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サンプルセグメント上の関数の最小値を見つけます。関数のグラフを勉強する

このサービスでできることは、 最大のものを見つけて、最小値機能 Word でフォーマットされたソリューションを含む 1 つの変数 f(x)。したがって、関数 f(x,y) が与えられた場合、2 つの変数の関数の極値を見つける必要があります。関数の増加と減少の間隔を見つけることもできます。

関数の入力ルール:

1変数関数の極値の必要条件

方程式 f" 0 (x *) = 0 は次のようになります。必要な条件 1 つの変数の関数の極値、つまり点 x * では、関数の一次導関数は消滅する必要があります。これは、関数が増加または減少しない静止点 x c を特定します。

1 変数の関数の極値の十分条件

f 0 (x) が集合 D に属する x に関して 2 回微分可能であるとします。点 x * で条件が満たされる場合:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

この場合、点 x * は関数の局所 (大域) 最小点になります。

点 x * で条件が満たされる場合:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

この場合、点 x * は局所 (全体) 最大値になります。

例その1。セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけます。
解決。

臨界点は 1 x 1 = 2 (f’(x)=0) です。この点はセグメントに属します。 (0∉ であるため、点 x=0 は重要ではありません)。
セグメントの終端と臨界点での関数の値を計算します。
f(1)=9、f(2)=5 / 2、f(3)=3 8 / 81
答え: x=2 で f min = 5 / 2; x=1 で f max =9

例その2。高次導関数を使用して、関数 y=x-2sin(x) の極値を見つけます。
解決。
関数の導関数 y’=1-2cos(x) を求めます。臨界点を見つけてみましょう: 1-cos(x)=2、cos(x)=1/2、x=± π / 3 +2πk、k∈Z。 y''=2sin(x) を見つけて計算します。これは、x= π / 3 +2πk、k∈Z が関数の最小点であることを意味します。これは、x=- π / 3 +2πk、k∈Z が関数の最大点であることを意味します。

例その3。点 x=0 付近の極値関数を調べます。
解決。ここで関数の極値を見つける必要があります。極値 x=0 の場合、そのタイプ (最小値または最大値) を調べます。見つかった点の中に x = 0 がない場合は、関数 f(x=0) の値を計算します。
特定の点の各辺の導関数の符号が変わらない場合、微分可能な関数であっても考えられる状況はすべて網羅されていないことに注意してください。点 x 0 または x 0 の片側の任意の小さな近傍に対して、次のようなことが起こる可能性があります。両側で導関数の符号が変わります。これらの点では、他の方法を使用して極値での関数を研究する必要があります。

関数としての数学的解析の対象の研究は非常に重要です意味そして他の科学分野でも。たとえば、経済分析では、行動を評価する必要が常にあります。機能利益、つまり最大の利益を決定する意味そしてそれを達成するための戦略を策定します。

説明書

あらゆる行動の研究は、常に定義領域の検索から始める必要があります。通常、特定の問題の条件に応じて、最大の値を決定する必要があります。意味機能このエリア全体、または開いた境界線または閉じた境界線を使用してその特定の間隔にわたっています。

に基づくと、最大のものは意味機能 y(x0)。定義域内の任意の点について、不等式 y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) が成立します。グラフ的には、引数の値が横軸に沿って配置され、関数自体が縦軸に沿って配置された場合、この点が最高になります。

最大のものを決定するには意味機能、3 ステップのアルゴリズムに従います。片側およびを操作でき、導関数を計算できなければならないことに注意してください。したがって、ある関数 y(x) が与えられ、その最大値を見つける必要があります。意味境界値AとBを持つ一定の間隔で。

この間隔が定義の範囲内であるかどうかを調べます機能。これを行うには、考えられるすべての制限を考慮して式を見つける必要があります。式内の分数の存在、平方根等定義域は、関数が意味をなす引数値のセットです。指定された間隔がそのサブセットであるかどうかを判断します。「はい」の場合は、次のステップに進みます。

導関数を求めます機能そして、導関数をゼロに等しくして、結果の方程式を解きます。このようにして、いわゆる静止点の値を取得します。少なくとも 1 つが区間 A、B に属するかどうかを評価します。

3 番目の段階では、これらの点を考慮して、その値を関数に代入します。間隔のタイプに応じて、次の追加手順を実行します。 [A, B] の形式のセグメントがある場合、境界点は括弧で示されます。値の計算機能 x = A および x = B の場合。間隔が開いている場合 (A、B)、境界値はパンクチャされます。は含まれていません。 x→A および x→B の片側極限を解きます。 [A, B) または (A, B) の形式の結合区間。その境界の一方はそれに属し、もう一方は属さない無限の両側区間 (-∞、+∞) または次の形式の片側無限区間: 実数制限 A および B については、すでに説明した原則に従って処理します。無限の場合は、それぞれ x→-∞ と x→+∞ の極限を探します。

この段階でのタスク

多くの場合、物理学や数学では、関数の最小値を見つけることが必要になります。これからその方法を説明します。

関数の最小値を見つける方法: 命令

特定のセグメントの連続関数の最小値を計算するには、次のアルゴリズムに従う必要があります。
関数の導関数を求めます。
指定されたセグメント上で、導関数がゼロに等しい点とすべての臨界点を見つけます。次に、これらの点での関数の値を見つけます。つまり、x が 0 に等しい方程式を解きます。どの値が最小であるかを調べます。
関数が持つ値を決定するエンドポイント。これらの点における関数の最小値を決定します。
取得したデータを最小値と比較します。結果の数値のうち小さい方が関数の最小値になります。

セグメント上の関数に最小点がない場合は、そのセグメント上で関数が増加または減少していることを意味することに注意してください。したがって、最小値は関数の有限セグメントで計算する必要があります。

それ以外の場合はすべて、関数値は指定されたアルゴリズムに従って計算されます。アルゴリズムの各ポイントで、単純な問題を解決する必要があります。一次方程式 1つの根で。間違いを避けるために、画像を使用して方程式を解きます。

半開セグメント上の関数の最小値を見つけるにはどうすればよいでしょうか? 関数の半開または開期間における最小値は次のように求められます。関数値の終点で、関数の片側極限を計算します。言い換えれば、傾向点が値 a+0 と b+0 で与えられる方程式を解きます。ここで、a と b は臨界点の名前です。

これで、関数の最小値を見つける方法がわかりました。重要なことは、すべての計算を正しく、正確に、エラーなく行うことです。

この記事では、関数の研究に関数の最大値または最小値を見つけるという検索スキルを適用する方法について説明します。次に、オープンバンクのタスクのタスク B15 からいくつかの問題を解決します。

いつものように、まずは理論を覚えましょう。

関数の研究の初めに、私たちはそれを見つけます。

関数の最大値または最小値を見つけるには、関数がどの間隔で増加し、どの間隔で減少するかを調べる必要があります。

これを行うには、関数の導関数を見つけて、その定数符号の区間、つまり導関数がその符号を保持する区間を調べる必要があります。

関数の導関数が正となる区間は、関数が増加する区間です。

関数の導関数が負になる区間は、減少関数の区間です。

1. 課題B15(No.245184)を解いてみよう

これを解決するには、次のアルゴリズムに従います。

a) 関数の定義域を見つける

b) 関数の導関数を求めてみましょう。

c) それをゼロにしましょう。

d) 関数の定数符号の間隔を求めてみましょう。

e) 関数が最大値をとる点を見つけます。

f) この時点での関数の値を求めます。

このタスクの詳細な解決策は、ビデオチュートリアルで説明しています。

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ファイアーフォックス

2. 課題B15（No.282862）を解いてみよう

関数の最大値を見つけるセグメント上で

この関数がセグメントの最大値 (x=2) で最大値を取ることは明らかです。この時点での関数の値を見つけてみましょう。

答え: 5

3. タスク B15 (No. 245180) を解決しましょう。

関数の最大値を見つける

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. 元の関数の定義ドメインによると、 title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. 分子ゼロに等しいで。該当するか確認しましょう ODZ関数。これを行うには、条件 title="4-2x-x^2>0"> при .!}

タイトル="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

これは、その点が ODZ 関数に属していることを意味します。

点の左右の導関数の符号を調べてみましょう。

関数が点で最大値をとることがわかります。次に、次の関数の値を見つけてみましょう。

注意 1. この問題では、関数の定義域が見つかっていないことに注意してください。制限を修正し、導関数が 0 に等しい点が関数の定義域に属するかどうかを確認しただけです。このタスクにはこれで十分であることがわかりました。ただし、常にそうとは限りません。それはタスクによって異なります。

注2. 行動を研究する場合複素関数このルールを使用できます。

複素関数の外部関数が増加している場合、その関数は同じ点で最大値をとります。内部関数が最大の値をとります。これは増加関数の定義から導き出されます。つまり、この区間からの引数のより大きな値が関数のより大きな値に対応する場合、関数は区間 I で増加します。
複素関数の外側の関数が減少している場合、内側の関数が最小値をとるのと同じ点で関数は最大値をとる。これは、減少関数の定義から導き出されます。つまり、この区間からの引数のより大きな値が関数のより小さな値に対応する場合、関数は区間 I で減少します。

この例では、定義領域全体にわたって外部関数が増加します。対数の符号の下には、平方三項式という式があります。これは負の先行係数を持ち、その点で最大の値をとります。。次に、この x 値を関数方程式に代入します。そしてその最大の価値を見出します。

実用的な観点から見ると、最も興味深いのは、導関数を使用して関数の最大値と最小値を見つけることです。これは何と関係があるのでしょうか？利益の最大化、コストの最小化、設備の最適な負荷の決定...言い換えれば、生活の多くの分野で、いくつかのパラメーターを最適化するという問題を解決する必要があります。そして、これらは関数の最大値と最小値を見つけるタスクです。

関数の最大値と最小値は通常、関数の領域全体または定義領域の一部である特定の間隔 X で求められることに注意してください。区間 X 自体はセグメント、つまり開いた区間にすることができます。、無限の間隔。

この記事では、最大値と最小値を明示的に見つける方法について説明します。与えられた関数 1 つの変数 y=f(x) 。

ページナビゲーション。

関数の最大値と最小値 - 定義、図。

主な定義を簡単に見てみましょう。

関数の最大値 それは誰にとっても不平等は真実です。

関数の最小値区間 X 上の y=f(x) をそのような値と呼びますそれは誰にとっても不平等は真実です。

これらの定義は直観的です。関数の最大 (最小) 値は、横軸で考慮されている区間で許容される最大 (最小) 値です。

静止点– これらは、関数の導関数がゼロになる引数の値です。

最大値と最小値を見つけるときに静止点が必要なのはなぜですか? この質問に対する答えは、フェルマーの定理によって得られます。この定理から、微分可能関数がある点で極値 (極小値または極大値) を持つ場合、その点は定常であることがわかります。したがって、関数は多くの場合、間隔 X の静止点の 1 つでその間隔の最大 (最小) 値を取得します。

また、関数は、この関数の一次導関数が存在せず、関数自体が定義されている時点で最大値と最小値を取ることがよくあります。

このトピックに関する最も一般的な質問の 1 つである「関数の最大 (最小) 値を決定することは常に可能ですか?」にすぐに答えてみましょう。いいえ、いつもではありません。場合によっては、区間 X の境界が関数の定義域の境界と一致するか、区間 X が無限になることがあります。また、無限大および定義領域の境界にある一部の関数は、無限に大きい値と無限に小さい値の両方を取ることができます。このような場合、関数の最大値と最小値については何も言えません。

わかりやすくするために、図解を示します。写真を見れば、多くのことがより明らかになるでしょう。

セグメント上

最初の図では、関数はセグメント [-6;6] 内にある静止点の最大値 (最大 y) と最小値 (最小 y) を取得します。

2 番目の図に示されているケースを考えてみましょう。セグメントをに変更しましょう。この例では、関数の最小値は次の時点で得られます。静止点、そして最大 - 間隔の右側の境界に対応する横座標を持つ点で。

図 3 では、セグメント [-3;2] の境界点は、関数の最大値と最小値に対応する点の横座標です。

開いた間隔で

4 番目の図では、関数は開いた区間 (-6;6) 内にある静止点で最大値 (最大 y) と最小値 (最小 y) を取得します。

区間では、最大値について結論を引き出すことはできません。

無限遠で

7 番目の図に示す例では、関数は横座標 x=1 の静止点で最大値 (max y) をとり、最小値 (min y) は区間の右側の境界で得られます。マイナス無限大では、関数値は漸近的に y=3 に近づきます。

間隔全体にわたって、関数は最小値にも最大値にも到達しません。右から x=2 に近づくにつれて関数値はマイナス無限大に近づく傾向があり (直線 x=2 は垂直方向の漸近線です)、横軸がプラス無限大に近づくにつれて関数値は y=3 に漸近します。この例を図示したものを図 8 に示します。

セグメント上の連続関数の最大値と最小値を見つけるためのアルゴリズム。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけることができるアルゴリズムを書いてみましょう。

関数の定義領域を見つけて、その定義領域にセグメント全体が含まれているかどうかを確認します。
一次導関数が存在せず、セグメントに含まれるすべての点を見つけます (通常、そのような点は、モジュラス符号の下に引数を持つ関数内で見つかります) べき乗関数分数有理指数付き)。そのようなポイントがない場合は、次のポイントに進みます。
セグメント内にあるすべての静止点を決定します。これを行うには、これをゼロとみなして、結果の方程式を解き、適切な根を選択します。静止点がない場合、またはセグメントに該当する点がない場合は、次の点に進みます。
選択した静止点 (存在する場合)、一次導関数が存在しない点 (存在する場合)、および x=a および x=b での関数の値を計算します。
取得した関数の値から、最大値と最小値を選択します。それらはそれぞれ、関数に必要な最大値と最小値になります。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つける例を解決するためのアルゴリズムを分析してみましょう。

例。

関数の最大値と最小値を見つける