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複素関数の導関数を求める。複雑な導関数

複素関数の導関数の公式を使用して導関数を計算する例が示されています。

ここでは、次の関数の導関数を計算する例を示します。
; ; ; ; .

関数が次の形式の複素関数として表現できる場合:
,
次に、その微分値は次の式で求められます。
.
以下の例では、この式を次のように記述します。
.
どこ。
ここで、微分記号の下にある添字またはは、微分が実行される変数を示します。

通常、導関数の表では、変数 x からの関数の導関数が与えられます。ただし、x は仮パラメータです。変数 x は他の変数に置き換えることができます。したがって、関数を変数から微分するときは、導関数の表で変数 x を変数 u に変更するだけです。

簡単な例

例1

複素関数の導関数を求める
.

解決

書き留めてみましょう与えられた関数同等の形式で:
.
導関数の表には次のことがわかります。
;
.

複素関数の導関数の公式によれば、次のようになります。
.
ここ。

答え

例 2

導関数を求めます
.

解決

導関数の符号と導関数の表から定数 5 を取り出します。
.

.
ここ。

答え

例 3

導関数を求めます
.

解決

定数を取り出します -1 導関数の符号について、導関数の表から次のことがわかります。
;
導関数の表から次のことがわかります。
.

複素関数の導関数に公式を適用します。
.
ここ。

答え

より複雑な例

さらに詳しく複雑な例複素関数を微分するためのルールを数回適用します。この場合、端から導関数を計算します。つまり、関数をそのコンポーネント部分に分割し、次を使用して最も単純な部分の導関数を見つけます。デリバティブの表。私たちも使っています合計を微分するための規則、積と分数。次に、置換を行って、複素関数の導関数の公式を適用します。

例 4

導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、その導関数を求めてみましょう。。

.
ここでは次の表記を使用しました
.

得られた結果を使用して、元の関数の次の部分の導関数を見つけます。合計を微分するためのルールを適用します。
.

もう一度、複素関数の微分の法則を適用します。

.
ここ。

答え

例5

関数の導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、導関数の表からその導関数を見つけてみましょう。。

複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ
.

複素関数の導関数。解決策の例

の上このレッスン私たちは見つけることを学びます 複素関数の導関数。レッスンはレッスンの論理的な続きです 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?ここでは、最も単純な導関数を調べ、微分の規則と導関数を見つけるためのいくつかの技術的テクニックについても学びました。したがって、関数の導関数が苦手な場合、またはこの記事のいくつかの点が完全に明確ではない場合は、まず上記のレッスンを読んでください。真剣な気分になってください。内容は単純ではありませんが、それでも簡単かつ明確に提示するように努めます。

実際には、複素関数の導関数を非常に頻繁に処理する必要があります。導関数を見つけるタスクが与えられた場合は、ほぼ常にと言っていいほどです。

複素関数を微分するための規則 (その 5) の表を見てみましょう。

それを理解しましょう。まずはエントリーに注目してみましょう。ここには 2 つの関数 - とがあり、比喩的に言うと、関数は関数内にネストされています。このタイプの関数 (ある関数が別の関数内にネストされている場合) は、複合関数と呼ばれます。

関数を呼び出します 外部関数、および関数 – 内部 (またはネストされた) 関数.

！これらの定義は理論的なものではないため、割り当ての最終設計には含めるべきではありません。「外部機能」「内部」機能というくだけた表現を使用しているのは、内容を理解しやすくするためだけです。

状況を明確にするために、次の点を考慮してください。

例1

関数の導関数を求める

サインの下には文字「X」だけではなく式全体があるため、表からすぐに導関数を見つけることはできません。また、最初の 4 つのルールをここに適用することは不可能であることにも気付きます。違いがあるように見えますが、実際にはサインを「バラバラに引き裂く」ことはできないということです。

でこの例では関数が複素関数であり、多項式が内部関数 (埋め込み) と外部関数であることは、私の説明からすでに直感的に明らかです。

最初の一歩複素関数の導関数を求めるときに行う必要があるのは、 どの機能が内部でどの機能が外部であるかを理解する.

いつ簡単な例正弦の下に多項式が埋め込まれていることが明らかです。しかし、すべてが明らかでない場合はどうなるでしょうか? どの機能が外部であり、どの機能が内部であるかを正確に判断するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、次のテクニックを使用することをお勧めします。これは頭の中で、または下書きで行うことができます。

計算機で式の値を計算する必要があると想像してみましょう (1 つの代わりに、任意の数値を指定できます)。

最初に何を計算しますか? 初めに次のアクションを実行する必要があります: したがって、多項式は内部関数になります。

第二にを見つける必要があるため、sine – は外部関数になります。

私たちの後完売内部関数と外部関数を使用して、複素関数の微分規則を適用します。

決め始めましょう。クラスから 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?導関数に対するソリューションの設計は常に次のように始まることを覚えています。式を括弧で囲み、右上にストロークを置きます。

初めに導関数を見つける外部関数(正弦)、導関数の表を見てください。初等関数そして私たちはそれに気づきます。 「x」を複雑な式に置き換えると、すべての表の数式も適用できます。、この場合：

内部関数に注意してください変わっていない、私たちはそれに触れていない.

まあ、それは非常に明白です

式を適用した最終結果は次のようになります。

定数因数は通常、式の先頭に置かれます。

誤解があれば、答えを紙に書いて、もう一度解説を読みましょう。

例 2

関数の導関数を求める

例 3

関数の導関数を求める

いつものように、次のように書き留めます。

どこに外部関数があり、どこに内部関数があるかを調べてみましょう。これを行うには、(頭の中で、または下書きで) での式の値を計算しようとします。まず何をすべきでしょうか? まず最初に、基数が何に等しいかを計算する必要があります。これは、多項式が内部関数であることを意味します。

そして、そのときのみ累乗が実行されるため、次のようになります。べき乗関数は外部関数です:

式によれば、まず外部関数の微分、この場合は次数を見つける必要があります。表内で必要な式を探します。もう一度繰り返します: 表形式の数式は「X」だけでなく、複雑な式にも有効です。。したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は次のようになります。

外部関数の導関数を取得しても、内部関数は変化しないことをもう一度強調します。

ここで残っているのは、内部関数の非常に単純な導関数を見つけて、結果を少し調整することだけです。

例 4

関数の導関数を求める

これは例です独立した決定（答えはレッスンの最後にあります）。

複素関数の導関数についての理解を強化するために、コメントなしで例を示します。外部関数と内部関数がどこにあるのか、なぜこの方法でタスクが解決されるのかを説明し、自分で理解してみてください。

例5

a) 関数の導関数を求めます。

b) 関数の導関数を求めます。

例6

関数の導関数を求める

ここには根があり、根を区別するには、それを力として表現する必要があります。したがって、まず関数を微分に適した形式にします。

関数を分析すると、3 つの項の和が内部関数であり、べき乗が外部関数であるという結論に達します。複素関数の微分規則を適用します。

ここでも次数を根号 (ルート) として表し、内部関数の導関数に対して、合計を微分するための単純なルールを適用します。

準備ができて。括弧内の式を指定することもできます。共通点すべてを 1 つの分数として書き留めます。もちろんそれは美しいことですが、面倒な長い導関数を取得する場合は、これを行わない方がよいでしょう (混乱しやすく、不要な間違いを犯しやすく、教師がチェックするのが不便になります)。

例 7

関数の導関数を求める

これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。

興味深いのは、複素関数を微分するためのルールの代わりに、商を微分するためのルールを使用できる場合があるということです。、しかし、そのような解決策は面白い倒錯のように見えるでしょう。典型的な例を次に示します。

例8

関数の導関数を求める

ここで商の微分規則を使用できます。、しかし、複素関数の微分の法則を通じて導関数を見つける方がはるかに有益です。

微分用の関数を準備します。微分符号からマイナスを移動し、分子にコサインを加算します。

コサインは内部関数であり、べき乗は外部関数です。
私たちのルールを使ってみましょう:

内部関数の導関数を求め、コサインをリセットして元に戻します。

準備ができて。検討した例では、標識を混同しないことが重要です。ちなみに、法則を使って解いてみてください、答えは一致する必要があります。

例9

関数の導関数を求める

これはあなた自身で解決するための例です (答えはレッスンの最後にあります)。

これまで、複雑な関数内にネストが 1 つだけあるケースを見てきました。実際のタスクでは、入れ子人形のように、1 つの関数がもう 1 つの関数の内側にあり、一度に 3 つ、さらには 4 ～ 5 つの関数が入れ子になっている派生関数をよく見かけます。

例 10

関数の導関数を求める

この機能の付属品を理解しましょう。実験値を用いて式を計算してみましょう。どうやって電卓を頼りにするのでしょうか？

まず、を見つける必要があります。これは、逆正弦が最も深い埋め込みであることを意味します。

この 1 の逆正弦を 2 乗する必要があります。

そして最後に、7 の累乗を行います。

つまり、この例では 3 つの異なる関数と 2 つの埋め込みがあり、最も内側の関数は逆正弦関数、最も外側の関数は指数関数です。

決め始めましょう

ルールによれば、まず外部関数の導関数を取得する必要があります。デリバティブの表を見て、デリバティブを見つけます。指数関数: 唯一の違いは、「X」の代わりに複雑な表現ただし、この式の有効性が否定されるものではありません。したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は次のようになります。

ストロークの下には、また複雑な関数があります。しかし、それはすでに簡単になっています。内側の関数が逆正弦であり、外側の関数が次数であることを検証するのは簡単です。複素関数を微分するための規則に従って、まずべき乗の導関数を取得する必要があります。

複合型の関数は、必ずしも複合関数の定義に適合するとは限りません。 y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 という形式の関数がある場合、y = sin 2 x とは異なり、それは複素数であると見なすことはできません。

この記事では、複素関数の概念とその識別について説明します。結論として解決策の例を示しながら、導関数を求める公式を使ってみましょう。導関数テーブルと微分ルールを使用すると、導関数を見つける時間が大幅に短縮されます。

Yandex.RTB R-A-339285-1

基本的な定義

定義 1

複合関数とは、引数も関数である関数です。

これは f (g (x)) のように表されます。関数 g (x) は引数 f (g (x)) と見なされます。

定義 2

関数 f があり、それがコタンジェント関数である場合、 g(x) = ln x がその関数です。自然対数。複素関数 f (g (x)) は arctg(lnx) として記述されることがわかります。または、関数 f (4 乗関数) では、 g (x) = x 2 + 2 x - 3 が有理関数全体とみなされるため、 f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 。

明らかに、g(x) は複素数になる可能性があります。例 y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 から、g の値が分数の立方根を持つことが明らかです。この式は、y = f (f 1 (f 2 (x))) として表すことができます。ここから、f は正弦関数であり、f 1 は以下にある関数であることがわかります。平方根, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - 分数有理関数。

定義 3

ネストの程度は次のいずれかによって決まります。自然数 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) と書きます。

定義 4

関数合成の概念は、問題の条件に応じて入れ子になった関数の数を指します。解決するには、次の形式の複素関数の導関数を求める公式を使用します。

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

例

例1

y = (2 x + 1) 2 の形式の複素関数の導関数を求めます。

解決

この条件は、f が二乗関数であり、g(x) = 2 x + 1 が線形関数であるとみなされることを示しています。

複素関数の微分公式を適用して次のように書いてみましょう。

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f 「 (g (x)) g 」 (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

関数の元の形式を簡略化して導関数を見つける必要があります。我々が得る：

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ここからはそれです

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2・×2－1＋4・1・×1－1＝8×＋4

結果は同じでした。

このタイプの問題を解くときは、f および g (x) の形式の関数がどこに配置されるかを理解することが重要です。

例 2

y = sin 2 x および y = sin x 2 の形式の複素関数の導関数を見つける必要があります。

解決

最初の関数表記は、f が二乗関数、g(x) が正弦関数であることを示しています。それならわかります

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

2 番目のエントリは、f が正弦関数であり、g(x) = x 2 がべき関数を表すことを示しています。したがって、複素関数の積は次のように書くことができます。

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

導関数 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) の式は、 y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · 。。。 fn "(x)

例 3

関数 y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) の導関数を求めます。

解決

この例は、関数を記述して位置を決定することの難しさを示しています。次に、 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) は、 f 、 f 1 、 f 2 、 f 3 、 f 4 (x) が正弦関数、つまり次の関数であることを示します。 3 度まで、対数と底 e を使用した関数、逆正接および線形関数。

複素関数を定義する式から、次のことがわかります。

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

探す必要があるものは手に入ります

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) を導関数の表に従って正弦の導関数として、次に f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 。
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) をべき関数の導関数として計算すると、 f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arc t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) 。
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) を対数微分すると、 f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) となります。
f 3 " (f 4 (x)) を逆正接の微分として計算すると、 f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 となります。
導関数 f 4 (x) = 2 x を求める場合は、指数が 1 に等しいべき関数の導関数の公式を使用して導関数の符号から 2 を削除し、f 4 " (x) = (2 x) を求めます。「 = 2 x 」 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 。

中間結果を結合してそれを取得します

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 arc t g (2 x)) 3 ln 2 arc t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arc t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

このような機能の分析は、入れ子人形を彷彿とさせます。微分ルールは、導関数テーブルを使用して常に明示的に適用できるわけではありません。多くの場合、複素関数の導関数を求めるには公式を使用する必要があります。

複雑な外観と複雑な機能の間にはいくつかの違いがあります。これを明確に区別できると、デリバティブを見つけるのが特に簡単になります。

例 4

そういった例を挙げることも検討する必要がある。 y = t g 2 x + 3 t g x + 1 の形式の関数がある場合、それは g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 の形式の複素関数と考えることができます。。明らかに、複素導関数には次の式を使用する必要があります。

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 )・1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 という形式の関数は、t g x 2、3 t g x、および 1 の合計を持つため、複素関数とみなされません。ただし、 t g x 2 は複素関数とみなされるため、g (x) = x 2 および f の形式のべき乗関数 (正接関数) が得られます。これを行うには、金額で区別します。それはわかります

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3コス2×

複素関数 (t g x 2) の導関数を求めてみましょう。」:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x が得られます。

複合型の関数は複合関数に含めることができ、複合関数自体を複合型の関数のコンポーネントにすることもできます。

例5

たとえば、y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) という形式の複素関数を考えてみましょう。

この関数は y = f (g (x)) として表すことができます。ここで、f の値は底 3 の対数の関数であり、g (x) は h (x) = という形式の 2 つの関数の合計と見なされます。 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 および k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) 。明らかに、y = f (h (x) + k (x)) です。

関数 h(x) について考えてみましょう。これは、l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 と m (x) = e x 2 + 3 3 の比率です。

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) は 2 つの関数 n (x) = x 2 + 7 と p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) 、ここで、 p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) は数値係数 3 を持つ複素関数、p 1 は 3 乗関数です。コサイン関数で p 2、一次関数で p 3 (x) = 2 x + 1 となります。

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) は 2 つの関数 q (x) = e x 2 と r (x) = 3 3 の合計であることがわかりました。ここで、q (x) = q 1 (q 2 (x)) は複素関数、q 1 は指数関数、q 2 (x) = x 2 はべき乗関数です。

これは、 h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) を示します。 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) の形式の式に移ると、関数が複素数 s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) と有理整数 t (x) = x 2 + 1。s 1 は二乗関数、s 2 (x) = ln x は次の対数です。ベース e.

したがって、式は k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) の形式になります。

それならわかります

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

関数の構造に基づいて、微分するときに式を簡略化するにはどのような公式を使用する必要があるかが明らかになりました。このような問題とその解決策の概念に慣れるには、関数を微分する、つまり関数の導関数を見つけるという点に目を向ける必要があります。

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「古い」教科書では、これは「チェーン」ルールとも呼ばれます。それで、もし y = f (u)、および u = φ (x）、あれは

y = f (φ(x))

complex - 複合関数 (関数の合成)

どこで計算した後、 u = φ(x)。

ここでは、同じ関数から「異なる」構成を取得しましたが、微分の結果は当然「混合」の順序に依存することが判明したことに注意してください。

連鎖則は、当然のことながら、3 つ以上の関数の構成にも拡張されます。この場合、派生関数を構成する「チェーン」には 3 つ以上の「リンク」が存在します。これは乗算との類似です。導関数のテーブルが「あります」。「そこ」 - 九九。「with us」は連鎖ルール、「there」は「列」乗算ルールです。このような「複雑な」導関数を計算する場合、もちろん補助引数 (u¸v など) は導入されませんが、構成に含まれる関数の数とシーケンスを自分で記録した上で、対応するリンクが「張られ」ます。示された順序で。

。ここでは、「y」の値を取得するために「x」を使用して 5 つの演算が実行されます。つまり、「外部」(それらの最後の) - 指数関数 - e  ; という 5 つの関数の構成があります。次に逆の順序で電源を入れます。 (◆) 2 ; 三角関数の sin(); 鎮静する。 () 3、最後に対数 ln.()。それが理由です

次の例では、「一石二鳥」になります。複素関数の微分を練習し、初等関数の導関数の表に追加します。それで：

4. べき乗関数 - y = x α - よく知られている「基本対数恒等式」 - b=e ln b - x α = x α ln x の形式でそれを書き直すと、次の式が得られます。

5. 任意の指数関数の場合、同じ手法を使用して、

6. 任意の対数関数の場合、新しい底への遷移に関するよく知られた公式を使用して、一貫して次の値を取得します。

7. タンジェント (コタンジェント) を微分するには、商を微分するためのルールを使用します。

逆三角関数の導関数を取得するには、2 つの相互に逆関数の導関数によって満たされる関係、つまり、次の関係によって関連付けられた関数 φ (x) と f (x) を使用します。

これが比率です

相互逆関数のこの式から

そして
,

最後に、これらと、同様に簡単に取得できる他の派生関数を次の表にまとめます。

これに基づいて、最も単純な導関数を検討し、微分の規則と導関数を見つけるためのいくつかの技術的テクニックについても理解しました。したがって、関数の導関数が苦手な場合、またはこの記事のいくつかの点が完全に明確ではない場合は、まず上記のレッスンを読んでください。真剣な気分になってください。内容は単純ではありませんが、それでも簡単かつ明確に提示するように努めます。

複素関数を微分するための規則 (その 5) の表を見てみましょう。

関数を呼び出します 外部関数、および関数 – 内部 (またはネストされた) 関数.

状況を明確にするために、次の点を考慮してください。

例1

関数の導関数を求める

この例では、関数が複素関数であり、多項式が内部関数 (埋め込み) と外部関数であることは、私の説明からすでに直感的に明らかです。

最初の一歩複素関数の導関数を求めるときに行う必要があるのは、 どの機能が内部でどの機能が外部であるかを理解する.

単純な例の場合、正弦の下に多項式が埋め込まれていることが明らかです。しかし、すべてが明らかでない場合はどうなるでしょうか? どの機能が外部であり、どの機能が内部であるかを正確に判断するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、次のテクニックを使用することをお勧めします。これは頭の中で、または下書きで行うことができます。

計算機で式の値を計算する必要があると想像してみましょう (1 つの代わりに、任意の数値を指定できます)。

最初に何を計算しますか? 初めに次のアクションを実行する必要があります: したがって、多項式は内部関数になります。

第二にを見つける必要があるため、sine – は外部関数になります。

私たちの後完売内部関数と外部関数を使用して、複素関数の微分規則を適用します。 .

決め始めましょう。レッスンから 導関数を見つけるにはどうすればよいですか?導関数に対するソリューションの設計は常に次のように始まることを覚えています。式を括弧で囲み、右上にストロークを置きます。

初めに外部関数の導関数 (正弦) を見つけ、初等関数の導関数の表を見て、次のことに注目します。 「x」を複雑な式に置き換えると、すべての表の数式も適用できます。、この場合：

内部関数に注意してください変わっていない、私たちはそれに触れていない.

まあ、それは非常に明白です

式を適用した結果最終的な形式では次のようになります。

定数因数は通常、式の先頭に置かれます。

誤解があれば、答えを紙に書いて、もう一度解説を読みましょう。

例 2

関数の導関数を求める

例 3

関数の導関数を求める

いつものように、次のように書き留めます。

どこに外部関数があり、どこに内部関数があるかを調べてみましょう。これを行うには、(頭の中で、または下書きで) での式の値を計算しようとします。まず何をすべきでしょうか? まず最初に、基数が何に等しいかを計算する必要があります。これは、多項式が内部関数であることを意味します。

その場合にのみ累乗が実行されるため、べき乗関数は外部関数になります。

式によると , まず、外部関数の導関数 (この場合は次数) を見つける必要があります。表内で必要な式を探します。もう一度繰り返します: 表形式の数式は「X」だけでなく、複雑な式にも有効です。。したがって、複素関数を微分するためのルールを適用した結果は、次：