線形系を考えてみましょう 代数方程式、これを解く必要があります（システムの各方程式を等式に変える未知数 xi の値を見つけます）。
線形代数方程式系では次のことができることがわかっています。
1) 解決策がない ( 非互換).
2) 無限に多くの解がある。
3) 解決策は 1 つだけです。
覚えているように、クラマーの法則と行列法は、システムに無限の解がある場合や一貫性がない場合には適していません。 ガウス法 – 最も強力で、 万能ツールあらゆるシステムの解決策を見つけるために 一次方程式 、 どれの あらゆる場合に私たちを答えに導きます！ メソッドのアルゴリズム自体は、3 つのケースすべてで同じように機能します。 Cramer 法や行列法では行列式の知識が必要ですが、ガウス法を適用するには四則演算の知識だけで済むため、小学生でも簡単に利用できます。
拡張行列変換 ( これはシステムの行列です。未知数の係数と自由項の列のみで構成される行列です)ガウス法における線形代数方程式系:
1) と トロキ行列 できる 並べ替えるいくつかの場所で。
2) 比例した (特殊な場合として - 同一の) 行が行列内に現れる (または存在する) 場合、次のようにする必要があります。 消去これらの行は 1 つを除いてすべて行列からのものです。
3) 変換中に行列にゼロ行が表示される場合、それも次のようにする必要があります。 消去.
4) 行列の行は次のようになります。 乗算（除算）ゼロ以外の任意の数値に設定します。
5) 行列の行に次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは違います。
ガウス法では、初等変換によって連立方程式の解は変わりません。
ガウス法は 2 つの段階で構成されます。
- 「直接移動」 - 基本変換を使用して、線形代数方程式系の拡張行列を「三角形」ステップ形式にします。主対角線の下にある拡張行列の要素はゼロに等しくなります (トップダウン移動)。 たとえば、このタイプには次のようになります。
これを行うには、次の手順を実行します。
1) 線形代数方程式系の最初の方程式を考えてみましょう。x 1 の係数は K に等しいです。2 番目、3 番目などです。 次のように方程式を変換します。各方程式 (自由項を含む未知数の係数) を各方程式の未知数の係数 x 1 で割り、K を掛けます。この後、2 番目の方程式から最初の値を引きます (未知数の係数と自由項)。 2 番目の方程式の x 1 については、係数 0 が得られます。3 番目の変換された方程式から、未知の x 1 について、最初の方程式を除くすべての方程式の係数が 0 になるまで、最初の方程式を減算します。
2) 次の方程式に進みましょう。 これを 2 番目の方程式とし、x 2 の係数を M に等しいものとします。上で説明したように、すべての「下位」方程式を進めます。 したがって、すべての方程式の未知数 x 2 の「下」にはゼロが存在します。
3) 次の方程式に進み、最後の未知数と変換された自由項が残るまで同様に続きます。
- ガウス法の「逆の動き」は、線形代数方程式系の解を求めることです (「ボトムアップ」の動き)。 最後の「下位」方程式から、1 つの最初の解、つまり未知の x n が得られます。 これを行うには、初等方程式 A * x n = B を解きます。上記の例では、x 3 = 4 です。見つかった値を「上の」次の方程式に代入し、次の未知数に関して解きます。 たとえば、x 2 – 4 = 1、つまり x 2 = 5。未知の部分がすべて見つかるまでこれを繰り返します。
例。
一部の著者がアドバイスしているように、ガウス法を使用して連立一次方程式を解いてみましょう。
システムの拡張行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを段階的な形式にします。
左上の「ステップ」に注目します。 そこに 1 つあるはずです。 問題は、最初の列にユニットがまったくないため、行を再配置しても何も解決しないことです。 このような場合は、基本変換を使用してユニットを編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で実行できます。 これをやろう：
1ステップ
。 最初の行に 2 行目を追加し、-1 を掛けます。 つまり、2 行目に -1 を心の中で乗算し、1 行目と 2 行目を加算しましたが、2 行目は変更しませんでした。
左上に「マイナス 1」が表示されていますが、これは非常に適切です。 +1 を取得したい人は誰でも、最初の行に -1 を掛ける (符号を変更する) という追加のアクションを実行できます。
ステップ2 。 1 行目に 5 を乗じたものが 2 行目に追加され、1 行目に 3 を乗算して 3 行目に追加されました。
ステップ3 。 最初の行には -1 が掛けられていますが、これは原則として美しさのためです。 3 行目の符号も変更され 2 位に移動したため、2 番目の「ステップ」で必要なユニットが揃いました。
ステップ4 。 3 行目は 2 行目に追加され、2 が乗算されます。
ステップ5 。 3行目は3で割られています。
計算上のエラー (タイプミスの場合はそれほど多くありません) を示す兆候は、最終的に「悪い」結果となります。 つまり、以下の (0 0 11 |23) のような結果が得られ、それに応じて 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 が得られた場合、高い確率で初等段階でエラーが発生したと言えます。変化。
逆に、例の設計では、システム自体は書き換えられないことがよくありますが、方程式は「指定された行列から直接取得」されます。 逆の動きは下から上に向かって機能することを思い出してください。 で この例ではそれは贈り物であることが判明しました:
× 3 = 1
× 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1、したがって x 1 + 3 – 1 = 1、x 1 = –1
答え:x 1 = –1、x 2 = 3、x 3 = 1。
提案されたアルゴリズムを使用して同じシステムを解いてみましょう。 我々が得る
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
2 番目の方程式を 5 で除算し、3 番目の方程式を 3 で除算すると、次のようになります。
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
2 番目と 3 番目の方程式に 4 を掛けると、次のようになります。
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
2 番目と 3 番目の式から最初の式を減算すると、次のようになります。
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
3 番目の式を 0.64 で割ります。
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
3 番目の式に 0.4 を掛けます。
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
3 番目の方程式から 2 番目を減算すると、「段階的」拡張行列が得られます。
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
したがって、計算中に誤差が蓄積されるため、x 3 = 0.96、つまり約 1 が得られます。
x 2 = 3 および x 1 = –1。
この方法で解くと、計算で混乱することはなくなり、計算ミスはあるものの、結果が得られます。
線形代数方程式系を解くこの方法はプログラムが簡単で、考慮されません。 特定の機能実際には (経済的および技術的な計算において) 非整数の係数を扱わなければならないためです。
私はあなたの成功を祈って！ また授業で会おう！ 家庭教師。
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ここでは連立一次方程式を無料で解くことができます ガウス法オンライン 大きいサイズ非常に詳細な解法を使用した複素数の計算。 私たちの計算機は、無限の数の解を持つガウス法を使用して、通常の線形方程式の定系と不定系の両方をオンラインで解くことができます。 この場合、回答では、他の自由な変数を介したいくつかの変数の依存関係を受け取ることになります。 ガウス解を使用して、オンラインで方程式系の整合性をチェックすることもできます。
方法について
ガウス法を使用してオンラインで連立一次方程式を解く場合、次の手順が実行されます。
- 拡張行列を書きます。
- 実際、解決策はガウス法の前進ステップと後退ステップに分割されます。 ガウス法の直接的なアプローチは、行列を段階的な形式に縮小することです。 ガウス法の逆は、行列を特別な段階的形式に縮小することです。 しかし実際には、問題の要素の上下両方にあるものをすぐにゼロにする方が便利です。 私たちの計算機はまさにこのアプローチを使用しています。
- ガウス法を使用して解く場合、行列内に非ゼロの右側を持つ少なくとも 1 つのゼロ行 (自由項の列) が存在する場合、システムの不一致を示すことに注意することが重要です。 解決 線形システムこの場合、それは存在しません。
ガウス アルゴリズムがオンラインでどのように機能するかを最もよく理解するには、任意の例を入力し、「非常に」を選択します。 詳細な解決策」と考えて、オンラインで解決策を調べます。
連立一次方程式を解く最も簡単な方法の 1 つは、行列式の計算に基づく手法です ( クレーマーの法則）。 この利点は、解をすぐに記録できることです。システムの係数が数値ではなく、パラメーターである場合に特に便利です。 欠点は、その場合の計算が面倒なことです。 多数さらに、方程式の数が未知数の数と一致しない系には、クラマーの法則は直接適用できません。 このような場合によく使われるのが、 ガウス法.
同じ解の集合を持つ連立一次方程式は次のように呼ばれます。 同等。 明らかに、線形システムの解のセットは、方程式が交換されても、方程式の 1 つにゼロ以外の数値が乗算されても、あるいは方程式が別の方程式に加算されても変わりません。
ガウス法 (方法 順次消去未知) は、基本変換の助けを借りて、システムがステップ型の同等のシステムに還元されることです。 まず、最初の式を使用して、次を消去します。 バツシステムの後続のすべての方程式の 1。 次に、2 番目の方程式を使用して、 バツ 2 は 3 番目以降のすべての方程式から得られます。 このプロセスは、 ダイレクトガウス法、最後の方程式の左側に未知数が 1 つだけ残るまで続きます。 ×n。 この後は完了です ガウス法の逆– 最後の方程式を解くと、次のことがわかります。 ×n; その後、この値を使用して、最後から 2 番目の方程式から計算します。 ×n–1など 最後の一つを見つけます バツ最初の式から 1。
方程式自体ではなく、その係数の行列を使用して変換を実行することにより、ガウス変換を実行すると便利です。 マトリックスを考えてみましょう。
呼ばれた 拡張された システムのマトリックス, なぜなら、システムのメインマトリックスに加えて、自由条件の列が含まれているからです。 ガウス法は、システムの拡張行列の基本行変換 (!) を使用して、システムの主行列を三角形 (非正方形システムの場合は台形) に縮小することに基づいています。
例5.1。ガウス法を使用してシステムを解きます。
解決。 システムの拡張行列を書き出して、最初の行を使用して、その後残りの要素をリセットしましょう。
最初の列の 2 行目、3 行目、4 行目にゼロが入ります。
ここで、2 行目の下にある 2 列目のすべての要素が 0 に等しくなる必要があります。 これを行うには、2 行目に -4/7 を乗算し、それを 3 行目に追加します。 ただし、端数を扱わないように、2行2列目に単位を作成し、
ここで、三角行列を取得するには、3 列目の 4 行目の要素をリセットする必要があります。これを行うには、3 行目に 8/54 を乗算して 4 行目に加算します。 ただし、端数を処理しないようにするために、3 行目と 4 行目、および 3 列目と 4 列目を交換し、その後でのみ指定された要素をリセットします。 列を再配置すると、対応する変数の位置が変わるため、これを覚えておく必要があることに注意してください。 列を使用した他の基本的な変換 (加算や数値の乗算) は実行できません。
最後の単純化された行列は、元の行列と等価な連立方程式に対応します。
ここから、ガウス法の逆関数を使用して、4 番目の方程式から次の式を求めます。 バツ 3 = –1; 3番目から バツ 4 = –2、2 番目から バツ 2 = 2、最初の方程式より バツ 1 = 1。行列形式では、答えは次のように記述されます。
システムが明確である場合、つまり、システムが明確である場合を考えました。 解決策が 1 つしかないとき。 システムに一貫性がない、または不確実な場合に何が起こるかを見てみましょう。
例5.2。ガウス法を使用してシステムを探索します。
解決。 システムの拡張行列を書き出して変換します。
簡略化した連立方程式を書きます。
ここで、最後の式では 0=4、つまり 0=4 であることがわかります。 矛盾。 したがって、システムには解決策がありません。 彼女 非互換. à
例5.3。ガウス法を使用してシステムを調べて解決します。
解決。 システムの拡張行列を書き出して変換します。
変換の結果、最後の行にはゼロのみが含まれます。 これは、方程式の数が 1 つ減少したことを意味します。
したがって、単純化の後、2 つの方程式が残り、4 つの未知数が残ります。 知られざる2つの「番外編」。 それらを「余分」なものにしましょう。あるいは、彼らが言うように、 自由変数、 意思 バツ 3と バツ４． それから
信じる バツ 3 = 2あるそして バツ 4 = b、 我々が得る バツ 2 = 1–あるそして バツ 1 = 2b–ある; またはマトリックス形式で
このように書かれた解決策は次のように呼ばれます 一般的な、なぜなら、パラメータを与えるからです あるそして b さまざまな意味、すべてを説明できます 可能な解決策システム。 ある
2 つの線形方程式系は、すべての解のセットが一致する場合に等価であると呼ばれます。
基本的な変換方程式系は次のとおりです。
- システムから自明な方程式を削除する、つまり すべての係数がゼロに等しいもの。
- 方程式にゼロ以外の数値を乗算する。
- 任意の i 番目の方程式に、任意の数を掛けた任意の j 番目の方程式を追加します。
変数 x i は、この変数が許可されていないが、方程式系全体が許可されている場合、free と呼ばれます。
定理。 基本変換は、方程式系を等価なものに変換します。
ガウス法の意味は、元の方程式系を変換し、等価な解決された系または等価な矛盾した系を取得することです。
したがって、ガウス法は次の手順で構成されます。
- 最初の方程式を見てみましょう。 最初のゼロ以外の係数を選択し、方程式全体をそれで除算してみましょう。 ある変数 x i が係数 1 で入る方程式が得られます。
- この方程式を他の方程式から引き、残りの方程式の変数 x i の係数がゼロになるような数値を掛けてみましょう。 変数 x i に関して解決され、元のシステムと同等のシステムが得られます。
- 自明な方程式が生じた場合 (めったにありませんが、発生します。たとえば、0 = 0)、それらをシステムから除外します。 その結果、方程式が 1 つ少なくなります。
- 前のステップを n 回まで繰り返します。n はシステム内の式の数です。 毎回、「処理」のために新しい変数を選択します。 矛盾した方程式が発生した場合 (たとえば、0 = 8)、システムは矛盾しています。
その結果、いくつかのステップを経ると、解決されたシステム (おそらく自由変数を含む) か、矛盾したシステムが得られます。 許可されるシステムは次の 2 つのケースに分類されます。
- 変数の数は方程式の数と同じです。 これは、システムが定義されていることを意味します。
- 変数の数 さらに多くの数方程式。 右側にすべての自由変数を収集します。許可された変数の式を取得します。 これらの式は答えに書かれています。
それだけです！ 連立一次方程式が解けました！ これは非常に単純なアルゴリズムであり、これを習得するために高等数学の家庭教師に連絡する必要はありません。 例を見てみましょう:
タスク。 連立方程式を解く：
手順の説明:
- 最初の方程式を 2 番目と 3 番目の方程式から減算すると、許容される変数 x 1 が得られます。
- 2 番目の方程式に (−1) を掛け、3 番目の方程式を (−3) で割ります。変数 x 2 が係数 1 で入る 2 つの方程式が得られます。
- 2 番目の方程式を最初の方程式に加算し、3 番目の方程式から減算します。 許可された変数 x 2 を取得します。
- 最後に、最初の方程式から 3 番目の方程式を減算します。許可された変数 x 3 が得られます。
- 承認されたシステムを受け取りましたので、応答を書き留めてください。
連立一次方程式系の一般的な解は次のとおりです。 新しいシステム、元の変数と同等で、すべての許可された変数が自由変数で表現されます。
必要になる可能性があるとき 共通の決定? しなければならない場合 手順が少なくなる、ｋよりも大きい（ｋは方程式の数である）。 ただし、あるステップでプロセスが終了する理由は次のとおりです。< k , может быть две:
- l 番目のステップの後、番号 (l + 1) を持つ方程式を含まないシステムが得られました。 実際、これは良いことなので... 承認されたシステムはまだ取得されています - 数ステップ早くても。
- l 番目のステップの後、変数のすべての係数がゼロに等しく、自由係数がゼロとは異なる方程式が得られました。 これは矛盾した方程式であるため、システムは矛盾しています。
ガウス法を使用した矛盾した方程式の出現は、矛盾の十分な根拠であることを理解することが重要です。 同時に、l 番目のステップの結果として、自明な方程式が残ることはなく、プロセスの中ですべての式が取り消し線で消されていることに注意してください。
手順の説明:
- 最初の式を 4 倍したものを 2 番目の式から減算します。 また、最初の方程式を 3 番目の方程式に追加します。許可された変数 x 1 が得られます。
- 2 番目の方程式から 2 を掛けた 3 番目の方程式を引くと、矛盾する方程式 0 = −5 が得られます。
したがって、矛盾した方程式が発見されたため、システムは矛盾しています。
タスク。 互換性を調べて、システムの一般的な解決策を見つけます。
手順の説明:
- 最初の方程式を 2 番目の方程式 (2 を乗算した後) と 3 番目の方程式から減算し、許容される変数 x 1 を取得します。
- 3 番目の方程式から 2 番目の方程式を引きます。 これらの方程式の係数はすべて同じであるため、3 番目の方程式は自明なものになります。 同時に、2 番目の式に (-1) を掛けます。
- 最初の式から 2 番目の式を減算すると、許容される変数 x 2 が得られます。 方程式系全体も解決されました。
- 変数 x 3 と x 4 は自由であるため、それらを右に移動して、許可される変数を表します。 これが答えです。
したがって、2 つの許可された変数 (x 1 と x 2) と 2 つの自由な変数 (x 3 と x 4) があるため、システムは一貫性があり不定です。
システムに ∆≠0 が与えられるとします。 (1)ガウス法未知のものを順番に消去していく方法です。
ガウス法の本質は、(1) を三角行列を含むシステムに変換し、そこからすべての未知数の値を順番に (逆に) 取得することです。 計算スキームの 1 つを考えてみましょう。 この回路を単分周回路と呼びます。 それでは、この図を見てみましょう。 a 11 ≠0 (先頭要素) が最初の方程式を 11 で割るとします。 我々が得る
(2)
方程式 (2) を使用すると、システムの残りの方程式から未知数 x 1 を簡単に取り除くことができます (これを行うには、x 1 に対応する係数を事前に乗算した、各方程式から方程式 (2) を減算するだけで十分です)。つまり、最初のステップで次のようになります。
.
つまり、ステップ 1 で、2 行目以降の各要素は、 差に等しい元の要素と、最初の列と最初の (変換された) 行への「射影」の積との間。
これに続いて、最初の方程式をそのままにして、最初のステップで得られた系の残りの方程式に対して同様の変換を実行します。その中から先頭の要素を持つ方程式を選択し、その助けを借りて、残りの方程式から x 2 を除外します。方程式を計算します (ステップ 2)。
n ステップの後、(1) の代わりに同等のシステムが得られます。 
(3)
したがって、最初の段階で三角形システム (3) が得られます。 この段階は前進ストロークと呼ばれます。
第 2 段階 (逆) では、(3) から順に値 x n、x n -1、...、x 1 を求めます。
結果として得られる解を x 0 と表すことにします。 すると、差 ε=b-A x 0 残留物と呼ばれる.
ε=0 の場合、見つかった解 x 0 は正しいことになります。
ガウス法を使用した計算は、次の 2 段階で実行されます。
- 最初の段階はフォワード方式と呼ばれます。 最初の段階では、元のシステムが三角形の形式に変換されます。
- 第 2 段階はリバースストロークと呼ばれます。 第 2 段階では、元の三角形システムと同等の三角形システムを解きます。
各ステップで、先頭の要素はゼロ以外であると想定されました。 そうでない場合は、システムの方程式を並べ替えるかのように、他の要素を主要な要素として使用できます。
ガウス法の目的
ガウス法は、連立一次方程式を解くために設計されています。 直接的な解決方法を指します。ガウス法の種類
- 古典的なガウス法。
- ガウス法の修正。 ガウス法の修正の 1 つは、主要素を選択するスキームです。 主要素を選択するガウス法の特徴は、k 番目のステップで先頭の要素が k 番目の列の最大の要素になるように方程式を再配置することです。
- ジョルダノ・ガウス法。
違いを説明しましょう ジョルダノ・ガウス法ガウス法の例を示します。
ガウス法を使用した解法の例
システムを解いてみましょう: 
計算を簡単にするために、行を入れ替えてみましょう。 
2行目に(2)を掛けてみましょう。 2行目に3行目を追加 
2行目を(-1)倍します。 1行目に2行目を追加 
1行目からx 3を表現します。
2行目からx 2を表します。
3 行目から x 1 を表します。 
Jordano-Gauss 法を使用したソリューションの例
Jordano-Gauss 法を使用して同じ SLAE を解いてみましょう。 
マトリックスの主対角線上にある分解要素 RE を順番に選択します。
解決要素は (1) と同じです。
NE = SE - (A*B)/RE
RE - 要素 (1) を分解します。A および B - 要素 STE と RE で長方形を形成する行列要素です。
各要素の計算を表の形式で示します。
| ×1 | ×2 | ×3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
解決要素は(3)に等しい。
解決要素の代わりに 1 を取得し、列自体に 0 を書き込みます。
列 B の要素を含む行列の他のすべての要素は、四角形ルールによって決定されます。
これを行うには、長方形の頂点に位置し、常に解決要素 RE を含む 4 つの数値を選択します。
| ×1 | ×2 | ×3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
解像度要素は (-4) です。
解決要素の代わりに 1 を取得し、列自体に 0 を書き込みます。
列 B の要素を含む行列の他のすべての要素は、四角形ルールによって決定されます。
これを行うには、長方形の頂点に位置し、常に解決要素 RE を含む 4 つの数値を選択します。
各要素の計算を表の形式で示します。
| ×1 | ×2 | ×3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
答え：×1＝1、×2＝1、×3＝1
