一般的なガウス法。 行列を解くためのガウス法

の オンライン計算機システムの解決策を見つける 一次方程式(SLN) ガウス法による。 詳細な解決策が示されています。 計算するには、変数の数と方程式の数を選択します。 次に、セルにデータを入力し、「計算」ボタンをクリックします。

×1 +×2 +×3 ×1 +×2 +×3 ×1 +×2 +×3 = = =

数値表現:

整数および/または公分数
整数および/または小数

小数点の後の桁数

×

警告

すべてのセルをクリアしますか?

閉じる クリア

データ入力の指示。数値は、整数 (例: 487、5、-7623 など)、小数 (例: 67.、102.54 など)、または分数として入力します。 分数は a/b の形式で入力する必要があります。a と b (b>0) は整数、または 10進数。 例 45/5、6.6/76.4、-7/6.7 など。

ガウス法

ガウス法は、元の線形方程式系 (等価変換を使用) から元の系よりも解きやすい系に移行する方法です。

線形方程式系の等価変換は次のとおりです。

• システム内の 2 つの方程式を交換し、
• システム内の式にゼロ以外の値を乗算する 実数,
• ある式に別の式を加えて任意の数を掛けます。

連立一次方程式を考えてみましょう。

(1)

システム (1) を行列形式で書いてみましょう。

斧=b

(2)

(3)

あ- システムの係数行列と呼ばれる、 b− 制限の右側、 バツ− 検出される変数のベクトル。 ランク付けしましょう( あ)=p.

等価変換では、システムの係数行列のランクと拡張行列のランクは変更されません。 システムの解のセットも、等価な変換の下では変化しません。 ガウス法の本質は、係数の行列を減らすことです。 あ斜めまたは階段状に。

システムの拡張マトリックスを構築しましょう。

次の段階では、要素の下にある列 2 のすべての要素をリセットします。 この要素がゼロの場合、この行は、この行の下にあり、2 番目の列にゼロ以外の要素がある行と交換されます。 次に、先頭要素の下の列 2 のすべての要素をリセットします。 ある 22. これを行うには、行 3 を追加します。 メートル文字列 2 に − を乗算します ある 32 /ある 22 , ..., −ある平方メートル/ あるそれぞれ22。 手順を続けると、対角または階段状の行列が得られます。 結果として得られる拡張行列の形式を次のようにします。

(7)

なぜなら rangA=ラング(A|b) の場合、解の集合 (7) は ( n−p）− 多様性。 したがって、 n−p未知数は任意に選択できます。 システム (7) からの残りの未知数は次のように計算されます。 最後の式から次のように表現します。 バツ残りの変数を調べて、前の式に挿入します。 次に、最後から 2 番目の方程式から次のように表します。 バツ残りの変数を p−1 して前の式に挿入するなどです。 具体的な例を用いてガウス法を見てみましょう。

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く例

例 1. ガウス法を使用して線形方程式系の一般解を求めます。

で表しましょう ある ij要素 私- 行目と j列目。

ある十一 。 これを行うには、行 2、3 を行 1 に追加し、それぞれ -2/3、-1/2 を掛けます。

マトリックス録音タイプ： 斧=b、 どこ

で表しましょう ある ij要素 私- 行目と j列目。

行列の1列目の要素以下を除外しましょう ある十一 。 これを行うには、行 2、3 を行 1 に追加し、それぞれ -1/5、-6/5 を掛けます。

行列の各行を、対応する先頭要素で分割します (先頭要素が存在する場合)。

どこ バツ 3 , バツ

上の式を下の式に代入すると解が得られます。

この場合、ベクトル解は次のように表すことができます。

どこ バツ 3 , バツ 4 は任意の実数です。

1. リニアシステム 代数方程式

1.1 線形代数方程式系の概念

連立方程式は、複数の変数に関して複数の方程式を同時に実行することで構成される条件です。 m 個の方程式と n 個の未知数を含む線形代数方程式系 (以下、SLAE と呼びます) は、次の形式の系と呼ばれます。

ここで、数値 a ij はシステム係数と呼ばれ、数値 b i は自由項と呼ばれます。 アイジそして b 私(i=1,…,m; b=1,…,n) は既知の数を表し、x 1 ,…, x n- 未知。 係数の指定について アイジ最初のインデックス i は方程式の番号を示し、2 番目の j はこの係数が存在する未知数の番号を表します。 数値 x n を見つける必要があります。 このようなシステムはコンパクトな行列形式で記述すると便利です。 AX=B。ここで、A はシステム係数の行列であり、メイン行列と呼ばれます。

– 未知数 xj の列ベクトル。
は自由項 bi の列ベクトルです。

行列 A には行列 X の行と同じ数の列 (n 個) があるため、行列 A*X の積が定義されます。

システムの拡張行列はシステムの行列 A であり、自由項の列が追加されます。

1.2 線形代数方程式系を解く

連立方程式の解は順序付けられた一連の数値 (変数の値) であり、変数の代わりにそれらを代入すると、系の各方程式は真の等式になります。

システムの解は、未知数 x1=c1、x2=c2、…、xn=cn の n 個の値であり、これを代入すると、システムのすべての方程式が真の等式になります。 システムに対するあらゆる解は列行列として記述できます。

方程式系は、少なくとも 1 つの解が存在する場合は一貫性があると呼ばれ、解がまったく存在しない場合は不一致と呼ばれます。

一貫したシステムは、解が 1 つある場合は確定的であり、複数の解がある場合は不定であると言われます。 後者の場合、その各ソリューションはシステムの特定のソリューションと呼ばれます。 すべての特定の解のセットは、一般解と呼ばれます。

システムを解決するということは、システムに互換性があるか矛盾しているかを調べることを意味します。 システムに一貫性がある場合は、その一般的な解決策を見つけます。

2 つのシステムが同じ一般解をもつ場合、そのシステムは等価 (equivalent) と呼ばれます。 言い換えれば、システムの一方のすべてのソリューションが他方のソリューションである場合、システムは同等であり、その逆も同様です。

変換。その適用によりシステムが次のように変わります。 新しいシステム元の変換と同等の変換を等価変換または等価変換といいます。 等価変換の例には、システムの 2 つの方程式を交換する、すべての方程式の係数とともに 2 つの未知数を交換する、システムの方程式の両側にゼロ以外の数を乗算する、などの変換が含まれます。

すべての自由項がゼロに等しい場合、線形方程式系は均一と呼ばれます。

x1=x2=x3=…=xn=0 がシステムの解であるため、均質システムは常に一貫しています。 この解はゼロまたは自明と呼ばれます。

2. ガウス消去法

2.1 ガウス消去法の本質

線形代数方程式系を解く古典的な方法は次のとおりです。 順次消去未知 - ガウス法(ガウス消去法とも呼ばれます)。 を使用する際に変数を順次消去していく方法です。 基本的な変換方程式系は段階的 (または三角形) 形式の等価な系に還元され、そこから他のすべての変数が最後の (数値による) 変数から順に検索されます。

ガウス法を使用した解法プロセスは、前方移動と後方移動の 2 つの段階で構成されます。

1. ダイレクトストローク。

第 1 段階では、いわゆる直接移動が実行されます。このとき、行にわたる基本的な変換を通じてシステムが階段状または三角形の形状になるか、システムに互換性がないことが判明します。 つまり、行列の 1 列目の要素のうち、ゼロ以外の要素を選択し、最も外側に移動します。 トップの位置行を並べ替えて、残りの行から並べ替え後に取得された最初の行を減算し、その値を乗算します。 比率に等しいこれらの各行の最初の要素を最初の行の最初の要素に変換し、その下の列をゼロにします。

示された変換が完了した後、最初の行と最初の列は頭の中で取り消され、サイズ 0 の行列が残るまで続けられます。 いずれかの反復で、最初の列の要素の中にゼロ以外の要素がない場合は、次の列に移動して同様の操作を実行します。

第 1 段階 (直接ストローク) では、システムは階段状 (特に三角形) の形状に縮小されます。

以下のシステムは段階的な形式になっています。

,

係数 aii は、システムの主要 (主要) 要素と呼ばれます。

(a11=0 の場合、次のように行列の行を再配置します。 ある 11 は 0 に等しくありませんでした。そうでない場合、行列には​​行列式であるゼロ列が含まれるため、これは常に可能です。 ゼロに等しいシステムに一貫性がありません）。

最初の方程式を除くすべての方程式で未知の x1 を消去して、システムを変換しましょう (システムの初等変換を使用)。 これを行うには、最初の方程式の両辺に次の値を掛けます。

そして、システムの 2 番目の方程式を使って項ごとに加算します (または、2 番目の方程式から最初の式を項ごとに減算し、 を掛けます)。 次に、最初の方程式の両辺に を乗算し、システムの 3 番目の方程式に加算します (または、3 番目の方程式から最初の式に を掛けたものを減算します)。 したがって、最初の行に数値を順番に乗算し、次の値に加算します。 私 2行目、 私= 2, 3, …,n.

このプロセスを続けると、同等のシステムが得られます。

– システムの最後の m-1 方程式における未知数と自由項の係数の新しい値。次の式で決定されます。

したがって、最初のステップで、最初の先頭要素 a 11 の下にあるすべての係数が破棄されます。

0、2 番目のステップでは、2 番目の先頭要素 a 22 (1) の下にある要素が破棄されます (a 22 (1) 0 の場合) など。 このプロセスをさらに続けて、最終的に (m-1) ステップで、元のシステムを三角形システムに還元します。

システムを段階的な形式に還元する過程でゼロ方程式が現れる場合、つまり、 0=0 の形式の等価性は破棄されます。 表示されたら の形の方程式

これはシステムに互換性がないことを示しています。

ここで、ガウスの方法の直接的な進行は終了します。

2. 逆ストローク。

第 2 段階では、いわゆる逆移動が実行されます。その本質は、結果として得られるすべての基本変数を非基本変数の観点から表現し、構成することです。 基本システムまたは、すべての変数が基本変数である場合は、線形方程式系の一意の解を数値で表します。

この手順は最後の方程式から始まり、そこから対応する基本変数が表現され (その中には 1 つだけあります)、前の方程式に代入されるなど、「ステップ」を上げていきます。

各行は正確に 1 つの基底変数に対応するため、最後の (一番上) を除くすべてのステップで、状況は最後の行のケースを正確に繰り返します。

注: 実際には、システムではなく、その拡張行列を使用して、その行のすべての基本変換を実行する方が便利です。 係数 a11 が 1 に等しいと便利です (方程式を並べ替えるか、方程式の両辺を a11 で割ります)。

2.2 ガウス法を使用した SLAE の解決例

このセクションには 3 つあります さまざまな例ガウス法が SLAE をどのように解決できるかを示しましょう。

例 1. 3 次 SLAE を解きます。

係数をリセットしましょう

2行目と3行目で。 これを行うには、それらをそれぞれ 2/3 と 1 で乗算し、最初の行に追加します。

ガウス法は簡単です！なぜ？ 有名なドイツの数学者ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスは、生前、史上最も偉大な数学者、天才として認められ、さらには「数学王」というあだ名まで受けていました。 そしてご存知のとおり、独創的なものはすべてシンプルです。ちなみに、金を得るのはカモだけではなく、天才もいます。ガウスの肖像画は10ドイツマルク紙幣（ユーロ導入前）に描かれており、ガウスは今でも普通の切手でドイツ人に不思議な笑みを浮かべています。

ガウス法は簡単なので、5 年生の知識があれば十分に習得できます。 足し算と掛け算の方法を知っておく必要があります。教師が学校の数学の選択科目で未知数を逐次排除する方法を検討することが多いのは偶然ではありません。 逆説的ですが、学生はガウス法が最も難しいと感じています。 何も驚くべきことではありません。すべては方法論に関するものであり、私はその方法のアルゴリズムについてわかりやすい形式で話そうとします。

まずは連立一次方程式に関するちょっとした知識を体系化してみましょう。 線形方程式系では次のことが可能です。

1) 独自のソリューションを用意する。
2) 無限に多くの解がある。
3) 解決策がない ( 非互換).

ガウス法は最も強力であり、 万能ツール解決策を見つけるために どれでも線形方程式系。 私たちが思い出しているように、 クラマー則と行列法システムに無限に多くの解がある場合や、一貫性がない場合には適していません。 そして未知数を逐次消去する方法 ともかく私たちを答えに導きます！ の上 このレッスンケース No. 1 のガウス法 (システムの唯一の解決策) を再度検討します。この記事では、ポイント No. 2 ～ 3 の状況について説明します。 このメソッド自体のアルゴリズムは 3 つのケースすべてで同じように機能することに注意してください。

に戻りましょう 最も単純なシステムクラスから 連立一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
そしてガウス法を使用してそれを解きます。

最初のステップは書き留めることです 拡張システムマトリックス:
。 どのような原理で係数が書かれているかは誰でも分かると思います。 マトリックスの内部の垂直線には数学的な意味はありません。これは単にデザインを容易にするための取り消し線です。

参照 :覚えておくことをお勧めします 条項線形代数。 システムマトリックスは、未知数の係数のみで構成される行列です。 この例ではシステム マトリックス: 。 拡張システムマトリックス– これは、システムの同じマトリックスに自由条件の列を加えたものです。この場合は、 です。 簡潔にするために、どの行列も単に行列と呼ぶことができます。

拡張システム マトリックスが書き込まれた後、それを使用していくつかのアクションを実行する必要があります。 基本的な変換.

次の基本的な変換が存在します。

1) 文字列行列 できる 並べ替えるいくつかの場所で。 たとえば、検討中の行列では、最初の行と 2 番目の行を簡単に再配置できます。

2) 行列内に比例した (特殊な場合として - 同一の) 行がある (または出現した) 場合、次のようにする必要があります。 消去これらの行は 1 つを除いてすべて行列からのものです。 たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。 。 この行列では、最後の 3 行は比例しているため、そのうちの 1 行だけを残すだけで十分です。 .

3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。 消去。 もちろん引きません、ゼロラインは すべてゼロ.

4) マトリックスの行は次のようにすることができます。 乗算（除算）任意の数に ゼロ以外の。 たとえば、行列 を考えてみましょう。 ここでは、最初の行を –3 で割り、2 番目の行を 2 で乗算することをお勧めします。 。 このアクションは、行列のさらなる変換を簡素化するため、非常に便利です。

5) この変換は最も困難を引き起こしますが、実際には複雑なことは何もありません。 行列の行に対して次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは違います。 次のマトリックスを考えてみましょう 実践例: 。 まず、変換について詳しく説明します。 最初の行に -2 を掛けます。 、 そして 2 行目に -2 を掛けた最初の行を追加します。: 。 これで、最初の行を –2: で「後ろに」分割できます。 ご覧のとおり、ADD という行は 李 – 変わっていない. いつも TO WHICH IS ADDED の行が変更されます ユタ州.

もちろん、実際には、そこまで詳しくは書かず、簡潔に書きます。

もう一度: 2 行目へ 最初の行に -2 を乗算して追加しました。 通常、ラインは口頭または下書きで掛け算され、暗算プロセスは次のようになります。

「行列を書き換えて、最初の行を書き換えます。 »

「最初のコラム。 一番下ではゼロを取得する必要があります。 したがって、一番上の値に –2 を掛けて、最初の値を 2 行目に追加します: 2 + (-2) = 0。結果を 2 行目に書き込みます。 »

「それでは２列目です。 一番上で、-1 と -2 を掛けます。 最初の行を 2 行目に追加します: 1 + 2 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »

「そして3列目。 一番上で、-5 に -2 を掛けます。 最初の行を 2 行目に追加します: –7 + 10 = 3。結果を 2 行目に書き込みます。 »

この例についてよく考えて理解してください 逐次アルゴリズム計算について、これを理解していれば、ガウス法は実質的に「ポケットの中にある」ことになります。 しかし、もちろん、私たちは引き続きこの変革に取り組んでいきます。

初等変換では方程式系の解は変わりません

！ 注意: 操作が考えられます 使えない、行列が「それ自体で」与えられるタスクが提供された場合。 例えば「クラシック」の場合 行列を使った演算いかなる状況でも、行列内で何かを再配置してはなりません。

私たちのシステムに戻りましょう。 それは事実上ばらばらになっている。

システムの拡張行列を書き留めて、基本変換を使用してそれを次のように縮小してみましょう。 階段状のビュー:

(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 もう一度言いますが、なぜ最初の行に -2 を掛けるのでしょうか? 一番下のゼロを取得するには、2 行目の変数を 1 つ削除することを意味します。

(2) 2行目を3で割ります。

基本的な変換の目的 – マトリックスを段階的な形式に縮小します。 。 タスクの設計では、単純な鉛筆で「階段」をマークし、「階段」にある数字を丸で囲むだけです。 「段階的ビュー」という用語自体は、科学や教育の文献では完全に理論的なものではありません。 台形ビューまたは 三角図.

基本的な変換の結果、次のようになりました。 同等元の方程式系:

次に、システムを逆方向に「巻き戻す」必要があります。下から上へ、このプロセスはと呼ばれます。 ガウス法の逆.

下の式では、すでに既製の結果が得られています。

システムの最初の方程式を考えて、既知の「y」の値をそれに代入してみましょう。

ガウス法で問題を解決する必要がある最も一般的な状況を考えてみましょう。 3人体制 3 つの未知数を含む線形方程式。

例1

ガウス法を使用して連立方程式を解きます。

システムの拡張行列を書いてみましょう。

ここで、解決中に得られる結果をすぐに描画します。

繰り返しますが、私たちの目標は、基本的な変換を使用して行列を段階的な形式にすることです。 どこから始めれば？

まず、左上の数字を見てください。

ほぼ常にここにあるはずです ユニット。 一般的には、-1 (場合によっては他の数値) で十分ですが、どういうわけか伝統的に、通常は 1 が置かれることが起こりました。 ユニットを編成するにはどうすればよいですか？ 最初の列を見ると、ユニットが完成しました。 変換 1: 1 行目と 3 行目を交換します。

これで、最初の行はソリューションが終了するまで変更されません。。 もう大丈夫です。

左上のユニットが整理されています。 ここで、次の場所でゼロを取得する必要があります。

「難しい」変換を使用してゼロを取得します。 まず 2 行目 (2、-1、3、13) を処理します。 最初の位置でゼロを取得するには何をする必要がありますか? する必要がある 2 行目に -2 を掛けた 1 行目を追加します。。 頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -2 を掛けます: (-2、-4、2、-18)。 そして、私たちは一貫して（これも頭の中で、またはドラフト上で）追加を実行します。 2 行目に、既に -2 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 2 行目に書きます。

3 行目 (3、2、-5、-1) も同様に処理します。 最初の位置にゼロを取得するには、以下が必要です 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。。 頭の中で、またはドラフト上で、最初の行に -3 を掛けます: (-3、-6、3、-27)。 そして 3 行目に -3 を掛けた最初の行を追加します。:

結果を 3 行目に書きます。

実際には、これらのアクションは通常、口頭で実行され、1 つのステップで書き留められます。

すべてを一度に同時に数える必要はありません。 計算の順序と結果の「書き込み」 一貫性のあるそして通常は次のようになります。まず最初の行を書き直し、ゆっくりと自分自身を膨らませます - 一貫して 注意深く:


そして、計算自体の精神的なプロセスについてはすでに上で説明しました。

この例では、これは簡単に実行できます。2 行目を –5 で除算します (そこにあるすべての数値は剰余なしで 5 で割り切れるため)。 同時に、3 行目を -2 で割ります。 少ない数、 それらの より簡単な解決策:

の上 最終段階基本的な変換では、ここで別のゼロを取得する必要があります。

このために 3 行目に -2 を掛けた 2 行目を追加します。:


このアクションを自分で理解してみてください。2 行目に -2 を心の中で乗算し、加算を実行します。

実行される最後のアクションは結果のヘアスタイルであり、3 行目を 3 で割ります。

基本変換の結果、等価な線形方程式系が得られました。

いいね。

ここで、ガウス法の逆が機能します。 方程式は下から上に「巻き戻され」ます。

3 番目の方程式では、すでに結果が得られています。

2 番目の方程式を見てみましょう。 「zet」の意味はすでに知られているので、次のようになります。

そして最後に、最初の方程式: 。 「イグレック」と「ゼット」は知られていますが、それはほんの些細なことです。

答え:

すでに何度か述べたように、どのような方程式系でも、見つかった解を確認することは可能であり、必要です。幸いなことに、これは簡単かつ迅速です。

例 2

これは例です 独立した決定、サンプルの仕上げとレッスンの最後に答えます。

注意すべき点は、 決定の進捗状況私の決断プロセスと一致しないかもしれませんが、 これがガウス法の特徴です。 しかし、答えは同じでなければなりません。

例 3

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

左上の「ステップ」に注目します。 そこに 1 つあるはずです。 問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。 このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で実行できます。 これは私がしました：
(1) 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。。 つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。

左上に「マイナス 1」が表示されていますが、これは非常に適切です。 +1 を得たい人は誰でも追加の動作を実行できます。最初の行に -1 を掛けます (符号を変更します)。

(2) 1 行目の 5 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 3 倍を 3 行目に追加しました。

(3) 1行目は、原則として美しさのために-1を掛けています。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。

(4) 2 行目は 3 行目に加算され、2 が乗算されます。

(5) 3行目を3で割りました。

計算ミス (まれにタイプミス) を示す悪い兆候は、「悪い」最終結果となります。 つまり、以下のようなものが得られた場合、それに応じて、 の場合、高い確率で、基本的な変換中にエラーが発生したと言えます。

私たちはその逆を請求します。例の設計では、システム自体を書き換えないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。 逆ストロークは下から上に向かって行うものであることを思い出してください。 はい、こちらがプレゼントです:

答え: .

例 4

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く

これは自分で解決できる例であり、多少複雑です。 誰かが混乱しても大丈夫です。 レッスンの最後には完全なソリューションとサンプル設計が表示されます。 あなたの解決策は私の解決策とは異なるかもしれません。

最後の部分では、ガウス アルゴリズムのいくつかの機能を見ていきます。
最初の特徴は、システム方程式に一部の変数が欠落している場合があることです。次に例を示します。

拡張システム行列を正しく書くにはどうすればよいですか? この点についてはすでに授業で話しました。 クレーマーの法則。 マトリックス法。 システムの拡張行列では、欠落している変数の代わりにゼロを置きます。

ところで、それはきれいですね 簡単な例これは、最初の列にすでにゼロが 1 つあり、実行する基本的な変換が少なくなっているためです。

2つ目の特徴はこれです。 検討したすべての例で、「ステップ」に -1 または +1 を配置しました。 他の数字もあるでしょうか？ 場合によっては可能です。 次のシステムを考えてみましょう。 .

ここの左上の「ステップ」には 2 があります。 しかし、最初の列のすべての数値は剰余なしで 2 で割り切れ、もう 1 つは 2 と 6 であるという事実に気づきます。 そして左上の2つが似合いますね！ 最初のステップでは、次の変換を実行する必要があります。最初の行に –1 を掛けたものを 2 番目の行に追加します。 3 行目に -3 を掛けた 1 行目を追加します。 このようにして、最初の列に必要なゼロを取得します。

またはこのようなもの 条件付きの例: 。 ここで、2 番目の「ステップ」の 3 も適切です。12 (ゼロを取得する必要がある場所) は余りなしで 3 で割り切れます。 次の変換を実行する必要があります。2 番目のラインを 3 番目のラインに加算し、-4 を掛けます。その結果、必要なゼロが得られます。

ガウスの方法は普遍的ですが、特徴が 1 つあります。 他の方法 (クラマー法、行列法) を文字通り初めて使用してシステムを解く方法を自信を持って学ぶことができます。これらの方法には非常に厳密なアルゴリズムが備わっています。 しかし、ガウス法に自信を持つためには、ガウス法に習熟し、少なくとも 5 ～ 10 個の系を解く必要があります。 したがって、最初は計算に混乱や間違いがあるかもしれませんが、これについては何も異常なことや悲劇的なことはありません。

窓の外は秋の雨。だから、もっとしたいすべての人のために 複雑な例独立したソリューションの場合:

例5

ガウス法を使用して、4 つの未知数を含む 4 つの線形方程式系を解きます。

このようなタスクは実際にはそれほど珍しいことではありません。 このページをよく勉強したティーポットでも、このようなシステムを解くためのアルゴリズムを直感的に理解できると思います。 基本的にはすべて同じで、アクションが増えただけです。

システムに解がない (矛盾している) 場合、または無限に多くの解がある場合については、「互換性のないシステムと一般的な解を備えたシステム」のレッスンで説明します。 そこで、ガウス法の考慮されたアルゴリズムを修正できます。

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2: 解決 : システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。


実行される基本的な変換:
(1) 1 行目は 2 行目に加算され、-2 が乗算されます。 最初の行が 3 行目に追加され、-1 が乗算されました。 注意！ここで、3 行目から 1 行目を減算したくなるかもしれませんが、減算しないことを強くお勧めします。エラーのリスクが大幅に高まります。 折りたたむだけです！
(2) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 2行目と3行目が入れ替わっています。 注記、「ステップ」では 1 だけでなく、さらに便利な -1 でも満足できるということです。
(3) 2 行目は 3 行目に加算され、5 が乗算されます。
(4) 2行目の符号を変更(-1倍)しました。 3行目は14で割られています。

逆行する：

答え: .

例 4: 解決 : システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。

実行された変換:
(1) 1行目に2行目を追加しました。 このように、左上の「ステップ」に目的のユニットが編成されます。
(2) 1 行目の 7 倍を 2 行目に追加しました。1 行目の 6 倍を 3 行目に追加しました。

2番目の「ステップ」ではすべてが悪化します 、その「候補」は番号 17 と 23 であり、1 または -1 のいずれかが必要です。 変換(3)と(4)は、目的のユニットを取得することを目的とします。

(3) 2 行目は 3 行目に加算され、-1 が乗算されます。
(4) 3 行目は 2 行目に加算され、-3 が乗算されます。
(3) 2 行目は 3 行目に加算され、4 が乗算されます。2 行目は、4 行目に加算され、-1 が乗算されます。
(4) 2行目の符号を変更しました。 4 行目は 3 で割られ、3 行目の代わりに配置されます。
(5) 3 行目は 4 行目に加算され、-5 が乗算されます。

逆行する：

ガウス法連立線形代数方程式 (SLAE) を解くのに最適です。 他の方法と比較して、次のような多くの利点があります。

• まず、方程式系の一貫性を最初に調べる必要はありません。
• 第二に、ガウス法は方程式の数が未知の変数の数と一致し、系の主行列が非特異である SLAE だけでなく、方程式の数が未知の変数の数と一致しない連立方程式も解くことができます。未知の変数の数または主行列の行列式がゼロに等しい。
• 第三に、ガウス法では比較的少ない計算操作で結果が得られます。

記事の簡単な概要。

まずはあげましょう 必要な定義そして表記法を紹介します。

次に、最も単純な場合、つまり、未知の変数の数と一致する方程式の数が線形代数方程式系であり、系の主行列の行列式が次のような場合のガウス法のアルゴリズムを説明します。ゼロに等しくありません。 このような連立方程式を解くとき、未知の変数を順次消去するというガウス法の本質が最も明確にわかります。 したがって、ガウス法は未知数の逐次消去法とも呼ばれます。 ご紹介します 詳細な解決策いくつかの例。

結論として、主行列が長方形または特異である線形代数方程式系のガウス法による解法を検討します。 このようなシステムのソリューションにはいくつかの特徴があり、例を使用して詳しく説明します。

ページナビゲーション。

基本的な定義と表記法。

n 個の未知数を持つ p 個の線形方程式系を考えます (p は n に等しい可能性があります)。

ここで、 は未知の変数、 は数値 (実数または複素数)、および は自由項です。

もし 、線形代数方程式系は次のように呼ばれます。 同種の、 さもないと - 異質な.

システムのすべての方程式が恒等式となる未知の変数の値の集合をといいます。 SLAUの決定.

線形代数方程式系に少なくとも 1 つの解がある場合、それは次のように呼ばれます。 ジョイント、 さもないと - 非互換.

SLAE に固有の解決策がある場合、それは次のように呼ばれます。 ある。 複数の解がある場合、システムは次のように呼ばれます。 不確かな.

システムはで書かれていると言われています 座標形式、次の形式がある場合
.

このシステムでは、 マトリックス形式レコードの形式は次のとおりです。 - SLAE のメイン行列、 - 未知の変数の列の行列、 - 自由項の行列。

自由項の行列列を行列 A に (n+1) 番目の列として追加すると、いわゆる 拡張マトリックス線形方程式系。 通常、拡張行列は文字 T で示され、自由項の列は垂直線で残りの列から分離されます。

正方行列 A は次のように呼ばれます 退化する、行列式がゼロの場合。 の場合、行列 A が呼び出されます。 非退化.

以下の点に注意してください。

線形代数方程式系を使用して次のアクションを実行すると、

• 2つの方程式を入れ替えると、
• 方程式の両辺に任意の非ゼロの実数 (または複素数) k を掛けます。
• 任意の方程式の両辺に、別の方程式の対応する部分を加算し、任意の数 k を掛けます。

そうすれば、同じ解を持つ同等のシステムが得られます (または、元のシステムと同様に、解がありません)。

線形代数方程式系の拡張行列の場合、これらのアクションは行に対して基本変換を実行することを意味します。

• 2行を入れ替えると、
• 行列 T の任意の行のすべての要素にゼロ以外の数 k を乗算し、
• 行列の任意の行の要素に、別の行の対応する要素を加算し、任意の数 k を掛けます。

次に、ガウス法の説明に進みます。

ガウス法を使用して、方程式の数が未知数の数に等しく、系の主行列が非特異である線形代数方程式系を解きます。

連立方程式の解を見つけるという課題が学校で与えられたら、私たちは何をするでしょうか? .

そうする人もいるでしょう。

最初の式の左辺を 2 番目の方程式の左辺に、右辺を右辺に加算すると、未知の変数 x 2 と x 3 を取り除くことができ、すぐに x 1 を見つけることができることに注意してください。

見つかった値 x 1 =1 をシステムの最初と 3 番目の方程式に代入します。

システムの 3 番目の方程式の両辺に -1 を掛けて、最初の方程式の対応する部分に加算すると、未知の変数 x 3 が取り除かれ、x 2 が求められます。

結果の値 x 2 = 2 を 3 番目の方程式に代入し、残りの未知変数 x 3 を求めます。

他の人は別のことをしたでしょう。

システムの最初の方程式を未知の変数 x 1 に関して解決し、その結果の式をシステムの 2 番目と 3 番目の方程式に代入して、この変数を除外してみましょう。

次に、システムの 2 番目の方程式を x 2 について解き、得られた結果を 3 番目の方程式に代入して未知の変数 x 2 を削除しましょう。

システムの 3 番目の方程式から、x 3 =3 であることが明らかです。 2 番目の方程式から次のことがわかります。 そして最初の方程式から が得られます。

よくある解決策ですよね？

ここで最も興味深いのは、2 番目の解法は本質的に未知数を逐次消去する方法、つまりガウス法であるということです。 未知の変数 (最初は x 1、次の段階では x 2) を表現し、それらをシステムの残りの方程式に代入すると、それらの変数は除外されます。 最後の式に未知の変数が 1 つだけ残るまで消去を実行しました。 未知のものを順番に排除するプロセスはと呼ばれます ダイレクトガウス法。 前進が完了すると、最後の方程式で見つかった未知の変数を計算する機会が得られます。 その助けを借りて、最後から 2 番目の方程式から次の未知の変数を見つけます。 最後の方程式から最初の方程式に移動しながら未知の変数を順番に見つけるプロセスは、と呼ばれます。 ガウス法の逆.

最初の式で x 1 を x 2 と x 3 で表現し、その結果の式を 2 番目と 3 番目の式に代入すると、次のアクションで同じ結果が得られることに注意してください。

実際、このような手順により、システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の変数 x 1 を削除することもできます。

ガウス法を使用した未知の変数の除去に伴うニュアンスは、システムの方程式にいくつかの変数が含まれていない場合に発生します。

たとえば、SLAU では 最初の方程式には未知の変数 x 1 はありません (つまり、その前の係数はゼロです)。 したがって、残りの方程式からこの未知の変数を削除するために、x 1 に関するシステムの最初の方程式を解くことはできません。 この状況から抜け出す方法は、システムの方程式を交換することです。 主行列の行列式がゼロとは異なる連立一次方程式を考慮しているため、必要な変数が存在する方程式が常に存在し、この方程式を必要な位置に並べ替えることができます。 この例では、システムの 1 番目と 2 番目の方程式を交換するだけで十分です。 の場合、最初の方程式を x 1 に対して解決し、それをシステムの残りの方程式から除外できます (ただし、x 1 は 2 番目の方程式には存在しません)。

要点を理解していただければ幸いです。

説明しましょう ガウス法のアルゴリズム。

n 個の未知数を持つ n 個の線形代数方程式系を解く必要があるとします。 次の形式の変数 、その主行列の行列式をゼロとは異なるものとします。

システムの方程式を並べ替えることで常にこれを達成できるため、 と仮定します。 2 番目から始めて、システムのすべての方程式から未知の変数 x 1 を削除しましょう。 これを行うには、システムの 2 番目の方程式に最初の値を で乗算した値を追加し、3 番目の方程式に最初の値を で乗算した値を追加し、以下同様に、n 番目の方程式に最初の値を で乗算した値を追加します。 このような変換後の連立方程式は次の形式になります。

どこで、そして .

システムの最初の方程式で x 1 を他の未知の変数で表現し、その結果の式を他のすべての方程式に代入したとしても、同じ結果に達したでしょう。 したがって、変数 x 1 は、2 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、同様の方法で作業を進めますが、図でマークされている、結果として得られるシステムの一部のみを使用します。

これを行うには、システムの 3 番目の方程式に 2 番目の値を追加し、 を乗算し、4 番目の方程式に 2 番目の値を追加し、 を乗算し、以下同様に、n 番目の方程式に 2 番目の値を乗算して を追加します。 このような変換後の連立方程式は次の形式になります。

どこで、そして 。 したがって、変数 x 2 は、3 番目から始まるすべての方程式から除外されます。

次に、図でマークされているシステムの部分についても同様に動作しながら、未知数 x 3 の除去に進みます。

したがって、システムが次の形式になるまで、ガウス法の直接進行を続けます。

この瞬間から、ガウス法の逆を開始します。最後の方程式から x n を次のように計算し、得られた x n の値を使用して、最後から 2 番目の方程式から x n-1 を見つけます。以下同様に、最初の方程式から x 1 を見つけます。 。

例を使用してアルゴリズムを見てみましょう。

例。

ガウス法。

解決。

係数 a 11 はゼロではないので、ガウス法の直接進行に進みます。つまり、最初のものを除くシステムのすべての方程式から未知の変数 x 1 を除外します。 これを行うには、2 番目、3 番目、4 番目の方程式の左辺と右辺に、最初の方程式の左辺と右辺を加算し、それぞれ を掛けます。 そして ：

未知の変数 x 1 が消去されました。次に、 x 2 の消去に進みます。 システムの 3 番目と 4 番目の方程式の左側と右側に、2 番目の方程式の左側と右側を追加し、それぞれ を掛けます。 そして :

ガウス法の前進を完了するには、システムの最後の方程式から未知の変数 x 3 を除去する必要があります。 4 番目の式の左辺と右辺に、それぞれ 3 番目の式の左辺と右辺を加えて、 :

ガウス法の逆を開始できます。

最後の式から、 ,
3 番目の方程式から得られるものは、
2番目からは、
最初のものから。

確認するには、取得した未知の変数の値を元の連立方程式に代入します。 すべての方程式が恒等式に変わり、ガウス法を使用した解が正しく見つかったことを示します。

答え：

次に、行列表記のガウス法を使用して、同じ例の解を与えてみましょう。

例。

連立方程式の解を求める ガウス法。

解決。

システムの拡張行列は次の形式になります。 。 各列の上部には、行列の要素に対応する未知の変数があります。

ここでのガウス法の直接的なアプローチには、基本変換を使用してシステムの拡張行列を台形形式に縮小することが含まれます。 このプロセスは、座標形式のシステムで行った未知の変数の除去に似ています。 これでわかります。

2 番目から始まる最初の列のすべての要素がゼロになるように行列を変換しましょう。 これを行うには、2 行目、3 行目、4 行目の要素に、1 行目の対応する要素を , で乗算して追加します。 それに応じて:

次に、結果の行列を変換して、2 番目の列の 3 番目から始まるすべての要素がゼロになるようにします。 これは、未知の変数 x 2 を除去することに対応します。 これを行うには、3 行目と 4 行目の要素に、行列の 1 行目の対応する要素を追加し、それぞれ を乗算します。 そして :

システムの最後の方程式から未知の変数 x 3 を除外する必要があります。 これを行うには、結果の行列の最後の行の要素に、最後から 2 番目の行の対応する要素を追加し、次の値を掛けます。 :

この行列は連立一次方程式に対応することに注意してください。

これは前進後の早い段階で取得されたものです。

引き返す時が来ました。 行列表記では、ガウス法の逆変換では、図でマークされている行列が次のように結果の行列を変換します。

斜めになった、つまり次のような形になりました

数字はどこにありますか。

これらの変換はガウス法の順変換に似ていますが、最初の行から最後の行までではなく、最後の行から最初の行まで実行されます。

3 行目、2 行目、および 1 行目の要素に、最後の行の対応する要素を加算し、次の値を乗算します。 、 延々と それぞれ：

次に、2 行目と 1 行目の要素に、3 行目の対応する要素を追加し、それぞれ と を乗算します。

逆ガウス法の最後のステップでは、最初の行の要素に、2 行目の対応する要素を追加し、次の値を乗算します。

結果の行列は連立方程式に対応します。 , そこから未知の変数を見つけます。

答え：

注記。

ガウス法を使用して線形代数方程式系を解く場合、完全に不正確な結果が得られる可能性があるため、近似計算は避けてください。 小数点以下は四捨五入しないことをお勧めします。 からの方が良い 小数に行く 普通の分数.

例。

ガウス法を使用して 3 つの連立方程式を解く .

解決。

この例では、未知の変数の指定が異なっていることに注意してください (x 1、x 2、x 3 ではなく、x、y、z)。 普通の分数に移りましょう。

システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の x を除外しましょう。

結果のシステムでは、2 番目の方程式には未知の変数 y が存在しませんが、3 番目の方程式には y が存在します。したがって、2 番目と 3 番目の方程式を入れ替えてみましょう。

これでガウス法の直接進行が完了します (この未知の変数はもう存在しないため、3 番目の方程式から y を除外する必要はありません)。

逆の動きを始めましょう。

最後の方程式から得られるもの ,
最後から2番目から


最初の方程式から

答え：

X = 10、y = 5、z = -20。

方程式の数が未知数の数と一致しない、または系の主行列が特異である線形代数方程式系をガウス法を使用して解きます。

主な行列が長方形または正方形の特異値である連立方程式は、解をもたないことも、単一の解をもつことも、あるいは無限の数の解をもつこともあります。

ここで、ガウス法を使用して、線形方程式系の互換性または不整合性を確立し、互換性がある場合にはすべての解 (または 1 つの解) を決定する方法を理解します。

原則として、このような SLAE の場合に未知の変数を除去するプロセスは同じままです。 ただし、発生する可能性のあるいくつかの状況について詳しく説明する価値があります。

最も重要な段階に進みましょう。

そこで、ガウス法の前進を完了した後、線形代数方程式系が次の形式を取ると仮定しましょう。 そして、単一の方程式は還元されませんでした (この場合、システムは互換性がないと結論付けることになります)。 「次に何をすべきか?」という論理的な疑問が生じます。

結果として得られるシステムのすべての方程式で最初に現れる未知の変数を書き留めてみましょう。

この例では、これらは x 1、x 4、および x 5 です。 システムの方程式の左側には、書き込まれた未知の変数 x 1、x 4、および x 5 を含む項のみを残し、残りの項は反対の符号を付けて方程式の右側に転送されます。

方程式の右側にある未知の変数に任意の値を与えてみましょう。 - 任意の数値:

この後、SLAE のすべての方程式の右辺に数値が含まれるようになり、ガウス法の逆に進むことができます。

システムの最後の方程式から、最後から 2 番目の方程式から、最初に得られる方程式から

連立方程式の解は未知の変数の値のセットです

数字を与える さまざまな意味、お受けいたします さまざまなソリューション方程式系。 つまり、方程式系には無限に多くの解があります。

答え：

どこ - 任意の数字。

資料を統合するために、さらにいくつかの例の解決策を詳細に分析します。

例。

線形代数方程式の同次系を解く ガウス法。

解決。

システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知の変数 x を除外しましょう。 これを行うには、2 番目の式の左辺と右辺に、最初の式の左辺と右辺に を掛けて、3 番目の式の左辺と右辺に、左辺と右辺を加えます。最初の式の右辺に次の値を掛けます。

次に、結果として得られる連立方程式の 3 番目の方程式から y を除外してみましょう。

結果として得られる SLAE はシステムと同等です。 .

システム方程式の左側には未知の変数 x と y を含む項のみを残し、未知の変数 z を含む項を右側に移動します。

線形代数系を解くための普遍的で効果的な方法の 1 つは次のとおりです。 ガウス法 、未知のものを順次排除することで構成されます。

2 つのシステムが次のように呼ばれることを思い出してください。 同等 (同等) それらの解のセットが一致する場合。 言い換えれば、システムの一方のすべての解が他方の解である場合、またはその逆の場合、システムは同等です。 等価なシステムは次の場合に得られます。 基本的な変換 システムの方程式:

方程式の両辺にゼロ以外の数値を乗算します。

ある式に別の式の対応する部分を追加し、ゼロ以外の数値を掛けます。

2つの方程式を並べ替えます。

連立方程式を与えてみましょう

ガウス法を使用してこのシステムを解くプロセスは 2 つの段階で構成されます。 最初の段階 (直接動作) では、システムは基本変換を使用して次のように縮小されます。 段階的に , または 三角 第 2 段階 (逆) では、最後の変数番号から開始して、結果として得られるステップ システムからの未知数の決定が順番に行われます。

このシステムの係数を次のように仮定します。
それ以外の場合は、システム内で最初の行が他の行と交換され、係数が次のようになります。 ゼロとは違いました。

未知を排除してシステムを変革しよう 最初のものを除くすべての方程式で。 これを行うには、最初の方程式の両辺に次の値を掛けます。 システムの 2 番目の方程式を使用して項ごとに追加します。 次に、最初の式の両辺に次の値を掛けます。 それをシステムの 3 番目の方程式に追加します。 このプロセスを続けると、同等のシステムが得られます。

ここ
– 最初のステップの後に取得される係数と自由項の新しい値。

同様に主要な要素を考慮すると、
、未知のものを除外します 最初と 2 番目を除くシステムのすべての方程式から。 このプロセスをできるだけ長く続けましょう。その結果、段階的なシステムが得られます。

,

どこ ,
,…,– システムの主な要素
.

システムを段階的な形式に還元する過程で、方程式が現れる場合、つまり、次の形式が等しい場合
、任意の数値セットで満たされるため、それらは破棄されます。
。 もし、
解のない形式の方程式が表示された場合、これはシステムに互換性がないことを示します。

で 逆ストローク最初の未知数は、変換されたステップ システムの最後の方程式から表現されます。 他のすべての未知を通して
と呼ばれるもの 無料 . 次に、変数式 システムの最後の方程式から最後から 2 番目の方程式に代入され、そこから変数が表現されます。
。 変数も同様の方法で順番に定義されます
。 変数
、自由変数を介して表現され、と呼ばれます 基本的な （依存）。 結果は、線形方程式系の一般的な解になります。

見つけるには プライベートソリューション システム、無料不明
V 一般的な決定任意の値が代入され、変数値が計算されます
.

システム方程式自体ではなく、システムの拡張行列に基本変換を適用する方が技術的には便利です。

.

ガウス法は、正方形だけでなく、未知数の数が異なる長方形系も解くことができる普遍的な手法です。
方程式の数と等しくない
.

この方法の利点は、拡張行列が与えられているため、解決の過程でシステムの互換性を同時に検査できることです。
段階的に形成すると、行列のランクを決定するのが簡単になります および拡張マトリックス
そして申請してください クロネッカー・カペリの定理 .

例2.1ガウス法を使用してシステムを解く

解決。 方程式の数
そして未知の数
.

行列の右側に係数を割り当てて、システムの拡張行列を作成しましょう 無料会員欄 .

マトリックスを提示しましょう 三角形のビューに。 これを行うには、基本変換を使用して主対角線上にある要素の下にある「0」を取得します。

最初の列の 2 番目の位置にある「0」を取得するには、最初の行に (-1) を乗算し、それを 2 行目に加算します。

この変換を最初の行に対して数値 (-1) として書き、最初の行から 2 行目に向かう矢印で示します。

最初の列の 3 番目の位置に「0」を取得するには、最初の行に (-3) を乗算し、3 番目の行に加算します。 1 行目から 3 行目へ向かう矢印を使用して、このアクションを示してみましょう。

.

行列のチェーンの 2 番目に書かれた結果の行列では、2 列目の 3 番目の位置に「0」が入ります。 これを行うには、2 行目に (-4) を乗算し、3 行目に加算します。 結果の行列で、2 行目を (-1) で乗算し、3 行目を (-8) で除算します。 この行列の対角要素の下にある要素はすべて 0 です。

なぜなら , システムは協調的であり、定義されています。

最後の行列に対応する連立方程式は三角形の形式になります。

最後の (3 番目) 式から
。 2 番目の式に代入して、
.

代用しましょう
そして
最初の方程式に代入すると、次のようになります。


.