数に変換し、前に説明した手法を使用する必要があります。
掛け算と割り算。小数の乗算は、自然分数の乗算と似ています。 また、カンマに注意を払わずに列内で単純に乗算し、小数点以下 2 桁の小数点以下の合計と同じ桁数の最終値をカンマで区切ることもできます。 たとえば、1.5 * 2.23 = 3.345 となります。 すべては非常に単純なので、すでに自然数の掛け算をマスターしていれば、難しいことはありません。
割り算も自然数の割り算と同じですが、少し異なります。 で割るには 10進数列では、除数のカンマを破棄し、被除数に除数の小数点以下の桁数を乗算する必要があります。 次に、自然数と同様に割り算を実行します。 不完全に除算する場合は、右側の被除数にゼロを追加し、小数点の後の答えにもゼロを追加できます。
小数を使った演算の例。小数は非常に 便利なツール算術計算用。 これらは、自然数、整数の利便性、および分数の精度を組み合わせています。 さらに、一部の分数を別の分数に変換することも非常に簡単です。 分数の演算は自然数の演算と何ら変わりません。
- 加算: 1.5 + 2.7 = 4.2
- 減算: 3.1 - 1.6 = 1.5
- 乗算: 1.7 * 2.3 = 3.91
- 除算: 3.6: 0.6 = 6
また、小数はパーセンテージを表すのに適しています。 したがって、100% = 1; 60% = 0.6; 逆も同様: 0.659 = 65.9%。
分数について知っておく必要があるのはこれだけです。 この記事では、普通分数と小数点の 2 種類の分数を調べました。 どちらも計算が非常に簡単で、自然数とその演算を完全にマスターしていれば、安全に分数の学習を始めることができます。
分数は 0.8 の形式で記述されます。 0.13; 2.856; 5.2; 0.04は10進数と呼ばれます。 実際、小数は通常の分数を簡略化した表記です。 この表記法は、分母が 10、100、1000 などのすべての分数に使用すると便利です。
例を見てみましょう (0.5 はゼロ ポイント ファイブと読みます)。
(0.15 はゼロ ポイント 15 と読みます);
(5.3 は 5 ポイント 3 と読みます)。
小数部の表記では、数値の整数部と小数部がコンマで区切られており、適切な分数の整数部は 0 であることに注意してください。小数部の小数部の表記には、次の桁数が含まれます。対応する普通分数の分母の表記にゼロがあります。
例を見てみましょう。 
, 
, 
.
場合によっては考慮する必要があるかもしれません 自然数小数部がゼロの 10 進数として。 5 = 5.0 と書くのが通例です。 245 = 245.0 など。 自然数の 10 進表記では、最下位桁の単位は、隣接する最上位桁の単位の 10 倍小さいことに注意してください。 小数の書き方にも同じ性質があります。 したがって、小数点の直後には 10 の位、次に 100 の位、次に 1000 の位が続きます。 以下は、数値 31.85431 の桁の名前です。最初の 2 列は整数部分、残りの列は小数部分です。
この分数は、31.85,413-100,000 と読み取られます。
小数の足し算と引き算
1 つ目は、小数を普通の分数に変換して加算する方法です。 
例からわかるように、この方法は非常に不便なので、小数を通常の分数に変換せずに、より正確な 2 番目の方法を使用することをお勧めします。 2 つの小数を加算するには、次の操作を行う必要があります。
- 項の小数点以下の桁数を均等化します。
- 第 2 項の各桁が第 1 項の対応する桁の下になるように、用語を上下に書きます。
- 自然数を加算するのと同じ方法で、結果の数値を加算します。
- 結果の合計の条件内のカンマの下にカンマを置きます。
例を見てみましょう:
- 被減数と減数の小数点以下の桁数を等しくします。
- 減数の各桁が被減数の対応する桁の下になるように、減数を被減数の下に書きます。
- 自然数の減算と同じ方法で減算を実行します。
- 結果の差に、被減数と減数のコンマの下にコンマを入れます。
例を見てみましょう:
上で説明した例では、小数の加算と減算がビットごとに、つまり自然数で同様の演算を実行したのと同じ方法で実行されたことがわかります。 これが、分数を 10 進形式で書くことの主な利点です。
小数の乗算
小数に 10、100、1000 などを掛けるには、この分数の小数点をそれぞれ 1、2、3 など右に移動する必要があります。 したがって、カンマを 1、2、3 桁ずつ右に移動すると、それに応じて小数部は 10 倍、100 倍、1000 倍などと増加します。 2 つの小数を乗算するには、次の操作を行う必要があります。
- カンマを無視して自然数として乗算します。
- 結果の積では、両方の要素を合わせたカンマの後ろにある数字と同じ数の右側をカンマで区切ります。
作業に含まれる桁数がカンマで区切るのに必要な桁数よりも少ない場合は、この作業の前に左側に追加されます。 必要量ゼロを入力し、必要な桁数だけカンマを左に移動します。
例を見てみましょう: 2 * 4 = 8、次に 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805、その後 0.023 * 0.35 = 0.00805。
乗数の 1 つが 0.1 に等しい場合があります。 0.01; 0.001 などの場合は、次のルールを使用する方が便利です。
- 小数に 0.1 を掛けるには、 0.01; 0.001 など、この小数では小数点をそれぞれ 1、2、3 など左に移動する必要があります。
例を見てみましょう: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576。
自然数の乗算の性質は小数にも当てはまります。
- アブ＝バ- 乗算の可換性。
- (ab) c = a (bc)- 乗算の結合特性。
- a (b + c) = ab + acは、加算に対する乗算の分配特性です。
小数の除算
自然数を割ると、 ある自然数に bそのような自然数を見つけることを意味します cを乗算すると、 b数字を与える ある。 このルールは、少なくとも 1 つの数値が一致する場合に当てはまります。 a、b、cは小数です。
例を見てみましょう。カンマを無視して、43.52 を角で 17 で割る必要があります。 この場合、商のカンマは、被除数の小数点が使用される後の最初の桁の直前に配置する必要があります。
被除数が除数より小さい場合、商の整数部分がゼロに等しくなる場合があります。 例を見てみましょう:
別の興味深い例を見てみましょう。
被除数の桁がなくなり、剰余にゼロがないため、除算プロセスは停止しました。 小数部の右側に任意の数のゼロを追加しても、小数部は変化しないことが知られています。 そうなると、配当金の数字に終わりがないことが明らかになります。
小数を 10、100、1000 などで割るには、この分数の小数点を 1、2、3 桁ずつ左に移動する必要があります。 例を見てみましょう: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751。
被除数と除数が同時に 10 倍、100 倍、1000 倍などに増加した場合、商は変わりません。
例を考えてみましょう: 39.44: 1.6 = 24.65、被除数と除数を 10 倍に増やします 394.4: 16 = 24.65 2 番目の例では、小数を自然数で割る方が簡単であることに注目するのは当然です。
小数を小数で割るには、次の操作を行う必要があります。
- 被除数と除数のカンマを、除数の小数点以下の桁数だけ右に移動します。
- 自然数で割ります。
例を考えてみましょう: 23.6: 0.02、除数には小数点以下 2 桁があることに注意してください。したがって、両方の数値を 100 で乗算すると 2360: 2 = 1180 が得られ、結果を 100 で割ると、答えは 11.80 または 23.6: 0, 02 = となります。 11.8。
小数の比較
小数を比較するには 2 つの方法があります。 方法 1 では、2 つの小数部 4.321 と 4.32 を比較し、小数点以下の桁数を等しくして、10 分の 1 と 10 の位、100 の位と 100 分の 1 というように桁ごとに比較を開始する必要があります。最終的には 4.321 > 4.320 になります。
小数を比較する 2 番目の方法は、乗算を使用して行われます。上の例に 1000 を掛けて、4321 > 4320 を比較します。どちらの方法がより便利かは、誰もが自分で選択します。
