自然対数
自然対数関数のグラフ。 関数は増加するにつれて徐々に正の無限大に近づきます バツそして、次の場合にすぐに負の無限大に近づきます。 バツは 0 (次のべき乗関数と比較して「遅い」および「速い」) になる傾向があります。 バツ).
自然対数底の対数です 、 どこ e- 約 2.718281 828 に等しい無理定数。 自然対数は通常 ln( バツ)、ログ e (バツ) または単に log( バツ)、ベースの場合 e暗示的に。
数値の自然対数 バツ(次のように書かれています) ln(x)) は、数値を累乗する必要がある指数です e、入手するには バツ。 例えば、 ln(7,389...)は 2 に等しいため、 e 2 =7,389... 。 数値自体の自然対数 e (ln(e)) は 1 に等しいため、 e 1 = e、自然対数は 1 ( ln(1)) は 0 に等しいため、 e 0 = 1.
自然対数は、任意の正の実数に対して定義できます。 ある曲線の下の領域として y = 1/バツ 1から ある。 この定義の単純さは、自然対数を使用する他の多くの式と一致しているため、「natural」という名前が付けられました。 以下で説明するように、この定義は複素数に拡張できます。
自然対数を実変数の実関数と考えると、それは次の逆関数になります。 指数関数、これは次のアイデンティティにつながります。
すべての対数と同様に、自然対数は乗算を加算にマッピングします。
したがって、対数関数は正の群の同型写像です。 実数実数のグループによる加算による乗算については、関数として表すことができます。
対数は、1 以外の任意の正の底に対して定義できます。 e、ただし、他の底の対数は定数因数だけ自然対数と異なり、通常は自然対数で定義されます。 対数は、指数として未知数を含む方程式を解くのに役立ちます。 たとえば、対数は既知の半減期の崩壊定数を求めたり、放射能の問題を解決する際の崩壊時間を求めたりするために使用されます。 これらは数学や応用科学の多くの分野で重要な役割を果たしており、複利の計算など、金融の分野でも多くの問題を解決するために使用されています。
話
自然対数について最初に言及したのは、ニコラス メルカトルの著作の中でです。 対数技術、1668年に出版されましたが、数学教師のジョン・スピデルが自然対数の表を作成したのは1619年に遡ります。 双曲線の下の面積に相当するため、以前は双曲線対数と呼ばれていました。 ネピア対数と呼ばれることもありますが、この用語の本来の意味は多少異なります。
指定規則
自然対数は通常「ln( バツ)"、底 10 の対数 - "lg( 経由) バツ)」などの理由は通常、「ログ」という記号で明示的に示されます。
離散数学、サイバネティクス、コンピューター サイエンスに関する多くの著作では、著者は「log( バツ)" は底 2 の対数を表しますが、この規則は一般に受け入れられておらず、使用される表記法のリストで説明するか、(そのようなリストがない場合は) 最初に使用するときに脚注またはコメントで明確にする必要があります。
対数の引数を囲む括弧は (式の誤った解釈につながらない場合) 通常は省略され、対数をべき乗する場合、指数は対数の符号に直接割り当てられます: ln 2 ln 3 4 バツ 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
英米系
数学者、統計学者、一部のエンジニアは通常、自然対数または「log( バツ)" または "ln( バツ)"、および底 10 の対数を表す - "log 10 ( バツ)».
一部のエンジニア、生物学者、その他の専門家は常に「ln( バツ)" (または場合によっては "log e ( バツ)") 自然対数を意味する場合、表記は "log( バツ)" は log 10 ( バツ).
ログ eは自動的に発生し、数学で非常に頻繁に現れるため、「自然」対数です。 たとえば、対数関数の導関数の問題を考えてみましょう。
ベースなら b等しい eの場合、導関数は単純に 1/ になります。 バツ、そしていつ バツ= 1 この微分値は 1 に等しい。基数が 1 であるもう 1 つの理由 e対数について最も自然なことは、単純な積分またはテイラー級数の観点から非常に簡単に定義できることですが、これは他の対数については言えません。
自然であることのさらなる正当化は、表記とは関係ありません。 したがって、たとえば、いくつかあります 単純な行自然対数を使用します。 ピエトロ・メンゴリとニコラス・メルカトルは彼らをこう呼んだ 自然対数ニュートンとライプニッツが微分積分を開発するまでの数十年。
意味
正式には ln( ある) は、グラフ 1/ の曲線の下の面積として定義できます。 バツ 1から ある、つまり積分として：
これは対数の基本的な性質を満たすため、真に対数です。
これは、次のように仮定することで証明できます。
数値
数値の自然対数の数値を計算するには、次の形式でテイラー級数展開を使用できます。
入手するには より良い速度収束するには、次の ID を使用できます。
ln( バツ）、 どこ バツ> 1、値が近づくほど バツ 1にすると、 より速い速度収束。 対数に関連付けられた恒等式を使用して、目標を達成できます。
これらの方法は、計算機が登場する前から使用されており、数値表が使用され、上記と同様の操作が実行されました。
高い正確性
自然対数を計算するには 多額の精度の数値を考慮すると、テイラー級数は収束が遅いため効率的ではありません。 別の方法は、ニュートン法を使用して、級数がより早く収束する指数関数に逆変換することです。
非常に便利な代替手段 高精度計算は次の式です。
どこ M 1 と 4/s の算術幾何平均を示し、
メートルそのように選ばれた p精度のマークが達成されています。 (ほとんどの場合、m の値は 8 で十分です。)実際、この方法を使用すると、自然対数のニュートン逆数を適用して指数関数を効率的に計算できます。 (定数 ln 2 と pi は、既知の急速収束系列のいずれかを使用して、必要な精度まで事前に計算できます。)
計算の複雑さ
自然対数 (算術幾何平均を使用) の計算量は O( M(n)ln n）。 ここ n自然対数を評価する必要がある精度の桁数です。 M(n) は 2 を乗算する計算の複雑さです。 n-桁の数字。
連分数
対数を表す単純な連分数はありませんが、次のようないくつかの一般化された連分数を使用できます。
複素対数
指数関数は、次の形式の複素数を与える関数に拡張できます。 e バツ任意の 複素数 バツ、この場合は複素数の無限級数です。 バツ。 これ 指数関数を反転して複素対数を形成することができ、これは通常の対数のほとんどの特性を持ちます。 ただし、問題が 2 つあります。 バツ、そのために e バツ= 0 となり、次のことがわかります。 e 2πi = 1 = e 0 。 乗法特性は複素指数関数に対して有効であるため、次のようになります。 e z = e z+2にぃすべてのコンプレックスに対して zそして全体 n.
対数は複素平面全体にわたって定義することはできませんが、それでも多値です。複素対数は、2 の整数倍を加算することで「等価」対数に置き換えることができます。 πi。 複素対数は、複素平面のスライス上でのみ単一値をとることができます。 たとえば、ln 私 = 1/2 πiまたは5/2 πiまたは -3/2 πi、など、しかし 私 4 = 1.4 対数 私 2として定義できます πi、または10 πiまたは -6 πi、 等々。
こちらも参照
- ジョン・ネイピア - 対数の発明者
ノート
- 物理化学のための数学。 - 3番目。 - Academic Press、2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5、9ページの抜粋
- J・J・オコナーとE・F・ロバートソン数字e。 MacTutor の数学史アーカイブ (2001 年 9 月)。 アーカイブ済み
- カジョリ・フロリアン数学の歴史、第 5 版 - AMS 書店、1991 年。 - P. 152。 - ISBN 0821821024
- フラッシュマン、マーティン多項式を使用した積分の推定。 2012 年 2 月 12 日のオリジナルからアーカイブ。
したがって、2 のべき乗があります。 一番下の行から数値を取得すると、この数値を得るために 2 を累乗する必要がある累乗を簡単に見つけることができます。 たとえば、16 を取得するには、2 の 4 乗する必要があります。 そして 64 を取得するには、2 の 6 乗する必要があります。 これは表からもわかります。
そして今、実際に対数の定義は次のとおりです。
x の底 a の対数は、x を得るために a を累乗する必要があります。
指定: log a x = b、ここで、a は底、x は引数、b は対数が実際に等しいものです。
たとえば、2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 であるため、8 の底 2 の対数は 3 です)。 同じ成功ログでは、2 6 = 64 なので、2 64 = 6 となります。
与えられた底に対する数値の対数を求める操作は、対数化と呼ばれます。 そこで、テーブルに新しい行を追加しましょう。
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| 対数 2 2 = 1 | 対数 2 4 = 2 | 対数 2 8 = 3 | 対数 2 16 = 4 | 対数 2 32 = 5 | 対数 2 64 = 6 |
残念ながら、すべての対数がそれほど簡単に計算できるわけではありません。 たとえば、 log 2 5 を検索してみてください。 数値 5 は表にありませんが、論理的には対数がセグメント上のどこかにあることがわかります。 なぜなら 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
このような数は無理数と呼ばれます。小数点以降の数は無限に書き込むことができ、決して繰り返されません。 対数が無理数であることが判明した場合は、log 2 5、log 3 8、log 5 100 のようにそのままにしておく方がよいでしょう。
対数は 2 つの変数 (底と引数) を含む式であることを理解することが重要です。 最初は、どこが根拠でどこが議論なのかを混同する人が多いです。 迷惑な誤解を避けるために、次の写真を見てください。
私たちの前にあるのは対数の定義にすぎません。 覚えて： 対数は累乗です、引数を取得するにはベースを構築する必要があります。 累乗されるのはベースです。写真では赤で強調表示されています。 ベースは常に最下位にあることが判明しました。 私は最初のレッスンでこの素晴らしいルールを生徒たちに伝えますが、混乱は起こりません。
定義はわかったので、あとは対数の数え方を学ぶだけです。 「ログ」記号を削除します。 まず、この定義から 2 つの重要な事実が得られることに注意してください。
- 引数と基数は常にゼロより大きくなければなりません。 これは、有理指数による次数の定義に基づいて、対数の定義が縮小されます。
- 1 は、程度を問わず 1 であることに変わりはないため、基底は 1 とは異なっていなければなりません。 このため、「2 を得るには 1 を何乗する必要があるか」という質問は無意味です。 そんな学位はないよ！
このような制限はと呼ばれます 地域 許容可能な値 (ODZ)。 対数の ODZ は次のようになることがわかります: log a x = b ⇒ x > 0、a > 0、a ≠ 1。
なお、ｂ（対数値）の値には制限はない。 たとえば、対数が負になる可能性は十分にあります: log 2 0.5 = −1。 0.5 = 2 −1。
ただし、現在検討しているのは、 数値式、ここでは対数の CVD を知る必要はありません。 すべての制限は問題の作成者によってすでに考慮されています。 しかし、対数方程式や不等式が登場すると、DL 要件が必須になります。 結局のところ、根拠と議論には、必ずしも上記の制限に対応しない非常に強力な構造が含まれている可能性があります。
では、考えてみましょう 一般的なスキーム対数を計算します。 これは 3 つのステップで構成されます。
- 基数 a と引数 x を、1 より大きい最小可能な基数のべき乗として表します。 途中で、小数点を削除した方がよいでしょう。
- 変数 b の方程式を解きます。 x = a b ;
- 得られた数字 b が答えになります。
それだけです！ 対数が無理数であることが判明した場合、これは最初のステップですでに表示されています。 底が 1 より大きいという要件は非常に重要です。これにより、エラーの可能性が減り、計算が大幅に簡素化されます。 と同じ 小数: すぐに通常のものに変換すると、エラーが大幅に減ります。
具体的な例を使用して、このスキームがどのように機能するかを見てみましょう。
タスク。 対数を計算します: log 5 25
- 基数と引数が 5 のべき乗であると想像してみましょう: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- 答えは 2 でした。
方程式を作成して解いてみましょう。
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
タスク。 対数を計算します。
タスク。 対数を計算します: log 4 64
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - 答えは3です。
タスク。 対数を計算します: log 16 1
- 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- 方程式を作成して解いてみましょう。
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - 答えは「0」でした。
タスク。 対数を計算します: log 7 14
- 基数と引数が 7 の累乗であると想像してみましょう: 7 = 7 1 ; 7 1 であるため、14 は 7 のべき乗として表すことができません。< 14 < 7 2 ;
- 前の段落から、対数はカウントされないことがわかります。
- 答えは変わりません: log 7 14。
ちょっとしたメモ 最後の例。 ある数値が別の数値の正確なべき乗ではないことをどうやって確認できるでしょうか? とても簡単です。素因数分解するだけです。 展開に少なくとも 2 つの異なる係数がある場合、その数値は正確な累乗ではありません。
タスク。 数値が正確な累乗であるかどうかを調べます: 8; 48; 81; 35; １４．
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 正確な次数です。 乗算器は 1 つだけです。
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - は、3 と 2 の 2 つの因数があるため、正確な累乗ではありません。
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 正確な度数。
35 = 7 · 5 - これも正確な累乗ではありません。
14 = 7 · 2 - これも正確な度数ではありません。
私たち自身にも注意しましょう 素数は常にそれ自体の正確な次数です。
10 進対数
一部の対数は非常に一般的であるため、特別な名前と記号が付いています。
x の 10 進対数は、10 を底とする対数、つまり 10 を底とする対数です。 数値 x を得るために数値 10 を累乗する必要があります。 指定: lg x。
たとえば、log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - など
今後、教科書に「lg 0.01 を検索」のような語句が出てきたら、これはタイプミスではないことを知っておいてください。 これ 10進対数。 ただし、この表記に慣れていない場合は、いつでも書き直すことができます。
対数 x = 対数 10 x
通常の対数に当てはまることはすべて、10 進対数にも当てはまります。
自然対数
独自の名称を持つ別の対数があります。 ある意味では、10 進数よりも重要です。 それは自然対数について。
x の自然対数は e を底とする対数、つまり次のようになります。 数値 x を得るために数値 e を累乗する必要がある累乗。 指定: ln x 。
多くの人は「e という数字は何ですか?」と尋ねるでしょう。 これは無理数です、 正確な値見つけて記録することは不可能です。 最初の数字だけを示します。
e = 2.718281828459...
この数値が何なのか、またなぜそれが必要なのかについては詳しく説明しません。 e が自然対数の底であることを覚えておいてください。
ln x = log e x
したがって、 ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - など 一方、ln 2 は無理数です。 一般に、任意の自然対数は、 有理数不合理な。 もちろん、単位の場合は除きます: ln 1 = 0。
自然対数の場合、通常の対数に当てはまるすべての規則が有効です。
よく数字を取る e = 2,718281828 。 この底に基づく対数は次のように呼ばれます。 自然。 自然対数を使用して計算を実行する場合、符号を使用して演算するのが一般的です。 私n、 だがしかし ログ; 一方、番号 2,718281828 、基礎を定義するものは示されていません。
つまり、定式化は次のようになります。 自然対数数字 バツ- これは数値を累乗する必要がある指数です e、入手するには バツ.
それで、 ln(7,389...)= 2、以来 e 2 =7,389... 。 数値自体の自然対数 e= 1 なぜなら e 1 =e、および単位の自然対数 ゼロに等しい、 なぜなら e 0 = 1.
番号そのもの e単調な有界シーケンスの限界を定義します
それは計算されます e = 2,7182818284... .
非常に多くの場合、メモリ内の数字や数字を修正するために 必要な数いくつかの未解決の日付に関連付けられています。 数字の最初の9桁を記憶する速度 e 1828 年がレフ トルストイの誕生年であることに気づくと、小数点以下が増えます。
現在、非常に完全な自然対数の表が存在します。
自然対数グラフ（機能 y=lnx) は指数グラフの結果です 鏡像比較的まっすぐな y = x次の形式になります。
自然対数はすべての正の実数に対して求めることができます ある曲線の下の領域として y = 1/バツから 1 前に ある.
この公式の基本的な性質は、自然対数が関与する他の多くの公式と一致しており、「ナチュラル」という名前が付けられた理由です。
分析してみると 自然対数、実変数の実関数として機能します。 逆関数指数関数に変換され、恒等式に帰着します。
e ln(a) =a (a>0)
log(e a) =a
すべての対数と同様に、自然対数は乗算を加算に、除算を減算に変換します。
ln(xy) = ln(バツ) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - リンニー
対数は、1 に等しくないすべての正の底について見つけることができます。 e、ただし、他の底の対数は定数因数だけ自然対数と異なり、通常は自然対数で定義されます。
分析した上で 自然対数グラフ、私たちはそれが存在することを発見しました 正の値変数 バツ。 それはその定義領域内で単調増加します。
で バツ → 0 自然対数の極限はマイナス無限大です( -∞ ）。で ×→＋∞ 自然対数の極限はプラス無限大です ( + ∞ ）。 一般の バツ対数は非常にゆっくりと増加します。 任意のべき乗関数 ザ正の指数を伴う ある対数よりも速く増加します。 自然対数は単調増加関数であるため、極値はありません。
使用法 自然対数高等数学に合格するときは非常に合理的です。 したがって、対数を使用すると、未知数が指数として現れる方程式の答えを見つけるのに便利です。 計算に自然対数を使用すると、計算を大幅に簡素化できます。 たくさんの数式。 底の対数 e 多くの物理的問題を解決する際に存在し、個々の化学的、生物学的、その他のプロセスの数学的記述に自然に含まれます。 したがって、対数は既知の半減期の崩壊定数を計算したり、放射能の問題を解決する際の崩壊時間を計算したりするために使用されます。 彼らが出演するのは、 主役数学や実科学の多くの分野では、問題を解決するために金融の分野に頼っています。 多数複利計算などのタスク。
a を底とする正の数 b の対数 (a>0、a は 1 に等しくない) は、a c = b となる数 c です。 log a b = c ⇔ a c = b (a > 0、a ≠ 1、b) > 0)
正でない数の対数は定義されていないことに注意してください。 さらに、対数の底は 1 に等しくない正の数である必要があります。たとえば、-2 を 2 乗すると数値 4 が得られますが、これは 4 の底 -2 の対数が等しいという意味ではありません。 2へ。
基本対数恒等式
a log a b = b (a > 0、a ≠ 1) (2)この式の右辺と左辺の定義範囲が異なることが重要です。 左辺は b>0、a>0、a ≠ 1 についてのみ定義されます。右辺は任意の b について定義され、a にはまったく依存しません。 したがって、方程式や不等式を解くときに基本的な対数「恒等式」を適用すると、OD が変化する可能性があります。
対数の定義の 2 つの明らかな結果
log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1) (4)
確かに、数値 a を 1 乗すると同じ数値が得られ、0 乗すると 1 が得られます。
積の対数と商の対数
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (6)
小学生の皆さんには、問題を解くときにこれらの公式を軽率に適用しないように警告したいと思います。 対数方程式そして不平等。 これらを「左から右」に使用すると、ODZ は狭くなり、対数の和または差から積または商の対数に移動すると、ODZ は拡大します。
実際、式 log a (f (x) g (x)) は、両方の関数が厳密に正である場合、または f(x) と g(x) が両方とも 0 未満である場合の 2 つの場合で定義されます。
この式を合計 log a f (x) + log a g (x) に変換すると、f(x)>0 および g(x)>0 の場合にのみ制限する必要があります。 許容値の範囲が狭くなり、解が失われる可能性があるため、これは絶対に受け入れられません。 同様の問題が式 (6) にも存在します。
対数の符号から次数を取り出すことができます
log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0) (7)そしてもう一度正確性を求めたいと思います。 次の例を考えてみましょう。
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
等式の左辺は、ゼロを除く f(x) のすべての値に対して明らかに定義されます。 右辺は f(x)>0 の場合のみです。 対数から次数を取り除くことによって、ODZ を再び狭めます。 逆の手順を実行すると、許容値の範囲が拡大します。 これらすべての注釈は、2 乗だけでなく、任意の偶数乗にも当てはまります。
新しい基盤に移行するための公式
log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1) (8)変換中に ODZ が変更されないというまれなケース。 基数 c を賢明に選択した場合 (正であり、1 に等しくありません)、新しい基数に移動する式は完全に安全です。
新しい基数 c として数値 b を選択すると、式 (8) の重要な特殊ケースが得られます。
log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1) (9)
対数を使った簡単な例
例 1. log2 + log50 を計算します。
解決。 log2 + log50 = log100 = 2. 対数の和の公式 (5) と 10 進対数の定義を使用しました。
例 2. lg125/lg5 を計算します。
解決。 log125/log5 = log 5 125 = 3. 新しい拠点に移動するための式 (8) を使用しました。
対数に関する公式の一覧表
| a log a b = b (a > 0、a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1) |
対数とは何ですか?
注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）
対数とは何ですか? 対数を解くにはどうすればいいですか? これらの質問は多くの卒業生を混乱させます。 伝統的に、対数の話題は複雑で、理解できず、恐ろしいものだと考えられてきました。 特に対数を使った方程式。
これは絶対に真実ではありません。 絶対に！ 信じられない？ 大丈夫。 わずか 10 ～ 20 分で次のことが可能になります。
1. 理解する 対数とは何ですか.
2. クラス全体で解く方法を学ぶ 指数方程式。 たとえ彼らについて何も聞いていなくても。
3. 単純な対数の計算を学びます。
さらに、このために必要なのは、九九と数値のべき乗の方法だけを知っていることだけです...
疑問があるような気がします...まあ、分かった、時間をマークしてください! 行く！
まず、頭の中で次の方程式を解きます。
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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
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関数と導関数について知ることができます。
