ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。 この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。 対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。 この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。 この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そしてその操作方法について説明します。 シンプルで親しみやすい言語で。
数学における定義
対数は、次の形式の式です。 log a b=c、つまり、負でない数値 (つまり、正の数値) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。 例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。 それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。
対数の種類
多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。 3つあります 個々の種対数式:
- 自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
- 10 進数の a。底は 10 です。
- a>1 を底とする任意の数 b の対数。
それぞれの問題は、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。 対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。
ルールといくつかの制限事項
数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。 たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、負の数の偶数根を抽出することも不可能です。 対数にも独自のルールがあり、これに従えば、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。
- 基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
- a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。
対数を解くにはどうすればいいですか?
たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられています。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。
次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。
未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。 次のようになります。
ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。 ただし、より大きな値の場合は、電力テーブルが必要になります。 複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。 左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。 交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。 たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。 すべては非常にシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。
方程式と不等式
特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。 したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。 たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の底 3 の対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。 負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。 数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。 以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。 ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。
次の形式の式を指定すると: log 2 (x-1) > 3 - それは次のとおりです。 対数不等式、未知の値「x」は対数の符号の下にあるためです。 また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。
対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (対数 2 x = √9 など) が 1 つ以上の特定の答えを暗黙的に示すことです。 数値、一方、不等式を解くときは領域として定義されます。 許容可能な値、およびこの関数のブレークポイント。 結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値の集合ではなく、 連続シリーズまたは一連の数値。
対数に関する基本定理
対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。 ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。 後ほど方程式の例を見ていきますが、まず各プロパティを詳しく見てみましょう。
- 主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。 これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
- 積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。 この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
- 商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
- 数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。
この式を「対数の次数の性質」といいます。 これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。 証明を見てみましょう。
log a b = t とすると、a t =b になります。 両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;
しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。 定理は証明されました。
問題と不平等の例
対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。 ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。 大学入学・合格に向けて 入学試験数学では、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。
残念ながら、対数の未知の値を解いて決定する単一の計画やスキームはありませんが、あらゆる数学的不等式や対数方程式に適用できます。 特定のルール。 まず第一に、式を簡略化できるか、または次のような結果につながるかどうかを確認する必要があります。 一般の見かけ。 プロパティを正しく使用すれば、長い対数式を簡略化できます。 早速彼らのことを知りましょう。
対数方程式を解くときは、どのようなタイプの対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または小数の対数が含まれている場合があります。
ln100、ln1026 の例を次に示します。 彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。 解決策について 自然対数対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。 さまざまなタイプの対数問題を解く例を見てみましょう。
対数式の使用方法: 例と解決策付き
それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。
- 積の対数の特性は、展開が必要なタスクで使用できます。 非常に重要 b をより単純な因数に数値化します。 たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。 底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。
統一州試験の課題
対数はよく見られます 入学試験, 特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。 通常、これらのタスクはパート A (最も簡単なパート) だけでなく、 テスト部分試験）だけでなく、パート C（最も複雑で量の多いタスク）にも含まれます。 試験では、「自然対数」に関する正確かつ完璧な知識が必要です。
問題の例と解決策は公式から引用しています 統一州試験のオプション。 このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。
log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。 解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。
- 解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
- 対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すと、対数の下に残る式は正でなければなりません。
代数 11 年生
テーマ：「対数方程式の解法」
レッスンの目標:
教育的: ～についての知識を構築する さまざまな方法で対数方程式を解く能力、それをそれぞれの特定の状況に適用し、解くための任意の方法を選択する能力。
現像： 知識を観察し、比較し、応用するスキルの開発 新しい状況、パターンを特定し、一般化します。 相互制御と自制のスキルを開発する。
教育的: 教育活動に対する責任ある態度、授業内容の注意深い認識、注意深いメモの取り方を養います。
レッスンタイプ : 新しい素材の紹介に関するレッスン。
「対数の発明は、天文学者の仕事を減らしながら、彼の寿命を延ばしました。」
フランスの数学者、天文学者 P.S. ラプラス
授業中
I. レッスンの目標を設定する
対数の定義、対数の性質、対数関数を学習すると、次のことを解決できるようになります。 対数方程式。 すべての対数方程式は、どれほど複雑であっても、統一されたアルゴリズムを使用して解決されます。 今日のレッスンでは、これらのアルゴリズムを見ていきます。 それらはそれほど多くありません。 これらをマスターすれば、対数を使った方程式は誰でも実行可能になります。
授業のテーマ「対数方程式を解く方法」をノートに書き留めます。 皆様のご協力をお願いいたします。
II. アップデート 背景知識
レッスンのテーマを勉強する準備をしましょう。 各タスクを解決して答えを書き留めます。条件を書く必要はありません。 ペアで作業します。
1) x のどの値に対して関数は意味を持ちますか:
A)
b)
V)
e)
（スライドごとに解答をチェックし、間違いを整理します）
2) 関数のグラフは一致していますか?
a) y = x および
b)そして
3) 等式を対数等式として書き換えます。
4) 数値を底 2 の対数として書きます。
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) 計算する :
6) これらの等式に欠けている要素を復元または補完してみてください。
Ⅲ． 新素材のご紹介
次のステートメントが画面に表示されます。
「方程式は、すべての数学のゴマを開ける黄金の鍵です。」
現代ポーランドの数学者 S. コワル
対数方程式の定義を定式化してみてください。 (対数記号の下に未知数を含む方程式 ).
考えてみましょう最も単純な対数方程式: ログ あ x = b (a>0、a ≠ 1)。 なぜなら 対数関数は正の数のセットで増加 (または減少) し、すべての実数値を取ると、根定理により、任意の b に対してこの方程式は 1 つの解のみを持ち、さらに正の解も 1 つだけ存在することがわかります。
対数の定義を思い出してください。 (数値 x の底 a に対する対数は、数値 x を得るために底 a を累乗する必要があることを示します。 ）。 対数の定義からすぐに次のことがわかります。あ V そのような解決策です。
タイトルを書き留めます:対数方程式を解く方法
1. 対数の定義による .
これは、次の形式の最も単純な方程式を解く方法です。.
考えてみましょうNo.514(a)
): 方程式を解きます
それを解決するためにどのように提案しますか？ (対数の定義により )
解決
.
, したがって、2x – 4 = 4 となります。 x = 4。
答え: 4.
このタスクでは、2x – 4 > 0 であるため、> 0 であるため、無関係なルートは表示されません。チェックする必要はありません 。 このタスクでは、条件 2x – 4 > 0 を書き出す必要はありません。
2. 強化 (指定された式の対数からこの式自体への遷移)。
考えてみましょうNo.519(g): ログ 5 ( バツ 2 +8)- ログ 5 ( バツ+1)=3 ログ 5 2
どのような特徴に気づきましたか?(底が同じで、2 つの式の対数は等しい) 。 何ができるでしょうか？(強化)。
対数式が正となるすべての x には任意の解が含まれることを考慮する必要があります。
解決： ODZ:
バツ 2 +8>0 不必要な不等号
ログ 5 ( バツ 2 +8) = ログ 5 2 3 + ログ 5 ( バツ+1)
ログ 5 ( バツ 2 +8)= ログ 5 (8 バツ+8)
元の方程式を強化しましょう
バツ 2 +8= 8 バツ+8
方程式が得られますバツ 2 +8= 8 バツ+8
それを解決しましょう:バツ 2 -8 バツ=0
x=0、x=8
答え: 0; 8
一般的に同等のシステムへの移行 :
方程式
(システムには冗長な条件が含まれています - 不等式の 1 つを考慮する必要はありません)。
クラスへの質問 : これら 3 つのソリューションのうち、どれが一番気に入りましたか? (方法の議論)。
あなたにはどんな形であれ決定する権利があります。
3. 新しい変数の導入 .
考えてみましょうNo.520(g) . .
何に気づきましたか? (これ 二次方程式 log3x を基準にして) あなたの提案は何ですか？ (新しい変数を導入します)
解決 。 ODZ: x > 0。
させての場合、方程式は次の形式になります。
。 判別式 D > 0。ビエタの定理による根:
.
置換に戻りましょう:または.
最も単純な対数方程式を解くと、次の結果が得られます。
; .
答え : 27;
4. 方程式の両辺を対数計算します。
方程式を解きます。
.
解決 : ODZ: x>0、方程式の両辺の対数を底 10 で計算してみます。
。 べき乗の対数の性質を適用してみましょう。
(lgx + 3) lgx =
(logx + 3) logx = 4
logx = y とすると、(y + 3)y = 4
, (D > 0) は、ビエタの定理に従って根を求めます: y1 = -4 および y2 = 1。
置換に戻りましょう。 lgx = -4 となります。
; logx = 1、
.
.
それは次のとおりです:
いずれかの関数の場合
y = f(x)
増加し、もう一つは
y = g(x)
区間 X で減少すると、方程式は次のようになります。
f(x)= g(x)
区間 X にはルートが最大 1 つあります
.
根があれば推測できる。 .
答え : 2
「メソッドの正しい適用を学ぶことができる」
それをさまざまな例に適用するだけです。」
デンマークの数学史家 G. G. ザイテン
私 V. 宿題
P.39 例題3を考えて、No.514(b)、No.529(b)、No.520(b)、No.523(b)を解く
V. レッスンのまとめ
授業では対数方程式を解くどのような方法を学びましたか?
次のレッスンではさらに詳しく見ていきます 複雑な方程式。 それらを解決するには、研究された方法が役立ちます。
表示された最後のスライド:
「この世で何よりも大切なものは何でしょうか？
空間。
最も賢明なことは何ですか？
時間。
一番良い点は何ですか?
望むものを達成してください。」
タレス
誰もが望むことを達成できることを願っています。 ご理解とご協力をお願いいたします。
数学の最終テストの準備には、「対数」という重要なセクションが含まれます。 このトピックのタスクは必ず統一州試験に含まれます。 過去数年の経験から、対数方程式は多くの学童にとって困難を引き起こしていることがわかります。 したがって、以下のような学生は、 さまざまなレベル準備。
Shkolkovo 教育ポータルを使用して認定テストに合格しましょう!
高校卒業生は、統一州試験の準備をする際、最も完全かつ正確な情報を提供する信頼できる情報源を必要としています。 成功した解決策テストタスク。 しかし、教科書が常に手元にあるわけではなく、インターネットで必要なルールや公式を探すのに時間がかかることもよくあります。
Shkolkovo 教育ポータルを使用すると、いつでもどこでも統一国家試験の準備をすることができます。 私たちのウェブサイトは、対数や 1 つまたは複数の未知数に関する大量の情報を繰り返し、同化するための最も便利なアプローチを提供します。 簡単な方程式から始めましょう。 問題なく対処できたら、より複雑な問題に進みます。 特定の不等式を解くのが難しい場合は、その不等式をお気に入りに追加して、後で戻ることができます。
「理論ヘルプ」セクションを参照すると、タスクを完了するために必要な公式、特殊なケースの繰り返し、標準対数方程式の根を計算する方法を見つけることができます。 シュコルコボの教師たちは、合格に必要なすべての資料を収集し、体系化し、最もシンプルでわかりやすい形式で提示しました。
あらゆる複雑なタスクに簡単に対処するために、私たちのポータルでいくつかの標準的な対数方程式の解法に慣れることができます。 これを行うには、「カタログ」セクションに移動します。 我々が提示します たくさんの方程式を含む例 プロファイルレベル数学の統一国家試験。
ロシア全土の学校の学生が私たちのポータルを使用できます。 授業を始めるには、システムに登録して方程式を解き始めるだけです。 結果を統合するには、毎日 Shkolkovo Web サイトにアクセスすることをお勧めします。
いくつかの種類の対数方程式について考えてみましょう。これらは学校の数学の授業ではあまり議論されませんが、統一州試験などの競争課題の準備には広く使用されています。
1. 対数法で解いた方程式
底と指数の両方に変数を含む方程式を解く場合、対数法が使用されます。 同時に、指数に対数が含まれている場合は、方程式の両辺をこの対数の底まで対数計算する必要があります。
例1.
方程式を解きます: x log 2 x+2 = 8。
解決。
方程式の左辺と右辺の対数を底 2 にしてみましょう。次のようになります。
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8、
(log 2 x + 2) log 2 x = 3。
log 2 x = t とします。
すると (t + 2)t = 3 となります。
t 2 + 2t – 3 = 0。
D = 16。t 1 = 1; t 2 = -3。
したがって、log 2 x = 1 および x 1 = 2 または log 2 x = -3 および x 2 =1/8
答え: 1/8; 2.
2. 等次対数方程式。
例2。
方程式を解きます。 log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0
解決。
方程式の定義域
(x 2 – 3x + 4 > 0、
(x + 5 > 0. → x > -5.
x = -4 の場合、log 3 (x + 5) = 0。 確認することにより、次のことを判断します 与えられた値× そうではない 
元の方程式の根です。 したがって、方程式の両辺を log 2 3 (x + 5) で割ることができます。
log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 となります。
log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t とします。 すると、t 2 – 3 t + 2 = 0 となります。この方程式の根は 1 です。 2. 元の変数に戻ると、2 つの方程式のセットが得られます。
ただし、対数の存在を考慮すると、値 (0; 9] のみを考慮する必要があります。つまり、左辺の式は次のようになります。 最高値 x = 1 の場合は 2。次に、関数 y = 2 x-1 + 2 1-x を考えてみましょう。 t = 2 x -1 とすると、y = t + 1/t (t > 0) の形式になります。このような条件下では、一意の 臨界点 t = 1。これが最小点です。 Y vin = 2。そしてそれは x = 1 で達成されます。
ここで、検討中の関数のグラフが点 (1; 2) で 1 回だけ交差できることは明らかです。 x = 1 が、解かれている方程式の唯一の根であることがわかります。
答え: x = 1。
例 5. 方程式 log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x を解きます。
解決。
この方程式を log 2 x について解いてみましょう。 log 2 x = t とします。 すると、t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0となります。
D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 – x。
log 2 x = -2 または log 2 x = 3 – x という方程式が得られます。
最初の方程式の根は x 1 = 1/4 です。 
選択により方程式 log 2 x = 3 – x の根を見つけます。 これは数値 2 です。関数 y = log 2 x は定義領域全体で増加し、関数 y = 3 – x は減少しているため、このルートは一意です。
両方の数値が方程式の根であることを確認するのは簡単です
答え:1/4; 2.
ウェブサイトでは、素材の全部または一部をコピーする場合、元のソースへのリンクが必要です。
主な特性.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
同一の根拠
Log6 4 + log6 9。
では、タスクを少し複雑にしてみましょう。
対数を解く例
対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。
もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >
タスク。 式の意味を調べます。
新しい基盤への移行
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。
タスク。 式の意味を調べます。
以下も参照してください。
対数の基本的な性質
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指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるには、法則を勉強してください。指数は 2.7 に等しく、レフ ニコラエヴィチ トルストイの誕生年の 2 倍です。
対数の基本的な性質
このルールを知れば、次のようになります。 正確な値出展者とレフ・トルストイの生年月日。
対数の例
対数表現
例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。
プロパティ 3.5 を使用して計算します 
2.
3. 
4. 
どこ 
.
例 2. 次の場合に x を求める
例 3. 対数値を与えてみましょう
次の場合に log(x) を計算します。
対数の基本的な性質
対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.
これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な問題は何一つ解決できません。 対数問題。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。
対数の加算と減算
同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。
これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。
対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。
タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。
ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。
タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。
ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。
ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くはこの事実に基づいて構築されています 試験用紙。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。
対数から指数を抽出する
最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。
もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右に適用するだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。
タスク。 式の値を見つけます: log7 496。
最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
タスク。 式の意味を調べます。
分母には対数が含まれており、その底と引数は正確なべき乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。
と思います 最後の例説明が必要です。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。
対数の公式。 対数の解決策の例。
そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。
次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。
新しい基盤への移行
対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?
新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。
特に、 c = x と設定すると、次のようになります。
2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。
これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価することができます。
しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:
タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。
両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。
因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。
タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。
最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。
さあ、取り除きましょう 10進対数、新しい拠点に移動します。
基本対数恒等式
多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。
最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。
2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。
実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか。 そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。
新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。
タスク。 式の意味を調べます。
log25 64 = log5 8 - 対数の底と引数から単純に二乗したことに注意してください。 べき乗のルールを考える 同じ根拠、 我々が得る：
知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)
対数単位と対数ゼロ
結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。
- logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
- loga 1 = 0 です。 底 a は何でも構いませんが、引数に対数が含まれる場合は、 ゼロに等しい！ a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。
それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。
以下も参照してください。
a を底とする b の対数は式を表します。 対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。
対数の基本的な性質
対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。 残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。
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対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。 残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。
対数の一般的なケース
常用対数の中には、底が 10 の場合や、指数関数または 2 の場合があります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。
基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。 例えば
自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。
指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるには、法則を勉強してください。指数は 2.7 に等しく、レフ ニコラエヴィチ トルストイの誕生年の 2 倍です。 このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。
そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。
関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい
積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。
与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。 内容を理解しやすくするために、学校のカリキュラムや大学の一般的な例をいくつか挙げます。
対数の例
対数表現
例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。
プロパティ 3.5 を使用して計算します
2.
対数の差の性質により、次のようになります。
3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。
4. どこ .
見た目によると 複雑な表現いくつかのルールを使用して、形式を簡素化します。
対数値を求める
例 2. 次の場合に x を求める
解決。 計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。
私たちはそれを記録に残して悼みます
基数が等しいので、式を同等とみなします。
対数。 最初のレベル。
対数の値を与えてみましょう
次の場合に log(x) を計算します。
解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう
これは対数とその特性についての始まりにすぎません。 計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。 このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。
対数の基本的な性質
対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.
これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。
対数の加算と減算
同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x:y)。
したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。
これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。
タスク。 式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。
対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。
タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。
ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。
タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。
ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。
ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。
対数から指数を抽出する
では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。
最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。
もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右に適用するだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。
対数の解き方
これが最も頻繁に必要となるものです。
タスク。 式の値を見つけます: log7 496。
最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
タスク。 式の意味を調べます。
分母には対数が含まれており、その底と引数は正確なべき乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。
最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。
次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。
新しい基盤への移行
対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?
新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。
対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。
特に、 c = x と設定すると、次のようになります。
2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。
これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価することができます。
しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:
タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。
両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。
因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。
タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。
最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。
次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。
基本対数恒等式
多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。
最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。
2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。
実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか。 そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。
新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。
タスク。 式の意味を調べます。
log25 64 = log5 8 - 対数の底と引数から単純に二乗したことに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。
知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)
対数単位と対数ゼロ
結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。
- logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
- loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれる場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。
それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。
