逆行列法のアルゴリズム。 逆行列

各 2x2 行列の定義を見つけます。転置された行列を含む行列のすべての要素は、対応する 2x2 行列に関連付けられます。 特定の要素に対応する 2x2 行列を見つけるには、指定された要素が配置されている行と列を取り消し線で消します。つまり、元の 3x3 行列の 5 つの要素を取り消し線で消す必要があります。 対応する 2x2 行列の要素である 4 つの要素は交差されないままになります。

• たとえば、2 行目と 1 列目の交点にある要素の 2x2 行列を見つけるには、2 行目と 1 列目にある 5 つの要素を取り消し線で消します。 残りの 4 つの要素は、対応する 2x2 行列の要素です。
• 各 2x2 行列の行列式を求めます。 これを行うには、主対角要素の積から副対角要素の積を減算します (図を参照)。
• 3x3 行列の特定の要素に対応する 2x2 行列に関する詳細情報は、インターネットで見つけることができます。

余因子行列を作成します。以前に取得した結果を新しい補因子行列の形式で書き込みます。 これを行うには、3x3 行列の対応する要素が位置する各 2x2 行列の見つかった行列式を書き込みます。 たとえば、要素 (1,1) の 2x2 行列を検討している場合、その行列式を位置 (1,1) に書き込みます。 次に、図に示す特定のスキームに従って、対応する要素の符号を変更します。

• 符号を変更するためのスキーム: 最初の行の最初の要素の符号は変わりません。 最初の行の 2 番目の要素の符号が反転されます。 最初の行の 3 番目の要素の符号は変わりません。以下同様に行ごとに変化します。 図に示されている「+」および「-」記号 (図を参照) は、対応する要素が正または負であることを示すものではないことに注意してください。 この場合、「＋」記号は要素の符号が変化しないことを示し、「−」記号は要素の符号が変化することを示す。
• 補因子行列に関する詳細情報は、インターネットで見つけることができます。
• このようにして、元の行列の随伴行列を見つけることができます。 複素共役行列と呼ばれることもあります。 このような行列は、adj(M) と表されます。

随伴行列の各要素を行列式で除算します。行列 M の行列式は、逆行列が存在することを確認するために最初に計算されます。 次に、随伴行列の各要素をこの行列式で除算します。 各除算演算の結果を、対応する要素が位置する場所に書き込みます。 このようにして、元の行列の逆行列を見つけることができます。

• 図に示されている行列の行列式は 1 です。 したがって、ここでの随伴行列は逆行列です (どの数値も 1 で割っても変化しないため)。
• 一部のソースでは、除算演算が 1/det(M) による乗算演算に置き換えられます。 ただし、最終結果は変わりません。

逆行列を書きます。大きな行列の右半分にある要素を別の行列、つまり逆行列として書き込みます。

元の行列を計算機のメモリに入力します。これを行うには、[マトリックス] ボタンをクリックします (可能な場合)。 Texas Instruments 電卓の場合は、2 番目のボタンとマトリックス ボタンを押す必要がある場合があります。

「編集」メニューを選択します。これを行うには、矢印ボタンまたは電卓のキーボードの上部にある適切な機能ボタンを使用します (ボタンの位置は電卓のモデルによって異なります)。

マトリックス表記を入力します。ほとんどのグラフィック電卓は、指定できる 3 ～ 10 個の行列を処理できます。 文字A〜J。 通常は、[A] を選択して元の行列を指定します。 次に Enter ボタンを押します。

マトリックスのサイズを入力します。この記事では 3x3 行列について説明します。 しかし、グラフ電卓は行列を扱うことができます 大きいサイズ。 行数を入力して Enter キーを押し、次に列数を入力してもう一度 Enter キーを押します。

各行列要素を入力します。電卓画面に行列が表示されます。 以前に計算機に行列を入力したことがある場合は、それが画面に表示されます。 カーソルは行列の最初の要素を強調表示します。 最初の要素の値を入力し、Enter キーを押します。 カーソルは自動的に次の行列要素に移動します。

見つける 逆行列 - この問題は、多くの場合、次の 2 つの方法で解決されます。

• 代数的加算の方法。行列式を見つけて行列を転置する必要があります。
• 消去法で 未知のガウス、行列の基本的な変換 (行の追加、行の同じ数値の乗算など) を実行する必要があります。

特に興味がある人のために、線形変換の方法など、他の方法もあります。 このレッスンでは、前述の 3 つの方法と、これらの方法を使用して逆行列を見つけるためのアルゴリズムを分析します。

逆行列 あ、そのような行列は呼ばれます

あ
. (1)

逆行列 、これは特定の正方行列に対して見つける必要があります。 あ、そのような行列は呼ばれます

行列の積 あ右側は単位行列、つまり
. (1)

単位行列は、すべての対角要素が 1 に等しい対角行列です。

定理。すべての非特異 (非縮退、非特異) 正方行列に対して、逆行列は 1 つだけ見つかります。 特殊な (縮退した特異な) 正方行列の場合、逆行列は存在しません。

正方行列はと呼ばれます 特別ではない（または 非退化, 非単数形)、その行列式がそうでない場合、 ゼロに等しい、 そして 特別（または 退化する, 特異な) 行列式がゼロの場合。

逆行列は正方行列の場合にのみ見つかります。 当然、逆行列も正方行列になり、指定された行列と同じ次数になります。 逆行列が求まる行列を可逆行列といいます。

のために 逆行列 数値の逆数にも関連した類似点があります。 あらゆる数字について ある、ゼロに等しくない、そのような数は存在します bその仕事は あるそして b 1 に等しい: 腹筋= 1 。 番号 b数値の逆数と呼ばれる b。 たとえば、数字 7 の場合、7*1/7=1 であるため、逆数は 1/7 になります。

代数的加算法を使用して逆行列を求める (連合行列)

非特異正方行列の場合 あ逆行列は行列です

行列の行列式はどこにありますか あ、 a は行列に関連付けられた行列です あ.

正方行列と連携 あは同じ次数の行列で、その要素は行列 A に関して転置された行列の行列式の対応する要素の代数的補数です。

それ

そして

代数的加算法を使用して逆行列を求めるアルゴリズム

1. この行列の行列式を求めます。 あ。 行列式がゼロに等しい場合、行列は特異であり、その逆行列は存在しないため、逆行列の検索は停止します。

2. に関して転置された行列を求めます。 あ.

3. ステップ 2 で求めた maritz の代数的補数として和集合行列の要素を計算します。

4. 式 (2) を適用します。行列行列式の逆数を乗算します。 あ、ステップ 4 で見つかった和集合行列に変換します。

5. この行列を乗算して、ステップ 4 で得られた結果を確認します。 あ逆行列に。 これらの行列の積が単位行列と等しい場合、逆行列は正しく見つかったことになります。 それ以外の場合は、解決プロセスを再度開始します。

例1.マトリックスの場合

逆行列を求めます。

解決。 逆行列を見つけるには、行列の行列式を見つける必要があります。 あ。 三角形の法則により次のことがわかります。

したがって、行列は あ– 非特異（非退化、非特異）、その逆があります。

この行列に関連する行列を見つけてみましょう あ.

行列に関して転置された行列を見つけてみましょう あ:

関連行列の要素を、行列に関して転置された行列の代数的補数として計算します。 あ:

したがって、行列に関連する行列は、 あ、次の形式があります

コメント。要素が計算され、行列が転置される順序は異なる場合があります。 まず行列の代数補数を計算できます。 あ、そして代数補行列を転置します。 結果は、和集合行列の同じ要素になるはずです。

式 (2) を適用すると、行列の逆行列が求められます。 あ:

ガウス未知消去法を使用して逆行列を求める

ガウス消去法を使用して逆行列を求める最初のステップは、行列に代入することです。 あ同じ次数の単位行列。縦棒で区切ります。 二重行列が得られます。 この行列の両辺に を乗算すると、次のようになります。

,

ガウス未知消去法を使用して逆行列を求めるアルゴリズム

1. マトリックスへ あ同じ次数の単位行列を割り当てます。

2. 結果の双対行列を変換して、左側で単位行列を取得し、右側で単位行列の代わりに逆行列を自動的に取得します。 マトリックス あ左辺は次のように単位行列に変換されます。 基本的な変換行列。

2. 行列変換中の場合 あ単位行列では、どの行またはどの列にもゼロのみが存在し、その場合、行列の行列式はゼロに等しく、その結果、行列は あは特異値となり、逆行列を持ちません。 この場合、それ以上の逆行列の決定は中止される。

例2。マトリックスの場合

逆行列を求めます。

そしてそれを変換して、左側に単位行列が得られるようにします。 変革を始めます。

左右の行列の最初の行に (-3) を乗算して 2 行目に加算し、次に最初の行に (-4) を乗算して 3 行目に加算すると、次のようになります。

.

後続の変換で小数が存在しないことを確認するために、まず双対行列の左側の 2 行目に単位を作成しましょう。 これを行うには、2 行目に 2 を掛け、そこから 3 行目を減算すると、次のようになります。

.

最初の行と 2 行目を加算し、次に 2 行目に (-9) を乗算して 3 行目に加算しましょう。 それから、私たちは得ます

.

3行目を8で割ると、

.

3 行目に 2 を掛けて 2 行目に加算します。 それが判明：

.

2 行目と 3 行目を入れ替えると、最終的に次のようになります。

.

左側には単位行列があり、したがって右側には逆行列があることがわかります。 したがって：

.

元の行列に、見つかった逆行列を乗算することで、計算が正しいかどうかを確認できます。

結果は逆行列になるはずです。

例 3.マトリックスの場合

逆行列を求めます。

解決。 デュアル行列のコンパイル

そして私たちはそれを変えていきます。

最初の行に 3 を掛け、2 番目の行に 2 を掛けて 2 番目の行から減算し、次に最初の行に 5 を掛け、3 番目の行に 2 を掛けて 3 番目の行から減算すると、次のようになります。

.

最初の行に 2 を掛けて 2 行目に加算し、3 行目から 2 番目の行を減算すると、次のようになります。

.

左側の 3 行目では、すべての要素が 0 に等しいことがわかります。 したがって、行列は特異行列であり、逆行列はありません。 逆マリッツをさらに見つけるのをやめます。

条件 $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ が満たされる場合、行列 $A^(-1)$ は正方行列 $A$ の逆行列と呼ばれます。ここで $E $ は単位行列で、その次数は行列 $A$ の次数と同じです。

非特異行列とは、行列式がゼロに等しくない行列です。 したがって、特異行列とは、行列式がゼロに等しい行列です。

逆行列 $A^(-1)$ は、行列 $A$ が非特異である場合にのみ存在します。 逆行列 $A^(-1)$ が存在する場合、それは一意です。

逆行列を求める方法はいくつかありますが、そのうちの 2 つを見てみましょう。 このページでは、ほとんどの高等数学コースで標準とみなされている随伴行列法について説明します。 逆行列を求める 2 番目の方法 (基本変換の方法) は、ガウス法またはガウス-ジョルダン法の使用を伴いますが、第 2 部で説明します。

随伴行列法

行列 $A_(n\times n)$ が与えられるとします。 逆行列 $A^(-1)$ を求めるには、次の 3 つの手順が必要です。

1. 行列 $A$ の行列式を見つけて、$\Delta A\neq 0$ であることを確認します。つまり、 行列 A が特異でないこと。
2. 行列 $A$ の各要素の代数補数 $A_(ij)$ を作成し、見つかった代数から行列 $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ を書き込みます補足します。
3. 式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を考慮して逆行列を記述します。

行列 $(A^(*))^T$ は、行列 $A$ の随伴 (相互、関連) と呼ばれることがよくあります。

手動で解法を行う場合、最初の方法は比較的小さい次数の行列 (2 番目 ()、3 番目 ()、4 番目) にのみ適しています。 高次行列の逆行列を見つけるには、他の方法が使用されます。 たとえば、ガウス法については第 2 部で説明します。

例その1

逆行列を求めます $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(配列) \right)$。

4 番目の列の要素はすべて 0 に等しいため、$\Delta A=0$ になります (つまり、行列 $A$ は特異です)。 $\Delta A=0$ なので、行列 $A$ に対する逆行列は存在しません。

例その2

行列 $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ の逆行列を求めます。

随伴行列法を使用します。 まず、指定された行列 $A$ の行列式を見つけてみましょう。

$$ \デルタ A=\左| \begin(配列) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(配列)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103。 $$

$\Delta A \neq 0$ であるため、逆行列が存在するため、解を続けます。 代数の補数を見つける

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

代数加算の行列 $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$ を作成します。

結果の行列を転置します。 $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (結果として得られる行列は、行列 $A$ に対する随伴行列または関連行列と呼ばれることがよくあります)。 式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を使用すると、次のようになります。

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(配列) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(配列)\right) =\left(\begin(配列) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(配列)\right) $$

したがって、逆行列が見つかります: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\右)$。 結果の真偽を確認するには、$A^(-1)\cdot A=E$ または $A\cdot A^(-1)=E$ のいずれかの等式の真偽を確認するだけで十分です。 $A^(-1)\cdot A=E$ が等しいことを確認してみましょう。 分数の処理を減らすために、$\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 の形式ではなく行列 $A^(-1)$ を代入します。 & 5/103 \ end(array)\right)$、形式 $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(配列)\right)$:

答え: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$。

例その3

行列 $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ の逆行列を求めます。 。

行列 $A$ の行列式を計算することから始めましょう。 したがって、行列 $A$ の行列式は次のようになります。

$$ \デルタ A=\左| \begin(配列) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(配列) \right| = 18-36+56-12=26。 $$

$\Delta A\neq 0$ なので、逆行列が存在するため、解法を続けます。 与えられた行列の各要素の代数補数を求めます。

代数加算の行列を作成し、転置します。

$$ A^*=\left(\begin(配列) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(配列) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(配列) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(配列) \right) $$

式 $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ を使用すると、次のようになります。

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(配列) \right)= \left(\begin(配列) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right) $$

$A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right)$。 結果の真偽を確認するには、$A^(-1)\cdot A=E$ または $A\cdot A^(-1)=E$ のいずれかの等式の真偽を確認するだけで十分です。 $A\cdot A^(-1)=E$ が等しいことを確認してみましょう。 分数の処理を減らすために、$\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ の形式ではなく行列 $A^(-1)$ を代入します。 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$、形式 $\frac(1)(26) )\cdot \left( \begin(配列) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(配列) \right)$:

チェックは成功し、逆行列 $A^(-1)$ が正しく見つかりました。

答え: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(配列) \right)$。

例4

行列 $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 の逆行列を求めます& 8 & -8 & -3 \end(配列) \right)$。

4 次行列の場合、代数加算を使用して逆行列を見つけるのは多少困難です。 ただし、そのような例は、 テスト会う。

逆行列を求めるには、まず行列 $A$ の行列式を計算する必要があります。 この状況でこれを行うための最良の方法は、行列式を行 (列) に沿って分解することです。 任意の行または列を選択し、選択した行または列の各要素の代数補数を見つけます。

行列 A -1 は、A*A -1 = E の場合、行列 A に関する逆行列と呼ばれます。ここで、E は n 次の単位行列です。 逆行列は正方行列に対してのみ存在できます。

サービスの目的。 このサービスをオンラインで使用すると、代数補数、転置行列 A T、関連行列、逆行列を見つけることができます。 決定はウェブサイト（オンライン）上で直接行われ、無料です。 計算結果はWord、Excel形式のレポートで表示されます（解の確認が可能）。 設計例を参照してください。

説明書。 解を得るには、行列の次元を指定する必要があります。 次に、新しいダイアログ ボックスに行列 A を入力します。

Jordano-Gauss 法を使用した逆行列も参照してください。

逆行列を求めるアルゴリズム

1. 転置行列 A T を求める。
2. 代数補体の定義。 行列の各要素を代数補数で置き換えます。
3. 代数的加算から逆行列をコンパイルします。結果として得られる行列の各要素は、元の行列の行列式で除算されます。 結果の行列は元の行列の逆行列になります。

1. 行列が正方であるかどうかを判断します。 そうでない場合、その逆行列は存在しません。
2. 行列 A の行列式の計算。 ゼロに等しくない場合は、解法を続行します。そうでない場合は、逆行列は存在しません。
3. 代数補体の定義。
4. 和集合 (相互、随伴) 行列 C を入力します。
5. 代数的加算から逆行列をコンパイルする: 随伴行列 C の各要素が元の行列の行列式で除算されます。 結果の行列は元の行列の逆行列になります。
6. これらはチェックを行い、元の行列と結果の行列を乗算します。 結果は単位行列になるはずです。

例その1。 行列を次の形式で書いてみましょう。

逆行列を見つけるための別のアルゴリズム

1. 与えられた正方行列 A の行列式を求めます。
2. 行列 A のすべての要素に対する代数的補数を求めます。
3. 行要素の列への代数的加算 (転置) を記述します。
4. 結果の行列の各要素を行列 A の行列式で除算します。

特殊なケース: 単位行列 E の逆行列は単位行列 E です。

逆行列 を見つける方法。 正方行列を考えてみましょう

Δ =det A と表します。

正方行列 A は次のように呼ばれます 非退化、または 特別ではない、行列式がゼロ以外の場合、および 退化する、または 特別、 もしΔ = 0.

正方行列 B は、その積が A B = B A = E である場合、同じ次数の正方行列 A に対するものです。ここで、E は行列 A および B と同じ次数の単位行列です。

定理 . 行列 A が逆行列を持つためには、その行列式が 0 以外であることが必要かつ十分です。

行列 A の逆行列、A で示されます。- 1、つまり B = A - 1 そして次の式で計算されます

, (1)

ここで、A i j は行列 A の要素 a i j の代数補数です。

高次行列の式 (1) を使用して A -1 を計算するのは非常に労力がかかるため、実際には初等変換 (ET) の方法を使用して A -1 を求めるのが便利です。 行列 A に対する完全変換が同じ順序で単位行列 E に適用される場合、非特異行列 A は単位行列 E に還元されます。結果は逆行列になります。 行列 A と E に対して EP を同時に実行し、両方の行列を 1 行に並べて書くと便利です。 行列の正規形式を検索する場合、行と列の変換を使用できることにもう一度注意してください。 逆行列を求める必要がある場合は、変換プロセス中に行のみまたは列のみを使用する必要があります。

例2.10。 マトリックスの場合 A -1 を見つけます。

解決。まず行列 A の行列式を求めます。
これは、逆行列が存在し、次の式を使用して見つけることができることを意味します。 ここで、A i j (i,j=1,2,3) は、元の行列の要素 a i j の代数加算です。

どこ .

例2.11。 基本変換の方法を使用して、行列 A = の A -1 を見つけます。

解決。右側の元の行列に同じ次数の単位行列を割り当てます。 。 列の基本変換を使用して、左の「半分」を単位 1 に減らし、同時に右の行列に対してまったく同じ変換を実行します。
これを行うには、最初の列と 2 番目の列を交換します。 ~ 。 3 番目の列に最初の値を追加し、2 番目の列に最初の値に -2 を乗算します。 。 最初の列から 2 番目の 2 倍を引き、3 番目の列から 2 番目の 6 を掛けます。 。 3 番目の列を 1 番目と 2 番目の列に追加しましょう。 。 最後の列に -1 を掛けます。 。 垂直バーの右側に得られる正方行列は、指定された行列 A の逆行列です。
.