分母の異なる分数の加算方法を理解するには、まずルールを学び、次に具体的な例を見てみましょう。
分母が異なる分数を加算または減算するには:
1) 指定された分数を求めます (NOZ)。
2) 各分数の追加因数を見つけます。 これを行うには、新しい分母を古い分母で割る必要があります。
3) 各分数の分子と分母に追加の係数を乗算し、同じ分母を持つ分数を加算または減算します。
4) 得られた分数が適切で既約であるかどうかを確認します。
次の例では、分母が異なる分数を加算または減算する必要があります。
1) 分母が異なる分数を引き算するには、まず指定された分数の最小公倍数を探します。 最大の数値を選択し、それが小さい数値で割り切れるかどうかを確認します。 25 は 20 で割り切れません。 25 に 2 を掛けます。50 は 20 で割り切れません。 25 に 3 を掛けます。75 は 20 で割り切れません。 25 に 4 を掛けます。100 を 20 で割ります。 したがって、最小公倍数は 100 です。
2) 各分数の追加の因数を見つけるには、新しい分母を古い分母で割る必要があります。 100:25=4、100:20=5。 したがって、最初の部分には 4 の追加係数があり、2 番目の部分には 5 の追加係数があります。
3) 各分数の分子と分母に追加の係数を掛け、同じ分母を持つ分数の引き算の規則に従って分数を引きます。
4) 得られた分数は適切で既約です。 これが答えです。
1) 分母の異なる分数を加算するには、まず最小公倍数を探します。 16 は 12 で割り切れません。 16∙2=32は12で割り切れません。 16∙3=48は12で割り切れます。 つまり、48はNOZです。
2) 48:16=3、48:12=4。 これらは各分数に対する追加の係数です。
3) 各分数の分子と分母に追加の係数を乗算し、新しい分数を加算します。
4) 得られた分数は適切で既約です。
1) 30 は 20 で割り切れません。 30∙2=60は20で割り切れます。 したがって、60 はこれらの分数の最小公倍数です。
2) 各分数の追加の因数を見つけるには、新しい分母を古い分母で割る必要があります: 60:20=3、60:30=2。
3) 各分数の分子と分母に追加の係数を乗算し、新しい分数を引きます。
4) 結果として得られる小数点以下の 5。
1) 8 は 6 で割り切れません。 8∙2=16は6で割り切れません。 8∙3=24 は 4 と 6 の両方で割り切れます。これは、24 が NOZ であることを意味します。
2) 各分数の追加の因数を見つけるには、新しい分母を古い分母で割る必要があります。 24:8=3、24:4=6、24:6=4。 これは、3、6、および 4 が、1 番目、2 番目、および 3 番目の分数に対する追加の因数であることを意味します。
3) 各分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。 足し算と引き算。 結果として得られる分数は不適切であるため、部分全体を選択する必要があります。
問題の定式化:式の意味を調べます（分数の演算）。
この問題は、統一州試験の 11 年生の基礎レベルの数学の 1 番 (分数を伴う動作) の一部です。
このような問題を例を使ってどのように解決するかを見てみましょう。
タスク例 1:
式 5/4 + 7/6: 2/3 の値を見つけます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: 3
タスク例 2:
式 (3.9 – 2.4) ∙ 8.2 の値を求めます。
答え: 12.3
タスク例 3:
式 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27) の値を求めます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: -8
タスク例 4:
式 2.7 / (1.4 + 0.1) の値を見つけます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: 1.8
問題例 5:
式 1 / (1/9 – 1/12) の値を求めます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: 36
問題例 6:
式 (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4) の値を求めます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: 40
問題例 7:
式 (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457) の値を求めます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要なアクションを正しい順序で実行してください。
答え: 10
問題例 8:
式の値 (728^2 – 26^2) : 754 を見つけます。
式の値を計算してみましょう。 これを行うために、最初に乗算と除算、次に加算と減算という演算の順序を決定します。 この場合、括弧内のアクションは括弧の外側のアクションより前に実行されます。 そして、必要な措置を正しい順序で実行します。 この場合も二乗差の公式を適用する必要があります。
ほとんどすべての 5 年生は、普通の分数を初めて知った後、少しショックを受けます。 分数の本質を理解する必要があるだけでなく、分数を使って算術演算を実行する必要もあります。 この後、小さな生徒たちは、これらの端数がいつ終わるかを知るために体系的に教師に質問します。
そのような状況を避けるためには、この難しいトピックをできるだけ簡単に、できれば遊び心のある方法で子供たちに説明するだけで十分です。
分数の本質
分数とは何かを学ぶ前に、子供はその概念に慣れる必要があります 共有 。 ここでは連想法が最適です。
ホールケーキがいくつかの等しい部分、たとえば 4 つに分割されていると想像してください。 そうすれば、ケーキの各部分をシェアと呼ぶことができます。 ケーキ4個のうち1個を取ると4分の1になります。
全体をまったく異なる数の部分に分割できるため、シェアが異なります。 一般に、株数が多いほど株数は小さくなり、その逆も同様です。
株式を指定できるように、彼らは次のような数学的概念を考案しました。 公分数。 この端数により、必要な数の株式を評価することができます。
分数の構成要素は分子と分母であり、分数線またはスラッシュで区切られます。 多くの子供たちはその意味を理解していないため、分数の本質が明確ではありません。 分数バーは割り算を示します。ここでは複雑なことは何もありません。
分母は通常、分数線の下、または前線の右側に書かれます。 全体の部分の数を示します。 分子は、分数線の上または前方線の左側に書かれ、取得された株数を決定します。たとえば、分数 4/7 です。 この場合、7 は分母で、7 株しかないことを示し、分子の 4 は、7 株のうち 4 株が取得されたことを示します。
主な株式とその分数表記:
普通の分数に加えて、小数分数もあります。
分数の演算 5年生
5年生では、分数を使ったすべての算術演算を学習します。
分数を使ったすべての演算はルールに従って実行されます。ルールを学ばずにすべてが自動的にうまくいくことを期待すべきではありません。 したがって、数学の宿題の口頭部分を無視してはなりません。
小数と普通の分数の表記が異なるため、算術演算の実行方法が異なることはすでに理解しました。 通常の分数を使用したアクションは、分母にある数値と、小数点の右側にある小数に依存します。
分母が同じ分数の場合、加算と減算のアルゴリズムは非常に簡単です。 分子を使用してのみアクションを実行します。
分母が異なる分数については、次のことを見つける必要があります。 最小公倍数 (LCD)。 これは、余りを除いてすべての分母で割り切れる数であり、そのような数が複数ある場合はその中で最小になります。
小数を加算または減算するには、小数をカンマの下にカンマを付けて列に書き込み、必要に応じて小数点以下の桁数を等しくする必要があります。
普通の分数を掛けるには、分子と分母の積を求めるだけです。 とてもシンプルなルールです。
除算は次のアルゴリズムに従って実行されます。
- 配当を変更せずに書き込みます
- 割り算を掛け算に変える
- 約数を反転します (分数の逆数を約数に書き込みます)
- 乗算を実行する
分数の足し算、解説
分数と小数の加算方法を詳しく見てみましょう。
上の画像からわかるように、分数の 3 分の 1 と 3 分の 2 には、3 という共通の分母があります。 これは、分子 1 と 2 を加算するだけで済み、分母は変更しないことを意味します。 結果は 3 分の 3 の合計になります。 この答えは、分数の分子と分母が等しい場合、3:3 = 1 であるため、1 と書くことができます。
分数の 3 分の 2 と 9 分の 2 の合計を見つける必要があります。 この場合、分母は 3 と 9 で異なります。加算を実行するには、共通の分母を見つける必要があります。 とても簡単な方法があります。 最大の分母である 9 を選択します。それが 3 で割り切れるかどうかを確認します。9:3 = 3 余りなしなので、9 が公分母として適切です。
次のステップは、各分子の追加の因数を見つけることです。 これを行うには、公分母 9 を各分数の分母で順番に割ります。結果として得られる数値は加算されます。 複数 最初の分数: 9:3 = 3 の場合、最初の分数の分子に 3 を加算します。2 番目の分数: 9:9 = 1 を乗算すると同じになるため、1 を加算する必要はありません。番号。
次に、分子に追加の係数を乗算し、結果を加算します。 結果として得られる金額は、9 分の 8 の端数になります。
小数の加算は、自然数の加算と同じ規則に従います。 列では、数字は数字の下に書かれます。 唯一の違いは、小数の場合は結果に正しいカンマを入れる必要があることです。 これを行うには、分数はカンマの下にカンマを付けて記述し、合計ではカンマを下に移動するだけで済みます。
分数 38, 251 と 1, 56 の合計を求めてみましょう。アクションの実行をより便利にするために、0 を追加して右側の小数点以下の桁数を等しくしました。
カンマを意識せずに分数を加算します。 そして、結果の量では、単にカンマを下げるだけです。 答え: 39、811。
分数の引き算、説明
分数の 3 分の 2 と 3 分の 1 の差を求めるには、分母を変更せずに、分子の差 2-1 = 1 を計算する必要があります。 答えは3分の1の差になります。
分数の 5/6 と 7/10 の違いを見つけてみましょう。 共通点を見つける。 選択方法を使用し、6 と 10 の最大値は 10 です。10: 6 は余りがなければ割り切れないことを確認します。 さらに 10 を足すと 20:6 になりますが、これも余りがなければ割り切れません。 再び 10 ずつ増加すると、30:6 = 5 が得られます。共通の分母は 30 です。また、NOZ は九九を使用して見つけることができます。
追加の要因を見つける。 30:6 = 5 - 最初の部分の場合。 30:10 = 3 - 2 番目。 分子とその追加の多重度を掛け合わせます。 減算 25/30 と減算 21/30 が得られます。 次に、分子を減算し、分母は変更しません。
結果は4/30の差でした。 この端数は約分可能です。 それを 2 で割ると、答えは 2/15 です。
小数の割り算 5 年生
このトピックでは、次の 2 つのオプションについて説明します。
小数のかけ算 5 年生
小数の積を求めるのとまったく同じ方法で、自然数を掛ける方法を思い出してください。 まず、小数と自然数の掛け算を考えてみましょう。 このために：
小数と小数を掛けるときも、まったく同じように動作します。
帯分数グレード 5
5 年生はそのような分数を「混合されていない」と呼びますが、<<смешные>＞この方が覚えやすいかも知れません。 帯分数は、自然数全体と普通の分数を組み合わせて作られるため、そう呼ばれます。
帯分数は、整数と小数部で構成されます。
このような分数を読むときは、最初に整数部分、次に小数部分の名前を付けます。つまり、1 つの整数 2/3、2 つの整数 1 5 分、3 つの整数 2 5 分、4 つの整数 4 分の 3 です。
これらの混合画分はどのようにして得られるのでしょうか? とてもシンプルです。 解答で不適切な分数 (分子が分母より大きい分数) を受け取った場合は、必ず帯分数に変換する必要があります。 分子を分母で割れば十分です。 このアクションは、パーツ全体の選択と呼ばれます。
帯分数を仮分数に戻すのも簡単です。
小数の例 5 年生 解説付き
いくつかの行動の例は、子供たちに多くの疑問を引き起こします。 そのような例をいくつか見てみましょう。
(0.4 8.25 - 2.025) : 0.5 =
最初のステップは、数値 8.25 と 0.4 の積を見つけることです。 ルールに従って掛け算を行っていきます。 答えは3桁を右から左に数えてカンマを入れてください。
2 番目のアクションは括弧内にあり、これが違いです。 3,300 から 2,025 を引きます。 アクションを、カンマの下にカンマを付けて列に記録します。
3 番目のアクションは分割です。 2 番目のステップで得られた差は 0.5 で除算されます。 カンマが 1 つ移動されます。 結果は2.55。
答え: 2.55。
(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =
最初のステップは、括弧内の金額を列に追加します。カンマがカンマの下にあることに注意してください。 答えは 1.00 です。
2 番目のアクションは 2 番目のブラケットとの違いです。 被減数は減数よりも小数点以下の桁数が少ないため、不足している桁を追加します。 減算の結果は 0.125 です。
3 番目のステップは、合計を差で割ることです。 カンマは 3 桁移動されます。 結果は 1000 を 125 で割ったものになります。
答え: 8.
分母の異なる普通分数の例 5 年生 解説付き
最初にこの例では、分数 5/8 と 3/7 の合計を求めます。 共通の分母は数字 56 になります。追加の因数を見つけて、56:8 = 7 と 56:7 = 8 を割ります。それらをそれぞれ最初と 2 番目の分数に加えます。 分子とその因数を掛け合わせると、分数 35/56 と 24/56 の合計が得られます。 結果は59/56でした。 分数が不適切なので、帯分数に変換します。残りの例も同様に解決します。
トレーニング用の分数グレード 5 の例
便宜上、帯分数を仮分数に変換して演算します。
レゴを使って子供に分数の解き方を簡単に教える方法
このようなコンストラクターの助けを借りて、子供の想像力を育むだけでなく、株や分数が何であるかを遊び心のある方法で明確に説明することもできます。
下の図は、8 つの円がついた 1 つの部分が全体であることを示しています。 これは、円が 4 つあるパズルを解くと、半分または 1/2 が得られることを意味します。 この図は、パーツ上の円を数えると、レゴで例題を解く方法を明確に示しています。
下の図のように、特定の数のパーツからタワーを構築し、それぞれにラベルを付けることができます。 たとえば、7 ピースの砲塔を考えてみましょう。 グリーン構築セットの各ピースは1/7になります。 このような部品 1 つにさらに 2 つを追加すると、3/7 になります。 1/7+2/7 = 3/7 の例を視覚的に説明します。
数学で A を取るには、ルールを学び、練習することを忘れないでください。
この記事では、分数の演算について説明します。 形式 A B の分数の加算、減算、乗算、除算またはべき乗のルールが形成され、正当化されます。ここで、A および B は、数値、数値式、または変数を含む式です。 最後に、詳細な説明を含むソリューションの例を検討します。
一般的な分数を使用した演算を実行するための規則
一般的な分数には、自然数または数式を含む分子と分母があります。 3 5、2、8 4、1 + 2 3 4 (5 - 2)、3 4 + 7 8 2、3 - 0、8、1 2 2、π 1 - 2 3 + π などの分数を考えると、 2 0, 5 ln 3 の場合、分子と分母には数値だけでなく、さまざまなタイプの式を含めることができることがわかります。
定義 1
通常の分数の演算を実行するには規則があります。 一般的な分数にも適しています。
- 同様の分母を持つ分数を引き算する場合、分子のみが加算され、分母は同じままです。つまり、a d ± c d = a ± c d、値 a、c、d ≠ 0 は、数値または数式です。
- 分母の異なる分数を加算または減算する場合は、それを共通の分母に減算し、得られた同じ指数の分数を加算または減算する必要があります。 文字通り、これは次のようになります: a b ± c d = a · p ± c · r s、値 a、b ≠ 0、c、d ≠ 0、p ≠ 0、r ≠ 0、s ≠ 0 は実数です。そして b · p = d · r = s 。 p = d、r = b の場合、a b ± c d = a · d ± c · d b · d となります。
- 分数を乗算する場合、分子でアクションが実行され、その後分母で a b · c d = a · c b · d が得られます。ここで、a、b ≠ 0、c、d ≠ 0 は実数として機能します。
- 分数を分数で割るときは、最初の逆数と 2 番目の逆数を掛けます。つまり、分子と分母を入れ替えます: a b: c d = a b · d c。
ルールの根拠
定義 2計算する際に信頼すべき数学的ポイントは次のとおりです。
- スラッシュは除算記号を意味します。
- 数値による除算は、その逆数値による乗算として扱われます。
- 実数による演算の性質の適用。
- 分数と数値不等式の基本的な性質の応用。
彼らの助けを借りて、次のようなフォームの変換を実行できます。
a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · ps ± c · es = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d
例
前の段落では、分数の演算について説明しました。 この後、分数を簡略化する必要があります。 このトピックについては、分数の変換に関する段落で詳しく説明しました。
まず、分母が同じ分数の足し算と引き算の例を見てみましょう。
例1
分数 8 2, 7 と 1 2, 7 が与えられた場合、規則に従って分子を追加し、分母を書き直す必要があります。
解決
次に、8 + 1 2, 7 という形式の小数を取得します。 加算を実行すると、8 + 1 2、7 = 9 2、7 = 90 27 = 3 1 3 という形式の分数が得られます。 したがって、8 2、7 + 1 2、7 = 8 + 1 2、7 = 9 2、7 = 90 27 = 3 1 3となります。
答え： 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
別の解決策もあります。 まず、普通の分数の形式に切り替えてから、単純化を実行します。 次のようになります。
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
例 2
1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 から 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 という形式の小数を引きます。
等しい分母が与えられているため、同じ分母を持つ分数を計算していることになります。 それはわかります
1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1
分母が異なる分数の計算例があります。 重要な点は、共通の分母に還元することです。 これがないと、分数を使ったさらなる演算を実行できなくなります。
このプロセスは、漠然と共通分母への還元を思い出させます。 つまり、分母の最小公約数が検索され、その後、不足している因数が分数に加算されます。
加算される分数に共通因数がない場合、その積は 1 になる可能性があります。
例 3
分数 2 3 5 + 1 と 1 2 を加算する例を見てみましょう。
解決
この場合、共通の分母は分母の積です。 すると 2 · 3 5 + 1 が得られます。 次に、追加の係数を設定するとき、最初の分数は 2 に等しく、2 番目の分数は 3 5 + 1 になります。 乗算後、分数は 4 2 · 3 5 + 1 の形式に分解されます。 1 2 の一般的な縮小は、3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 となります。 結果として得られる分数式を加算すると、次のようになります。
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
答え： 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
一般的な分数を扱うときは、通常、最小公倍数については話しません。 分子の積を分母とするのは不利益です。 まず、その製品よりも価値の低い数値があるかどうかを確認する必要があります。
例 4
1 6 · 2 1 5 と 1 4 · 2 3 5 の積が 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 に等しい場合の例を考えてみましょう。 次に、12 · 2 3 5 を共通分母とします。
一般的な分数の掛け算の例を見てみましょう。
例5
これを行うには、2 + 1 6 と 2 · 5 3 · 2 + 1 を掛ける必要があります。
解決
ルールに従い、分子の積を分母として書き直す必要があります。 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 が得られます。 分数を乗算したら、それを簡素化するために約分を行うことができます。 すると、5・3・3・2＋1：10・9・3＝5・3・3・2＋1・9・3・10となります。
分数の逆数による割り算から掛け算への移行ルールを使用して、指定された分数の逆数である分数を取得します。 これを行うには、分子と分母を交換します。 例を見てみましょう:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
次に、結果の分数を乗算して単純化する必要があります。 必要に応じて、分母の非合理性を取り除きます。 それはわかります
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
答え： 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
この段落は、数値または数式が分母が 1 に等しい分数として表現できる場合に適用され、そのような分数を使用した演算は別の段落と見なされます。 たとえば、式 1 6 · 7 4 - 1 · 3 は、3 のルートを別の 3 1 式に置き換えることができることを示しています。 この場合、このエントリは 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 の形式の 2 つの分数を乗算するように見えます。
変数を含む分数に対する演算の実行
最初の記事で説明したルールは、変数を含む分数の演算に適用できます。 分母が同じ場合の減算ルールを考えてみましょう。
A、C、D (D はゼロではない) は任意の式であり、等式 A D ± C D = A ± C D がその許容値の範囲に等しいことを証明する必要があります。
一連の ODZ 変数を取得する必要があります。 次に、A、C、D は対応する値 a 0 、c 0 、および d0。 A D ± CD の形式を代入すると、a 0 d 0 ± c 0 d 0 の形式の差が生じます。ここで、加算規則を使用すると、a 0 ± c 0 d 0 の形式の式が得られます。 式 A ± CD を代入すると、a 0 ± c 0 d 0 という形式の同じ分数が得られます。 ここから、ODZ、A ± C D および A D ± C D を満たす選択された値は等しいとみなされると結論付けられます。
変数のどの値についても、これらの式は等しくなります。つまり、それらは全く等しいと呼ばれます。 これは、この式が A D ± C D = A ± C D という形式の証明可能な等式であるとみなされることを意味します。
変数を使用した分数の加算と減算の例
分母が同じ場合は、分子を加算または減算するだけで済みます。 この分数は簡略化できます。 場合によっては、まったく等しい分数を処理する必要がありますが、いくつかの変換を実行する必要があるため、一見するとこれは目立ちません。 たとえば、x 2 3 x 1 3 + 1 および x 1 3 + 1 2 または 1 2 sin 2 α および sin a cos a です。 ほとんどの場合、同じ分母を表示するには、元の式を簡略化する必要があります。
例6
計算: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2、2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 。
解決
- 計算するには、分母が同じ分数を引く必要があります。 次に、 x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 が得られます。 その後、括弧を展開して類似の用語を追加できます。 x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 がわかります。
- 分母が同じなので、あとは分母を残して分子を足していくだけです: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
追加が完了しました。 端数を削減できることがわかります。 その分子は、和の二乗の公式を使用して折りたたむことができ、(l g x + 2) 2 が得られます。 省略された乗算公式から。 それならわかります
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - 分母が異なる x - 1 x - 1 + x x + 1 の形式の分数を指定します。 変換後は追加に進むことができます。
2 つの解決策を考えてみましょう。
1 つ目の方法は、最初の分数の分母が平方を使用して因数分解され、その後約分されるというものです。 フォームの一部を取得します
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
したがって、 x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 となります。
この場合、分母の無理をなくす必要がある。
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
2 番目の方法は、2 番目の分数の分子と分母に式 x - 1 を乗算することです。 したがって、非合理性を取り除き、同じ分母を持つ分数の加算に進みます。 それから
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - × × - 1
答え： 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 。
最後の例では、共通分母への還元が避けられないことがわかりました。 これを行うには、分数を単純化する必要があります。 加算または減算するときは、常に共通の分母を探す必要があります。共通の分母は、分母と分子に追加の係数を加算した積のようなものです。
例 7
分数の値を計算します: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) 、3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x
解決
- 分母には複雑な計算は必要ないため、3 x 7 + 2 · 2 の形式の積を選択し、追加の係数として最初の分数に x 7 + 2 · 2 を選択し、2 番目の分数に 3 を選択する必要があります。 乗算すると、 x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 という形式の分数が得られます。 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- 分母が積の形式で表示されていることがわかります。これは、追加の変換が不要であることを意味します。 共通の分母は、 x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 の形式の積であるとみなされます。 したがって×4
は最初の分数への追加係数であり、ln(x + 1)
2番目に。 次に、減算して次の値を取得します。
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) )・2 x - 4 - sin x・ln x + 1 x 5・ln 2 (x + 1)・(2 x - 4) = = x + 1・x 4 - sin x・ln (x + 1) )x5・ln2(x+1)・(2x-4)=x・x4+x4-sinx・ln(x+1)x5・ln2(x+1)・( 2×-4） - この例は、分数の分母を扱う場合に意味があります。 二乗の差と和の二乗の公式を適用する必要があります。これにより、 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + 1 cos x + ) の形式の式に進むことができるためです。 x) 2. 分数が共通の分母に還元されることがわかります。 cos x - x · cos x + x 2 が得られます。
それならわかります
1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2
答え：
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 。
分数と変数の乗算の例
分数を掛ける場合、分子には分子が掛けられ、分母には分母が掛けられます。 次に、リダクション プロパティを適用できます。
例8
分数 x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 と 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x を掛けます。
解決
乗算を行う必要があります。 それはわかります
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
計算の便宜上、数字の 3 が先頭に移動され、分数を x 2 で減らすことができます。すると、次の形式の式が得られます。
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
答え： x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) 。
分割
最初の分数に 2 番目の逆数を掛けるため、分数の除算は乗算に似ています。 たとえば、分数 x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 を 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x で割ると、次のように書くことができます。
x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) を x + 2 · x x の形式の積に置き換えます。 2・ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)
べき乗
べき乗を伴う一般的な分数の演算の検討に移りましょう。 自然指数を持つ累乗がある場合、そのアクションは等しい分数の乗算と見なされます。 ただし、次数の特性に基づいた一般的なアプローチを使用することをお勧めします。 式 A および C (C がまったくゼロに等しくない場合)、および形式 A C r の式の ODZ 上の任意の実数 r (等式 A C r = A r C r) は有効です。 結果は分数の累乗になります。 たとえば、次のことを考えてみましょう。
x 0, 7 - π・ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π・ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5
分数を使った演算を行う手順
分数の演算は特定のルールに従って実行されます。 実際には、式に複数の分数または分数式が含まれる場合があることがわかります。 次に、すべての操作を厳密な順序で実行する必要があります。累乗、乗算、除算、加算と減算です。 括弧がある場合は、括弧内で最初のアクションが実行されます。
例9
1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x を計算します。
解決
分母が同じなので、1 - x cos x と 1 c o s x になりますが、規則に従って減算を実行することはできません。最初に括弧内のアクションが実行され、次に乗算、次に加算が実行されます。 次に、計算すると、次のようになります
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
この式を元の式に代入すると、1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x が得られます。 分数の掛け算では、1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x となります。 すべての置換を行うと、1 - x cos x - x + 1 cos x · x が得られます。 次に、分母が異なる分数を扱う必要があります。 我々が得る：
x・1 - x cos x・x - x + 1 cos x・x = x・1 - x - 1 + x cos x・x = = x - x - x - 1 cos x・x = - x + 1 cos ××
答え： 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x 。
テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。
分数を使用したアクション。
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
それで、分数、分数の種類、変換とは何ですか - 思い出しました。 本題に入りましょう。
分数を使って何ができるでしょうか?はい、すべて通常の数字と同じです。 加算、減算、乗算、除算。
これらすべてのアクションは、 10進数分数を扱うことは、整数を扱うことと何ら変わりません。 実際、それが小数点の良いところです。 唯一のことは、カンマを正しく入力する必要があるということです。
帯分数、すでに述べたように、ほとんどのアクションにはほとんど役に立ちません。 通常の分数に変換する必要があります。
しかし、とのアクションは、 普通の分数彼らはもっと狡猾になるだろう。 そしてさらに重要なことです！ 思い出させてください: 文字、サイン、未知数などを含む分数式を使用するすべてのアクションは、通常の分数を使用するアクションと何ら変わりません。！ 普通の分数を使った演算はすべての代数の基礎です。 このような理由から、ここではこのすべての算術を詳細に分析します。
分数の足し算と引き算。
誰もが同じ分母を持つ分数の足し算（引き算）ができるようになります（本当にそう願っています！）。 さて、すっかり忘れっぽい人に思い出してもらいたいのですが、足す（引く）とき、分母は変わりません。 分子を加算 (減算) して、結果の分子を求めます。 タイプ：
一般的に言えば、次のようになります。
分母が違う場合はどうなるでしょうか？ 次に、分数の基本的な性質を使用して (ここでも便利です!)、分母を同じにします。 例えば：
ここでは、分数 2/5 から分数 4/10 を作成する必要がありました。 分母を同じにするという唯一の目的のため。 念のため言っておきますが、2/5 と 4/10 は 同じ分数！ 私たちにとって不便なのは 2/5 だけで、4/10 は本当に問題ありません。
ちなみに、これは数学の問題を解くための本質です。 私たちがからのとき 不快私たちは表現をします 同じことですが、解決するのにより便利です.
もう一つの例：
状況も同様です。 ここでは、16 のうち 48 を作ります。単純に 3 を掛けます。これはすべて明らかです。 しかし、次のようなものに遭遇しました。
どうやって？ 7 点中 9 点を出すのは難しいです。 しかし、私たちは賢いのでルールを知っています。 変身しましょう 毎分母が同じになるように分数します。 これを「共通の分母に減らす」といいます。
おお！ 63 についてどうやって知りましたか? とてもシンプルです！ 63 は 7 と 9 で同時に割り切れる数です。 このような数は、分母を乗算することで常に取得できます。 たとえば、数値を 7 で乗算すると、結果は必ず 7 で割り切れます。
いくつかの分数を加算 (減算) する必要がある場合、2 つずつ段階的に行う必要はありません。 すべての分数に共通する分母を見つけて、各分数をこの同じ分母に減らすだけです。 例えば：
そしてその共通点は何でしょうか？ もちろん、2、4、8、16 を掛けることもできます。結果は 1024 になります。悪夢です。 16 という数字は 2、4、8 で完全に割り切れると推定する方が簡単です。したがって、これらの数字から 16 を得るのは簡単です。この数字が公分母になります。 1/2 を 8/16 に、3/4 を 12/16 に、というように変換してみましょう。
ちなみに、1024を共通分母にすると、すべてがうまくいき、最終的にはすべてが削減されます。 しかし、計算上の理由から、誰もがこの目的に到達できるわけではありません...
自分で例を完成させてください。 ある種の対数ではありません...29/16 であるはずです。
それで、分数の足し算（引き算）は明らかだと思いますか？ もちろん、乗数を追加した短縮バージョンで作業する方が簡単です。 しかし、この喜びは、低学年で誠実に取り組み、何も忘れなかった人に与えられます。
そして今度は同じアクションを実行しますが、分数ではなく、 分数式。 新しい熊手はここで明らかになります、そうです...
したがって、2 つの分数式を追加する必要があります。
分母を同じにする必要があります。 そして助けがあってこそ 乗算！ これが分数の主な性質によって決まります。 したがって、分母の最初の分数の X に 1 を加えることができません。 （それはいいね！）。 しかし、分母を掛け合わせると、すべてが一緒に大きくなります。 そこで、分数の行を書き留め、上部に空白を残して追加し、分母の積を下に忘れないように書きます。
そしてもちろん、右側には何も掛けず、かっこも開きません。 ここで、右側の共通分母を見ると、最初の分数の分母 x(x+1) を取得するには、この分数の分子と分母に (x+1) を掛ける必要があることがわかります。 。 そして2番目の部分ではxに。 得られるものは次のとおりです。
注記！ ここに括弧があります！ 多くの人が踏む熊手です。 もちろん括弧ではなく、括弧が存在しないことです。 乗算しているため括弧が表示されます 全て分子と 全て分母！ そして彼らの個々の作品ではありません...
右側の分子には分子の合計を書きます。すべては分数で表されます。次に、右側の分子の括弧を開けます。 すべてを掛け合わせて、同様のものを与えます。 分母の括弧を開けたり、何かを掛けたりする必要はありません。 一般に、分母（任意）において、製品は常により快適になります。 我々が得る：
それで答えが得られました。 このプロセスは長くて難しいように見えますが、練習次第です。 例題を解いて慣れてしまえば、すべてが簡単になります。 やがて分数をマスターした人は、これらすべての操作を左手 1 つで自動的に実行します。
そしてもう一つ注意事項。 多くの人は分数を賢く扱いますが、次の例で行き詰まってしまいます。 全体数字。 例: 2 + 1/2 + 3/4= ? ツーピースをどこに留めるか？ どこにでも固定する必要はありません。2 分の 1 を作る必要があります。 簡単ではありませんが、とても簡単です! 2=2/1。 このような。 任意の整数を分数として書くことができます。 分子は数値そのもの、分母は 1 です。 7 は 7/1、3 は 3/1 などです。 手紙も同じです。 (a+b) = (a+b)/1、x=x/1 など。 そして、すべてのルールに従ってこれらの分数を処理します。
さて、分数の足し算と引き算の知識が新しくなりました。 ある種類の分数を別の種類に変換することを繰り返しました。 検査を受けることもできます。 少し解決しましょうか？）
計算します:
答え（混乱中）：
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
分数の掛け算と割り算 - 次のレッスンで。 分数を含むすべての演算のタスクもあります。
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