トピックに関するレッスンとプレゼンテーション:「自然対数、自然対数の底、自然数の対数」
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自然対数とは
皆さん、前回のレッスンでは新しい特別な数字 e を学びました。今日はこの数字を使って作業を続けます。私たちは対数を研究しており、対数の底は 0 より大きい多くの数になり得ることを知っています。今日は、数値 e を底とする対数も見ていきます。このような対数は通常、自然対数と呼ばれます。 独自の表記法があります。$\ln(n)$ は自然対数です。 このエントリは、エントリ $\log_e(n)=\ln(n)$ と同等です。
実例と 対数関数が逆数の場合、自然対数は関数の逆数になります: $y=e^x$。
逆関数は直線 $y=x$ に対して対称です。
直線$y=x$に対して指数関数をプロットして自然対数をプロットしてみましょう。
関数 $y=e^x$ の点 (0;1) における接線の傾き角が 45°であることに注目してください。 このとき、点(1;0)における自然対数のグラフの接線の傾斜角も45度に等しくなります。 これらの接線は両方とも、$y=x$ 線に平行になります。 接線を図にしてみましょう。 
関数 $y=\ln(x)$ のプロパティ
1. $D(f)=(0;+∞)$。2. 偶数でも奇数でもない。
3. 定義領域全体にわたって増加します。
4. 上からの制限も下からの制限もありません。
5. 最大の価値はありません。 最低値いいえ。
6. 継続的。
7. $E(f)=(-∞; +∞)$。
8.上に凸。
9. どこでも差別化可能。
高等数学の過程で次のことが証明されています 逆関数の導関数は、指定された関数の導関数の逆関数です.
証拠を掘り下げる必要はない とても理にかなっているでは、$y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$ という式を書いてみましょう。
例。
関数 $x=4$ における $y=\ln(2x-7)$ の導関数の値を計算します。
解決。
で 一般的な見解私たちの関数は関数 $y=f(kx+m)$ で表され、そのような関数の導関数を計算できます。
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$。
必要な点での導関数の値を計算しましょう: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$。
答え: 2.
例。
関数 $y=ln(x)$ のグラフの点 $х=е$ に接線を引きます。
解決。
$x=a$ 点における関数のグラフの接線の方程式はよく覚えています。
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$。
必要な値を順番に計算します。
$a=e$。
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$。
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$。
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$。
点 $x=e$ における接線方程式は関数 $y=\frac(x)(e)$ です。
自然対数と接線をプロットしてみましょう。 
例。
関数 $y=x^6-6*ln(x)$ の単調性と極値を調べます。
解決。
関数 $D(y)=(0;+∞)$ の定義域。
与えられた関数の導関数を見つけてみましょう。
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$。
導関数は定義域からのすべての x に対して存在します。 重要なポイントいいえ。 静止点を見つけてみましょう。
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$。
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$。
$6*x^6-6=0$。
$x^6-1=0$。
$x^6=1$。
$x=±1$。
点 $х=-1$ は定義域に属しません。 すると、静止点 $x=1$ が 1 つあります。 増加と減少の間隔を求めてみましょう。 
点 $x=1$ が最小点であり、$y_min=1-6*\ln(1)=1$ となります。
答え: 関数はセグメント (0;1] 上で減少し、関数は光線 $) 上で増加します。
