均一系の溶液には次のような性質があります。 ベクトルの場合 = (α 1 , α 2 ,... ,α n) はシステム (15.14) の解であり、任意の数値に対するものです。 kベクター k = (kα 1 、kα 2 ,..., kα n)このシステムの解決策となります。 システム (15.14) の解がベクトル = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ である場合 n)、次に金額 + もこのシステムの解決策になります。 したがって、 均質系に対する解の線形結合は、この系に対する解でもあります。
セクション 12.2 から分かるように、すべてのシステムは n以上のものから構成される次元ベクトル Pベクトルは線形依存します。 したがって、均質系 (15.14) の解ベクトルのセットから基底を選択できます。 特定のシステムのベクトル解は、この基底のベクトルの線形結合になります。 そのような基礎はすべてと呼ばれます 解決の基本システム均質系 一次方程式。 次の定理は真実ですが、証明なしで提示します。
定理4. システムのランクが r の場合 同次方程式 (15.14) 少ない数未知の n の場合、システムのすべての基本的な解のシステム (15.14) n - r 個のソリューションで構成されます。
ここで、基本解法系 (FSS) を見つける方法を示しましょう。 同次方程式系 (15.14) にランクを持たせる r< п. 次に、クレイマーの法則から次のように、このシステムの基本的な未知の点は次のようになります。 バツ 1 , バツ 2 , … XR自由変数に関して線形表現される xr+ 1 、x r + 2 , ..., ×p:
次の原則に従って、均一系 (15.14) の特定の解を選択してみましょう。 最初の解ベクトル 1 を見つけるために、次のように設定します。 xr+ 1 = 1, xr+ 2 = xr+3 = ... = ×n= 0。次に、2 番目の解 2 を見つけます。受け入れます。 XR+2 = 1 および残り r- 1 つの自由変数をゼロに設定します。 言い換えれば、各自由変数に単位値を順番に割り当て、残りをゼロに設定します。 したがって、最初の要素を考慮した、ベクトル形式の基本的な解の系は、 r基底変数 (15.15) の形式は次のとおりです。
FSR (15.16) は、均質システム (15.14) の基本的な解のセットの 1 つです。
例1.同次方程式系の解と FSR を求める
解決。 この系をガウス法を使用して解きます。 システムの方程式の数は未知数の数よりも少ないので、次のように考えます。 バツ 1 、 バツ 2 , バツ 3 つの基本的な不明点、および バツ 4 、 バツ 5 、 バツ 6 - 自由変数。 システムの拡張マトリックスを構成し、メソッドの直接の過程を構成するアクションを実行してみましょう。
線形同次方程式系- の形式は ∑a k i x i = 0 です。ここで、m > n または m rangA = rangB であるため、同次一次方程式系は常に一貫しています。 明らかに、ゼロで構成される解があり、それは次のように呼ばれます。 つまらない.サービスの目的。 オンライン計算ツールは、SLAE に対する重要かつ根本的な解決策を見つけるように設計されています。 結果のソリューションは Word ファイルに保存されます (ソリューション例を参照)。
説明書。 マトリックスの次元を選択します:
線形同次方程式系の性質
システムが持つためには 重要な解決策、その行列のランクが未知数よりも小さいことが必要かつ十分です。定理。 m=n の場合の系は、この系の行列式がゼロに等しい場合に限り、自明ではない解を持ちます。
定理。 システムに対する解の線形結合は、そのシステムに対する解でもあります。
意味。 線形同次方程式系の解の集合はと呼ばれます。 解決の基本システム、このセットが線形独立した解で構成されており、システムに対する解がこれらの解の線形結合である場合。
定理。 システム行列のランク r が未知数の数 n より小さい場合、(n-r) 個の解から構成される基本的な解系が存在します。
連立一次一次方程式を解くアルゴリズム
- 行列のランクを求める。
- ハイライトします 基本マイナー。 依存（基本）未知と自由未知を区別します。
- 係数が基底マイナーに含まれていないシステムの方程式は、(基底マイナーに関する定理に従って) 他の方程式の結果であるため、取り消し線を引きます。
- 自由未知数を含む方程式の項を右側に移動します。 その結果、与えられたものと等価で、行列式が非ゼロである r 個の未知数をもつ r 方程式系が得られます。
- 未知のものを排除することで、結果として得られるシステムを解決します。 自由変数を介して従属変数を表現する関係が見つかります。
- マトリックスのランクが異なる場合 量に等しい変数を使用して、システムの根本的な解決策を見つけます。
- rang = n の場合、自明な解決策が得られます。
例。 ベクトル系 (a 1、a 2、...、a m) の基底を見つけ、基底に基づいてベクトルをランク付けして表現します。 1 =(0,0,1,-1)、2 =(1,1,2,0)、3 =(1,1,1,1)、4 =(3,2,1)の場合、4)、および 5 =(2,1,0,3)。
システムの主なマトリックスを書き留めてみましょう。
3行目を(-3)倍します。 4 行目を 3 行目に追加しましょう。
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4行目を(-2)倍します。 5行目と(3)を掛けてみましょう。 5 行目を 4 行目に追加してみましょう。
2 行目を 1 行目に追加しましょう。
行列の順位を求めてみましょう。
この行列の係数を持つシステムは元のシステムと同等であり、次の形式になります。
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
未知数を排除する方法を使用して、自明ではない解決策を見つけます。
従属変数 x 1 、 x 2 、 x 3 から自由変数 x 4 までを表す関係を取得しました。つまり、次のことがわかりました。 共通の決定:
× 3 = × 4
× 2 = - × 4
× 1 = - × 4
ガウス法には多くの欠点があります。ガウス法で必要なすべての変換が実行されるまで、システムが一貫しているかどうかを知ることは不可能です。 ガウスの方法は文字係数を持つシステムには適していません。
連立一次方程式を解くための他の方法を考えてみましょう。 これらの方法では、行列ランクの概念を使用し、一貫したシステムの解を、クラマーの法則が適用されるシステムの解に換算します。
例1.縮小均質系の基本解系と不均質系の特定解を使用して、次の線形方程式系の一般解を求めます。
1. マトリックスの作成 あおよび拡張システム マトリックス (1)
2. システムを探索する (1) 一体感のために。 これを行うには、行列のランクを見つけます。 あ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) それが判明した場合、システムは (1) 非互換。 それがわかったら であれば、このシステムは一貫しているので、それを解決します。 (互換性の検討はクロネッカー カペリの定理に基づいています)。
ａ． 我々は気づく rA.
見つけるには rA、行列の 1 次、2 次などの非ゼロのマイナーを順番に考慮します。 あそして彼らを取り囲む未成年者たち。
M1=1≠0 (行列の左上隅から 1 を取り出します) あ).
私たちは国境を接しています M1この行列の 2 行目と 2 列目。 
。 私たちは国境を越え続けます M1 2 行目と 3 列目..gif" width="37" height="20 src=">。次に、ゼロ以外のマイナーの境界線を示します。 M2' 2番目の注文。
我々は持っています： 
(最初の 2 列が同じであるため)
(2 行目と 3 行目は比例しているため)。
それがわかります rA=2、 a は行列の基底マイナーです あ.
b. 我々は気づく。
かなり基本的なマイナー M2'行列 あ無料条件の列とすべての行で囲まれます (最後の行のみがあります)。
。 したがって、 M3''マトリックスの基本マイナーのまま https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
なぜなら M2'- 行列の基底マイナー あシステム (2) の場合、このシステムは次のシステムと同等です。 (3) 、システムの最初の 2 つの方程式で構成されます。 (2) （のために M2'は行列 A) の最初の 2 行にあります。
(3)
基本マイナーなので https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
この系には 2 つの自由な未知数があります ( ×2 そして ×4 ）。 それが理由です FSR システム (4) 2 つのソリューションで構成されます。 それらを見つけるために、自由な未知数を割り当てます。 (4) 価値観を第一に ×2=1 , x4=0 、 その後 - x2=0 , ×4=1 .
で ×2=1 , x4=0 我々が得る：
.
このシステムはすでに 唯一のもの 解決策（クラマーの法則またはその他の方法を使用して見つけることができます）。 2 番目の方程式から最初の式を減算すると、次のようになります。
彼女の解決策はこうなるだろう x1= -1 , x3=0 。 価値観を考えると ×2 そして ×4 を追加すると、システムの最初の基本的な解が得られます。 (2) : .
今、私たちは信じています (4) x2=0 , ×4=1 。 我々が得る：
.
クラマーの定理を使用してこの系を解きます。
.
システムの 2 番目の基本解を取得します。 (2) : .
ソリューション β1 , β2 そして仲直りする FSR システム (2) 。 その場合、その一般的な解決策は次のようになります。
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
ここ C1 , C2 – 任意の定数。
4. 見つけてみましょう プライベート 解決 異種システム(1) 。 段落のように 3 、システムの代わりに (1) 等価なシステムを考えてみましょう (5) 、システムの最初の 2 つの方程式で構成されます。 (1) .
(5)
自由な未知数を右側に移動しましょう ×2そして ×4.
(6)
未知のものを無料で提供しましょう ×2 そして ×4 任意の値、たとえば、 ×2=2 , ×4=1 そしてそれらを入れてください (6) 。 システムを手に入れましょう
このシステムには独自のソリューションがあります (決定要因であるため) M2'0）。 これを（クラマーの定理またはガウスの方法を使用して）解くと、次のようになります。 x1=3 , ×3=3 。 自由な未知数の値を考えると ×2 そして ×4 、 我々が得る 不均質系の特定の解(1)α1=(3,2,3,1)。
5. あとは書き留めるだけです 不均一系の一般解α(1) : 合計に等しい プライベートソリューションこのシステムと 還元された均一系の一般解 (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
これはつまり： 
(7)
6. 検査。システムを正しく解決したかどうかを確認するには (1) 、一般的な解決策が必要です (7) で置き換える (1) 。 それぞれの方程式が恒等式になれば ( C1 そして C2 破棄する必要があります)、解決策は正しく見つかります。
代用させていただきます (7) たとえば、システムの最後の方程式のみ (1) (バツ1 + バツ2 + バツ3 ‑9 バツ4 =‑1) .
結果: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
ここで、-1=-1。 私たちはアイデンティティを手に入れました。 これをシステムの他のすべての方程式で行います (1) .
コメント。通常、チェックは非常に面倒です。 システムの一般的なソリューションでは、次の「部分チェック」を推奨できます。 (1) いくつかの値を任意の定数に代入し、得られた部分解を破棄された方程式（つまり、 (1) には含まれていませんでした。 (5) ）。 アイデンティティを取得できれば、 可能性が高い、システムソリューション (1) 正しく検出されました (ただし、このようなチェックは正確性を完全に保証するものではありません)。 たとえば、次の場合 (7) 置く C2=- 1 , C1=1そうすると、x1=-3、x2=3、x3=-1、x4=0 が得られます。 システム (1) の最後の方程式を代入すると、次のようになります。 - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 つまり、-1=-1。 私たちはアイデンティティを手に入れました。
例2。連立一次方程式の一般解を求める (1) 、基本的な未知の部分を無料のものの観点から表現します。
解決。のように 例1、行列を構成する あこれらの行列の https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ここで、システムの方程式だけを残します。 (1) 、その係数はこの基本マイナーに含まれており (つまり、最初の 2 つの方程式があります)、それらから構成されるシステム (システム (1) と同等) を検討します。
自由未知数をこれらの方程式の右辺に移してみましょう。
システム (9) 右辺を自由項としてガウス法で解きます。
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
オプション 2。
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
オプション 4。
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
オプション 5。
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
オプション 6。
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
すべての自由項がゼロに等しい連立一次方程式はと呼ばれます。 同種の :
均質なシステムは常に一貫性を持っています。 ゼロ (つまらない ） 解決。 どのような条件下で均質系が自明でない解を得るのかという疑問が生じます。
定理5.2。均質システムは、基礎となる行列のランクがその未知数の数より小さい場合にのみ、自明ではない解を持ちます。
結果。 正方均質系は、系の主行列の行列式がゼロに等しくない場合にのみ、自明ではない解を持ちます。
例5.6。システムが非自明な解を持つパラメータ l の値を決定し、次の解を求めます。
解決。 このシステムは、主行列の行列式がゼロに等しい場合、自明ではない解を持ちます。
したがって、l=3 または l=2 の場合、システムは自明ではありません。 l=3 の場合、システムの主行列のランクは 1 です。次に、方程式を 1 つだけ残し、次のように仮定します。 y=あるそして z=b、 我々が得る x=b-a、つまり
l=2 の場合、システムのメイン行列のランクは 2 です。次に、基底としてマイナーを選択します。
簡素化されたシステムが得られます
ここから次のことが分かります x=z/4、y=z/2. 信じる z=4ある、 我々が得る
均一系のすべての解のセットには非常に重要な要素があります。 線形特性 : 列 X の場合 1 そしてX 2 - 均質系の解 AX = 0, 次にそれらの線形結合ある バツ 1+b バツ 2 このシステムの解決策にもなります。 確かに、以来、 斧 1 = 0 そして 斧 2 = 0 、 それ あ( バツ 1+b バツ 2) = a 斧 1+b 斧 2 = a · 0 + b · 0 = 0。この性質のため、線形システムに複数の解がある場合、これらの解は無限に存在します。
線形に独立した列 E 1 , E 2 , エク均一系の解である、と呼ばれます。 解決の基本システム 同次一次方程式系。この系の一般解が次の列の線形結合として記述できる場合:
均質系が n変数、およびシステムのメイン行列のランクは次と等しい r、 それ k = n-r.
例5.7。次の線形方程式系の基本的な解系を求めます。
解決。 システムのメイン行列のランクを見つけてみましょう。
したがって、この方程式系に対する一連の解は、次元の線形部分空間を形成します。 n-r= 5 - 2 = 3. マイナーをベースにしましょう
.
次に、基本方程式 (残りはこれらの方程式の線形結合になります) と基本変数 (残り、いわゆる自由変数を右に移動します) だけを残し、簡略化された連立方程式を取得します。
信じる バツ 3 = ある, バツ 4 = b, バツ 5 = c、 我々は気づく
, 
.
信じる ある= 1, b = c= 0 の場合、最初の基本解が得られます。 信じている b= 1, a = c= 0 の場合、2 番目の基本解が得られます。 信じている c= 1, a = b= 0 の場合、3 番目の基本解が得られます。 その結果、通常の基本的な解決システムは次のような形になります。
基本システムを使用すると、均一システムの一般解は次のように記述できます。
バツ = え 1 + なれ 2 + 中東 3. ある
不均一一次方程式系の解のいくつかの性質に注目してみましょう AX=Bおよび対応する同次方程式系との関係 AX = 0。
異種システムの一般的な解決策は、対応する均質系 AX = 0 の一般解と不均質系の任意の特定解の和に等しい。 確かに、しましょう Y 0 は不均質系の任意の特定の解です。 年 0 = B、 そして Y- 異種システムの一般的な解決策、つまり AY=B。 一方の等式をもう一方の等式から引くと、次のようになります。
あ(Y-Y 0) = 0、つまり Y-Y 0 は、対応する均一系の一般解です。 斧=0。 したがって、 Y-Y 0 = バツ、 または Y = Y 0 + バツ。 Q.E.D.
不均質系の形式を AX = B とします。 1 + B 2 . このようなシステムの一般解は、X = X と書くことができます。 1 + バツ 2 , ここでAX 1 = B 1 とAX 2 = B 2. この性質は、あらゆるものの普遍的な性質を表します。 線形システム(代数、微分、関数など)。 物理学では、この性質は次のように呼ばれます。 重ね合わせの原理、電気および無線工学 - 重ね合わせの原理。 たとえば、線形理論では、 電気回路あらゆる回路内の電流は、各エネルギー源によって個別に発生する電流の代数和として取得できます。
与えられた行列
検索: 1) aA - bB、
解決: 1) 行列に数値を乗算し、行列を加算する規則を使用して、順番に求めます。
2. 次の場合に A*B を求めます。
解決: 行列乗算ルールを使用します。
答え： 
3. 特定の行列について、マイナー M 31 を見つけて行列式を計算します。
解決: マイナー M 31 は、A から得られる行列の行列式です。
3 行目と 1 列目に取り消し線を引いた後、次のことがわかります。
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
行列式を変更せずに行列 A を変換しましょう (行 1 にゼロを作りましょう)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
ここで、行 1 に沿った展開によって行列 A の行列式を計算します。
答え: M 31 = 0、detA = 0
ガウス法とクラマー法を使用して解きます。
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
解決： 確認しよう
クレイマー法を使えばいい
この系の解: x 1 = D 1 / D = 2、x 2 = D 2 / D = -5、x 3 = D 3 / D = 3
ガウス法を適用してみましょう。
システムの拡張行列を三角形の形式に縮小してみましょう。
計算を簡単にするために、行を入れ替えてみましょう。
2行目を(k = -1 / 2 = -1 / 2 )そして3番目に追加します:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
1 行目に (k = -2 / 2 = -1 ) 2 番目に追加します。
元のシステムは次のように記述できます。
× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
2行目からは次のように表現します
1行目から表現します
解決策も同じです。
答え: (2; -5; 3)
システムと FSR の一般解を求めます。
13x 1 – 4x 2 – x 3 – 4x 4 – 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
解決: ガウス法を適用してみましょう。 システムの拡張行列を三角形の形式に縮小してみましょう。
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| ×1 | ×2 | ×3 | ×4 | ×5 |
1行目に(-11)を掛けます。 2行目に(13)を掛けてみましょう。 2 行目を 1 行目に追加しましょう。
| -2 | -2 | -3 | ||
2行目を(-5)倍します。 3行目に(11)を掛けてみましょう。 3 行目を 2 行目に追加しましょう。
3行目に(-7)を掛けます。 4行目に(5)を掛けてみましょう。 4 行目を 3 行目に追加しましょう。
2 番目の方程式は、他の方程式の線形結合です。
行列の順位を求めてみましょう。
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| ×1 | ×2 | ×3 | ×4 | ×5 |
選択されたマイナーは (可能なマイナーの中で) 最高の次数を持ち、ゼロではない (逆対角上の要素の積に等しい) ため、 rang(A) = 2 となります。
このマイナーは基本です。 これには、未知数 x 1 、x 2 の係数が含まれています。これは、未知数 x 1 、x 2 が依存 (基本) であり、x 3 、 x 4 、 x 5 が自由であることを意味します。
この行列の係数を持つシステムは元のシステムと同等であり、次の形式になります。
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
未知数を排除する方法を使用すると、次のようになります。 共通の決定:
× 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5
× 1 = - 1 / 3 × 3
(n-r) 個の解から構成される基本的な解系 (FSS) を見つけます。 この場合、n=5、r=2 であるため、基本的な解系は 3 つの解で構成され、これらの解は線形独立でなければなりません。
行が線形独立であるためには、行要素で構成される行列のランクが行数、つまり 3 に等しいことが必要十分です。
ゼロ以外の 3 次行列式の行から自由未知数 x 3 、 x 4 、 x 5 の値を与え、 x 1 、 x 2 を計算するだけで十分です。
最も単純なゼロ以外の行列式は単位行列です。
でも、ここを利用する方が便利です
一般的な解決策を使用すると、次のことがわかります。
a) x 3 = 6、x 4 = 0、x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2、x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4Þ
FSR の決定: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0、x 4 = 6、x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0、x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II FSR ソリューション: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0、x 4 = 0、x 5 = 6 × x 1 = - 1/3 x 3 = 0、x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
FSR の III 決定: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0)、(0; -6; 0; 6;0)、(0; - 9; 0; 0;6)
6. 与えられた場合: z 1 = -4 + 5i、z 2 = 2 – 4i。 検索: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
解決: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
答え: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i
