2 つのベクトル間の角度 :
2 つのベクトル間の角度が鋭角の場合、それらのスカラー積は正になります。 ベクトル間の角度が鈍角の場合、これらのベクトルのスカラー積は負になります。 2 つの非ゼロ ベクトルのスカラー積は、これらのベクトルが直交している場合に限り、ゼロに等しくなります。
エクササイズ。ベクトル間の角度を見つけて、
解決。希望の角度のコサイン
16. 直線、直線と平面の間の角度の計算
直線と平面との間の角度この線と交差し、それに垂直ではない角度は、線とこの平面への投影との間の角度です。
線と平面の間の角度を決定すると、線と平面の間の角度は、交差する 2 つの線、つまり直線自体とその平面への投影の間の角度であると結論付けることができます。 したがって、直線と平面との間の角度は鋭角です。
垂直な直線と平面の間の角度は に等しいと見なされますが、平行な直線と平面の間の角度はまったく決定されないか、または に等しいと見なされます。
§ 69. 直線間の角度の計算。
空間内の 2 つの直線間の角度を計算する問題は、平面上と同じ方法で解決されます (§ 32)。 線間の角度の大きさを φ で表すことにします。 私 1と 私 2、および ψ - 方向ベクトル間の角度の大きさ あ そして b この直線。
そうすると、
ψ 90° (図 206.6)、その後、φ = 180° - ψ。 明らかに、どちらの場合も等式 cos φ = |cos ψ| が成り立ちます。 式 (1) § 20 により、次のようになります。
したがって、 
直線を正準方程式で与えてみましょう
次に、線間の角度 φ が次の式を使用して決定されます。
直線の 1 つ (または両方) が非正準方程式で与えられる場合、角度を計算するには、これらの直線の方向ベクトルの座標を見つけて、式 (1) を使用する必要があります。
17. 平行線、平行線に関する定理
意味。平面上の 2 本の線を といいます。 平行、共通点がない場合。
3次元空間上の2本の線を次のように呼びます。 平行、それらが同じ平面上にあり、共通点がない場合。
2 つのベクトル間の角度。
内積の定義から:
.
2つのベクトルが直交する条件:
2 つのベクトルの共線性の条件:
.
定義 5 ～ に続きます。 実際、ベクトルと数値の積の定義から、次のようになります。 したがって、ベクトルの等価性の法則に基づいて、 、 、 と書きます。これは、次のことを意味します。 
。 ただし、ベクトルに数値を乗算した結果のベクトルは、ベクトルと同一線上にあります。
ベクトルをベクトルに投影する：
.
例 4。 与えられたポイント 、 、 、 。
内積を求めます。
解決。 座標で指定されたベクトルのスカラー積の公式を使用してわかります。 なぜなら
, 
,
例5.与えられたポイント 、 、 、 。
投影を見つけます。
解決。 なぜなら
, ,
投影式に基づいて、次のようになります。
.
例6。与えられたポイント 、 、 、 。
ベクトルと の間の角度を見つけます。
解決。 ベクトルに注意してください。
, ,
それらの座標は比例しないため、同一線上にありません。
.
これらのベクトルも、そのスカラー積が であるため、垂直ではありません。
見つけよう
コーナー 
式から次のことがわかります。
.
例7。どのベクトルを決定し、 
共線的。
解決。 共線性の場合、ベクトルの対応する座標 
そして比例的である必要があります。つまり、次のようになります。
.
したがって、そして。
例8。 ベクトルの値を決定する 
そして 
垂直。
解決。 ベクター 
スカラー積がゼロの場合、これらは垂直になります。 この条件から次のことが得られます。 あれは、 。
例9。 探す 
、 もし 、 、 。
解決。 スカラー積の特性により、次のようになります。
例 10。 ベクトルと の間の角度を求めます。ここで、 と - 単位ベクトルとベクトル間の角度は 120° に等しくなります。
解決。 我々は持っています： 
, ,
最後に次のようになります。 
.
5B. ベクターアートワーク.
定義21.ベクターアートワークベクトルごとのことをベクトル、または次の 3 つの条件によって定義されます。
1) ベクトルの係数は に等しい。ここで、 はベクトルと の間の角度、すなわち である。 
.
したがって、ベクトル積の係数は数値的には次のようになります。 面積に等しいベクトルと両側から構成される平行四辺形。
2) ベクトルは、ベクトルと ( ; ) のそれぞれに対して垂直です。つまり、 ベクトル と 上に構築された平行四辺形の平面に垂直です。
3) ベクトルは、その端から見た場合、ベクトルからベクトルへの最短の回転が反時計回りになるように方向付けられます (ベクトル 、 、は右回りのトリプルを形成します)。
ベクトル間の角度を計算するにはどうすればよいですか?
幾何学を勉強するとき、ベクトルに関する多くの疑問が生じます。 学生は、ベクトル間の角度を見つける必要があるときに特に困難を経験します。
基本用語
ベクトル間の角度を調べる前に、ベクトルの定義とベクトル間の角度の概念を理解しておく必要があります。
ベクトルは、方向を持つセグメント、つまり、その開始と終了が定義されているセグメントです。
共通の原点を持つ平面上の 2 つのベクトル間の角度は、どちらかのベクトルを移動する必要がある角度の小さい方の角度になります。 共通点、それらの方向が一致するまで。
解の公式
ベクトルとは何か、その角度がどのように決定されるかを理解すると、ベクトル間の角度を計算できるようになります。 これに対する解の公式は非常に単純で、それを適用した結果は角度の余弦の値になります。 定義によれば、これはベクトルのスカラー積とその長さの積の商に等しくなります。
ベクトルのスカラー積は、因子ベクトルの対応する座標を互いに乗算した合計として計算されます。 ベクトルの長さ、またはその係数は次のように計算されます。 平方根その座標の二乗和から。
角度の余弦の値を受け取ったら、電卓または三角関数表を使用して角度自体の値を計算できます。
例
ベクトル間の角度を計算する方法を理解すると、対応する問題の解決が簡単かつ明確になります。 例として、角度の値を求める単純な問題を考えてみましょう。
まず第一に、解決に必要なベクトルの長さとそのスカラー積の値を計算する方が便利です。 上記の説明を使用すると、次のようになります。
得られた値を式に代入して、目的の角度のコサインの値を計算します。
この数値は 5 つの一般的なコサイン値の 1 つではないため、角度の値を取得するには、電卓または Bradis 三角関数テーブルを使用する必要があります。 ただし、ベクトル間の角度を取得する前に、式を簡略化して余分な負の符号を取り除くことができます。
精度を維持するために、最終的な答えをそのままにすることも、角度の値を度単位で計算することもできます。 Bradis の表によると、その値は約 116 度 70 分となり、計算機では 116.57 度の値が表示されます。
n次元空間での角度の計算
3 次元空間で 2 つのベクトルを考えるとき、それらが同じ平面上にない場合、どの角度について話しているのかを理解するのはさらに困難になります。 知覚を単純化するために、それらの間に最小の角度を形成する 2 つの交差するセグメントを描くことができます。これが望ましい角度になります。 ベクトルに 3 番目の座標があっても、ベクトル間の角度を計算するプロセスは変わりません。 ベクトルのスカラー積と係数を計算すると、それらの商の逆余弦がこの問題の答えになります。
幾何学では、3 次元を超える空間に関して問題が発生することがよくあります。 しかし、彼らにとって、答えを見つけるためのアルゴリズムは似ているように見えます。
0度と180度の差
ベクトル間の角度を計算するように設計された問題の答えを書くときによくある間違いの 1 つは、ベクトルが平行である、つまり、必要な角度が 0 度または 180 度に等しいと書いてしまうという決定です。 この答えは不正確です。
解の結果として角度値 0 度を受け取った場合、正しい答えはベクトルを同方向として指定することです。つまり、ベクトルは同じ方向になります。 180 度が得られると、ベクトルは逆の方向を向きます。
特定のベクトル
ベクトル間の角度を見つけたら、次のいずれかを見つけることができます。 特殊なタイプ、上記の同方向および逆方向のものに加えて。
- 1 つの平面に平行な複数のベクトルを共面と呼びます。
- 長さと方向が同じベクトルは等しいと呼ばれます。
- 方向に関係なく、同じ直線上にあるベクトルを共線性と呼びます。
- ベクトルの長さが 0 の場合、つまり、ベクトルの始まりと終わりが一致する場合、そのベクトルはゼロと呼ばれ、1 の場合、ユニットと呼ばれます。
ベクトル間の角度を見つけるにはどうすればよいですか?
お願い助けて！ 公式はわかるけど計算ができない((
ベクトル a (8; 10; 4) ベクトル b (5; -20; -10)
アレクサンダー・チトフ
座標によって指定されたベクトル間の角度は、標準アルゴリズムを使用して求められます。 まず、ベクトル a と b のスカラー積を見つける必要があります: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2。 ここでこれらのベクトルの座標を代入し、次のように計算します。
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200。
次に、各ベクトルの長さを決定します。 ベクトルの長さまたは係数は、その座標の二乗の合計の平方根です。
|a| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) の根 = (8^2 + 10^2 + 4^2) の根 = (64 + 100 + 16) の根 = 180 の根 = の 6 根5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) のルート = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) のルート = (25 + 400 + 100) のルート = ルート525 から = 21 からの 5 根。
これらの長さを掛け合わせます。 105 根から 30 根が得られます。
最後に、ベクトルのスカラー積をこれらのベクトルの長さの積で割ります。 -200/(105 の 30 乗根) または
- (105 の 4 根) / 63。これはベクトル間の角度の余弦です。 そして角度自体はこの数値の逆余弦に等しい
f = arccos(105 の -4 根) / 63。
すべてを正しく数えていたら。
ベクトルの座標を使用してベクトル間の角度の正弦を計算する方法
ミハイル・トカチェフ
これらのベクトルを掛け合わせてみましょう。 それらのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しくなります。
角度はわかりませんが、座標はわかっています。
このように数学的に書いてみましょう。
ベクトル a(x1;y1) と b(x2;y2) が与えられるとします。
それから
A*b=|a|*|b|*cosA
CosA=a*b/|a|*|b|
話しましょう。
ベクトルの a*b スカラー積は、これらのベクトルの座標の対応する座標の積の合計に等しい、つまり x1*x2+y1*y2 に等しい
|a|*|b|-ベクトルの長さの積は、√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) に等しくなります。
これは、ベクトル間の角度の余弦が次と等しいことを意味します。
CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)
角度の余弦がわかれば、その正弦を計算できます。 これを行う方法について説明します。
角度のコサインが正の場合、この角度は 1 象限または 4 象限内にあり、これはそのサインが正または負のいずれかであることを意味します。 ただし、ベクトル間の角度が 180 度以下であるため、その正弦は正になります。 コサインが負の場合も同様に推論します。
SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)
それです))))頑張って見つけてください)))
ドミトリー・レヴィシチョフ
直接正弦関数を適用することが不可能であるという事実は真実ではありません。
式に加えて:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
こんなものもあります。
||=|a|*|b|*sin A
つまり、スカラー積の代わりにベクトル積のモジュールを取得できます。
説明書
2 つの非ゼロ ベクトルが 1 つの点からプロットされた平面上に与えられるとします。座標 (x1, y1) を持つベクトル A、座標 (x2, y2) を持つベクトル B です。 コーナーそれらの間のθをθとする。 角度 θ の度数を求めるには、スカラー積の定義を使用する必要があります。
2 つの非ゼロ ベクトルのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい数です。つまり、(A,B)=|A|*|B|*cos(θ) ）。 次に、cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|) から角度の余弦を表す必要があります。
2 つの非ゼロ ベクトルの積は、対応するベクトルの積の合計に等しいため、式 (A,B)=x1*x2+y1*y2 を使用してスカラー積を求めることもできます。 ゼロ以外のベクトルのスカラー積がゼロに等しい場合、ベクトルは垂直 (ベクトル間の角度は 90 度) であるため、それ以上の計算は省略できます。 2 つのベクトルのスカラー積が正の場合、これらのベクトルの間の角度は ベクトル鋭角であり、負の場合、角度は鈍角です。
ここで、式 |A|=√(x1²+y1²)、|B|=√(x2²+y2²) を使用してベクトル A と B の長さを計算します。 ベクトルの長さは、その座標の二乗の合計の平方根として計算されます。
求めたスカラー積とベクトルの長さの値を、手順 2 で求めた角度の公式、つまり cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ に代入します。 √(x2²+y2²))。 値がわかったら、次の間の角度の度数を求めます。 ベクトル Bradis テーブルを使用するか、θ=arccos(cos(θ)) から取得する必要があります。
ベクトル A と B が 3 次元空間で与えられ、それぞれ座標 (x1, y1, z1) と (x2, y2, z2) を持つ場合、角度の余弦を求めるときに、座標が 1 つ追加されます。 この場合、コサイン: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))。
2 つのベクトルが同じ点からプロットされていない場合、平行移動によってそれらの間の角度を見つけるには、これらのベクトルの原点を結合する必要があります。
2 つのベクトル間の角度は 180 度を超えることはできません。
出典:
- ベクトル間の角度を計算する方法
- 直線と平面との間の角度
物理学や線形代数における応用問題と理論問題の両方を解決するには、ベクトル間の角度を計算する必要があります。 この一見単純なタスクは、スカラー積の本質と、この積の結果としてどのような値が現れるかを明確に理解していないと、多くの困難を引き起こす可能性があります。
説明書
ベクトル線形空間におけるベクトル間の角度 – 最小角度で、ベクトルの同方向性が達成されます。 開始点の周りにベクトルの 1 つを描画します。 定義から、角度の値は 180 度を超えることができないことが明らかです (手順を参照)。
この場合、線形空間では、ベクトルの並列転送を実行するときに、それらの間の角度は変化しないと非常に正しく仮定されます。 したがって、角度の解析計算では、ベクトルの空間方向は問題になりません。
ドット積の結果は数値になり、それ以外の場合はスカラーになります。 今後の計算で間違いを避けるために、覚えておいてください (これは知っておくことが重要です)。 平面上またはベクトルの空間内にあるスカラー積の式は、次の形式になります (ステップの図を参照)。
ベクトルが空間内にある場合は、同様の方法で計算を実行します。 配当に用語が現れるのは、申請者の期間のみです。 ベクトルの 3 番目の要素。 したがって、ベクトルの係数を計算するときは、z 成分も考慮する必要があり、空間内にあるベクトルの場合、最後の式は次のように変換されます (ステップについては図 6 を参照)。
ベクトルは、特定の方向を持つセグメントです。 ベクトル間の角度は、たとえば軸上へのベクトルの投影の長さを求める場合などに物理的な意味を持ちます。
説明書
ドット積を計算することによる 2 つの非ゼロ ベクトル間の角度。 定義により、積は長さとそれらの間の角度の積に等しくなります。 一方、座標 (x1; y1) の 2 つのベクトル a と座標 (x2; y2) の b のスカラー積: ab = x1x2 + y1y2 が計算されます。 これら 2 つの方法のうち、内積は簡単にベクトル間の角度になります。
ベクトルの長さまたは大きさを求めます。 ベクトル a と b の場合: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2。
ベクトルの座標をペアで乗算して、ベクトルのスカラー積を求めます: ab = x1x2 + y1y2。 スカラー積 ab = |a|*|b|*cos α の定義から、α はベクトル間の角度です。 次に、x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α が得られます。 すると、cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2 となります。
Bradis テーブルを使用して角度 α を求めます。
トピックに関するビデオ
注記
スカラー積は、ベクトルの長さとベクトル間の角度のスカラー特性です。
平面は幾何学の初期概念の 1 つです。 平面は、次のステートメントが当てはまる表面です。つまり、その点の 2 つを結ぶ直線はすべて、完全にこの表面に属します。 平面は通常、ギリシャ文字 α、β、γ などで表されます。 2 つの平面は常に、両方の平面に属する直線に沿って交差します。
説明書
の交点によって形成される半平面 α と β を考えてみましょう。 直線aと2つの半平面α、βとがなす角度を二面角といいます。 この場合、面と二面角をなす半平面、その平面が交わる直線aを辺といいます。 上反角.
二面角は、平面角と同様に度単位で表されます。 二面角を作成するには、その面上の任意の点 O を選択する必要があります。どちらの場合も、2 つの光線 a が点 O を通って描画されます。 形成される角度 AOB は、直線上二面角 a と呼ばれます。
したがって、ベクトル V = (a, b, c) と平面 A x + B y + C z = 0 が与えられるとします。ここで、A、B、C は法線 N の座標です。すると、角度の余弦が求められます。ベクトル V と N の間の α は、cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)) に等しくなります。
角度を度またはラジアンで計算するには、結果の式からコサイン関数の逆関数を計算する必要があります。 逆余弦:α = arsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))。
例: 検索 コーナー間 ベクター(5、-3、8) および 飛行機、一般方程式 2 x – 5 y + 3 z = 0 で与えられます。 解決策: 平面の法線ベクトルの座標 N = (2, -5, 3) を書き留めます。 すべての既知の値を指定された式に代入します: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°。
トピックに関するビデオ
等式を作成し、そこからコサインを分離します。 ある式によれば、ベクトルのスカラー積は、ベクトルの長さに相互に余弦を乗算したものに等しくなります。 角度、もう一方は、各軸に沿った座標の積の合計です。 両方の式を等しくすると、コサインは次のように結論付けることができます。 角度そのはず 比率に等しい座標の積とベクトルの長さの積の合計。
結果として得られる等価性を書き留めます。 これを行うには、両方のベクトルを指定する必要があります。 それらが 3 次元デカルト系で与えられ、その開始点が座標グリッド内にあると仮定します。 最初のベクトルの方向と大きさは点 (X₁,Y₁,Z₁) で指定され、2 番目のベクトルは (X₂,Y₂,Z₂) で指定され、角度は文字 γ で指定されます。 次に、各ベクトルの長さは、たとえば、 のピタゴラスの定理を使用して、各座標軸への投影によって形成されます: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) および √(X₂² + Y₂² + Z₂²)。 これらの式を前のステップで定式化した式に代入すると、次の等式が得られます。 cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² ))。
二乗和は次のとおりであるという事実を利用します。 正弦そして一緒に 正弦から 角度同じ量であれば常に 1 つが得られます。 これは、前のステップで得られたものを引き上げることによって、 正弦 2乗して1から引くと平方根で問題が解けます。 に必要な式を書きます 一般的な見解: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²)))。
ベクトルの内積（以下、SP）。 親愛なる友人！ 数学の試験には、ベクトルを解く問題群が含まれています。 私たちはすでにいくつかの問題を検討しました。 これらは「ベクター」カテゴリで見ることができます。 一般に、ベクトルの理論は複雑ではありません。主なことは、それを一貫して研究することです。 学校の数学コースでのベクトルの計算と演算は単純であり、公式は複雑ではありません。 を見てみましょう。 この記事では、ベクトルの SP (統一国家試験に含まれる) の問題を分析します。 ここで理論に「没入」します。
H ベクトルの座標を見つけるには、その終端の座標から減算する必要があります。原点の対応する座標
そしてさらに：
※ベクトルの長さ（係数）は次のように決定されます。
これらの公式は覚えておく必要があります!!!
ベクトル間の角度を示してみましょう。
0 から 180 0 まで変化する可能性があることは明らかです。(または 0 から Pi までのラジアン単位)。
スカラー積の符号について、いくつかの結論を導き出すことができます。 ベクトルの長さは次のとおりです。 正の値、 それは明らかだ。 これは、スカラー積の符号がベクトル間の角度の余弦の値に依存することを意味します。
考えられるケース:
1. ベクトル間の角度が鋭角 (0 0 ～ 90 0) の場合、角度のコサインは正の値になります。
2. ベクトル間の角度が鈍角 (90 0 ～ 180 0) の場合、角度のコサインは負の値になります。
*0 度、つまりベクトルが同じ方向の場合、コサイン 1に等しいしたがって、結果はプラスになります。
180 度、つまりベクトルの方向が逆の場合、コサインはマイナス 1 に等しくなります。したがって、結果はマイナスになります。
ここからが重要なポイントです！
90°、つまりベクトルが互いに直交するとき、コサインは ゼロに等しいしたがって、SP はゼロに等しくなります。 この事実 (結果、結論) は、私たちが話している多くの問題を解決するのに使用されます。 相対位置数学のオープンタスクバンクに含まれる問題を含むベクトル。
ステートメントを定式化してみましょう。これらのベクトルが垂直線上にある場合に限り、スカラー積はゼロに等しくなります。
したがって、SP ベクトルの公式は次のとおりです。
ベクトルの座標、またはその始点と終点の点の座標がわかっている場合は、常にベクトル間の角度を見つけることができます。
タスクを考えてみましょう。
27724 ベクトル a と b のスカラー積を求めます。
次の 2 つの公式のいずれかを使用して、ベクトルのスカラー積を求めることができます。
ベクトル間の角度は不明ですが、ベクトルの座標を簡単に見つけて最初の式を使用できます。 両方のベクトルの原点が座標の原点と一致するため、これらのベクトルの座標は両端の座標と等しくなります。
ベクトルの座標を見つける方法については、で説明されています。
計算します:
答え: 40
ベクトルの座標を見つけて、次の式を使用してみましょう。
ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの終端の座標から、対応する始端の座標を減算する必要があります。つまり、
スカラー積を計算します。
答え: 40
ベクトル a と b の間の角度を求めます。 度単位で答えてください。
ベクトルの座標を次の形式にします。
ベクトル間の角度を見つけるには、ベクトルのスカラー積の公式を使用します。
ベクトル間の角度の余弦:
したがって、次のようになります。
これらのベクトルの座標は等しいです。
それらを式に代入してみましょう。
ベクトル間の角度は 45 度です。
答え: 45
ベクトルの内積
私たちはベクトルを扱い続けます。 最初のレッスンで ダミー用のベクトルベクトルの概念、ベクトルを使用したアクション、ベクトル座標、およびベクトルに関する最も単純な問題を見ていきました。 検索エンジンから初めてこのページに来た場合は、上記の紹介記事を読むことを強くお勧めします。この内容を習得するには、私が使用する用語と表記法に精通し、ベクトルとベクトルに関する基本的な知識を持っている必要があるからです。基本的な問題が解けるようになる。 このレッスン「」はこのトピックの論理的な継続であり、ベクトルのスカラー積を使用する典型的なタスクを詳細に分析します。 これは非常に重要な活動です。。 サンプルには便利な特典が付いていますので、読み飛ばさないようにしてください。練習することで、これまでに取り上げた内容が定着し、解析幾何学における一般的な問題をより良く解決できるようになります。
ベクトルの加算、ベクトルと数値の乗算... 数学者が他に何かを考え出していないと考えるのは素朴だろう。 すでに説明したアクションに加えて、ベクトルを使用した操作は他にも多数あります。 ベクトルの内積, ベクトルのベクトル積そして ベクトルの混合積。 ベクトルのスカラー積は学校でよく知られており、他の 2 つの積は伝統的に高等数学のコースに属します。 トピックはシンプルで、多くの問題を解決するためのアルゴリズムは単純で理解しやすいものです。 唯一のもの。 かなりの量の情報があるため、一度にすべてをマスターして解決しようとすることは望ましくありません。 これはダミーにとって特に当てはまります。信じてください、著者は数学のチカチーロのように感じたくありません。 もちろん、数学からではありません =) より準備の整った生徒は、教材を選択的に使用できます。 ある意味で、欠けている知識を「入手」します、あなたのために私は無害なドラキュラ伯爵になります =)
いよいよドアを開けて、2 つのベクトルが出会ったときに何が起こるかを熱心に見守りましょう。
ベクトルのスカラー積の定義。
スカラー積のプロパティ。 一般的なタスク
内積の概念
まずはについて ベクトル間の角度。 ベクトル間の角度がどのようなものかは誰もが直感的に理解していると思いますが、念のためもう少し詳しく説明します。 自由な非ゼロベクトル と を考えてみましょう。 これらのベクトルを任意の点からプロットすると、多くの人がすでに頭の中で想像しているような図が得られます。 
正直に認めますが、ここでは理解できるレベルでのみ状況を説明しました。 ベクトル間の角度の厳密な定義が必要な場合は教科書を参照してください。実際の問題については、原則として必要ありません。 また、こことここでは、実際の重要性が低いため、所々にあるゼロベクトルを無視します。 私は、後続の記述の理論的不完全性について私を非難するかもしれない上級のサイト訪問者のために特別に予約しました。
0 ～ 180 度 (0 ～ ラジアン) の値を取得できます。 分析的には、この事実は二重不等式の形式で記述されます。
または 
(ラジアン単位)。 文献では、角度記号は省略され、単純に書かれることがよくあります。
意味： 2 つのベクトルのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい NUMBER です。 
さて、これはかなり厳密な定義です。
私たちは重要な情報に重点を置いています。
指定：スカラー積は単に または で表されます。
操作の結果は NUMBER です: ベクトルとベクトルを乗算し、結果は数値になります。 実際、ベクトルの長さが数値、角度のコサインが数値の場合、その積は 
も数字になります。
ウォームアップの例をいくつか挙げます。
例1
解決：私たちは公式を使います 
。 この場合：
答え：
コサイン値は次のとおりです。 三角関数表。 印刷することをお勧めします。これはタワーのほぼすべてのセクションで必要になり、何度も必要になります。
純粋に数学的な観点から見ると、スカラー積は無次元です。つまり、この場合、結果は単なる数値であり、それだけです。 物理問題の観点から見ると、スカラー積は常に特定の物理的意味を持ちます。つまり、結果の後に 1 つまたは別の物理単位を示す必要があります。 力の仕事を計算する標準的な例は、どの教科書にも記載されています (式はまさにスカラー積です)。 力の仕事はジュールで測定されるため、答えはたとえば のように非常に具体的に書かれます。
例 2
次の場合を見つける 
、ベクトル間の角度は に等しい。
これは例です 独立した決定、答えはレッスンの最後にあります。
ベクトル間の角度と内積値
例 1 ではスカラー積が正であることがわかり、例 2 では負であることがわかりました。 スカラー積の符号が何に依存するかを調べてみましょう。 式を見てみましょう。 
。 非ゼロベクトルの長さは常に正であるため、符号はコサインの値にのみ依存します。
注記： 以下の情報をよりよく理解するには、マニュアルのコサイン グラフを検討することをお勧めします。 関数グラフとプロパティ。 セグメント上でコサインがどのように動作するかを確認します。
すでに述べたように、ベクトル間の角度は範囲内で変化する可能性があります。 
、以下のようなケースが考えられます。
1) もし コーナーベクトル間 辛い: 
(0 度から 90 度まで)、その後 
、 そして 内積は正になります 共同監督の場合、それらの間の角度はゼロとみなされ、スカラー積も正になります。 であるため、式は次のように簡略化されます。
2) もし コーナーベクトル間 鈍い: 
(90 度から 180 度まで)、その後 
、それに応じて、 内積が負です: 。 特殊なケース: ベクトルの場合 反対方向、その後、それらの間の角度が考慮されます 拡張された：（180度）。 スカラー積も負です。
逆のステートメントも当てはまります。
1) の場合、これらのベクトル間の角度は鋭角です。 あるいは、ベクトルは同方向です。
2) の場合、これらのベクトル間の角度は鈍角になります。 あるいは、ベクトルは反対方向になります。
しかし、3 番目のケースは特に興味深いものです。
3) もし コーナーベクトル間 真っ直ぐ：（90度）、その後 スカラー積はゼロです: 。 逆もまた真です: if , then 。 このステートメントは次のように簡潔に定式化できます。 2 つのベクトルのスカラー積は、ベクトルが直交している場合にのみゼロになります。。 短い数学表記: 
！ 注記
：繰り返しましょう 数理論理学の基礎: 両面論理帰結アイコンは、通常、「場合とのみ」、「場合とのみ」と読み取られます。 ご覧のとおり、矢印は両方向に向いています。「これからこれが続き、その逆も同様です。あれからこれが続きます」。 ところで、一方的なフォローアイコンとの違いは何でしょうか？ アイコンの状態 それだけで、「これからこれが続く」というのは事実であり、その逆が真実であるということは事実ではありません。 例: ですが、すべての動物がヒョウであるわけではないため、この場合はアイコンを使用できません。 同時にアイコンの代わりに できる片面アイコンを使用します。 たとえば、問題を解決しているときに、ベクトルは直交しているという結論に達したことがわかりました。 
- このようなエントリは正しく、さらに適切です。 
.
3 番目のケースは実際的に非常に重要ですベクトルが直交しているかどうかを確認できるためです。 この仕事レッスンの 2 番目のセクションで解決します。
内積の性質
2 つのベクトルが存在する状況に戻りましょう。 共同監督。 この場合、それらの間の角度はゼロであり、スカラー積公式は次の形式になります。
ベクトルをそれ自体で乗算するとどうなるでしょうか? ベクトルがそれ自体と一致していることは明らかなので、上記の簡略化された式を使用します。
番号が呼ばれます スカラー二乗ベクトルであり、 として表されます。
したがって、 スカラー二乗ベクトル 正方形に等しいこのベクトルの長さ:
この等式から、ベクトルの長さを計算する式を得ることができます。
ここまでは不明瞭なようですが、レッスンの目的に従えば、すべてが正しい位置に収まります。 問題を解決するには、次のことも必要です 内積の性質.
任意のベクトルおよび任意の数値については、次のプロパティが当てはまります。
1) – 可換または 可換スカラー積の法則。
2) 
– 配布または 分配的なスカラー積の法則。 単純にブラケットを開くことができます。
3) 
– 連想または 連想的なスカラー積の法則。 定数はスカラー積から導出できます。
多くの場合、あらゆる種類の特性 (これも証明する必要があります!) は学生によって次のように認識されます。 不要なゴミ、暗記する必要があるだけで、試験後すぐに安全に忘れてください。 ここで重要なことは、因子を並べ替えても積が変わらないことを、誰もが 1 年生からすでに知っていることだと思われるでしょう。 高等数学では、このようなアプローチでは物事が台無しになりやすいことを警告しなければなりません。 したがって、たとえば、可換性は次の場合には当てはまりません。 代数行列。 それは当てはまりません ベクトルのベクトル積。 したがって、何ができるのか、何ができないのかを理解するために、高等数学のコースで遭遇するプロパティを少なくとも詳しく調べたほうがよいでしょう。
例 3
.
解決：まず、ベクトルで状況を明確にしましょう。 それにしてもこれは何でしょうか？ ベクトルの合計は明確に定義されたベクトルであり、 で示されます。 ベクトルを使用したアクションの幾何学的解釈については、記事を参照してください。 ダミー用のベクトル。 ベクトルを持つ同じパセリは、ベクトル と の合計です。
したがって、条件に応じてスカラー積を求める必要があります。 理論的には、申請する必要があります 作業公式 
, しかし問題は、ベクトルの長さとベクトル間の角度がわからないことです。 ただし、この条件ではベクトルに対して同様のパラメーターが与えられるため、別のルートを選択します。
(1) ベクトルの式を置き換えます。
(2) 多項式の乗算の規則に従って括弧を開きます。下品な早口言葉が記事にあります。 複素数または 分数有理関数の統合。 繰り返しはしません =) ところで、スカラー積の分配特性により、括弧を開けることができます。 私たちにはその権利があります。
(3) 最初と最後の項では、ベクトルのスカラー二乗をコンパクトに記述します。 
。 第 2 項では、スカラー積の可換性を使用します。
(4) 同様の用語を以下に示します。
(5) 最初の項では、少し前に述べたスカラー二乗公式を使用します。 したがって、最後の項でも同じことが機能します。 標準公式に従って第 2 項を展開します 
.
(6) これらの条件を代入する 
、最終計算は慎重に行ってください。
答え：
スカラー積の負の値は、ベクトル間の角度が鈍角であるという事実を示します。
この問題は典型的なもので、自分で解決する例を次に示します。
例 4
ベクトルのスカラー積を求め、それがわかっているかどうかを調べます。 
.
ここで、ベクトルの長さの新しい式を作成するためのもう 1 つの一般的なタスクを説明します。 ここでの表記は少し重複するので、わかりやすくするために別の文字で書き直します。
例5
次の場合にベクトルの長さを求めます。 
.
解決は次のようになります。
(1) ベクターの式を提供します。
(2) 長さの公式: を使用しますが、式 ve 全体がベクトル「ve」として機能します。
(3) 和の二乗には学校の公式を使います。 ここで、それがどのように不思議に機能するかに注目してください。 – これは実際には差の 2 乗であり、実際、そのとおりです。 希望者はベクトルを再配置できます。 - 項の再配置までは同じことが起こります。
(4) 以下の内容は、前の 2 つの問題ですでによく知られています。
答え： 
長さについて話しているので、寸法「単位」を示すことを忘れないでください。
例6
次の場合にベクトルの長さを求めます。 
.
これは自分で解決できる例です。 完全なソリューションそしてレッスンの最後に答えが。
私たちは内積から有用なものを絞り出し続けます。 もう一度公式を見てみましょう 
。 比例の法則を使用して、ベクトルの長さを左辺の分母にリセットします。 
パーツを交換しましょう: 
この式の意味は何でしょうか? 2 つのベクトルの長さとそのスカラー積がわかっている場合は、これらのベクトル間の角度の余弦を計算でき、結果として角度自体も計算できます。
内積は数値ですか? 番号。 ベクトルの長さは数値ですか? 数字。 これは、分数も数値であることを意味します。 角度の余弦がわかっている場合: 
次に、逆関数を使用すると、角度自体を簡単に見つけることができます。 
.
例 7
ベクトル間の角度を求め、それがわかっているかどうかを調べます。
解決：次の式を使用します。
の上 最終段階計算では、分母の不合理性を排除する技術的な手法が使用されました。 不合理性をなくすために、分子と分母に を掛けました。
それで、もし 
、 それ： 
逆数値 三角関数で見つけることができます 三角関数表。 これはめったに起こりませんが。 解析幾何学の問題では、多くの場合、 のような不器用な問題が発生し、角度の値は電卓を使用して近似的に求める必要があります。 実際、私たちはそのような写真を何度も目にするでしょう。
答え： 
繰り返しますが、ラジアンと度の寸法を指定することを忘れないでください。 個人的には、明らかに「すべての質問を解決する」ためには、両方を示すことを好みます (もちろん、条件がラジアンのみまたは度のみで答えを提示する必要がある場合を除く)。
これで、より複雑なタスクに独立して対処できるようになります。
例 7*
ベクトルの長さとそれらの間の角度が与えられます。 ベクトル間の角度 、 を求めます。
タスクは複数のステップがあるため、それほど難しくはありません。
解決アルゴリズムを見てみましょう。
1) 条件に従って、ベクトルと の間の角度を見つける必要があるため、次の公式を使用する必要があります。 
.
2) スカラー積を求めます (例 3、4 を参照)。
3) ベクトルの長さとベクトルの長さを求めます (例 5、6 を参照)。
4) 解の終わりは例 7 と一致します。数値がわかっているため、角度自体を見つけるのは簡単です。 
レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。
レッスンの 2 番目のセクションでは、同じスカラー積を扱います。 コーディネート。 最初の部分よりもさらに簡単になります。
ベクトルの内積、
正規直交基底の座標によって与えられる
答え：
言うまでもなく、座標を扱うのがはるかに楽しくなります。
例 14
ベクトルのスカラー積を求めます。
これは自分で解決できる例です。 ここでは、演算の結合性を使用できます。つまり、 count ではなく、すぐにスカラー積の外側のトリプルを取り出し、それをスカラー積の中で乗算します。 最後の手段。 解答と答えはレッスンの最後にあります。
このセクションの最後には、ベクトルの長さの計算に関する刺激的な例が示されています。
例 15
ベクトルの長さを求める 
、 もし
解決：前のセクションの方法が再度示唆されていますが、別の方法もあります。
ベクトルを見つけてみましょう。
そしてその長さは自明な公式によれば 
:
スカラー積はここではまったく関係ありません。
また、ベクトルの長さを計算する場合にも役に立ちません。
停止。 ベクトルの長さの明らかな特性を利用すべきではないでしょうか? ベクトルの長さについて何が言えますか? このベクトルはベクトルの 5 倍の長さです。 方向が逆ですが、長さの話なので問題ありません。 明らかに、ベクトルの長さは積に等しいです。 モジュールベクトルの長さごとの数:
– 係数記号は、数値のマイナスを「吸収」します。
したがって：
答え：
座標で指定されたベクトル間の角度の余弦を求める式
今、私たちは持っています 完全な情報, したがって、以前に導出されたベクトル間の角度の余弦の式は次のようになります。 
ベクトル座標で表現します。
平面ベクトル間の角度の余弦と 、正規直交基底で指定され、 式で表される:
.
空間ベクトル間の角度の余弦、正規直交基底で指定され、 式で表される: 
例 16
三角形の 3 つの頂点が与えられます。 (頂角)を見つけます。
解決：条件によれば、図面は必須ではありませんが、それでも次のとおりです。 
必要な角度は緑色の円弧でマークされます。 角度の学校指定をすぐに思い出してみましょう。 – 特別な注意の上 平均文字 - これは必要な角度の頂点です。 簡潔にするために、単に と書くこともできます。
この図から、三角形の角度がベクトル間の角度と一致していることは明らかです。つまり、次のようになります。 
.
精神的に分析を実行する方法を学ぶことをお勧めします。
ベクトルを見つけてみましょう。 
スカラー積を計算してみましょう。
ベクトルの長さは次のとおりです。 
角度の余弦:
これはまさに私がダミーに推奨するタスクを完了する順序です。 より上級の読者は、計算を「1 行で」書くことができます。 
「悪い」コサイン値の例を次に示します。 結果の値は最終的なものではないため、分母の非合理性を取り除くことにほとんど意味がありません。
角度自体を見つけてみましょう。
図面を見ると、その結果は非常に納得のいくものです。 確認するには、分度器を使用して角度を測定することもできます。 モニターのカバーを傷つけないように注意してください =)
答え： 
その答えの中で私たちは次のことを忘れません。 三角形の角度について質問されました(ベクトル間の角度についてではありません)、正確な答えと角度のおおよその値を示すことを忘れないでください。 
, 電卓を使って求めます。
このプロセスを楽しんだ人は、角度を計算し、正規の等価性の妥当性を検証できます。
例 17
三角形は、その頂点の座標によって空間内で定義されます。 辺間の角度を見つけて、
これは自分で解決できる例です。 レッスンの最後に完全な解決策と答えが表示されます
最後の短いセクションでは、スカラー積も含む投影について説明します。
ベクトルのベクトルへの投影。 座標軸へのベクトルの投影。
ベクトルの方向余弦
ベクトルと を考えてみましょう。 
これを行うために、ベクトルを省略したベクトルの先頭と末尾から投影しましょう。 垂線ベクトル (緑色の点線) に変換します。 光線がベクトルに垂直に入射することを想像してください。 すると、セグメント（赤い線）がベクトルの「影」になります。 この場合、ベクトルへのベクトルの射影はセグメントの長さになります。 つまり、投影は数字です。
この数値は次のように表されます。「大きいベクトル」はベクトルを示します。 どれのプロジェクトでは、「小さな添字ベクトル」はベクトルを示します の上それが投影されます。
エントリ自体は次のようになります: 「ベクトル "a" のベクトル "be" への射影」。
ベクトル「be」が「短すぎる」場合はどうなるでしょうか? ベクトル「be」を含む直線を描きます。 そしてベクトル「a」はすでに投影されています 「be」のベクトルの方向へ、単純に - ベクトル「be」を含む直線に。 ベクトル「a」が 30 番目の王国で延期された場合にも同じことが起こります。ベクトル「be」を含む直線上に簡単に投影されます。
角度があればベクトル間 辛い(写真のように)、その後
ベクトルの場合 直交、その後 (投影は、次元がゼロとみなされる点です)。
角度があればベクトル間 鈍い(図では、ベクトル矢印を頭の中で再配置します)、次に (同じ長さですが、マイナス記号を付けます)。
これらのベクトルを 1 点からプロットしてみましょう。 
明らかに、ベクトルが移動しても、その投影は変化しません。
幾何学を勉強するとき、ベクトルに関する多くの疑問が生じます。 学生は、ベクトル間の角度を見つける必要があるときに特に困難を経験します。
基本用語
ベクトル間の角度を調べる前に、ベクトルの定義とベクトル間の角度の概念を理解しておく必要があります。
ベクトルは、方向を持つセグメント、つまり、その開始と終了が定義されているセグメントです。
共通の原点を持つ平面上の 2 つのベクトル間の角度は、ベクトルの方向が一致するまで共通点の周りでベクトルの 1 つを移動する必要がある量を加えた角度のうち小さい方になります。
解の公式
ベクトルとは何か、その角度がどのように決定されるかを理解すると、ベクトル間の角度を計算できるようになります。 これに対する解の公式は非常に単純で、それを適用した結果は角度の余弦の値になります。 定義によれば、これはベクトルのスカラー積とその長さの積の商に等しくなります。
ベクトルのスカラー積は、因子ベクトルの対応する座標を互いに乗算した合計として計算されます。 ベクトルの長さ、またはその係数は、その座標の二乗の合計の平方根として計算されます。
角度の余弦の値を受け取ったら、電卓または三角関数表を使用して角度自体の値を計算できます。
例
ベクトル間の角度を計算する方法を理解すると、対応する問題の解決が簡単かつ明確になります。 例として、角度の値を求める単純な問題を考えてみましょう。
まず第一に、解決に必要なベクトルの長さとそのスカラー積の値を計算する方が便利です。 上記の説明を使用すると、次のようになります。
得られた値を式に代入して、目的の角度のコサインの値を計算します。
この数値は 5 つの一般的なコサイン値の 1 つではないため、角度の値を取得するには、電卓または Bradis 三角関数テーブルを使用する必要があります。 ただし、ベクトル間の角度を取得する前に、式を簡略化して余分な負の符号を取り除くことができます。
精度を維持するために、最終的な答えをそのままにすることも、角度の値を度単位で計算することもできます。 Bradis の表によると、その値は約 116 度 70 分となり、計算機では 116.57 度の値が表示されます。
n次元空間での角度の計算
3 次元空間で 2 つのベクトルを考えるとき、それらが同じ平面上にない場合、どの角度について話しているのかを理解するのはさらに困難になります。 知覚を単純化するために、それらの間に最小の角度を形成する 2 つの交差するセグメントを描くことができます。これが望ましい角度になります。 ベクトルに 3 番目の座標があっても、ベクトル間の角度を計算するプロセスは変わりません。 ベクトルのスカラー積と係数を計算すると、それらの商の逆余弦がこの問題の答えになります。
幾何学では、3 次元を超える空間に関して問題が発生することがよくあります。 しかし、彼らにとって、答えを見つけるためのアルゴリズムは似ているように見えます。
0度と180度の差
ベクトル間の角度を計算するように設計された問題の答えを書くときによくある間違いの 1 つは、ベクトルが平行である、つまり、必要な角度が 0 度または 180 度に等しいと書いてしまうという決定です。 この答えは不正確です。
解の結果として角度値 0 度を受け取った場合、正しい答えはベクトルを同方向として指定することです。つまり、ベクトルは同じ方向になります。 180 度が得られると、ベクトルは逆の方向を向きます。
特定のベクトル
ベクトル間の角度が見つかったら、上で説明した同方向および逆方向のものに加えて、特殊なタイプの 1 つを見つけることができます。
- 1 つの平面に平行な複数のベクトルを共面と呼びます。
- 長さと方向が同じベクトルは等しいと呼ばれます。
- 方向に関係なく、同じ直線上にあるベクトルを共線性と呼びます。
- ベクトルの長さが 0 の場合、つまり、ベクトルの始まりと終わりが一致する場合、そのベクトルはゼロと呼ばれ、1 の場合、ユニットと呼ばれます。
