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複素関数の例の導関数を求めます。デリバティブの計算ルール

この記事では、複素関数のような重要な数学的概念について説明し、導関数を求める方法を学びます。複素関数.

複素関数の導関数を求める前に、複素関数の概念、それが何であるか、「何と一緒に食べるか」、「正しく調理する方法」を理解しましょう。

任意の関数、たとえば次の関数を考えてみましょう。

関数方程式の右辺と左辺の引数は同じ数値または式であることに注意してください。

変数の代わりに、たとえば次の式を入れることができます。そして関数を取得します

この式を中間引数と呼び、関数を - 外部関数。これらは厳密な数学的概念ではありませんが、複素関数の概念の意味を理解するのに役立ちます。

複素関数の概念の厳密な定義は次のとおりです。

関数をセット上で定義し、この関数の値のセットとする。セット (またはそのサブセット) を関数の定義領域とします。それぞれに番号を割り当ててみましょう。したがって、関数はセット上で定義されます。これを関数合成または複素関数と呼びます。

この定義では、用語を使用すると、外部関数は中間引数です。

複素関数の導関数は、次の規則に従って求められます。

より明確にするために、このルールを次のように書きます。

この式において、using は中間関数を示します。

それで。 複素関数の導関数を求めるには、次のものが必要です。

1. どの関数が外部関数であるかを判断し、導関数の表から対応する導関数を見つけます。

2. 中間引数を定義します。

この手順で最大の困難は外部関数を見つけることです。これには単純なアルゴリズムが使用されます。

A. 関数の方程式を書き留めます。

b. x の値に対して関数の値を計算する必要があると想像してください。これを行うには、この x 値を関数方程式に代入し、算術演算を実行します。最後に実行するアクションは外部関数です。

たとえば、関数では

最後のアクションは累乗です。

この関数の導関数を求めてみましょう。これを行うには、中間引数を作成します。

複素関数の導関数の公式を使用して導関数を計算する例が示されています。

ここでは、次の関数の導関数を計算する例を示します。
; ; ; ; .

関数が次の形式の複素関数として表現できる場合:
,
次に、その微分値は次の式で求められます。
.
以下の例では、この式を次のように記述します。
.
どこ。
ここで、微分記号の下にある添字またはは、微分が実行される変数を示します。

通常、導関数の表では、変数 x からの関数の導関数が与えられます。ただし、x は仮パラメータです。変数 x は他の変数に置き換えることができます。したがって、関数を変数から微分するときは、導関数の表で変数 x を変数 u に変更するだけです。

簡単な例

例1

複素関数の導関数を求める
.

解決

書き留めてみましょう与えられた関数同等の形式で:
.
導関数の表には次のことがわかります。
;
.

複素関数の導関数の公式によれば、次のようになります。
.
ここ。

答え

例 2

導関数を求めます
.

解決

導関数の符号と導関数の表から定数 5 を取り出します。
.

.
ここ。

答え

例 3

導関数を求めます
.

解決

定数を取り出します -1 導関数の符号について、導関数の表から次のことがわかります。
;
導関数の表から次のことがわかります。
.

複素関数の導関数に公式を適用します。
.
ここ。

答え

より複雑な例

さらに詳しく複雑な例複素関数を微分するためのルールを数回適用します。この場合、端から導関数を計算します。つまり、関数をそのコンポーネント部分に分割し、次を使用して最も単純な部分の導関数を見つけます。デリバティブの表。私たちも使っています合計を微分するための規則、積と分数。次に、置換を行って、複素関数の導関数の公式を適用します。

例 4

導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、その導関数を求めてみましょう。。

.
ここでは次の表記を使用しました
.

得られた結果を使用して、元の関数の次の部分の導関数を見つけます。合計を微分するためのルールを適用します。
.

もう一度、複素関数の微分の法則を適用します。

.
ここ。

答え

例5

関数の導関数を求めます
.

解決

式の最も単純な部分を選択し、導関数の表からその導関数を見つけてみましょう。。

複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ
.

また、複素関数の導関数に関する定理は次のように定式化されます。

1) 関数 $u=\varphi (x)$ がある時点で導関数 $x_0$ を持つ、2) 関数 $y=f(u)$ があるとします。対応する点 $u_0=\varphi (x_0)$ には導関数 $y_(u)"=f"(u)$ があります。次に、前述の点の複素関数 $y=f\left(\varphi (x) \right)$ も、関数 $f(u)$ と $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

または、短い表記では $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ となります。

このセクションの例では、すべての関数は $y=f(x)$ の形式をとります (つまり、1 つの変数 $x$ の関数のみを考慮します)。したがって、すべての例で、導関数 $y"$ は変数 $x$ に関して取得されます。導関数が変数 $x$ に関して取得されることを強調するために、多くの場合、$y の代わりに $y"_x$ が記述されます。「$。

事例No.1、事例No.2、事例No.3の概要詳しいプロセス複素関数の導関数を見つけること。例 4 は導関数テーブルをより完全に理解することを目的としており、よく理解しておくと意味があります。

例 1 ～ 3 の内容を学習した後、次に進むことをお勧めします。独立した決定例No.5、No.6、No.7。例 #5、#6、および #7 には、読者が結果の正確さを確認できるように短い解決策が含まれています。

例その1

関数 $y=e^(\cos x)$ の導関数を求めます。

複素関数 $y"$ の導関数を見つける必要があります。$y=e^(\cos x)$ なので、$y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ となります。導関数 $ \left(e^(\cos x)\right)"$ を求めるには、導関数の表の式 6 を使用します。式 6 を使用するには、この場合 $u=\cos x$ であることを考慮する必要があります。さらなる解決策は、$u$ の代わりに式 $\cos x$ を式 6 に単純に代入することです。

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ここで、式 $(\cos x)"$ の値を見つける必要があります。再び導関数の表に戻り、そこから式 10 を選択します。式 10 に $u=x$ を代入すると、次のようになります。 : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ では、等式 (1.1) を続けて、見つかった結果を補足します。

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ なので、等式 (1.2) を継続します。

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

したがって、等式 (1.3) から、 $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ が得られます。当然のことながら、通常は説明と中間等式は省略され、導関数の結果を 1 行で記述します。等式 ( 1.3) のように、複素関数の導関数が求まったので、あとは答えを書き留めるだけです。

答え: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$。

例その2

関数 $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ の導関数を求めます。

導関数 $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ を計算する必要があります。まず、定数 (つまり数値 9) が微分符号から取り出せることに注意してください。

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ここで、式 $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ に移りましょう。導関数の表から目的の式を選択しやすくするために、次の式を提示します。問題は次の形式です: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$。ここで、式 2 を使用する必要があることは明らかです。 $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$。 $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ と $\alpha=12$ をこの式に代入してみましょう。

得られた結果で等式 (2.1) を補足すると、次のようになります。

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

この状況では、最初のステップでソルバーが式の代わりに $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ という式を選択するときに間違いが発生することがよくあります。 $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$。重要なのは、外部関数の導関数が最初に来る必要があるということです。どの関数が式 $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ の外部になるかを理解するには、式 $\arctg^(12)(4\cdot 5^) の値を計算していると想像してください。 x)$ のある値 $x$ 。まず $5^x$ の値を計算し、その結果を 4 で乗算して $4\cdot 5^x$ を取得します。次に、この結果から逆正接を取得し、$\arctg(4\cdot 5^x)$ を取得します。次に、結果の数値を 12 乗して、$\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ を取得します。最後のアクション、つまり 12 乗は外部関数になります。そしてこれから、等式で導関数を求め始めなければなりません (2.2)。

次に、$(\arctg(4\cdot \ln x))"$ を見つける必要があります。導関数テーブルの式 19 を使用し、それに $u=4\cdot \ln x$ を代入します。

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ を考慮して、結果の式を少し単純化してみましょう。

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

等式 (2.2) は次のようになります。

$(4\cdot \ln x)"$ を見つけることが残っています。微分符号から定数 (つまり 4) を取り出しましょう: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$ を見つけるには、式 8 を使用し、$u=x$ を代入します。 $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x 「$。 $x"=1$ なので、$(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) となります。得られた結果を式 (2.3) に代入すると、次のようになります。

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))

最後の等式で書いたように、複素関数の導関数はほとんどの場合 1 行で見つかることを思い出してください。したがって、標準計算や制御作業を作成する際には、解法をそれほど詳細に記述する必要はまったくありません。

答え: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$。

例その3

関数 $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ の $y"$ を求めます。

まず、関数 $y$ を少し変形して、根号 (ルート) を累乗として表します。 $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$。それでは導関数を求めてみましょう。 $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ なので、次のようになります。

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

導関数の表の式 2 を使用して、$u=\sin(5\cdot 9^x)$ と $\alpha=\frac(3)(7)$ を代入してみましょう。

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

得られた結果を使用して等式 (3.1) を続けてみましょう。

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

次に、$(\sin(5\cdot 9^x))"$ を見つける必要があります。このために、導関数の表の式 9 を使用し、それに $u=5\cdot 9^x$ を代入します。

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

得られた結果で等式 (3.2) を補足すると、次のようになります。

$(5\cdot 9^x)"$ を見つけることが残っています。まず、微分符号の外側の定数 (数値 $5$) を取得しましょう。つまり、$(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$。導関数 $(9^x)"$ を求めるには、導関数の表の公式 5 を適用し、$a=9$ と $u=x$ を代入します。 $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$。 $x"=1$ なので、$(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ になります。これで等式 (3.3) を続けることができます。

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x。 $$

$\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ を $\ の形式で書くと、べき乗から根号 (ルートなど) に再び戻ることができます。 frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$。次に、導関数は次の形式で記述されます。

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))。

答え: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$。

例4

導関数の表の式 No.3 と No.4 が、この表の式 No.2 の特殊なケースであることを示してください。

導関数表の式No.2には関数$u^\alpha$の導関数が含まれています。 $\alpha=-1$ を式 2 に代入すると、次のようになります。

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ および $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ であるため、等式 (4.1) は次のように書き換えることができます。 $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$。微分表の式No.3です。

再び導関数表の式 2 に戻りましょう。これに $\alpha=\frac(1)(2)$ を代入してみましょう。

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ かつ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ の場合、等式 (4.2) は次のように書き換えることができます。

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

結果として得られる等式 $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ が導関数表の式 4 です。ご覧のとおり、導関数テーブルの式 No.3 と No.4 は、式 No.2 に対応する $\alpha$ 値を代入することで得られます。

定義に従えば、ある点における関数の導関数は、関数の増分の比率の限界 Δ になります。 y引数の増分Δにバツ:

すべてが明らかになったようです。ただし、この式を使用して、たとえば関数の導関数を計算してみてください。 f(バツ) = バツ 2 + (2バツ+ 3) · e バツ罪バツ。定義どおりにすべてを実行すると、数ページの計算の後、ただ眠ってしまうだけです。したがって、より簡単で効果的な方法があります。

まず最初に、さまざまな関数全体から、いわゆる初等関数を区別できることに注目します。これらは比較的単純な式であり、その導関数は長い間計算され、テーブルに入力されてきました。このような関数は、その派生関数とともに覚えておくのが非常に簡単です。

初等関数の導関数

基本関数は以下にリストされているものすべてです。これらの関数の導関数は暗記しておく必要があります。さらに、それらを暗記することはまったく難しくありません。だからこそ、それらは初歩的なものなのです。

したがって、初等関数の導関数は次のようになります。

名前	関数	デリバティブ
絶え間ない	f(バツ) = C, C ∈ R	0 (はい、ゼロです!)
有理指数によるべき乗	f(バツ) = バツ n	n · バツ n − 1
副鼻腔	f(バツ) = 罪バツ	コスバツ
余弦	f(バツ) = cos バツ	−罪バツ(マイナスサイン)
正接	f(バツ) = tg バツ	1/cos2 バツ
コタンジェント	f(バツ) = ctg バツ	− 1/罪2 バツ
自然対数	f(バツ) = ログバツ	1/バツ
任意の対数	f(バツ) = ログあるバツ	1/(バツ ln ある)
指数関数	f(バツ) = e バツ	e バツ（何も変わっていません）

初等関数に任意の定数を乗算すると、新しい関数の導関数も簡単に計算されます。

(C · f)’ = C · f ’.

一般に、導関数の符号から定数を取り出すことができます。例えば：

(2バツ 3)’ = 2 · ( バツ 3)’ = 2 3 バツ 2 = 6バツ 2 .

明らかに、初等関数は加算、乗算、除算などを行うことができます。これは、特に初歩的なものではなく、次の点に関して微分可能な新しい関数がどのように現れるかです。特定のルール。これらのルールについては以下で説明します。

和と差の導関数

関数を与えてみよう f(バツ）そして g(バツ)、その派生物は私たちに知られています。たとえば、上で説明した基本関数を取り上げることができます。次に、これらの関数の和と差の導関数を求めることができます。

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

したがって、2 つの関数の和 (差) の導関数は、導関数の和 (差) と等しくなります。さらに用語があるかもしれません。例えば、（ f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

厳密に言えば、代数学には「引き算」という概念はありません。「マイナス要素」という概念があります。したがって、違いは f − g合計として書き換えることができます f+(-1) gそうすると、合計の導関数という 1 つの式だけが残ります。

f(バツ) = バツ 2 + 罪 x; g(バツ) = バツ 4 + 2バツ 2 − 3.

関数 f(バツ) は 2 つの初等関数の合計であるため、次のようになります。

f ’(バツ) = (バツ 2 + 罪バツ)’ = (バツ 2)’ + (罪バツ)’ = 2バツ+cosx;

関数についても同様に推論します g(バツ）。 (代数の観点から) すでに 3 つの項だけが存在します。

g ’(バツ) = (バツ 4 + 2バツ 2 − 3)’ = (バツ 4 + 2バツ 2 + (−3))’ = (バツ 4)’ + (2バツ 2)’ + (−3)’ = 4バツ 3 + 4バツ + 0 = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

答え：
f ’(バツ) = 2バツ+cosx;
g ’(バツ) = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

製品の派生品

数学は論理科学であるため、多くの人は、和の導関数が導関数の和に等しい場合、積の導関数は次のようになると信じています。ストライク">導関数の積に等しい。しかし、大したことはない!積の導関数は、まったく異なる式を使用して計算されます。つまり、次のようになります。

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

公式は単純ですが、忘れられがちです。そして小学生だけでなく学生も。その結果、問題が誤って解決されてしまいます。

タスク。関数の導関数を求めます。 f(バツ) = バツ 3cosx; g(バツ) = (バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ .

関数 f(バツ) は 2 つの初等関数の積なので、すべてが単純です。

f ’(バツ) = (バツ 3コスバツ)’ = (バツ 3) 'cos バツ + バツ 3 (cos バツ)’ = 3バツ 2コスバツ + バツ 3 (−罪バツ) = バツ 2(3コス) バツ − バツ罪バツ)

関数 g(バツ) 最初の要素はもう少し複雑ですが、一般的なスキームこれは変わりません。明らかに、関数の最初の要素は g(バツ) は多項式であり、その導関数は合計の導関数です。我々は持っています：

g ’(バツ) = ((バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ)’ = (バツ 2 + 7バツ− 7)」・ e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7) ( e バツ)’ = (2バツ+ 7) · e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7) ・ e バツ = e バツ· (2 バツ + 7 + バツ 2 + 7バツ −7) = (バツ 2 + 9バツ) · e バツ = バツ(バツ+9)・ e バツ .

答え：
f ’(バツ) = バツ 2(3コス) バツ − バツ罪バツ);
g ’(バツ) = バツ(バツ+9)・ e バツ .

最後のステップで導関数が因数分解されることに注意してください。正式にはこれを行う必要はありませんが、ほとんどの導関数はそれ自体で計算されるのではなく、関数を調べるために計算されます。これは、さらに導関数がゼロに等しくされ、その符号が決定されることなどを意味します。このような場合には、式を因数分解した方がよいでしょう。

機能が2つある場合 f(バツ）そして g(バツ）、そして g(バツ) ≠ 0 は関心のあるセット上で定義できます。新機能 h(バツ) = f(バツ)/g(バツ）。このような関数については、導関数を見つけることもできます。

弱くないですよね？マイナスはどこから来たのですか？なぜ g 2? そしてこんな感じで！これは最も重要なものの 1 つです複雑な数式- ボトルがないとわかりません。したがって、それを勉強する方が良いです具体的な例.

タスク。関数の導関数を求めます。

各分数の分子と分母には初等関数が含まれているため、必要なのは商の導関数の公式だけです。

伝統に従って、分子を因数分解します。これにより、答えが大幅に単純化されます。

複雑な関数は、必ずしも長さ 0.5 キロメートルの式であるとは限りません。たとえば、次の関数を取るだけで十分です f(バツ) = 罪バツそして変数を置き換えますバツ、言う、オンバツ 2 + ln バツ。それはうまくいきます f(バツ) = 罪 ( バツ 2 + ln バツ) - これは複雑な関数です。導関数もありますが、上で説明したルールを使用してそれを見つけることはできません。

どうすればいいですか？このような場合、変数と式を複素関数の導関数に置き換えると、次のことが役立ちます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t'、もしバツに置き換えられます t(バツ).

一般に、この公式を理解した場合の状況は、商の導関数を理解した場合よりもさらに悲惨です。したがって、具体的な例を挙げて説明することも良いでしょう。詳細な説明すべてのステップ。

タスク。関数の導関数を求めます。 f(バツ) = e 2バツ + 3 ; g(バツ) = 罪 ( バツ 2 + ln バツ)

関数内にある場合は、 f(バツ) 式 2 の代わりにバツ+3は簡単でしょうバツ、それなら何とかなるだろう初等関数 f(バツ) = e バツ。したがって、置換を行います: let 2 バツ + 3 = t, f(バツ) = f(t) = e t。次の式を使用して複素関数の導関数を求めます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

そして今 - 注目してください！逆の置換を実行します。 t = 2バツ+ 3. 次の結果が得られます。

f ’(バツ) = e t · t ’ = e 2バツ+ 3 (2 バツ + 3)’ = e 2バツ+ 3 2 = 2 e 2バツ + 3

それでは関数を見てみましょう g(バツ）。明らかに交換が必要ですバツ 2 + ln バツ = t。我々は持っています：

g ’(バツ) = g ’(t) · t’ = (罪 t)’ · t’ = cos t · t ’

逆置換: t = バツ 2 + ln バツ。それから：

g ’(バツ) = cos ( バツ 2 + ln バツ) · ( バツ 2 + ln バツ)’ = cos ( バツ 2 + ln バツ)・(2 バツ + 1/バツ).

それだけです！最後の式からわかるように、問題全体は導関数の合計を計算することに帰着します。

答え：
f ’(バツ) = 2 · e 2バツ + 3 ;
g ’(バツ) = (2バツ + 1/バツ)cos( バツ 2 + ln バツ).

私のレッスンでは、「微分」という言葉の代わりに「素数」という言葉をよく使います。たとえば、金額からの素数合計に等しいストローク。そのほうがわかりやすいでしょうか？まあ、それはいいですね。

したがって、導関数の計算は、結局のところ、上で説明したルールに従ってこれらの同じストロークを取り除くことになります。として最後の例有理指数を使用した導関数に戻りましょう。

(バツ n)’ = n · バツ n − 1

この役柄を知っている人はほとんどいない n小数でもよいでしょう。たとえば、ルートはバツ 0.5。根の下に何か派手なものがある場合はどうなりますか？繰り返しますが、結果は複雑な関数になります - 彼らはそのような構造を与えることを好みますテストそして試験。

タスク。関数の導関数を求めます。

まず、根を有理指数をもつ累乗として書き直してみましょう。

f(バツ) = (バツ 2 + 8バツ − 7) 0,5 .

ここで置換を行います。バツ 2 + 8バツ − 7 = t。次の式を使用して導関数を求めます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)」・ t’ = 0.5 · t−0.5・ t ’.

逆の置換を行ってみましょう。 t = バツ 2 + 8バツ− 7. 次のものがあります。

f ’(バツ) = 0.5 · ( バツ 2 + 8バツ−7)−0.5・( バツ 2 + 8バツ− 7)’ = 0.5 (2 バツ+ 8) ( バツ 2 + 8バツ − 7) −0,5 .

最後に、ルーツに戻ります。

「古い」教科書では、これは「チェーン」ルールとも呼ばれます。それで、もし y = f (u)、および u = φ (x）、あれは

y = f (φ(x))

complex - 複合関数 (関数の合成)

どこで計算した後、 u = φ(x)。

ここでは、同じ関数から「異なる」構成を取得しましたが、微分の結果は当然「混合」の順序に依存することが判明したことに注意してください。

連鎖則は、当然のことながら、3 つ以上の関数の構成にも拡張されます。この場合、派生関数を構成する「チェーン」には 3 つ以上の「リンク」が存在します。これは乗算との類似です。導関数のテーブルが「あります」。「そこ」 - 九九。「with us」は連鎖ルール、「there」は「列」乗算ルールです。このような「複雑な」導関数を計算する場合、もちろん補助引数 (u¸v など) は導入されませんが、構成に含まれる関数の数と順序を自分で記録した上で、対応するリンクが「張られ」ます。示された順序で。

。ここでは、「y」の値を取得するために「x」を使用して 5 つの演算が実行されます。つまり、「外部」（それらの最後の） - 指数 - e  ; という 5 つの関数の組み合わせがあります。次に逆の順序で電源を入れます。 (◆) 2 ; 三角関数の sin(); 鎮静する。 () 3、最後に対数 ln.()。それが理由です