平面間の角度の余弦。 平面間の角度（二面角）を求める

2 つの異なる平面間の角度は、任意の角度で決定できます。 相対位置飛行機。

平面が平行であれば、これは簡単なケースです。 その場合、それらの間の角度はゼロに等しいとみなされます。

平面が交差する場合は、自明ではありません。 この事件は今後の議論の対象となる。 まず、上反角の概念が必要です。

9.1 二面角

上反角これらは、共通の直線 (上反角のエッジと呼ばれます) を持つ 2 つの半平面です。 図では、 半平面によって形成される二面角を示す。 この二面角の端は、これらの半平面に共通する直線 a です。

米。 50. 二面角

二面角は度またはラジアンで測定でき、二面角の角度値を入力します。 これは次のように行われます。

半平面と によって形成される二面角の端で、任意の点 M をとります。それぞれこれらの半平面内にあり、端に垂直な光線 MA と MB を描きましょう (図 51)。

米。 51. 線形上反角

得られる角度 AMB は、二面角の直線角です。 角度 " = \AMB は、まさに二面角の角度値です。

意味。 二面角の角度の大きさは、指定された二面角の直線角の大きさです。

二面角のすべての直線角は互いに等しい（結局のところ、それらは平行移動によって互いに得られる）。 それが理由です この定義正解: 値 " は、二面角の端にある点 M の特定の選択には依存しません。

9.2 平面間の角度を決定する

2 つの平面が交差すると、4 つの二面角が得られます。 それらがすべて同じサイズ (それぞれ 90) である場合、その平面は垂直と呼ばれます。 この場合、平面間の角度は 90 度になります。

すべての二面角が同じではない場合 (つまり、鋭角が 2 つと鈍角が 2 つある)、平面間の角度が鋭角二面角の値になります (図 52)。

米。 52. 平面間の角度

9.3 問題解決の例

3つの問題を見てみましょう。 1 つ目は簡単ですが、2 つ目と 3 つ目は数学の統一州試験のレベル C2 程度です。

問題 1. 正四面体の 2 つの面の間の角度を求めます。

解決。 ABCDを正四面体とする。 対応する面の中央値 AM と DM、および四面体の高さ DH を描いてみましょう (図 53)。

米。 53. タスク1へ

AMとDMは中央値なので正等辺の高さでもあります 三角形ABCそしてDBC。 したがって、角度 " = \AMD は、面 ABC と面 DBC によって形成される二面角の直線角です。三角形 DHM からそれを求めます。

			午前1時

答え: arccos 1 3 。

問題2. 正四角錐SABCD（頂点S）では、辺と底辺の辺は等しい。 点 K はエッジ SA の中央です。 平面間の角度を見つける

解決。 線 BC は AD に平行であり、したがって平面 ADS にも平行です。 したがって、平面 KBC は、BC に平行な直線 KL に沿って平面 ADS と交差します (図 54)。

米。 54. タスク2へ

この場合、KL も線分 AD と平行になります。 したがって、KL は三角形 ADS の中線であり、点 L は DS の中点です。

ピラミッドの高さSOを求めてみましょう。 N を DO の中央とします。 このとき、LN は三角形 DOS の中線であり、したがって LN k SO となります。 これは、LN が平面 ABC に対して垂直であることを意味します。

点 N から、垂直線 NM を直線 BC まで下げます。 直線 NM は傾斜した LM を ABC 平面に投影したものになります。 3 つの垂線の定理から、LM は BC にも垂直であることがわかります。

したがって、角度 " = \LMN は、半平面 KBC と ABC によって形成される二面角の直線角です。この角度を直角三角形 LMN から求めます。

ピラミッドのエッジを a と等しくします。 まずピラミッドの高さを求めます。

SO=p

解決。 線A、K、ABの交点をLとします。 次に、平面 A1 KC は直線 CL に沿って平面 ABC と交差します (図 55)。

あ C

米。 55. 問題3へ

三角形 A1 B1 K と KBL は足と鋭角が等しい。 したがって、他の脚は等しくなります: A1 B1 = BL。

三角ACLを考えてみましょう。 その中で、BA = BC = BLです。 角度 CBL は 120 です。 したがって、 \BCL = 30 となります。 また、 \BCA = 60 です。 したがって、 \ACL = \BCA + \BCL = 90 となります。

それで、LC？ 交流。 ただし、線 AC は、線 A1 C の平面 ABC への投影として機能します。 3 つの垂線の定理により、次のように結論付けられます。 A1C.

したがって、角度Ａ１ ＣＡ は、半平面Ａ１ ＫＣおよびＡＢＣによって形成される二面角の直線角である。 これが希望の角度です。 直角二等辺三角形 A1 AC から、それが 45 に等しいことがわかります。

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平面間の角度の尺度は、これらの平面内にあり、それらの交線に垂直に引かれた 2 本の直線によって形成される鋭角です。

構築アルゴリズム

1. 任意の点 K から、指定された各平面に垂線を引きます。
2. レベルラインを中心に回転することにより、点 K における頂点との角度 γ° が決定されます。
3. γ° > 90° の場合、平面間の角度 ϕ° = 180 – γ° を計算します。 γ°の場合< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

図は平面α、βを軌跡で与えた場合を示しています。 必要な構築はすべてアルゴリズムに従って実行され、以下で説明されます。

解決

1. 図面の任意の場所に、点 K をマークします。そこから、平面 α および β に対してそれぞれ垂線 m および n を下ろします。 射影 m および n の方向は次のとおりです: m""⊥f 0α 、m"⊥h 0α 、n""⊥f 0β 、n"⊥h 0β 。
2. 直線 m と n の間の実際のサイズ ∠γ° を決定します。 これを行うには、正面 f の周りで、頂点 K との角度の平面を、投影の正面平面に平行な位置まで回転します。 点 K の回転半径 R は、直角三角形 O""K""K 0 の斜辺の大きさに等しく、その辺は K""K 0 = y K – y O です。
3. ∠γ° は鋭角であるため、望ましい角度は ϕ° = ∠γ° です。

以下の図は、それぞれ平行線と交差線で与えられる平面 α と β の間の角度 γ° を求める必要がある問題の解決策を示しています。

解決

1. 平面α、βに属する水平線h 1 、h 2 と正面線f 1 、f 2 の投影方向を矢印の順に決定する。 正方形上の任意の点 K から。 α と β では、垂線 e と k を省略します。 この場合、 e""⊥f"" 1 、 e"⊥h" 1 、および k""⊥f"" 2 、 k"⊥h" 2 です。
2. 線eとkの間に∠γ°を定義します。 これを行うには、水平線 h 3 を引き、その周りで点 K を位置 K 1 まで回転します。その位置で、△CKD は水平面と平行になり、水平面に反映されます。 等身大– △C"K" 1 D"。回転中心 O" の投影は、h" 3 に引いた垂線 K"O" 上にあります。半径 R は、直角三角形 O"K"K 0 から求められます。辺 K"K 0 = Z O – Z K 。
3. 角度 γ° が鋭角であるため、目標値の値は ∠ϕ° = ∠γ° となります。

空間内の幾何学的問題を解決するとき、さまざまな空間オブジェクト間の角度を計算する必要がある問題によく遭遇します。 この記事では、平面間の角度、および平面と直線間の角度を求める問題について考えます。

空間内の直線

平面内のあらゆる直線は次の等式で定義できることが知られています。

ここで、a と b はいくつかの数字です。 同じ式を使用して空間内の直線を想像すると、z 軸に平行な平面が得られます。 空間線を数学的に決定するには、2 次元の場合とは異なる解法が使用されます。 それは「方向ベクトル」の概念を使用することにあります。

平面の交差角度を求める問題の解決例

平面間の角度を求める方法がわかったら、次の問題を解決します。 2 つの平面があるとすると、その方程式は次の形式になります。

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

平面間の角度はいくらですか?

この問題の質問に答えるには、一般平面方程式の変数に関連付けられた係数がガイド ベクトルの座標であることを思い出してください。 これらの平面の法線の座標は次のとおりです。

n 1 ￣(3; 4; -1);

n 2 ￣(-1; -2; 5)

ここで、これらのベクトルとそのモジュールのスカラー積を求めると、次のようになります。

(n 1 ￣ * n 2 ￣) = -3 -8 -5 = -16;

|n 1 ￣| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ￣| = √(1 + 4 + 25) = √30

これで、見つかった数値を前の段落で指定した式に代入できます。 我々が得る：

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o

結果の値は、問題ステートメントで指定された平面の交差の鋭角に対応します。

次に、別の例を見てみましょう。 2 つの平面が与えられます。

それらは交差しますか? 方向ベクトルの座標の値を書き留めて、スカラー積とモジュールを計算しましょう。

n 1 ￣(1; 1; 0);

n 2 ￣(3; 3; 0);

(n 1 ￣ * n 2 ￣) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ￣| = √2;

|n 2 ￣| = √18

この場合、交差角は次のようになります。

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o 。

この角度は、平面が交差せずに平行であることを示します。 それらが互いに一致しないことを確認するのは簡単です。 これを行うには、最初の点に属する任意の点 (たとえば、P(0; 3; 2)) を取得します。 その座標を 2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

つまり、点 P は最初の平面のみに属します。

したがって、法線が平行であれば、2 つの平面は平行になります。

平らでまっすぐ

平面と直線の相対位置を考える場合、いくつかの方法があります。 より多くのオプション 2 機の場合よりも。 この事実は、直線が 1 次元のオブジェクトであるという事実によるものです。 直線と平面は次のようになります。

• 相互に平行です。この場合、平面は線と交差しません。
• 後者は平面に属している可能性がありますが、平面と平行でもあります。
• 両方のオブジェクトはある角度で交差する可能性があります。

交差角の概念を導入する必要があるため、最初に最後のケースを考えてみましょう。

直線と平面、それらの間の角度の値

平面が直線と交差する場合、その平面は直線に対して傾斜していると呼ばれます。 交点は通常、傾斜線の底辺と呼ばれます。 これらの幾何学的オブジェクト間の角度を決定するには、任意の点から平面上に直線垂線を下す必要があります。 そして、平面と垂線の交点と、傾斜線と平面との交点は直線を形成します。 後者は、考慮中の平面への元の線の投影と呼ばれます。 シャープでその投影感は望ましいものです。

平面と傾斜面の間の角度のやや混乱を招く定義は、以下の図で明確になります。

ここで、角度 ABO は、直線 AB と平面 a の間の角度です。

その式を書き留めるために、例を考えてみましょう。 次の方程式で表される直線と平面があるとします。

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

直線と平面の方向ベクトルの間のスカラー積を見つければ、これらのオブジェクトの目的の角度を簡単に計算できます。 得られた鋭角は 90° から減算し、直線と平面の間で求めます。

上の図は、問題の角度を見つけるためのアルゴリズムを示しています。 ここで、β は法線と線の間の角度、α は線とその平面への投影の間の角度です。 それらの合計は 90 であることがわかります。

上では、平面間の角度を求める方法という質問に答える公式が提示されました。 ここで、直線と平面の場合に対応する式を示します。

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

式内のモジュールでは、鋭角のみを計算できます。 アークサイン関数は、アークコサインの代わりに、 三角関数(cos(β) = sin(90o-β) = sin(α))。

問題: 平面が線と交差する

次に、指定された数式を使用する方法を示します。 問題を解決しましょう。y 軸と平面の間の角度を計算する必要があります。 方程式で与えられる:

この平面を図に示します。

点 (0; -12; 0) および (0; 0; 12) でそれぞれ y 軸と z 軸と交差し、x 軸に平行であることがわかります。

直線ｙの方向ベクトルの座標は（０；１；０）である。 垂直ベクトル 与えられた平面、座標 (0; 1; -1) によって特徴付けられます。 直線と平面の交差角度の公式を適用すると、次のようになります。

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

問題: 平面に平行な線

ここで、前の問題と同様の問題を解きますが、問題の提起が異なります。 平面と直線の方程式は次のように知られています。

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

これらの幾何学的オブジェクトが互いに平行かどうかを調べる必要があります。

2 つのベクトルがあります。方向線は (0; 2; 2) に等しく、方向面は (1; 1; -1) に等しいです。 スカラー積を求めます。

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

結果のゼロは、これらのベクトル間の角度が 90 度であることを示し、これは直線と平面が平行であることを証明します。

次に、この線が平行であるだけなのか、それとも平面内にあるのかを確認してみましょう。 これを行うには、線上の任意の点を選択し、それが平面に属しているかどうかを確認します。 たとえば、λ = 0 の場合、点 P(1; 0; 0) は直線に属します。 平面 P を方程式に代入します。

点 P は平面に属していないため、線全体が平面内に存在しません。

考慮されている幾何学的オブジェクト間の角度を知ることが重要なのはどこでしょうか?

上記の公式と問題解決の例は、理論的に興味深いだけではありません。 重要な情報を決定するためによく使用されます。 物理量角柱や角錐などの実際の体積図形。 図形の体積とその表面の面積を計算するときは、平面間の角度を決定できることが重要です。 さらに、直角柱の場合に、示された量を決定するためにこれらの式を使用しないことが可能である場合、どのような種類のピラミッドでもその使用は避けられないことがわかります。

以下では、述べられた理論を使用して、正方形の底面を持つピラミッドの角を決定する例を検討します。

ピラミッドとその角

下の図はピラミッドを示しており、その底辺には辺 a の正方形があります。 図形の高さは h です。 2 つの角度を見つける必要があります。

• 側面と底面との間。
• サイドリブとベースの間。

この問題を解決するには、まず座標系を導入し、対応する頂点のパラメータを決定する必要があります。 この図は、原点が正方形の底辺の中心の点に一致していることを示しています。 この場合、ベース平面は次の方程式で表されます。

つまり、任意の x と y について、3 番目の座標の値は常に 0 になります。 側面 ABC は点 B(0; 0; h) で z 軸と交差し、座標 (0; a/2; 0) の点で y 軸と交差します。 x 軸とは交差しません。 これは、ABC 平面の方程式が次のように記述できることを意味します。

y/(a/2) + z/h = 1 または

2 * h * y + a * z - a * h = 0

ベクトル AB￣ はサイドエッジです。 その始まりと終わりの座標は同じです: A(a/2; a/2; 0) と B(0; 0; h)。 次に、ベクトル自体の座標は次のようになります。

必要な方程式とベクトルがすべて見つかりました。 ここで、考慮された式を使用することが残ります。

まず、ピラミッドの底面と側面の間の角度を計算しましょう。 対応する法線ベクトルは等しい: n 1 ￣(0; 0; 1) および n 2 ￣(0; 2*h; a)。 その場合、角度は次のようになります。

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

平面とエッジ AB の間の角度は次のようになります。

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

必要な角度を取得するには、底面 a と高さ h の特定の値を代入する必要があります。

職種: 14
トピック: 平面間の角度

状態

正角柱 ABCDA_1B_1C_1D_1 の場合、M と N はそれぞれエッジ AB と BC の中点であり、点 K は MN の中点です。

A)線分 KD_1 と MN が垂直であることを証明します。

b)次の場合、平面 MND_1 と ABC の間の角度を見つけます。 AB=8、 AA_1=6\sqrt 2.

解決策を表示する

解決

A)\triangle DCN と \triangle MAD には次のものがあります。 \角度 C=\角度 A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB、 CD=ダ。

したがって、\triangle DCN=\triangle MAD が 2 本の脚にあります。 それから MD=DN、 \三角DMN二等辺。 これは、DKの中央値も身長であることを意味します。 したがって、DK \perp MN。

条件による DD_1 \perp MND、D_1K - 斜め、KD - 投影、DK \perp MN。

したがって、定理により、約 3 つの垂線 MN\perp D_1K になります。

b)で証明されたように、 A), DK \perp MN と MN \perp D_1K ですが、MN は平面 MND_1 と ABC の交線であり、これは \angle DKD_1 が平面 MND_1 と ABC の間の二面角の直線角であることを意味します。

ピタゴラスの定理による \triangle DAM DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5、 MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2.したがって、ピタゴラスの定理より \triangle DKM では DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2.次に \triangle DKD_1 で、 tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1。

これは \angle DKD_1=45^(\circ) を意味します。

答え

45^(\circ)。

職種: 14
トピック: 平面間の角度

状態

正四角柱 ABCDA_1B_1C_1D_1 では、底辺の辺は 4 に等しく、辺は 6 に等しくなります。 点 M はエッジ CC_1 の中央で、点 N はエッジ BB_1 上にマークされます (BN:NB_1=1:2)。

A) AMN 平面はエッジ DD_1 をどのような比率で分割しますか?

b)平面 ABC と AMN の間の角度を見つけます。

解決策を表示する

解決

A)平面 AMN は、この平面による特定のプリズムの断面の 4 番目の頂点である点 K でエッジ DD_1 と交差します。 与えられたプリズムの対向する面が平行であるため、断面は平行四辺形 ANMK になります。

BN =\frac13BB_1=2。 KL \平行 CD を描いてみましょう。その場合、三角形 ABN と KLM は等しい、つまり ML=BN=2、 LC=MC-ML=3-2=1、 KD=LC=1。すると、KD_1=6-1=5となります。 これで、比率 KD:KD_1=1:5 がわかります。

b) F は直線 CD と直線 KM の交点です。 平面 ABC と AMN は直線 AF に沿って交差します。 角度 \angle KHD =\alpha は、二面角の直線角 (HD\perp AF、3 つの垂線に関する定理の逆定理、KH \perp AF) であり、次のようになります。 鋭角直角三角形 KHD、脚 KD=1。

三角形 FKD と FMC は相似です (KD \平行 MC)。したがって、FD:FC=KD:MC となり、比率 FD:(FD+4)=1:3 を解くと、FD=2 が得られます。 で 直角三角形 AFD (\angle D=90^(\circ)) 脚 2 と脚 4 で斜辺を計算します AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5、 DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5)。

直角三角形 KHD では次のことがわかります。 tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,これは希望の角度を意味します \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

答え

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロファイルレベル」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。

職種: 14
トピック: 平面間の角度

状態

底辺 MNPQ が 6 で側辺がある正四角錐 KMNPQ が与えられるとします。 3\sqrt (26)。

A)点 F がエッジ MK の中央である場合、対角線 MP に平行な線 NF を通る平面でピラミッドの断面を作成します。

b)断面平面と KMP 平面の間の角度を見つけます。

解決策を表示する

解決

A) KO をピラミッドの高さ、F を MK の中点とします。 FE\平行 MP (PKM 平面内) 。 FE は \triangle PKM の中心線であるため、 FE=\frac(MP)2。

NF を通過し MP に平行な平面、つまり平面 NFE を使用してピラミッドの断面を作成しましょう。 L は EF と KO の交点です。 点 L と N は所望のセクションに属し、平面 KQN 内にあるため、LN と KQ の交点として得られる点 T は、所望のセクションとエッジ KQ の交点でもあります。 NETF は必須のセクションです。

b)平面 NFE と MPK は直線 FE に沿って交差します。 これは、これらの平面間の角度が二面角 OFEN の直線角度に等しいことを意味します。これを構築しましょう。 LO\perpMP、 MP\パラレルFE、したがって、 LO\perpFE;\triangle NFE は二等辺三角形 (等しい三角形 KPN および KMN の対応する中央値として NE=NF)、NL はその中央値 (PO=OM であるため EL=LF、および \triangle KEF \sim \triangle KPM）。 したがって、NL \perp FE と \angle NLO が望ましいものになります。

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - 長方形。

ピタゴラスの定理による脚KOは次と等しい KO=\sqrt (KN^2-ON^2)。

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3)、

\角度 NLO=30^(\circ)。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。

職種: 14
トピック: 平面間の角度

状態

正三角柱 ABCA_(1)B_(1)C_(1) のすべての辺は 6 に等しくなります。 切断面は、エッジ AC および BB_(1) の中点と頂点 A_(1) を通って描画されます。

A)エッジ BC が頂点 C から数えて 2:1 の比率で切断面で分割されていることを証明します。

b)切断面とベース面の間の角度を見つけます。

解決策を表示する

解決

A) D と E をそれぞれエッジ AC と BB_(1) の中点とする。

平面 AA_(1)C_(1) 内で、点 K で直線 CC_(1) と交差する直線 A_(1)D を、平面 BB_(1)C_(1) 内に描きます - 直線KE、点 F でエッジ BC と交差します。 平面 AA_(1)B_(1) にある点 A_(1) と E、および平面 ABC にある点 D と F を接続すると、断面 A_(1)EFD が得られます。

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK脚AD=DCに沿って鋭角にします。

\angle ADA_(1)=\angle CDK - 垂直方向と同様に、AA_(1)=CK=6 となります。 \bigtriangleup CKF と \bigtriangleup BFE は 2 つの角度で類似しています \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - 垂直のものと同様。

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2、つまり、類似係数は 2 であり、CF:FB=2:1 を意味します。

b) AH \perp DF を実行しましょう。 断面平面とベース平面の間の角度は角度 AHA_(1) に等しくなります。 実際、線分 AH \perp DF (DF はこれらの平面の交線) は、線分 A_(1)H をベース平面に投影したものであるため、3 つの垂線の定理 A_(1)H に従って、 \perp DF。 \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH)。 AA_(1)=6。

AHを見つけてみましょう。 \angle ADH =\angle FDC (垂直方向と同じ)。

\bigtriangleup DFC のコサイン定理によると、次のようになります。

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13。

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\角度 FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13))。

基本的な三角関数の恒等式から必然的に

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) 。\bigtriangleup ADH から AH を見つけます。

AH=AD \cdot \sin \angle ADH、(\angle FDC=\angle ADH)。 AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13))。

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3)。

答え

arctg\frac(\sqrt(39))(3)。

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。

職種: 14
トピック: 平面間の角度

状態

直角柱 ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) の底面は、鈍角 B が 120^\circ に等しい菱形です。 このプリズムのすべての辺は 10 に等しくなります。 点 P と K は、それぞれエッジ CC_(1) と CD の中点です。

A)直線 PK と PB_(1) が垂直であることを証明します。

b)平面 PKB_(1) と C_(1)B_(1)B の間の角度を求めます。

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解決

A)座標メソッドを使用します。 ベクトル \vec(PK) と \vec(PB_(1)) のスカラー積を求め、これらのベクトル間の角度のコサインを求めてみましょう。 Oy 軸を CD に沿って、Oz 軸を CC_(1) に沿って、Ox 軸を \perp CD に向けてみましょう。 Cが原点です。

次に C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),あれは B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10)。

ベクトルの座標を見つけてみましょう。 \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\)。

\vec(PK) と \vec(PB_(1)) の間の角度が \alpha に等しいとします。

我々が得る \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0。

\cos \alpha =0、これは \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) を意味し、線 PK と PB_(1) は垂直です。

b)平面間の角度は、これらの平面に垂直なゼロ以外のベクトル間の角度 (または、角度が鈍角の場合は、それに隣接する角度) に等しくなります。 このようなベクトルは、平面の法線と呼ばれます。 見つけてみましょう。

\vec(n_(1))=\(x; y; z\) が平面 PKB_(1) に垂直であるとします。 系を解いて見つけてみましょう \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK)、\\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1))。 \終了(件)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \終了(件)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \終了(件)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3))。 \終了(件)

持っていきましょう y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \)。

\vec(n_(2))=\(x; y; z\) が平面 C_(1)B_(1)B に垂直であるとします。 系を解いて見つけてみましょう \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1))、\\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB)。 \終了(件)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\)、\vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\)。

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \終了(件)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \終了(件)

\begin(cases)z=0、\\ y=-\sqrt(3)x。 \終了(件)

持っていきましょう x=1; y=-\sqrt(3); z=0、 \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\)。

目的の角度 \beta の余弦を見つけてみましょう (これは \vec(n_(1)) と \vec(n_(2)) の間の角度の余弦の係数に等しいです)。

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4)。

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4)。

答え

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。

ABCDは正方形で側面は等しい長方形です。

断面平面は対角線 AC に平行な点 M と D を通過するため、点 M を通る平面 A_(1)AC 内に断面平面を構築するには、AC に平行な線分 MN を描きます。 直線と平面の平行度に基づいて AC \平行 (MDN) を求めます。

MDN 平面は、平行平面 A_(1)AD および B_(1)BC と交差し、その後、平行平面の特性により、面 A_(1)ADD_(1) および B_(1)BCC_( 1) MDN 平面による平行です。

線分 NE を線分 MD と平行に描きましょう。

四角形DMENは必須セクションです。

b)断面平面とベース平面の間の角度を見つけてみましょう。 断面平面が点 D を通る直線 p に沿ってベース平面と交差するとします。 AC \平行 MN、したがって、AC \平行 p (平面が別の平面に平行な線を通過し、この平面と交差する場合、平面の交線はこの線に平行です)。 BD \perp AC は正方形の対角線であり、BD \perp p を意味します。 BD は ED の平面 ABC への投影であり、3 つの垂線 ED \perp p の定理により、\angle EDB は断面平面とベース平面の間の二面角の直線角になります。

四角形DMENの種類を設定します。 MD \平行 EN、ME \平行 DN に似ています。これは、DMEN が平行四辺形であることを意味し、MD=DN (直角三角形 MAD と NCD は 2 本の脚で等しいため、正方形の辺として AD=DC、AM=CN として) であることを意味します。平行線 AC と MN 間の距離)、したがって DMEN はひし形になります。 したがって、F は MN の中点です。

条件 AM:MA_(1)=2:3 により、 AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6)。

AMNC は長方形、F は MN の中心、O は AC の中心です。 手段、 FO\パラレルMA、 FO\perp AC、 FO=MA=2\sqrt(6)。

正方形の対角線が a\sqrt(2)、ここで、a は正方形の辺であり、次のようになります。 BD=4\sqrt(2)。 OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2)。

直角三角形の FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3)。したがって、\angle FDO=60^\circ となります。