で 現代社会変数の 2 乗を含む方程式を使用して演算を実行できる機能は、多くの活動分野で役立ち、科学分野や科学分野で実際に広く使用されています。 技術開発。 この証拠は、海や川の船、航空機、ロケットの設計に見られます。 このような計算を使用して、宇宙物体を含むさまざまな物体の移動軌跡が決定されます。 二次方程式の解を使った例は、経済予測、建物の設計、建設だけでなく、最も普通の日常の状況でも使用されます。 必要になる場合があります ハイキング旅行、スポーツイベント、買い物中の店内、その他の非常に一般的な状況で。
式を構成要素に分解してみましょう
方程式の次数は、式に含まれる変数の次数の最大値によって決まります。 それが 2 に等しい場合、そのような方程式は二次方程式と呼ばれます。
私たちが数式の言語で話す場合、示された式は、それがどのように見えるかに関係なく、式の左辺が 3 つの項で構成されている場合に常に形にすることができます。 その中には、ax 2 (つまり、係数を 2 乗した変数)、bx (係数を 2 乗しない未知数)、および c (自由成分、つまり通常の数) があります。 右辺のすべては 0 に等しい。このような多項式が ax 2 を除いてその構成項の 1 つを欠いている場合、それは不完全二次方程式と呼ばれます。 このような問題の解決策の例、見つけやすい変数の値を最初に考慮する必要があります。
式の右側に 2 つの項、より正確には ax 2 と bx があるように見える場合、x を見つける最も簡単な方法は、変数を括弧の外に置くことです。 これで、方程式は x(ax+b) のようになります。 次に、x=0 であるか、問題は次の式から変数を見つけることになることが明らかになります: ax+b=0。 これは、乗算の特性の 1 つによって決定されます。 このルールでは、2 つの因子の積は、そのうちの 1 つが一致する場合にのみ 0 になると規定されています。 ゼロに等しい.
例
x=0 または 8x - 3 = 0
その結果、方程式の 2 つの根、0 と 0.375 が得られます。
この種の方程式は、座標の原点としてとられる特定の点から動き始める、重力の影響下での物体の動きを記述することができます。 ここで数学的表記法は次のようになります。 次のフォーム: y = v 0 t + gt 2 /2。 置き換える 必要な値右辺を 0 として、考えられる未知数を見つけることで、物体が上昇する瞬間から下降する瞬間までに経過する時間やその他の多くの量を知ることができます。 しかし、これについては後で話します。
式の因数分解
上で説明したルールにより、より複雑な場合でもこれらの問題を解決できるようになります。 このタイプの二次方程式を解く例を見てみましょう。
X 2 - 33x + 200 = 0
この二次三項式は完成です。 まず、式を変形して因数分解してみましょう。 それらは 2 つあります: (x-8) と (x-25) = 0。その結果、2 つの根 8 と 25 が得られます。
9 年生で二次方程式を解く例では、この方法で 2 次だけでなく 3 次や 4 次の式の変数を見つけることができます。
例: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0。右辺を変数で因数分解する場合、(x+1)、(x-3)、(x+) の 3 つが存在します。 3)。
その結果、この方程式には 3 つの根があることが明らかになります。 -1; 3.
平方根
不完全な 2 次方程式のもう 1 つのケースは、右辺が成分 ax 2 と c から構成されるような方法で文字言語で表される式です。 ここで、変数の値を求めるには、自由項を右辺に移した後、等式の両辺から抽出します。 平方根。 この場合、通常、方程式の根が 2 つ存在することに注意してください。 唯一の例外は、変数がゼロに等しい項をまったく含まない等式、および右辺が負の場合の式の変形です。 後者の場合、ルートでは上記のアクションを実行できないため、解決策はまったくありません。 このタイプの二次方程式の解の例を考慮する必要があります。
この場合、方程式の根は数値 -4 と 4 になります。
土地面積の計算
この種の計算の必要性は古代に現れました。その遠い時代の数学の発展は、土地区画の面積と周囲を最高の精度で決定する必要性によって主に決定されたからです。
この種の問題に基づいて二次方程式を解く例も考慮する必要があります。
そこで、長さが幅より 16 メートル大きい、長方形の土地があるとします。 敷地面積が 612 平方メートルであることがわかっていれば、敷地の長さ、幅、周囲の長さを見つける必要があります。
まず、必要な方程式を作成しましょう。 領域の幅を x で表すと、その長さは (x+16) になります。 ここまでの内容から、面積は式 x(x+16) によって決定されることがわかり、問題の条件によれば、面積は 612 になります。これは、x(x+16) = 612 を意味します。
完全な 2 次方程式を解くことは、この式がまさにそれですが、同じ方法では実行できません。 なぜ？ 左側には依然として 2 つの因子が含まれていますが、それらの積はまったく 0 に等しくないため、ここでは別の方法が使用されます。
判別式
まず、必要な変換を行ってから、 外観この式の式は次のようになります: x 2 + 16x - 612 = 0。これは、以前に指定された標準 (a=1、b=16、c=-612) に対応する形式で式を受け取ったことを意味します。
これは、判別式を使用して二次方程式を解く例となります。 ここ 必要な計算 D = b 2 - 4ac というスキームに従って生成されます。 この補助量は、2 次方程式で必要な量を見つけることを可能にするだけでなく、量を決定します。 可能なオプション。 D>0 の場合、それらは 2 つあります。 D=0 の場合、根は 1 つあります。 Dの場合<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
根とその公式について
この場合、判別式は 256 - 4(-612) = 2704 となります。これは、問題には答えがあることを示しています。 k がわかっている場合は、次の式を使用して二次方程式の解を続ける必要があります。 根を計算することができます。
これは、提示されたケースでは、x 1 =18、x 2 =-34 であることを意味します。 このジレンマの 2 番目のオプションは解決策にはなりません。土地区画の寸法は負の量で測定できないためです。つまり、x (つまり、区画の幅) は 18 m になります。ここから長さを計算すると、18 になります。 +16=34、周長2(34+18)=104(m2)となります。
例と問題点
私たちは二次方程式の研究を続けます。 それらのいくつかの例と詳細な解決策を以下に示します。
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
すべてを等式の左側に移動し、変換を行います。つまり、通常標準と呼ばれるタイプの方程式を取得し、それをゼロに等しくします。
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
同様のものを追加すると、判別式が決定されます: D = 49 - 48 = 1。これは、方程式には 2 つの根があることを意味します。 上の式に従って計算してみましょう。つまり、最初の値は 4/3 に等しく、2 番目の値は 1 に等しくなります。
2) 今度は、別の種類の謎を解いてみましょう。
ここに根があるかどうかを調べてみましょう x 2 - 4x + 5 = 1? 包括的な答えを得るために、多項式を対応する通常の形式に還元し、判別式を計算しましょう。 上の例では、二次方程式を解く必要はありません。これは問題の本質ではありません。 この場合、D = 16 - 20 = -4 となり、実際には根が存在しないことを意味します。
ビエタの定理
二次方程式後者の値から平方根を求める場合、上記の式と判別式を使って解くと便利です。 しかし、これは常に起こるわけではありません。 ただし、この場合、変数の値を取得する方法はたくさんあります。 例: ビエタの定理を使用して二次方程式を解く。 彼女は、16 世紀にフランスに住んでいて、数学的才能と宮廷でのコネのおかげで輝かしいキャリアを築いた人物にちなんで名付けられました。 彼の肖像画は記事で見ることができます。
有名なフランス人が気づいたパターンは次のとおりです。 彼は、方程式の根を数値的に合計すると -p=b/a となり、その積が q=c/a に対応することを証明しました。
次に、具体的なタスクを見てみましょう。
3x 2 + 21x - 54 = 0
簡単にするために、式を変換しましょう。
× 2 + 7x - 18 = 0
ビエタの定理を使用してみましょう。これにより、根の合計は -7 で、その積は -18 になります。 ここから、方程式の根が数値 -9 と 2 であることがわかります。チェック後、これらの変数値が本当に式に適合するかどうかを確認します。
放物線グラフと方程式
二次関数と二次方程式の概念は密接に関連しています。 この例はすでに前に示しました。 それでは、数学的ななぞなぞをもう少し詳しく見てみましょう。 記述されたタイプの方程式はどれも視覚的に表現できます。 このような関係をグラフで表したものを放物線と呼びます。 そのさまざまなタイプを次の図に示します。
どの放物線にも頂点、つまり枝が現れる点があります。 a>0 の場合、それらは無限大まで高くなり、<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
関数の視覚的表現は、二次方程式を含むあらゆる方程式を解くのに役立ちます。 この方法はグラフィカルと呼ばれます。 そして、変数 x の値は、グラフの線が 0x と交差する点の横座標です。 頂点の座標は、x 0 = -b/2a という式を使用して求めることができます。 そして、得られた値を関数の元の方程式に代入することで、y 0、つまり縦軸に属する放物線の頂点の 2 番目の座標を求めることができます。
放物線の枝と横軸の交点
二次方程式を解く例はたくさんありますが、一般的なパターンもあります。 それらを見てみましょう。 a>0 のグラフと 0x 軸の交差は、0 が負の値をとる場合にのみ可能であることは明らかです。 そして、<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. それ以外の場合 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
放物線のグラフから根を求めることもできます。 その逆もまた真です。 つまり、二次関数を視覚的に表現するのが難しい場合は、式の右辺を 0 とみなして、結果の方程式を解くことができます。 また、0x 軸との交点がわかれば、グラフの作成が容易になります。
歴史から
昔は、二乗変数を含む方程式を使用して、数学的な計算を行って幾何学的図形の面積を決定しただけではありませんでした。 古代人は、占星術の予測を行うだけでなく、物理学や天文学の分野で壮大な発見をするためにそのような計算を必要としていました。
現代の科学者が示唆しているように、バビロンの住民は二次方程式を最初に解いた人々の一人です。 これは私たちの時代の4世紀前に起こりました。 もちろん、彼らの計算は現在受け入れられているものとは根本的に異なり、より原始的なものであることが判明しました。 たとえば、メソポタミアの数学者は負の数の存在についてまったく知りませんでした。 彼らはまた、現代の小学生なら誰でも知っている他の微妙な点にも慣れていませんでした。
おそらくバビロンの科学者よりもさらに早く、インドの賢者バウダヤマが二次方程式を解き始めました。 これはキリストの時代の約8世紀前の出来事です。 確かに、彼が与えた二次方程式、つまり解法は最も単純なものでした。 彼以外にも、昔は中国の数学者も同様の疑問に興味を持っていました。 ヨーロッパでは、二次方程式が解き始められたのは 13 世紀初頭になってからでしたが、その後、ニュートン、デカルト、その他多くの偉大な科学者によって研究の中で使用されました。
学校の代数カリキュラム全体の中で、最も広範なトピックの 1 つは二次方程式のトピックです。 この場合、二次方程式は ax 2 + bx + c = 0 の形式の方程式として理解されます。ここで、a ≠ 0 (つまり、a に x の 2 乗を掛けて、be x に ce を掛けた値は 0 に等しくなりますが、a はそうではありません)ゼロに等しい)。 この場合、主な場所は、指定されたタイプの 2 次方程式の判別式を求める公式によって占められます。これは、2 次方程式の根の有無とその根の有無を決定できる式として理解されます。番号 (ある場合)。
二次方程式の判別式の式（方程式）
二次方程式の判別式として一般に受け入れられている公式は次のとおりです: D = b 2 – 4ac。 指定した式を使用して判別式を計算することにより、2次方程式の根の有無と数を判断できるだけでなく、2次方程式の種類に応じていくつかの根を求める方法を選択することもできます。
判別式がゼロの場合は何を意味しますか \ 判別式がゼロの場合の二次方程式の根の公式
式からわかるように、判別式はラテン文字 D で表されます。判別式が 0 に等しい場合、ax 2 + bx + c = 0 の形式の二次方程式が成立すると結論付けられます。ここで、a ≠ 0 の場合、根は 1 つだけあり、簡略化された式で計算されます。 この式は、判別式が 0 の場合にのみ適用され、次のようになります: x = –b/2a。ここで、x は二次方程式の根、b と a は二次方程式の対応する変数です。 二次方程式の根を求めるには、変数 b の負の値を変数 a の値の 2 倍で割る必要があります。 結果として得られる式は、二次方程式の解になります。
判別式を使用して二次方程式を解く
上記の式を使用して判別式を計算するときに正の値が得られる場合 (D が 0 より大きい)、二次方程式には 2 つの根があり、次の式を使用して計算されます。 x 1 = (–b + vD)/ 2a、x 2 = (–b – vD) /2a。 ほとんどの場合、判別式は個別に計算されず、判別式の形式の根号式が単純に根が抽出される値 D に代入されます。 変数 b の値が偶数の場合、ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) の形式の二次方程式の根を計算するには、次の式を使用することもできます。 x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a 、x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a、ここで k = b/2。
場合によっては、二次方程式を実際に解くために、x 2 + px + q = 0 の形式の二次方程式の根の和の値が x 1 + x 2 = –p になることを示すビエタの定理を使用できます。指定された方程式の根の積、式 x 1 x x 2 = q については true になります。
判別式をゼロ未満にすることはできますか?
判別値を計算するとき、判別値が負の値を持つ場合 (つまり、 ゼロ未満）。 この場合、一般に ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) の形式の二次方程式には実根がないことが認められているため、その解法は判別式の計算と上記の式に限定されます。この場合、二次方程式の根は適用されないため、適用されることになります。 同時に、二次方程式の答えには「この方程式には実根がない」とも書かれています。
説明ビデオ:
最初のレベル
二次方程式。 総合ガイド (2019)
「二次方程式」という言葉のキーワードは「二次」です。 これは、方程式には変数 (同じ x) の 2 乗が必ず含まれている必要があり、x の 3 乗 (またはそれ以上) 乗があってはいけないことを意味します。
多くの方程式の解は、結局、二次方程式を解くことに帰着します。
これが二次方程式であり、他の方程式ではないことを判断する方法を学びましょう。
例1.
分母を取り除き、方程式の各項に次の値を掛けてみましょう。
すべてを左側に移動し、項を X のべき乗の降順に並べてみましょう
これで、この方程式は二次方程式であると自信を持って言えます。
例2。
左辺と右辺に次の値を掛けます。
この方程式は、もともと入っていたのですが、二次方程式ではありません。
例 3.
すべてに次の値を掛けてみましょう。
怖い？ 4 次と 2 次...ただし、置き換えると、単純な 2 次方程式が得られることがわかります。
例4.
あるようですが、もう少し詳しく見てみましょう。 すべてを左側に移動しましょう。
ご覧のとおり、それは縮小され、単純な線形方程式になりました。
次に、次の方程式のうちどれが 2 次方程式であり、どれが二次方程式でないのかを自分で判断してみてください。
例:
答え:
- 四角;
- 四角;
- 正方形ではありません。
- 正方形ではありません。
- 正方形ではありません。
- 四角;
- 正方形ではありません。
- 四角。
数学者は慣例的にすべての二次方程式を次のタイプに分類します。
- 完全な二次方程式- 係数 および 自由項 c がゼロに等しくない方程式 (例のように)。 さらに、完全な二次方程式の中には、 与えられた- これらは、係数を含む方程式です (例 1 の方程式は完全であるだけでなく、削減もされています)。
- 不完全な二次方程式- 係数または自由項 c がゼロに等しい方程式:
いくつかの要素が欠けているため、それらは不完全です。 ただし、方程式には常に x の 2 乗が含まれている必要があります。 そうしないと、二次方程式ではなくなり、別の方程式になってしまいます。
なぜ彼らはそのような分け方を思いついたのでしょうか？ X の 2 乗があるように見えますが、大丈夫です。 この分割は解法によって決まります。 それぞれを詳しく見てみましょう。
不完全な二次方程式を解く
まず、不完全な 2 次方程式を解くことに焦点を当てましょう。それらははるかに単純です。
不完全二次方程式には次の種類があります。
- 、この式では係数は等しいです。
- 、この式では、自由項は次の値に等しい。
- , この式では、係数と自由項は等しいです。
1.i. 平方根の求め方はわかったので、この式から表してみましょう
式は否定的でも肯定的でも構いません。 2 つの負の数または 2 つの正の数を乗算すると、結果は常に正の数になるため、二乗数は負にはなりません。したがって、次の場合、方程式には解がありません。
そして、もしそうなら、2つのルートが得られます。 これらの公式は暗記する必要はありません。 重要なことは、それを減らすことはできないということを理解し、常に覚えておく必要があるということです。
いくつかの例を解いてみましょう。
例 5:
方程式を解く
あとは左右の根元を抜くだけです。 結局のところ、根を取り出す方法を覚えていますか？
答え：
マイナス記号の付いたルートを決して忘れないでください!!!
例 6:
方程式を解く
答え：
例 7:
方程式を解く
おお！ 数値の 2 乗を負にすることはできません。つまり、次の方程式は次のようになります。
根がない！
このような根のない方程式に対して、数学者は特別なアイコン (空集合) を考え出しました。 そして、答えは次のように書くことができます。
答え：
したがって、この二次方程式には 2 つの根があります。 ルートを抽出していないため、ここでは制限はありません。
例 8:
方程式を解く
括弧内の共通因数を取り出してみましょう。
したがって、
この方程式には 2 つの根があります。
答え：
不完全二次方程式の最も単純なタイプ（どれも単純ですよね？）。 明らかに、この方程式には常に根が 1 つだけあります。
ここでは例を使わずに説明します。
完全な二次方程式を解く
完全な二次方程式は次の形式の方程式であることを思い出してください。
完全な 2 次方程式を解くことは、これらよりも少し (ほんの少しだけ) 難しくなります。
覚えて、 二次方程式は判別式を使用して解くことができます。 未完成でも。
他の方法を使用すると、より速く解くことができますが、二次方程式で問題が発生した場合は、まず判別式を使用した解法をマスターしてください。
1. 判別式を使用して二次方程式を解きます。
この方法を使用して二次方程式を解くのは非常に簡単です。重要なのは、一連のアクションといくつかの公式を覚えておくことです。
方程式に根がある場合は、ステップに特に注意する必要があります。 判別式 () は方程式の根の数を示します。
- の場合、ステップ内の式は次のようになります。 したがって、方程式には根のみが存在します。
- そうすると、そのステップで判別式の根を抽出することができなくなります。 これは、方程式に根がないことを示しています。
方程式に戻り、いくつかの例を見てみましょう。
例9:
方程式を解く
ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、方程式には 2 つの根があることを意味します。
ステップ3。
答え：
例 10:
方程式を解く
方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、方程式の根が 1 つであることを意味します。
答え：
例 11:
方程式を解く
方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、判別式の根を抽出できないことを意味します。 方程式の根はありません。
これで、そのような答えを正しく書き留める方法がわかりました。
答え：根がない
2. ビエタの定理を使用して二次方程式を解きます。
覚えていると思いますが、reduced (係数 a が等しい場合) と呼ばれるタイプの方程式があります。
このような方程式は、ビエタの定理を使用すると非常に簡単に解くことができます。
根の和 与えられた二次方程式は等しく、根の積は等しい。
例 12:
方程式を解く
この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。
方程式の根の合計は等しい、つまり 最初の方程式が得られます。
そして積は次と等しくなります。
システムを構成して解決しましょう。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は同等です。
システムの解決策は次のとおりです。
答え： ; .
例 13:
方程式を解く
答え：
例 14:
方程式を解く
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
答え：
二次方程式。 平均レベル
二次方程式とは何ですか?
言い換えれば、二次方程式は、 - 未知のもの、 - いくつかの数値、そして
その数字は最高または 最初の係数二次方程式、- 2番目の係数、A - 無料会員.
なぜ？ なぜなら、方程式がすぐに線形になると、 消えるだろう。
この場合、 および はゼロに等しくなります。 この椅子では方程式は不完全と呼ばれます。 すべての項が適切であれば、方程式は完了します。
さまざまな種類の二次方程式の解法
不完全な二次方程式を解く方法:
まず、不完全な二次方程式を解く方法を見てみましょう - それらはより簡単です。
次のタイプの方程式を区別できます。
I.、この式では係数と自由項は等しいです。
II. 、この式では係数は等しいです。
Ⅲ． 、この式では、自由項は次の値に等しい。
次に、これらのサブタイプのそれぞれに対する解決策を見てみましょう。
明らかに、この方程式には常に根が 1 つだけあります。
2 つの負の数または 2 つの正の数を乗算すると、結果は常に正の数になるため、平方数は負の数にはなりません。 それが理由です：
場合、方程式には解がありません。
ルートが 2 つある場合
これらの公式は暗記する必要はありません。 覚えておくべき主な点は、それよりも小さくすることはできないということです。
例:
解決策:
答え：
マイナス記号の付いたルートを決して忘れないでください。
数値の 2 乗を負にすることはできません。つまり、次の方程式は次のようになります。
根がない。
問題に解決策がないことを簡単に示すために、空のセットのアイコンを使用します。
答え：
したがって、この方程式には 2 つの根があります: と。
答え：
括弧内の共通因数を取り出してみましょう。
因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 これは、次の場合に方程式に解があることを意味します。
したがって、この二次方程式には 2 つの根があります: と。
例：
方程式を解きます。
解決：
方程式の左辺を因数分解して根を求めてみましょう。
答え：
完全な二次方程式を解く方法:
1. 判別式
この方法で二次方程式を解くのは簡単ですが、重要なのは一連のアクションといくつかの公式を覚えておくことです。 二次方程式は判別式を使用して解くことができることを覚えておいてください。 未完成でも。
根の公式の判別式から根が出ていることに気づきましたか？ ただし、判別式は負の値になる場合があります。 何をするか？ ステップ 2 には特に注意を払う必要があります。判別式は方程式の根の数を示します。
- 次の場合、方程式には根があります。
- もし、方程式の根が同じで、実際には根が 1 つある場合:
このような根は二重根と呼ばれます。
- 場合、判別式の根は抽出されません。 これは、方程式に根がないことを示しています。
なぜさまざまな数の根が考えられるのでしょうか? 二次方程式の幾何学的意味に目を向けましょう。 関数のグラフは放物線です。
特殊な場合、つまり二次方程式では、 . これは、二次方程式の根が横軸（軸）との交点であることを意味します。 放物線は軸とまったく交差しないことも、1 点 (放物線の頂点が軸上にある場合) または 2 点で交差することもあります。
さらに、係数は放物線の枝の方向に影響します。 放物線の枝は上向きであり、場合は下向きです。
例:
解決策:
答え：
答え： 。
答え：
これは、解決策がないことを意味します。
答え： 。
2. ビエタの定理
ビエタの定理を使用するのは非常に簡単です。積が方程式の自由項に等しく、その合計が反対の符号をとった 2 番目の係数に等しい数値のペアを選択するだけです。
ビエタの定理は次の場合にのみ適用できることを覚えておくことが重要です。 縮小二次方程式 ()。
いくつかの例を見てみましょう。
例 #1:
方程式を解きます。
解決：
この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。 その他の係数: ; 。
方程式の根の合計は次のとおりです。
そして積は次と等しくなります。
積が等しい数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は同等です。
システムの解決策は次のとおりです。
したがって、 と は方程式の根です。
答え： ; 。
例2:
解決：
積の積を与える数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。
そして：彼らは合計で与えます。
そして：彼らは合計で与えます。 取得するには、想定されるルートの符号を変更するだけで十分です。そして結局のところ、製品です。
答え：
例 #3:
解決：
方程式の自由項は負であるため、根の積は負の数になります。 これは、ルートの一方が負で、もう一方が正の場合にのみ可能です。 したがって、根の合計は次のようになります。 モジュールの違い.
積で得られる、その差が以下に等しい数値のペアを選択しましょう。
そして：それらの差は等しい - 適合しません。
および: - 適切ではありません。
および: - 適切ではありません。
そして： - 適切です。 残っているのは、根の 1 つがネガティブであることを覚えておくことだけです。 それらの合計は等しい必要があるため、係数が小さい方の根は負である必要があります: 。 私たちは以下をチェックします:
答え：
例 #4:
方程式を解きます。
解決：
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
自由項は負であるため、根の積は負になります。 そして、これは方程式の一方の根が負で、もう一方の根が正の場合にのみ可能です。
積が等しい数値のペアを選択し、どの根に負の符号を付けるかを決定してみましょう。
明らかに、最初の条件に適しているのはルートとのみです。
答え：
例5:
方程式を解きます。
解決：
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
根の合計は負です。これは、根の少なくとも 1 つが負であることを意味します。 しかし、それらの積は正であるため、両方の根にマイナス符号があることを意味します。
積が次と等しい数値のペアを選択しましょう。
明らかに、ルートは数値とです。
答え：
同意します。この厄介な判別式を数える代わりに、口頭でルートを考え出すのは非常に便利です。 ビエタの定理をできるだけ頻繁に使用するようにしてください。
しかし、ビエタの定理は、根の発見を容易にし、迅速化するために必要です。 これを使用することでメリットを享受するには、アクションを自動化する必要があります。 このために、さらに 5 つの例を解きます。 ただし、不正行為はしないでください。判別式は使用できません。 ビエタの定理のみ:
独立した作業のためのタスクの解決策:
タスク 1. ((x)^(2))-8x+12=0
ビエタの定理によれば、次のようになります。
いつものように、次の作品から選択を開始します。
量が多いので適切ではありません。
: 必要な量だけです。
答え： ; 。
タスク2。
そしてまた私たちのお気に入りのビエタの定理です。和は等しくなければならず、積は等しくなければなりません。
しかし、そうではないはずなので、ルートの符号を変更します: と (合計)。
答え： ; 。
タスク3。
うーん...それはどこですか？
すべての用語を 1 つの部分に移動する必要があります。
根の和は積に等しい。
わかった、やめて！ 方程式は与えられていません。 しかし、ビエタの定理は与えられた方程式にのみ適用できます。 したがって、最初に方程式を与える必要があります。 リードできない場合は、この考えを放棄し、別の方法 (たとえば、判別式など) で解決してください。 二次方程式を与えるということは、主要な係数を等しくすることを意味することを思い出してください。
素晴らしい。 したがって、根の合計は積と等しくなります。
ここで選ぶのはとても簡単です。結局のところ、それは素数なのです (同語反復でごめんなさい)。
答え： ; 。
タスク4。
無料会員はマイナスです。 これの何が特別なのでしょうか？ そして実際には、根にはさまざまな兆候があります。 そして今、選択中に、ルートの合計ではなく、それらのモジュールの差をチェックします。この差は等しいですが、積です。
したがって、根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。 ビエタの定理は、根の和が反対の符号を持つ 2 番目の係数に等しいことを示しています。 これは、小さいルートにはマイナスが含まれることを意味します。
答え： ; 。
タスク5。
まず何をすべきでしょうか? そうです、方程式を与えてください:
繰り返しになりますが、数値の因数を選択します。その差は次と等しくなります。
根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。 どれの？ それらの合計は等しい必要があります。これは、マイナスの方が根が大きくなるということを意味します。
答え： ; 。
要約してみましょう:
- ビエタの定理は、与えられた二次方程式でのみ使用されます。
- ビエタの定理を使用すると、選択によって根を口頭で見つけることができます。
- 方程式が指定されていないか、自由項の適切な因数のペアが見つからない場合は、全根は存在しないため、別の方法 (判別式など) で解く必要があります。
3. 完全な正方形を選択する方法
未知数を含むすべての項が省略された乗算公式 (和または差の 2 乗) の項の形式で表される場合、変数を置き換えた後、方程式はこのタイプの不完全 2 次方程式の形式で表すことができます。
例えば：
例 1:
方程式を解きます: 。
解決：
答え：
例 2:
方程式を解きます: 。
解決：
答え：
一般に、変換は次のようになります。
これは次のことを意味します。
何か思い出しませんか？ これは差別行為ですよ！ まさにこのようにして判別式が得られました。
二次方程式。 主なものについて簡単に説明
二次方程式- これは次の形式の方程式です。ここで、- 未知数、- 二次方程式の係数、- 自由項です。
完全な二次方程式- 係数がゼロに等しくない方程式。
縮小二次方程式- 係数を含む方程式、つまり: 。
不完全な二次方程式- 係数または自由項 c がゼロに等しい方程式:
- 係数の場合、方程式は次のようになります:
- 自由項がある場合、方程式は次の形式になります。
- の場合、方程式は次のようになります。
1. 不完全二次方程式を解くアルゴリズム
1.1. 次の形式の不完全二次方程式。ここで、
1) 未知のものを表現してみましょう: 、
2) 式の符号を確認します。
- 方程式に解がない場合、
- の場合、方程式には 2 つの根があります。
1.2. 次の形式の不完全二次方程式。ここで、
1) 括弧内の共通因数を取り出してみましょう: ,
2) 因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 したがって、方程式には 2 つの根があります。
1.3. 次の形式の不完全な二次方程式。
この方程式には常に根が 1 つだけあります: 。
2. 次の形式の完全な 2 次方程式を解くためのアルゴリズム。
2.1. 判別式を使った解法
1) 方程式を次のように簡略化しましょう 標準ビュー: ,
2) 次の式を使用して判別式を計算しましょう。これは方程式の根の数を示します。
3) 方程式の根を求めます。
- の場合、方程式には根があり、次の式で求められます。
- 場合、方程式には根があり、これは次の式で求められます。
- の場合、方程式には根がありません。
2.2. ビエタの定理を用いた解法
縮小された 2 次方程式 (where の形式の方程式) の根の和は等しく、根の積は等しい、つまり、 、A.
2.3. 完全な正方形を選択する方法による解法
次の形式の二次方程式に根がある場合、次の形式で書くことができます。
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二次方程式は物理学や数学のさまざまな問題を解くときによく登場します。 この記事では、「判別式を通じて」普遍的な方法でこれらの等式を解く方法を見ていきます。 取得した知識の使用例も記事内に記載されています。
どのような方程式について話しますか?
以下の図は、x が未知の変数であり、ラテン語記号 a、b、c が既知の数値を表す式を示しています。
これらの各記号は係数と呼ばれます。 ご覧のとおり、数値「a」が変数 x の 2 乗の前に表示されます。 これは表現される式の最大累乗であり、これが二次方程式と呼ばれる理由です。 その別の名前は、二次方程式という名前でよく使用されます。 値 a 自体は 2 乗係数 (変数を 2 乗した状態で立つ)、b は線形係数 (変数の 1 乗の隣にある)、そして最後の数値 c は自由項です。
上の図に示されている方程式のタイプは、一般的な古典的な 2 次式であることに注意してください。 これに加えて、係数 b と c がゼロになる可能性のある他の 2 次方程式もあります。
問題の等式を解くようにタスクが設定されている場合、これは、それを満たす変数 x の値を見つける必要があることを意味します。 ここで、最初に覚えておく必要があるのは、X の最大次数が 2 であるため、このタイプの式には 2 つを超える解を含めることはできないということです。 これは、方程式を解くときに、それを満たす x の 2 つの値が見つかった場合、3 番目の数字が存在しないと確信でき、それを x に置き換えると、等式も真になります。 数学における方程式の解は、その方程式の根と呼ばれます。
2次方程式を解く方法
このタイプの方程式を解くには、それに関する理論の知識が必要です。 学校の代数コースでは、4 つの異なる解法が検討されます。 それらを列挙してみましょう:
- 因数分解を使用する。
- 完全な正方形の公式を使用します。
- 対応する二次関数のグラフを適用することによって。
- 判別式を使って。
最初の方法の利点はその単純さですが、すべての方程式に使用できるわけではありません。 2 番目の方法は普遍的ですが、やや面倒です。 3 番目の方法はその明確さによって区別されますが、常に便利で適用できるとは限りません。 最後に、判別方程式の使用は、あらゆる 2 次方程式の根を見つけるための普遍的で非常に簡単な方法です。 したがって、この記事ではそれのみを検討します。
方程式の根を求める公式
二次方程式の一般形式に目を向けましょう。 それを書き留めてみましょう: a*x²+ b*x + c =0。 「判別式によって」解く方法を使用する前に、必ず等式をその記述形式に反映する必要があります。 つまり、3 つの項 (b または c が 0 の場合はそれ以下) で構成されている必要があります。
たとえば、x²-9*x+8 = -5*x+7*x² という式がある場合、まずそのすべての項を等式の片側に移動し、変数 x を含む項を式に追加する必要があります。同じ力。
この場合、この演算により式 -6*x²-4*x+8=0 が生成されます。これは方程式 6*x²+4*x-8=0 と等価です (ここでは左と等式の右辺を -1) で計算します。
上の例では、a = 6、b=4、c=-8 です。 考慮中の等式のすべての項は常に合計されることに注意してください。そのため、「-」記号が表示される場合、この場合の数値 c のように、対応する係数が負であることを意味します。
この点を検討した上で、二次方程式の根を求めることを可能にする公式そのものに移りましょう。 下の写真のような感じです。
この式からわかるように、2 つの根が得られます (「±」記号に注意してください)。 これを行うには、係数 b、c、および a を代入するだけで十分です。
判別式の概念
前の段落では、2 次方程式をすばやく解くことができる公式を示しました。 この中で、基数式は判別式と呼ばれます。つまり、D = b²-4*a*c です。
なぜ式のこの部分が特別に取り上げられ、なぜ独自の名前が付いているのでしょうか? 実際には、判別式は方程式の 3 つの係数すべてを 1 つの式に接続します。 最後の事実は、ルートに関する情報を完全に保持していることを意味し、次のリストで表すことができます。
- D>0: 等価性は 2 です さまざまなソリューション、そしてそれらは両方とも表します 実数.
- D=0: 方程式には根が 1 つだけあり、それは実数です。
判別式決定タスク
判別式を見つける方法の簡単な例を示します。 次の等式が与えられるとします: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7。
これを標準形式にすると、(2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0 が得られ、そこから等式が得られます。 : -2*x² +2*x-11 = 0。ここで、a=-2、b=2、c=-11。
これで、上の式を判別式に使用できるようになります: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84。 結果として得られる数値がタスクの答えになります。 この例の判別式は 0 未満であるため、この二次方程式には実根がないと言えます。 その解は複素数型の数値のみとなります。
判別式による不平等の例
少し異なるタイプの問題を解いてみます。-3*x²-6*x+c = 0 という等式を仮定します。D>0 となる c の値を見つける必要があります。
この場合、3 つの係数のうち 2 つだけがわかっているため、判別式の正確な値を計算することはできませんが、それが正であることがわかっています。 不等式を作成するときに最後の事実を使用します: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0。 結果の不等式を解くと、c>-3 という結果が得られます。
結果の数値を確認してみましょう。 これを行うために、c=-2 と c=-4 の 2 つのケースについて D を計算します。 数値 -2 は得られた結果 (-2>-3) を満たし、対応する判別式の値は D = 12>0 になります。 次に、数値 -4 は不等式 (-4) を満たしません。したがって、-3 より大きい数値 c は条件を満たします。
方程式を解く例
判別式を見つけるだけでなく、方程式を解くことも必要な問題を提示してみましょう。 等式 -2*x²+7-9*x = 0 の根を見つける必要があります。
この例では、判別式は次の値に等しくなります: D = 81-4*(-2)*7= 137。その後、方程式の根は次のように決定されます: x = (9±√137)/(- 4)。 これ 正確な値根を近似的に計算すると、x = -5.176 および x = 0.676 という数値が得られます。
幾何学の問題
判別式を計算する能力だけでなく、抽象的な思考力や二次方程式の書き方の知識も必要となる問題を解いてみましょう。
ボブは5×4メートルの羽毛布団を持っていました。 少年は、美しい布地の連続した細片を周囲全体に縫い付けたいと考えていました。 ボブが 10 平方メートルの生地を持っていることがわかっている場合、このストリップの厚さはどれくらいになりますか。
ストリップの厚さを x m とすると、ブランケットの長辺に沿った生地の面積は (5+2*x)*x となり、長辺が 2 つあるため、次のようになります。 *(5+2*x)。 短辺では、縫製される生地の面積は4*xになります。これらの辺が2つあるため、値8*xが得られます。 ブランケットの長さがその数値だけ増加するため、値 2*x が長辺に追加されていることに注意してください。 ブランケットに縫い付けられる生地の総面積は10平方メートルです。 したがって、等価性が得られます: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0。
この例では、判別式は次のとおりです: D = 18²-4*4*(-10) = 484。その根は 22 です。公式を使用して、必要な根を見つけます: x = (-18±22)/( 2*4) = (-5; 0.5)。 明らかに、問題の条件に応じて、2 つの根のうち、数値 0.5 だけが適切です。
したがって、ボブがブランケットに縫い付ける布片の幅は 50 cm になります。
二次方程式の根の公式。 実根、複数根、複素根の場合を考慮します。 二次三項式の因数分解。 幾何学的な解釈。 ルートの決定と因数分解の例。
基本的な公式
次の二次方程式を考えてみましょう。
(1)
.
二次方程式の根(1) は次の式で求められます。
;
.
これらの式は次のように組み合わせることができます。
.
二次方程式の根がわかっている場合、2 次の多項式は因数の積 (因数分解) として表すことができます。
.
次に、 が実数であると仮定します。
考えてみましょう 二次方程式の判別式:
.
判別式が正の場合、二次方程式 (1) には 2 つの異なる実根があります。
;
.
この場合、二次三項式の因数分解は次の形式になります。
.
判別式がゼロに等しい場合、二次方程式 (1) には 2 つの倍数 (等しい) 実根があります。
.
因数分解:
.
判別式が負の場合、二次方程式 (1) には 2 つの複素共役根があります。
;
.
これは虚数単位です。
そして、根の実部と虚部です。
;
.
それから
.
グラフィック解釈
構築する場合 関数のグラフ
,
これが放物線の場合、グラフと軸の交点が方程式の根になります。
.
では、グラフは 2 点で x 軸 (軸) と交差します。
のとき、グラフは 1 点で x 軸に触れます。
の場合、グラフは X 軸と交差しません。
以下にそのようなグラフの例を示します。
二次方程式に関連する便利な公式
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
二次方程式の根の公式の導出
変換を実行し、式 (f.1) と (f.3) を適用します。
,
どこ
;
.
したがって、次の形式で 2 次多項式の公式が得られました。
.
これは、方程式が次のことを示しています。
で演奏されました
そして 。
つまり、 と は二次方程式の根です
.
二次方程式の根を求める例
例1
(1.1)
.
解決
.
方程式 (1.1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式は正であるため、方程式には 2 つの実根があります。
;
;
.
ここから、二次三項式の因数分解を取得します。
.
関数 y = のグラフ 2×2+7×+3は 2 点で X 軸と交差します。
関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 次の 2 点で横軸 (axis) と交差します。
そして 。
これらの点は、元の方程式 (1.1) の根です。
答え
;
;
.
例 2
二次方程式の根を求める：
(2.1)
.
解決
二次方程式を一般形式で書いてみましょう。
.
元の式 (2.1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式がゼロであるため、方程式には 2 つの多重 (等しい) 根があります。
;
.
この場合、三項式の因数分解は次の形式になります。
.
関数 y = x のグラフ 2～4×+4 x 軸に 1 点で接触します。
関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 それは 1 点で x 軸 (軸) と接触します。
.
この点は、元の式 (2.1) の根です。 このルートは 2 回因数分解されるため、次のようになります。
,
このようなルートは通常、倍数と呼ばれます。 つまり、彼らは 2 つの等しい根が存在すると信じています。
.
答え
;
.
例 3
二次方程式の根を求める：
(3.1)
.
解決
二次方程式を一般形式で書いてみましょう。
(1)
.
元の式 (3.1) を書き直してみましょう。
.
(1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式は負です。 したがって、本当の根は存在しません。
複雑なルートを見つけることができます。
;
;
.
それから
.
関数のグラフは X 軸と交差しません。 本当の根はありません。
関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 X軸（軸）とは交差しません。 したがって、本当の根は存在しません。
答え
本当の根はありません。 複雑なルート:
;
;
.
