このトピックは、それほど単純ではない公式が多数あるため、最初は複雑に見えるかもしれません。 二次方程式そのものが長い表記法を持っているだけでなく、判別式によって根も求められます。 合計 3 つの新しい式が得られます。 なかなか覚えられません。 これは、そのような方程式を頻繁に解いた後にのみ可能になります。 そうすればすべての公式は自動的に記憶されます。
二次方程式の全体像
ここでは、最大の次数が最初に書き込まれ、次に降順で書き込まれる場合の明示的な記録を提案します。 用語が矛盾している状況がよくあります。 その場合は、変数の次数が大きい順に方程式を書き直すとよいでしょう。
いくつかの表記法を紹介しましょう。 それらを以下の表に示します。
これらの表記を受け入れると、すべての二次方程式は次の表記に帰着します。
また、係数 a ≠ 0 です。この式を 1 番目とします。
方程式が与えられたとき、答えに根がいくつあるかは明らかではありません。 なぜなら、次の 3 つのオプションのいずれかが常に可能だからです。
- 解には 2 つの根があります。
- 答えは 1 つの数字になります。
- 方程式には根がまったくありません。
そして、決定が確定するまでは、特定のケースでどの選択肢が現れるかを理解することは困難です。
二次方程式の記録の種類
タスクには異なるエントリが存在する場合があります。 これらは、必ずしも一般的な二次方程式の式のように見えるとは限りません。 場合によっては、いくつかの用語が欠落している場合があります。 上に書いたのが完全な方程式です。 その中の 2 番目または 3 番目の項を削除すると、別のものが得られます。 これらの記録は二次方程式とも呼ばれますが、不完全です。
また、係数「b」と「c」を持つ項のみが消滅する可能性があります。 数値「a」は、いかなる状況においてもゼロになることはできません。 この場合、式は次のようになりますので、 一次方程式。 不完全な形の方程式の式は次のようになります。
つまり、完全な 2 次方程式に加えて、不完全な 2 次方程式も 2 種類しかありません。 最初の式を 2 番目、2 番目の式を 3 番目とします。
根の数の判別式とその値への依存性
方程式の根を計算するには、この数値を知る必要があります。 二次方程式の公式に関係なく、常に計算できます。 判別式を計算するには、以下に示す等式を使用する必要があります。これには番号 4 が含まれます。
この式に係数の値を代入すると、次のように数値を取得できます。 さまざまな兆候。 答えが「はい」の場合、方程式の答えは 2 つの異なる根になります。 数値が負の場合、二次方程式の根は存在しません。 それがゼロに等しい場合、答えは 1 つだけになります。
完全な二次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
実はこの問題についてはすでに検討が始まっている。 なぜなら、まず判別式を見つける必要があるからです。 二次方程式の根が存在することが判明し、その数がわかったら、変数の公式を使用する必要があります。 ルートが 2 つある場合は、次の式を適用する必要があります。
「±」が入っているので2つの意味になります。 平方根記号の下の式は判別式です。 したがって、式は別の方法で書き直すことができます。
式番号 5。 同じ記録から、判別式が ゼロに等しいの場合、両方のルートは同じ値を取ります。
解決策があれば 二次方程式はまだ解明されていないため、判別式と変数式を適用する前にすべての係数の値を書き留めておくことをお勧めします。 後でこの瞬間に困難が生じることはありません。 しかし、最初は混乱があります。
不完全な二次方程式を解くにはどうすればよいですか?
ここではすべてがはるかに簡単です。 追加の数式も必要ありません。 そして、判別可能なものや未知のもののためにすでに書き留められているものは必要ありません。
まず、不完全な式 2 を見てみましょう。 この等式では、未知の量を括弧から取り出して、括弧内に残る一次方程式を解く必要があります。 答えには 2 つの根があります。 変数自体から構成される乗数があるため、最初の値は必ずゼロに等しくなります。 2 番目のものは、一次方程式を解くことによって得られます。
不完全な方程式番号 3 は、等式の左側から右側に数値を移動することによって解決されます。 次に、未知のものに直面する係数で割る必要があります。 残っているのは、平方根を抽出し、それを反対の符号で 2 回忘れずに書き留めることだけです。
以下は、二次方程式に変換されるあらゆる種類の等式を解く方法を学ぶのに役立ついくつかの手順です。 これらは、生徒が不注意による間違いを避けるのに役立ちます。 これらの欠点により、広範なトピック「二次方程式 (8 年生)」を学習する際に成績が低下する可能性があります。 その後、これらのアクションを継続的に実行する必要はなくなります。 安定したスキルが出るので。
- まず、方程式を標準形式で記述する必要があります。 つまり、最初に変数の次数が最大の項、次に次数なし、最後に単なる数値です。
- 係数「a」の前にマイナスが現れると、二次方程式を勉強する初心者にとって作業が複雑になる可能性があります。 取り除いた方が良いです。 この目的のために、等号全体に「-1」を掛ける必要があります。 これは、すべての項の符号が反対に変わることを意味します。
- 同様の方法で端数を取り除くことをお勧めします。 分母が相殺されるように、方程式に適切な係数を掛けるだけです。
例
次の二次方程式を解く必要があります。
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)。
最初の方程式: x 2 − 7x = 0。これは不完全であるため、式 2 で説明したように解決されます。
これを括弧から外すと、x (x - 7) = 0 となります。
最初の根の値は x 1 = 0 です。2 番目の根は線形方程式から求められます: x - 7 = 0。x 2 = 7 であることが簡単にわかります。
2 番目の方程式: 5x 2 + 30 = 0。これも不完全です。 それのみを 3 番目の公式で説明したように解決します。
30 を方程式の右側に移動した後: 5x 2 = 30。次に、5 で割る必要があります。結果は次のようになります: x 2 = 6。答えは次の数字になります: x 1 = √6、x 2 = - √6.
3 番目の方程式: 15 − 2x − x 2 = 0。ここからさらに、二次方程式を解くには、標準形式で書き換えることから始まります: − x 2 − 2x + 15 = 0。次に 2 番目の方程式を使用します。 役立つアドバイスそしてすべてにマイナス 1 を掛けます。 x 2 + 2x - 15 = 0 となります。4 番目の式を使用して、判別式 D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64 を計算する必要があります。これは正の数です。 上記のことから、方程式には 2 つの根があることがわかります。 これらは 5 番目の公式を使用して計算する必要があります。 x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 であることがわかります。すると、x 1 = 3、x 2 = - 5 となります。
4 番目の方程式 x 2 + 8 + 3x = 0 は、x 2 + 3x + 8 = 0 に変換されます。その判別式は、この値 -23 と等しくなります。 この数値は負であるため、このタスクに対する答えは次のエントリになります:「根はありません」。
5 番目の方程式 12x + x 2 + 36 = 0 は、x 2 + 12x + 36 = 0 のように書き直す必要があります。判別式に式を適用すると、数値 0 が得られます。 これは、根が 1 つあることを意味します。つまり、x = -12/ (2 * 1) = -6 です。
6 番目の方程式 (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) には変換が必要です。これは、まず括弧を開けて、同様の項を取得する必要があるという事実から構成されます。 最初の式の代わりに、次の式が表示されます: x 2 + 2x + 1。等号の後に、次のエントリが表示されます: x 2 + 3x + 2。類似した項が数えられた後、方程式は次の形式になります: x 2 -x = 0。不完全なものになってしまいました。 これと同様のことは、すでに少し上のところで議論されています。 この根は数字の 0 と 1 になります。
「方程式を解く」というトピックに引き続き、この記事の資料では二次方程式について紹介します。
すべてを詳細に見てみましょう: 二次方程式の本質と表記法、付随する用語の定義、不完全および完全方程式を解くスキームの分析、根と判別式の公式について知り、根と係数の間の関係を確立します。もちろん、実際の例に対する視覚的な解決策も提供します。
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二次方程式とその種類
定義 1二次方程式は次のように書かれた方程式です a x 2 + b x + c = 0、 どこ バツ– 変数、 a 、 b および c– いくつかの数字、一方で あるゼロではありません。
多くの場合、二次方程式は 2 次方程式とも呼ばれます。これは、二次方程式は本質的に次のとおりであるためです。 代数方程式二級。
与えられた定義を説明するために例を示します。 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7、5 x 2 + 3、1 x + 0、11 = 0 など これらは二次方程式です。
定義 2
数字a、b、 cは二次方程式の係数です a x 2 + b x + c = 0、一方、係数 あるは、最初の係数、または上級係数、または x 2 での係数、b - 2 番目の係数、または での係数と呼ばれます。 バツ、A c無料会員といいます。
たとえば、二次方程式では 6 × 2 − 2 × − 11 = 0先頭の係数は 6、2 番目の係数は − 2 、無料期間は以下に等しい − 11 。 係数が bおよび/または c が負の場合は、使用します ショートフォームのようなレコード 6 × 2 − 2 × − 11 = 0、 だがしかし 6 × 2 + (− 2) × + (− 11) = 0.
この点についても明確にしましょう。 あるおよび/または b等しい 1 または − 1 、その場合、彼らは二次方程式の記述に明示的に関与しない可能性がありますが、これは、示された数値係数の記述の特殊性によって説明されます。 たとえば、二次方程式では y 2 − y + 7 = 0先頭の係数は 1、2 番目の係数は − 1 .
縮小および非縮小二次方程式
最初の係数の値に基づいて、二次方程式は縮小された方程式と非縮小された方程式に分けられます。
定義 3
縮小二次方程式は、主要係数が 1 である二次方程式です。 主要係数の他の値については、二次方程式は還元されません。
例を挙げてみましょう: 二次方程式 x 2 − 4 · x + 3 = 0、x 2 − x − 4 5 = 0 は約定され、それぞれの主要係数は 1 になります。
9 × 2 − × − 2 = 0- 非還元二次方程式。最初の係数は次の式と異なります。 1 .
縮小されていない二次方程式は、両辺を最初の係数で割ることによって縮小方程式に変換できます (等価変換)。 変換された方程式は、指定された換算されていない方程式と同じ根を持つか、まったく根を持たないことになります。
考慮 具体例これにより、非還元二次方程式から還元二次方程式への遷移を明確に示すことができます。
例1
式 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 を考慮すると、 . 元の方程式を縮小形式に変換する必要があります。
解決
上記のスキームに従って、元の方程式の両辺を先頭の係数 6 で割ります。 すると、次のようになります。 (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3、これは次と同じです。 (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0そしてさらに： (6:6)×2+(18:6)×−7:6＝0。ここから： x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 。 これにより、与えられた方程式と等価な方程式が得られる。
答え： x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 。
完全および不完全な二次方程式
二次方程式の定義に移りましょう。 その中で私たちは次のように指定しました a≠0。 方程式にも同様の条件が必要です a x 2 + b x + c = 0正確に正方形でした。 a = 0それは本質的に線形方程式に変換されます b x + c = 0.
係数が bそして cがゼロに等しい場合 (これは、個別に、または結合してゼロになる可能性があります)、2 次方程式は不完全と呼ばれます。
定義 4
不完全な二次方程式- このような二次方程式 a x 2 + b x + c = 0、ここで、少なくとも 1 つの係数は bそして c(または両方) はゼロです。
完全な二次方程式– すべての数値係数がゼロに等しくない二次方程式。
二次方程式の種類に正確にこれらの名前が与えられている理由について説明しましょう。
b = 0 の場合、二次方程式は次の形式になります。 a x 2 + 0 x + c = 0と同じです a x 2 + c = 0。 で c = 0二次方程式は次のように書かれます a x 2 + b x + 0 = 0、これは同等です a x 2 + b x = 0。 で b = 0そして c = 0方程式は次の形式になります a x 2 = 0。 得られた方程式は、左側に変数 x の項、自由項、あるいはその両方が含まれていないという点で、完全な 2 次方程式とは異なります。 実際、この事実がこのタイプの方程式に「不完全」という名前を与えました。
たとえば、x 2 + 3 x + 4 = 0 および − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 は完全な 2 次方程式です。 x 2 = 0、−5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0、− x 2 − 6 x = 0 – 不完全な二次方程式。
不完全な二次方程式を解く
上記の定義により、次のタイプの不完全 2 次方程式を区別できるようになります。
- a x 2 = 0、この方程式は係数に対応します。 b = 0そして c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
- c = 0 のとき、a · x 2 + b · x = 0。
それぞれの不完全二次方程式の解を順番に考えてみましょう。
方程式の解 a x 2 =0
上で述べたように、この式は係数に対応します。 bそして c、ゼロに等しい。 方程式 a x 2 = 0等価な方程式に変換できる × 2 = 0、元の方程式の両辺を数値で割ることで得られます。 ある、ゼロに等しくありません。 明白な事実は、方程式の根は × 2 = 0これはゼロだから 0 2 = 0 。 この方程式には他の根がありません。これは、次の次数の特性によって説明できます。 ぷ、ゼロに等しくない場合、不等式は真です p 2 > 0、そこから次のことがわかります。 p≠0平等 p 2 = 0決して達成されないでしょう。
定義5
したがって、不完全な二次方程式 a x 2 = 0 には一意の根が存在します。 x = 0.
例 2
たとえば、不完全な二次方程式を解いてみましょう − 3 × 2 = 0。 それは次の方程式と等価です × 2 = 0、その唯一のルートは x = 0の場合、元の方程式の根は 0 だけになります。
解決策を簡単に説明すると、次のようになります。
− 3 x 2 = 0、x 2 = 0、x = 0。
方程式 a x 2 + c = 0 を解く
次に不完全な 2 次方程式の解です。ここで、b = 0、c ≠ 0、つまり次の形式の方程式です。 a x 2 + c = 0。 方程式の一方の辺からもう一方の辺に項を移動し、符号を反対に変更し、方程式の両辺をゼロ以外の数値で割ることによって、この方程式を変形してみましょう。
- 移行 c右辺に、次の方程式が得られます。 a・x 2 = − c;
- 方程式の両辺を次の値で割ります あるとすると、最終的には x = -c a になります。
したがって、変換は等価であり、結果として得られる方程式も元のものと等価であり、この事実により方程式の根について結論を引き出すことが可能になります。 価値観とは何なのかから あるそして c式の値 - c a は依存します。マイナス記号を含めることができます (たとえば、 a = 1そして c = 2、その後 - c a = - 2 1 = - 2) またはプラス記号 (たとえば、 a = − 2そして c = 6、その後 - c a = - 6 - 2 = 3); ゼロではないので、 c≠0。 次の状況について詳しく見てみましょう。< 0 и - c a > 0 .
-c aの場合< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p等式 p 2 = - c a は成り立ちません。
- c a > 0 の場合はすべてが異なります。平方根を覚えておくと、- c a 2 = - c a であるため、方程式 x 2 = - c a の根が数値 - c a になることが明らかになります。 数値 - - c a が方程式 x 2 = - c a の根でもあることを理解するのは難しくありません。実際、- - c a 2 = - c a です。
この方程式には他の根はありません。 これは矛盾法を使って証明できます。 まず、上で見つけたルートの表記法を次のように定義しましょう。 ×1そして −×1。 方程式 x 2 = - c a にも根があると仮定します。 ×2、ルーツとは異なります。 ×1そして −×1。 方程式に代入するとそれが分かります バツその根幹に基づいて、方程式を公正な数値的等式に変換します。
のために ×1そして −×1 x 1 2 = - c a と書きます。 ×2-x 2 2 = -c a 。 数値的等式の性質に基づいて、正しい等式を項ごとに別の項から減算すると、次のようになります。 x 1 2 − x 2 2 = 0。 数値による演算のプロパティを使用して、最後の等式を次のように書き換えます。 (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0。 2 つの数値の積がゼロになるのは、少なくとも 1 つの数値がゼロである場合に限り、ゼロになることが知られています。 上記から次のことがわかります x 1 − x 2 = 0および/または × 1 + × 2 = 0、それは同じです × 2 = × 1および/または x 2 = − x 1。 初めは方程式の根が次のとおりであると合意されていたため、明らかな矛盾が生じました。 ×2とは異なり ×1そして −×1。 したがって、この方程式には x = - c a と x = - - c a 以外の根がないことが証明されました。
上記の議論をすべてまとめてみましょう。
定義6
不完全な二次方程式 a x 2 + c = 0は、次の式 x 2 = - c a と等価です。
- - c a にはルートがありません< 0 ;
- - c a > 0 の場合、2 つの根 x = - c a と x = - - c a が存在します。
方程式を解く例をあげてみましょう a x 2 + c = 0.
例 3
二次方程式が与えられると 9 × 2 + 7 = 0。解決策を見つける必要があります。
解決
自由項を方程式の右側に移動すると、方程式は次の形式になります。 9×2＝−7。
結果の方程式の両辺を次の式で割ってみましょう。 9
、 x 2 = - 7 9 に到達します。 右側にはマイナス記号の付いた数字が表示されます。これは、y を意味します。 与えられた方程式根がない。 次に、元の不完全な二次方程式 9 × 2 + 7 = 0根がなくなる。
答え：方程式 9 × 2 + 7 = 0根が無い。
例 4
方程式を解く必要があります − × 2 + 36 = 0.
解決
36 を右側に移動しましょう。 − × 2 = − 36.
両方の部分を次のように割ってみましょう − 1
、 我々が得る × 2 = 36。 右側には正の数があり、そこから次のように結論付けることができます。
x = 36 または
x = -36 。
根を抽出して最終結果を書き留めましょう: 不完全二次方程式 − × 2 + 36 = 0根が2つある x = 6または x = − 6.
答え： x = 6または x = − 6.
方程式の解 a x 2 +b x=0
3 番目のタイプの不完全二次方程式を分析してみましょう。 c = 0。 不完全な二次方程式の解を求めるには a x 2 + b x = 0、因数分解法を使用します。 括弧内の共通因数を取り出して、方程式の左側にある多項式を因数分解してみましょう。 バツ。 このステップにより、元の不完全な二次方程式を等価な二次方程式に変換できるようになります。 x (a x + b) = 0。 そして、この方程式は一連の方程式と等価です x = 0そして a x + b = 0。 方程式 a x + b = 0線形とそのルート: x = − b a.
定義7
したがって、不完全な二次方程式は、 a x 2 + b x = 0根が2つあることになる x = 0そして x = − b a.
例を使って資料を強化してみましょう。
例5
方程式 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 の解を見つける必要があります。
解決
取り出してみましょう バツ括弧の外側では、方程式 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 が得られます。 この方程式は次の方程式と等価です x = 0 2 3 x - 2 2 7 = 0。 次に、結果として得られる一次方程式、2 3 · x = 2 2 7、x = 2 2 7 2 3 を解く必要があります。
方程式の解を次のように簡単に書きます。
2 3 × 2 - 2 2 7 × = 0 × 2 3 × - 2 2 7 = 0
x = 0 または 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 または x = 3 3 7
答え： x = 0、x = 3 3 7。
判別式、二次方程式の根の公式
二次方程式の解を求めるには、ルート公式があります。
定義8
x = - b ± D 2 · a、ここで D = b 2 − 4 a c– いわゆる二次方程式の判別式。
x = - b ± D 2 · a と書くことは、本質的に x 1 = - b + D 2 · a、x 2 = - b - D 2 · a を意味します。
この公式がどのように導き出され、それをどのように適用するかを理解すると役立ちます。
二次方程式の根の公式の導出
二次方程式を解くという課題に直面してみましょう a x 2 + b x + c = 0。 同等の変換をいくつか実行してみましょう。
- 方程式の両辺を数値で割ります ある、ゼロとは異なり、次の二次方程式が得られます: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- 結果として得られる方程式の左側にある完全な正方形を選択してみましょう。
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
この後、方程式は次の形式になります。 x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - ここで、最後の 2 つの項を右側に移し、符号を反対に変更すると、次のようになります。 x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- 最後に、最後の等式の右辺に書かれた式を変形します。
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 。
したがって、元の方程式と等価な方程式 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 に到達します。 a x 2 + b x + c = 0.
前の段落でそのような方程式の解法を検討しました (不完全な 2 次方程式の解法)。 すでに得られた経験により、方程式 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 の根に関する結論を導くことができます。
- b 2 - 4 a c 4 a 2 付き< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 のとき、方程式は x + b 2 · a 2 = 0 となり、x + b 2 · a = 0 となります。
ここから、唯一のルート x = - b 2 · a は明らかです。
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 の場合、次が当てはまります: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 または x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 、これは x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 または x = - b 2 · a - b 2 - 4 と同じです。 · a · c 4 · a 2 、つまり 方程式には根が 2 つあります。
方程式 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (したがって元の方程式) の根の有無は、式 b の符号に依存すると結論付けることができます。右側に2～4・a・c4・a2と書かれています。 そして、この式の符号は分子の符号によって与えられます (分母 4a2常に正になります)、つまり式の符号 b 2 − 4 a c。 この表現 b 2 − 4 a c名前は二次方程式の判別式であり、文字 D がその指定として定義されています。 ここで、判別式の本質を書き留めることができます。その値と符号に基づいて、二次方程式に実根があるかどうか、また、ある場合は根の数が 1 つまたは 2 つであるかどうかを結論付けることができます。
方程式 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 に戻りましょう。 判別記法を使用して書き直してみましょう: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 。
もう一度結論をまとめてみましょう。
定義9
- で D< 0 この方程式には実際の根はありません。
- で D=0方程式には単一の根 x = - b 2 · a があります。
- で D > 0この方程式には 2 つの根があります: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 または x = - b 2 · a - D 4 · a 2。 ラジカルの特性に基づいて、これらのルートは、x = - b 2 · a + D 2 · a または - b 2 · a - D 2 · a の形式で書くことができます。 そして、モジュールを展開して端数を減らすと、 共通点、 x = - b + D 2 · a、x = - b - D 2 · a が得られます。
したがって、私たちの推論の結果は、二次方程式の根の公式の導出でした。
x = - b + D 2 a、x = - b - D 2 a、判別式 D式で計算される D = b 2 − 4 a c.
これらの公式により、判別式が 0 より大きい場合に両方の実根を決定することができます。 判別式がゼロの場合、両方の公式を適用すると、二次方程式の唯一の解として同じ根が得られます。 判別式が負の場合、二次方程式の根の公式を使おうとすると、次のように抽出する必要があります。 平方根負の数から、それは私たちを超えていきます 実数。 負の判別式を使用すると、二次方程式は実根を持たなくなりますが、得られた同じ根の公式によって決定される、一対の複素共役根が可能になります。
ルート公式を使用して二次方程式を解くアルゴリズム
ルート公式を使用して二次方程式を解くこともできますが、これは一般に複雑なルートを見つける必要がある場合に行われます。
ほとんどの場合、これは通常、複素数ではなく、二次方程式の実根を検索することを意味します。 その場合、二次方程式の根の公式を使用する前に、最初に判別式を決定し、それが負でないことを確認し (そうしないと、方程式には実際の根がないと結論付けられます)、次に次の式の計算に進むのが最適です。根の価値。
上記の推論により、二次方程式を解くアルゴリズムを定式化することが可能になります。
定義10
二次方程式を解くには a x 2 + b x + c = 0、 必要：
- 式によると D = b 2 − 4 a c判別値を見つけます。
- Dで< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0 の場合、式 x = - b 2 · a を使用して方程式の唯一の根を見つけます。
- D > 0 の場合、式 x = - b ± D 2 · a を使用して二次方程式の 2 つの実数根を求めます。
判別式がゼロの場合、式 x = - b ± D 2 · a を使用すると、式 x = - b 2 · a と同じ結果が得られることに注意してください。
例を見てみましょう。
二次方程式を解く例
の例に対する解決策を示しましょう。 さまざまな意味差別的な。
例6
方程式の根を見つける必要があります × 2 + 2 × − 6 = 0.
解決
二次方程式の数値係数を書き留めてみましょう: a = 1、b = 2、 c = − 6。 次に、アルゴリズムに従って処理を進めます。 係数 a、b を代入する判別式の計算を開始しましょう。 そして cを判別式に代入すると、次のようになります。 D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 。
したがって、D > 0 が得られます。これは、元の方程式には 2 つの実根があることを意味します。
それらを見つけるには、ルート公式 x = - b ± D 2 · a を使用し、対応する値を代入すると、x = - 2 ± 28 2 · 1 が得られます。 根号から因数を取り出し、分数を減らすことで、結果の式を簡略化してみましょう。
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 または x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 または x = - 1 - 7
答え： x = - 1 + 7、x = - 1 - 7 。
例 7
二次方程式を解く必要がある − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.
解決
判別式を定義しましょう。 D = 28 2 − 4 ・ (− 4) ・ (− 49) = 784 − 784 = 0。 この判別式の値を使用すると、元の方程式の根は式 x = - b 2 · a で決定される 1 つだけになります。
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
答え： x = 3.5.
例8
方程式を解く必要があります 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
解決
この方程式の数値係数は、a = 5、b = 6、c = 2 となります。 これらの値を使用して判別式を見つけます: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4。 計算された判別式は負であるため、元の二次方程式には実根がありません。
タスクが複素根を示す場合、ルート公式を適用し、複素数を使用してアクションを実行します。
x = - 6 ± - 4 2 5、
x = - 6 + 2 i 10 または x = - 6 - 2 i 10、
x = - 3 5 + 1 5 · i または x = - 3 5 - 1 5 · i。
答え：本当の根はありません。 複素根は次のとおりです: - 3 5 + 1 5 · i、-3 5 - 1 5 · i。
学校のカリキュラムでは、複雑な根を探すという標準的な要求はありません。そのため、解法中に判別式が負であると判断された場合、実際の根は存在しないという答えがすぐに書き留められます。
偶数 2 番目の係数の根の公式
根の式 x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) を使用すると、よりコンパクトな別の式を得ることができ、x (または、2 · n の形式の係数を使用します。たとえば、2 3 または 14 ln 5 = 2 7 ln 5)。 この公式がどのように導き出されるかを示しましょう。
二次方程式 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 の解を見つけるという課題に直面してみましょう。 アルゴリズムに従って処理を進めます。判別式 D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) を決定し、ルート公式を使用します。
x = - 2 n ± D 2 a、x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a、x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a、x = - n ± n 2 - a · c a。
式 n 2 − a · c を D 1 と表します (D " で表されることもあります)。その場合、2 番目の係数 2 · n を考慮した二次方程式の根の式は次の形式になります。
x = - n ± D 1 a、D 1 = n 2 − a · c。
D = 4 · D 1、または D 1 = D 4 であることが簡単にわかります。 言い換えると、D 1 は判別式の 4 分の 1 です。 明らかに、D 1 の符号は D の符号と同じです。つまり、D 1 の符号は二次方程式の根の有無を示す指標としても機能します。
定義11
したがって、2 番目の係数 2 n を持つ二次方程式の解を見つけるには、次のことが必要です。
- D 1 = n 2 − a · c を求めます。
- D1で< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 の場合、式 x = - n a を使用して方程式の唯一の根を決定します。
- D 1 > 0 の場合、式 x = - n ± D 1 a を使用して 2 つの実根を決定します。
例9
二次方程式 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 を解く必要があります。
解決
与えられた方程式の 2 番目の係数は 2 · (− 3) として表すことができます。 次に、指定された 2 次方程式を 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 として書き換えます。ここで、a = 5、n = − 3、c = − 32 です。
判別式の 4 番目の部分を計算してみましょう: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169。 結果の値は正です。これは、方程式に 2 つの実根があることを意味します。 対応するルート公式を使用してそれらを決定しましょう。
x = - n ± D 1 a、x = - - 3 ± 169 5、x = 3 ± 13 5、
x = 3 + 13 5 または x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 または x = - 2
二次方程式の根の通常の公式を使用して計算を実行することも可能ですが、この場合、解決策はより複雑になります。
答え： x = 3 1 5 または x = - 2 。
二次方程式の形式を簡略化する
場合によっては、元の方程式の形式を最適化して、根を計算するプロセスを簡素化できる場合があります。
たとえば、二次方程式 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 は、1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 よりも明らかに便利です。
多くの場合、二次方程式の形式の簡略化は、その両辺を特定の数で乗算または除算することによって実行されます。 たとえば、上では、両辺を 100 で割ることによって得られる方程式 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 の簡略化された表現を示しました。
このような変換は、二次方程式の係数が相互に一致しない場合に可能です。 素数。 次に、通常は方程式の両辺をその係数の絶対値の最大公約数で割ります。
例として、二次方程式 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 を使用します。 係数の絶対値の GCD を決定してみましょう: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6。 元の二次方程式の両辺を 6 で割って、等価な二次方程式 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 を求めましょう。
二次方程式の両辺を乗算すると、通常、分数係数が除去されます。 この場合、係数の分母の最小公倍数が乗算されます。 たとえば、二次方程式 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 の各部分に LCM (6, 3, 1) = 6 を掛けると、さらに多くの式になります。 シンプルな形で x 2 + 4 x − 18 = 0 。
最後に、二次方程式の最初の係数のマイナスは、方程式の各項の符号を変更することによってほぼ常に除去されることに注意してください。これは、両辺に − 1 を乗算 (または除算) することによって実現されます。 たとえば、二次方程式 − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 から、その簡略化されたバージョン 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 に進むことができます。
根と係数の関係
二次方程式の根の公式 x = - b ± D 2 · a は、数値係数を通じて方程式の根を表します。 頼りにしている この式、根と係数の間の他の依存関係を指定する機会があります。
最も有名で適用可能なのは、ビエタの定理の公式です。
x 1 + x 2 = - b a および x 2 = c a。
特に、指定された 2 次方程式の場合、根の和は反対の符号を持つ 2 番目の係数であり、根の積は自由項に等しくなります。 たとえば、2 次方程式 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 の形を見ると、その根の和が 7 3、根の積が 22 3 であることがすぐにわかります。
二次方程式の根と係数の間には、他にも多数の関係が見つかります。 たとえば、二次方程式の根の二乗和は係数で表すことができます。
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2
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この数学プログラムを使用すると、次のことができます 二次方程式を解く.
プログラムは問題に対する答えを与えるだけでなく、次の 2 つの方法で解決プロセスを表示します。
- 判別式を使用する
- ビエタの定理を使用します (可能な場合)。
さらに、答えは近似値ではなく正確なものとして表示されます。
たとえば、方程式 \(81x^2-16x-1=0\) の場合、答えは次の形式で表示されます。
このプログラム高校生には役立つかもしれない 中学校に備えて テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？ 宿題数学か代数学でしょうか？ この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。
このようにして、問題解決の分野での教育レベルが向上しながら、自分自身のトレーニングや弟や妹のトレーニングを行うことができます。
2 次多項式の入力規則に慣れていない場合は、よく理解しておくことをお勧めします。
2次多項式を入力するためのルール
任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。
数値は整数または小数として入力できます。
また、小数は小数の形式だけでなく、普通の分数の形式でも入力できます。
小数部を入力するときのルール。
小数部では、小数部と整数部をピリオドまたはカンマで区切ることができます。
たとえば、次のように入力できます。 小数このように: 2.5x - 3.5x^2
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数だけです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &
入力: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
結果: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
式を入力するとき 括弧を使用できます。 この場合、２次方程式を解く際には、まず導入した式を簡略化する。
例: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
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二次方程式とその根。 不完全な二次方程式
それぞれの方程式
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
のように見える
\(ax^2+bx+c=0, \)
ここで、x は変数、a、b、c は数値です。
最初の方程式では a = -1、b = 6、c = 1.4、2 番目の方程式では a = 8、b = -7、c = 0、3 番目の方程式では a = 1、b = 0、c = 4/9 です。 このような方程式は次のように呼ばれます 二次方程式.
意味。
二次方程式は、ax 2 +bx+c=0 という形式の方程式と呼ばれます。ここで、x は変数、a、b、c は数値、そして \(a \neq 0 \) です。
数値 a、b、c は 2 次方程式の係数です。 数値 a は第 1 係数、数値 b は第 2 係数、数値 c は自由項と呼ばれます。
ax 2 +bx+c=0 という形式の各方程式では、\(a\neq 0\) であり、変数 x の最大累乗は 2 乗です。 したがって、二次方程式という名前が付けられました。
なお、二次方程式は左辺が 2 次の多項式であるため、2 次方程式とも呼ばれます。
x 2 の係数が 1 に等しい二次方程式をといいます。 与えられた二次方程式。 たとえば、与えられた二次方程式は次の方程式です。
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
二次方程式 ax 2 +bx+c=0 で、係数 b または c の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、そのような方程式は次のように呼ばれます。 不完全な二次方程式。 したがって、方程式 -2x 2 +7=0、3x 2 -10x=0、-4x 2 =0 は不完全な 2 次方程式です。 1 つ目では b=0、2 つ目では c=0、3 つ目では b=0 および c=0。
不完全二次方程式には 3 つのタイプがあります。
1) ax 2 +c=0、ここで \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0、ここで \(b \neq 0 \);
３）ａｘ２＝０。
これらのタイプのそれぞれの方程式を解くことを考えてみましょう。
ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \) の形式の不完全な 2 次方程式を解くには、その自由項を右側に移動し、方程式の両辺を a で割ります。
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
\(c \neq 0 \) なので、 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
\(-\frac(c)(a)>0\) の場合、方程式には根が 2 つあります。
If \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) を使用して ax 2 +bx=0 の形式の不完全な 2 次方程式を解くには、その左辺を因数分解して次の方程式を取得します。
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (配列)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(配列) \right。
これは、ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) という形式の不完全な 2 次方程式には常に 2 つの根があることを意味します。
ax 2 =0 という形式の不完全な 2 次方程式は方程式 x 2 =0 と等価であるため、根は 0 だけです。
二次方程式の根の公式
ここで、未知数の係数と自由項の両方が非ゼロである 2 次方程式を解く方法を考えてみましょう。
二次方程式を解いてみましょう 一般的な見解その結果、根の公式が得られます。 この公式を使用して、任意の二次方程式を解くことができます。
二次方程式 ax 2 +bx+c=0 を解いてみましょう
両辺を a で割ると、等価な縮小二次方程式が得られます。
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
二項式の二乗を選択して、この方程式を変形しましょう。
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
根次式は次のように呼ばれます。 二次方程式の判別式 ax 2 +bx+c=0 (ラテン語で「識別」-識別子)。 それは文字 D で指定されます。
\(D = b^2-4ac\)
ここで、判別表記を使用して、二次方程式の根の式を書き直します。
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)、ここで \(D= b^2-4ac \)
次のことは明らかです。
1) D>0 の場合、二次方程式には 2 つの根があります。
2) D=0 の場合、二次方程式には 1 つの根 \(x=-\frac(b)(2a)\) があります。
3) D の場合 したがって、判別式の値に応じて、二次方程式は 2 つの根 (D > 0 の場合)、1 つの根 (D = 0 の場合)、または根なし (D の場合) になります。式を使用するには、次の方法を実行することをお勧めします。
1) 判別式を計算し、それをゼロと比較します。
2) 判別式が正またはゼロの場合は根の公式を使用し、判別式が負の場合は根がないことを書き留めます。
ビエタの定理
指定された 2 次方程式 ax 2 -7x+10=0 には根 2 と 5 があります。根の合計は 7 で、積は 10 です。根の合計は、その逆をとった 2 番目の係数に等しいことがわかります。符号があり、根の積は自由項に等しい。 ルートを持つ縮小二次方程式には、この性質があります。
上の 2 次方程式の根の和は、符号を逆にした 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しくなります。
それらの。 ビエタの定理では、縮小二次方程式 x 2 +px+q=0 の根 x 1 と x 2 には次の特性があると述べています。
\(\left\( \begin(配列)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(配列) \right. \)
数学の問題の中には、平方根の値を計算する能力が必要なものもあります。 このような問題には、2 次方程式を解くことが含まれます。 この記事でご紹介するのは、 効果的な方法平方根の計算に使用し、二次方程式の根の式を操作するときに使用します。
平方根とは何ですか?
数学では、この概念は記号 √ に対応します。 歴史的データによると、これは 16 世紀前半頃にドイツで初めて使用されました (クリストフ ルドルフによるドイツ初の代数に関する著作)。 科学者たちは、この記号はラテン文字 r (基数はラテン語で「根」を意味します) が変形したものであると考えています。
任意の数値の根は、その二乗が根号式に対応する値と等しくなります。 数学の言語では、この定義は次のようになります: y 2 = x の場合、√x = y。
正の数 (x > 0) の根も正の数 (y > 0) ですが、負の数 (x の根) を取ると、< 0), то его результатом уже будет 複素数、虚数単位 i を含みます。
以下に 2 つの簡単な例を示します。
3 2 = 9 なので、√9 = 3。 i 2 = -1 なので、√(-9) = 3i。
平方根の値を求めるための Heron の反復公式
上記の例は非常に単純であり、その根を計算することは難しくありません。 正方形として表現できない値のルート値を見つけるときに問題が発生し始める 自然数、たとえば、√10、√11、√12、√13。実際には、非整数の根を求める必要があるという事実は言うまでもありません。たとえば、√(12,15)、√(8,5)等々。
上記のすべてのケースで、次を使用する必要があります。 特別な方法平方根の計算。 現在、そのような方法がいくつか知られています。たとえば、テイラー級数展開、列分割などです。 すべての既知の方法の中で、おそらく最も簡単で効果的なのはヘロンの反復公式の使用です。これは平方根を求めるバビロニアの方法としても知られています (古代バビロニア人が実際の計算にそれを使用したという証拠があります)。
√x の値を決定する必要があるとしましょう。 平方根を求める公式は次のとおりです。
a n+1 = 1/2(a n +x/a n)、ここで lim n->∞ (a n) => x。
この数学表記を解読してみましょう。 √x を計算するには、特定の数値 0 を取得する必要があります (これは任意で構いませんが、結果をすぐに得るには、(a 0) 2 が x にできるだけ近くなるようにその数値を選択する必要があります。次に、それを次の式に代入します。平方根を計算するための指定された式を実行し、新しい数値 1 を取得します。この数値はすでに目的の値に近づいています。この後、式に 1 を代入して 2 を取得する必要があります。この手順を繰り返す必要があります。必要な精度が得られます。
Heron の反復公式の使用例
特定の数値の平方根を取得するための上記のアルゴリズムは、多くの人にとって非常に複雑で混乱しているように聞こえるかもしれませんが、実際には、この式は非常に早く収束するため (特に成功した数値 0 が選択された場合)、すべてがはるかに単純であることがわかります。 。
簡単な例を挙げてみましょう。√11 を計算する必要があります。 3 2 = 9 は 4 2 = 16 よりも 11 に近いため、0 = 3 を選択しましょう。式に代入すると、次のようになります。
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;
a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;
a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662。
2 と 3 は小数点第 5 位からのみ違い始めることがわかったので、計算を続ける意味はありません。 したがって、0.0001 の精度で √11 を計算するには、この式を 2 回適用するだけで十分です。
現在、ルートの計算には電卓やコンピューターが広く使用されていますが、正確な値を手動で計算できるように、マークされた式を覚えておくと便利です。
2次方程式
平方根とは何かを理解し、それを計算する能力は、二次方程式を解く際に使用されます。 これらの方程式は未知数を 1 つ含む等式と呼ばれ、その一般的な形式を次の図に示します。
ここで、c、b、a はいくつかの数値を表し、a はゼロであってはならず、c と b の値はゼロを含む完全に任意の値にすることができます。
図に示されている等式を満たす x の値はすべてその根と呼ばれます (この概念を平方根 √ と混同しないでください)。 考慮中の方程式は 2 次 (x 2) であるため、その方程式の根は 2 つを超えることはできません。 この記事では、これらのルートを見つける方法をさらに詳しく見てみましょう。
二次方程式の根を求める（公式）
検討中のタイプの等式を解くこの方法は、ユニバーサル法または判別法とも呼ばれます。 あらゆる二次方程式に使用できます。 二次方程式の判別式と根の式は次のとおりです。
これは、根が方程式の 3 つの係数のそれぞれの値に依存することを示しています。 また、x 1 の計算と x 2 の計算は、平方根の前の符号が異なるだけです。 b 2 - 4ac に等しい根次式は、問題の等式の判別式にすぎません。 二次方程式の根の公式の判別式は、解の数と種類を決定するため、重要な役割を果たします。 したがって、それがゼロに等しい場合、解は 1 つだけあり、それが正の場合、方程式には 2 つの実根があり、最後に、負の判別式により 2 つの複素根 x 1 と x 2 が得られます。
ビエタの定理または 2 次方程式の根のいくつかの性質
16 世紀末、近代代数学の創始者の 1 人であるフランス人が 2 次方程式を研究し、その根の性質を得ることができました。 数学的には次のように書くことができます。
x 1 + x 2 = -b / a および x 1 * x 2 = c / a。
どちらの等式も誰でも簡単に求めることができます。これを行うには、判別式を使用して公式から得られた根に対して適切な数学的演算を実行するだけです。
これら 2 つの式の組み合わせは、まさに 2 次方程式の根の 2 番目の公式と呼ぶことができ、判別式を使用せずに解を推測することが可能になります。 ここで、どちらの式も常に有効ですが、因数分解できる場合にのみ方程式を解くためにこれらを使用すると便利であることに注意してください。
得た知識を定着させる仕事
この記事で説明されているすべてのテクニックを実証する数学的問題を解決してみましょう。 問題の条件は次のとおりです。積が -13 で合計が 4 となる 2 つの数値を見つける必要があります。
この条件は、平方根の和とその積の公式を使用して次のように書くビエタの定理をすぐに思い出させます。
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13。
a = 1 と仮定すると、b = -4、c = -13 となります。 これらの係数を使用して、2 次の方程式を作成できます。
x 2 - 4x - 13 = 0。
判別式を使用して次の根を求めてみましょう。
x 1.2 = (4 ± √D)/2、D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68。
つまり、問題は√68 という数字を見つけることに帰着しました。 68 = 4 * 17 であることに注意してください。平方根プロパティを使用すると、√68 = 2√17 が得られます。
ここで、考慮された平方根の式、a 0 = 4 を使用してみましょう。その場合、次のようになります。
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;
a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231。
見つかった値の違いは 0.02 だけであるため、3 を計算する必要はありません。 したがって、√68 = 8.246となります。 これを x 1,2 の式に代入すると、次のようになります。
x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123、x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123。
ご覧のとおり、見つかった数値の合計は実際には 4 に等しくなりますが、その積を求めると -12.999 となり、精度 0.001 で問題の条件を満たします。
最初のレベル
二次方程式。 総合ガイド (2019)
「二次方程式」という言葉のキーワードは「二次」です。 これは、方程式には変数 (同じ x) の 2 乗が必ず含まれている必要があり、x の 3 乗 (またはそれ以上) 乗があってはいけないことを意味します。
多くの方程式の解は、結局、二次方程式を解くことに帰着します。
これが二次方程式であり、他の方程式ではないことを判断する方法を学びましょう。
例1.
分母を取り除き、方程式の各項に次の値を掛けてみましょう。
すべてを左側に移動し、項を X のべき乗の降順に並べてみましょう
これで、この方程式は二次方程式であると自信を持って言えます。
例2。
左辺と右辺に次の値を掛けます。
この方程式は、もともと入っていたのですが、二次方程式ではありません。
例 3.
すべてに次の値を掛けてみましょう。
怖い？ 4 次と 2 次...ただし、置き換えると、単純な 2 次方程式が得られることがわかります。
例4.
あるようですが、もう少し詳しく見てみましょう。 すべてを左側に移動しましょう。
ご覧のとおり、それは縮小され、単純な線形方程式になりました。
次に、次の方程式のうちどれが 2 次方程式であり、どれが二次方程式でないのかを自分で判断してみてください。
例:
答え:
- 四角;
- 四角;
- 正方形ではありません。
- 正方形ではありません。
- 正方形ではありません。
- 四角;
- 正方形ではありません。
- 四角。
数学者は慣例的にすべての二次方程式を次のタイプに分類します。
- 完全な二次方程式- 係数 および 自由項 c がゼロに等しくない方程式 (例のように)。 さらに、完全な二次方程式の中には、 与えられた- これらは、係数を含む方程式です (例 1 の方程式は完全であるだけでなく、削減もされています)。
- 不完全な二次方程式- 係数または自由項 c がゼロに等しい方程式:
いくつかの要素が欠けているため、それらは不完全です。 ただし、方程式には常に X の 2 乗が含まれている必要があります。 そうしないと、二次方程式ではなくなり、別の方程式になってしまいます。
なぜ彼らはそのような分け方を思いついたのでしょうか？ X の 2 乗があるように見えますが、大丈夫です。 この分割は解法によって決まります。 それぞれを詳しく見てみましょう。
不完全な二次方程式を解く
まず、不完全な 2 次方程式を解くことに焦点を当てましょう。それらははるかに単純です。
不完全二次方程式には次の種類があります。
- 、この式では係数は等しいです。
- 、この式では自由項は次の値に等しい。
- , この式では、係数と自由項は等しいです。
1.i. 平方根の求め方はわかったので、この式から表してみましょう
式は否定的でも肯定的でも構いません。 2 つの負の数または 2 つの正の数を乗算すると、結果は常に正の数になるため、二乗した数は負の数にはなりません。したがって、次の場合、方程式には解がありません。
そして、もしそうなら、2つのルートが得られます。 これらの公式を暗記する必要はありません。 重要なことは、それを減らすことはできないということを理解し、常に覚えておく必要があるということです。
いくつかの例を解いてみましょう。
例 5:
方程式を解く
あとは左右の根元を抜くだけです。 結局のところ、根を取り出す方法を覚えていますか？
答え：
マイナス記号の付いたルートを決して忘れないでください!!!
例6:
方程式を解く
答え：
例 7:
方程式を解く
おお！ 数値の 2 乗を負にすることはできません。つまり、次の方程式は次のようになります。
根がない！
このような根のない方程式に対して、数学者は特別なアイコン (空集合) を考え出しました。 そして、答えは次のように書くことができます。
答え：
したがって、この二次方程式には 2 つの根があります。 ルートを抽出していないため、ここでは制限はありません。
例 8:
方程式を解く
括弧内の共通因数を取り出してみましょう。
したがって、
この方程式には 2 つの根があります。
答え：
不完全二次方程式の最も単純なタイプ（どれも単純ですよね？）。 明らかに、この方程式には常に根が 1 つだけあります。
ここでは例は省略します。
完全な二次方程式を解く
完全な二次方程式は次の形式の方程式であることを思い出してください。
完全な 2 次方程式を解くことは、これらよりも少し (ほんの少しだけ) 難しくなります。
覚えて、 二次方程式は判別式を使用して解くことができます。 未完成でも。
他の方法を使用すると、より速く解くことができますが、二次方程式で問題が発生した場合は、まず判別式を使用した解法をマスターしてください。
1. 判別式を使用して二次方程式を解きます。
この方法を使用して二次方程式を解くのは非常に簡単です。重要なのは、一連のアクションといくつかの公式を覚えておくことです。
場合、方程式には根があります。 特別な注意一段上がる。 判別式 () は方程式の根の数を示します。
- の場合、ステップ内の式は次のようになります。 したがって、方程式には根のみが存在します。
- そうすると、そのステップで判別式の根を抽出することができなくなります。 これは、方程式に根がないことを示しています。
方程式に戻り、いくつかの例を見てみましょう。
例9:
方程式を解く
ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、方程式には 2 つの根があることを意味します。
ステップ3。
答え：
例 10:
方程式を解く
方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、方程式の根が 1 つであることを意味します。
答え：
例 11:
方程式を解く
方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。
ステップ2。
判別式を見つけます。
これは、判別式の根を抽出できないことを意味します。 方程式の根はありません。
これで、そのような答えを正しく書き留める方法がわかりました。
答え：根がない
2. ビエタの定理を使用して二次方程式を解きます。
覚えていると思いますが、reduced (係数 a が等しい場合) と呼ばれるタイプの方程式があります。
このような方程式は、ビエタの定理を使用すると非常に簡単に解くことができます。
根の和 与えられた二次方程式は等しく、根の積は等しい。
例 12:
方程式を解く
この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。
方程式の根の合計は等しい、つまり 最初の方程式が得られます。
そして積は次と等しくなります。
システムを構成して解決しましょう。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は同等です。
システムの解決策は次のとおりです。
答え： ; .
例 13:
方程式を解く
答え：
例 14:
方程式を解く
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
答え：
二次方程式。 平均レベル
二次方程式とは何ですか?
言い換えれば、二次方程式は、 - 未知のもの、 - いくつかの数値、そして
その数字は最高または最高と呼ばれます 最初の係数二次方程式、- 2番目の係数、A - 無料会員.
なぜ？ なぜなら、方程式がすぐに線形になると、 消えるだろう。
この場合、 および はゼロに等しくなります。 この椅子では方程式は不完全と呼ばれます。 すべての項が適切であれば、方程式は完了します。
さまざまな種類の二次方程式の解法
不完全な二次方程式を解く方法:
まず、不完全な二次方程式を解く方法を見てみましょう - それらはより簡単です。
次のタイプの方程式を区別できます。
I.、この式では係数と自由項は等しいです。
II. 、この式では係数は等しいです。
Ⅲ． 、この式では、自由項は次の値に等しい。
次に、これらのサブタイプのそれぞれに対する解決策を見てみましょう。
明らかに、この方程式には常に根が 1 つだけあります。
2 つの負の数または 2 つの正の数を乗算すると、結果は常に正の数になるため、平方数は負の数にはなりません。 それが理由です：
場合、方程式には解がありません。
ルートが 2 つある場合
これらの公式は暗記する必要はありません。 覚えておくべき主なことは、それよりも少なくすることはできないということです。
例:
解決策:
答え：
マイナス記号の付いたルートを決して忘れないでください。
数値の 2 乗を負にすることはできません。つまり、次の方程式は次のようになります。
根がない。
問題に解決策がないことを簡単に示すために、空のセットのアイコンを使用します。
答え：
したがって、この方程式には 2 つの根があります: と。
答え：
括弧内の共通因数を取り出してみましょう。
因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 これは、次の場合に方程式に解があることを意味します。
したがって、この二次方程式には 2 つの根があります: と。
例：
方程式を解きます。
解決：
方程式の左辺を因数分解して根を求めてみましょう。
答え：
完全な二次方程式を解く方法:
1. 判別式
この方法で二次方程式を解くのは簡単ですが、重要なのは一連のアクションといくつかの公式を覚えておくことです。 二次方程式は判別式を使用して解くことができることを覚えておいてください。 未完成でも。
根の公式の判別式から根が出ていることに気づきましたか？ ただし、判別式は負の値になる場合があります。 何をするか？ ステップ 2 には特に注意を払う必要があります。判別式は方程式の根の数を示します。
- 次の場合、方程式には根があります。
- もし、方程式の根が同じで、実際には根が 1 つある場合:
このような根は二重根と呼ばれます。
- 場合、判別式の根は抽出されません。 これは、方程式に根がないことを示しています。
なぜそれが可能なのか 異なる量ルーツ？ 二次方程式の幾何学的意味に目を向けましょう。 関数のグラフは放物線です。
特殊な場合、つまり二次方程式では、 . これは、二次方程式の根が横軸（軸）との交点であることを意味します。 放物線は軸とまったく交差しないことも、1 点 (放物線の頂点が軸上にある場合) または 2 点で交差することもあります。
さらに、係数は放物線の枝の方向に影響します。 放物線の枝は上向きであり、場合は下向きです。
例:
解決策:
答え：
答え： 。
答え：
これは、解決策がないことを意味します。
答え： 。
2. ビエタの定理
ビエタの定理を使用するのは非常に簡単です。積が方程式の自由項に等しく、その合計が反対の符号をとった 2 番目の係数に等しい数値のペアを選択するだけです。
ビエタの定理は次の場合にのみ適用できることを覚えておくことが重要です。 縮小二次方程式 ()。
いくつかの例を見てみましょう。
例 #1:
方程式を解きます。
解決：
この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。 その他の係数: ; 。
方程式の根の合計は次のとおりです。
そして積は次と等しくなります。
積が等しい数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は次のとおりです。
- そして。 金額は同等です。
システムの解決策は次のとおりです。
したがって、 と は方程式の根です。
答え： ; 。
例2:
解決：
積で得られる数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。
そして：彼らは合計で与えます。
そして：彼らは合計で与えます。 取得するには、想定されるルートの符号を変更するだけで十分です。そして結局のところ、製品です。
答え：
例 #3:
解決：
方程式の自由項は負であるため、根の積は負の数になります。 これは、ルートの一方がマイナスで、もう一方がプラスの場合にのみ可能です。 したがって、根の合計は次のようになります。 モジュールの違い.
積で得られる、その差が以下に等しい数値のペアを選択しましょう。
そして：それらの差は等しい - 適合しません。
および: - 適切ではありません。
および: - 適切ではありません。
そして： - 適切です。 残っているのは、根の 1 つがネガティブであることを覚えておくことだけです。 それらの合計は等しい必要があるため、係数が小さい方の根は負である必要があります: 。 私たちは以下をチェックします:
答え：
例 #4:
方程式を解きます。
解決：
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
自由項は負であるため、根の積は負になります。 そして、これは方程式の一方の根が負で、もう一方の根が正の場合にのみ可能です。
積が等しい数値のペアを選択し、どの根に負の符号を付けるかを決定してみましょう。
明らかに、最初の条件に適しているのはルートとのみです。
答え：
例5:
方程式を解きます。
解決：
方程式が与えられます。これは次のことを意味します。
根の合計は負です。これは、根の少なくとも 1 つが負であることを意味します。 しかし、それらの積は正であるため、両方の根にマイナス符号があることを意味します。
積が次と等しい数値のペアを選択しましょう。
明らかに、ルートは数値とです。
答え：
同意します。この厄介な判別式を数える代わりに、口頭でルートを考え出すのは非常に便利です。 ビエタの定理をできるだけ頻繁に使用するようにしてください。
しかし、ビエタの定理は、根の発見を容易にし、迅速化するために必要です。 これを使用することでメリットを享受するには、アクションを自動化する必要があります。 このために、さらに 5 つの例を解きます。 ただし、不正行為はしないでください。判別式は使用できません。 ビエタの定理のみ:
独立した作業のためのタスクの解決策:
タスク 1. ((x)^(2))-8x+12=0
ビエタの定理によれば、次のようになります。
いつものように、次の作品から選択を開始します。
量が多いので適切ではありません。
: 必要な量だけです。
答え： ; 。
タスク2。
そしてまた私たちのお気に入りのビエタの定理です。和は等しくなければならず、積は等しくなければなりません。
しかし、そうではないはずなので、ルートの符号を変更します: と (合計)。
答え： ; 。
タスク3。
うーん...それはどこですか？
すべての用語を 1 つの部分に移動する必要があります。
根の和は積に等しい。
わかった、やめて！ 方程式は与えられていません。 しかし、ビエタの定理は与えられた方程式にのみ適用できます。 したがって、最初に方程式を与える必要があります。 主導権を握ることができない場合は、このアイデアを放棄し、別の方法 (たとえば、判別式など) で解決してください。 二次方程式を与えるということは、主要な係数を等しくすることを意味することを思い出してください。
素晴らしい。 したがって、根の合計は積と等しくなります。
ここでは、梨の殻をむくのと同じくらい簡単に選ぶことができます。結局のところ、それは素数なのです (同語反復でごめんなさい)。
答え： ; 。
タスク4。
無料会員はマイナスです。 これの何が特別なのでしょうか？ そして、根が さまざまな兆候。 そして今、選択中に、ルートの合計ではなく、それらのモジュールの差をチェックします。この差は等しいですが、積です。
したがって、根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。 ビエタの定理は、根の和が反対の符号を持つ 2 番目の係数に等しいことを示しています。 これは、小さいルートにはマイナスが含まれることを意味します。
答え： ; 。
タスク5。
まず何をすべきでしょうか? そうです、方程式を与えてください:
繰り返しになりますが、数値の因数を選択します。その差は次と等しくなります。
根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。 どれの？ それらの合計は等しい必要があります。これは、マイナスの方が根が大きいことを意味します。
答え： ; 。
要約してみましょう:
- ビエタの定理は、与えられた二次方程式でのみ使用されます。
- ビエタの定理を使用すると、選択によって根を口頭で見つけることができます。
- 方程式が指定されていないか、自由項の適切な因数のペアが見つからない場合は、全根は存在しないため、別の方法 (判別式など) で解く必要があります。
3. 完全な正方形を選択する方法
未知数を含むすべての項が省略された乗算公式 (和または差の 2 乗) の項の形式で表される場合、変数を置き換えた後、方程式はこのタイプの不完全 2 次方程式の形式で表すことができます。
例えば：
例 1:
方程式を解きます: 。
解決：
答え：
例 2:
方程式を解きます: 。
解決：
答え：
一般に、変換は次のようになります。
これは次のことを意味します。
何か思い出しませんか？ これは差別行為ですよ！ まさにこのようにして判別式が得られました。
二次方程式。 主なものについて簡単に説明
二次方程式- これは次の形式の方程式です。ここで、 - 未知数、 - 二次方程式の係数、 - 自由項です。
完全な二次方程式- 係数がゼロに等しくない方程式。
縮小二次方程式- 係数を含む方程式、つまり: 。
不完全な二次方程式- 係数または自由項 c がゼロに等しい方程式:
- 係数の場合、方程式は次のようになります:
- 自由項がある場合、方程式は次の形式になります。
- の場合、方程式は次のようになります。
1. 不完全二次方程式を解くアルゴリズム
1.1. 次の形式の不完全な 2 次方程式。ここで、:
1) 未知のものを表現してみましょう: 、
2) 式の符号を確認します。
- 方程式に解がない場合、
- の場合、方程式には 2 つの根があります。
1.2. 次の形式の不完全な 2 次方程式。ここで、:
1) 括弧内の共通因数を取り出してみましょう: 、
2) 因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 したがって、方程式には 2 つの根があります。
1.3. 次の形式の不完全な二次方程式。ここで、
この方程式には常に根が 1 つだけあります: 。
2. 次の形式の完全な 2 次方程式を解くためのアルゴリズム。
2.1. 判別式を使った解法
1) 方程式を次のように簡略化しましょう 標準ビュー: ,
2) 次の式を使用して判別式を計算しましょう。これは方程式の根の数を示します。
3) 方程式の根を求めます。
- の場合、方程式には根があり、次の式で求められます。
- 場合、方程式には根があり、これは次の式で求められます。
- の場合、方程式には根がありません。
2.2. ビエタの定理を用いた解法
縮小された 2 次方程式 (where の形の方程式) の根の和は等しく、根の積は等しい、つまり、 、A.
2.3. 完全な正方形を選択する方法による解法
