家ランドスケープデザイン線で囲まれた図形の回転によって形成される物体の体積。定積分を使用した回転体の体積の計算

ランドスケープデザイン

線で囲まれた図形の回転によって形成される物体の体積。定積分を使用した回転体の体積の計算

定義3. 回転体は、平面の図形を、その図形と交差せず、それと同一平面上にある軸を中心に回転させることによって得られる体です。

回転軸が図形の対称軸である場合、回転軸は図形と交差する場合があります。

定理2.
、軸
および直線セグメント
そして

軸の周りを回転します
。次に、結果として生じる回転体の体積は、次の式を使用して計算できます。

(2)

証拠。 このような物体の場合、横軸をとった断面は半径の円です
、手段
式 (1) は必要な結果を与えます。

2つの連続関数のグラフで数値が制限される場合
そして
、および線分
そして
、そして
そして
次に、x 軸の周りを回転すると、体積が得られる物体が得られます。

例 3. 円で囲まれた円を回転して得られるトーラスの体積を計算します

横軸の周り。

R 決断。 表示された円は関数のグラフにより以下に限定されます
、そして上から –
。これらの関数の二乗の差は次のようになります。

必要量

（被積分関数のグラフは上の半円なので、上に書かれた積分は半円の面積になります）。

例4. ベース付き放物線セグメント
、高さ、ベースを中心に回転します。結果として得られる物体の体積を計算します (Cavalieri の「レモン」)。

R 決断。 図のように放物線を配置します。次にその方程式
、そして
。パラメータの値を調べてみましょう :
。したがって、必要なボリュームは次のとおりです。

定理3. 連続非負関数のグラフで囲まれた曲線台形を考えます。
、軸
および直線セグメント
そして
、そして
、軸の周りを回転します
。次に、結果として生じる回転体の体積は、次の式を使用して求めることができます。

(3)

証明という考え方。 セグメントを分割します
点

をパーツに分けて直線を描きます。
。台形全体がストリップに分解されます。ストリップは、底辺を備えたほぼ長方形と考えることができます。
と高さ
.

このような長方形を母線に沿って回転させて円柱を切り出し、展開します。次の寸法を持つ「ほぼ」直方体が得られます。
,
そして
。そのボリューム
。したがって、回転体の体積については、次のようになります。

正確な平等を得るには、限界まで到達する必要があります。
。上に書かれた合計は、関数の整数合計です。
したがって、極限では式 (3) から積分を求めます。定理は証明されました。

注1. 定理 2 と 3 の条件は
省略可能: 式 (2) は一般に符号の影響を受けません。
、式(3)ではこれで十分です。
と取り換える
.

例5. 放物線セグメント (ベース
、身長 ) は高さを中心に回転します。結果として得られるボディの体積を求めます。

解決。 図のように放物線を配置してみましょう。そして、回転軸は図形と交差していますが、その軸は対称軸です。したがって、セグメントの右半分のみを考慮する必要があります。放物線方程式
、そして
、手段
。ボリュームについては次のとおりです。

注2. 曲線台形の曲線境界がパラメトリック方程式で与えられる場合
,
,
そして
,
その後、式 (2) と (3) を置き換えて使用できます。の上
そして
の上
それが変わるとき tから
前に .

例6。 この図はサイクロイドの最初の円弧によって制限されます
,
,
、x 軸。この図形を次の軸を中心に回転して得られる体の体積を求めます。 1) 軸
; 2) 軸
.

解決。 1) 一般式
私たちの場合には：

2) 一般式
私たちの図の場合:

学生にはすべての計算を自分で行うよう勧めます。

注3。 実線で囲まれた曲線セクターを考えます
そして光線
,

、極軸の周りを回転します。結果として得られるボディの体積は、次の式を使用して計算できます。

例7。 カーディオイドで囲まれた図の一部
、円の外側に横たわっている
、極軸の周りを回転します。結果として得られるボディの体積を求めます。

解決。 両方の線、したがってそれらが制限する図形は極軸に関して対称です。したがって、その部分のみを考慮する必要があります。
。曲線は次の位置で交差します。
そして

で
。さらに、この数値は 2 つのセクターの差と考えることができるため、体積は 2 つの積分の差として計算できます。我々は持っています：

タスク のために独立した決定.

1. 底面が円形のセグメント
、身長、ベースを中心に回転します。回転体の体積を求めます。

2. 底面が次の回転放物面の体積を求めます。、高さは .

3. 小惑星で囲まれた図形
,
横軸を中心に回転します。結果として得られるボディの体積を求めます。

4. 線で囲まれた図形
そして
x 軸を中心に回転します。回転体の体積を求めます。

回転体の体積は、次の式を使用して計算できます。

式では、数値は積分の前に存在する必要があります。それでそれが起こりました - 人生で回転するすべてのものはこの定数とつながっています。

積分限界「a」と「be」をどのように設定するかは、完成図から容易に推測できると思います。

機能・・・この機能は何でしょうか？図面を見てみましょう。平面図は上部の放物線のグラフで囲まれています。これは式に暗黙的に含まれる関数です。

実際のタスクでは、平面図形が軸の下に配置されることがあります。これは何も変更しません。数式内の関数は 2 乗されます。つまり、 回転体の体積は常に負ではありません、これは非常に論理的です。

を使用して回転体の体積を計算してみましょうこの式:

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることが判明します。重要なことは注意することです。

答え：

回答では、次元、つまり立方単位を指定する必要があります。つまり、私たちの回転体には約 3.35 個の「立方体」が存在します。なぜ立方体なのか単位? 最も普遍的な処方だからです。できる立方センチメートル、できる立方メートル、おそらく立方キロメートルなど、それはあなたの想像力が空飛ぶ円盤に乗せることができる緑色の人間の数です。

例 2

体の体積を求めて、回転によって形成される線、、で囲まれた図の軸の周り

これは自分で解決できる例です。完全なソリューションそしてレッスンの最後に答えが。

あと2つ考えてみましょう複雑なタスク、実際にもよく遭遇します。

例 3

、、の線で囲まれた図形の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決：方程式が軸を定義していることを忘れずに、線、、、で囲まれた平らな図形を図に描いてみましょう。

目的の図は青色の網掛けで表示されます。軸を中心に回転すると、四つ角のシュールなドーナツになります。

回転体の体積を次のように計算してみます。 体の体積の違い.

まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。軸の周りを回転すると、円錐台が得られます。この円錐台の体積をで表しましょう。

丸で囲った図を考えてみましょう緑。この図を軸を中心に回転すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。その体積をで表しましょう。

そして、明らかに、体積の違いはまさに「ドーナツ」の体積です。

標準的な公式を使用して回転体の体積を求めます。

1) 赤い丸で囲まれた図の上は直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑の丸で囲まれた図は、上が直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え：

興味深いのは、この場合、円錐台の体積を計算する学校の公式を使用して解を確認できることです。

決定自体は、次のように短く書かれることがよくあります。

ここで少し休んで、幾何学的な錯視についてお話しましょう。

人々はしばしばボリュームに関連した幻想を抱きますが、それは本の中でペレルマン（その人ではありません）によって気づきました 面白い幾何学模様。解決された問題の平面図を見てください。面積が小さいように見えますが、回転体の体積は 50 立方単位をわずかに超えており、大きすぎるように見えます。ちなみに、平均的な人は生涯で面積18の部屋に相当する量の飲み物を飲みます。平方メートル、逆に、ボリュームが小さすぎるように見えます。

一般に、ソ連の教育制度は本当に最高でした。ペレルマンが1950年に書いた同じ本は、ユーモア作家が言ったように、考察を非常によく展開し、オリジナルを探すことを教えています。非標準的なソリューション問題。最近、いくつかの章を非常に興味深く再読しました。人文主義者にとっても読みやすいので、お勧めします。いいえ、私が自由時間を提供したと笑う必要はありません。コミュニケーションにおける博学さと広い視野は素晴らしいことです。

叙情的な脱線の後は、創造的なタスクを解決するのが適切です。

例 4

線、、で囲まれた平らな図形の軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を計算します。

これは自分で解決できる例です。すべてのことは帯域内で発生する、言い換えれば、実質的に既成の統合制限が与えられることに注意してください。また、グラフを正しく描くようにしてください。三角関数、引数が 2 で除算される場合: 、グラフは軸に沿って 2 倍に引き伸ばされます。少なくとも 3 ～ 4 つのポイントを見つけるようにしてください 三角関数表によると図面をより正確に完成させます。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。ちなみに、タスクは合理的に解決できる場合もあれば、それほど合理的に解決できない場合もあります。

回転によって形成される体の体積の計算
軸を中心とした平らな図形

2 番目の段落は最初の段落よりもさらに興味深いものになります。縦軸の周りの回転体の体積を計算するタスクも、かなり頻繁に登場します。テスト。途中で検討させていただきます 図形の面積を求める問題 2 番目の方法は、軸に沿った統合です。これにより、スキルを向上させるだけでなく、最も収益性の高いソリューションパスを見つける方法も学ぶことができます。これには実際的な人生の意味もあります。数学の教授法を担当した私の教師が笑顔で思い出したように、多くの卒業生が「あなたの科目は私たちを大いに助けてくれました。今では私たちは有能なマネージャーとなり、スタッフを最適に管理しています。」と彼女に感謝しました。この機会に私も表明させていただきますどうもありがとう特に、取得した知識を本来の目的に使用するので =)。

例5

線、、で囲まれた平らな図形が与えられます。

1) これらの線で囲まれた平面図形の面積を求めます。
2) これらの線で囲まれた平面図形を軸を中心に回転させて得られる体の体積を求めます。

注意！ 2点目だけ読みたい場合でも、まずは必然的に最初のものを読んでください！

解決：このタスクは 2 つの部分で構成されます。まずは広場から始めましょう。

1) 絵を描いてみましょう:

関数が放物線の上の枝を指定し、関数が放物線の下の枝を指定していることが簡単にわかります。私たちの前には、「横たわっている」つまらない放物線があります。

求められる領域である目的の図形は青色の網掛けで表示されます。

図形の面積を求めるにはどうすればよいですか? 授業で話し合った「いつもの」方法で見つかる 確定積分。図形の面積の計算方法。さらに、図の面積は面積の合計として求められます。
- セグメント上 ;
- セグメント上。

それが理由です：

この場合、なぜ通常の解決策がダメなのでしょうか? まず、2 つの積分が得られました。第二に、積分は根であり、積分の根は贈り物ではなく、さらに、積分の極限を代入する際に混乱する可能性があります。実際、もちろん積分は致命的ではありませんが、実際にはすべてがもっと悲しいことになる可能性があります。私は問題に対して「より良い」関数を選択しただけです。

もっと合理的な解決策があります。それは、逆関数に切り替えて軸に沿って積分することで構成されます。

逆関数に到達するにはどうすればよいですか? 大まかに言うと、「x」から「y」までを表現する必要があります。まず、放物線を見てみましょう。

これで十分ですが、同じ関数が下のブランチから派生できることを確認してみましょう。

直線を使うと簡単です。

次に、軸を見てください。説明しながら定期的に頭を右に 90 度傾けてください (これは冗談ではありません!)。必要な図形は、赤い点線で示されたセグメント上にあります。この場合、セグメント上では直線が放物線の上にあります。これは、すでによく知られている公式を使用して図の面積を見つける必要があることを意味します。。式では何が変わったのでしょうか？単なる手紙であり、それ以上のものはありません。

! 注: 軸に沿った積分限界を設定する必要があります。 厳密に下から上へ!

エリアを見つける:

したがって、セグメントに関しては次のようになります。

私が統合をどのように実行したかに注目してください。これは最も合理的な方法であり、タスクの次の段落でその理由が明らかになります。

統合の正しさを疑う読者のために、導関数を見つけます。

元の被積分関数が得られます。これは、積分が正しく実行されたことを意味します。

答え：

2) この図形を軸の周りに回転させて形成される体の体積を計算してみましょう。

図面を少し異なるデザインで再描画します。

つまり、青色の図形が軸を中心に回転します。その結果、軸を中心に回転する「ホバリングバタフライ」が誕生しました。

回転体の体積を求めるには、軸に沿って積分します。まず、逆関数に行く必要があります。これはすでに行われており、前の段落で詳細に説明しました。

ここで、もう一度頭を右に傾けて、自分の姿を観察してみましょう。当然、回転体の体積は体積の差として求められるはずです。

赤丸で囲った図形を軸を中心に回転させると円錐台になります。この体積をで表すことにします。

緑の丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、その結果生じる回転体の体積で表します。

私たちの蝶のボリューム差に等しいボリューム

次の公式を使用して回転体の体積を求めます。

前の段落の式との違いは何ですか? 手紙の中だけで。

しかし、私が最近話した統合の利点は、はるかに簡単に見つけることができます。、最初に被積分関数を 4 乗するのではなく。

答え：

ただし、病弱な蝶ではありません。

同じ平面の図形を軸を中心に回転させると、当然のことながら、体積が異なるまったく異なる回転体が得られることに注意してください。

例6

線と軸で囲まれた平らな図形が与えられます。

1) 逆関数に進み、変数を積分することでこれらの線で囲まれた平面図形の面積を求めます。
2) これらの線で囲まれた平面図形を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。

を使用して回転体の体積を計算する方法定積分?

その上 定積分を使って平面図形の面積を求める このトピックの最も重要な応用は 回転体の体積を計算する。内容は簡単ですが、読者は準備ができている必要があります。解決できる必要があります。 不定積分 中程度の複雑さで、ニュートン・ライプニッツの公式を適用します。 定積分 。面積を求める問題と同様に、自信を持った描画スキルが必要です。これがほぼ最も重要なことです (積分自体は簡単であることが多いため)。読み書きをマスターし、高速テクノロジープロットは方法論的な資料を使用して実行できます。しかし、実は、絵の大切さについては授業で何度か話したことがあります。 .

一般に、積分には興味深い応用例がたくさんあります。定積分を使用すると、図形の面積、回転体の体積、円弧の長さ、表面積を計算できます。体など。楽しいことになると思いますので、楽観的にいてください！

座標平面上の平らな図形を想像してください。紹介された？ ... 誰が何を提示したのだろうか... =))) 私たちはすでにその領域を見つけました。ただし、さらに、この図形は回転することもでき、次の 2 つの方法で回転できます。

– X 軸の周り。 – 縦軸の周り。

この記事では両方のケースを検討します。 2 番目の回転方法は特に興味深いもので、最も困難を伴いますが、実際、解決策は、より一般的な X 軸を中心とした回転の場合とほぼ同じです。おまけとしてまた戻ってきます 図形の面積を求める問題 、そして 2 番目の方法、つまり軸に沿って面積を見つける方法を説明します。内容がテーマによく合っているので、それほどおまけというわけではありません。

最も多いものから始めましょう人気のある品種回転。

例1

線で囲まれた図形を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。

解決：面積を求める問題と同様に、 解決策は平面の図形を描くことから始まります。つまり、平面上では線で囲まれた図形を作成する必要があり、方程式が軸を定義することを忘れないでください。図面をより効率的かつ迅速に完成させる方法については、このページをご覧ください。 初等関数のグラフとプロパティ そして 確定積分。図形の面積の計算方法 。これは中国の注意事項であり、この時点ではこれ以上立ち入りません。

ここでの図は非常に単純です。

目的の平面図形は青色で影付けされています。これは軸を中心に回転する図形です。回転の結果、軸に対して対称なわずかに卵形の空飛ぶ円盤ができます。実はこの本体には数学的な名前が付いているのですが、参考書を見るのが面倒なので先に進みます。

回転体の体積を計算するにはどうすればよいですか?

回転体の体積は、次の式を使用して計算できます。

式では、数値は積分の前に存在する必要があります。それでそれが起こりました - 人生で回転するすべてのものはこの定数とつながっています。

積分限界 a と be をどのように設定するかは、完成図から容易に推測できると思います。

機能・・・この機能は何でしょうか？図面を見てみましょう。平らな図は、上部の放物線グラフによって囲まれています。これは式に暗黙的に含まれる関数です。

実際のタスクでは、平面図形が軸の下に配置されることがあります。これは何も変わりません - 式内の関数は 2 乗されます。 回転体の体積は常に負ではありません、これは非常に論理的です。

次の式を使用して回転体の体積を計算してみましょう。

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることが判明します。重要なことは注意することです。

答え：

回答では、次元、つまり立方単位を指定する必要があります。つまり、私たちの回転体には約 3.35 個の「立方体」が存在します。なぜ立方体なのか単位? 最も普遍的な処方だからです。立方センチメートル、立方メートル、立方キロメートルなど、想像力で空飛ぶ円盤に緑色の人間を何人乗せることができるかということです。

例 2

線で囲まれた図形の軸の周りの回転によって形成される体の体積を求めます。

これは自分で解決できる例です。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

実際にもよく遭遇する、さらに複雑な 2 つの問題を考えてみましょう。

例 3

、、、の線で囲まれた図形の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決：方程式が軸を定義していることを忘れずに、線 ,,, で囲まれた平らな図形を図面に描いてみましょう。

目的の図は青色の網掛けで表示されます。軸を中心に回転すると、四つ角のシュールなドーナツになります。

回転体の体積を次のように計算してみます。 体の体積の違い.

まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。軸の周りを回転すると、円錐台が得られます。この円錐台の体積をで表しましょう。

緑の丸で囲った図を考えてみましょう。この図を軸を中心に回転すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。その体積をで表しましょう。

そして、明らかに、体積の違いはまさに「ドーナツ」の体積です。

標準的な公式を使用して回転体の体積を求めます。

1) 赤い丸で囲まれた図の上は直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑の丸で囲まれた図は上が直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え：

興味深いのは、この場合、円錐台の体積を計算する学校の公式を使用して解を確認できることです。

決定自体は、次のように短く書かれることがよくあります。

ここで少し休んで、幾何学的な錯視についてお話しましょう。

人々はしばしばボリュームに関連した幻想を抱きますが、それは本の中でペレルマン（その人ではありません）によって気づきました 面白い幾何学模様。解決された問題の平面図を見てください。面積が小さいように見えますが、回転体の体積は 50 立方単位をわずかに超えており、大きすぎるように見えます。ちなみに、平均的な人は生涯で18平方メートルの部屋に相当する液体を飲みますが、それは逆に少なすぎるように思えます。

一般に、ソ連の教育制度は本当に最高でした。ペレルマンが1950年に書いた同じ本は、ユーモア作家が言ったように、非常によく発展しており、問題に対する独自の非標準的な解決策を探すことを考え、教えています。最近、いくつかの章を非常に興味深く再読しました。人文主義者にとっても読みやすいので、お勧めします。いいえ、私が自由時間を提供したと笑う必要はありません。コミュニケーションにおける博学さと広い視野は素晴らしいことです。

叙情的な脱線の後は、創造的なタスクを解決するのが適切です。

例 4

線で囲まれた平らな図形の軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を計算します。

これは自分で解決できる例です。すべてのことは帯域内で発生する、言い換えれば、実質的に既成の統合制限が与えられることに注意してください。また、三角関数のグラフを正しく描くようにしてください。引数が 2 で除算される場合、グラフは軸に沿って 2 倍に引き伸ばされます。少なくとも 3 ～ 4 つのポイントを見つけるようにしてください 三角関数表によると 図面をより正確に完成させます。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。ちなみに、タスクは合理的に解決できる場合もあれば、それほど合理的に解決できない場合もあります。

平面図形を軸を中心に回転させてできる体の体積の計算

2 番目の段落は最初の段落よりもさらに興味深いものになります。縦軸を中心とした回転体の体積を計算するタスクも、テスト作業ではよく行われます。途中で検討させていただきます 図形の面積を求める問題 2 番目の方法は、軸に沿った統合です。これにより、スキルを向上させるだけでなく、最も収益性の高いソリューションパスを見つける方法も学ぶことができます。これには実際的な人生の意味もあります。数学の教授法を担当した私の先生が笑顔で思い出したように、多くの卒業生が「あなたの科目は私たちを大いに助けてくれました。今では私たちは有能なマネージャーとなり、スタッフを最適に管理することができます。」と彼女に感謝しました。この機会を利用して、特に私が得た知識を本来の目的のために使用しているので、私は彼女に多大な感謝の意を表します =)。

例5

線で囲まれた平らな図形が与えられるとします。

1) これらの線で囲まれた平面図形の面積を求めます。 2) これらの線で囲まれた平面図形を軸を中心に回転させて得られる体の体積を求めます。

注意！ 2 番目のポイントだけを読みたい場合でも、まず必然的に最初のものを読んでください！

解決：このタスクは 2 つの部分で構成されます。まずは広場から始めましょう。

1) 絵を描いてみましょう:

求められる領域である目的の図形は青色の網掛けで表示されます。

図形の面積を求めるにはどうすればよいですか? 授業で話し合った「いつもの」方法で見つかる 確定積分。図形の面積の計算方法 。さらに、図の面積は、次の面積の合計として求められます。 – セグメント上 ; - セグメント上。

それが理由です：

もっと合理的な解決策があります。それは、逆関数に切り替えて軸に沿って積分することで構成されます。

逆関数に到達するにはどうすればよいですか? 大まかに言うと、「x」から「y」までを表現する必要があります。まず、放物線を見てみましょう。

これで十分ですが、同じ関数が下のブランチから派生できることを確認してみましょう。

直線を使うと簡単です。

次に、軸を見てください。説明しながら定期的に頭を右に 90 度傾けてください (これは冗談ではありません!)。必要な図形は、赤い点線で示されたセグメント上にあります。さらに、セグメント上では直線は放物線の上にあります。これは、すでによく知られている公式を使用して図の面積を見つける必要があることを意味します。。式では何が変わったのでしょうか？単なる手紙であり、それ以上のものはありません。

! 注: 軸に沿った積分限界を設定する必要があります。厳密に下から上へ !

エリアを見つける:

したがって、セグメントに関しては次のようになります。

私が統合をどのように実行したかに注目してください。これは最も合理的な方法であり、タスクの次の段落でその理由が明らかになります。

統合の正しさを疑う読者のために、導関数を見つけます。

元の被積分関数が得られます。これは、積分が正しく実行されたことを意味します。

答え：

2) この図形を軸の周りに回転させて形成される体の体積を計算してみましょう。

図面を少し異なるデザインで再描画します。

つまり、青色の図形が軸を中心に回転します。その結果、軸を中心に回転する「ホバリングバタフライ」が誕生しました。

ここで、もう一度頭を右に傾けて、自分の姿を観察してみましょう。当然、回転体の体積は体積の差として求められるはずです。

赤丸で囲った図形を軸を中心に回転させると円錐台になります。この体積をで表すことにします。

緑の丸で囲んだ図を軸を中心に回転させ、その結果生じる回転体の体積で表します。

私たちの蝶の体積は、体積の差に等しいです。

回転体の体積を求めるには次の公式を使用します。

前の段落の式との違いは何ですか? 手紙の中だけで。

しかし、私が最近話した統合の利点は、はるかに簡単に見つけることができます。、最初に被積分関数を 4 乗するのではなく。

面積を求める問題と同様に、自信を持った描画スキルが必要です。これがほぼ最も重要なことです (積分自体は簡単であることが多いため)。を使用すると、有能で高速なチャート作成テクニックを習得できます。教材およびグラフの幾何学的変換。しかし、実は、絵の大切さについては授業で何度か話したことがあります。

一般に、積分には興味深い応用例がたくさんあります。定積分を使用すると、図形の面積、回転体の体積、円弧の長さ、回転の表面積などを計算できます。もっと。楽しいことになると思いますので、楽観的にいてください！

– 横軸の周り。
– 縦軸の周り。

この記事では両方のケースを検討します。 2 番目の回転方法は特に興味深いもので、最も困難を伴いますが、実際、解決策は、より一般的な X 軸を中心とした回転の場合とほぼ同じです。おまけとしてまた戻ってきます 図形の面積を求める問題、そして 2 番目の方法、つまり軸に沿って面積を見つける方法を説明します。内容がテーマによく合っているので、それほどおまけというわけではありません。

最も一般的なタイプの回転から始めましょう。

軸を中心とした平らな図形

例1

線で囲まれた図形を軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。

解決: 面積を求める問題と同様に、 解決策は平面の図形を描くことから始まります。つまり、平面上では線で囲まれた図形を作成する必要があり、方程式が軸を指定していることを忘れないでください。図面をより効率的かつ迅速に完成させる方法については、このページをご覧ください。 初等関数のグラフとプロパティそして 確定積分。図形の面積の計算方法。これは中国の注意事項であり、この時点ではこれ以上立ち入りません。

ここでの図は非常に単純です。

目的の平面図は青色で影付けされています。これは軸を中心に回転するもので、回転の結果、軸に関して対称なわずかに卵形の空飛ぶ円盤が作成されます。実際、ボディには数学的な名前が付けられていますが、参考書で何も説明するのが面倒なので先に進みます。

回転体の体積を計算するにはどうすればよいですか?

回転体の体積は次の式を使用して計算できます。:

式では、数値は積分の前に存在する必要があります。それでそれが起こりました - 人生で回転するすべてのものはこの定数とつながっています。

積分限界「a」と「be」をどのように設定するかは、完成図から容易に推測できると思います。

実際のタスクでは、平面図形が軸の下に配置されることがあります。これは何も変更しません - 式の被積分関数は 2 乗されます。 積分は常に非負です、これは非常に論理的です。

次の式を使用して回転体の体積を計算してみましょう。

すでに述べたように、積分はほとんどの場合単純であることが判明します。重要なことは注意することです。

答え:

例 2

線、、で囲まれた図形の軸の周りの回転によって形成される体の体積を求めます。

これは自分で解決できる例です。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

実際にもよく遭遇する、さらに複雑な 2 つの問題を考えてみましょう。

例 3

、、の線で囲まれた図形の横軸を中心に回転して得られる体の体積を計算します。

解決: 方程式が軸を定義していることを忘れずに、線、、、で囲まれた平らな図形を図面に描いてみましょう。

目的の図は青色の網掛けで表示されます。軸を中心に回転すると、四つ角のシュールなドーナツになります。

回転体の体積を次のように計算してみます。 体の体積の違い.

まず、赤丸で囲った図を見てみましょう。軸の周りを回転すると、円錐台が得られます。この円錐台の体積をで表しましょう。

緑の丸で囲った図を考えてみましょう。この図を軸を中心に回転すると、少しだけ小さい円錐台も得られます。その体積をで表しましょう。

そして、明らかに、体積の違いはまさに「ドーナツ」の体積です。

標準的な公式を使用して回転体の体積を求めます。

1) 赤い丸で囲まれた図の上は直線で囲まれているため、次のようになります。

2) 緑の丸で囲まれた図は、上が直線で囲まれているため、次のようになります。

3) 希望する回転体の体積:

答え:

興味深いのは、この場合、円錐台の体積を計算する学校の公式を使用して解を確認できることです。

決定自体は、次のように短く書かれることがよくあります。

ここで少し休んで、幾何学的な錯視についてお話しましょう。

人々はボリュームに関連した幻想を抱くことがよくありますが、これは本の中でペレルマン (別の) によって指摘されました。 面白い幾何学模様。解決された問題の平面図を見てください。面積が小さいように見えますが、回転体の体積は 50 立方単位をわずかに超えており、大きすぎるように見えます。ちなみに、平均的な人は生涯で18平方メートルの部屋に相当する液体を飲みますが、それは逆に少なすぎるように思えます。

一般に、ソ連の教育制度は本当に最高でした。 1950年に出版されたペレルマンの同じ本は、ユーモア作家が言ったように、非常によく発展しており、問題に対する独自の非標準的な解決策を探すことを考え、教えています。最近、いくつかの章を非常に興味深く再読しました。人文主義者にとっても読みやすいので、お勧めします。いいえ、私が自由時間を提供したと笑う必要はありません。コミュニケーションにおける博学さと広い視野は素晴らしいことです。

叙情的な脱線の後は、創造的なタスクを解決するのが適切です。

例 4

線、、で囲まれた平らな図形の軸を中心とした回転によって形成される物体の体積を計算します。

これは自分で解決できる例です。すべてのケースが帯域内で発生する、つまり、既製の積分制限が実際に与えられることに注意してください。三角関数のグラフを正しく描く、という授業資料を思い出してください。 グラフの幾何学的変換: 引数を 2 で割った場合: 、グラフは軸に沿って 2 倍に引き伸ばされます。少なくとも 3 ～ 4 つのポイントを見つけることをお勧めします 三角関数表によると図面をより正確に完成させるために。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。ちなみに、タスクは合理的に解決できる場合もあれば、それほど合理的に解決できない場合もあります。

回転によって形成される体の体積の計算
軸を中心とした平らな図形

2 番目の段落は最初の段落よりもさらに興味深いものになります。縦軸を中心とした回転体の体積を計算するタスクも、テスト作業ではよく行われます。途中で検討させていただきます 図形の面積を求める問題 2 番目の方法は、軸に沿った統合です。これにより、スキルを向上させるだけでなく、最も収益性の高いソリューションパスを見つける方法も学ぶことができます。これには実際的な人生の意味もあります。数学の教授法を担当した私の教師が笑顔で思い出したように、多くの卒業生が「あなたの科目は私たちを大いに助けてくれました。今では私たちは有能なマネージャーとなり、スタッフを最適に管理しています。」と彼女に感謝しました。この機会を利用して、特に私が得た知識を本来の目的のために使用しているので、私は彼女に多大な感謝の意を表します =)。

完全なダミーであっても、すべての人に読むことをお勧めします。 さらに、2 番目の段落で学習した内容は、貴重な助け二重積分を計算するとき.

例5

線、、で囲まれた平らな図形が与えられます。

1) これらの線で囲まれた平面図形の面積を求めます。
2) これらの線で囲まれた平面図形を軸を中心に回転させて得られる体の体積を求めます。

注意！ 2点目だけ読みたい場合でも、まずは必然的に最初のものを読んでください！

解決: タスクは 2 つの部分で構成されます。まずは広場から始めましょう。

1) 絵を描いてみましょう:

求められる領域である目的の図形は青色の網掛けで表示されます。

それが理由です：

もっと合理的な解決策があります。それは、逆関数に切り替えて軸に沿って積分することで構成されます。

逆関数に到達するにはどうすればよいですか? 大まかに言うと、「x」から「y」までを表現する必要があります。まず、放物線を見てみましょう。

これで十分ですが、同じ関数が下のブランチから派生できることを確認してみましょう。

直線を使うと簡単です。

! 注記: 軸に沿った積分限界を設定する必要があります 厳密に下から上へ!

エリアを見つける:

したがって、セグメントに関しては次のようになります。

私が統合をどのように実行したかに注目してください。これは最も合理的な方法であり、タスクの次の段落でその理由が明らかになります。

統合の正しさを疑う読者のために、導関数を見つけます。

元の被積分関数が得られます。これは、積分が正しく実行されたことを意味します。

答え:

2) この図形を軸の周りに回転させて形成される体の体積を計算してみましょう。

図面を少し異なるデザインで再描画します。

つまり、青色の図形が軸を中心に回転します。その結果、軸を中心に回転する「ホバリングバタフライ」が誕生しました。

ここで、もう一度頭を右に傾けて、自分の姿を観察してみましょう。当然、回転体の体積は体積の差として求められるはずです。

赤丸で囲った図形を軸を中心に回転させると円錐台になります。この体積をで表すことにします。

緑の丸で囲まれた図を軸を中心に回転させ、その結果生じる回転体の体積で表します。

私たちの蝶の体積は、体積の差に等しい。

次の公式を使用して回転体の体積を求めます。

前の段落の式との違いは何ですか? 手紙の中だけで。

しかし、私が最近話した統合の利点は、はるかに簡単に見つけることができます。、最初に被積分関数を 4 乗するのではなく。

答え:

ただし、病弱な蝶ではありません。

同じ平面の図形を軸を中心に回転させると、当然のことながら、体積が異なるまったく異なる回転体が得られることに注意してください。

例6

線と軸で囲まれた平らな図形が与えられます。

これは自分で解決できる例です。興味のある方は、「通常の」方法で図形の面積を見つけて、ポイント 1) を確認することもできます。しかし、繰り返しますが、平面の図形を軸を中心に回転させると、体積が異なるまったく異なる回転体が得られます。ちなみに、これが正解です (問題を解くのが好きな人にとっても)。

タスクの提案された 2 つのポイントに対する完全な解決策は、レッスンの最後にあります。

はい、そして回転体と積分の限界を理解するために頭を右に傾けることを忘れないでください。

トピック: 「定積分を使用した回転体の体積の計算」

レッスンタイプ:組み合わせた。

レッスンの目的:積分を使用して回転体の体積を計算する方法を学びます。

タスク:

多数の幾何学的図形から曲線台形を識別する能力を強化し、曲線台形の面積を計算するスキルを開発します。

三次元図形の概念を理解する。

回転体の体積の計算を学びます。

開発を促進する論理的思考、有能な数学的スピーチ、図面を作成するときの正確さ。

主題への関心を育み、数学的概念やイメージを操作することで、最終結果を達成するための意志、独立性、忍耐力を育みます。

授業中

I. 組織的な瞬間。

グループからのご挨拶。レッスンの目的を生徒に伝えます。

今日のレッスンをたとえ話から始めたいと思います。「昔々、すべてを知っている賢者がいました。ある男は、賢者がすべてを知っているわけではないことを証明したいと考えました。手のひらに蝶を抱えて、彼はこう尋ねました。「教えてください、賢者、私の手にある蝶は、死んでいるのですか、それとも生きているのですか？」そして彼はこう考える、「生きている者が言うなら殺す、死んだ者が言うなら解放する」。賢者は考えた後、「すべてはあなたの手の中にあります。」と答えました。

したがって、今日は有意義に働き、新たな知識を獲得し、獲得したスキルと能力を将来の生活と実践的な活動に適用してください。「すべてはあなたの手の中にあります」。

II. 以前に学習した内容の繰り返し。

以前に学習した内容の要点を思い出してください。これを行うには、「余分な単語を削除する」タスクを完了しましょう。

（生徒たちは余分な言葉を言います。）

右 「差分」。残りの単語に一般的な単語を 1 つ付けてみましょう。 (積分計算。)

積分微積分に関連する主な段階と概念を思い出してみましょう。