簡単に言えば、これらは分母に少なくとも 1 つの変数がある方程式です。
例えば：
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)
\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)
分数有理方程式はどのように解かれるのでしょうか?
分数有理方程式について覚えておくべき主な点は、分数有理方程式を記述する必要があるということです。 そして、ルーツを見つけたら、そのルーツが許容できるかどうかを必ずチェックしてください。 そうしないと、無関係なルートが表示され、決定全体が間違っていると見なされます。
分数有理方程式を解くアルゴリズム:
ODZ を書き留めて「解決」します。
方程式の各項に次の値を掛けます。 共通点そして得られた端数を減らします。 分母が消えてしまいます。
括弧を開けずに式を書きます。
結果として得られる方程式を解きます。
見つかったルートをODZで確認します。
ステップ 7 のテストに合格したルートを答えに書き留めてください。
アルゴリズムを暗記する必要はありません。3 ～ 5 個の方程式を解けば、自動的に覚えられます。
例 。 分数有理方程式を解く \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)
解決：
答え： \(3\).
例 。 分数有理方程式 \(=0\) の根を求めます。
解決：
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\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
ODZ を書き留めて「解決」します。 \(x^2+7x+10\) を次の式に従って展開します: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)。 |
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\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\) |
明らかに、分数の共通の分母は \((x+2)(x+5)\) です。 方程式全体にそれを掛けます。 |
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\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) |
分数の約定 |
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\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
ブラケットを開く |
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\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
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類似の用語を紹介します |
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\(2x^2+9x-5=0\) |
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方程式の根を求める |
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\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\) |
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ルートの 1 つは ODZ に適合しないため、回答には 2 番目のルートのみを書きます。 |
答え： \(\frac(1)(2)\)。
有理方程式と分数有理方程式について理解し、その定義と例を示し、最も一般的なタイプの問題も分析しましょう。
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有理方程式: 定義と例
合理的な表現への慣れは学校 8 年生から始まります。 この時期、代数学の授業では、ノートに有理式を含む方程式を含む課題に遭遇する生徒が増えています。 それが何であるかを思い出してみましょう。
定義 1
有理方程式は両辺に有理式を含む方程式です。
で さまざまなメリットもう一つの定式化が見つかります。
定義 2
有理方程式- これは方程式で、左側に有理式が含まれ、右側にゼロが含まれます。
有理方程式に対して与えた定義は、同じことについて話しているため、同等です。 私たちの言葉の正しさは、あらゆる合理的な表現について次のような事実によって確認されます。 Pそして Q方程式 P = Qそして P − Q = 0等価な表現になります。
それでは例を見てみましょう。
例1
有理方程式:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 。
有理方程式には、他のタイプの方程式と同様に、1 から数個までの任意の数の変数を含めることができます。 まず見てみましょう 簡単な例、方程式には変数が 1 つだけ含まれます。 そして、徐々にタスクを複雑にしていきます。
有理方程式は 2 つに分けられます 大人数のグループ: 整数と分数。 各グループにどのような方程式が適用されるかを見てみましょう。
定義 3
有理方程式の左側と右側に有理式全体が含まれている場合、その有理方程式は整数になります。
定義 4
有理方程式の一方または両方の部分に分数が含まれる場合、有理方程式は分数になります。
分数有理方程式には必ず変数による除算が含まれるか、分母に変数が存在します。 方程式全体を記述する際にそのような分割はありません。
例 2
3 × + 2 = 0そして (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– 有理方程式全体。 ここで、方程式の両辺は整数式で表されます。
1 x - 1 = x 3 および x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5は分数有理方程式です。
全体の有理方程式には、一次方程式と二次方程式が含まれます。
方程式全体を解く
このような方程式を解くには、通常、それらを等価な代数方程式に変換する必要があります。 これは、次のアルゴリズムに従って方程式の等価変換を実行することで実現できます。
- まず、方程式の右側でゼロを取得します。これを行うには、方程式の右側にある式を左側に移動し、符号を変更する必要があります。
- 次に、方程式の左側の式を多項式に変換します。 標準ビュー.
代数方程式を取得する必要があります。 この式は元の式と等価になります。 簡単なケースでは、方程式全体を線形または二次方程式に還元して問題を解決できます。 一般に、次数の代数方程式を解きます。 n.
例 3
方程式全体の根を見つける必要があります 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
解決
等価な代数方程式を取得するために、元の式を変換してみましょう。 これを行うには、方程式の右側に含まれる式を左側に移し、符号を反対の符号に置き換えます。 結果として、次のことが得られます。 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
次に、左辺の式を標準形式の多項式に変換して、次のようにします。 必要なアクションこの多項式を使用すると、次のようになります。
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
元の方程式の解を次の形式の二次方程式の解に還元することに成功しました。 × 2 − 5 × − 6 = 0。 この方程式の判別式は正です。 D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 。これは、実際のルートが 2 つあることを意味します。 二次方程式の根の公式を使用してそれらを見つけてみましょう。
x = - - 5 ± 49 2 1、
x 1 = 5 + 7 2 または x 2 = 5 - 7 2、
x 1 = 6 または x 2 = - 1
解決中に見つけた方程式の根が正しいかどうかを確認してみましょう。 このために、受け取った数値を元の方程式に代入します。 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3そして 3・(−1+1)・(−1−3)＝(−1)・(2・(−1)−1)−3。 最初のケースでは 63 = 63 、2番目に 0 = 0 。 ルーツ x = 6そして x = − 1実際、条件例で与えられた方程式の根です。
答え： 6 , − 1 .
「方程式全体の次数」が何を意味するかを見てみましょう。 方程式全体を代数形式で表す必要がある場合に、この用語によく遭遇します。 概念を定義しましょう。
定義5
方程式全体の次数- これが程度です 代数方程式、元の整数方程式と等価です。
上の例の方程式を見ると、この方程式全体の次数が 2 番目であることがわかります。
私たちのコースが 2 次方程式を解くことに限定されている場合、このトピックの議論はそこで終わる可能性があります。 しかし、それはそれほど単純ではありません。 3次方程式を解くことは困難を伴います。 そして 4 次以上の方程式については、一般的な根の公式はまったくありません。 この点に関して、3次、4次、その他の次数の方程式全体を解くには、他の多くの技術や方法を使用する必要があります。
有理方程式全体を解くために最も一般的に使用されるアプローチは、因数分解法に基づいています。 この場合のアクションのアルゴリズムは次のとおりです。
- レコードの右側にゼロが残るように、式を右側から左側に移動します。
- 左側の式を因子の積として表し、次にいくつかの単純な方程式のセットに進みます。
方程式 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) の解を求めます。
解決
反対の符号を使用して、式をレコードの右側から左側に移動します。 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0。 左辺を標準形式の多項式に変換すると、次の 4 次の代数方程式が得られるため、不適切です。 × 4 − 12 × 3 + 32 × 2 − 16 × − 13 = 0。 変換が簡単だからといって、そのような方程式を解く際のすべての困難が正当化されるわけではありません。
逆の方がずっと簡単です。括弧内の共通因数を取り除きましょう x 2 − 10 x + 13 。したがって、次の形式の方程式に到達します。 (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0。 次に、結果の方程式を 2 つの二次方程式のセットに置き換えます。 × 2 − 10 × + 13 = 0そして x 2 − 2 x − 1 = 0そして判別式を通じてそれらの根を見つけます: 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。
答え： 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。
同様に、新しい変数を導入する方法も使用できます。 この方法により、元の整数方程式の次数よりも低い次数をもつ等価な方程式を得ることができます。
例5
方程式には根がありますか? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
解決
ここで、有理方程式全体を代数方程式に還元しようとすると、有理根を持たない次数 4 の方程式が得られます。 したがって、別の方法、つまり方程式内の式を置き換える新しい変数 y を導入する方が簡単です。 × 2 + 3 ×.
次に、方程式全体を扱います (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4)。 方程式の右側を反対の符号で左側に移動し、必要な変換を実行してみましょう。 我々が得る： y 2 + 4 y + 3 = 0。 二次方程式の根を求めてみましょう。 y = − 1そして y = − 3.
では、逆の置換を行ってみましょう。 2つの方程式が得られます x 2 + 3 x = − 1そして x 2 + 3 · x = − 3 。それらを x 2 + 3 x + 1 = 0 として書き換えてみましょう。 × 2 + 3 × + 3 = 0。 得られた方程式から最初の方程式の根を求めるために、二次方程式の根の公式を使用します: - 3 ± 5 2。 2 番目の式の判別式は負です。 これは、2 番目の方程式には実根がないことを意味します。
答え：- 3 ± 5 2
高次の方程式全体が問題に頻繁に登場します。 彼らを恐れる必要はありません。 多くの人為的な変換を含む、非標準的な方法を使用して問題を解決する準備ができている必要があります。
分数有理方程式を解く
このサブトピックの考察は、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムから始めます。 p(x)そして q(x)– 合理的な表現全体。 他の分数有理方程式の解は、常に指定されたタイプの方程式の解に帰着できます。
方程式 p (x) q (x) = 0 を解くために最も一般的に使用される方法は、次のステートメントに基づいています。 うーん、 どこ v– これはゼロとは異なる数値であり、分数の分子が次の場合にのみゼロに等しくなります。 ゼロに等しい。 上記の論理に従うと、方程式 p (x) q (x) = 0 の解は 2 つの条件を満たすことに帰着できると主張できます。 p(x)=0そして q(x) ≠ 0。 これは、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムを構築するための基礎です。
- 有理方程式全体の解を見つける p(x)=0;
- 解法中に見つかった根について条件が満たされているかどうかを確認します q(x) ≠ 0.
この条件が満たされている場合、ルートが見つかります。そうでない場合、ルートは問題の解決策ではありません。
例6
方程式 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 の根を求めてみましょう。
解決
ここでは、p (x) q (x) = 0 という形式の分数有理方程式を扱っています。ここで、p (x) = 3 x − 2、q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 です。 一次方程式を解き始めましょう 3×−2＝0。 この方程式の根は次のようになります。 x = 2 3.
見つかったルートが条件を満たしているかどうかを確認してみましょう 5×2−2≠0。 これを行うには、次のように置き換えましょう 数値表現に。 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 が得られます。
条件は満たされています。 だということだ x = 2 3元の方程式の根です。
答え： 2 3 .
分数有理方程式 p (x) q (x) = 0 を解く別のオプションもあります。 この方程式は方程式全体と等価であることを思い出してください。 p(x)=0地域の 許容可能な値元の方程式の変数 x。 これにより、方程式 p (x) q (x) = 0 を解く際に次のアルゴリズムを使用できるようになります。
- 方程式を解く p(x)=0;
- 変数 x の許容値の範囲を見つけます。
- 変数 x の許容値の範囲内にある根を、元の分数有理方程式の目的の根として取得します。
方程式 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 を解きます。
解決
まずは決めてみましょう 二次方程式 x 2 − 2 x − 11 = 0。 その根を計算するには、偶数 2 番目の係数の根の公式を使用します。 我々が得る D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12、x = 1 ± 2 3 です。
これで、元の方程式の変数 x の ODZ を見つけることができます。 これらはすべて、 × 2 + 3 × ≠ 0。 それと同じです x (x + 3) ≠ 0, ここで、x ≠ 0、x ≠ − 3 となります。
ここで、解の最初の段階で得られた根 x = 1 ± 2 3 が変数 x の許容値の範囲内にあるかどうかを確認してみましょう。 彼らが入ってくるのが見えます。 これは、元の分数有理方程式には 2 つの根 x = 1 ± 2 3 があることを意味します。
答え： x = 1 ± 2 3
2 番目に説明した解決方法 最初よりも簡単です変数 x の許容値の範囲が簡単に見つかる場合と、方程式の根 p(x)=0不合理な。 たとえば、7 ± 4 · 26 9 です。 根は有理数になることがありますが、分子または分母が大きくなります。 例えば、 127 1101 そして − 31 59 。 状態確認の手間が省けます q(x) ≠ 0: ODZ に従って適切ではないルートを除外する方がはるかに簡単です。
方程式の根が p(x)=0が整数である場合、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くために、説明されている最初のアルゴリズムを使用する方が適切です。 方程式全体の根をより速く見つける p(x)=0、条件が満たされているかどうかを確認します。 q(x) ≠ 0 ODZ を見つけてから方程式を解くのではなく、 p(x)=0このODZで。 これは、そのような場合、DZ を見つけるよりも確認する方が通常は簡単であるという事実によるものです。
例8
方程式の根を求めます (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0。
解決
方程式全体を見てみましょう (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0そしてそのルーツを見つけること。 これを行うには、因数分解を通じて方程式を解く方法を適用します。 元の方程式は、4 つの方程式 2 x − 1 = 0、x − 6 = 0、x 2 − 5 x + 14 = 0、x + 1 = 0 のセットと等価であることがわかります。そのうち 3 つは線形であり、 1つは二次関数です。 根を求める: 最初の方程式から x = 1 2、2番目から – x = 6、3 番目から – x = 7 、x = − 2、4 番目から – x = − 1.
取得したルートを確認してみましょう。 この場合、5 次の代数方程式を解く必要があるため、ODZ を決定することは困難です。 方程式の左側にある分数の分母がゼロにならない条件を確認するのが簡単になります。
式内の変数 x の根を順番に置き換えてみましょう ×5−15×4＋57×3−13×2＋26×＋112そしてその値を計算します。
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 。
実行された検証により、元の分数有理方程式の根が 1、2、6、および − 2 .
答え： 1 2 , 6 , - 2
例9
分数有理方程式 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 の根を求めます。
解決
方程式を使ってみましょう (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0。 そのルーツを探ってみましょう。 この方程式は二次方程式と二次方程式の組み合わせであると想像するのが簡単です。 一次方程式 5×2−7×−1＝0そして x − 2 = 0.
根を求めるには、二次方程式の根の公式を使用します。 最初の方程式から 2 つの根 x = 7 ± 69 10 が得られ、2 番目の方程式から 2 つの根が得られます。 x = 2.
根の値を元の式に代入して条件を確認するのは非常に困難です。 変数 x の ODZ を決定するのが簡単になります。 この場合、変数 x の ODZ は、条件を満たすものを除くすべての数値になります。 × 2 + 5 × − 14 = 0。 x ∈ - ∞、- 7 ∪ - 7、2 ∪ 2、+ ∞ が得られます。
次に、見つかった根が変数 x の許容値の範囲に属しているかどうかを確認してみましょう。
根 x = 7 ± 69 10 - が属しているため、これらは元の方程式の根であり、 x = 2- には属していないため、無関係なルートです。
答え： x = 7 ± 69 10 。
p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式の分子に数値が含まれる場合を個別に調べてみましょう。 このような場合、分子にゼロ以外の数値が含まれていると、方程式には根がありません。 この数値がゼロに等しい場合、方程式の根は ODZ からの任意の数値になります。
例 10
分数有理方程式 - 3、2 x 3 + 27 = 0 を解きます。
解決
方程式の左側の分数の分子にゼロ以外の数値が含まれるため、この方程式には根がありません。 これは、x のどの値でも、問題ステートメントで指定された分数の値がゼロに等しくなることを意味します。
答え：根がない。
例 11
方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 を解きます。
解決
分数の分子にはゼロが含まれるため、方程式の解は変数 x の ODZ からの任意の値 x になります。
次に、ODZ を定義しましょう。 これには、x のすべての値が含まれます。 × 4 + 5 × 3 ≠ 0。 方程式の解 × 4 + 5 × 3 = 0は 0 そして − 5 、この方程式は次の方程式と同等であるため、 × 3 (x + 5) = 0、そしてこれは、2 つの方程式 x 3 = 0 と を組み合わせたものと等価です。 x + 5 = 0、これらの根が見える場所。 許容可能な値の望ましい範囲は、x を除く任意の x であるという結論に達します。 x = 0そして x = − 5.
分数有理方程式 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 には、0 と - 5 以外の任意の数である解が無限に存在することがわかります。
答え： - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
さて、分数有理方程式について話しましょう 任意の型そしてそれらを解決するための方法。 それらは次のように書くことができます r(x) = s(x)、 どこ 処方箋）そして s(x)– 有理式。そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 このような方程式を解くことは、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くことになります。
方程式の右側の式を反対の符号を付けて左側に移すことで等価な方程式が得られることはすでにわかっています。 これは、方程式が r(x) = s(x)は次の方程式と等価です r (x) − s (x) = 0。 有理式を有理分数に変換する方法についてもすでに説明しました。 このおかげで、方程式を簡単に変形できます r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) という形式の同一の有理分数に変換します。
これが、元の分数有理方程式から移行する方法です。 r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 という形式の方程式に変換します。これはすでに解き方を学習しています。
から移行する場合は、次のことを考慮する必要があります。 r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0 になり、その後、 p(x)=0変数 x の許容値の範囲の拡大は考慮に入れていない可能性があります。
元の式が r(x) = s(x)と方程式 p(x)=0変換の結果、それらは同等ではなくなります。 次に、方程式の解 p(x)=0私たちにとって異質な根を与える可能性があります r(x) = s(x)。 この点に関して、それぞれの場合において、上記のいずれかの方法を使用して検証を実行する必要があります。
このトピックを学びやすくするために、次の形式の分数有理方程式を解くためのアルゴリズムにすべての情報をまとめました。 r(x) = s(x):
- 右側から反対の符号を付けて式を転送すると、右側にゼロが得られます。
- 元の式を有理分数 p (x) q (x) に変換し、分数と多項式の演算を順次実行します。
- 方程式を解く p(x)=0;
- 無関係な根が ODZ に属していることを確認するか、元の式に代入することによって、無関係な根を特定します。
視覚的には、一連のアクションは次のようになります。
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → 消去 外部ルート
例 12
分数有理方程式 x x + 1 = 1 x + 1 を解きます。
解決
方程式 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 に移りましょう。 方程式の左側にある分数有理式を p (x) q (x) の形式に変換しましょう。
これを行うには、有理分数を公分母に減らし、式を単純化する必要があります。
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
方程式 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 の根を見つけるには、方程式を解く必要があります。 − 2 × − 1 = 0。 ルートを 1 つ取得します x = - 1 2.
いずれかの方法を使用して確認するだけです。 両方を見てみましょう。
結果の値を元の式に代入してみましょう。 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 となります。 正しい数値的等価性が得られました − 1 = − 1 。 だということだ x = − 1 2元の方程式の根です。
次に、ODZ を確認してみましょう。 変数 x の許容値の範囲を決定してみましょう。 これは、− 1 と 0 を除く数値のセット全体になります (x = − 1 と x = 0 では、分数の分母は消えます)。 入手した根 x = − 1 2 ODZ所属。 これは、元の方程式の根であることを意味します。
答え： − 1 2 .
例 13
方程式 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x の根を求めます。
解決
私たちは分数有理方程式を扱っています。 したがって、アルゴリズムに従って行動します。
逆の符号を使用して式を右側から左側に移動しましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
必要な変換を実行してみましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x。
という方程式にたどり着きます x = 0。 この方程式の根はゼロです。
この根が元の方程式に無関係であるかどうかを確認してみましょう。 この値を元の方程式 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 に代入してみましょう。 ご覧のとおり、結果として得られる方程式は意味がありません。 これは、0 が無関係な根であり、元の分数有理方程式には根がないことを意味します。
答え：根がない。
アルゴリズムに他の同等の変換が含まれていない場合でも、それが使用できないという意味ではありません。 このアルゴリズムは普遍的ですが、制限するものではなく、支援するように設計されています。
例 14
方程式 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 を解きます。
解決
最も簡単な方法は、アルゴリズムに従って指定された分数有理方程式を解くことです。 しかし、別の方法もあります。 考えてみましょう。
右辺と左辺から 7 を引くと、1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 が得られます。
このことから、左側の分母の式は右側の数値の逆数、つまり 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 に等しくなければならないと結論付けることができます。
両辺から 3 を引きます: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7。 類推により、2 + 1 5 - x 2 = 7 3、ここから 1 5 - x 2 = 1 3、そして 5 - x 2 = 3、x 2 = 2、x = ± 2
見つかった根が元の方程式の根であるかどうかを判断するチェックを実行してみましょう。
答え： x = ± 2
テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。
この式を簡略化するために最小公倍数が使用されます。この方法は、方程式の各辺に 1 つの有理式を使用して特定の方程式を書くことができない (および乗算の十字法を使用できない) 場合に使用されます。 この方法は、3 つ以上の分数を含む有理方程式が与えられた場合に使用されます (分数が 2 つの場合は、十字乗算を使用する方が適切です)。
分数の最小公倍数 (または最小公倍数) を見つけます。 NOZは 最小の数、各分母で均等に割り切れます。
- NPD が明らかな数字である場合もあります。 たとえば、式 x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 が与えられた場合、数値 3、2、および 6 の最小公倍数が 6 であることは明らかです。
- NCD が明らかでない場合は、最大の分母の倍数を書き留め、その中から他の分母の倍数となるものを見つけます。 多くの場合、NOD は 2 つの分母を単純に乗算することで求めることができます。 たとえば、方程式が x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 である場合、NOS = 8*9 = 72 となります。
- 1 つ以上の分母に変数が含まれる場合、プロセスは多少複雑になります (ただし、不可能ではありません)。 この場合、NOC は各分母で除算された式 (変数を含む) になります。 たとえば、式 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) では、この式は各分母で除算されるため、3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)。
各分数の分子と分母の両方に、NOC を各分数の対応する分母で割った結果に等しい数値を掛けます。 分子と分母の両方に同じ数値を掛けているため、実質的には分数に 1 を掛けていることになります (たとえば、2/2 = 1 または 3/3 = 1)。
- したがって、この例では、x/3 に 2/2 を乗算して 2x/6 を取得し、1/2 に 3/3 を乗算して 3/6 を取得します (小数部 3x +1/6 は乗算する必要はありません。分母は6)。
- 変数が分母にある場合も同様に操作します。 2 番目の例では、NOZ = 3x(x-1) なので、5/(x-1) に (3x)/(3x) を乗算して、5(3x)/(3x)(x-1) を取得します。 1/x に 3(x-1)/3(x-1) を掛けると、3(x-1)/3x(x-1) が得られます。 2/(3x) に (x-1)/(x-1) を掛けると、2(x-1)/3x(x-1) が得られます。
xを見つけてください。分数を共通の分母に減らすことができたので、分母を取り除くことができます。 これを行うには、方程式の各辺に共通の分母を掛けます。 次に、結果の方程式を解きます。つまり、「x」を見つけます。 これを行うには、方程式の片側の変数を分離します。
- この例では、2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6 となります。 同じ分母を持つ 2 つの分数を加算できるため、方程式は (2x+3)/6=(3x+1)/6 のように書きます。 方程式の両辺に 6 を掛け、分母を取り除きます: 2x+3 = 3x +1。 これを解くと x = 2 が得られます。
- 2 番目の例 (分母に変数を使用) では、方程式は次のようになります (公分母に換算した後): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1)。 方程式の両辺に N3 を掛けると、分母を取り除き、次のようになります。 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)、または 15x = 3x - 3 + 2x -2、または15x = x - 5 これを解くと、x = -5/14 が得られます。
分数有理方程式を解く
有理方程式とは、左辺と右辺の両方が有理式である方程式です。
(覚えておいてください: 有理式は、根号のない整数式と分数式であり、加算、減算、乗算、除算の演算が含まれます - 例: 6x; (m – n)2; x/3y など)
分数有理方程式は通常、次の形式に変換されます。
どこ P(バツ） そして Q(バツ) は多項式です。
このような方程式を解くには、方程式の両辺に Q(x) を掛けます。これにより、無関係な根が現れる可能性があります。 したがって、分数有理方程式を解くときは、求められた根を確認する必要があります。
変数を含む式で除算されない場合、有理方程式は全体または代数方程式と呼ばれます。
有理方程式全体の例:
5x – 10 = 3(10 – x)
3倍
- = 2x – 10
4
有理方程式に変数 (x) を含む式による除算がある場合、その方程式は分数有理数と呼ばれます。
分数有理方程式の例:
15
x + - = 5x – 17
バツ
分数有理方程式は通常、次のように解きます。
1) 分数の共通分母を見つけて、方程式の両辺にそれを掛けます。
2) 結果として得られる方程式全体を解きます。
3) 分数の公分母をゼロにするものを根から除外します。
整数および分数の有理方程式を解く例。
例 1. 方程式全体を解いてみましょう
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
解決：
最小公倍数を見つける。 これは 6 です。6 を分母で割り、その結果に各分数の分子を掛けます。 これと等価な方程式が得られます。
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
左右にあるので 同じ分母、省略可能です。 次に、より単純な方程式が得られます。
3(x – 1) + 4x = 5x。
括弧を開いて類似の用語を組み合わせることで、この問題を解決します。
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
例は解決されました。
例 2. 分数有理方程式を解く
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
共通点を見つける。 これは x(x – 5) です。 それで：
× 2 – 3x × – 5 × + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
すべての式で同じであるため、分母を再び取り除きます。 同様の項を削減し、方程式をゼロに等しくして、二次方程式を取得します。
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
× 2 – 3x – 10 = 0。
二次方程式を解くと、その根、-2 と 5 がわかります。
これらの数値が元の方程式の根であるかどうかを確認してみましょう。
x = –2 では、共通分母 x(x – 5) は消えません。 これは、-2 が元の方程式の根であることを意味します。
x = 5 では、共通分母が 0 になり、3 つの式のうち 2 つは意味を失います。 これは、数字 5 が元の方程式の根ではないことを意味します。
答え: x = –2
他の例
例1.
x 1 = 6、x 2 = - 2.2。
答え: -2、2;6。
例2。
全体の表現は、 数式、加算、減算、乗算の演算を使用する数字とアルファベットの変数で構成されます。 整数には、ゼロ以外の数値による除算を含む式も含まれます。
分数有理式の概念
分数式は、数値と文字変数を使用して実行される加算、減算、乗算の演算、およびゼロ以外の数値による除算に加えて、文字変数を使用した式への除算も含む数式です。
有理式はすべて整数式と分数式です。 有理方程式とは、左辺と右辺が有理式である方程式です。 有理方程式の左辺と右辺が整数式である場合、そのような有理方程式は整数と呼ばれます。
有理方程式の左辺または右辺が 分数式、このような有理方程式は分数と呼ばれます。
分数有理式の例
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
分数有理方程式を解くスキーム
1. 方程式に含まれるすべての分数の共通分母を見つけます。
2. 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。
3. 結果として得られる方程式全体を解きます。
4. 根を確認し、共通分母を消滅させる根を除外します。
分数の有理方程式を解いているので、分数の分母には変数が含まれます。 つまり、それらは共通項となるということです。 そして、アルゴリズムの 2 番目のポイントでは、共通の分母を乗算します。そうすると、無関係な根が現れる可能性があります。 この場合、共通分母はゼロになります。つまり、共通分母を掛けても意味がありません。 したがって、最後に取得したルートを確認する必要があります。
例を見てみましょう:
分数有理方程式を解きます: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))。
こだわります 一般的なスキーム: まず、すべての分数の共通分母を見つけてみましょう。 x*(x-5) が得られます。
各分数に共通の分母を掛けて、結果として得られる式全体を書きます。
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
結果として得られる方程式を単純化してみましょう。 我々が得る：
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
単純な縮小二次方程式が得られます。 以下のいずれかで解決します 既知の方法、根 x=-2 と x=5 が得られます。
次に、取得した解を確認します。
数値 -2 と 5 を共通の分母に代入します。 x=-2 では、共通分母 x*(x-5) は消えず、-2*(-2-5)=14 となります。 これは、数値 -2 が元の分数有理方程式の根になることを意味します。
x=5 では、公分母 x*(x-5) はゼロになります。 したがって、ゼロによる除算が行われるため、この数値は元の分数有理方程式の根ではありません。
