家装飾材料ガウス法の簡単な説明。ダミー用のガウス法: スラウを簡単に解決する

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ガウス法の簡単な説明。ダミー用のガウス法: スラウを簡単に解決する

今後もシステムの検討を続けていきます一次方程式。このレッスンはこのトピックの 3 番目です。連立一次方程式が一般的にどのようなものであるかについて漠然としたアイデアがある場合、ティーポットのような場合は、このページの基本から始めることをお勧めします。次に、レッスンを学習するのに役立ちます。

ガウス法は簡単です！なぜ？有名なドイツの数学者ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスは、生前、史上最も偉大な数学者、天才として認められ、「数学王」というあだ名さえ受けました。 そしてご存知のとおり、独創的なものはすべてシンプルです。ちなみに、金を得るのはカモだけではなく、天才もいます。ガウスの肖像画は10ドイツマルク紙幣（ユーロ導入前）に描かれており、ガウスは今でも普通の切手でドイツ人に不思議な笑みを浮かべています。

ガウス法は簡単なので、5 年生の知識があれば十分に習得できます。 足し算と掛け算の方法を知っておく必要があります。教師が学校の数学の選択科目で未知数を逐次排除する方法を検討することが多いのは偶然ではありません。逆説的ですが、学生はガウス法が最も難しいと感じています。何も驚くべきことではありません。すべては方法論に関するものであり、私はその方法のアルゴリズムについてわかりやすい形式で話そうとします。

まずは連立一次方程式に関するちょっとした知識を体系化してみましょう。線形方程式系では次のことが可能です。

1) 独自のソリューションを用意する。 2) 無限に多くの解決策があります。 3) 解決策がない ( 非接合).

ガウス法は、解決策を見つけるための最も強力で普遍的なツールです。 どれでも線形方程式系。私たちが思い出しているように、 クレーマーの法則とマトリックス法 システムに無限に多くの解がある場合や一貫性がない場合には適しません。方法順次消去未知 ともかく私たちを答えに導きます！の上このレッスンケース No. 1 (システムの唯一の解決策) についてはガウス法を再度検討します。記事はポイント No. 2 ～ 3 の状況に専念します。このメソッド自体のアルゴリズムは 3 つのケースすべてで同じように機能することに注意してください。

に戻りましょう最も単純なシステムクラスから 連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?そしてガウス法を使用してそれを解きます。

最初のステップは書き留めることです 拡張システムマトリックス: 。どのような原理で係数が書かれているかは誰でも分かると思います。マトリックスの内部の垂直線には数学的な意味はありません。これは単にデザインを容易にするための取り消し線です。

参照 : 覚えておくことをお勧めします 条項 線形代数。 システムマトリックス は未知数の係数のみで構成される行列です。この例ではシステム行列です。 . 拡張システムマトリックス – これはシステムの同じマトリックスに自由条件の列を加えたものです。この場合は次のようになります。 。簡潔にするために、どの行列も単に行列と呼ぶことができます。

拡張システムマトリックスが書き込まれた後、それを使用していくつかのアクションを実行する必要があります。 基本的な変換.

次の基本的な変換が存在します。

1) 文字列行列 できる 並べ替えるいくつかの場所で。たとえば、検討中の行列では、最初の行と 2 番目の行を簡単に再配置できます。

2) 行列内に比例した (特殊な場合として - 同一の) 行がある (または出現した) 場合、次のようにする必要があります。消去これらの行は 1 つを除いてすべて行列からのものです。たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。。この行列では、最後の 3 行は比例しているため、そのうちの 1 行だけを残すだけで十分です。 .

3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。消去。もちろん引きません、ゼロラインは すべてゼロ.

4) マトリックスの行は次のようにすることができます。 乗算（除算）任意の数にゼロ以外の。たとえば、行列を考えてみましょう。ここでは、最初の行を –3 で割り、2 番目の行を 2 で乗算することをお勧めします。。このアクションは、行列のさらなる変換を簡素化するため、非常に便利です。

5) この変換は最も困難を引き起こしますが、実際には複雑なことは何もありません。行列の行に対して次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは違います。次のマトリックスを考えてみましょう実践例: 。まず、変換について詳しく説明します。最初の行に -2 を掛けます。、そして 2 行目に -2 を掛けた最初の行を追加します。: 。これで、最初の行を –2: で「後ろに」分割できます。ご覧のとおり、ADD という行は李 – 変わっていない. いつも TO WHICH IS ADDED の行が変更されます ユタ州.

もちろん、実際には、そこまで詳しくは書かず、簡潔に書きます。もう一度: 2 行目へ 最初の行に -2 を乗算して追加しました。通常、ラインは口頭または草稿上で掛け算され、暗算プロセスは次のようになります。

「行列を書き換えて、最初の行を書き換えます。 »

「最初のコラム。一番下ではゼロを取得する必要があります。したがって、一番上の値に –2 を掛けて、最初の値を 2 行目に追加します: 2 + (-2) = 0。結果を 2 行目に書き込みます。 »

「それでは２列目です。一番上で、-1 と -2 を掛けます。最初の行を 2 行目に追加します: 1 + 2 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »

「そして3列目。一番上で、-5 に -2 を掛けます。最初の行を 2 行目に追加します: –7 + 10 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »

この例をよく理解し、逐次計算アルゴリズムを理解してください。これを理解していれば、ガウス法は実質的にあなたのポケットにあります。しかし、もちろん、私たちは引き続きこの変革に取り組んでいきます。

初等変換では方程式系の解は変わりません

！注意: 操作が考えられます 使えない、行列が「それ自体で」与えられるタスクが提供された場合。例えば「クラシック」の場合 行列を使った演算いかなる状況でも、行列内で何かを再配置してはなりません。私たちのシステムに戻りましょう。それは事実上ばらばらになっている。

システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを次のように縮小してみましょう。 階段状のビュー:

(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。もう一度言いますが、なぜ最初の行に -2 を掛けるのでしょうか? 一番下のゼロを取得するには、2 行目の変数を 1 つ取り除くことを意味します。

(2) 2行目を3で割ります。

基本的な変換の目的 – マトリックスを段階的な形式に縮小します。。タスクの設計では、単純な鉛筆で「階段」をマークし、「階段」にある数字を丸で囲むだけです。「段階的ビュー」という用語自体は、科学や教育の文献では完全に理論的なものではありません。 台形ビューまたは 三角図.

基本的な変換の結果、次のようになりました。同等元の方程式系:

次に、システムを逆方向に「巻き戻す」必要があります。下から上へ、このプロセスはと呼ばれます。 ガウス法の逆.

下の式では、すでに既製の結果が得られています。

システムの最初の方程式を考えて、既知の「y」の値をそれに代入してみましょう。

ガウス法が 3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式からなる系を解く必要がある、最も一般的な状況を考えてみましょう。

例1

ガウス法を使用して連立方程式を解きます。

システムの拡張行列を書いてみましょう。

ここで、解決中に得られる結果をすぐに描画します。繰り返しますが、私たちの目標は、基本的な変換を使用して行列を段階的な形式にすることです。どこから始めれば？

まず、左上の数字を見てください。ほぼ常にここにあるはずです ユニット。一般的には、-1 (場合によっては他の数値) で十分ですが、どういうわけか伝統的に、通常は 1 が置かれることが起こりました。ユニットを編成するにはどうすればよいですか？最初の列を見ると、ユニットが完成しました。変換 1: 1 行目と 3 行目を交換します。

これで、最初の行はソリューションが終了するまで変更されません。。もう大丈夫です。

左上のユニットが整理されています。ここで、次の場所でゼロを取得する必要があります。

「難しい」変換を使用してゼロを取得します。まず 2 行目 (2、-1、3、13) を処理します。最初の位置でゼロを取得するには何をする必要がありますか? する必要がある 2 行目に -2 を掛けた 1 行目を追加します。。頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -2 を掛けます: (-2、-4、2、-18)。そして、私たちは一貫して（これも頭の中で、またはドラフト上で）追加を実行します。 2 行目に、既に -2 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 2 行目に書きます。

3 行目 (3、2、-5、-1) も同様に処理します。最初の位置にゼロを取得するには、以下が必要です 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。。頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -3 を掛けます: (-3、-6、3、-27)。そして 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 3 行目に書きます。

実際には、これらのアクションは通常、口頭で実行され、1 つのステップで書き留められます。

すべてを同時に数える必要はありません。計算の順序と結果の「書き込み」 一貫性のあるそして通常は次のようになります。まず最初の行を書き直し、ゆっくりと自分自身を膨らませます - 一貫して 注意深く:
そして、計算自体の精神的なプロセスについてはすでに上で説明しました。

この例では、これは簡単に実行できます。2 行目を -5 で除算します (そこにあるすべての数値は剰余なしで 5 で割り切れるため)。同時に、数値が小さいほど解が単純になるため、3 行目を –2 で割ります。

基本的な変換の最終段階では、ここで別のゼロを取得する必要があります。

このために 3 行目に -2 を掛けた 2 行目を追加します。:
このアクションを自分で理解してみてください。2 行目に -2 を心の中で乗算し、加算を実行します。

実行される最後のアクションは結果のヘアスタイルであり、3 行目を 3 で割ります。

基本変換の結果、等価な線形方程式系が得られました。いいね。

ここで、ガウス法の逆が機能します。方程式は下から上に「巻き戻され」ます。

3 番目の方程式では、すでに結果が得られています。

2 番目の方程式を見てみましょう。「zet」の意味はすでに知られているので、次のようになります。

そして最後に、最初の方程式: 。「イグレック」と「ゼット」は知られていますが、それはほんの些細なことです。

答え:

すでに何度か述べたように、どのような方程式系でも、見つかった解を確認することは可能であり、必要です。幸いなことに、これは簡単かつ迅速です。

例 2

これは独立したソリューションの例であり、最終設計のサンプルであり、レッスンの最後に回答が表示されます。

注意すべき点は、 決定の進捗状況私の決断プロセスと一致しないかもしれませんが、 これがガウス法の特徴です。しかし、答えは同じでなければなりません。

例 3

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

左上の「ステップ」に注目します。そこに 1 つあるはずです。問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。これは通常、いくつかの方法で実行できます。私はこれを行いました: (1) 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。。つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。

左上に「マイナス 1」が表示されていますが、これは非常に適切です。 +1 を得たい人は誰でも追加の動作を実行できます。最初の行に -1 を掛けます (符号を変更します)。

(2) 1 行目の 5 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 3 倍を 3 行目に追加しました。

(3) 1行目は、原則として美しさのために-1を掛けています。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。

(4) 2 行目は 3 行目に加算され、2 が乗算されます。

(5) 3行目を3で割りました。

計算ミス (まれにタイプミス) を示す悪い兆候は、「悪い」最終結果となります。つまり、以下のようなものが得られた場合、それに応じて、の場合、高い確率で、基本的な変換中にエラーが発生したと言えます。

私たちはその逆を請求します。例の設計ではシステム自体を書き換えないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。逆ストロークは下から上に向かって行うものであることを思い出してください。はい、こちらがプレゼントです:

答え: .

例 4

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

これは自分で解決できる例ですが、少し複雑です。誰かが混乱しても大丈夫です。レッスンの最後には完全なソリューションとサンプル設計が表示されます。あなたの解決策は私の解決策とは異なるかもしれません。

最後の部分では、ガウスアルゴリズムのいくつかの機能を見ていきます。最初の特徴は、システム方程式に一部の変数が欠落している場合があることです。次に例を示します。拡張システム行列を正しく書くにはどうすればよいですか? この点についてはすでに授業で話しました。 クレーマーの法則。マトリックス法。システムの拡張行列では、欠落している変数の代わりにゼロを置きます。ところで、それはきれいですね簡単な例これは、最初の列にすでにゼロが 1 つあり、実行する基本的な変換が少なくなっているためです。

2つ目の特徴はこれです。検討したすべての例で、「ステップ」に -1 または +1 を配置しました。他の数字もあるでしょうか？場合によっては可能です。次のシステムを考えてみましょう。 .

ここの左上の「ステップ」には 2 があります。しかし、最初の列のすべての数値は剰余なしで 2 で割り切れ、もう 1 つは 2 と 6 であるという事実に気づきます。そして左上の2つが似合いますね！最初のステップでは、次の変換を実行する必要があります。-1 を掛けた最初の行を 2 番目の行に追加します。 3 行目に –3 を掛けた 1 行目を追加します。このようにして、最初の列に必要なゼロを取得します。

またはこのようなもの条件付きの例: 。ここで、2 番目の「ステップ」の 3 も適切です。12 (ゼロを取得する必要がある場所) は余りなしで 3 で割り切れます。次の変換を実行する必要があります。2 番目のラインを 3 番目のラインに加算し、-4 を掛けます。その結果、必要なゼロが得られます。

ガウスの方法は普遍的ですが、特徴が 1 つあります。他の方法 (クラマー法、行列法) を文字通り初めて使用してシステムを解く方法を自信を持って学ぶことができます。これらの方法には非常に厳密なアルゴリズムが備わっています。ただし、ガウス法に自信を持って使用するには、少なくとも 5 ～ 10 個の 10 系を「しっかりと理解して」解く必要があります。したがって、最初は計算に混乱や間違いがあるかもしれませんが、これについては何も異常なことや悲劇的なことはありません。

窓の外は秋の雨の天気.... したがって、より複雑な例を自分で解決したい人は次のとおりです。

例5

ガウス法を使用して、4 つの未知数を含む 4 つの線形方程式からなる連立方程式を解きます。

このようなタスクは実際にはそれほど珍しいことではありません。このページをよく勉強したティーポットでも、このようなシステムを解くためのアルゴリズムを直感的に理解できると思います。基本的にはすべて同じで、アクションが増えただけです。

システムに解がない (矛盾している) 場合、または無限に多くの解がある場合については、レッスンで説明します。 互換性のないシステムと共通のソリューションを持つシステム。そこで、ガウス法の考慮されたアルゴリズムを修正できます。

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2: 解決 : システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。
実行される基本的な変換: (1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。最初の行が 3 行目に追加され、-1 が乗算されました。 注意！ ここで、3 行目から 1 行目を減算したくなるかもしれませんが、減算しないことを強くお勧めします。エラーのリスクが大幅に高まります。折りたたむだけです！ (2) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 2行目と3行目が入れ替わっています。 注記 、「ステップ」では 1 だけでなく、-1 でも満足できるため、さらに便利です。 (3) 2 行目は 3 行目に加算され、5 が乗算されます。 (4) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 3行目は14で割られています。

逆行する：

答え : .

例 4: 解決 : システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

実行された変換: (1) 1行目に2行目を追加しました。このように、左上の「ステップ」に目的のユニットが編成されます。 (2) 1 行目の 7 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 6 倍を 3 行目に追加しました。

2番目の「ステップ」ではすべてが悪化します 、その「候補」は番号 17 と 23 であり、1 または -1 のいずれかが必要です。変換(3)と(4)は、目的のユニットを取得することを目的とします。 (3) 2 行目は 3 行目に加算され、-1 が乗算されます。 (4) 3 行目は 2 行目に加算され、-3 が乗算されます。 2番目のステップで必要なアイテムを受け取りました . (5) 2 行目は 3 行目に加算され、6 倍されます。 (6) 2 行目は -1 を乗算し、3 行目は -83 で除算しました。

逆行する：

答え :

例 5: 解決 : システムの行列を書き留めて、基本的な変換を使用してそれを段階的な形式にします。

実行された変換: (1) 1行目と2行目が入れ替わりました。 (2) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 1 行目は 3 行目に追加され、-2 が乗算されます。 1 行目は 4 行目に追加され、-3 が乗算されます。 (3) 2 行目は 3 行目に加算され、4 が乗算されます。2 行目は、4 行目に加算され、-1 が乗算されます。 (4) 2行目の符号を変更しました。 4 行目は 3 で割られ、3 行目の代わりに配置されます。 (5) 3 行目は 4 行目に加算され、-5 が乗算されます。

逆行する：

答え :

線形代数系を解くための普遍的かつ効果的な方法の 1 つは次のとおりです。 ガウス法 、未知のものを順次排除することで構成されます。

2 つのシステムが次のように呼ばれることを思い出してください。同等 (同等) それらの解のセットが一致する場合。言い換えれば、システムの一方のすべての解が他方の解である場合、またはその逆の場合、システムは同等です。等価なシステムは次の場合に得られます。 基本的な変換 システムの方程式:

方程式の両辺にゼロ以外の数値を乗算します。

別の方程式の対応する部分をある方程式に追加し、ゼロ以外の数値を掛けます。

2つの方程式を並べ替えます。

連立方程式を与えてみましょう

ガウス法を使用してこのシステムを解くプロセスは 2 つの段階で構成されます。最初の段階 (直接動作) では、システムは基本変換を使用して次のように縮小されます。 段階的に , または三角第 2 段階 (逆) では、最後の変数番号から開始して、結果として得られるステップシステムからの未知数の決定が順番に行われます。

このシステムの係数を次のように仮定します。
それ以外の場合は、システム内で最初の行が他の行と交換され、係数が次のようになります。ゼロとは違いました。

未知を排除してシステムを変革しよう最初のものを除くすべての方程式で。これを行うには、最初の方程式の両辺に次の値を掛けます。システムの 2 番目の方程式を使用して項ごとに追加します。次に、最初の式の両辺に次の値を掛けます。それをシステムの 3 番目の方程式に追加します。このプロセスを続けると、等価なシステムが得られます。

ここ
– 最初のステップの後に取得される係数と自由項の新しい値。

同様に主要な要素を考慮すると、
、未知のものを除外する最初と 2 番目を除くシステムのすべての方程式から。このプロセスをできるだけ長く続けましょう。その結果、段階的なシステムが得られます。

どこ ,
,…,– システムの主な要素
.

システムを段階的な形式に還元する過程で、方程式が現れる場合、つまり、次の形式が等しい場合
、任意の数値セットで満たされるため、それらは破棄されます。
。もし、
現れるの形の方程式、解決策がない場合、これはシステムに互換性がないことを示しています。

逆ストローク中、最初の未知数は変換されたステップシステムの最後の方程式から表現されます。他のすべての未知を通して
と呼ばれるもの無料 . 次に、変数式システムの最後の方程式から最後から 2 番目の方程式に代入され、そこから変数が表現されます。
。変数も同様の方法で順番に定義されます
。変数
、自由変数を介して表現され、と呼ばれます 基本的な （依存）。結果は共通の決定線形方程式系。

見つけるには プライベートソリューション システム、無料不明
一般的なソリューションでは、任意の値が割り当てられ、変数の値が計算されます
.

システム方程式自体ではなく、システムの拡張行列に基本変換を適用する方が技術的には便利です。

ガウス法は、正方形だけでなく、未知数の数が異なる長方形系も解くことができる普遍的な手法です。
方程式の数と等しくない
.

この方法の利点は、拡張行列が与えられているため、解決の過程でシステムの互換性を同時に検査できることです。
段階的に形成すると、行列のランクを決定するのが簡単になりますおよび拡張マトリックス
そして申請してください クロネッカー・カペリの定理 .

例2.1ガウス法を使用してシステムを解く

解決。方程式の数
そして未知の数
.

行列の右側に係数を割り当てて、システムの拡張行列を作成しましょう無料会員欄 .

マトリックスを提示しましょう三角形のビューに。これを行うには、基本変換を使用して主対角線上にある要素の下にある「0」を取得します。

最初の列の 2 番目の位置にある「0」を取得するには、最初の行に (-1) を乗算し、それを 2 行目に加算します。

この変換を最初の行に対して数値 (-1) として書き、最初の行から 2 行目に向かう矢印で示します。

最初の列の 3 番目の位置に「0」を取得するには、最初の行に (-3) を掛けて 3 番目の行に加算します。 1 行目から 3 行目へ向かう矢印を使用して、このアクションを示してみましょう。

行列のチェーンの 2 番目に書かれた結果の行列では、2 列目の 3 番目の位置に「0」が入ります。これを行うには、2 行目に (-4) を乗算し、3 行目に加算します。結果の行列で、2 行目を (-1) で乗算し、3 行目を (-8) で除算します。この行列の対角要素の下にある要素はすべて 0 です。

なぜなら , システムは協調的であり、定義されています。

最後の行列に対応する連立方程式は三角形の形式になります。

最後の (3 番目) 式から
。 2 番目の式に代入して、
.

代用しましょう
そして
最初の方程式に代入すると、

.

ガウス法連立線形代数方程式 (SLAE) を解くのに最適です。他の方法と比較して、次のような多くの利点があります。

まず、最初に方程式系の一貫性を調べる必要はありません。
第二に、ガウス法は方程式の数が未知の変数の数と一致し、系の主行列が非特異である SLAE だけでなく、方程式の数が未知の変数の数と一致しない連立方程式も解くことができます。未知の変数の数または主行列の行列式ゼロに等しい;
第三に、ガウス法では比較的少ない計算操作で結果が得られます。

記事の簡単な概要。

まずはあげましょう必要な定義そして表記法を紹介します。

次に、最も単純な場合、つまり、未知の変数の数と一致する方程式の数が線形代数方程式系であり、系の主行列の行列式が次のような場合のガウス法のアルゴリズムを説明します。ゼロに等しくありません。このような連立方程式を解くとき、未知の変数を順次消去するというガウス法の本質が最も明確にわかります。したがって、ガウス法は未知数の逐次消去法とも呼ばれます。ご紹介します詳細な解決策いくつかの例。

結論として、主行列が長方形または特異である線形代数方程式系のガウス法による解法を検討します。このようなシステムのソリューションにはいくつかの特徴があり、例を使用して詳しく説明します。

ページナビゲーション。

基本的な定義と表記法。

n 個の未知数を持つ p 個の線形方程式系を考えます (p は n に等しい可能性があります)。

ここで、は未知の変数、は数値 (実数または複素数)、およびは自由項です。

もし、線形代数方程式系は次のように呼ばれます。 同種の、さもないと - 異質な.

システムのすべての方程式が恒等式となる未知の変数の値の集合をといいます。 SLAUの決定.

線形代数方程式系に少なくとも 1 つの解がある場合、それは次のように呼ばれます。 ジョイント、さもないと - 非接合.

SLAE に固有の解決策がある場合、それは次のように呼ばれます。ある。複数の解決策がある場合、システムは次のように呼ばれます。 不確かな.

システムはで書かれていると言われています 座標形式、次の形式がある場合
.

このシステムでは、 マトリックス形式レコードの形式は次のとおりです。 - SLAE のメイン行列、 - 未知の変数の列の行列、 - 自由項の行列。

自由項の行列列を行列 A に (n+1) 番目の列として追加すると、いわゆる 拡張マトリックス線形方程式系。通常、拡張行列は文字 T で示され、自由項の列は垂直線で残りの列から分離されます。

正方行列 A は次のように呼ばれます 退化する、行列式がゼロの場合。の場合、行列 A が呼び出されます。 非退化.

以下の点に注意してください。

線形代数方程式系を使用して次のアクションを実行すると、

2つの方程式を入れ替えると、
方程式の両辺に任意の非ゼロの実数 (または複素数) k を掛けます。
任意の方程式の両辺に、別の方程式の対応する部分を加算し、任意の数 k を掛けます。

そうすれば、同じ解を持つ同等のシステムが得られます (または、元のシステムと同様に、解がありません)。

線形代数方程式系の拡張行列の場合、これらのアクションは行に対して基本変換を実行することを意味します。

2行を入れ替えると、
行列 T の任意の行のすべての要素にゼロ以外の数 k を乗算し、
行列の任意の行の要素に、別の行の対応する要素を加算し、任意の数 k を掛けます。

ここで、ガウス法の説明に進むことができます。

ガウス法を使用して、方程式の数が未知数の数に等しく、系の主行列が非特異である線形代数方程式系を解きます。

連立方程式の解を見つけるという課題が学校で与えられたら、私たちは何をするでしょうか? .

そうする人もいるでしょう。

最初の式の左辺を 2 番目の方程式の左辺に、右辺を右辺に加算すると、未知の変数 x 2 と x 3 を取り除くことができ、すぐに x 1 を見つけることができることに注意してください。

見つかった値 x 1 =1 をシステムの最初と 3 番目の方程式に代入します。

システムの 3 番目の方程式の両辺に -1 を掛けて、最初の方程式の対応する部分に加算すると、未知の変数 x 3 が取り除かれ、x 2 が求められます。

結果の値 x 2 = 2 を 3 番目の方程式に代入し、残りの未知変数 x 3 を求めます。

他の人は別のことをしたでしょう。

システムの最初の方程式を未知の変数 x 1 に関して解決し、その結果の式をシステムの 2 番目と 3 番目の方程式に代入して、この変数を除外してみましょう。

次に、システムの 2 番目の方程式を x 2 について解き、得られた結果を 3 番目の方程式に代入して未知の変数 x 2 を削除しましょう。

システムの 3 番目の方程式から、x 3 =3 であることが明らかです。 2 番目の方程式から次のことがわかります。そして最初の方程式からが得られます。

よくある解決策ですよね？

ここで最も興味深いのは、2 番目の解法は本質的に未知数を逐次消去する方法、つまりガウス法であるということです。未知の変数 (最初は x 1、次の段階では x 2) を表現し、それらをシステムの残りの方程式に代入すると、それらの変数は除外されます。最後の式に未知の変数が 1 つだけ残るまで消去を実行しました。未知のものを順番に排除するプロセスはと呼ばれます ダイレクトガウス法。前進が完了すると、最後の方程式で見つかった未知の変数を計算する機会が得られます。その助けを借りて、最後から 2 番目の方程式から次の未知の変数を見つけます。最後の方程式から最初の方程式に移動しながら未知の変数を順番に見つけるプロセスは、と呼ばれます。 逆にガウス法.

最初の式で x 1 を x 2 と x 3 で表現し、その結果の式を 2 番目と 3 番目の式に代入すると、次のアクションで同じ結果が得られることに注意してください。

実際、このような手順により、システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の変数 x 1 を削除することもできます。

ガウス法を使用した未知の変数の除去に伴うニュアンスは、システムの方程式にいくつかの変数が含まれていない場合に発生します。

たとえば、SLAU では最初の方程式には未知の変数 x 1 はありません (つまり、その前の係数はゼロです)。したがって、残りの方程式からこの未知の変数を削除するために、x 1 に関するシステムの最初の方程式を解くことはできません。この状況から抜け出す方法は、システムの方程式を交換することです。主行列の行列式がゼロとは異なる連立一次方程式を考慮しているため、必要な変数が存在する方程式が常に存在し、この方程式を必要な位置に並べ替えることができます。この例では、システムの 1 番目と 2 番目の方程式を交換するだけで十分です。そうすると、最初の方程式を x 1 について解決し、それをシステムの残りの方程式から除外できます (ただし、x 1 は 2 番目の方程式には存在しません)。

要点を理解していただければ幸いです。

説明しましょう ガウス法のアルゴリズム。

n 個の未知数を持つ n 個の線形代数方程式系を解く必要があるとします。次の形式の変数、その主行列の行列式をゼロとは異なるものとします。

システムの方程式を並べ替えることで常にこれを達成できるため、と仮定します。 2 番目から始めて、システムのすべての方程式から未知の変数 x 1 を削除しましょう。これを行うには、システムの 2 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加し、3 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加し、以下同様に、n 番目の方程式に最初の値をで乗算した値を追加します。このような変換後の方程式系は次の形式になります。

どこで、そして .

システムの最初の方程式で x 1 を他の未知の変数で表現し、その結果の式を他のすべての方程式に代入したとしても、同じ結果に達したでしょう。したがって、変数 x 1 は、2 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、同様の方法で作業を進めますが、図でマークされている、結果として得られるシステムの一部のみを使用します。

これを行うには、システムの 3 番目の方程式に 2 番目の値を追加し、を乗算し、4 番目の方程式に 2 番目の値を追加し、を乗算し、以下同様に、n 番目の方程式に 2 番目の値を乗算してを追加します。このような変換後の方程式系は次の形式になります。

どこで、そして。したがって、変数 x 2 は、3 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、図でマークされているシステムの部分についても同様に動作しながら、未知数 x 3 の除去に進みます。

したがって、システムが次の形式になるまで、ガウス法の直接進行を続けます。

この瞬間から、ガウス法の逆を開始します。最後の方程式から x n を次のように計算し、得られた x n の値を使用して、最後から 2 番目の方程式から x n-1 を見つけます。以下同様に、最初の方程式から x 1 を見つけます。。

例を使用してアルゴリズムを見てみましょう。

例。

ガウス法。

解決。

係数 a 11 はゼロではないので、ガウス法の直接進行、つまり最初のものを除くシステムのすべての方程式から未知の変数 x 1 を除外します。これを行うには、2 番目、3 番目、4 番目の方程式の左辺と右辺に、最初の方程式の左辺と右辺を加算し、それぞれを掛けます。そして：

未知の変数 x 1 が消去されました。次に、 x 2 の消去に進みます。システムの 3 番目と 4 番目の方程式の左側と右側に、2 番目の方程式の左側と右側を追加し、それぞれを掛けます。そして :

ガウス法の前進を完了するには、システムの最後の方程式から未知の変数 x 3 を除去する必要があります。 4 番目の式の左辺と右辺に、それぞれ 3 番目の式の左辺と右辺を加えて、 :

ガウス法の逆を開始できます。

最後の式から、 ,
3 番目の方程式から得られるものは、
2番目からは、
最初のものから。

確認するには、取得した未知の変数の値を元の連立方程式に代入します。すべての方程式が恒等式に変わり、ガウス法を使用した解が正しく見つかったことを示します。

答え：

次に、行列表記のガウス法を使用して、同じ例の解を与えてみましょう。

例。

連立方程式の解を求めるガウス法。

解決。

システムの拡張行列は次の形式になります。。各列の上部には、行列の要素に対応する未知の変数があります。

ここでのガウス法の直接的なアプローチには、基本変換を使用してシステムの拡張行列を台形形式に縮小することが含まれます。このプロセスは、座標形式のシステムで行った未知の変数の除去に似ています。これでわかります。

2 番目から始まる最初の列のすべての要素がゼロになるように行列を変換しましょう。これを行うには、2 行目、3 行目、4 行目の要素に、1 行目の対応する要素を , で乗算して追加します。それに応じて:

次に、結果の行列を変換して、2 番目の列の 3 番目から始まるすべての要素がゼロになるようにします。これは、未知の変数 x 2 を除去することに対応します。これを行うには、3 行目と 4 行目の要素に、行列の 1 行目の対応する要素を追加し、それぞれを乗算します。そして :

システムの最後の方程式から未知の変数 x 3 を除外する必要があります。これを行うには、結果の行列の最後の行の要素に、最後から 2 番目の行の対応する要素を追加し、次の値を掛けます。 :

この行列は連立一次方程式に対応することに注意してください。

これは前進後の早い段階で取得されたものです。

引き返す時が来ました。行列表記では、ガウス法の逆変換では、図でマークされている行列が次のように結果の行列を変換します。

斜めになった、つまり次のような形になりました

数字はどこにありますか。

これらの変換はガウス法の順変換に似ていますが、最初の行から最後の行までではなく、最後の行から最初の行まで実行されます。

3 行目、2 行目、および 1 行目の要素に、最後の行の対応する要素を加算し、次の値を乗算します。、延々とそれぞれ：

次に、2 行目と 1 行目の要素に、3 行目の対応する要素を追加し、それぞれとを乗算します。

逆ガウス法の最後のステップでは、最初の行の要素に、2 行目の対応する要素を追加し、次の値を乗算します。

結果の行列は連立方程式に対応します。 , そこから未知の変数を見つけます。

答え：

注記。

ガウス法を使用して線形代数方程式系を解く場合、完全に不正確な結果が得られる可能性があるため、近似計算は避けてください。小数点以下は四捨五入しないことをお勧めします。からの方が良い小数普通の分数に移ります。

例。

ガウス法を使用して 3 つの連立方程式を解く .

解決。

この例では、未知の変数の指定が異なっていることに注意してください (x 1、x 2、x 3 ではなく、x、y、z)。普通の分数に移りましょう。

システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の x を除外しましょう。

結果のシステムでは、2 番目の方程式には未知の変数 y が存在しませんが、3 番目の方程式には y が存在します。したがって、2 番目と 3 番目の方程式を入れ替えてみましょう。

これでガウス法の直接進行が完了します (この未知の変数はもう存在しないため、3 番目の方程式から y を除外する必要はありません)。

逆の動きを始めましょう。

最後の方程式から得られるもの ,
最後から2番目から

最初の方程式から

答え：

X = 10、y = 5、z = -20。

方程式の数が未知数の数と一致しない、または系の主行列が特異である線形代数方程式系をガウス法を使用して解きます。

主な行列が長方形または正方形の特異値である連立方程式は、解をもたないことも、単一の解をもつことも、あるいは無限の数の解をもつこともあります。

ここで、ガウス法を使用して、線形方程式系の互換性または不整合性を確立し、互換性がある場合にはすべての解 (または 1 つの解) を決定する方法を理解します。

原則として、このような SLAE の場合に未知の変数を除去するプロセスは同じままです。ただし、発生する可能性のあるいくつかの状況について詳しく説明する価値があります。

最も重要な段階に進みましょう。

そこで、ガウス法の前進を完了した後、線形代数方程式系が次の形式を取ると仮定します。そして、単一の方程式は帰着しませんでした (この場合、システムは互換性がないと結論付けるでしょう)。「次に何をすべきか?」という論理的な疑問が生じます。

結果として得られるシステムのすべての方程式で最初に現れる未知の変数を書き留めてみましょう。

この例では、これらは x 1、x 4、および x 5 です。システムの方程式の左側には、書き込まれた未知の変数 x 1、x 4、および x 5 を含む項のみを残し、残りの項は反対の符号を付けて方程式の右側に転送されます。

方程式の右側にある未知の変数に任意の値を与えてみましょう。 - 任意の数値:

この後、SLAE のすべての方程式の右辺に数値が含まれるようになり、ガウス法の逆に進むことができます。

システムの最後の方程式から、最後から 2 番目の方程式から、最初に得られる方程式から

連立方程式の解は未知の変数の値のセットです

数字を与えるさまざまな意味、お受けいたしますさまざまなソリューション方程式系。つまり、方程式系には無限に多くの解があります。

答え：

どこ - 任意の数字。

資料を統合するために、さらにいくつかの例の解決策を詳細に分析します。

例。

決める均質系線形代数方程式ガウス法。

解決。

システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の変数 x を除外しましょう。これを行うには、2 番目の式の左辺と右辺に、最初の式の左辺と右辺にを掛けて、3 番目の式の左辺と右辺に、左辺と右辺を加えます。最初の式の右辺に次の値を掛けます。

次に、結果として得られる連立方程式の 3 番目の方程式から y を除外してみましょう。

結果として得られる SLAE はシステムと同等です。 .

システム方程式の左側には未知の変数 x と y を含む項のみを残し、未知の変数 z を含む項を右側に移動します。

16 世紀から 18 世紀の初め以来、数学者は関数を集中的に研究し始め、そのおかげで私たちの生活は大きく変わりました。コンピューターテクノロジーこの知識がなければ、それは単に存在しないでしょう。解決策について複雑なタスク、一次方程式や関数、さまざまな概念、定理、解法テクニックが生み出されてきました。線形方程式とその系を解くための普遍的かつ合理的な方法と技術の 1 つがガウス法でした。行列、その順位、行列式など、すべてを複雑な演算を使用せずに計算できます。

スラウとは

数学には、線形代数方程式系である SLAE の概念があります。彼女はどんな人ですか？これは、必要な n 個の未知の量を含む m 個の方程式のセットで、通常は x、y、z、x 1、x 2 ... x n、またはその他の記号で表されます。ガウス法で解くこのシステム- 未知の未知をすべて見つけることを意味します。システムに同じ番号未知数と方程式を組み合わせたものを n 次系と呼びます。

SLAE を解決するための最も一般的な方法

で教育機関中等教育の学生は、このようなシステムを解決するためのさまざまな方法を研究します。ほとんどの場合これ簡単な方程式、2 つの未知数で構成されるため、既存の方法それらに対する答えを見つけるのにそれほど時間はかかりません。これは、ある方程式から別の式を導出し、元の式に代入する代入法に似ています。または、用語ごとに減算および加算する方法。しかし、ガウス法は最も簡単で最も普遍的であると考えられています。任意の数の未知数を含む方程式を解くことが可能になります。なぜこの特定のテクニックが合理的であると考えられるのでしょうか? それは簡単です。マトリックス法良い点は、不必要なシンボルを未知の形式で何度も書き直す必要がなく、係数に対して算術演算を実行するだけで十分であり、信頼性の高い結果が得られることです。

SLAE は実際にどこで使用されていますか?

SLAE の解決策は、関数のグラフ上の線の交点です。ハイテクコンピューター時代において、ゲームやその他のプログラムの開発に密接に関わる人々は、そのようなシステムを解決する方法、システムが何を表すか、結果の正確性を確認する方法を知る必要があります。ほとんどの場合、プログラマーは、線形方程式系も含まれる特別な線形代数計算プログラムを開発します。ガウス法を使用すると、すべてを計算できます既存のソリューション。他の簡略化された公式やテクニックも使用されます。

SLAU 互換性基準

このようなシステムは、互換性がある場合にのみ解決できます。わかりやすくするために、SLAE を Ax=b の形式で表します。 rang(A) が rang(A,b) に等しい場合、解決策があります。この場合、(A,b) は、行列 A を自由項で書き換えることによって取得できる拡張形式の行列です。ガウス法を使用して線形方程式を解くのは非常に簡単であることがわかります。

おそらく一部の記号は完全に明確ではないため、例を使用してすべてを検討する必要があります。 x+y=1; というシステムがあるとします。 2x-3y=6。これは 2 つの方程式のみで構成されており、その中には未知数が 2 つあります。システムは、その行列のランクが拡張行列のランクと等しい場合にのみ解を持ちます。ランクとは何ですか？システムの独立回線数です。この場合、行列のランクは 2 です。行列 A は未知数の近くにある係数で構成され、「=」記号の後ろにある係数も拡張行列に収まります。

SLAE はなぜ行列形式で表現できるのでしょうか?

証明されたクロネッカーカペリの定理による互換性基準に基づいて、線形代数方程式系を行列形式で表すことができます。ガウスカスケード法を使用すると、行列を解き、システム全体に対して信頼できる単一の答えを得ることができます。通常の行列のランクがその拡張行列のランクと等しいが、未知数の数より小さい場合、システムは無限の数の答えを持ちます。

行列変換

行列の解決に進む前に、行列の要素に対してどのようなアクションを実行できるかを知っておく必要があります。いくつかの基本的な変換があります。

この系を行列形式に書き換えて解くと、系列のすべての要素に同じ係数を掛けることができます。
行列を正準形式に変換するには、2 つの平行な行を交換します。正準形式は、主対角に沿って位置するすべての行列要素が 1 になり、残りの要素が 0 になることを意味します。
行列の平行な行の対応する要素は、互いに加算できます。

ジョルダン・ガウス法

線形均質系と不均一方程式ガウス法では、未知のものを徐々に排除します。未知数が 2 つある 2 つの方程式系があるとします。それらを見つけるには、システムの互換性を確認する必要があります。この方程式はガウス法によって非常に簡単に解かれます。それぞれの未知数の近くにある係数を行列形式で書き留める必要があります。このシステムを解決するには、拡張行列を書き出す必要があります。いずれかの式に含まれる未知数の数が少ない場合は、不足している要素の代わりに「0」を入力する必要があります。乗算、数値による除算、系列の対応する要素の相互加算など、既知の変換方法はすべて行列に適用されます。各行で 1 つの変数を値「1」のままにする必要があり、残りはゼロに減らす必要があることがわかります。より正確に理解するには、例を挙げてガウス法を検討する必要があります。

2x2 システムを解く簡単な例

まず、2 つの未知数が存在する単純な代数方程式系を考えてみましょう。

これを拡張行列に書き換えてみましょう。

この一次方程式系を解くには、2 つの演算だけが必要です。主対角に沿って行列が存在するように行列を正準形式にする必要があります。したがって、行列形式からシステムに戻すと、1x+0y=b1 および 0x+1y=b2 という方程式が得られます。ここで、b1 と b2 は、解法プロセスで得られる答えです。

拡張行列を解くときの最初のアクションは次のとおりです。2 番目の方程式で不明な要素を 1 つ取り除くために、最初の行に -7 を掛け、対応する要素を 2 番目の行に追加する必要があります。
ガウス法を使用して方程式を解くには、行列を正準形式に縮小することが含まれるため、最初の方程式に対して同じ操作を実行し、2 番目の変数を削除する必要があります。これを行うには、最初の行から 2 行目を減算し、必要な答え、つまり SLAE の解を取得します。または、図に示すように、2 行目に係数 -1 を乗算し、2 行目の要素を 1 行目に加算します。同じです。

ご覧のとおり、私たちのシステムは、Jordan-Gauss 法によって解決されました。これを必要な形式 x=-5、y=7 に書き換えます。

3x3 SLAE ソリューションの例

より複雑な線形方程式系があると仮定しましょう。ガウス法を使用すると、最も複雑に見えるシステムでも答えを計算できます。したがって、計算方法をさらに詳しく調べるには、次のステップに進むことができます。複雑な例未知の3つを抱えて。

前の例と同様に、システムを拡張行列の形式で書き直し、それを標準形式に戻し始めます。

このシステムを解決するには、前の例よりもはるかに多くのアクションを実行する必要があります。

まず、最初の列を 1 つの単位要素にし、残りをゼロにする必要があります。これを行うには、最初の式に -1 を掛けて、2 番目の式をそれに加えます。最初の行は元の形式で書き直し、2 行目は変更された形式で書き直すことを覚えておくことが重要です。
次に、これと同じ最初の未知数を 3 番目の方程式から削除します。これを行うには、最初の行の要素に -2 を乗算し、3 番目の行に追加します。ここで、1 行目と 2 行目は元の形式で書き直され、3 行目は変更を加えて書き直されます。結果からわかるように、行列の主対角の先頭にある最初の 1 つと残りの 0 が得られました。さらにいくつかのステップを踏めば、ガウス法による連立方程式は確実に解けます。
次に、行の他の要素に対して操作を実行する必要があります。 3 番目と 4 番目のアクションは 1 つに結合できます。対角線上のマイナスを取り除くために、2 行目と 3 行目を -1 で割る必要があります。すでに 3 行目を必要な形式に持ってきています。
次に、2 行目を標準形式に戻します。これを行うには、3 行目の要素に -3 を乗算し、行列の 2 行目に追加します。結果から、2 行目も必要な形式に縮小されていることが明らかです。さらにいくつかの操作を実行し、最初の行から未知数の係数を削除する必要があります。
行の 2 番目の要素から 0 を作成するには、3 行目に -3 を乗算し、それを最初の行に追加する必要があります。
次の決定的なステップは、最初の行に追加することです。必要な要素 2列目。このようにして、行列の正準形式が得られ、それに応じて答えが得られます。

ご覧のとおり、ガウス法を使用して方程式を解くのは非常に簡単です。

4x4 連立方程式を解く例

一部のより複雑な方程式系は、次のガウス法で解くことができます。コンピュータプログラム。未知数の係数を既存の空のセルに入力する必要があります。プログラム自体が必要な結果を段階的に計算し、各アクションを詳細に記述します。

以下で説明します段階的な指導この例の解決策。

最初のステップでは、未知数の自由係数と数値が空のセルに入力されます。したがって、手動で作成したのと同じ拡張行列が得られます。

そして、拡張行列を標準形式にするために、必要な算術演算がすべて実行されます。連立方程式の答えは必ずしも整数ではないことを理解する必要があります。場合によっては、分数から解が得られることもあります。

解決策が正しいかどうかを確認する

Jordan-Gauss 法は、結果の正確さをチェックするために提供されます。係数が正しく計算されたかどうかを確認するには、結果を元の方程式系に代入するだけです。方程式の左側は、等号の後ろの右側と一致する必要があります。答えが一致しない場合は、システムを再計算するか、代入や項ごとの減算と加算など、既知の SLAE を解決する別の方法をシステムに適用してみる必要があります。結局のところ、数学は次のような科学です。大量のさまざまなテクニックソリューション。ただし、どのような解決方法を使用したとしても、結果は常に同じである必要があることを覚えておいてください。

ガウス法: SLAE を解く際の最も一般的なエラー

決断の最中に線形システム方程式では、係数を行列形式に誤って変換するなどのエラーが最も頻繁に発生します。方程式の 1 つでいくつかの未知数が欠落しているシステムがあり、データを拡張行列に転送するときにそれらが失われる可能性があります。その結果、このシステムを解くと、結果が実際の結果と一致しない可能性があります。

もう 1 つの大きな間違いは、最終結果を誤って書き出すことかもしれません。最初の係数はシステムからの最初の未知の係数に対応し、2 番目の係数は 2 番目の係数に、というように対応することを明確に理解する必要があります。

ガウス法は、線形方程式の解法を詳細に記述します。おかげで製作が楽になりました必要な操作そして正しい結果を見つけてください。さらに、これは普遍的な治療法あらゆる複雑な方程式に対する信頼できる答えを見つけるために。おそらくそれが、SLAE を解決するときに頻繁に使用される理由です。

この記事では、この方法を線形方程式系 (SLAE) を解く方法として取り上げます。このメソッドは分析的です。つまり、解決アルゴリズムを次のように記述できます。一般的な見解を選択し、そこに具体的な例の値を代入します。行列法やクラマーの公式とは異なり、ガウス法を使用して連立一次方程式を解く場合、無限の数の解を持つ線形方程式を扱うこともできます。あるいは、まったく持っていません。

ガウス法を使用して解くとはどういう意味ですか?

まず、方程式系を次のように書く必要があります。システムを例に挙げます。

係数は表の形式で記述され、自由項は右側の別の列に記述されます。自由項を含む列は便宜上分離されています。この列を含むマトリックスは拡張と呼ばれます。

次に、係数を含むメイン行列を上三角形式に縮小する必要があります。これがガウス法を使用してシステムを解く主要なポイントです。簡単に言うと、特定の操作を行った後、行列の左下部分にはゼロのみが含まれるようになります。

次に、新しい行列を連立方程式として再度記述すると、最後の行にはすでに根の 1 つの値が含まれており、それが上記の方程式に代入され、別の根が見つかる、ということがわかります。

これは、ガウス法による解法を最も一般的な用語で説明したものです。突然システムに解決策がなくなったらどうなるでしょうか? それとも無限にたくさんあるのでしょうか？これらの質問や他の多くの質問に答えるには、ガウス法の解決に使用されるすべての要素を個別に検討する必要があります。

行列とそのプロパティ

マトリックスには隠された意味はありません。それは簡単です便利な方法後続の操作のためにデータを記録します。小学生でも怖がる必要はありません。

マトリックスは常に長方形です。そのほうが便利だからです。ガウス法でも、最終的には三角形の行列を作成することになりますが、エントリには四角形が表示され、数字のない場所にはゼロだけが表示されます。ゼロを書き込むことはできませんが、暗黙的にゼロが書き込まれます。

マトリックスにはサイズがあります。その「幅」は行数 (m)、「長さ」は列数 (n) です。次に、行列 A (通常、それらを表すためにラテン大文字が使用されます) のサイズは、A m×n として表されます。 m=n の場合、この行列は正方行列であり、m=n がその次数です。したがって、行列 A の要素はすべて、行番号と列番号で表すことができます。 x - 行番号、変更、y - 列番号、変更。

B は決定の主要な点ではありません。原則として、すべての演算は方程式自体を使用して直接実行できますが、表記は非常に煩雑になり、混乱しやすくなります。

決定要因

マトリックスには行列式もあります。これはとても重要な特性。ここでその意味を調べる必要はありません。単純に計算方法を示し、それによって決定される行列のプロパティを説明することができます。行列式を見つける最も簡単な方法は、対角線を使用することです。マトリックスには仮想の対角線が描画されます。それぞれにある要素が乗算され、その結果の積が加算されます。右に傾いた対角線にはプラス記号が付き、左に傾いた対角線にはマイナス記号が付きます。

行列式は正方行列に対してのみ計算できることに注意することが非常に重要です。長方形行列の場合、次の操作を実行できます。行数と列数 (k とします) から最小のものを選択し、行列内の k 列と k 行をランダムにマークします。選択した列と行の交差点にある要素が新しい正方行列を形成します。このような行列の行列式がゼロ以外の数である場合、それは元の長方形行列の基底マイナーと呼ばれます。

ガウス法を使用して連立方程式を解き始める前に、行列式を計算しても問題ありません。それがゼロであることが判明した場合、行列には無限の数の解があるか、まったく解がないかのどちらかであるとすぐに言えます。このような悲しいケースでは、さらに進んでマトリックスのランクを調べる必要があります。

システム分類

マトリックスのランクというものがあります。これは、非ゼロ行列式の最大次数です (覚えていれば) 基本マイナー、行列のランクは基底マイナーのオーダーであると言えます)。

ランクの状況に基づいて、SLAE は次のように分類できます。

ジョイント。 U結合システムでは、メイン行列 (係数のみで構成される) のランクは、拡張行列 (自由項の列を含む) のランクと一致します。このようなシステムには解決策がありますが、必ずしも 1 つであるとは限らないため、さらにジョイントシステムは次のように分割されます。
- ある- 単一のソリューションがあること。特定のシステムでは、行列のランクと未知数の数 (または列の数も同じです) は等しいです。
- 未定義 -無限の数の解があります。このようなシステムの行列のランクは、未知数の数よりも小さくなります。
非互換。 Uこのようなシステムでは、メイン行列と拡張行列のランクは一致しません。互換性のないシステムには解決策がありません。

ガウス法が優れているのは、解の過程で、システムの不整合性の明確な証明 (大きな行列の行列式を計算することなく) を取得できるか、または無限の数の解を持つシステムの一般形式の解を取得できるためです。

基本的な変換

システムの解決に直接進む前に、システムの煩雑さを軽減し、計算をより便利にすることができます。これは、実装によって最終的な答えがまったく変更されないように、基本的な変換によって実現されます。指定された基本変換の一部は行列に対してのみ有効であり、そのソースは SLAE であることに注意してください。これらの変換のリストは次のとおりです。

行を並べ替えます。明らかに、システムレコードの方程式の順序を変更しても、解にはまったく影響しません。したがって、このシステムのマトリックスの行も、もちろん自由項の列を忘れずに交換できます。
文字列のすべての要素に特定の係数を乗算します。非常に役立ちます！短くするのに使えます大きな数字行列内で使用するか、ゼロを削除します。通常どおり、多くの決定は変わりませんが、さらなる操作がより便利になります。重要なことは、係数がゼロに等しくないということです。
比例係数を含む行を削除します。これは前の段落から部分的に受け継がれています。行列内の 2 つ以上の行に比例係数がある場合、行の 1 つが比例係数で乗算または除算されると、2 つ (またはさらに多く) 完全に同一の行が得られ、余分な行は削除され、残りの行が残ります。唯一。
ヌル行を削除します。変換中に、自由項を含むすべての要素がゼロである行がどこかで取得された場合、そのような行はゼロと呼ばれ、行列から除外されます。
ある行の要素に別の行の要素 (対応する列) を追加し、特定の係数を乗算します。すべての変化の中で最も目立たない、そして最も重要な変化。それについてさらに詳しく検討する価値があります。

文字列に係数を乗算して加算する

理解を容易にするために、このプロセスを段階的に分けて説明する価値があります。行列から 2 つの行が取得されます。

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

最初の値を 2 番目の値に加算し、係数「-2」を乗算する必要があるとします。

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

次に、行列の 2 番目の行が新しい行に置き換えられ、最初の行は変更されません。

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

乗算係数は、2 つの行を加算した結果、要素の 1 つが次のように選択されることに注意してください。改行はゼロに等しかった。その結果、未知数が 1 つ少なくなる系の方程式を取得することが可能になります。そして、そのような方程式が 2 つ得られた場合、操作を再度実行して、未知数が 2 つ少なくなる方程式を得ることができます。そして、元の 1 より下のすべての行の係数を 1 つずつゼロにすると、階段のように行列の一番下まで下りて、未知数が 1 つある方程式を得ることができます。これをガウス法を使用してシステムを解くと呼びます。

一般的に

システムがあればいいのです。これには m 個の方程式と n 個の未知の根があります。次のように書くことができます。

メイン行列はシステム係数からコンパイルされます。自由用語の列が拡張マトリックスに追加され、便宜上、線で区切られています。

行列の最初の行には係数 k = (-a 21 /a 11) が乗算されます。
行列の最初の変更された行と 2 番目の行が追加されます。
2 行目の代わりに、前の段落からの加算の結果が行列に挿入されます。
新しい 2 行目の最初の係数は、a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 になります。

ここで、同じ一連の変換が実行されます。関係するのは 1 行目と 3 行目だけです。したがって、アルゴリズムの各ステップで、要素 a 21 が a 31 に置き換えられます。次に、41、...m1 についてすべてが繰り返されます。結果は、行の最初の要素がゼロである行列になります。ここで、1 行目は忘れて、2 行目から同じアルゴリズムを実行する必要があります。

係数 k = (-a 32 /a 22);
2 番目に変更された行が「現在の」行に追加されます。
加算の結果は 3 行目、4 行目などに代入されますが、1 行目と 2 行目は変更されません。
行列の行では、最初の 2 つの要素はすでにゼロに等しくなります。

このアルゴリズムは、係数 k = (-a m,m-1 /a mm) が現れるまで繰り返す必要があります。これは、アルゴリズムが最後に実行されたのは下の方程式のみであることを意味します。これで、マトリックスは三角形のように見えるか、階段状の形状になります。最後の行では、 a mn × x n = b m という等式が成り立ちます。係数と自由項は既知であり、根はそれらによって表されます: x n = b m /a mn。結果の根を上の行に代入して、x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 を求めます。同様に、次の各行に新しいルートがあり、システムの「上部」に到達すると、多くの解決策を見つけることができます。それは唯一のものになります。

解決策がないとき

行列行の 1 つで、自由項を除くすべての要素がゼロに等しい場合、この行に対応する方程式は 0 = b のようになります。解決策はありません。そして、そのような方程式がシステムに含まれているため、システム全体の解の集合は空、つまり縮退しています。

解が無限にある場合

指定された三角行列に、方程式の 1 つの係数要素と 1 つの自由項を含む行が存在しない場合があります。書き直すと 2 つ以上の変数を含む方程式のように見える行だけがあります。これは、システムには無限の数の解があることを意味します。この場合、答えは一般解の形で与えることができます。どうやってするの？

マトリックスのすべての変数は、基本変数と無料変数に分けられます。基本的なものは、ステップマトリックスの行の「端」にあるものです。残りは無料です。一般的なソリューションでは、基本変数は自由変数を介して書き込まれます。

便宜上、行列は最初に方程式系に書き直されます。次に、最後の変数では、基本変数が 1 つだけ残っており、それは一方の側に残り、他のすべてはもう一方の側に転送されます。これは、1 つの基本変数を持つすべての方程式に対して行われます。次に、残りの方程式では、可能であれば、基本変数の代わりに、それに対して得られた式が代入されます。結果が再び基本変数を 1 つだけ含む式になった場合は、そこから再度式が繰り返され、各基本変数が自由変数を含む式として記述されます。これは SLAE の一般的な解決策です。

また、システムの基本的な解決策を見つけることもできます。自由変数に任意の値を与えてから、これに対して特定のケース基本変数の値を計算します。与えられる特定の解決策は無数にあります。

具体的な例を使った解決策

ここに連立方程式があります。

便宜上、そのマトリックスをすぐに作成することをお勧めします。

ガウス法で解いた場合、最初の行に対応する方程式は変換の終了時にも変化しないことが知られています。したがって、行列の左上の要素が最小である場合、より収益性が高くなります。その場合、演算後の残りの行の最初の要素はゼロになります。これは、コンパイルされた行列では、最初の行の代わりに 2 行目を配置する方が有利であることを意味します。

2 行目: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

3 行目: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

ここで、混乱しないように、変換の中間結果を含む行列を書き留める必要があります。

明らかに、このような行列は、特定の操作を使用して認識しやすくすることができます。たとえば、各要素に「-1」を乗算することで、2 行目からすべての「マイナス」を削除できます。

3 行目では、すべての要素が 3 の倍数であることにも注目してください。次に、各要素に「-1/3」を乗算して、この数値だけ文字列を短縮します (負の値を削除するために、同時に - をマイナスします)。

見た目もずっと良くなりました。ここで、最初の行はそのままにして、2 行目と 3 行目を処理する必要があります。タスクは、2 行目を 3 行目に加算し、要素 a 32 がゼロになるような係数を乗算することです。

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (一部の変換中に答えが整数にならない場合は、計算の精度を維持してそのままにすることをお勧めします)それは「そのまま」の形で公分数そして、回答を受け取ったときにのみ、四捨五入して別の形式の記録に変換するかどうかを決定します)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

マトリックスは新しい値で再度書き込まれます。

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

ご覧のとおり、結果として得られるマトリックスはすでに階段状になっています。したがって、ガウス法を使用してシステムをさらに変換する必要はありません。ここでできることは、3 行目から全体の係数「-1/7」を削除することです。

今ではすべてが美しいです。あとは行列を連立方程式の形で再度書き、根を計算するだけです

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

根を見つけるアルゴリズムは、ガウス法の逆移動と呼ばれます。式 (3) には、z 値が含まれています。

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

そして、最初の方程式により x を求めることができます。

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

私たちはそのようなシステムを統合的、さらには明確、つまり独自の解決策を持っていると呼ぶ権利を持っています。答えは次のような形式で書きます。

x 1 = -2/3、y = -65/9、z = 61/9。

不確実なシステムの例

ガウス法を使用して特定のシステムを解く変形例は分析されましたが、今度はシステムが不確実な場合、つまり無限に多くの解が見つかる場合を考慮する必要があります。

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

未知数の数が n = 5 であり、行数が m = 4 であるため、システム行列のランクがすでにこの数よりも正確に小さいため、システムの外観自体がすでに憂慮すべきものです。行列式 2 乗の最高次数は 4 です。これは、無限の数の解が存在することを意味し、その一般的な外観を探す必要があります。線形方程式のガウス法を使用すると、これが可能になります。

まず、通常どおり、拡張行列がコンパイルされます。

2 行目: 係数 k = (-a 21 /a 11) = -3。 3 行目の最初の要素は変換前なので、何も変更する必要はなく、そのままにしておく必要があります。 4行目: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

最初の行の要素に各係数を順番に乗算し、必要な行に追加すると、次の形式の行列が得られます。

ご覧のとおり、2 行目、3 行目、4 行目は互いに比例した要素で構成されています。 2 番目と 4 番目は通常同一であるため、そのうちの 1 つをすぐに削除し、残りの 1 つに係数「-1」を乗算して行番号 3 を取得します。そして、同じ 2 つの行のうち 1 つを残します。

結果はこのような行列になります。システムはまだ書き留められていませんが、ここで基本変数、つまり係数 a 11 = 1 および a 22 = 1 にある変数と、自由変数、残りすべてを決定する必要があります。

2 番目の方程式には、基本変数 x 2 が 1 つだけあります。これは、自由な変数 x 3 、 x 4 、 x 5 を介して記述することで、そこから表現できることを意味します。

結果の式を最初の方程式に代入します。

結果は、唯一の基本変数が x 1 である方程式になります。これも x 2 と同じようにやってみましょう。

基本的な変数はすべて、そのうち 2 つありますが、3 つの自由な変数で表現できるようになりました。これで、一般的な形式で答えを書くことができます。

システムの特定のソリューションの 1 つを指定することもできます。このような場合、通常は自由変数の値としてゼロが選択されます。その場合、答えは次のようになります。

16, 23, 0, 0, 0.

非協力的なシステムの例

ガウス法を使用して互換性のない連立方程式を解くのが最も高速です。いずれかの段階で解のない方程式が得られるとすぐに終了します。つまり、非常に長く退屈な根を計算する段階が排除されます。次のようなシステムが考えられます。

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

いつものように、行列がコンパイルされます。

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

そして、それは段階的な形式に縮小されます。

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

最初の変換の後、3 行目には次の形式の方程式が含まれます。

解決策がなければ。したがって、システムは矛盾しており、答えは空集合になります。

この方法の長所と短所

ペンを使用して紙の上で SLAE を解決する方法を選択する場合、この記事で説明した方法が最も魅力的に見えます。行列式や扱いにくい逆行列を手動で検索する必要がある場合よりも、初歩的な変換で混乱することははるかに困難です。ただし、このタイプのデータ (スプレッドシートなど) を操作するプログラムを使用する場合、そのようなプログラムには、行列式、マイナー、逆行列などの行列の主要パラメーターを計算するためのアルゴリズムがすでに含まれていることがわかります。また、機械がこれらの値を自動的に計算し、間違いを犯さないと確信している場合は、行列法またはクラマーの公式を使用することをお勧めします。それらの適用は行列式と計算の計算で始まり、終わるからです。逆行列.

応用

ガウス解はアルゴリズムであり、行列は実際には 2 次元配列であるため、プログラミングで使用できます。ただし、この記事は「ダミー向け」のガイドとして位置づけられているため、このメソッドを最も簡単に導入できるのは Excel などのスプレッドシートであると言うべきです。繰り返しになりますが、行列の形式でテーブルに入力された SLAE は、Excel によって 2 次元配列として認識されます。そして、これらを使用した演算には、多くの優れたコマンドがあります。加算 (同じサイズの行列のみ追加できます!)、数値による乗算、行列の乗算 (これにも一定の制限があります)、逆行列と転置行列の検索、そして最も重要なことですが、、行列式を計算します。この時間のかかるタスクを 1 つのコマンドに置き換えると、行列のランクをより迅速に決定できるため、互換性があるかどうかを確認できます。