微分値を求める操作を微分といいます。
引数の増分に対する増分の比率の限界として導関数を定義することによって、最も単純な (そしてそれほど単純ではない) 関数の導関数を見つける問題を解決した結果、導関数の表が現れ、正確に導関数が表示されました。 特定のルール差別化。 導関数の発見の分野で最初に取り組んだのは、アイザック ニュートン (1643-1727) とゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツ (1646-1716) でした。
したがって、現代では、関数の導関数を求めるために、関数の増分と引数の増分の比率の上記の制限を計算する必要はなく、次の表を使用するだけで済みます。導関数と微分の法則。 次のアルゴリズムは導関数を見つけるのに適しています。
導関数を求めるには、プライム記号の下に式が必要です 単純な機能をコンポーネントに分解するそしてどのようなアクションを行うかを決定します (積、和、商)これらの機能は関連しています。 さらなる派生製品 初等関数導関数の表には、積、和、商の導関数の公式が微分の規則に含まれています。 導関数テーブルと微分規則は、最初の 2 つの例の後に示されています。
例1.関数の導関数を求める
解決。 微分規則から、関数の和の導関数は関数の導関数の和であることがわかります。
導関数の表から、「x」の導関数は 1 に等しく、サインの導関数はコサインに等しいことがわかります。 これらの値を導関数の合計に代入し、問題の条件に必要な導関数を求めます。
例2。関数の導関数を求める
解決。 第 2 項が定数因数を持つ和の導関数として微分します。これは導関数の符号から取り出すことができます。
何かがどこから来たのかについて依然として疑問が生じた場合、通常は導関数の表と最も単純な微分の規則を理解した後で疑問が解消されます。 私たちは今、それらに向かって進んでいます。
単純な関数の導関数の表
| 1. 定数（数値）の導関数。 関数式内の任意の数値 (1、2、5、200...)。 常にゼロに等しくなります。 これは非常に頻繁に必要となるため、覚えておくことが非常に重要です。 | |
| 2. 独立変数の導関数。 ほとんどの場合は「X」です。 常に 1 に等しくなります。 これも長く覚えておくことが重要です | |
| 3. 次数の導関数。 問題を解くときは、平方根以外をべき乗に変換する必要があります。 | |
| 4. 変数の -1 乗の導関数 | |
| 5. デリバティブ 平方根 | |
| 6. サインの微分 | |
| 7. コサインの導関数 |  |
| 8. 接線の導関数 |  |
| 9. コタンジェントの導関数 |  |
| 10. 逆正弦の導関数 |  |
| 11. 逆余弦の導関数 |  |
| 12. 逆正接の導関数 |  |
| 13. 逆余接の導関数 |  |
| 14. 自然対数の導関数 | |
| 15. 対数関数の導関数 |  |
| 16. 指数の導関数 | |
| 17. 指数関数の導関数 |
微分の法則
| 1. 和または差の導関数 |  |
| 2. 製品の派生品 |  |
| 2a. 定数係数を乗算した式の導関数 | |
| 3. 商の導関数 |  |
| 4. 複素関数の導関数 |  |
ルール1。機能の場合
ある点で微分可能である場合、関数は同じ点で微分可能です
そして
それらの。 関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しい。
結果。 2 つの微分可能な関数が定数項によって異なる場合、それらの導関数は等しい、つまり
ルール2。機能の場合
ある点で微分可能である場合、その積は同じ点で微分可能です
そして
それらの。 2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。
帰結 1. 導関数の符号から定数因数を取り出すことができます。:
帰結 2. いくつかの微分可能な関数の積の導関数は、各因子の導関数と他のすべての因子の導関数の積の合計に等しくなります。
たとえば、3 つの乗算器の場合は次のようになります。
ルール3。機能の場合
ある時点で微分可能 そして , この時点で、それらの商も微分可能ですu/v 、および
それらの。 2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、分子は分母と分子の導関数、分子と分母の導関数の積の差であり、分母は の 2 乗です。前の分子。
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実際の問題で積と商の導関数を求める場合、常に複数の微分ルールを同時に適用する必要があるため、記事にはこれらの導関数に関する例がさらにあります。「関数の積と商の導関数」.
コメント。定数 (つまり数値) を和の項として、また定数因数として混同しないでください。 項の場合、その導関数はゼロに等しく、定数因数の場合、導関数の符号から取り出されます。 これ 典型的な間違いに発生します。 初期導関数を勉強していますが、1 部構成または 2 部構成の例をいくつか解くにつれて、平均的な生徒はこの間違いを犯さなくなりました。
そして、製品や商材を区別するときに、次のような用語があるとします。 あなた"v、 その中で あなた- 数値、たとえば 2 や 5、つまり定数の場合、この数値の導関数はゼロに等しくなり、したがって項全体がゼロに等しくなります (このケースについては例 10 で説明します)。
他の よくある間違い- 単純な関数の導関数としての複素関数の導関数の機械的解法。 それが理由です 複素関数の導関数別の記事で説明します。 しかし、最初に導関数を見つけることを学びます 単純な関数.
その過程で、式を変換することなしにはできません。 これを行うには、マニュアルを新しいウィンドウで開く必要がある場合があります。 力と根を持つアクションそして 分数を使った演算 .
べき乗と根を使った分数の導関数の解を探している場合、つまり関数が次のような場合 
, 次に、「累乗と根を使用した分数の和の微分」のレッスンに進みます。
のようなタスクがある場合 
, 次に、「単純な三角関数の微分」のレッスンを受講します。
ステップバイステップの例 - 導関数を見つける方法
例 3.関数の導関数を求める
解決。 関数式の部分を定義します。式全体は積を表し、その因数は和であり、2 番目の項の 1 つに定数因数が含まれます。 積微分ルールを適用します。2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。
次に、和の微分規則を適用します。つまり、関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しいということです。 この場合、各合計の 2 番目の項にはマイナス記号が付いています。 それぞれの合計には、導関数が 1 に等しい独立変数と、導関数が 0 に等しい定数 (数値) の両方が表示されます。 したがって、「X」は 1 になり、マイナス 5 は 0 になります。 2 番目の式では、「x」に 2 が乗算されるため、「x」の導関数と同じ単位で 2 を乗算します。 次の導関数の値を取得します。
見つかった導関数を積の和に代入し、問題の条件で必要な関数全体の導関数を取得します。
例4.関数の導関数を求める
解決。 商の導関数を見つける必要があります。 商を微分する公式を適用します。2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、その分子は分母と分子の導関数の積と分子と導関数の積の差です。分母は前の分子の 2 乗です。 我々が得る：
例 2 の分子の因数の微分はすでに見つけています。また、現在の例の分子の 2 番目の因数である積がマイナス記号で取られていることも忘れないでください。
関数の導関数を見つける必要がある問題の解決策を探している場合、根と累乗が連続的に山のように存在します。たとえば、次のとおりです。 
では、クラスへようこそ 「分数の累乗と根の合計の微分」 .
サイン、コサイン、タンジェントなどの導関数についてさらに詳しく知りたい場合 三角関数つまり、関数が次のような場合 では、あなたのためのレッスンです 「単純な三角関数の導関数」 .
例5.関数の導関数を求める
解決。 この関数では積が表示されます。その因子の 1 つは独立変数の平方根であり、その導関数は導関数の表でよく知られています。 積を微分するためのルールと平方根の導関数の表の値を使用すると、次が得られます。
例6。関数の導関数を求める
解決。 この関数では、被除数が独立変数の平方根である商が表示されます。 例 4 で繰り返し適用した商の微分の規則と、平方根の微分の表にまとめられた値を使用すると、次が得られます。
分子の端数を取り除くには、分子と分母に を掛けます。
関数の導関数は、学校のカリキュラムの中で難しいトピックの 1 つです。 デリバティブとは何かという質問に、すべての卒業生が答えられるわけではありません。
この記事では、デリバティブとは何か、なぜデリバティブが必要なのかをシンプルかつ明確に説明します。。 ここでは、プレゼンテーションにおいて数学的な厳密性を追求するつもりはありません。 最も重要なことは意味を理解することです。
定義を思い出してみましょう。
導関数は関数の変化率です。
図は 3 つの関数のグラフを示しています。 どちらの方が成長が早いと思いますか?
答えは明白です - 3番目です。 変化率が最も高く、つまり導関数が最も大きくなります。
別の例を示します。
コスチャ、グリシャ、マトヴェイは同時に仕事を見つけた。 この年に彼らの収入がどのように変化したかを見てみましょう。
グラフを見るとすべてが一度にわかりますね。 コスチャさんの収入は半年で２倍以上に増えた。 そしてグリシャの収入もほんの少しではあるが増えた。 そしてマトベイさんの収入はゼロになった。 開始条件は同じですが、関数の変化率、つまり 派生関数、 - 違う。 マトベイに関して言えば、彼の所得デリバティブは概してマイナスである。
関数の変化率を直感的に簡単に推定できます。 しかし、どうやってこれを行うのでしょうか?
私たちが実際に注目しているのは、関数のグラフがどれだけ急激に上昇 (または下降) しているかです。 言い換えれば、x が変化すると y はどのくらいの速さで変化するでしょうか? 明らかに、同じ機能です 異なる点がある可能性があり 違う意味微分値 - つまり、変化が速くなったり遅くなったりする可能性があります。
関数の導関数は と表されます。
グラフを使って求め方を紹介します。
何らかの関数のグラフが描かれています。 横軸のある点を考えてみましょう。 この時点で関数のグラフに接線を引いてみましょう。 関数グラフがどの程度急上昇するかを推定したいと考えています。 これに便利な値は次のとおりです。 接線角度の正接.
ある点における関数の導関数は、その点で関数のグラフに描かれた接線角の正接に等しくなります。
接線の傾斜角として、接線と軸の正方向との間の角度を取ることに注意してください。
時々、生徒が関数のグラフの接線とは何かと尋ねます。 これは 1 つだけある直線です 共通点グラフと図に示すように。 円の接線のように見えます。
見つけてみましょう。 直角三角形の鋭角の接線は 比率に等しい隣の反対側。 三角形から:
関数の公式も分からないまま、グラフを使って導関数を求めました。 このような問題は、統一国家試験の数学の数字の下でよく見られます。
もう一つ重要な関係があります。 直線は次の方程式で与えられることを思い出してください。
この方程式の量は次のように呼ばれます。 直線の傾き。 これは、軸に対する直線の傾斜角の正接に等しい。
.
それはわかります
この公式を覚えておきましょう。 導関数の幾何学的意味を表現します。
ある点における関数の微分値は次と等しくなります。 スロープこの時点で関数のグラフに引かれる接線。
言い換えれば、微分値は接線角度の正接に等しくなります。
同じ関数が異なる点で異なる導関数を持つ可能性があることはすでに述べました。 導関数が関数の動作にどのように関連しているかを見てみましょう。
ある関数のグラフを描いてみましょう。 この機能をある領域では増加させ、他の領域では減少させます。 さまざまな速度で。 そして、この関数に最大点と最小点を持たせます。
ある時点で機能が増加します。 点で描かれたグラフの接線は次のようになります。 鋭い角; 正の軸方向。 これは、その点での導関数が正であることを意味します。
その時点で私たちの機能は低下します。 この点の接線は鈍角を形成します。 正の軸方向。 鈍角の正接は負であるため、その点での導関数は負になります。
何が起こるかというと、次のとおりです。
関数が増加している場合、その導関数は正になります。
減少すると、その微分値は負になります。
最大点と最小点では何が起こるでしょうか? 点 (最大点) と (最小点) では接線が水平であることがわかります。 したがって、これらの点における接線角度の正接は、 ゼロに等しい、導関数もゼロです。
ポイント - 最大ポイント。 この時点で、機能の増加は減少に置き換えられます。 したがって、その時点で微分値の符号が「プラス」から「マイナス」に変わります。
最小点である点では、導関数もゼロですが、その符号は「マイナス」から「プラス」に変わります。
結論: 導関数を使用すると、関数の動作について興味のあるすべてを学ぶことができます。
導関数が正の場合、関数は増加します。
導関数が負の場合、関数は減少します。
最大点では微分値はゼロとなり、符号が「プラス」から「マイナス」に変わります。
極小点では導関数もゼロとなり、符号が「マイナス」から「プラス」に変わります。
これらの結論を表の形式で書いてみましょう。
| 増加する | 最高点 | 減少する | 最小点 | 増加する | |
| + | 0 | - | 0 | + |
2 つの小さな説明をしましょう。 問題を解決するときに、そのうちの 1 つが必要になります。 もう 1 年目は、関数と導関数についてのより本格的な研究です。
ある時点で関数の導関数がゼロに等しくなる可能性がありますが、この時点では関数には最大値も最小値もありません。 これはいわゆる :
ある点では、グラフの接線は水平になり、導関数はゼロになります。 ただし、その点の前に関数は増加し、その点の後も関数は増加し続けます。 導関数の符号は変化せず、そのまま正のままです。
また、最大値または最小値の時点で導関数が存在しないこともあります。 グラフでは、これは、特定の点で接線を引くことができない場合の鋭い切れ目に相当します。
関数がグラフではなく数式で与えられている場合、導関数を求めるにはどうすればよいでしょうか? この場合に当てはまります
導関数とその計算方法の知識がなければ、数学の物理的な問題や例を解くことはまったく不可能です。 導関数は数学的解析において最も重要な概念の 1 つです。 今日の記事はこの基本的なトピックに特化することにしました。 導関数とは何ですか、その物理的および幾何学的意味は何ですか、関数の導関数を計算する方法は何ですか? これらすべての質問は 1 つにまとめることができます。導関数をどのように理解するかということです。
導関数の幾何学的および物理的意味
機能を持たせよう f(x) 、一定の間隔で指定 (a、b) 。 点 x と x0 はこの区間に属します。 x が変化すると、関数自体が変化します。 引数の変更 - その値の違い x-x0 。 この違いは次のように書かれます デルタX これは引数インクリメントと呼ばれます。 関数の変更または増分は、2 点における関数の値の差です。 導関数の定義:
ある点における関数の導関数は、引数の増分がゼロになる傾向がある場合の、指定された点における関数の増分と引数の増分との比率の制限です。
それ以外の場合は、次のように書くことができます。
そのような限界を見つけることに何の意味があるのでしょうか? それは次のとおりです。
ある点における関数の導関数は、OX 軸と指定された点における関数のグラフの接線との間の角度の正接に等しくなります。
導関数の物理的意味: 時間に関する経路の導関数は、直線運動の速度に等しくなります。
確かに学生時代からスピードが特別な道であることは誰もが知っています x=f(t) そして時間 t 。 一定期間の平均速度:
ある瞬間の動きの速さを知るには t0 制限を計算する必要があります。
ルール 1: 定数を設定する
微分符号から定数を取り出すことができます。 さらに、これは行わなければなりません。 数学の例を解くときは、次のことを原則としてください。 式を簡略化できる場合は、必ず簡略化してください .
例。 導関数を計算しましょう。
ルール 2: 関数の和の導関数
2 つの関数の合計の導関数は、これらの関数の導関数の合計と等しくなります。 関数の差の導関数についても同様です。
この定理の証明は行わず、実際の例を検討します。
関数の導関数を求めます。
ルール 3: 関数の積の導関数
2 つの微分可能な関数の積の導関数は、次の式で計算されます。
例: 関数の導関数を求めます。
解決： 
ここで複素関数の導関数の計算について説明することが重要です。 デリバティブ 複素関数は、中間引数に関するこの関数の導関数と、独立変数に関する中間引数の導関数の積に等しくなります。
上の例では、次の式が出てきます。
この場合、中間引数は 8x の 5 乗です。 このような式の導関数を計算するには、まず導関数を計算します。 外部関数中間引数を掛けてから、独立変数に関する中間引数自体の導関数を掛けます。
ルール 4: 2 つの関数の商の導関数
2 つの関数の商の導関数を求める公式:
ダミー向けにデリバティブについてゼロから話してみました。 このトピックは見かけほど単純ではないため、注意してください。例には落とし穴がよくあるため、導関数を計算するときは注意してください。
このトピックやその他のトピックに関する質問がある場合は、学生サービスにお問い合わせください。 これまで微分計算をしたことがない方でも、最も難しいテストを短時間で解決し、タスクを理解できるようにお手伝いします。
(\large\bf 関数の導関数)
機能を考えてみる y=f(x)、間隔で指定 (a、b)。 させて バツ- 間隔の任意の固定点 (a、b)、A Δx- 値が次のような任意の数値 x+Δx区間にも属します (a、b)。 この番号 Δx引数インクリメントと呼ばれます。
意味。 関数の増分 y=f(x)時点で バツ、引数の増分に対応 Δx、その番号に電話しましょう
Δy = f(x+Δx) - f(x).
私たちは、と信じています Δx ≠ 0。 与えられた固定点で考える バツこの時点での関数の増分と、対応する引数の増分との比率 Δx
この関係を差分関係と呼びます。 値以来 バツ固定であるとみなします。差の比率は引数の関数です Δx。 この関数はすべての引数値に対して定義されています Δx、点の十分に小さな近傍に属する Δx=0、その点自体を除いて Δx=0。 したがって、私たちは、指定された関数の限界が存在するかどうかという問題を検討する権利を有します。 Δx → 0.
意味。 関数の導関数 y=f(x)与えられた固定点で バツで限界と呼ばれる Δx → 0差の比率、つまり
この制限が存在する場合に限ります。
指定. y'(x)または f'(x).
導関数の幾何学的意味: 関数の導関数 f(x)この時点で バツ軸間の角度の正接に等しい 牛そして、対応する点におけるこの関数のグラフへの接線:
f′(x 0) = \tgα.
導関数の機械的意味: 時間に関するパスの導関数は、点の直線運動の速度に等しくなります。
線の接線の方程式 y=f(x)時点で M 0 (x 0 ,y 0)形をとる
y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).
ある点における曲線の法線は、同じ点における接線に対する垂線です。 もし f'(x 0)≠ 0、次に線の法線の方程式 y=f(x)時点で M 0 (x 0 ,y 0)は次のように書かれています:
関数の微分可能性の概念
機能させましょう y=f(x)一定の間隔で定義される (a、b), バツ- この間隔からのいくつかの固定引数値、 Δx- 引数の値が次のような引数の増分 x+Δx ∈ (a, b).
意味。 関数 y=f(x)与えられた点で微分可能と呼ばれます バツ、増分の場合 Δyこの時点でのこの関数 バツ、引数の増分に対応 Δx、次の形式で表すことができます。
Δy = A Δx +αΔx,
どこ あ- 独立した何らかの数値 Δx、A α - 引数関数 Δx、これは無限小です Δx→0.
2 つの無限小関数の積なので、 αΔxより高次の無限小です Δx(3 つの無限小関数のプロパティ) の場合、次のように書くことができます。
Δy = A Δx +o(Δx).
定理。 機能のために y=f(x)特定の点で微分可能でした バツ、この時点で有限微分が得られれば必要かつ十分です。 その中で A=f'(x)、 あれは
Δy = f'(x) Δx +o(Δx).
導関数を求める操作は通常、微分と呼ばれます。
定理。 関数の場合 y=f(x) バツ、この時点では連続です。
コメント。 機能の継続性から y=f(x)この時点で バツ、一般的に言えば、関数の微分可能性は次のとおりではありません。 f(x)この時点で。 たとえば、関数 y=|x|- ある点で連続的 x=0、ただし派生語はありません。
微分関数の概念
意味。 関数微分 y=f(x)この関数の導関数と独立変数の増分との積は、と呼ばれます。 バツ:
dy = y′ Δx、df(x) = f′(x) Δx.
機能について y=x我々が得る dy=dx=x'Δx = 1・Δx= Δx、 あれは dx=Δx- 独立変数の微分は、この変数の増分に等しい。
したがって、次のように書くことができます
dy = y′ dx、df(x) = f′(x) dx
ディファレンシャル ダイそして増加します Δy機能 y=f(x)この時点で バツ、両方とも同じ引数の増分に対応します Δx、一般的に言えば、互いに等しくありません。
微分の幾何学的意味: 関数の微分は、引数が増加したときのこの関数のグラフの接線の縦軸の増分に等しい Δx.
微分の法則
定理。 それぞれの機能があれば u(x)そして v(x)与えられた点で微分可能 バツ、次に、これらの関数の和、差、積、商 (商は、 v(x)≠0) もこの時点で微分可能であり、次の式が成り立ちます。
複素関数を考えてみる y=f(φ(x))≡ F(x)、 どこ y=f(u), u=φ(x)。 この場合 あなた呼ばれた 中間引数, バツ - 独立変数.
定理。 もし y=f(u)そして u=φ(x)引数の微分可能な関数であり、複素関数の導関数です。 y=f(φ(x))が存在し、中間引数に関するこの関数の積と、独立変数に関する中間引数の導関数との積に等しい。つまり、
コメント。 3 つの関数を重ね合わせた複素関数の場合 y=F(f(φ(x)))、微分規則の形式は次のとおりです。
y′ x = y′ u u′ v v ′ x,
機能はどこにありますか v=φ(x), u=f(v)そして y=F(u)- 引数の微分可能な関数。
定理。 機能させましょう y=f(x)点の近傍で増加 (または減少) し、連続的です ×0。 さらに、この関数が指定された点で微分可能であるとします。 ×0およびこの時点での派生関数 f'(x 0) ≠ 0。 次に、対応する点の近傍で y 0 =f(x 0)逆は次のように定義されます y=f(x)関数 x=f -1 (y)、示された逆関数は対応する点で微分可能です。 y 0 =f(x 0)そしてこの時点での派生関数については y式は有効です
デリバティブ表
一次微分の形式の不変性
複素関数の微分を考えてみましょう。 もし y=f(x), x=φ(t)- 引数の関数が微分可能である場合、関数の導関数 y=f(φ(t))式で表される
y′t = y′ x x′t.
A優先 dy=y't dt、すると、
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
それで、私たちは証明しました
関数の一次微分の形式の不変性の性質: 引数の場合と同様 バツが独立変数であり、引数が バツそれ自体は新しい変数の微分可能な関数であり、微分 ダイ機能 y=f(x)この関数の導関数に引数の微分を乗算したものに等しい DX.
近似計算における微分の適用
差分が ダイ機能 y=f(x)一般的に言えば、 は増分と等しくありません Δyこの機能。 ただし、精度は無限大です 小さな機能より高次の小ささ Δx、近似等式は有効です
Δy ≈ dy.
この等式の比を等式の相対誤差といいます。 なぜなら Δy-dy=o(Δx)の場合、この等式の相対誤差は、減少するにつれて必要なだけ小さくなります。 |Δх|.
それを考えると Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f'(x)Δx、 我々が得る f(x+δ x)-f(x) ≈ f'(x)Δxまたは
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
この近似的等価性は誤差を許容します o(Δx)置換関数 f(x)ポイントの小さな近所で バツ(つまり、小さな値の場合 Δx) 一次関数口論 Δx、右側に立っています。
高次導関数
意味。 関数の 2 次導関数 (または 2 次導関数) y=f(x)はその一次導関数の導関数と呼ばれます。
関数の二次導関数の表記法 y=f(x):
二次導関数の機械的意味。 関数の場合 y=f(x)直線上の質点の運動法則を記述し、その後の二次導関数 f''(x)ある瞬間の移動点の加速度に等しい バツ.
3 次導関数と 4 次導関数も同様に決定されます。
意味. n階微分値 (または微分値) n-次) 関数 y=f(x)それの派生と呼ばれます n-1次の導関数:
y (n) =(y (n-1))'、f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.
指定: よ」, y IV, yV等
座標平面内で xOy関数のグラフを考えてみる y=f(x)。 要点を修正しましょう M(x 0 ; f (x 0))。 横軸を加えてみましょう ×0インクリメント Δх。 新しい横座標を取得します ×0+Δx。 これは点の横座標です N、縦軸は等しくなります f (x 0 +Δx）。 横軸の変化は縦軸の変化を伴います。 この変化は関数の増分と呼ばれ、次のように表されます。 Δy.
Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0)。ドットを通して Mそして N正割線を描いてみましょう ミネソタ州、角度を形成します φ 正軸方向 おお。 角度の正接を求めてみましょう φ から 直角三角形 MPN.
させて Δхゼロになる傾向があります。 次にセカント ミネソタ州接線位置を取る傾向があります MT、角度 φ 角になります α 。 したがって、角度の正接は、 α は角度の正接の制限値です φ :
関数の増分と引数の増分との比率の制限 (後者はゼロに近づく傾向があるため) は、指定された点での関数の導関数と呼ばれます。
導関数の幾何学的意味 与えられた点における関数の数値導関数が、この点を通って与えられた曲線に引かれた接線と軸の正の方向によって形成される角度の接線に等しいという事実にあります。 おお:
例。
1. 引数の増分と関数 y= の増分を求めます。 ×2、引数の初期値が次の値に等しい場合 4 、そして新しい - 4,01 .
解決。
新しい引数値 x=x 0 +Δx。 データを代入しましょう: 4.01=4+Δх、したがって引数の増分です Δх=4.01-4=0.01。 定義により、関数の増分は、関数の新しい値と前の値の差に等しくなります。 Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0)。 機能があるので y=x2、 それ Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
答え： 引数の増分 Δх=0.01; 関数の増分 Δу=0,0801.
関数の増分は別の方法で見つけることもできます。 Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801。
2. 関数のグラフの接線の傾き角度を求めます y=f(x)時点で ×0、 もし f "(x 0) = 1.
解決。
接点における導関数の値 ×0接線角度の正接の値 (導関数の幾何学的意味)。 我々は持っています： f "(x 0) = Tanα = 1 → α = 45°、なぜなら tg45°=1。
答え： この関数のグラフの接線は、Ox 軸の正の方向と等しい角度を形成します。 45°.
3. 関数の導関数の公式を導き出す y=xn.
差別化関数の導関数を見つけるアクションです。
導関数を求めるときは、導関数の次数の式を導出したのと同じ方法で、導関数の定義に基づいて導出された式を使用します。 (x n)" = nx n-1.
これらが公式です。
デリバティブ一覧表口頭で表現することで暗記しやすくなります。
1. 一定量の導関数はゼロです。
2. x 素数は 1 に等しい。
3. 定数因数は導関数の符号から取り出すことができます。
4. 次数の導関数は、この次数の指数と同じ基数の次数の積に等しくなりますが、指数は 1 つ減ります。
5. 根の導関数は、1 を 2 つの等しい根で割ったものに等しくなります。
6. 1 を x で割った導関数は、-1 を x で割った 2 乗に等しい。
7. サインの導関数はコサインに等しい。
8. コサインの導関数はマイナスサインと等しくなります。
9. タンジェントの導関数は、コサインの 2 乗で割った値に等しくなります。
10. コタンジェントの導関数は、マイナス 1 をサインの 2 乗で割ったものに等しくなります。
私たちが教えます 微分規則.
1.
代数和の導関数は、項の導関数の代数和に等しくなります。
2. 積の導関数は、最初の因子の導関数と 2 番目の因子の積に、最初の因子と 2 番目の因子の導関数の積を加えたものに等しくなります。
3. 「y」を「ve」で割った導関数は、分子が「y 素数に ve を乗じた値から y に ve 素数を乗じた値」を引いたもの、分母が「ve の 2 乗」である分数に等しくなります。
4. 式の特殊なケース 3.
