関数 y=x^2 は二次関数と呼ばれます。 二次関数のグラフは放物線になります。 一般的な形式放物線は下の図に示されています。
二次関数
図 1. 放物線の全体図
グラフからわかるように、Oy 軸に関して対称です。 Oy 軸は放物線の対称軸と呼ばれます。 これは、グラフ上で Ox 軸に平行な直線をこの軸の上に引くと、ということを意味します。 次に、放物線と 2 点で交差します。 これらの点から Oy 軸までの距離は同じになります。
対称軸は、放物線のグラフを 2 つの部分に分割します。 この部分を放物線の枝と呼びます。 そして、対称軸上にある放物線の点を放物線の頂点と呼びます。 つまり、対称軸は放物線の頂点を通過します。 この点の座標は (0;0) です。
二次関数の基本的な性質
1. x =0、y=0、x0 で y>0 の場合
2. 二次関数は頂点で最小値に達します。 x=0 で Ymin; この関数には最大値がないことにも注意してください。
3. 関数は区間 (-∞;0] で減少し、区間で増加します)
同じ関数値が複数の引数値で実現できるという事実を説明してみましょう。
2 つの変数 x、y を使用した形式 y = kx + m。 確かに、この方程式 (この数学モデル) に現れる変数 x、y は等しくないと考えられていました。x は、何に関係なく、任意の値を割り当てることができる独立変数 (引数) です。 y は、その値が x のどの値が選択されたかによって決まるため、従属変数です。 しかし、当然のことながら、彼らは会っているのだろうかという疑問が生じます。 数学的モデル同じ計画ですが、y = kx + m の式に従ってではなく、他の方法で y が x で表されるものは何ですか? 答えは明らかです。もちろん、そうします。 たとえば、x が正方形の辺、y がその辺である場合、
面積、次に y - x 2。 x が立方体の側面、y がその体積の場合、y - x 3 となります。 x が面積 100 cm 2 の長方形の一辺、y がそのもう一方の辺であるとします。 したがって、数学では、モデル y-kx + m の学習に限定されず、モデル y = x 2、モデル y = x 3、およびその他の多くのモデルを学習する必要があるのは当然です。同じ構造を持っています。方程式の左側には変数 y があり、右側には変数 x を使用した式があります。 このようなモデルでは、「関数」という用語が維持され、形容詞「線形」が省略されます。
このセクションでは、関数 y = x 2 を検討し、それを構築します スケジュール.
独立変数 x にいくつかの特定の値を与え、従属変数 y の対応する値を計算してみましょう (式 y = x 2 を使用)。
x = 0 の場合、y = O 2 = 0。
x = 1 の場合、y = I 2 = 1。
x = 2 の場合、y = 2 2 = 4。
x = 3 の場合、y = 3 2 = 9。
x = - 1 の場合、y = (-I 2) - 1。
x = - 2 の場合、y = (- 2) 2 = 4。
x = - 3 の場合、y = (- 3) 2 = 9。
つまり、次の表を作成しました。
| バツ | 0 | 1 | 2 | 3 | -1 | -2 | -3 |
| U | 0 | 1 | 4 | 9 | 1 | 4 | 9 |
見つかった点 (0; 0)、(1; 1)、(2; 4)、93; を構築しましょう。 9)、(-1; 1)、(-2; 4)、(-3; 9)、xOy 座標平面上 (図 54、a)。
これらの点は特定の線上にあるので、それを描きましょう (図 54、b)。 この線を放物線といいます。
もちろん、理想的には、引数 x にすべての可能な値を与え、変数 y の対応する値を計算し、結果の点 (x; y) をプロットする必要があります。 そうすれば、スケジュールは完全に正確で、完璧なものになるでしょう。 しかし、そのような点は無数に存在するため、これは非現実的です。 したがって、数学者は次のことを行います。つまり、有限の点のセットを取得し、その上にそれらを構築します。 座標平面そしてこれらの点によって輪郭が描かれる線を見てください。 この線の輪郭が非常に明確に表示される場合 (たとえば、§ 28 の例 1 の場合のように)、この線が描画されます。 エラーが発生する可能性はありますか? それがないわけではありません。 だからこそ、間違いを避ける手段を得るために、私たちは数学をもっと深く勉強する必要があるのです。
図 54 を見て、放物線の幾何学的特性を説明してみましょう。
まず最初に, 放物線は対称性があるため、非常に美しく見えることがわかります。 実際、x 軸の上に x 軸に平行な直線を引くと、この直線は y 軸から等距離にある 2 点で放物線と交差しますが、 異なる側面そこから（図55）。 ちなみに、図 54 の a の点についても同様のことが言えます。
(1; 1) および (-1; 1); (2; 4) および (-2; 4); C; 9) および (-3; 9)。
彼らは、y 軸が放物線 y=x2 の対称軸である、または放物線が y 軸に関して対称であると言います。
第二に, 対称軸が放物線を 2 つの部分に分割しているように見えることがわかります。これらの部分は通常、放物線の枝と呼ばれます。
三番目, 放物線には、両方の枝が交わる特別な点があり、放物線の対称軸上にある点 (点 (0; 0)) があることに注意してください。 その特異性を考慮して、放物線の頂上という特別な名前が付けられました。
第4放物線の 1 つの枝が頂点で別の枝と接続するとき、これは途切れることなくスムーズに起こります。 放物線は X 軸に「押し付けられている」ように見えます。 通常、「放物線は x 軸に接している」と言われます。
ここで、図 54 を見て、関数 y = x 2 のいくつかのプロパティを説明してみましょう。
まず最初に、x = 0 では y - 0、x > 0 では y > 0、x では y > 0 であることに注意してください。< 0.
第二に、 y の名前に注目します。 = 0 ですが、naib は存在しません。
三番目、関数 y = x 2 が光線 (-°°, 0] 上で減少することに気づきます。x のこれらの値を使用して、放物線に沿って左から右に移動すると、「丘を下っていきます」(図を参照)。 55) 関数 y = x 2 は光線上で増加します。
b) セグメント [-3、-1.5]。
c) セグメント [- 3, 2]。
解決、
a) 放物線 y = x 2 を作成し、セグメントから変数 x の値に対応する部分を選択しましょう (図 56)。 グラフの選択した部分の名前が見つかります。 = 1 (x = 1 の場合)、y 最大。 = 9 (x = 3 の場合)。
b) 放物線 y = x 2 を作成し、セグメント [-3, -1.5] から変数 x の値に対応する部分を選択しましょう (図 57)。 グラフの選択した部分について、y の名前が見つかります。 = 2.25 (x = - 1.5 の場合)、y 最大。 = 9 (x = - 3 の場合)。
c) 放物線 y = x 2 を作成し、セグメント [-3, 2] から変数 x の値に対応する部分を選択しましょう (図 58)。 グラフの選択された部分について、y max = 0 (x = 0 で)、y max が見つかります。 = 9 (x = - 3 の場合)。
アドバイス。 関数 y - x 2 を毎回点ごとにプロットするのを避けるために、厚い紙から放物線のテンプレートを切り取ります。 その助けを借りて、放物線を非常に速く描くことができます。
コメント。 放物線テンプレートを準備するように勧めることで、関数 y = x 2 と 一次関数 y = kx + m。 やっぱりスケジュールは 一次関数は直線であり、直線を描くには通常の定規が使用されます。これは、関数 y = kx + m のグラフのテンプレートです。 そこで、関数 y = x 2 のグラフのテンプレートを用意しましょう。
例2。放物線 y = x 2 と直線 y - x + 2 の交点を求めます。
解決。 1 つの座標系で放物線 y = x 2 と直線 y = x + 2 を作成しましょう (図 59)。 これらは点 A と B で交差しており、図面からこれらの点 A と B の座標を見つけるのは難しくありません。点 A については x = - 1、y = 1 が得られ、点 B については x が得られます。 - 2、y = 4。
答え: 放物線 y = x 2 と直線 y = x + 2 は、A (-1; 1) と B (2; 4) の 2 点で交差します。
重要な注意点。これまではかなり大胆に図面を使って結論を出してきました。 しかし、数学者は図面をあまり信用しません。 図 59 で放物線と直線の 2 つの交点を発見し、図面を使用してこれらの点の座標を決定したら、数学者は通常、点 (-1; 1) が実際に両方の直線上にあるかどうかを自分でチェックします。そして放物線。 点 (2; 4) は本当に直線と放物線の両方の上にありますか?
これを行うには、点 A と B の座標を直線の方程式と放物線の方程式に代入し、どちらの場合も正しい等価性が得られることを確認する必要があります。 例 2 では、どちらの場合も等式は true になります。 このチェックは、図面の精度に疑問がある場合に特に頻繁に実行されます。
結論として、物理学者と数学者が共同で発見し証明した、放物線の興味深い特性に注目します。
放物線 y = x 2 をスクリーン、反射面として考え、その点に光源を配置すると、スクリーンの放物線から反射された光線は平行な光線を形成します (図 60)。 。 この点を放物線の焦点といいます。 この考え方は自動車にも応用されており、ヘッドライトの反射面を放物線状にし、その焦点に電球を配置することで、ヘッドライトからの光が遠くまで広がります。
数学におけるカレンダーをテーマにした計画、 ビデオオンライン数学、学校での数学ダウンロード
A. V. ポゴレロフ、7 年生から 11 年生までの幾何学、教科書 教育機関
レッスン内容 レッスンノートサポートフレーム レッスンプレゼンテーション加速手法 インタラクティブテクノロジー 練習する タスクと演習 セルフテスト ワークショップ、トレーニング、ケース、クエスト 宿題 ディスカッションの質問 学生からの修辞的な質問 イラスト オーディオ、ビデオクリップ、マルチメディア写真、絵、グラフィックス、表、図、ユーモア、逸話、ジョーク、漫画、たとえ話、ことわざ、クロスワード、引用符 アドオン 抄録記事 好奇心旺盛なベビーベッドのためのトリック 教科書 基本および追加の用語辞典 その他 教科書と授業の改善教科書の間違いを正す教科書の断片の更新、授業の革新の要素、古い知識を新しい知識に置き換える 教師のみ 完璧なレッスン カレンダープラン 1年間 ガイドラインディスカッションプログラム 総合的な授業これらの点に対称な点の座標に名前を付けます
y 軸に対して:
y
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
バツ
左右の部分（放物線の枝）、座標（0; 0）の点
（放物線の頂点）関数 x 2 の値が最小になります。
機能はそれほど重要ではありません。 放物線の頂点は、
グラフと対称軸 OY の交点。
グラフの x ∈ (– ∞; 0 ] のセクションでは、関数が減少します。
そして x ∈ [ 0; + ∞) が増加します。 関数 y = x 2 + 3 のグラフは同じ放物線ですが、
頂点は座標 (0; 3) の点にあります。 関数の値を見つける
次の場合、y = 5x + 4
x=-1
y = - 1 y = 19
x=-2
y=-6
y=29
x=3
x=5 特定
関数ドメイン:
y = 16 – 5x
10
y
バツ
× – 任意
番号
x≠0
1
y
×7
4×1
y
5
x≠7 関数をグラフ化します。
1).U=2X+3
2).U=-2X-1;
3).
10.
数学的勉強
トピック: 関数 y = x2
11.
建てるスケジュール
機能
y = x2
12.
放物線を作成するためのアルゴリズム1. X 値と Y 値の表に記入します。
2.座標平面内の点をマークします。
その座標は表に示されています。
3.これらの点を滑らかな線で結びます。
13.
信じられないしかしそれは事実です！
パラボラパス
14.
知っていましたか？下に投げ込まれた石の軌跡
地平線に向かって角度をつけて飛んでいきます
放物線。
15. 関数 y = x2 の性質
*関数のプロパティ
y=
2
バツ
16.
*ドメイン関数 D(f):
x – 任意の数値。
*値の範囲
関数 E(f):
y のすべての値は ≥ 0。
17.
*もしx = 0 の場合、y = 0 になります。
関数のグラフ
通過します
起源。
18.
Ⅱ私
*もし
x≠0、
その場合、y > 0になります。
すべてのグラフ点
ポイント以外の機能
(0; 0)、位置
x 軸の上。
19.
*反対x 値
1 つに一致します
y も同じ値です。
関数のグラフ
対称的な
軸に対して
縦座標
20.
幾何学的な放物線の性質
※対称性があります
※軸は放物線を切ります
2 つの部分: 枝
放物線
*点 (0; 0) – 頂点
放物線
※放物線は軸に接しています
横軸
軸
対称
21.
次の場合に y を求めます。「知識は道具であり、
ゴールではない」
L.N.トルストイ
x = 1.4
- 1,4
y = 1.96
x = 2.6
-2,6
y = 6.76
x = 3.1
- 3,1
y = 9.61
次の場合に x を検索します。
y=6
y=4
x ≈ 2.5 x ≈ -2.5
x=2 x=-2
22.
一つに構築する座標系
2 つの関数のグラフ
1. ケース:
y=x2
Y=x+1
2.ケース:
Y=x2
y= -1
23.
探す複数の値
×、それについて
関数値:
4未満
4つ以上
24.
関数 y = x2 のグラフは次の点に属しますか?P(-18; 324)
R(-99; -9081)
所属
所属していない
S(17; 279)
所属していない
計算を実行せずに、次のどれかを決定します。
点は関数 y = x2 のグラフに属しません。
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
a のどの値で点 P(a; 64) は関数 y = x2 のグラフに属しますか。
a = 8; a = - 8
(16; 0)
25.
方程式を解くアルゴリズムグラフィック的に
1. 1つのシステムを構築する
立っている関数のグラフィックの座標
方程式の左辺と右辺にあります。
2. 交点の横座標を求めます。
グラフ。 これらが根元になります
方程式
3. 交点がない場合は、
方程式には根がありません
実際にやってみるとわかるように、二次関数のプロパティとグラフに関するタスクは深刻な問題を引き起こします。 これは非常に奇妙です。なぜなら、彼らは 8 年生で二次関数を勉強し、その後 9 年生の最初の四半期を通して放物線の特性を「苦しめ」、さまざまなパラメータのグラフを作成するからです。
これは、生徒に放物線の作成を強制するとき、実際にはグラフを「読む」ことに時間を費やしていない、つまり、画像から受け取った情報を理解する練習をしていないという事実によるものです。 どうやら、十数か 2 のグラフを作成した後、賢い学生自身が式の係数とグラフの関係を発見して定式化することが想定されています。 外観グラフィックアート。 実際にはこれは機能しません。 このような一般化を行うには、数学的なミニ研究における本格的な経験が必要ですが、もちろん、ほとんどの 9 年生はそのような経験を持っていません。 一方、州検査局は、スケジュールを使用して係数の符号を決定することを提案しています。
私たちは、学童に不可能なことを要求するのではなく、そのような問題を解決するためのアルゴリズムの 1 つを提供するだけです。
したがって、フォームの関数は y = ax 2 + bx + c二次関数と呼ばれ、そのグラフは放物線です。 名前が示すように、主な用語は次のとおりです。 斧2。 あれは あ残りの係数 ( bそして と) はゼロに等しくなります。
その係数の符号が放物線の外観にどのような影響を与えるかを見てみましょう。
係数の最も単純な依存関係 あ。 ほとんどの学童は自信を持って次のように答えます。 あ> 0 の場合、放物線の枝は上向きになります。 あ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой あ > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
この場合 あ = 0,5
そして今、 あ < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
この場合 あ = - 0,5
係数の影響 と従うのもとても簡単です。 ある点における関数の値を見つけたいと想像してみましょう。 バツ= 0。式にゼロを代入します。
y = ある 0 2 + b 0 + c = c。 判明したのは、 y = c。 あれは と放物線と y 軸の交点の縦座標です。 通常、この点はグラフ上で簡単に見つけることができます。 そして、それがゼロより上か下かを判断します。 あれは と> 0 または と < 0.
と > 0:
y = x 2 + 4x + 3
と < 0
y = x 2 + 4x - 3
したがって、もし と= 0 の場合、放物線は必ず原点を通過します。
y = x 2 + 4x
パラメーターを使用するとさらに難しくなります b。 それを見つける時点は、次のものだけではありません。 bでもまたから あ。 これが放物線の頂点です。 その横座標（軸座標） バツ)は次の式で求められます。 x in = - b/(2a)。 したがって、 b = - 2ax インチ。 つまり、次のように進めます。グラフ上の放物線の頂点を見つけ、その横座標の符号を決定します。つまり、ゼロの右側を調べます ( ×で> 0) または左へ ( ×で < 0) она лежит.
しかし、それだけではありません。 係数の符号にも注意する必要があります あ。 つまり、放物線の枝がどこを向いているかに注目してください。 そしてその後初めて、公式に従って、 b = - 2ax インチサインを決める b.
例を見てみましょう:
枝が上を向いているということは、 あ> 0、放物線は軸と交差します でゼロ以下を意味する と < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, ×で> 0. それで b = - 2ax インチ = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: あ > 0, b < 0, と < 0.
