累乗と分数を使用して方程式の根を求めます。 指数方程式

指数方程式とは何ですか? 例。

つまり、指数方程式... 多種多様な方程式の一般展示会での新しいユニークな展示品です!) ほとんど常にそうであるように、新しい数学用語のキーワードは、それを特徴づける対応する形容詞です。 それで、ここにあります。 キーワード「指数方程式」という言葉は、 「示唆的な」。 それはどういう意味ですか？ この単語は、未知の (x) が位置することを意味します。 あらゆる程度の観点から言えば。そしてそこだけ！ これは非常に重要です。

たとえば、次のような単純な方程式があります。

3 × +1 = 81

5 × + 5 × +2 = 130

4 2 2 × -17 2 × +4 = 0

あるいは、次のようなモンスターさえも:

2 罪 x = 0.5

すぐに 1 つの重要な点に注意してください。 理由度（下） – 数字だけ。 しかし、 指標度 (上) - X を使用したさまざまな表現。 すべては特定の方程式に依存します。 突然、x が指標に加えて方程式の別の場所に現れた場合 (たとえば、3 x = 18 + x 2)、そのような方程式はすでに方程式になります。 混合タイプ 。 このような方程式には、それを解くための明確なルールがありません。 したがって、 このレッスン私たちはそれらを考慮しません。 学生たちは大喜びです。) ここでは、「純粋な」形式の指数方程式のみを考えます。

一般に、すべての、また必ずしも純粋な指数方程式さえ明確に解けるわけではありません。 しかし、多種多様な指数方程式の中には、解決できる、または解決すべき特定のタイプがあります。 私たちが検討するのはこれらのタイプの方程式です。 そして例は必ず解決します。) それでは、安心して出発しましょう! コンピューター シューティング ゲームと同様に、私たちの旅はレベルを経て行われます。初級から単純、単純から中級、中級から複雑へと進みます。 その過程で、非標準的な例を解決するためのテクニックと方法という秘密のレベルもあなたを待っています。 ほとんどの学校の教科書では読まないような内容です...まあ、そしてもちろん最後には、宿題という形でラスボスが待っています。）

レベル 0. 最も単純な指数方程式は何ですか? 単純な指数方程式を解く。

まず、率直に初歩的な事柄を見てみましょう。 どこかから始めないといけませんよね？ たとえば、次の方程式は次のようになります。

2 x = 2 2

理論がなくても、単純な論理で、 常識 x = 2 であることは明らかです。他に方法はありませんよね? X の他の意味は適切ではありません...そして次に、次の点に注目してみましょう。 決定の記録このクールな指数方程式:

2 x = 2 2

X = 2

私たちに何が起こったのでしょうか？ そして次のことが起こりました。 私たちは実際にそれを取り、...単純に同じベース (2 つ) を投げました。 完全に放り出された。 そして、良いニュースは、的を射たということです!

確かに、指数方程式に左と右がある場合、 同じ任意の累乗の数値がある場合、これらの数値は破棄され、単純に指数を等しくすることができます。 数学ではそれが可能です。) そして、インジケーターを個別に操作して、より単純な方程式を解くことができます。 すごいですよね？

あらゆる（はい、まさにあらゆる！）指数方程式を解くための重要なアイデアは次のとおりです。 同一の変換を使用する場合、方程式の左辺と右辺が次のようになるようにする必要があります。 同じ さまざまな累乗の基数。 その後、同じ基数を安全に削除して指数を等しくすることができます。 そして、より単純な方程式を使って作業してください。

ここで鉄則を思い出してみましょう。 方程式の左側と右側の数値に塩基番号がある場合に限り、同一の塩基を削除できます。 誇らしい孤独の中で。

素晴らしい孤立とは何を意味するのでしょうか？ これは、近傍と係数がないことを意味します。 説明しましょう。

たとえば、式では、

3 3 x-5 = 3 2 x +1

スリーは外せません！ なぜ？ なぜなら、左側にはある程度孤独な3人だけではなく、 仕事 3・3×-5 。 余分な 3 つが干渉します: 係数です。)

等式についても同じことが言えます

5 3 x = 5 2 x +5 x

ここでも、すべての基数は同じです - 5 です。 しかし、右側には 5 の累乗は 1 つもありません。累乗の和が存在します。

つまり、指数方程式が次のような場合にのみ、次のような場合にのみ、同一の基数を削除する権利があります。

あるf (バツ) = グラム (バツ)

このタイプの指数方程式はと呼ばれます もっとも単純な。 あるいは、科学的に言えば、 正規の 。 そして、目の前にどんな複雑な方程式があったとしても、私たちは何らかの方法でそれを正確にこの最も単純な (標準的な) 形式に還元します。 または、場合によっては、 全体性この種の方程式。 次に、最も単純な方程式は次のように一般的な形式に書き換えることができます。

F(x) = g(x)

それだけです。 これは等価な変換になります。 この場合、f(x) と g(x) は、x を含む任意の式にすることができます。 何でも。

おそらく、特に好奇心旺盛な学生は、一体なぜ、左右の同じ基底を簡単かつ単純に破棄して、指数を等しくするのでしょうか?と疑問に思うでしょう。 直感は直感ですが、何らかの方程式と何らかの理由で、このアプローチが間違っていることが判明した場合はどうなるでしょうか? 同じ根拠を放棄することは常に合法ですか?残念ながら、これに対する厳密な数学的答えはありません 興味がある 尋ねる関数の構造と動作に関する一般理論をかなり深く真剣に理解する必要があります。 そしてもう少し具体的に言うと、この現象では 厳しい単調さ。特に、厳密な単調性 指数関数 y= ×。 指数方程式の解法の根底にあるのは指数関数とその特性であるため、そのとおりです。) この質問に対する詳しい答えは、さまざまな関数の単調性を使用して複雑な非標準方程式を解くことに特化した別の特別レッスンで提供されます。)

この点を今詳しく説明しても、平均的な学生の心を驚かせ、無味乾燥で重い理論で事前に怖がらせるだけでしょう。 これはしません。) 現時点での私たちの主なタスクは次のとおりです。 指数方程式の解き方を学びましょう！最もシンプルなもの！ したがって、まだ心配せず、同じ理由を大胆に吐き出しましょう。 これ できる(私の言葉を信じてください!) そして、同等の方程式 f(x) = g(x) を解きます。 原則として、元の指数関数よりも単純です。

もちろん、現時点では、指数に x を含まない少なくとも と方程式の解き方を人々はすでに知っていると仮定します。）まだ方法がわからない人は、このページを閉じて、関連リンクに従ってください。そして古い隙間を埋めます。 そうしないと大変なことになりますよ、はい...

私は、基礎を排除する過程で出現する可能性のある無理数、三角関数、その他の残忍な方程式について話しているのではありません。 しかし、心配しないでください。現時点では完全な残虐行為を程度の観点から考慮するつもりはありません。時期尚早です。 最も単純な方程式のみをトレーニングします。)

次に、最も単純なものに減らすために追加の努力が必要な方程式を見てみましょう。 区別するために、それらを次のように呼びましょう 単純な指数方程式。 それでは、次のレベルに進みましょう!

レベル 1. 単純な指数方程式。 度数を認識しましょう！ 自然な指標。

指数方程式を解く際の重要なルールは次のとおりです。 学位を扱うためのルール。 この知識とスキルがなければ何もうまくいきません。 ああ、ああ。 ですから、学位に問題があるのであれば、まずそれは歓迎です。 さらに、 も必要になります。 これらの変換 (そのうち 2 つ!) は、一般にすべての数学方程式を解くための基礎となります。 実証的なものだけではありません。 忘れた人はリンクも見てください。ただそこに置いているだけではありません。

しかし、権限のある操作とアイデンティティの変換だけでは十分ではありません。 個人的な観察と創意工夫も必要です。 私たちにも同じ理由が必要ですよね。 そこで、例を調べて、明示的な形式または偽装された形式でそれらを探します。

たとえば、次の方程式は次のようになります。

3 2 x – 27 x +2 = 0

まずは見てみる 根拠。 それらは違う！ ３時２７分。 しかし、パニックになったり絶望したりするのは時期尚早です。 それを思い出す時が来た

27 = 3 3

数字の3と27は程度の差で親戚になります。 したがって、私たちには次のように書く権利があります。

27 x +2 = (3 3) x+2

さあ、私たちの知識をつなげてみましょう 度付きのアクション（そして私はあなたに警告しました！）。 そこには非常に便利な公式があります。

(a m) n = a mn

これを実行に移すと、うまくいきます。

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

元の例は次のようになります。

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

素晴らしい、度数の基礎が平らになりました。 それが私たちが望んでいたものです。 戦いの半分は終わりました。) そして今、基本的なアイデンティティ変換を開始します - 3 3(x +2) を右に移動します。 はい、数学の初歩的な演算をキャンセルした人は誰もいません。) 次の結果が得られます。

3 2 x = 3 3(x +2)

この種の方程式から何が得られるでしょうか? そして、私たちの方程式が縮小されたという事実 正規形に：左右スタンド 同じ数字(3) 権力の。 しかも三人とも見事に孤立している。 トリプルを自由に削除して、以下を取得してください。

2x = 3(x+2)

これを解決すると次のようになります。

X = -6

それでおしまい。 これが正解です。)

では、解決策を考えてみましょう。 この例では何が私たちを救ったのでしょうか? 3 つの力についての知識が私たちを救ってくれました。 正確にはどのように? 私たちは 特定された 27 番には暗号化された 3 が含まれています。 このトリック (同じ基数を異なる数値でエンコードする) は、指数方程式で最もよく使われる手法の 1 つです。 一番人気でない限り。 はい、同じように、ちなみに。 これが、指数方程式において観察と数値内の他の数値の累乗を認識する能力が非常に重要である理由です。

実践的なアドバイス:

人気のある数字の力を知る必要があります。 直面して！

もちろん、2 の 7 乗、または 3 の 5 乗は誰でもできます。 私の頭では考えていませんが、少なくとも草稿の中では。 しかし、指数方程式では、べき乗する必要はなく、逆に、たとえば 128 や 243 など、その数値の背後に何の何乗が隠されているかを調べる必要があることがよくあります。そして、これはより複雑です。単純に育てるよりも、あなたも同意するでしょう。 よく言われるように、違いを感じてください。

学位を直接認識する能力は、このレベルだけでなく次のレベルでも役立つため、ここであなたのための小さなタスクを紹介します。

その数が何乗で何番目であるかを決定します。

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

答え（もちろんランダム）：

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

はいはい！ タスクよりも答えの方が多いことに驚かないでください。 たとえば、2 8、4 4、および 16 2 はすべて 256 です。

レベル 2. 単純な指数方程式。 度数を認識しましょう！ マイナスおよび小数のインジケーター。

このレベルでは、私たちはすでに学位に関する知識を最大限に活用しています。 つまり、この魅力的なプロセスには、ネガティブで断片的な指標が含まれています。 はいはい！ 私たちは自分の力を高める必要がありますよね？

たとえば、このひどい方程式は次のとおりです。

繰り返しますが、最初に見るのは基礎です。 理由は違います！ そして今回は、それらは互いに少しも似ていません。 5 と 0.04...そして塩基を除去するには、同じ塩基が必要です...どうすればよいでしょうか?

大丈夫です！ 実際、すべては同じですが、5 と 0.04 の関係が視覚的にわかりにくいだけです。 どうすれば抜け出せるでしょうか？ 普通の分数である 0.04 という数字に進みましょう。 そうすれば、すべてがうまくいくでしょう。)

0,04 = 4/100 = 1/25

おお！ 0.04は1/25であることがわかりました。 まあ、誰が考えたでしょうか！）

それで、どうやって？ 5 と 1/25 の関係がわかりやすくなりましたか? それでおしまい...

そして今、度付きの行動のルールに従って、 マイナスの指標安定した手で書くことができます。

すばらしい。 したがって、同じベース、つまり 5 に到達しました。 ここで、方程式の不都合な数値 0.04 を 5 -2 に置き換えると、次のようになります。

繰り返しますが、次数を伴う演算規則に従って、次のように書くことができます。

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

念のため、（知らない人がいる場合に備えて）学位を扱うための基本的なルールは以下の場合に有効であることを思い出してください。 どれでもインジケーター！ 負の値も含みます。) したがって、適切なルールに従って指標 (-2) と (x-1) を自由に乗算してください。 私たちの方程式はどんどん良くなっていきます。

全て！ 孤独なファイブを除けば、左右の勢力には何もありません。 方程式は標準形式に変換されます。 そして、ギザギザのトラックに沿って。 5 を削除し、指標を同等にします。

バツ 2 –6 バツ+5=-2(バツ-1)

例題はほぼ解決しました。 残っているのは小学校中学校の数学だけです。括弧を (正しく!) 開いて、左側にあるものをすべて集めてください。

バツ 2 –6 バツ+5 = -2 バツ+2

バツ 2 –4 バツ+3 = 0

これを解くと 2 つの根が得られます。

バツ 1 = 1; バツ 2 = 3

それだけです。）

さて、もう一度考えてみましょう。 で この例ではまたしても、同じ数字を異なる程度で認識する必要がありました。 つまり、数字 0.04 の暗号化された 5 を見ることです。 そして今回は - マイナス度！どうやってこれをやったのでしょうか？ いきなりですが、そんなことはありません。 しかし、からの移行後は、 10進数 0.04 を公分数 1/25 にすると、それだけです。 そして決定はすべて時計仕掛けのように進みました。)

したがって、もう 1 つのグリーンな実践的なアドバイスです。

指数方程式に小数が含まれる場合は、小数から通常の分数に移動します。 で 普通の分数多くの人気のある数字の累乗を認識するのがはるかに簡単です。 認識後、分数から負の指数をもつ累乗に移行します。

このトリックは指数方程式で非常に頻繁に発生することに注意してください。 しかし、その人物は主題に含まれていません。 たとえば、彼は 32 と 0.125 という数字を見て動揺します。 彼も気づかないうちに、これは同じデュースであり、 さまざまな程度...しかし、すでに話題に入っていますね!)

方程式を解きます。

で！ 静かなホラーのように見えます...しかし、見た目は騙されます。 これは、気の遠くなるような複雑な方程式ですが、最も単純な指数方程式です。 外観。 そして今、それをあなたにお見せします。）

まず、底と係数のすべての数値を見てみましょう。 もちろん、それらは異なります、はい。 しかし、私たちはそれでもリスクを冒して、それらを実現しようとします 同一！ に到達してみましょう 同じ数を異なる累乗で表す。 また、その数はできるだけ少ないことが好ましい。 それでは、デコードを始めましょう!

そうですね、4 つあればすべてがすぐにわかります。2 2 です。 さて、それはすでに何かです。）

0.25 という割合では、まだ不明です。 確認する必要があります。 実践的なアドバイスを使用しましょう - 小数から普通の分数に移行してみましょう。

0,25 = 25/100 = 1/4

もうずっと良くなりました。 なぜなら、1/4 が 2 -2 であることがはっきりとわかるからです。 素晴らしいです。0.25 という数字も 2 に似ています。)

ここまでは順調ですね。 しかし、すべての中で最悪の数字が残っています - 2の平方根！この唐辛子はどうすればいいでしょうか？ 2の累乗でも表現できるのでしょうか？ そして誰が知っています...

さて、学位に関する知識の宝庫にもう一度飛び込んでみましょう! 今回はさらに私たちの知識を結び付けます 根について。 9年生のコースで、あなたも私も、望むならどんな根もいつでも学位に変えることができることを学んだはずです 分数インジケーター付き。

このような：

私たちの場合には：

おお！ 2の平方根は2 1/2であることがわかります。 それでおしまい！

それはいいです！ 私たちの不便な番号はすべて、実際には暗号化された 2 であることが判明しました。) どこかで非常に高度に暗号化されていることに異論はありません。 しかし、私たちはそのような暗号を解くプロフェッショナリズムも向上させています。 そして、すべてがすでに明らかです。 方程式では、数値 4、0.25、および 2 の根を 2 のべき乗に置き換えます。

全て！ この例のすべての次数の基数は同じ 2 になりました。 そして、度付きの標準アクションが使用されるようになりました。

午前あ、ん = 午前 + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

左側の場合、次のようになります。

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

右側の場合は次のようになります。

そして今、私たちの邪悪な方程式は次のようになります。

この方程式がどのようにして生まれたのか正確に理解していない人のために言っておきますが、ここでの質問は指数方程式に関するものではありません。 問題は程度を伴う行為についてです。 お困りの方に緊急リピートしていただきました！

ここがフィニッシュラインです！ 指数方程式の正準形式が得られました。 それで、どうやって？ すべてはそれほど怖いものではないということを納得していただけたでしょうか？ ;) 2 を削除し、インジケーターを同等にします。

あとは解決するだけです 一次方程式。 どうやって？ もちろん、同じ変換の助けを借りてです。) 何が起こっているかを決定してください! 両辺に 2 を掛けて (分数 3/2 を取り除くため)、X の付いた項を左に移動し、X の付いていない項を右に移動し、類似した項を持ってきて、数えてください。そうすれば、満足できるでしょう。

すべてが美しくなるはずです。

X=4

では、もう一度解決策を考えてみましょう。 この例では、からの移行によって助けられました。 平方根 に 指数 1/2 の次数。 さらに、このような狡猾な変換だけが、私たちがどこにでも到達できるようにするのに役立ちました 同じベース（2つ）、これで状況は救われました！ そして、それがなければ、私たちは永遠にフリーズし、この例に対処することができなくなる可能性が十分にあります、そうです...

したがって、私たちは次の実践的なアドバイスを無視しません。

指数方程式に根が含まれている場合は、根から小数指数を含む累乗に移動します。 非常に多くの場合、そのような変換だけがさらなる状況を明らかにします。

もちろん、負の累乗および分数累乗はすでに自然累乗よりもはるかに複雑です。 少なくとも視覚的な認識、特に右から左への認識の観点からは！

たとえば、2 の -3 乗や 4 の -3/2 乗などの直接的な乗算がそうでないことは明らかです。 大問題。 詳しい人向け。）

しかし、たとえば次のことにすぐに気づいてください。

0,125 = 2 -3

または

ここでは、練習と豊富な経験のみがルールです、はい。 そしてもちろん、明確なアイデア、 負の分数度とは何ですか?そして - 実践的なアドバイス！ はい、はい、それらと同じものです 緑.) それらが今後もあなたがさまざまな学位をよりよく乗り越え、成功の可能性を大幅に高めるのに役立つことを願っています。 ですから、それらを無視しないようにしましょう。 私は無駄ではない 緑時々書きます。）

しかし、負の力や分数の力などの特殊な能力であってもお互いを知るようになれば、指数方程式を解く能力は大幅に拡大し、ほぼすべてのタイプの指数方程式を処理できるようになります。 そうですね、何もないとしても、すべての指数方程式の 80% は間違いなく当てはまります。 はい、はい、冗談ではありません！

これで、指数方程式の入門の最初の部分は論理的な結論に達しました。 そして、中間のトレーニングとして、私は伝統的に、少し内省することをお勧めします。)

演習 1.

負のべき乗と分数べき乗の解読についての私の言葉が無駄にならないように、ちょっとしたゲームをしてみることをお勧めします。

数値を 2 のべき乗として表現します。

答え（混乱中）：

起こりました？ 素晴らしい！ 次に、戦闘ミッションを実行します。最も単純な指数方程式を解きます。

タスク2。

方程式を解きます (答えはすべてめちゃくちゃです!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

答え:

x = 16

バツ 1 = -1; バツ 2 = 2

バツ = 5

起こりました？ 実際、それははるかに簡単です!

それから私たちが決めます 次のバッチ:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

答え:

バツ 1 = -2; バツ 2 = 2

バツ = 0,5

バツ 1 = 3; バツ 2 = 5

そして、これらの例は残り 1 つですか? 素晴らしい！ あなたは成長しています！ 次に、軽食としてさらにいくつかの例を示します。

答え:

バツ = 6

バツ = 13/31

バツ = -0,75

バツ 1 = 1; バツ 2 = 8/3

で、これは決まったのか？ まあ、敬意を表します！ 脱帽です） ということで、今回のレッスンは無駄ではなかったですし、 最初のレベル指数方程式を解くことは、首尾よくマスターされたと考えられます。 次のレベル以上が待っています 複雑な方程式！ そして新しい技術とアプローチ。 そして 非標準的な例。 そして新たな驚きも。）これについてはすべて次のレッスンで説明します。

何か問題がありましたか？ これは、問題が にある可能性が高いことを意味します。 または で。 あるいは両方を一度に。 ここでは私は無力です。 入ることができます もう一度私が提案できることは 1 つだけです。怠惰にせずリンクに従ってください。)

つづく。）

指数関数 (e の x 乗) のグラフと基本特性が示されています: 定義領域、値のセット、基本公式、導関数、積分、展開 パワーシリーズ、とのアクション 複素数.

意味

プライベートな価値観

させてください (x) = e x。 それから
.

指数にはべき乗底を持つ指数関数の特性があります。 e > 1 .

ドメイン、値のセット

指数y (x) = e xすべての x に対して定義されます。
その定義領域:
- ∞ < x + ∞ .
その多くの意味:
0 < y < + ∞ .

極端、増加、減少

指数関数は単調増加関数であるため、極値はありません。 その主な特性を表に示します。

逆関数

指数の逆数は自然対数です。
;
.

指数の導関数

デリバティブ e程度に バツに等しい e程度に バツ :
.
n次微分:
.
数式の導出 > > >

積分

複素数

複素数の演算は次のように実行されます。 オイラーの公式:
,
ここで虚数単位は次のとおりです。
.

双曲線関数による式

; ;
.

三角関数を使った式

; ;
;
.

べき級数展開

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

指数方程式とは、指数に未知数が含まれる方程式です。 最も単純な指数方程式は、a x = a b の形式になります。ここで、a> 0、a 1、x は不明です。

指数方程式の変換に使用されるべき乗の主な特性: a>0、b>0。

指数方程式を解く場合、指数関数の次の特性も使用されます: y = a x、a > 0、a1:

数値を累乗として表すには、基本的な対数恒等式 (b = 、a > 0、a1、b > 0) を使用します。

「指数方程式」というトピックの問題とテスト

• 指数方程式

  レッスン: 4 課題: 21 テスト: 1

• 指数方程式 - 数学における統一国家試験の復習のための重要なトピック

  タスク: 14

• 指数方程式および対数方程式系 - 指数関数および対数関数 グレード 11

  レッスン: 1 課題: 15 テスト: 1

• §2.1。 指数方程式を解く

  レッスン: 1 タスク: 27

• §7 指数方程式および対数方程式と不等式 - セクション 5. 指数関数と対数関数、グレード 10

  レッスン: 1 タスク: 17

のために 成功した解決策指数方程式 累乗の基本的な性質、指数関数の性質、基本的な対数恒等式を知っておく必要があります。

指数方程式を解くときは、次の 2 つの主な方法が使用されます。

1. 方程式 a f(x) = a g(x) から方程式 f(x) = g(x) への遷移。
2. 新しいラインの導入。

例。

1. 方程式を最も単純なものにしました。 それらは、方程式の両辺を同じ底のべき乗に還元することによって解決されます。

3 x = 9 x – 2。

解決：

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4。

答え： 4.

2. 括弧内の共通因数を取り出すことで方程式を解きます。

解決：

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 × – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3。

答え： 3.

3. 変数を変更して方程式を解きます。

解決：

2 2x + 2 x – 12 = 0
2 x = y と表します。
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3。
a) 2 x = - 4。この方程式には解がありません。 2 x > 0。
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

答え：ログ2 3.

4. 2 つの異なる (互いに還元できない) 基底を持つ累乗を含む方程式。

3 × 2 × + 1 - 2 × 5 × – 2 = 5 x + 2 x – 2。

3×2×＋1－2×－2＝5×－2×5×－2
2×－2×23＝5×－2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x – 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2。

答え： 2.

5. a x および b x に関して同次の方程式。

一般的な形式: .

9 × + 4 × = 2.5 × 6 ×。

解決：

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0。
(3/2) x = y と表します。
y 2 – 2.5y + 1 = 0、
y 1 = 2; y 2 = 1/2。

答え：ログ 3/2 2; -ログ3/2 2．

1°。 指数方程式指数に変数を含む方程式と呼ばれます。

指数方程式を解くことはべき乗の性質に基づいています。同じ底を持つ 2 つのべき乗は、それらの指数が等しい場合にのみ等しくなります。

2°。 指数方程式を解くための基本的な方法:

1) 最も単純な方程式には解があります。

2) 底を対数にした形の方程式 ある 形に還元する。

3) 次の形式の方程式は、方程式 と同等です。

4) の形の方程式 は方程式と等価です。

５）次の形式の方程式を方程式への代入によって簡略化してから、一連の単純な指数方程式を解きます。

6) 逆数を使った方程式 代入によって方程式に帰着し、一連の方程式を解きます。

7) に関して同次方程式 g(x)そして b g(x)とすれば タイプ 代入によって方程式に帰着し、一連の方程式を解きます。

指数方程式の分類。

1. 1 つの底に行くことで方程式が解けます.

例 18. 方程式を解く .

解決策: すべてのべき乗の基数は 5 のべき乗であるという事実を利用しましょう。

2. 1 つの指数を渡して方程式を解く.

これらの方程式は、元の方程式を次の形式に変換することで解決されます。 、これは、比例の特性を使用して最も単純なものに縮小されます。

例 19. 方程式を解きます。

3. 括弧内の共通因数を取り出すことで方程式を解く.

方程式内の各指数が他の指数と特定の数値だけ異なる場合、最小の指数を持つ指数を括弧の外に置くことによって方程式が解かれます。

例 20. 方程式を解きます。

解決策: 方程式の左側の括弧から最小の指数をもつ次数を取得しましょう。

例 21. 方程式を解く

解決策: 方程式の左側で基数 4 の累乗を含む項を、右側で底数 3 の累乗をそれぞれグループ化して、最小の指数を持つ累乗を括弧の外に置きます。

4. 二次 (または三次) 方程式に帰着する方程式.

に 二次方程式新しい変数 y に関して、次の方程式が簡略化されます。

a) この場合、置換の種類。

b) 置換のタイプ、および 。

例 22. 方程式を解く .

解決策: 変数を変更して二次方程式を解いてみます。

.

答え: 0; 1.

5. 指数関数に関して同次の方程式。

次の形式の方程式は、 同次方程式未知のものと比べて2度 ×そして bx。 このような方程式は、まず両辺を で除算し、次にそれらを 2 次方程式に代入することによって簡略化されます。

例 23. 方程式を解きます。

解決策: 方程式の両辺を次のように割ります。

を置くと、根を持つ二次方程式が得られます。

さて、問題は一連の方程式を解くことになります。 。 最初の方程式から次のことがわかります。 2 番目の方程式には根がありません。どのような値であっても バツ.

答え: -1/2。

6. 指数関数に関する有理方程式.

例 24. 方程式を解きます。

解決策: 分数の分子と分母を次で割ります。 3×そして、2 つの指数関数の代わりに 1 つの指数関数が得られます。

7. 次の形式の方程式 .

このような集合のある方程式 許容可能な値(ODZ) は、条件によって決定され、方程式の両辺の対数を取ることによって等価方程式に変換され、その結果、2 つの方程式のセットと等価になります。

例 25. 方程式を解きます。

.

教訓的な教材。

方程式を解きます。

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. 方程式の根の積を求めます .

27. 方程式の根の和を求めます .

式の意味を調べます。

28. 、ここで ×0- 方程式の根。

29. 、ここで ×0– 方程式の全根 .

方程式を解きます。

31. ; 32. .

答え: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4.0、0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1、3; 10.8; 11.5; 12.1; 13. 1/4; 14.2; 15. -2、-1; 16. -2、1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1、0; 21. -2、2; 22. -2、2; 23.4; 24. -1、2; 25. -2、-1、3; 26. -0.3; 27.3; 11月28日。 29.54; 30. -1、0、2、3; 31. ; 32.

議題その8。

指数関数的不等式。

1°。 指数に変数を含む不等式は次のように呼ばれます。 指数関数的不平等。

2°。 解決 指数関数的不等式 type は次のステートメントに基づいています。

の場合、不等式は ; と等価です。

の場合、不等式は と同等です。

指数不等式を解くときは、指数方程式を解くときと同じ手法が使用されます。

例 26. 不等式を解く (1拠点への移行方法).

解決策: なぜなら の場合、指定された不等式は次のように書くことができます。 。 であるため、この不等式は次の不等式と等価です。 .

最後の不等式を解くと、 が得られます。

例 27. 不等式を解きます: ( 括弧内の共通因数を取り出すことによって).

解決策: 不等式の左側の括弧を外し、不等式の右側を (-2) で割って、不等式の符号を反対に変えてみましょう。

以来、指標の不等号に移行すると、不等号の符号は再び反対に変わります。 我々が得る。 したがって、この不等式に対するすべての解の集合が区間です。

例 28. 不等式を解く ( 新しい変数を導入することで).

解決策: しましょう。 このとき、この不等式は次のような形になります。 または 、その解は 区間 です。

ここから。 関数が増えるので、 。

教訓的な教材。

不等式の解のセットを指定します。

1. ; 2. ; 3. ;

6. どのような値で バツ関数グラフ上の点は直線より下にありますか?

7. どのような値で バツ関数のグラフ上の点は少なくとも直線と同じくらい低い位置にありますか?

不等式を解く：

8. ; 9. ; 10. ;

13. 不等式の最大の整数解を指定します。 .

14. 不等式の最大整数と最小整数の積を求めます。 .

不等式を解く：

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

関数のドメインを見つけます。

27. ; 28. .

29. 各関数の値が 3 より大きい引数値のセットを見つけます。

そして .

答え: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )